Calcul de logarithme (log de base quelconque, ln, log)

Parmi les trois valeurs de « y = log_a(x) » (base a, nombre x et logarithme y), entrez les deux que vous connaissez et appuyez sur « Calculer ». La valeur laissée vide est calculée. La formule en dessous est reliée aux champs : vous pouvez aussi taper la base, le nombre ou le logarithme directement dedans.

Nombre x (dans le log)

Base a

Logarithme y

Laissez vide la valeur à trouver (exactement deux champs remplis). En plus des nombres, la base peut être « e » pour le logarithme népérien (10 pour le logarithme décimal). Le nombre doit être strictement positif, et la base strictement positive et différente de 1.

Résultat

Saisissez deux valeurs dans les champs à gauche et appuyez sur « Calculer ». Le résultat s’affiche ici.

Table des matières

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Ce que vous pouvez faire sur cette page
À quoi sert ce calcul ?
Mode d'emploi
Formule
Symboles et termes
- Symboles
- Termes
Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
Calculer avec Excel
Calculer avec Google Sheets
Calculer avec Python
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
Faire faire le calcul par ChatGPT
Les atouts de DataChef
Fonctions connexes
Liste des calculatrices NumberChef

Ce que vous pouvez faire sur cette page

Pour le logarithme \(y = \log_a x\), entrez les deux valeurs connues parmi la base \(a\), le nombre \(x\) et le logarithme \(y\) : la troisième s’affiche aussitôt
La base est libre. Entrez « 10 » comme base pour le logarithme décimal, ou « e » pour le logarithme népérien (\(\ln\))
En plus de valeurs comme \(\log_2 8 = 3\), la calculatrice répond aussi à « combien vaut 2 puissance 10 ? » (retrouver le nombre, \(2^{10} = 1024\)) et à « quel nombre puissance 4 donne 81 ? » (retrouver la base)
Une explication simple des formules et des formules à copier-coller pour Excel, Google Sheets et Python sont réunies sur cette page

Un logarithme obéit à deux règles. Le nombre doit être strictement positif (l’ensemble de définition), et la base doit être strictement positive et différente de 1 (les conditions sur la base). Une saisie qui ne respecte pas ces règles provoque une erreur.

À quoi sert ce calcul ?

Ce que sont vraiment les décibels (dB) (audio et bruit)

Le décibel, l’unité du niveau sonore, est défini avec le logarithme décimal d’un rapport d’énergies sonores. Même quand l’énergie est multipliée par 100, le niveau n’augmente que de \(10 \times \log_{10} 100 = 20\) dB.
Notre oreille perçoit les sons « en nombre de fois plus fort », d’où une unité logarithmique qui lui va parfaitement. Les niveaux conseillés pour les écouteurs comme les seuils de bruit au travail (en France, le Code du travail impose des mesures de protection dès 80 dB(A) sur 8 heures) reposent tous sur cette formule du logarithme.

Bien lire la magnitude d’un séisme (prévention des risques)

La magnitude repose sur le logarithme de l’énergie d’un séisme. Un degré de magnitude en plus libère environ 32 fois (\(10^{1{,}5}\) fois) plus d’énergie : un séisme de magnitude 7 libère donc environ 1000 fois l’énergie d’un séisme de magnitude 5.
Connaître les logarithmes permet de lire « 3 ordres de grandeur de plus » et non « seulement 2 de plus », ce qui change directement la façon de se préparer aux catastrophes.

Le pH (acide ou basique) est une échelle logarithmique (sciences et vie courante)

Le pH, qui mesure l’acidité d’une solution, est défini avec le logarithme décimal de la concentration en ions hydrogène (\(\mathrm{pH} = -\log_{10}[\mathrm{H}^+]\)). Entre un jus de citron à pH 2 et de l’eau à pH 7, la concentration ne diffère pas de « 5 » mais d’un facteur \(10^5\) (100 000).
Ramener des grandeurs qui s’étalent sur de nombreuses puissances de dix à des nombres simples, d’environ 0 à 14, c’est la spécialité des logarithmes. Le pH des produits ménagers, des bandelettes de test pour piscine et des analyses de sol du jardin en dépend.

Le nombre d’années pour doubler son argent (intérêts composés et placements)

Placé à 3 % par an à intérêts composés, votre capital double quand \(1{,}03^y = 2\), soit \(y = \log_{1{,}03} 2 \approx 23{,}4\) ans (en supposant le même rendement chaque année).
La célèbre « règle de 72 » (72 ÷ taux d’intérêt en % ≈ nombre d’années pour doubler) est en fait une approximation de ce logarithme. C’est une bonne base pour planifier sur le long terme, comme les études des enfants ou la retraite, avec des chiffres plutôt qu’au jugé.

Le nombre de bits se calcule avec un logarithme (informatique)

Le nombre de bits nécessaires pour distinguer \(n\) possibilités vaut \(\log_2 n\). Par exemple, 256 valeurs différentes tiennent sur \(\log_2 256 = 8\) bits (1 octet).
La robustesse d’un mot de passe (l’ordre de grandeur du nombre d’essais d’une attaque par force brute) se mesure aussi « en bits », c’est-à-dire avec un logarithme. Ce calcul est au cœur de tout le monde numérique.

Les intervalles musicaux sont des logarithmes de fréquences (musique)

Deux touches voisines du piano (un demi-ton) ont toujours le même rapport de fréquences, \(2^{1/12} \approx 1{,}0595\) (tempérament égal). Si le rapport des fréquences de deux notes vaut \(r\), le nombre de demi-tons qui les séparent vaut \(12 \times \log_2 r\).
Pour le la à 440 Hz et le la à 880 Hz, cela fait \(12 \times \log_2 2 = 12\) demi-tons, exactement une octave. Les accordeurs d’instruments et le changement de hauteur des logiciels de musique fonctionnent avec ce logarithme.

Formule

Définition du logarithme (ce que dit \(y = \log_a x\))

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(x\) \(=\) \(a\) \(y\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

③ \(x\) : nombre \(=\) ① \(a\) : base ② \(y\) : logarithme

La formule en mots

① On élève la \(a\) : base

② à la puissance \(y\) : logarithme

③ et on obtient le \(x\) : nombre . Ce nombre \(y\), « la puissance cherchée », s’écrit \(y = \log_a x\)

Exemple simple

Réécrire « 2 puissance 3 vaut 8 » (2 × 2 × 2 = 8) avec un logarithme donne

nombre 8 \(=\) base 2 logarithme 3

\(2^{3} = 2 \times 2 \times 2 = 8\)

\(\log_{2} 8 = 3\)

L’idée clé

Le logarithme défait une puissance. Si « combien vaut \(2^3\) ? » a pour réponse 8, alors « 2 puissance combien donne 8 ? » a pour réponse \(\log_2 8 = 3\). La même égalité permet aussi de retrouver le nombre : si l’on connaît la base et le logarithme, le nombre vaut \(x = a^y\). Toute puissance d’un nombre positif \(a\) est positive, donc le nombre \(x\) doit être strictement positif (l’ensemble de définition du logarithme). De plus, toutes les puissances de 1 valent 1, donc 1 ne peut pas être une base, pas plus que 0 ou un nombre négatif (la base doit être strictement positive et différente de 1).

Calculer le logarithme (formule de changement de base)

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(\log_{a} x\) \(=\) \(\ln x\) \(\div\) \(\ln a\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

③ \(\log_a x\) : logarithme cherché \(=\) ① \(\ln x\) : logarithme népérien du nombre \(\div\) ② \(\ln a\) : logarithme népérien de la base

La formule en mots

① On prend le \(\ln x\) : logarithme népérien du nombre

② on le divise par le \(\ln a\) : logarithme népérien de la base

③ et on obtient le \(\log_a x\) : logarithme cherché

Exemple simple

Le logarithme de 8 en base 2 (2 puissance combien donne 8) vaut

logarithme \(\log_2 8\) \(=\) logarithme népérien de 8 \(\ln 8\) \(\div\) logarithme népérien de 2 \(\ln 2\)

\(\log_{2} 8 = \ln 8 \div \ln 2 = 2{,}0794\cdots \div 0{,}6931\cdots = 3\)

L’idée clé

Les calculatrices et les langages de programmation proposent en général seulement le logarithme népérien \(\ln\) (base \(e\)) et le logarithme décimal \(\log_{10}\) (base 10). Un logarithme dans n’importe quelle base se calcule comme « logarithme du nombre ÷ logarithme de la base ». C’est la formule de changement de base, et cette calculatrice l’utilise en interne. Prendre le logarithme décimal au lieu du logarithme népérien donne la même réponse (\(\log_a x = \log_{10} x \div \log_{10} {a}\)). La seule règle : utiliser le même logarithme en haut et en bas.

Retrouver la base (à partir du nombre et du logarithme)

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(a\) \(=\) \(x\) \(1/y\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

③ \(a\) : base \(=\) ① \(x\) : nombre ② \(1/y\) : 1 sur le logarithme

La formule en mots

① On élève le \(x\) : nombre

② à la puissance \(1/y\) : 1 sur le logarithme (autrement dit, on prend la racine \(y\)-ième)

③ et on obtient la \(a\) : base

Exemple simple

« Le nombre qui, puissance 4, donne 81 » (la base quand le nombre vaut 81 et le logarithme 4) est

\(a\) : base \(=\) nombre 81 un quart

\(a = 81^{1/4} = \sqrt[4]{81} = 3\)

\(3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81\)

L’idée clé

« Élever à la puissance \(\frac{1}{y}\) », c’est « prendre la racine \(y\)-ième » (chercher le nombre qui, puissance \(y\), donne ce nombre). Cette formule ne marche pas quand le logarithme vaut \(y = 0\) (tout nombre puissance 0 vaut 1 : si le nombre vaut 1, toutes les bases conviennent et la base n’est pas unique ; sinon, il n’y a aucune base), ni quand le nombre vaut \(x = 1\) (la base devrait valoir 1, ce qui est interdit). Dans ces cas, cette calculatrice affiche une erreur.

Logarithme d’un produit (le logarithme d’un produit est une somme)

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(\log_{a} MN\) \(=\) \(\log_{a} M\) \(+\) \(\log_{a} N\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

③ \(\log_a MN\) : logarithme du produit \(MN\) \(=\) ① \(\log_a M\) : logarithme de \(M\) \(+\) ② \(\log_a N\) : logarithme de \(N\)

La formule en mots

① On additionne le \(\log_a M\) : logarithme de \(M\)

② et le \(\log_a N\) : logarithme de \(N\)

③ et on obtient le \(\log_a MN\) : logarithme du produit \(MN\)

Exemple simple

En base 10, le logarithme du produit de 4 et 25 (4 × 25 = 100) vaut

logarithme du produit 4 × 25 \(=\) logarithme de 4 (environ 0,6021) \(+\) logarithme de 25 (environ 1,3979)

\(\log_{10}(4 \times 25) = \log_{10} 4 + \log_{10} 25 \approx 0{,}6021 + 1{,}3979 = 2\)

\(\log_{10} 100 = 2\)

L’idée clé

Prendre le logarithme transforme une multiplication en addition. C’est la propriété la plus importante des logarithmes. Avant les calculatrices, les astronomes utilisaient des tables de logarithmes pour transformer la multiplication de très grands nombres en addition. La règle à calcul fonctionne sur le même principe.

Logarithme d’un quotient (le logarithme d’un quotient est une différence)

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(\log_{a} \dfrac{M}{N}\) \(=\) \(\log_{a} M\) \(-\) \(\log_{a} N\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

③ \(\log_a \frac{M}{N}\) : logarithme du quotient \(\frac{M}{N}\) \(=\) ① \(\log_a M\) : logarithme de \(M\) \(-\) ② \(\log_a N\) : logarithme de \(N\)

La formule en mots

① Au \(\log_a M\) : logarithme de \(M\)

② on soustrait le \(\log_a N\) : logarithme de \(N\)

③ et on obtient le \(\log_a \frac{M}{N}\) : logarithme du quotient \(\frac{M}{N}\)

Exemple simple

En base 10, le logarithme du quotient de 1000 par 10 (1000 ÷ 10 = 100) vaut

logarithme du quotient 1000 ÷ 10 \(=\) logarithme de 1000 (3) \(-\) logarithme de 10 (1)

\(\log_{10}\dfrac{1000}{10} = \log_{10} 1000 - \log_{10} 10 = 3 - 1 = 2\)

\(\log_{10} 100 = 2\)

L’idée clé

C’est la « version division » de la règle du produit. Pour la même raison que la multiplication devient une addition, la division devient une soustraction. Pour la retenir, voyez-la comme la règle des exposants \(a^{m} \div a^{n} = a^{m-n}\) redite dans le langage des logarithmes.

Logarithme d’une puissance (l’exposant passe devant)

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(\log_{a} M^{k}\) \(=\) \(k\) \(\times\) \(\log_{a} M\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

③ \(\log_a M^k\) : logarithme de la puissance \(M^k\) \(=\) ① \(k\) : exposant \(\times\) ② \(\log_a M\) : logarithme de \(M\)

La formule en mots

① On multiplie \(k\) : exposant

② par le \(\log_a M\) : logarithme de \(M\)

③ et on obtient le \(\log_a M^k\) : logarithme de la puissance \(M^k\)

Exemple simple

En base 10, le logarithme de 2 puissance 10 (\(2^{10} = 1024\)) vaut

logarithme de \(2^{10}\) \(=\) exposant 10 \(\times\) logarithme de 2 (environ 0,3010)

\(\log_{10} 2^{10} = 10 \times \log_{10} 2 \approx 10 \times 0{,}3010 = 3{,}010\)

\(\log_{10} 1024 \approx 3{,}010\)

L’idée clé

Le logarithme d’une puissance (\(k\) multiplications) devient une seule multiplication : \(k\) fois le logarithme. Dans cet exemple, \(\log_{10} 2^{10} \approx 3{,}010\) signifie que « \(2^{10}\) est de l’ordre de \(10^{3{,}010}\) », ce qui colle parfaitement avec \(2^{10} = 1024\), un nombre à 4 chiffres (la partie entière du logarithme décimal plus 1 donne le nombre de chiffres). Les questions comme « combien de chiffres a \(2^{100}\) ? » se résolvent avec cette règle.

Le logarithme \(y = \log_a x\) est le nombre qui indique « à quelle puissance élever la base \(a\) pour obtenir le nombre \(x\) ». C’est exactement l’opération inverse d’une puissance. Grâce à la formule de changement de base, un logarithme dans n’importe quelle base se calcule à partir du logarithme népérien \(\ln\) ou du logarithme décimal \(\log_{10}\).

Symboles et termes

Symboles

\(\log_a x\)	logarithme de x en base a	« Le logarithme de \(x\) en base \(a\) ». Le nombre qui indique à quelle puissance élever la base \(a\) pour obtenir le nombre \(x\). (Exemple : \(\log_2 8 = 3\))
\(a\)	a (la base)	Le nombre sur lequel le logarithme est construit, écrit en petit en bas dans \(\log_a x\). Il doit être strictement positif et différent de 1.
\(x\)	x (le nombre)	Le nombre dont on prend le logarithme. Il doit être strictement positif (l’ensemble de définition).
\(y\)	y (le logarithme)	Le résultat du logarithme. C’est l’exposant lui-même : « la base puissance \(y\) donne le nombre ».
\(\log_{10} x\)	logarithme décimal de x (log x)	Le logarithme de base 10. Il est directement lié au nombre de chiffres (\(\log_{10} 1000 = 3\)) et très utilisé en sciences et en ingénierie. En France, on l’écrit le plus souvent \(\log x\), sans la base.
\(\ln x\)	logarithme népérien de x (ln x)	Le logarithme de base \(e\) (le nombre e). C’est le plus pratique en analyse, et il est standard en mathématiques, en physique et en finance.
\(e\)	e (le nombre e)	Un nombre particulier, environ 2,71828…, dont les décimales ne s’arrêtent jamais. C’est la base du logarithme népérien. Sur cette calculatrice, entrez « e » dans le champ de la base pour l’utiliser.
\(M,\ N\)	M, N	Les nombres utilisés pour expliquer les propriétés du logarithme (produit, quotient et puissance). Tous deux sont strictement positifs.
\(\sqrt[n]{x}\)	racine n-ième de x	Le nombre qui, puissance \(n\), donne \(x\). C’est la même chose que \(x^{1/n}\) (la puissance 1 sur \(n\)). (Exemple : \(\sqrt[4]{81} = 3\))

Termes

logarithme (log)	Le nombre qui indique à quelle puissance élever la base pour obtenir un nombre donné. C’est l’opération inverse d’une puissance, étudiée en Terminale. Le symbole log est l’abréviation de logarithme.
base	Le nombre sur lequel le logarithme est construit. Dans \(\log_2 8\), la base est 2. Seuls les nombres strictement positifs et différents de 1 peuvent être une base.
argument (nombre dans le log)	Le nombre dont on prend le logarithme, parfois appelé argument. Dans \(\log_2 8\), c’est 8. Seuls les nombres strictement positifs sont acceptés.
ensemble de définition	L’ensemble des nombres dont on peut prendre le logarithme : ]0 ; +∞[. Le nombre doit être strictement positif, car toute puissance d’un nombre positif est positive : le logarithme de 0 ou d’un nombre négatif n’existe pas. C’est la première chose à vérifier pour résoudre une équation ou une inéquation avec des logarithmes.
conditions sur la base	La règle selon laquelle la base doit être strictement positive et différente de 1. Toutes les puissances de 1 valent 1, donc le logarithme ne serait pas défini, et les puissances de 0 ou d’un nombre négatif ne sont pas définies pour tous les exposants.
logarithme décimal	Le logarithme de base 10. Il est directement lié au nombre de chiffres, et la plupart des logarithmes de la vie courante (pH, décibels, magnitude des séismes) sont des logarithmes décimaux.
logarithme népérien (ln)	Le logarithme de base \(e\) (environ 2,718). Son symbole est \(\ln\). C’est le logarithme le plus pratique en analyse, utilisé pour les calculs d’intérêts et l’étude des phénomènes naturels.
nombre e (constante de Néper)	Le nombre \(e = 2{,}71828\ldots\), dont les décimales ne s’arrêtent jamais. Il apparaît naturellement dès qu’il y a une croissance continue. Comme \(\pi\), c’est un nombre irrationnel célèbre.
puissance	Le produit d’un même nombre par lui-même plusieurs fois. Comme dans \(2^3 = 2 \times 2 \times 2\), le petit nombre en haut à droite (l’exposant) indique le nombre de facteurs. Le logarithme est l’opération inverse de la puissance.
exposant	Le petit nombre en haut à droite d’une puissance. Dans \(2^3\), l’exposant est 3. Le logarithme, c’est l’exposant que l’on cherche.
formule de changement de base	La formule qui réécrit un logarithme dans n’importe quelle base comme « logarithme du nombre ÷ logarithme de la base ». Même si une calculatrice ou un programme n’a que \(\ln\) et \(\log_{10}\), elle permet de calculer un logarithme dans n’importe quelle base.
racine n-ième (racine)	Le nombre qui, puissance \(n\), donne le nombre de départ. Comme dans « le nombre qui, puissance 4, donne 81 est 3 », retrouver la base revient à calculer cette racine.

Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer

Voici ce qui aide à utiliser le calcul de cette page en le comprenant vraiment, et pas seulement en appuyant sur le bouton.
Si vous bloquez, revoir ces notions est le chemin le plus court.

Puissances et exposants (4e, 13-14 ans)	Savoir que le petit nombre en haut à droite (l’exposant) indique le nombre de facteurs, comme dans \(2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8\)
Exposants étendus (4e puis lycée, 13-18 ans)	Savoir que les exposants s’étendent à 0 et aux nombres négatifs, comme \(a^0 = 1\) et \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\) Savoir que \(a^{1/n}\) (la puissance 1 sur \(n\)) revient à prendre la racine n-ième
Racine carrée et racine n-ième (4e puis lycée, 13-18 ans)	Savoir répondre à une question de puissance à l’envers, comme « le nombre positif dont le carré vaut 9 est 3 »
L’idée d’opération inverse (école élémentaire et collège, 6-15 ans)	Voir que le logarithme défait une puissance, comme la division défait la multiplication

Calculer avec Excel

Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 d’Excel. Il fonctionne tel quel.

Tableau pour trouver le logarithme y

Nombre x	100
Base a	10
Logarithme y	=LOG(B1;B2)

Tableau pour trouver le nombre x

Base a	2
Logarithme y	10
Nombre x	=B1^B2

Tableau pour trouver la base a

Nombre x	81
Logarithme y	4
Base a	=B1^(1/B2)

Tableau pour vérifier la règle du produit

Nombre M	4
Nombre N	25
log M + log N (base 10)	=LOG(B1;10)+LOG(B2;10)
Logarithme du produit M×N (base 10)	=LOG(B1*B2;10)

Tableau pour vérifier la règle du quotient

Nombre M	1000
Nombre N	10
log M − log N (base 10)	=LOG(B1;10)-LOG(B2;10)
Logarithme du quotient M÷N (base 10)	=LOG(B1/B2;10)

Tableau pour vérifier la règle de la puissance

Nombre M	2
Exposant k	10
k × (log M) (base 10)	=B2*LOG(B1;10)
Logarithme de la puissance M^k (base 10)	=LOG(B1^B2;10)

Après le collage, les premières lignes sont vos données, et les dernières lignes (les formules en vert) affichent les résultats calculés automatiquement.
La fonction LOG d’Excel s’écrit « =LOG(nombre;base) » (sans la base, elle donne le logarithme décimal, en base 10). Le logarithme népérien (base e) s’écrit « =LN(nombre) ».
Dans le premier tableau, par exemple, B3 affiche 2 (car 10 puissance 2 vaut 100). Pour calculer un logarithme népérien, remplacez B3 du premier tableau par « =LN(B1) ».
Les tableaux 4 à 6 vérifient les propriétés du logarithme : les deux formules du bas donnent toujours la même valeur.

Calculer avec Google Sheets

Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 de Google Sheets. Il fonctionne tel quel.

Tableau pour trouver le logarithme y

Nombre x	100
Base a	10
Logarithme y	=LOG(B1;B2)

Tableau pour trouver le nombre x

Base a	2
Logarithme y	10
Nombre x	=B1^B2

Tableau pour trouver la base a

Nombre x	81
Logarithme y	4
Base a	=B1^(1/B2)

Tableau pour vérifier la règle du produit

Nombre M	4
Nombre N	25
log M + log N (base 10)	=LOG(B1;10)+LOG(B2;10)
Logarithme du produit M×N (base 10)	=LOG(B1*B2;10)

Tableau pour vérifier la règle du quotient

Nombre M	1000
Nombre N	10
log M − log N (base 10)	=LOG(B1;10)-LOG(B2;10)
Logarithme du quotient M÷N (base 10)	=LOG(B1/B2;10)

Tableau pour vérifier la règle de la puissance

Nombre M	2
Exposant k	10
k × (log M) (base 10)	=B2*LOG(B1;10)
Logarithme de la puissance M^k (base 10)	=LOG(B1^B2;10)

Google Sheets en français a les mêmes fonctions LOG et LN qu’Excel : exactement les mêmes formules fonctionnent.
Copiez tout le tableau, collez-le dans la cellule A1 et remplacez les nombres saisis par les vôtres.

Calculer avec Python

import math

x = 100   # nombre (strictement positif)
a = 10    # base (strictement positive et différente de 1 ; math.e pour le logarithme népérien)

y = math.log(x, a)   # logarithme y = log_a(x)
print(f"Logarithme de {x} en base {a} : {y}")

# Le logarithme décimal (base 10) et le logarithme népérien (base e) ont aussi leurs propres fonctions
print(f"Logarithme décimal log10({x}) = {math.log10(x)}")
print(f"Logarithme népérien ln({x}) = {math.log(x)}")

# On peut aussi calculer à l’envers
true_number = a ** y        # retrouver le nombre (la base puissance y)
base_number = x ** (1 / y)  # retrouver la base (le nombre puissance 1/y)
print(f"Nombre : {true_number}, base : {base_number}")

Fonctionne avec le seul module math de la bibliothèque standard. math.log(nombre, base) donne le logarithme (sans la base, il donne le logarithme népérien). Remplacez x et a en haut par vos propres nombres, puis exécutez.

Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)

Définition du logarithme (ce que dit \(y = \log_a x\))

y = logₐ x ⇔ x = aʸ

y = \log_{a} x \iff x = a^{y}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>y</mi>
    <mo>=</mo>
    <msub><mi>log</mi><mi>a</mi></msub>
    <mi>x</mi>
    <mo>&#x21D4;</mo>
    <mi>x</mi>
    <mo>=</mo>
    <msup><mi>a</mi><mi>y</mi></msup>
  </mrow>
</math>

y = log_a x iff x = a^y

Log[a, x]

y := log[a](x);

y = log(x)/log(a);

y = log_a(x)

Calculer le logarithme (formule de changement de base)

logₐ x = ln x ÷ ln a

\log_{a} x = \dfrac{\ln x}{\ln a}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>log</mi><mi>a</mi></msub>
    <mi>x</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>ln</mi><mo>&#x2061;</mo><mi>x</mi></mrow>
      <mrow><mi>ln</mi><mo>&#x2061;</mo><mi>a</mi></mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

log_a x = (ln x)/(ln a)

Log[x]/Log[a]

y := ln(x)/ln(a);

y = log(x)/log(a);

log_a(x) = ln(x)/ln(a)

Retrouver la base (à partir du nombre et du logarithme)

a = x^{1/y}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>a</mi>
    <mo>=</mo>
    <msup>
      <mi>x</mi>
      <mrow><mn>1</mn><mo>/</mo><mi>y</mi></mrow>
    </msup>
  </mrow>
</math>

a = x^(1/y)

x^(1/y)

a := x^(1/y);

a = x^(1/y);

a = x^(1/y)

Logarithme d’un produit (le logarithme d’un produit est une somme)

logₐ(MN) = logₐ M + logₐ N

\log_{a} MN = \log_{a} M + \log_{a} N

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
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    <msub><mi>log</mi><mi>a</mi></msub>
    <mrow><mi>M</mi><mi>N</mi></mrow>
    <mo>=</mo>
    <msub><mi>log</mi><mi>a</mi></msub>
    <mi>M</mi>
    <mo>+</mo>
    <msub><mi>log</mi><mi>a</mi></msub>
    <mi>N</mi>
  </mrow>
</math>

log_a (MN) = log_a M + log_a N

Log[a, M*n] == Log[a, M] + Log[a, n]  (* N (évaluation numérique) est un mot réservé de Mathematica, d’où n *)

log[a](M*N) = log[a](M) + log[a](N);

log(M*N)/log(a) == log(M)/log(a) + log(N)/log(a)

log_a(MN) = log_a(M) + log_a(N)

Logarithme d’un quotient (le logarithme d’un quotient est une différence)

logₐ(M ÷ N) = logₐ M − logₐ N

\log_{a} \dfrac{M}{N} = \log_{a} M - \log_{a} N

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  <mrow>
    <msub><mi>log</mi><mi>a</mi></msub>
    <mfrac><mi>M</mi><mi>N</mi></mfrac>
    <mo>=</mo>
    <msub><mi>log</mi><mi>a</mi></msub>
    <mi>M</mi>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <msub><mi>log</mi><mi>a</mi></msub>
    <mi>N</mi>
  </mrow>
</math>

log_a (M/N) = log_a M - log_a N

Log[a, M/n] == Log[a, M] - Log[a, n]  (* N (évaluation numérique) est un mot réservé de Mathematica, d’où n *)

log[a](M/N) = log[a](M) - log[a](N);

log(M/N)/log(a) == log(M)/log(a) - log(N)/log(a)

log_a(M/N) = log_a(M) - log_a(N)

Logarithme d’une puissance (l’exposant passe devant)

logₐ(Mᵏ) = k logₐ M

\log_{a} M^{k} = k \log_{a} M

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  <mrow>
    <msub><mi>log</mi><mi>a</mi></msub>
    <msup><mi>M</mi><mi>k</mi></msup>
    <mo>=</mo>
    <mi>k</mi>
    <msub><mi>log</mi><mi>a</mi></msub>
    <mi>M</mi>
  </mrow>
</math>

log_a (M^k) = k log_a M

Log[a, M^k] == k*Log[a, M]

log[a](M^k) = k*log[a](M);

log(M^k)/log(a) == k*log(M)/log(a)

log_a(M^k) = k log_a(M)

Faire faire le calcul par ChatGPT

Tu es un assistant de calcul sur les logarithmes. Fais les calculs suivants en exécutant réellement du code Python, et appuie ta réponse uniquement sur les nombres obtenus à l’exécution (ne réponds pas de tête ni au jugé).

Calcule chacune des valeurs suivantes :
1. Le logarithme de 100 en base 10 (log10(100))
2. Le logarithme népérien de 7 (ln 7)
3. Le nombre dont le logarithme en base 2 vaut 10 (2 puissance 10)
4. Le nombre qui, puissance 4, donne 81 (la base quand le nombre vaut 81 et le logarithme 4)

Indique les formules utilisées et les nombres obtenus à l’exécution.

Mode d'emploi

1

Saisissez vos nombres

Tapez les nombres à calculer dans les champs de saisie
2

Calculez

Appuyez sur le bouton « Calculer »
3

Lisez le résultat

Le résultat s’affiche aussitôt. La même page explique aussi le raisonnement et la formule