Résoudre un triangle (côtés, angles, aire, cercles inscrit et circonscrit)

Entrez les trois valeurs que vous connaissez parmi les côtés a, b, c et les angles A, B, C (en degrés), dont au moins un côté. Le côté a est en face de l’angle A, le côté b en face de l’angle B et le côté c en face de l’angle C.

Côté a (opposé à l’angle A)

Angle A (en degrés)

Côté b (opposé à l’angle B)

Angle B (en degrés)

Côté c (opposé à l’angle C)

Angle C (en degrés)

Remplissez exactement trois champs, dont au moins un côté. Entrez les angles en degrés (°), par exemple 90 pour un angle droit. Laissez les autres champs vides.

Résultat et figure

Saisissez les trois valeurs que vous connaissez parmi les trois côtés et les trois angles (au moins un côté) dans les champs à gauche et appuyez sur « Calculer ». Le résultat s’affiche ici.

Table des matières

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Ce que vous pouvez faire sur cette page
À quoi sert ce calcul ?
Mode d'emploi
Formules et figures
Symboles et termes
- Symboles
- Termes
Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
Calculer avec Excel
Calculer avec Google Sheets
Calculer avec Python
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
Faire faire le calcul par ChatGPT
Les atouts de DataChef
Fonctions connexes
Liste des calculatrices NumberChef

Ce que vous pouvez faire sur cette page

Entrez trois valeurs que vous connaissez parmi les côtés \(a, b, c\) et les angles \(A, B, C\) (au moins un côté) : vous obtenez tous les autres côtés et angles
Calcule aussi d’un coup l’aire, le périmètre, le demi-périmètre, les trois hauteurs, les trois médianes et les rayons des cercles inscrit et circonscrit
Indique automatiquement la nature du triangle : équilatéral, isocèle ou quelconque, et acutangle, rectangle ou obtusangle
Quand deux côtés et l’angle opposé à l’un d’eux permettent deux triangles différents, les deux solutions s’affichent (le célèbre « cas ambigu »)
Une explication simple du théorème d’Al-Kashi, de la loi des sinus et de la formule de Héron, et des formules à copier-coller pour Excel, Google Sheets et Python se trouvent aussi sur cette page

Côtés et angles vont par paires de même lettre : le côté a est en face de l’angle A (c’est son côté opposé), et ainsi de suite, avec des minuscules pour les côtés et des majuscules pour les angles. Entrez les angles en degrés (°).

À quoi sert ce calcul ?

Topographie et cartographie (mesurer la distance jusqu’à un point inaccessible)

On peut calculer la distance jusqu’à un repère sur l’autre rive d’une rivière sans tendre de mètre au-dessus de l’eau. On trace une base de 100 m de son côté et on mesure l’angle vers le repère depuis chaque extrémité : on obtient un triangle dont on connaît un côté (100 m) et deux angles. Si les angles valent 50° et 60°, le troisième vaut 70°, et la loi des sinus donne la distance jusqu’au repère : \(100 \times \sin 50^\circ \div \sin 70^\circ \approx 81{,}5\) m.
Les stations totales des géomètres, et la triangulation qui a permis de dresser les cartes, ne font que répéter ce calcul.

Mesurer la surface d’un terrain ou d’un champ triangulaire (formule de Héron)

Pour un terrain triangulaire, un mètre ruban suffit pour trouver la surface, sans instrument pour mesurer les angles. Si les trois côtés mesurent 30 m, 40 m et 50 m, le demi-périmètre vaut 60 m et la surface \(\sqrt{60 \times 30 \times 20 \times 10} = 600\) m².
« Tout le monde peut mesurer une longueur avec précision » : c’est pourquoi la formule de Héron est appréciée en pratique, et elle reste utile pour vérifier grossièrement la surface d’une parcelle agricole ou d’un terrain à bâtir.

Construction et bricolage (calculer d’abord la longueur et l’angle des pièces en biais)

Les bâtiments sont pleins de pièces en biais : pans de toit, escaliers, contreventements… Pour un toit monopente de 3 m à l’horizontale et 2 m de haut, la longueur du pan vaut \(\sqrt{3^2 + 2^2} \approx 3{,}61\) m (avec un angle droit, le terme correctif du théorème d’Al-Kashi disparaît : il reste le théorème de Pythagore).
En calculant longueurs et angles avant de couper le bois, on gaspille moins de matériau et on refait moins de travail sur le chantier.

Bras robotisés et conception mécanique (deux segments et l’angle de l’articulation)

Un bras robotisé d’usine est lui-même un triangle : deux segments et l’angle de l’articulation entre eux. Avec des segments de 50 cm et 30 cm et une articulation ouverte à 120°, le théorème d’Al-Kashi donne la distance entre la base et la main : \(\sqrt{50^2 + 30^2 - 2 \times 50 \times 30 \times \cos 120^\circ} = 70\) cm.
Retrouver les angles des articulations pour amener la main à une position voulue (la cinématique inverse) utilise aussi ce théorème réarrangé comme brique de base.

Astronomie (mesurer la distance des étoiles avec des triangles)

La distance d’une étoile se mesure avec un triangle très long et très fin, dont la base est le trajet de la Terre autour du Soleil en six mois (c’est la parallaxe annuelle). Trouver la distance à partir de la base et du petit décalage d’angle, c’est la même idée que le calcul « le reste à partir d’un côté et d’angles » de cette page.
« Qui sait résoudre un triangle sait mesurer la distance d’un lieu où il ne peut pas aller. » Cela marche de l’arpentage jusqu’à l’espace : c’est l’une des applications les plus puissantes de la géométrie.

Formules et figures

Somme des angles d’un triangle

Figure

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(A\) \(+\) \(B\) \(+\) \(C\) \(=\) \(180^\circ\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

① \(A\) : angle A \(+\) ② \(B\) : angle B \(+\) ③ \(C\) : angle C \(=\) ④ \(180^\circ\) (toujours)

La formule en mots

① On additionne l’angle \(A\)

② plus l’angle \(B\)

③ plus l’angle \(C\)

④ et on obtient toujours \(180^\circ\)

Exemple simple

Dans un triangle qui a deux angles de 50° et 60°, le troisième angle vaut

troisième angle \(C\) \(=\) \(180^\circ\) \(-\) angle \(A\) (50°) \(-\) angle \(B\) (60°)

\(180^\circ - 50^\circ - 60^\circ = 70^\circ\)

L’idée clé

Quelle que soit sa forme, les trois angles d’un triangle font toujours 180° au total. Dès qu’on connaît deux angles, le troisième s’obtient par une soustraction. Avec les données « un côté et deux angles », ce calculateur commence par cette formule pour trouver le troisième angle.

Théorème d’Al-Kashi (troisième côté à partir de deux côtés et de l’angle compris)

Figure

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(c^{2}\) \(=\) \(a^{2}\) \(+\) \(b^{2}\) \(-\) \(2ab\cos C\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

④ \(c^{2}\) : carré du troisième côté \(c\) \(=\) ① \(a^{2}\) : carré du côté connu \(a\) \(+\) ② \(b^{2}\) : carré du côté connu \(b\) \(-\) ③ \(2ab\cos C\) : terme correctif

La formule en mots

① On prend le carré du côté connu \(a\)

② on ajoute le carré du côté connu \(b\)

③ on retire le terme correctif \(2ab\cos C\), fixé par l’ouverture de l’angle compris

④ et on obtient le carré du troisième côté \(c\) (on prend la racine carrée à la fin)

Exemple simple

Avec deux côtés de 5 et 7 et un angle compris de 60° (cos 60° = 0,5), le troisième côté vaut

carré du troisième côté \(c\) \(=\) carré du côté \(a\) (5²) \(+\) carré du côté \(b\) (7²) \(-\) terme correctif (2×5×7×0,5)

\(c^{2} = 5^{2} + 7^{2} - 2 \times 5 \times 7 \times \cos 60^\circ = 25 + 49 - 35 = 39\)

\(c = \sqrt{39} \approx 6{,}245\)

L’idée clé

\(\cos C\) (le cosinus) exprime l’ouverture de l’angle compris par un nombre entre −1 et 1. Quand l’angle vaut exactement 90°, \(\cos 90^\circ = 0\), le terme correctif disparaît et on retrouve le théorème de Pythagore \(c^2 = a^2 + b^2\). Autrement dit, le théorème d’Al-Kashi (aussi appelé loi des cosinus) est le théorème de Pythagore étendu aux triangles sans angle droit. Quand on connaît les trois côtés et qu’on cherche un angle, on utilise la forme réarrangée \(A = \arccos\bigl(\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\bigr)\) (c’est ce que fait ce calculateur avec les données « trois côtés »).

Loi des sinus (le pont entre les côtés et les angles opposés)

Figure

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(\dfrac{a}{\sin A}\) \(=\) \(\dfrac{b}{\sin B}\) \(=\) \(\dfrac{c}{\sin C}\) \(=\) \(2R\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

① \(\dfrac{a}{\sin A}\) : côté \(a\) ÷ sinus de son angle opposé \(=\) ② \(\dfrac{b}{\sin B}\) : côté \(b\) ÷ sinus de son angle opposé \(=\) ③ \(\dfrac{c}{\sin C}\) : côté \(c\) ÷ sinus de son angle opposé \(=\) ④ \(2R\) : diamètre du cercle circonscrit

La formule en mots

① Le côté \(a\) divisé par le sinus de son angle opposé \(\dfrac{a}{\sin A}\)

② le côté \(b\) divisé par le sinus de son angle opposé \(\dfrac{b}{\sin B}\)

③ et le côté \(c\) divisé par le sinus de son angle opposé \(\dfrac{c}{\sin C}\) ont tous la même valeur,

④ égale au diamètre du cercle circonscrit \(2R\)

Exemple simple

Avec le côté a = 6, son angle opposé A = 45° et l’angle B = 60°, le côté b vaut

côté \(b\) \(=\) côté \(a\) (6) \(\times\) sinus de l’angle opposé \(\sin 60^\circ\) \(\div\) sinus de l’angle opposé \(\sin 45^\circ\)

\(b = \dfrac{6 \times \sin 60^\circ}{\sin 45^\circ} \approx 7{,}348\)

L’idée clé

« Côté ÷ sinus de son angle opposé » donne la même valeur pour les trois paires. Si l’on connaît une paire (un côté et son angle opposé), elle sert de pont pour trouver les autres côtés et angles l’un après l’autre. Avec les données « un côté et deux angles », ce calculateur utilise cette formule. De plus, cette valeur commune est égale au diamètre \(2R\) du cercle qui passe par les trois sommets du triangle (le cercle circonscrit). La loi des sinus complète inclut aussi ce fait.

Aire (deux côtés et l’angle compris)

Figure

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(S\) \(=\) \(\dfrac{1}{2}\) \(\times\) \(a\) \(\times\) \(b\) \(\times\) \(\sin C\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

⑤ \(S\) : aire \(=\) ④ un demi \(\times\) ① \(a\) : côté connu \(\times\) ② \(b\) : côté connu \(\times\) ③ \(\sin C\) : sinus de l’angle compris

La formule en mots

① On multiplie le côté connu \(a\)

② par le côté connu \(b\)

③ et par le sinus de l’angle compris \(\sin C\)

④ puis on en prend la moitié

⑤ et on obtient l’ aire \(S\)

Exemple simple

L’aire d’un triangle qui a deux côtés de 8 et 5 et un angle compris de 30° (sin 30° = 0,5) vaut

aire \(S\) \(=\) un demi \(\times\) côté \(a\) (8) \(\times\) côté \(b\) (5) \(\times\) sinus de l’angle compris (0,5)

\(S = \dfrac{1}{2} \times 8 \times 5 \times \sin 30^\circ = \dfrac{1}{2} \times 8 \times 5 \times 0{,}5 = 10\)

L’idée clé

C’est la formule bien connue « base × hauteur ÷ 2 », où la hauteur est remplacée par \(b\sin C\) (la hauteur calculée à partir du côté b et de l’angle compris). Quand l’angle compris vaut 90°, \(\sin 90^\circ = 1\) : la hauteur est le côté b lui-même, et l’aire est la plus grande possible.

Formule de Héron (aire à partir des trois côtés)

Figure

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(s\) \(=\) \(\dfrac{a+b+c}{2}\)

\(S\) \(=\) \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

② \(s\) : demi-périmètre \(=\) ① somme des trois côtés ÷ 2

④ \(S\) : aire \(=\) ③ racine carrée du produit de \(s\) et des trois « \(s\) − côté »

La formule en mots

① On additionne les trois côtés \(a, b, c\) et on divise par 2. \(\dfrac{a+b+c}{2}\)

② On appelle ce nombre le demi-périmètre \(s\)

③ Ensuite, on multiplie \(s\) par les trois nombres obtenus en retirant chaque côté de \(s\) (\(s-a\), \(s-b\), \(s-c\)), et on prend la racine carrée

④ et le résultat est l’ aire \(S\)

Exemple simple

L’aire d’un triangle de côtés 3, 4 et 5 vaut

demi-périmètre \(s\) \(=\) somme des trois côtés (3+4+5) ÷ 2

\(s = \dfrac{3+4+5}{2} = 6\)

\(S = \sqrt{6 \times (6-3) \times (6-4) \times (6-5)} = \sqrt{6 \times 3 \times 2 \times 1} = \sqrt{36} = 6\)

L’idée clé

La force de la formule de Héron, c’est de donner l’aire à partir des trois longueurs seulement, sans mesurer d’angle ni de hauteur. Un mètre ruban suffit pour mesurer trois côtés : c’est pourquoi on s’en sert depuis longtemps, par exemple pour la surface d’un terrain triangulaire. L’astuce est de calculer d’abord le demi-périmètre \(s\) (la moitié du périmètre).

Rayon du cercle inscrit

Figure

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

\(r\) \(=\) \(S\) \(\div\) \(s\)

③ \(r\) : rayon du cercle inscrit \(=\) ① \(S\) : aire \(\div\) ② \(s\) : demi-périmètre

La formule en mots

① On prend l’ aire \(S\)

② on la divise par le demi-périmètre \(s\) (la moitié du périmètre)

③ et on obtient le rayon du cercle inscrit \(r\)

Exemple simple

Pour le triangle de côtés 3, 4 et 5 (aire 6, demi-périmètre 6), le rayon du cercle inscrit vaut

rayon du cercle inscrit \(r\) \(=\) aire (6) \(\div\) demi-périmètre (6)

\(r = 6 \div 6 = 1\)

L’idée clé

Le cercle inscrit est le cercle qui touche les trois côtés du triangle de l’intérieur. Si l’on découpe le triangle en trois petits triangles à partir du centre du cercle inscrit, chacun a « base = un côté, hauteur = r » : l’aire totale vaut donc \(S = \frac{1}{2}r(a+b+c) = rs\). En isolant \(r\), on obtient \(r = S \div s\).

Rayon du cercle circonscrit

Figure

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

\(R\) \(=\) \(abc\) \(\div\) \(4S\)

③ \(R\) : rayon du cercle circonscrit \(=\) ① \(abc\) : produit des trois côtés \(\div\) ② \(4S\) : quatre fois l’aire

La formule en mots

① On prend le produit des trois côtés \(abc\)

② on le divise par quatre fois l’aire \(S\)

③ et on obtient le rayon du cercle circonscrit \(R\)

Exemple simple

Pour le triangle de côtés 3, 4 et 5 (aire 6), le rayon du cercle circonscrit vaut

rayon du cercle circonscrit \(R\) \(=\) produit des trois côtés (3×4×5) \(\div\) quatre fois l’aire (4×6)

\(R = \dfrac{3 \times 4 \times 5}{4 \times 6} = \dfrac{60}{24} = 2{,}5\)

L’idée clé

Le cercle circonscrit est le cercle qui passe par les trois sommets du triangle. Cette formule vient de la combinaison de la loi des sinus \(\frac{a}{\sin A} = 2R\) et de la formule d’aire \(S = \frac{1}{2}bc\sin A\). Le triangle 3-4-5 de l’exemple est un triangle rectangle : le centre de son cercle circonscrit est exactement le milieu de l’hypoténuse, et \(R\) vaut la moitié de l’hypoténuse (\(5 \div 2 = 2{,}5\)). Le résultat concorde parfaitement.

Un triangle est déterminé par trois données (dont au moins un côté). Pour trois côtés, on utilise le théorème d’Al-Kashi résolu pour l’angle. Pour deux côtés et l’angle compris, le théorème d’Al-Kashi. Pour un côté et deux angles, la somme des angles et la loi des sinus. Ces trois outils donnent tous les autres côtés et angles, puis l’aire, le cercle inscrit et le cercle circonscrit s’en déduisent l’un après l’autre.

Symboles et termes

Symboles

\(a, b, c\)	a, b, c (minuscules)	Les longueurs des trois côtés du triangle. Par convention, chaque côté porte la minuscule de la lettre de l’angle qui lui fait face (le côté a est opposé à l’angle A).
\(A, B, C\)	A, B, C (majuscules)	Les trois angles du triangle (en degrés). Ils font toujours 180° au total.
\(S\)	S	L’aire du triangle. (Les manuels français la notent souvent \(\mathcal{A}\).)
\(s\)	s (minuscule)	Le demi-périmètre, la moitié du périmètre (\(a+b+c\)). Il sert dans la formule de Héron et dans la formule du rayon du cercle inscrit.
\(\sin\theta\)	sinus thêta	L’un des rapports trigonométriques. Dans un triangle rectangle, c’est le côté opposé rapporté à l’hypoténuse ; il sert à obtenir la partie verticale à partir d’un angle. \(\sin 30^\circ = 0{,}5\) et \(\sin 90^\circ = 1\).
\(\cos\theta\)	cosinus thêta	L’un des rapports trigonométriques. Dans un triangle rectangle, c’est le côté adjacent rapporté à l’hypoténuse. \(\cos 60^\circ = 0{,}5\) et \(\cos 90^\circ = 0\). C’est le cosinus du théorème d’Al-Kashi (loi des cosinus).
\(r\)	r (minuscule)	Le rayon du cercle inscrit (le cercle qui touche les trois côtés de l’intérieur).
\(R\)	R (majuscule)	Le rayon du cercle circonscrit (le cercle qui passe par les trois sommets).

Termes

côté opposé	Le côté situé en face d’un angle s’appelle le côté opposé à cet angle. Sur cette page, le côté a est opposé à l’angle A, le côté b à l’angle B et le côté c à l’angle C.
angle opposé	L’angle situé en face d’un côté s’appelle l’angle opposé à ce côté. Sur cette page, l’angle A est opposé au côté a, l’angle B au côté b et l’angle C au côté c.
somme des angles	La propriété selon laquelle les trois angles d’un triangle font toujours 180° au total. Si l’on connaît deux angles, le troisième s’obtient par soustraction. On l’étudie en 5e (12-13 ans).
inégalité triangulaire	La condition pour que trois longueurs forment un triangle - la somme de deux côtés quelconques doit être plus grande que le troisième. Par exemple, 1, 2 et 4 ne forment pas un triangle, car 1 + 2 = 3 est plus petit que 4.
théorème d’Al-Kashi	La relation \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\), qui donne le troisième côté à partir de deux côtés et de l’angle compris (appelée aussi loi des cosinus). Elle étend le théorème de Pythagore aux triangles sans angle droit et, réarrangée, donne un angle à partir des trois côtés. On l’étudie en 1re (spécialité maths, 16-17 ans).
loi des sinus	La relation selon laquelle « côté ÷ sinus de son angle opposé » est le même pour les trois paires et égal au diamètre \(2R\) du cercle circonscrit. Dès qu’on connaît un côté et son angle opposé, elle fait le pont vers les autres côtés et angles. On la rencontre au lycée (1re, spécialité maths).
formule de Héron	Une formule qui donne l’aire à partir des trois longueurs seulement, sans aucun angle. Elle porte le nom de Héron d’Alexandrie, un mathématicien grec de l’Antiquité.
demi-périmètre	La moitié du périmètre d’un triangle. Il apparaît dans la formule de Héron et dans la formule du rayon du cercle inscrit.
cercle inscrit	Le cercle qui touche les trois côtés du triangle de l’intérieur. Son centre est le point de concours des trois bissectrices.
cercle circonscrit	Le cercle qui passe par les trois sommets du triangle. Son centre est le point de concours des trois médiatrices.
médiane	Le segment qui relie un sommet du triangle au milieu du côté opposé. Les trois médianes se coupent en un point (le centre de gravité).
triangle acutangle	Un triangle dont le plus grand angle mesure moins de 90°. Selon leurs angles, les triangles sont acutangles, rectangles ou obtusangles.
triangle rectangle	Un triangle dont le plus grand angle mesure exactement 90°. Selon leurs angles, les triangles sont acutangles, rectangles ou obtusangles.
triangle obtusangle	Un triangle dont le plus grand angle mesure plus de 90°. Selon leurs angles, les triangles sont acutangles, rectangles ou obtusangles.

Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer

Voici ce qu’il est utile de savoir pour utiliser les calculs de cette page en comprenant ce qu’ils font, et pas seulement en appuyant sur le bouton.
La somme des angles et la formule de Héron ne demandent que le niveau collège. Le théorème d’Al-Kashi et la loi des sinus relèvent du lycée (1re, spécialité maths).

Les angles d’un triangle (CM2-5e, 10-13 ans)	Savoir que les angles d’un triangle font 180° au total Connaître les propriétés des triangles isocèles et équilatéraux (les angles opposés à des côtés égaux sont égaux)
La racine carrée (4e-3e, 13-15 ans)	Savoir que la racine carrée est le nombre dont le carré redonne le nombre de départ, comme \(\sqrt{36} = 6\) Savoir estimer une valeur comme \(\sqrt{39}\), par exemple entre 6 et 7
Le théorème de Pythagore (4e, 13-14 ans)	Savoir que dans un triangle rectangle, \(c^2 = a^2 + b^2\) (le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés) Voir le théorème d’Al-Kashi comme ce théorème étendu aux triangles sans angle droit
La trigonométrie dans le triangle rectangle (3e, 14-15 ans)	Savoir que le sinus et le cosinus sont des rapports de côtés d’un triangle rectangle Savoir utiliser les valeurs des angles usuels, comme \(\sin 30^\circ = 0{,}5\), \(\cos 60^\circ = 0{,}5\) et \(\cos 90^\circ = 0\)
La loi des sinus et le théorème d’Al-Kashi (1re, 16-17 ans)	Savoir choisir le théorème selon les trois données connues (trois côtés, deux côtés et l’angle compris, un côté et deux angles…) Savoir qu’avec deux côtés et l’angle opposé à l’un d’eux (le cas ambigu), deux triangles peuvent convenir

Calculer avec Excel

Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 d’Excel. Il fonctionne tel quel.

Tableau pour trouver le troisième angle (somme des angles)

Angle A (degrés)	50
Angle B (degrés)	60
Troisième angle C (degrés)	=180-B1-B2

Tableau pour trouver le troisième côté avec le théorème d’Al-Kashi

Côté a	5
Côté b	7
Angle compris C (degrés)	60
Troisième côté c	=RACINE(B1^2+B2^2-2B1B2*COS(RADIANS(B3)))

Tableau pour trouver un autre côté avec la loi des sinus

Côté a	6
Son angle opposé A (degrés)	45
Angle B (degrés)	60
Côté b	=B1*SIN(RADIANS(B3))/SIN(RADIANS(B2))

Tableau pour trouver l’aire (deux côtés et l’angle compris)

Côté a	8
Côté b	5
Angle compris C (degrés)	30
Aire S	=B1B2SIN(RADIANS(B3))/2

Tableau pour trouver l’aire (formule de Héron)

Côté a	3
Côté b	4
Côté c	5
Demi-périmètre s	=(B1+B2+B3)/2
Aire S	=RACINE(B4(B4-B1)(B4-B2)*(B4-B3))

Tableau pour trouver le rayon du cercle inscrit

Aire S	6
Demi-périmètre s	6
Rayon du cercle inscrit r	=B1/B2

Tableau pour trouver le rayon du cercle circonscrit

Côté a	3
Côté b	4
Côté c	5
Aire S	6
Rayon du cercle circonscrit R	=B1B2B3/(4*B4)

Une fois collé, les lignes du haut sont vos données et la formule de la dernière ligne se calcule automatiquement.
Les fonctions COS et SIN d’Excel travaillent en radians : la fonction RADIANS est donc intercalée pour convertir les degrés. RACINE donne la racine carrée.
Par exemple, dans le deuxième tableau, B4 affiche environ 6,245. Il suffit de remplacer les nombres par vos propres valeurs.

Calculer avec Google Sheets

Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 de Google Sheets. Il fonctionne tel quel.

Tableau pour trouver le troisième angle (somme des angles)

Angle A (degrés)	50
Angle B (degrés)	60
Troisième angle C (degrés)	=180-B1-B2

Tableau pour trouver le troisième côté avec le théorème d’Al-Kashi

Côté a	5
Côté b	7
Angle compris C (degrés)	60
Troisième côté c	=RACINE(B1^2+B2^2-2B1B2*COS(RADIANS(B3)))

Tableau pour trouver un autre côté avec la loi des sinus

Côté a	6
Son angle opposé A (degrés)	45
Angle B (degrés)	60
Côté b	=B1*SIN(RADIANS(B3))/SIN(RADIANS(B2))

Tableau pour trouver l’aire (deux côtés et l’angle compris)

Côté a	8
Côté b	5
Angle compris C (degrés)	30
Aire S	=B1B2SIN(RADIANS(B3))/2

Tableau pour trouver l’aire (formule de Héron)

Côté a	3
Côté b	4
Côté c	5
Demi-périmètre s	=(B1+B2+B3)/2
Aire S	=RACINE(B4(B4-B1)(B4-B2)*(B4-B3))

Tableau pour trouver le rayon du cercle inscrit

Aire S	6
Demi-périmètre s	6
Rayon du cercle inscrit r	=B1/B2

Tableau pour trouver le rayon du cercle circonscrit

Côté a	3
Côté b	4
Côté c	5
Aire S	6
Rayon du cercle circonscrit R	=B1B2B3/(4*B4)

Les mêmes formules qu’Excel fonctionnent telles quelles (RADIANS, SIN, COS et RACINE existent aussi dans Google Sheets).
Copiez tout le tableau, collez-le dans la cellule A1 et remplacez les nombres par vos propres valeurs.

Calculer avec Python

import math

side_a = 3.0   # côté a
side_b = 4.0   # côté b
side_c = 5.0   # côté c (exemple où les trois côtés sont connus)

# Les trois angles avec le théorème d’Al-Kashi résolu pour l’angle (en degrés)
angle_a = math.degrees(math.acos((side_b**2 + side_c**2 - side_a**2) / (2 * side_b * side_c)))
angle_b = math.degrees(math.acos((side_a**2 + side_c**2 - side_b**2) / (2 * side_a * side_c)))
angle_c = 180 - angle_a - angle_b

# Aire avec la formule de Héron
half_perimeter = (side_a + side_b + side_c) / 2
area = math.sqrt(half_perimeter * (half_perimeter - side_a)
                 * (half_perimeter - side_b) * (half_perimeter - side_c))

inradius = area / half_perimeter                            # rayon du cercle inscrit
circumradius = side_a * side_b * side_c / (4 * area)        # rayon du cercle circonscrit

print(f"Angle A = {angle_a}°, angle B = {angle_b}°, angle C = {angle_c}°")
print(f"Aire = {area}")
print(f"Rayon du cercle inscrit = {inradius}, rayon du cercle circonscrit = {circumradius}")

Fonctionne avec la seule bibliothèque standard math. math.acos est l’arc cosinus (le cosinus à l’envers), et math.degrees convertit les radians en degrés. Remplacez les trois côtés du début par vos propres valeurs, puis exécutez.

Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)

Somme des angles d’un triangle

A + B + C = 180°

A + B + C = 180^\circ

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>A</mi><mo>+</mo><mi>B</mi><mo>+</mo><mi>C</mi>
    <mo>=</mo>
    <mn>180</mn><mo>&#xB0;</mo>
  </mrow>
</math>

A + B + C = 180^@

angleA + angleB + angleC == 180

A + B + C = 180;

C = 180 - A - B;

A + B + C = 180°

Théorème d’Al-Kashi (troisième côté à partir de deux côtés et de l’angle compris)

c² = a² + b² − 2ab·cos C

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab\cos C

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    <msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup>
    <mo>=</mo>
    <msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
    <mo>+</mo>
    <msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mn>2</mn><mi>a</mi><mi>b</mi>
    <mi>cos</mi><mo>&#x2061;</mo><mi>C</mi>
  </mrow>
</math>

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos C

cSide = Sqrt[a^2 + b^2 - 2 a b Cos[angleC Degree]]

c := sqrt(a^2 + b^2 - 2*a*b*cos(C*Pi/180));

c = sqrt(a^2 + b^2 - 2*a*b*cosd(C));

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos(C)

Loi des sinus (le pont entre les côtés et les angles opposés)

a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R

\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R

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  <mrow>
    <mfrac><mi>a</mi><mrow><mi>sin</mi><mo>&#x2061;</mo><mi>A</mi></mrow></mfrac>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><mi>b</mi><mrow><mi>sin</mi><mo>&#x2061;</mo><mi>B</mi></mrow></mfrac>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><mi>c</mi><mrow><mi>sin</mi><mo>&#x2061;</mo><mi>C</mi></mrow></mfrac>
    <mo>=</mo>
    <mn>2</mn><mi>R</mi>
  </mrow>
</math>

a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R

bSide = a Sin[angleB Degree]/Sin[angleA Degree]

b := a*sin(B*Pi/180)/sin(A*Pi/180);

b = a*sind(B)/sind(A);

a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) = 2R

Aire (deux côtés et l’angle compris)

S = (1/2)·ab·sin C

S = \frac{1}{2}ab\sin C

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  <mrow>
    <mi>S</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac>
    <mi>a</mi><mi>b</mi>
    <mi>sin</mi><mo>&#x2061;</mo><mi>C</mi>
  </mrow>
</math>

S = 1/2 ab sin C

area = (1/2) a b Sin[angleC Degree]

S := (1/2)*a*b*sin(C*Pi/180);

S = a*b*sind(C)/2;

S = (1/2)ab sin(C)

Formule de Héron (aire à partir des trois côtés)

s = (a+b+c)/2,  S = √(s(s−a)(s−b)(s−c))

s = \frac{a+b+c}{2}, \quad S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

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  <mrow>
    <mi>S</mi>
    <mo>=</mo>
    <msqrt>
      <mi>s</mi>
      <mo>(</mo><mi>s</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>a</mi><mo>)</mo>
      <mo>(</mo><mi>s</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>b</mi><mo>)</mo>
      <mo>(</mo><mi>s</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>c</mi><mo>)</mo>
    </msqrt>
  </mrow>
</math>

S = sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))

area = Sqrt[s (s - a) (s - b) (s - c)] /. s -> (a + b + c)/2

s := (a+b+c)/2; S := sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c));

s = (a+b+c)/2; S = sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c));

S = √(s(s-a)(s-b)(s-c))

Rayon du cercle inscrit

r = S/s

r = \dfrac{S}{s}

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  <mrow>
    <mi>r</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><mi>S</mi><mi>s</mi></mfrac>
  </mrow>
</math>

r = S/s

inradius = area/s

r := S/s;

r = S/s;

r = S/s

Rayon du cercle circonscrit

R = abc/(4S)

R = \dfrac{abc}{4S}

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  <mrow>
    <mi>R</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>a</mi><mi>b</mi><mi>c</mi></mrow>
      <mrow><mn>4</mn><mi>S</mi></mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

R = (abc)/(4S)

circumradius = a b c/(4 area)

R := a*b*c/(4*S);

R = a*b*c/(4*S);

R = abc/(4S)

Faire faire le calcul par ChatGPT

Tu es un assistant de calcul pour les triangles. Fais le calcul suivant en exécutant réellement du code Python, et appuie ta réponse uniquement sur les nombres obtenus à l’exécution (ne réponds pas de tête ni par estimation).

Dans un triangle, le côté a = 7, le côté b = 10 et l’angle A = 40° (l’angle A est l’angle opposé au côté a).
1. Avec la loi des sinus, trouve l’angle B. Attention : avec ces données, deux triangles peuvent convenir (cas ambigu). S’il y a deux solutions, donne les deux.
2. Pour chaque solution, trouve l’angle C restant, le côté c et l’aire.

Présente dans un tableau les formules utilisées et les nombres obtenus à l’exécution.

Mode d'emploi

1

Saisissez vos nombres

Tapez les nombres à calculer dans les champs de saisie
2

Calculez

Appuyez sur le bouton « Calculer »
3

Lisez le résultat

Le résultat s’affiche aussitôt. La même page explique aussi le raisonnement et la formule