Saisissez les deux séries dont vous voulez étudier le lien, chacune avec des points-virgules (;) entre les nombres. Le coefficient de corrélation r, la covariance et l’équation de la droite de régression sont calculés, et la droite est tracée sur le nuage de points.
Les valeurs de x et de y vont par couples, dans l’ordre (le 1er x avec le 1er y, le 2e x avec le 2e y, etc.). Entrez-en autant de chaque côté (2 couples ou plus). Les nombres décimaux (3,5) et négatifs sont acceptés.
Résultat et graphique
Saisissez vos données x et y séparées par des points-virgules dans les champs à gauche et appuyez sur « Calculer ». Le résultat et le nuage de points s’affichent ici.
Table des matières
-
Ce que vous pouvez faire sur cette page
-
À quoi sert ce calcul ?
-
Mode d'emploi
-
Formules et figures
-
Symboles et termes
-
Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
-
Calculer avec Excel
-
Calculer avec Google Sheets
-
Calculer avec Python
-
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
-
Faire faire le calcul par ChatGPT
-
Les atouts de DataChef
-
Fonctions connexes
-
Liste des calculatrices NumberChef
Ce que vous pouvez faire sur cette page
- Entrez des couples de données \((x\,;\,y)\) (deux variables) et obtenez tout de suite le coefficient de corrélation \(r\) et la covariance \(s_{xy}\)
- La moyenne, la variance et l’écart-type de \(x\) et de \(y\), ainsi que l’équation de la droite de régression (moindres carrés) \(y = ax + b\), sont calculés en même temps
- Le nuage de points est tracé avec la droite de régression et le point moyen : vous voyez d’un coup d’œil le lien entre les deux séries (croissant, décroissant ou dispersé)
- Une lecture indicative de la valeur, comme « forte corrélation positive » ou « corrélation faible ou nulle », s’affiche aussi
- Une explication simple des formules et des formules à copier-coller pour Excel, Google Sheets et Python sont réunies sur cette page
La covariance et les variances sont calculées comme au lycée, en divisant par le nombre de couples \(n\) (la différence avec la version qui divise par \(n-1\) est expliquée dans la partie Excel). Il faut autant de valeurs de \(x\) que de \(y\), et au moins 2 couples.
À quoi sert ce calcul ?
Vérifier en chiffres le lien entre temps de travail et résultats (éducation)
Un usage classique du coefficient de corrélation : vérifier avec des données, et non au feeling, si « les notes montent quand on travaille plus ». En calculant \(r\) à partir des couples (temps de travail ; note) de chaque élève, un seul nombre indique la force du lien.
Les établissements et les organismes de soutien scolaire regardent parfois la corrélation entre matières aux examens blancs (les élèves bons en maths le sont-ils aussi en physique-chimie ?) pour orienter l’accompagnement. Mais une corrélation ne prouve pas la cause, du type « il suffit de travailler plus longtemps pour que la note monte ».
Décider des commandes selon la température et les ventes (commerce et restauration)
On sait que les ventes de glaces et de boissons fraîches ont une corrélation positive avec la température, et celles de soupes et de boissons chaudes une corrélation négative. Les magasins et les restaurants examinent la corrélation dans leurs données passées (température ; quantités vendues) et ajustent leurs commandes et leur mise en avant selon la météo.
En allant jusqu’à la droite de régression, on peut faire une estimation concrète comme « s’il fait 30 °C demain, on vendra environ tant d’unités ».
Réduire le risque en combinant des actifs qui évoluent différemment (finance et placements)
En finance, le coefficient de corrélation entre les variations de prix d’actifs comme les actions, les obligations ou l’or est un outil de base de la diversification. Combiner des actifs peu (ou négativement) corrélés fait que, quand l’un baisse, l’autre a moins de chances de baisser aussi : les hauts et les bas de l’ensemble du portefeuille sont plus petits.
Les caisses de retraite et les fonds de placement analysent toujours les corrélations entre actifs avant de décider de la répartition de leur argent.
Cerner les causes de défauts à partir des conditions de production (industrie et qualité)
Quand les défauts augmentent dans une usine, regarder le coefficient de corrélation entre le taux de défauts et des conditions comme la température de fabrication, l’humidité ou la durée de marche des machines aide à cerner celles qui varient avec les défauts. C’est une méthode si basique que le nuage de points (diagramme de dispersion) fait partie des « 7 outils de la qualité ».
Une fois trouvée une condition fortement corrélée, l’étape suivante est une expérience où l’on change cette condition pour confirmer la causalité, puis viennent les améliorations.
Un point de départ pour la recherche en santé (médecine et épidémiologie)
Les études sur le mode de vie et la santé, comme « activité physique et tension artérielle » ou « tabac et risque d’une maladie », commencent elles aussi par vérifier la corrélation dans les données.
C’est aussi là qu’on apprend à ne pas confondre corrélation et cause. Exemple célèbre : les ventes de glaces et le nombre de noyades ont une corrélation positive. Les deux augmentent simplement avec un facteur commun, la chaleur. La recherche médicale utilise de nombreuses méthodes pour éliminer ces facteurs de confusion et se rapprocher d’une vraie causalité.
Formules et figures
Covariance \(s_{xy}\)
Figure
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(s_{xy}\)
\(=\)
\(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\)
\((x_i - \bar{x})\)
\((y_i - \bar{y})\)
\(\div\)
\(n\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
⑤
\(s_{xy}\) : covariance
\(=\)
③
\(\displaystyle\sum\) : on additionne tout
①
\((x_i - \bar{x})\) : écart de \(x\)
②
\((y_i - \bar{y})\) : écart de \(y\)
\(\div\)
④
\(n\) : nombre de couples
La formule en mots
①
Pour chaque couple, on prend
l’écart de \(x\) (la valeur de \(x\) moins la moyenne de \(x\))
②
on le multiplie par
l’écart de \(y\) (la valeur de \(y\) moins la moyenne de \(y\))
③
puis
on additionne tous ces produits \(\displaystyle\sum\)
④
on divise le total par le
\(n\) : nombre de couples
⑤
et on obtient la
\(s_{xy}\) : covariance
Exemple simple
Si le temps de travail \(x\) (en heures) de 5 élèves vaut 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 et leurs notes \(y\) (en points) 2 ; 4 ; 4 ; 4 ; 6 (moyennes \(\bar{x} = 3\) et \(\bar{y} = 4\)), alors
\(s_{xy}\) : covariance
\(=\)
somme des produits des écarts (8)
\(\div\)
nombre de couples (5)
\((-2)(-2) + (-1)(0) + (0)(0) + (1)(0) + (2)(2) = 4 + 0 + 0 + 0 + 4 = 8\)
\(s_{xy} = 8 \div 5 = 1{,}6\)
L’idée clé
La covariance traduit en nombre « la tendance de deux séries à varier ensemble ». Si beaucoup de couples ont \(x\) et \(y\) tous les deux au-dessus de leur moyenne (+ × +) ou tous les deux en dessous (− × −), la somme des produits est positive. Si beaucoup de couples ont un seul des deux au-dessus de sa moyenne (+ × −), la somme est négative.
Une covariance positive signifie donc « plus \(x\) est grand, plus \(y\) a tendance à l’être » (le nuage de points monte vers la droite), une covariance négative « plus \(x\) est grand, plus \(y\) a tendance à être petit » (il descend), et une covariance proche de 0 « pas de tendance nette ».
Comme au lycée, le dénominateur est le nombre de couples \(n\), comme pour la variance. Les logiciels de statistique proposent aussi une covariance « d’échantillon » qui divise par \(n-1\), et Excel les distingue par le nom de la fonction (voir la partie Excel).
Coefficient de corrélation \(r\)
Figure
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(r\)
\(=\)
\(s_{xy}\)
\(\div\)
\((\)
\(s_x\)
\(\times\)
\(s_y\)
\()\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
④
\(r\) : coefficient de corrélation
\(=\)
①
\(s_{xy}\) : covariance
\(\div\)
\((\)
②
\(s_x\) : écart-type de \(x\)
\(\times\)
③
\(s_y\) : écart-type de \(y\)
\()\)
La formule en mots
①
On divise la
\(s_{xy}\) : covariance
②
par le produit de
l’\(s_x\) : écart-type de \(x\)
③
et de
l’\(s_y\) : écart-type de \(y\)
④
et on obtient le
\(r\) : coefficient de corrélation
(\(r\) est toujours compris entre \(-1\) et \(1\))
Exemple simple
Avec le même exemple du temps de travail et des notes (\(s_{xy} = 1{,}6\), \(s_x = \sqrt{2}\), \(s_y = \sqrt{1{,}6}\))
\(r\) : coefficient de corrélation
\(=\)
covariance (1,6)
\(\div\)
\((\)
\(\sqrt{2}\)
\(\times\)
\(\sqrt{1{,}6}\)
\()\)
\(s_x \times s_y = \sqrt{2} \times \sqrt{1{,}6} = \sqrt{3{,}2} \approx 1{,}789\)
\(r = 1{,}6 \div 1{,}789 \approx 0{,}894\)
L’idée clé
La covariance est utile, mais elle dépend des unités (passer des heures aux minutes suffit à la multiplier par 60). En la divisant par les écarts-types de \(x\) et de \(y\), on obtient un nombre entre \(-1\) et \(1\) qui ne dépend plus des unités : c’est le coefficient de corrélation \(r\).
Plus \(r\) est proche de \(1\), plus la corrélation positive est forte (points proches d’une droite qui monte) ; plus il est proche de \(-1\), plus la corrélation négative est forte (droite qui descend) ; plus il est proche de \(0\), plus le lien linéaire est faible. Repères courants : \(0{,}7 \leqslant |r|\) pour une corrélation forte, \(0{,}4 \leqslant |r| < 0{,}7\) pour une corrélation modérée, \(0{,}2 \leqslant |r| < 0{,}4\) pour une corrélation faible et \(|r| < 0{,}2\) pour une corrélation faible ou nulle (les seuils varient selon les domaines).
Attention : le coefficient de corrélation ne mesure qu’un lien en ligne droite. Pour un lien en forme de U, \(r\) peut être proche de 0 alors qu’il existe bien un lien. Et une corrélation n’est pas une causalité (l’un n’est pas forcément la cause de l’autre). Il est aussi très sensible aux valeurs aberrantes : regardez toujours le nuage de points.
Droite de régression (moindres carrés) \(y = ax + b\)
Figure
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(a\)
\(=\)
\(s_{xy}\)
\(\div\)
\(s_x^{2}\)
\(b\)
\(=\)
\(\bar{y}\)
\(-\)
\(a\,\bar{x}\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
③
\(a\) : coefficient directeur de la droite de régression
\(=\)
①
\(s_{xy}\) : covariance
\(\div\)
②
\(s_x^2\) : variance de \(x\)
⑥
\(b\) : ordonnée à l’origine de la droite de régression
\(=\)
④
\(\bar{y}\) : moyenne de \(y\)
\(-\)
⑤
coefficient directeur \(a\) × moyenne de \(x\) \(\bar{x}\)
La formule en mots
①
On divise la
\(s_{xy}\) : covariance
②
par la
\(s_x^2\) : variance de \(x\)
③
et on obtient le
\(a\) : coefficient directeur de la droite de régression
.
④
À la
\(\bar{y}\) : moyenne de \(y\)
⑤
on retranche le
produit du coefficient directeur \(a\) par la moyenne de \(x\), \(\bar{x}\)
⑥
et on obtient
l’\(b\) : ordonnée à l’origine de la droite de régression
Exemple simple
Avec le même exemple (\(s_{xy} = 1{,}6\), \(s_x^2 = 2\), \(\bar{x} = 3\), \(\bar{y} = 4\))
coefficient directeur \(a\)
\(=\)
covariance (1,6)
\(\div\)
variance de \(x\) (2)
\(a = 1{,}6 \div 2 = 0{,}8\)
\(b = 4 - 0{,}8 \times 3 = 1{,}6\)
\(y = 0{,}8x + 1{,}6\)
L’idée clé
La droite de régression est la droite qui s’ajuste le mieux au nuage de points. On la choisit pour que la somme des carrés des écarts verticaux (des erreurs) entre chaque point et la droite soit la plus petite possible. Cette façon de choisir la droite s’appelle la méthode des moindres carrés (les seuls calculs nécessaires sont la division et la soustraction ci-dessus).
La droite de régression passe toujours par le point moyen \(G(\bar{x}\,;\,\bar{y})\). Vous pouvez le vérifier sur le nuage de points de cette page.
Avec cette droite, on peut faire des prévisions comme « avec 3,5 heures de travail, la note sera d’environ \(0{,}8 \times 3{,}5 + 1{,}6 = 4{,}4\) points ». Mais une prévision qui prolonge la droite loin de la plage des données n’est pas fiable, et quand la corrélation est faible, une prévision tirée de la droite n’a guère de sens.
Cette page écrit la droite \(y = ax + b\) (\(a\) : coefficient directeur, \(b\) : ordonnée à l’origine), comme les manuels de lycée et les calculatrices en mode statistique.
Pour trouver le coefficient de corrélation : 1) calculez les moyennes de \(x\) et de \(y\) ; 2) additionnez tous les produits des écarts \((x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})\) et divisez par le nombre de couples \(n\) pour obtenir la covariance \(s_{xy}\) ; 3) divisez la covariance par le produit des écarts-types de \(x\) et de \(y\). \(r\) est toujours compris entre \(-1\) et \(1\) : plus il est proche de \(1\), plus le lien linéaire croissant est fort ; plus il est proche de \(-1\), plus le lien linéaire décroissant est fort.
Symboles et termes
Symboles
| \(x_i,\ y_i\) | x indice i, y indice i | La valeur de \(x\) et la valeur de \(y\) du \(i\)-ième couple (exemple : le temps de travail \(x_3\) et la note \(y_3\) du 3e élève). \(i\) est une lettre souvent utilisée pour un indice (un numéro). |
| \(n\) | n | Le nombre de couples, initiale de « nombre » (exemple : pour les couples de 5 élèves, \(n = 5\)). |
| \(\bar{x},\ \bar{y}\) | x barre, y barre | Les moyennes de \(x\) et de \(y\). La barre au-dessus d’une lettre est la façon habituelle de noter une moyenne. Le point \(G(\bar{x}\,;\,\bar{y})\) est le point moyen. |
| \(x_i - \bar{x}\) | x indice i moins x barre | L’écart de \(x\) à sa moyenne : il indique à quelle distance chaque valeur se trouve de la moyenne de \(x\). \(y_i - \bar{y}\) est l’écart de \(y\). |
| \(s_{xy}\) | s indice x y | La covariance de \(x\) et \(y\), c’est-à-dire la moyenne des produits des écarts. Elle traduit la tendance des deux séries à varier ensemble. On la note aussi \(\operatorname{cov}(x\,;\,y)\) dans les manuels français. La lettre \(s\) est la lettre habituelle des indicateurs de la même famille que l’écart-type. |
| \(s_x,\ s_y\) | s indice x, s indice y | Les écarts-types de \(x\) et de \(y\) (la taille de leur dispersion). Ce sont les racines carrées des variances. On les note aussi \(\sigma_x\) et \(\sigma_y\). |
| \(s_x^2,\ s_y^2\) | s indice x au carré, s indice y au carré | Les variances de \(x\) et de \(y\) : la moyenne des carrés des écarts (on divise par \(n\)). |
| \(r\) | r | Le coefficient de corrélation. La lettre viendrait du \(r\) de « relation » (ou de l’anglais « correlation »). Il est toujours compris entre \(-1\) et \(1\). |
| \(\sum\) | sigma (symbole de somme) | Un symbole qui veut dire « additionner tout ». \(\sum_{i=1}^{n}\) se lit « somme pour \(i\) allant de 1 à \(n\) ». |
| \(a,\ b\) | a, b | Le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine de la droite de régression \(y = ax + b\). Ce sont les mêmes lettres que pour une fonction affine. |
Termes
| corrélation | Une tendance linéaire entre deux séries, où l’une augmente quand l’autre augmente (ou diminue). Plus elle est forte, plus les points du nuage de points sont proches d’une droite. |
| corrélation positive | La tendance de \(y\) à augmenter quand \(x\) augmente. Le nuage de points monte vers la droite et le coefficient de corrélation est positif. |
| corrélation négative | La tendance de \(y\) à diminuer quand \(x\) augmente. Le nuage de points descend vers la droite et le coefficient de corrélation est négatif. |
| coefficient de corrélation | Un nombre entre \(-1\) et \(1\) qui indique la force et le sens d’une corrélation (on dit aussi coefficient de corrélation linéaire, ou de Pearson). On l’obtient en divisant la covariance par le produit des écarts-types de \(x\) et de \(y\). Comme il ne dépend pas des unités, on peut comparer sa force d’une série à l’autre. |
| covariance | La moyenne des produits des écarts de \(x\) et de \(y\). Positive, elle indique une tendance croissante ; négative, une tendance décroissante. Cette page divise par le nombre de couples \(n\), comme au lycée. |
| nuage de points | Un graphique où chaque couple \((x\,;\,y)\) est placé comme un point dans un repère. La forme du nuage montre d’un coup d’œil le sens et la force d’une corrélation. |
| point moyen | Le point \(G(\bar{x}\,;\,\bar{y})\) dont les coordonnées sont les moyennes de \(x\) et de \(y\). La droite de régression passe toujours par ce point. |
| variable | Une grandeur que l’on mesure, comme une taille, une note ou une température. Cette page étudie le lien entre deux variables, \(x\) et \(y\) (statistique à deux variables). |
| écart | La différence entre une valeur et la moyenne (écart à la moyenne). Positif, il indique une valeur au-dessus de la moyenne ; négatif, en dessous. La covariance, la variance et l’écart-type sont tous construits à partir des écarts. |
| variance | La moyenne des carrés des écarts. Elle mesure la dispersion des données. Elle apparaît au dénominateur du coefficient directeur de la droite de régression. |
| écart-type | La racine carrée de la variance. Il s’exprime dans la même unité que les données, ce qui en fait une mesure de dispersion facile à utiliser. Il apparaît au dénominateur du coefficient de corrélation. |
| droite de régression (droite d’ajustement) | La droite \(y = ax + b\) qui s’ajuste le mieux au nuage de points (on dit aussi droite des moindres carrés). Elle sert à prévoir une valeur de \(y\) à partir d’une valeur de \(x\). |
| méthode des moindres carrés | Une façon de choisir le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine d’une droite pour que la somme des carrés des écarts verticaux (des erreurs) entre les points et la droite soit la plus petite possible. La droite de régression est la droite choisie ainsi. |
| valeur aberrante | Une valeur très éloignée des autres points. Le coefficient de corrélation y est très sensible : vérifiez-le toujours avec le nuage de points. |
| lien statistique | Un lien entre deux grandeurs qui varient ensemble (quand l’une augmente, l’autre augmente ou diminue). Même avec une corrélation, l’une n’est pas forcément la cause de l’autre (causalité) : il peut simplement y avoir une cause commune derrière les deux (un facteur de confusion). |
| causalité (lien de cause à effet) | Un lien où l’une des choses est la cause et l’autre sa conséquence. Un lien statistique (varier ensemble) ne suffit pas à montrer une causalité : il peut simplement y avoir une cause commune derrière les deux (un facteur de confusion). |
Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
Voici ce qui vous aide à utiliser le calcul de cette page en le comprenant vraiment, et pas seulement en appuyant sur le bouton.
Si vous bloquez, revenir sur ces notions est le plus court chemin.
| La moyenne (5e, 12-13 ans) |
|
| Nombres relatifs (5e-4e, 12-14 ans) |
|
| Repère et fonctions affines (4e-3e, 13-15 ans) |
|
| Racines carrées (4e-3e, 13-15 ans) |
|
| Statistique à deux variables (lycée, 16-18 ans) |
|
Calculer avec Excel
Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 d’Excel. Il fonctionne tel quel.
Tableau pour trouver la covariance s_xy
| x du couple 1 | 1 |
| x du couple 2 | 2 |
| x du couple 3 | 3 |
| x du couple 4 | 4 |
| x du couple 5 | 5 |
| y du couple 1 | 2 |
| y du couple 2 | 4 |
| y du couple 3 | 4 |
| y du couple 4 | 4 |
| y du couple 5 | 6 |
| Covariance s_xy (÷ n) | =COVARIANCE.PEARSON(B1:B5;B6:B10) |
| (Pour comparer) covariance d’échantillon (÷ (n−1)) | =COVARIANCE.STANDARD(B1:B5;B6:B10) |
Tableau pour trouver le coefficient de corrélation r
| x du couple 1 | 1 |
| x du couple 2 | 2 |
| x du couple 3 | 3 |
| x du couple 4 | 4 |
| x du couple 5 | 5 |
| y du couple 1 | 2 |
| y du couple 2 | 4 |
| y du couple 3 | 4 |
| y du couple 4 | 4 |
| y du couple 5 | 6 |
| Coefficient de corrélation r | =COEFFICIENT.CORRELATION(B1:B5;B6:B10) |
| (Pour comparer) même valeur avec PEARSON | =PEARSON(B1:B5;B6:B10) |
Tableau pour trouver la droite de régression y = ax + b
| x du couple 1 | 1 |
| x du couple 2 | 2 |
| x du couple 3 | 3 |
| x du couple 4 | 4 |
| x du couple 5 | 5 |
| y du couple 1 | 2 |
| y du couple 2 | 4 |
| y du couple 3 | 4 |
| y du couple 4 | 4 |
| y du couple 5 | 6 |
| Coefficient directeur a | =PENTE(B6:B10;B1:B5) |
| Ordonnée à l’origine b | =ORDONNEE.ORIGINE(B6:B10;B1:B5) |
Tableau pour trouver les moyennes, les variances et les écarts-types (÷ n)
| x du couple 1 | 1 |
| x du couple 2 | 2 |
| x du couple 3 | 3 |
| x du couple 4 | 4 |
| x du couple 5 | 5 |
| y du couple 1 | 2 |
| y du couple 2 | 4 |
| y du couple 3 | 4 |
| y du couple 4 | 4 |
| y du couple 5 | 6 |
| Moyenne de x x̄ | =MOYENNE(B1:B5) |
| Moyenne de y ȳ | =MOYENNE(B6:B10) |
| Variance de x s_x² | =VAR.P(B1:B5) |
| Écart-type de x s_x | =ECARTYPEP(B1:B5) |
| Variance de y s_y² | =VAR.P(B6:B10) |
| Écart-type de y s_y | =ECARTYPEP(B6:B10) |
Après le collage, les cellules B1 à B5 reçoivent x, les cellules B6 à B10 reçoivent y, et les cellules en vert et en gras se calculent automatiquement.
La covariance du premier tableau vaut 1,6 (la covariance d’échantillon vaut 2), le coefficient de corrélation du deuxième environ 0,8944, et le troisième donne un coefficient directeur de 0,8 et une ordonnée à l’origine de 1,6.
Attention, il existe deux fonctions de covariance. COVARIANCE.PEARSON divise par n (comme ce calculateur et comme au lycée), et COVARIANCE.STANDARD divise par n − 1 (covariance d’échantillon). Dans les anciennes versions d’Excel (2007 et avant), utilisez COVARIANCE à la place de COVARIANCE.PEARSON.
COEFFICIENT.CORRELATION et PEARSON donnent le même coefficient de corrélation (r est le même qu’on divise par n ou par n − 1 : il n’y a pas de choix à faire).
PENTE et ORDONNEE.ORIGINE prennent d’abord la plage des y, puis celle des x (attention, x ne vient pas en premier).
Pour un autre nombre de couples, ajoutez (ou supprimez) des lignes de nombres, puis remplacez « B1:B5 » et « B6:B10 » dans les formules par vos vraies plages de données.
La covariance du premier tableau vaut 1,6 (la covariance d’échantillon vaut 2), le coefficient de corrélation du deuxième environ 0,8944, et le troisième donne un coefficient directeur de 0,8 et une ordonnée à l’origine de 1,6.
Attention, il existe deux fonctions de covariance. COVARIANCE.PEARSON divise par n (comme ce calculateur et comme au lycée), et COVARIANCE.STANDARD divise par n − 1 (covariance d’échantillon). Dans les anciennes versions d’Excel (2007 et avant), utilisez COVARIANCE à la place de COVARIANCE.PEARSON.
COEFFICIENT.CORRELATION et PEARSON donnent le même coefficient de corrélation (r est le même qu’on divise par n ou par n − 1 : il n’y a pas de choix à faire).
PENTE et ORDONNEE.ORIGINE prennent d’abord la plage des y, puis celle des x (attention, x ne vient pas en premier).
Pour un autre nombre de couples, ajoutez (ou supprimez) des lignes de nombres, puis remplacez « B1:B5 » et « B6:B10 » dans les formules par vos vraies plages de données.
Calculer avec Google Sheets
Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 de Google Sheets. Il fonctionne tel quel.
Tableau pour trouver la covariance s_xy
| x du couple 1 | 1 |
| x du couple 2 | 2 |
| x du couple 3 | 3 |
| x du couple 4 | 4 |
| x du couple 5 | 5 |
| y du couple 1 | 2 |
| y du couple 2 | 4 |
| y du couple 3 | 4 |
| y du couple 4 | 4 |
| y du couple 5 | 6 |
| Covariance s_xy (÷ n) | =COVARIANCE(B1:B5;B6:B10) |
Tableau pour trouver le coefficient de corrélation r
| x du couple 1 | 1 |
| x du couple 2 | 2 |
| x du couple 3 | 3 |
| x du couple 4 | 4 |
| x du couple 5 | 5 |
| y du couple 1 | 2 |
| y du couple 2 | 4 |
| y du couple 3 | 4 |
| y du couple 4 | 4 |
| y du couple 5 | 6 |
| Coefficient de corrélation r | =COEFFICIENT.CORRELATION(B1:B5;B6:B10) |
Tableau pour trouver la droite de régression y = ax + b
| x du couple 1 | 1 |
| x du couple 2 | 2 |
| x du couple 3 | 3 |
| x du couple 4 | 4 |
| x du couple 5 | 5 |
| y du couple 1 | 2 |
| y du couple 2 | 4 |
| y du couple 3 | 4 |
| y du couple 4 | 4 |
| y du couple 5 | 6 |
| Coefficient directeur a | =PENTE(B6:B10;B1:B5) |
| Ordonnée à l’origine b | =ORDONNEE.ORIGINE(B6:B10;B1:B5) |
Presque les mêmes fonctions que dans Excel fonctionnent telles quelles dans Google Sheets en français. Copiez tout le tableau, collez-le dans la cellule A1 et remplacez B1 à B10 par vos propres nombres.
La covariance qui divise par n s’obtient avec la fonction COVARIANCE (même définition que ce calculateur). Le coefficient de corrélation utilise COEFFICIENT.CORRELATION, comme dans Excel.
La covariance qui divise par n s’obtient avec la fonction COVARIANCE (même définition que ce calculateur). Le coefficient de corrélation utilise COEFFICIENT.CORRELATION, comme dans Excel.
Calculer avec Python
import statistics
xs = [1, 2, 3, 4, 5] # valeurs de x (exemple : temps de travail)
ys = [2, 4, 4, 4, 6] # valeurs de y (exemple : note)
n = len(xs)
mean_x = statistics.mean(xs) # moyenne de x
mean_y = statistics.mean(ys) # moyenne de y
# covariance s_xy (on divise par n, comme au lycée)
covariance = sum((x - mean_x) * (y - mean_y) for x, y in zip(xs, ys)) / n
sd_x = statistics.pstdev(xs) # écart-type de x (on divise par n)
sd_y = statistics.pstdev(ys) # écart-type de y (on divise par n)
r = covariance / (sd_x * sd_y) # coefficient de corrélation
slope = covariance / statistics.pvariance(xs) # coefficient directeur a de la droite de régression
intercept = mean_y - slope * mean_x # ordonnée à l’origine b de la droite de régression
print(f"Covariance s_xy : {covariance}")
print(f"Coefficient de corrélation r : {r}")
# l’ordonnée à l’origine peut présenter une erreur d’arrondi (1.5999...) : on l’arrondit à 10 chiffres significatifs
print(f"Droite de régression : y = {slope:.10g}x + {intercept:.10g}")
Fonctionne avec la seule bibliothèque standard (le module statistics). pstdev et pvariance, qui commencent par « p », divisent par n. À l’exécution, cet exemple affiche une covariance de 1,6, un coefficient de corrélation de 0,894… et la droite de régression y = 0,8x + 1,6 (Python écrit les nombres décimaux avec un point). Dans les versions récentes de Python, statistics.correlation(xs, ys) donne le même coefficient de corrélation (r est le même qu’on divise par n ou par n − 1). En revanche, statistics.covariance(xs, ys) divise par n − 1 : pour retrouver la covariance de cette page, calculez-la comme dans l’exemple ci-dessus.
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
Covariance \(s_{xy}\)
s_xy = {(x₁ − x̄)(y₁ − ȳ) + … + (xₙ − x̄)(yₙ − ȳ)} ÷ n
s_{xy} = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>s</mi><mrow><mi>x</mi><mi>y</mi></mrow></msub>
<mo>=</mo>
<mfrac><mn>1</mn><mi>n</mi></mfrac>
<munderover>
<mo>∑</mo>
<mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow>
<mi>n</mi>
</munderover>
<mrow>
<mo>(</mo><msub><mi>x</mi><mi>i</mi></msub><mo>−</mo><mover><mi>x</mi><mo>¯</mo></mover><mo>)</mo>
<mo>(</mo><msub><mi>y</mi><mi>i</mi></msub><mo>−</mo><mover><mi>y</mi><mo>¯</mo></mover><mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
</math>
s_(xy) = (1/n) sum_(i=1)^n (x_i - bar x)(y_i - bar y)
Covariance[xdata, ydata]*(Length[xdata] - 1)/Length[xdata] (* Covariance divise par n-1 : on la ramène à la valeur divisée par n *)
s_xy := add((x[i] - x_bar)*(y[i] - y_bar), i = 1 .. n)/n;
s_xy = mean((x - mean(x)).*(y - mean(y)));
s_xy = (1/n) ∑_(i=1)^n (x_i − x̄)(y_i − ȳ)
Coefficient de corrélation \(r\)
r = s_xy ÷ (s_x × s_y)
r = \dfrac{s_{xy}}{s_x\, s_y}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>r</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<msub><mi>s</mi><mrow><mi>x</mi><mi>y</mi></mrow></msub>
<mrow><msub><mi>s</mi><mi>x</mi></msub><msub><mi>s</mi><mi>y</mi></msub></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
r = s_(xy) / (s_x s_y)
Correlation[xdata, ydata]
r := s_xy/(s_x*s_y);
R = corrcoef(x, y); r = R(1, 2);
r = s_xy/(s_x s_y)
Droite de régression (moindres carrés) \(y = ax + b\)
y = ax + b, a = s_xy ÷ s_x², b = ȳ − a·x̄
y = ax + b, \quad a = \dfrac{s_{xy}}{s_x^{2}}, \quad b = \bar{y} - a\bar{x}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>y</mi><mo>=</mo><mi>a</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>b</mi>
<mo>,</mo><mspace width="1em"/>
<mi>a</mi><mo>=</mo>
<mfrac>
<msub><mi>s</mi><mrow><mi>x</mi><mi>y</mi></mrow></msub>
<msubsup><mi>s</mi><mi>x</mi><mn>2</mn></msubsup>
</mfrac>
<mo>,</mo><mspace width="1em"/>
<mi>b</mi><mo>=</mo>
<mover><mi>y</mi><mo>¯</mo></mover>
<mo>−</mo>
<mi>a</mi><mover><mi>x</mi><mo>¯</mo></mover>
</mrow>
</math>
y = a x + b, a = s_(xy)/s_x^2, b = bar y - a bar x
lm = LinearModelFit[Transpose[{xdata, ydata}], t, t]; lm["BestFitParameters"]
a := s_xy/s_x^2; b := y_bar - a*x_bar;
p = polyfit(x, y, 1); % p(1) = coefficient directeur a, p(2) = ordonnée à l’origine b
y = ax + b, a = s_xy/s_x^2, b = ȳ − ax̄
Faire faire le calcul par ChatGPT
Tu es un assistant de calcul en statistique. Fais le calcul suivant en exécutant réellement du code Python, et appuie ta réponse uniquement sur les nombres obtenus à l’exécution (ne réponds pas de tête ni par estimation). Pour la série statistique à deux variables suivante, calcule chacune des valeurs ci-dessous. x : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 y : 2 ; 4 ; 4 ; 4 ; 6 1. Les moyennes de x et de y, et leurs variances et écarts-types en divisant par n 2. La covariance s_xy (somme des produits des écarts divisée par le nombre de couples n ; ne divise pas par n − 1) 3. Le coefficient de corrélation r 4. Le coefficient directeur a et l’ordonnée à l’origine b de la droite de régression y = ax + b (méthode des moindres carrés) Montre les formules utilisées et les nombres obtenus à l’exécution. Réponds en français, avec la virgule comme séparateur décimal.
Mode d'emploi
-
1Saisissez vos nombresTapez les nombres à calculer dans les champs de saisie
-
2CalculezAppuyez sur le bouton « Calculer »
-
3Lisez le résultatLe résultat s’affiche aussitôt. La même page explique aussi le raisonnement et la formule
Les atouts de DataChef
Simple et gratuit
Conversions gratuites et illimitées
Aucune compétence requise – simple et intuitif
Aucune compétence requise – simple et intuitif
Aucune inscription requise
Utilisable dès l'ouverture de la page
Aucune donnée personnelle nécessaire
Aucune donnée personnelle nécessaire
Sûr et fiable
Connexion fortement chiffrée (SSL)
Le fichier est supprimé automatiquement après le téléchargement
Le fichier est supprimé automatiquement après le téléchargement
Rapide
Affichage et conversion rapides, sans attente
Sans filigrane
Aucun filigrane
Aucune mention de crédit nécessaire
Aucune mention de crédit nécessaire
Usage commercial autorisé
Usage commercial gratuit
Aucune autorisation préalable nécessaire
Aucune autorisation préalable nécessaire
Fonctions connexes
Calcul de l’écart-type d’une population ou d’un échantillon
Calcule l’écart-type, la variance et la somme des carrés des écarts d’une liste de nombres
Calcul des quartiles et diagramme en boîte (Q1, Q3, écart interquartile)
Calcule les quartiles Q1, Q2, Q3 et l’écart interquartile, et trace le diagramme en boîte
