Distance d’un point à une droite (projeté orthogonal et droites parallèles)

Choisissez la forme de l’équation de la droite (équation cartésienne ou équation réduite), puis entrez les coefficients et les coordonnées du point. L’équation ci-dessous est liée aux champs de saisie : vous pouvez aussi modifier directement les nombres dans l’équation.

Calculer

Forme de l’équation

Coefficient de x, a

Coefficient de y, b

Constante c

Constante de la 2e droite, c₂

Coefficient directeur m

Ordonnée à l’origine k

Ordonnée à l’origine de la 2e droite, k₂

Abscisse de P, x₀

Ordonnée de P, y₀

Les nombres décimaux (2,5), négatifs et les fractions comme 3/4 sont acceptés. Un coefficient de x ou de y laissé vide vaut 1 (x signifie 1x). Une constante ou une coordonnée laissée vide vaut 0.

Résultat et figure

Saisissez les coefficients de la droite et les coordonnées du point dans les champs à gauche, puis appuyez sur « Calculer ». Le résultat et une figure s’affichent ici.

Table des matières

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Ce que vous pouvez faire sur cette page
À quoi sert ce calcul ?
Mode d'emploi
Formules et figures
Symboles et termes
- Symboles
- Termes
Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
Calculer avec Excel
Calculer avec Google Sheets
Calculer avec Python
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
Faire faire le calcul par ChatGPT
Les atouts de DataChef
Fonctions connexes
Liste des calculatrices NumberChef

Ce que vous pouvez faire sur cette page

Entrez les coefficients et les coordonnées : la distance du point \(\mathrm{P}(x_0\,;\,y_0)\) à la droite \(ax + by + c = 0\) s’affiche tout de suite (la longueur de la perpendiculaire menée du point à la droite, c’est-à-dire la plus courte distance)
La réponse est donnée à la fois en valeur exacte sans racine au dénominateur, comme \(\dfrac{7\sqrt{5}}{5}\), et en écriture décimale (12 chiffres significatifs)
En plus de la distance, vous obtenez les coordonnées du projeté orthogonal \(\mathrm{H}\) (le point de la droite le plus proche de \(\mathrm{P}\)) et l’équation de la perpendiculaire elle-même
Vous pouvez entrer la droite par une équation cartésienne \(ax + by + c = 0\) ou par son équation réduite \(y = mx + k\) (dans ce cas, les étapes montrent aussi le passage à l’équation cartésienne)
La distance entre deux droites parallèles \(ax + by + c_1 = 0\) et \(ax + by + c_2 = 0\) se calcule sur le même écran
Vous pouvez vérifier le résultat sur une figure dans un repère. Une explication simple des formules et des formules à copier-coller pour Excel, Google Sheets et Python se trouvent aussi sur cette page

Les coefficients et les coordonnées peuvent être décimaux, négatifs ou des fractions comme 3/4. Cette page traite des droites du plan (en 2D).

À quoi sert ce calcul ?

Comment un GPS ou une appli de cartes sait sur quelle route vous roulez

La position reçue par votre téléphone ou votre GPS peut être fausse de quelques mètres à plusieurs dizaines de mètres. Si l’appli affichait simplement ce point, vous pourriez apparaître dans un immeuble ou au milieu d’un champ. Les applis de cartes calculent donc la distance du point mesuré à chaque route voisine (sur la carte, un ensemble de segments) et placent le point sur la route la plus proche. C’est ce qu’on appelle le map matching, et la distance d’un point à une droite en est le cœur.
Si l’appli calcule aussi le projeté orthogonal, elle sait exactement où vous êtes sur cette route, et peut donc vous dire à quelle distance se trouve le prochain virage.

Mesurer un écart par rapport à une ligne de référence en construction et en topographie

Les plans de bâtiment comportent des axes (les files), et les projets de routes et de voies ferrées un axe central. La position des poteaux, des murs, des bordures et des piquets est donnée par « la distance à la ligne de référence ». Cet écart est exactement la distance d’un point à une droite. Sur le chantier, le géomètre la calcule à partir des coordonnées mesurées avec une station totale et la compare à la valeur du projet.
Placer une bordure à une demi-largeur de chaussée de l’axe revient à répéter ce même calcul tout le long de la route.

Comment l’apprentissage automatique choisit une droite qui sépare deux groupes

Une méthode de classification appelée machine à vecteurs de support (SVM) trace une droite (un plan en dimension supérieure) entre deux groupes de données. Elle choisit la droite la plus éloignée possible des points des deux groupes, et cet éloignement est la distance d’un point à une droite. Choisir la droite qui laisse l’écart le plus large (la marge) permet en principe de faire moins d’erreurs sur des données que le modèle n’a pas encore vues.
C’était une méthode de référence pour le filtrage des spams et la classification d’images avant l’essor de l’apprentissage profond, et elle reste un bon choix quand il y a peu de données d’entraînement.

Trouver des droites dans des images et des nuages de points (traitement d’images et voiture autonome)

La détection des voies d’une voiture autonome et le redressement d’un document scanné ont besoin de la droite qui s’ajuste le mieux à un ensemble de points détectés. On mesure la qualité de l’ajustement en additionnant les carrés des distances de chaque point à la droite, et on choisit la droite pour laquelle ce total est le plus petit.
RANSAC, une méthode qui ajuste une droite en ignorant les valeurs aberrantes, utilise aussi la distance point-droite : les points situés à moins d’une certaine distance de la droite sont considérés comme bien ajustés.

Simplifier les tracés des cartes et des graphismes

Quand vous dézoomez dans une appli de cartes, les petits détours des côtes et des routes disparaissent automatiquement. On utilise pour cela l’algorithme de Ramer-Douglas-Peucker. Il cherche le point le plus éloigné de la droite qui relie les deux extrémités d’un tracé. Si cette distance est inférieure à un seuil, tous les points intermédiaires sont supprimés ; sinon, le tracé est coupé en ce point et la vérification recommence.
La forme reste fidèle avec beaucoup moins de données, car l’algorithme mesure « à quel point » chaque point s’écarte de la droite avec une vraie distance.

Formules et figures

Distance d’un point à une droite

Figure

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(d\) \(=\) \(\left|a x_0 + b y_0 + c\right|\) \(\div\) \(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

③ \(d\) : distance de \(\mathrm{P}\) à la droite \(=\) ① valeur absolue de \(ax + by + c\) au point \(\div\) ② \(\sqrt{a^2 + b^2}\) : norme du vecteur normal

La formule en mots

① On prend la valeur absolue de \(ax + by + c\) où l’on remplace par le point \((x_0\,;\,y_0)\)

② on la divise par la norme \(\sqrt{a^2 + b^2}\) du vecteur normal \((a\,;\,b)\)

③ et on obtient la distance \(d\) de \(\mathrm{P}\) à la droite

Exemple simple

La distance du point \(\mathrm{P}(4\,;\,3)\) à la droite \(x + 2y - 3 = 0\) vaut

distance \(d\) \(=\) valeur absolue au point (\(|4 + 6 - 3| = 7\)) \(\div\) norme du vecteur normal (\(\sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}\))

\(d = \dfrac{\left|1 \times 4 + 2 \times 3 + (-3)\right|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2}}} = \dfrac{7}{\sqrt{5}} = \dfrac{7\sqrt{5}}{5} \approx 3{,}13\)

L’idée clé

La distance d’un point à une droite est la longueur de la perpendiculaire menée du point à la droite. Une droite contient une infinité de points, mais seul le projeté orthogonal (le pied de la perpendiculaire) est le plus proche de \(\mathrm{P}\). Tous les autres points de la droite sont plus loin, car dans un triangle rectangle l’hypoténuse est plus longue que chacun des deux autres côtés. C’est pourquoi « distance = plus courte distance = longueur de la perpendiculaire » est une définition sans ambiguïté. Écrire \(\dfrac{7}{\sqrt{5}}\) sous la forme \(\dfrac{7\sqrt{5}}{5}\) s’appelle la rationalisation du dénominateur. Avec une racine au dénominateur, on voit mal l’ordre de grandeur de la valeur et on a du mal à l’additionner à d’autres : on écrit donc en général les réponses sans racine au dénominateur. Si \(a\) et \(b\) valent tous les deux 0, \(ax + by + c = 0\) n’est pas une droite et la formule ne s’applique pas.

Pourquoi cette formule donne la distance (avec le vecteur normal)

Figure

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(d\) \(=\) \(\left|\vec{n}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|\) \(\div\) \(\left|\vec{n}\right|\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

③ \(d\) : distance de \(\mathrm{P}\) à la droite \(=\) ① valeur absolue du produit scalaire du vecteur normal et de \(\overrightarrow{\mathrm{AP}}\) \(\div\) ② \(|\vec{n}|\) : norme du vecteur normal \(\vec{n}\)

La formule en mots

① Soit \(\mathrm{A}\) un point quelconque de la droite et \(\vec{n} = (a\,;\,b)\) un vecteur perpendiculaire à la droite (un vecteur normal). On prend la valeur absolue du produit scalaire de \(\vec{n}\) et de \(\overrightarrow{\mathrm{AP}}\)

② on la divise par la norme \(|\vec{n}|\) du vecteur normal \(\vec{n}\)

③ et on obtient la distance \(d\) de \(\mathrm{P}\) à la droite

Exemple simple

Essayons avec le point \(\mathrm{A}(3\,;\,0)\) de la droite \(x + 2y - 3 = 0\) et le point \(\mathrm{P}(4\,;\,3)\) (\(\vec{n} = (1\,;\,2)\), \(\overrightarrow{\mathrm{AP}} = (1\,;\,3)\))

distance \(d\) \(=\) valeur absolue du produit scalaire (\(|1 \times 1 + 2 \times 3| = 7\)) \(\div\) norme du vecteur normal (\(\sqrt{5}\))

\(\vec{n}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AP}} = 1 \times 1 + 2 \times 3 = 7\)

\(d = \dfrac{\left|7\right|}{\sqrt{5}} = \dfrac{7\sqrt{5}}{5} \approx 3{,}13\)

L’idée clé

Prenez tels quels les coefficients de \(x\) et de \(y\) de la droite \(ax + by + c = 0\) : vous obtenez le vecteur \(\vec{n} = (a\,;\,b)\). Ce vecteur est perpendiculaire à la droite : c’est un vecteur normal. Pour le voir, prenez deux points \((x_1\,;\,y_1)\) et \((x_2\,;\,y_2)\) de la droite. Tous deux vérifient l’équation ; en soustrayant, on obtient \(a(x_2 - x_1) + b(y_2 - y_1) = 0\). Le produit scalaire de \(\vec{n}\) et d’un vecteur qui suit la droite est nul, donc ils sont perpendiculaires. Comme \(\mathrm{A}\) est sur la droite, \(ax_1 + by_1 + c = 0\). En développant \(\vec{n}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AP}} = a(x_0 - x_1) + b(y_0 - y_1)\), on retrouve donc exactement \(ax_0 + by_0 + c\). Voilà pourquoi le numérateur de la formule de la distance consiste à « remplacer \(x\) et \(y\) par les coordonnées du point dans l’équation ». Le produit scalaire \(\vec{n}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AP}}\) est égal à la longueur de l’ombre de \(\overrightarrow{\mathrm{AP}}\) projetée droit sur la direction de \(\vec{n}\) (sa projection orthogonale), multipliée par \(|\vec{n}|\). (Si l’ombre tombe dans le sens opposé à \(\vec{n}\), le signe est négatif : on prend donc la valeur absolue pour obtenir une longueur.) Pourquoi cette ombre est-elle la distance cherchée ? Soit \(\mathrm{H}\) le projeté orthogonal de \(\mathrm{P}\). Alors \(\overrightarrow{\mathrm{AP}} = \overrightarrow{\mathrm{AH}} + \overrightarrow{\mathrm{HP}}\). \(\overrightarrow{\mathrm{AH}}\) suit la droite : il est perpendiculaire à \(\vec{n}\) et ne fait aucune ombre dans cette direction. La partie restante \(\overrightarrow{\mathrm{HP}}\) est parallèle à \(\vec{n}\) : son ombre a toute sa longueur, c’est-à-dire la distance \(d\) de \(\mathrm{P}\) à la droite. Le résultat ne dépend pas de l’endroit où l’on place \(\mathrm{A}\) sur la droite : déplacer \(\mathrm{A}\) ne change que \(\overrightarrow{\mathrm{AH}}\), qui ne compte jamais dans l’ombre. En divisant le produit scalaire par \(|\vec{n}|\), on retrouve donc la distance. Le \(\sqrt{a^2 + b^2}\) du dénominateur, c’est ce \(|\vec{n}|\).

Distance quand la droite est donnée par son équation réduite \(y = mx + k\)

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(d\) \(=\) \(\left|m x_0 - y_0 + k\right|\) \(\div\) \(\sqrt{m^{2} + 1}\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

③ \(d\) : distance de \(\mathrm{P}\) à la droite \(=\) ① valeur absolue de \(mx - y + k\) au point \(\div\) ② \(\sqrt{m^2 + 1}\) : norme du vecteur normal \((m\,;\,-1)\)

La formule en mots

① On réécrit la droite \(y = mx + k\) sous la forme \(mx - y + k = 0\). On prend ensuite la valeur absolue de \(mx - y + k\) où l’on remplace par le point

② on la divise par la norme \(\sqrt{m^2 + 1}\) du vecteur normal \((m\,;\,-1)\)

③ et on obtient la distance \(d\) de \(\mathrm{P}\) à la droite

Exemple simple

La distance du point \(\mathrm{P}(4\,;\,3)\) à la droite \(y = 2x + 1\) (en équation cartésienne : \(2x - y + 1 = 0\)) vaut

distance \(d\) \(=\) valeur absolue au point (\(|8 - 3 + 1| = 6\)) \(\div\) norme du vecteur normal (\(\sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}\))

\(y = 2x + 1 \;\Longrightarrow\; 2x - y + 1 = 0\)

\(d = \dfrac{\left|2 \times 4 - 3 + 1\right|}{\sqrt{2^{2} + 1}} = \dfrac{6}{\sqrt{5}} = \dfrac{6\sqrt{5}}{5} \approx 2{,}68\)

L’idée clé

Quand la droite est donnée sous la forme \(y = mx + k\), on fait tout passer à gauche pour obtenir \(mx - y + k = 0\). En comparant avec l’équation cartésienne \(ax + by + c = 0\), on lit \(a = m\), \(b = -1\) et \(c = k\) : le dénominateur devient \(\sqrt{m^2 + (-1)^2} = \sqrt{m^2 + 1}\). Il n’y a donc aucune nouvelle formule à retenir : il suffit de réécrire la droite en équation cartésienne et d’appliquer la même formule. Quand vous choisissez « y = mx + k » (équation réduite) dans ce calculateur, il commence lui aussi par passer à l’équation cartésienne et le montre dans les étapes. Une droite verticale (parallèle à l’axe des ordonnées, comme \(x = 3\)) n’a pas de coefficient directeur \(m\) : elle ne peut pas s’écrire \(y = mx + k\). Pour une telle droite, utilisez l’équation cartésienne et entrez \(a = 1\), \(b = 0\), \(c = -3\).

Coordonnées du projeté orthogonal \(\mathrm{H}\)

Figure

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(\mathrm{H}\) \(=\) \(\left(x_0,\ y_0\right)\) \(-\) \(t\,(a,\ b)\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

③ \(\mathrm{H}\) : projeté orthogonal \(=\) ① \((x_0\,;\,y_0)\) : coordonnées de \(\mathrm{P}\) \(-\) ② vecteur normal \((a\,;\,b)\) multiplié par \(t\)

La formule en mots

① On pose le coefficient \(t = \dfrac{ax_0 + by_0 + c}{a^2 + b^2}\). On part des coordonnées \((x_0\,;\,y_0)\) de \(\mathrm{P}\)

② on soustrait le vecteur normal \((a\,;\,b)\) multiplié par \(t\)

③ et on obtient les coordonnées du projeté orthogonal \(\mathrm{H}\)

Exemple simple

Le projeté orthogonal de \(\mathrm{P}(4\,;\,3)\) sur la droite \(x + 2y - 3 = 0\) (\(t = \dfrac{7}{5}\)) est

projeté orthogonal \(\mathrm{H}\) \(=\) coordonnées de \(\mathrm{P}\) (\((4\,;\,3)\)) \(-\) vecteur normal multiplié par \(\dfrac{7}{5}\) (\(\left(\dfrac{7}{5}\,;\,\dfrac{14}{5}\right)\))

\(t = \dfrac{1 \times 4 + 2 \times 3 + (-3)}{1^{2} + 2^{2}} = \dfrac{7}{5}\)

\(\mathrm{H} = \left(4 - \dfrac{7}{5} \times 1\,;\ 3 - \dfrac{7}{5} \times 2\right) = \left(\dfrac{13}{5}\,;\,\dfrac{1}{5}\right)\)

L’idée clé

Si l’on part de \(\mathrm{P}\) en ligne droite, parallèlement au vecteur normal \(\vec{n} = (a\,;\,b)\), on finit toujours par rencontrer la droite. Le point de rencontre est le projeté orthogonal \(\mathrm{H}\). Comme le montre la soustraction \(\mathrm{H} = (x_0\,;\,y_0) - t\,(a\,;\,b)\), le coefficient \(t\) indique de combien de fois \(\vec{n}\) il faut reculer pour atteindre la droite. Si \(t\) est positif, on se déplace dans le sens opposé à \(\vec{n}\) ; si \(t\) est négatif, dans le même sens que \(\vec{n}\). Le numérateur de \(t\) est le même que celui de la formule de la distance (avant de prendre la valeur absolue), et le dénominateur est \(a^2 + b^2\), c’est-à-dire \(|\vec{n}|^2\). La formule de la distance ne divise qu’une fois par \(|\vec{n}|\), mais ici on divise deux fois, et il y a une raison. Il faut parcourir la distance \(d\), et une fois \(\vec{n}\) mesure \(|\vec{n}|\) : le coefficient vaut donc \(d \div |\vec{n}|\). En y remplaçant \(d = \dfrac{\left|ax_0 + by_0 + c\right|}{|\vec{n}|}\), on divise bien deux fois par \(|\vec{n}|\). Une fois le projeté orthogonal connu, le symétrique de \(\mathrm{P}\) par rapport à la droite s’obtient simplement par \(2\mathrm{H} - \mathrm{P}\). Dans les problèmes de géométrie, ce symétrique est souvent la clé de la solution.

Distance entre deux droites parallèles

Figure

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(d\) \(=\) \(\left|c_1 - c_2\right|\) \(\div\) \(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

③ \(d\) : distance entre les droites \(=\) ① \(|c_1 - c_2|\) : valeur absolue de la différence des constantes \(\div\) ② \(\sqrt{a^2 + b^2}\) : norme du vecteur normal

La formule en mots

① Pour deux droites \(ax + by + c_1 = 0\) et \(ax + by + c_2 = 0\) qui ont les mêmes coefficients de \(x\) et de \(y\), on prend la valeur absolue de la différence des constantes \(|c_1 - c_2|\)

② on la divise par la norme du vecteur normal \(\sqrt{a^2 + b^2}\)

③ et on obtient la distance \(d\) entre les droites

Exemple simple

La distance entre les droites \(x + 2y - 3 = 0\) et \(x + 2y + 7 = 0\) vaut

distance \(d\) entre les droites \(=\) valeur absolue de la différence des constantes (\(|-3 - 7| = 10\)) \(\div\) norme du vecteur normal (\(\sqrt{5}\))

\(d = \dfrac{\left|(-3) - 7\right|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2}}} = \dfrac{10}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{5} \approx 4{,}47\)

L’idée clé

Deux droites sont parallèles ou non selon le rapport de leurs coefficients de \(x\) et de \(y\). Pour \(a_1x + b_1y + c_1 = 0\) et \(a_2x + b_2y + c_2 = 0\), elles sont parallèles quand \(a_1b_2 - a_2b_1 = 0\). (C’est simplement « les rapports sont égaux » écrit sous forme de produit, et cela marche même quand un coefficient vaut 0.) Par exemple, \(2x + 4y - 6 = 0\) et \(x + 2y + 7 = 0\) vérifient cette condition : elles sont parallèles. Mais le numérateur de cette formule ne fonctionne que si les coefficients sont exactement les mêmes : multipliez d’abord l’une des équations par un nombre pour obtenir les mêmes coefficients de \(x\) et de \(y\). Ce calculateur ne demande qu’un seul couple de coefficients de \(x\) et de \(y\) et deux constantes : impossible d’oublier cette étape. La distance entre deux droites parallèles est la même quel que soit le point choisi sur l’une d’elles. Il suffit donc de prendre un point quelconque de l’une et de calculer sa distance à l’autre avec la formule point-droite, et cette formule en découle aussitôt. Un point de \(ax + by + c_1 = 0\) vérifie \(ax_0 + by_0 = -c_1\), donc \(|ax_0 + by_0 + c_2| = |c_2 - c_1|\). Si \(c_1\) et \(c_2\) sont égaux, les deux équations représentent la même droite et la distance vaut 0. Deux droites qui ne sont pas parallèles se coupent toujours en un point : il n’y a pas d’écart entre elles et leur distance vaut 0. C’est pourquoi cette formule ne sert que pour des droites parallèles.

Pour trouver la distance du point \(\mathrm{P}(x_0\,;\,y_0)\) à la droite \(ax + by + c = 0\), remplacez \(x\) et \(y\) par les coordonnées du point dans l’équation, prenez la valeur absolue \(|ax_0 + by_0 + c|\), puis divisez-la par la norme \(\sqrt{a^2 + b^2}\) du vecteur normal \((a\,;\,b)\). Cette distance est la longueur de la perpendiculaire menée du point à la droite, et le projeté orthogonal est \(\mathrm{H} = (x_0 - ta\,;\,y_0 - tb)\), avec \(t = \dfrac{ax_0 + by_0 + c}{a^2 + b^2}\).

Symboles et termes

Symboles

\(d\)	d	Une lettre souvent utilisée pour une distance (initiale de « distance »). Sur cette page, c’est la distance du point à la droite (la longueur de la perpendiculaire).
\(a,\ b,\ c\)	a, b, c	Les coefficients de la droite \(ax + by + c = 0\). \(a\) est le nombre devant \(x\), \(b\) le nombre devant \(y\), et \(c\) le terme sans lettre (la constante). On utilise souvent les premières lettres de l’alphabet pour des nombres fixés.
\(x_0,\ y_0\)	x zéro, y zéro	Les coordonnées du point \(\mathrm{P}\) dont on cherche la distance. Le petit 0 en bas à droite est un indice : il indique qu’il s’agit des coordonnées d’un point fixé, et non de la variable \(x\). (On lit aussi « x indice zéro ».)
\(\mathrm{P},\ \mathrm{H},\ \mathrm{A}\)	P, H, A	Des noms de points. \(\mathrm{P}\) comme « point ». \(\mathrm{H}\) est la lettre habituelle du projeté orthogonal (comme le pied d’une hauteur). \(\mathrm{A}\) est un point auxiliaire pris sur la droite.
\(\left\|\ \right\|\)	valeur absolue	Le symbole de la valeur absolue. Un nombre positif reste le même ; un nombre négatif perd son signe moins (\(\|-7\| = 7\)). Une distance n’est jamais négative, donc la formule prend la valeur absolue de la valeur obtenue.
\(\sqrt{\ }\)	racine carrée	Le symbole de la racine carrée : le nombre positif ou nul dont le carré est le nombre sous la racine. \(\sqrt{5}\) est le nombre dont le carré vaut 5. Le symbole viendrait d’un r allongé, pour « radix » (racine).
\(\vec{n}\)	vecteur n	Un vecteur normal : un vecteur dont la direction est perpendiculaire à la droite. La lettre n vient de « normal » (perpendiculaire). Pour la droite \(ax + by + c = 0\), \(\vec{n} = (a\,;\,b)\).
\(\left\|\vec{n}\right\|\)	norme du vecteur n	La norme d’un vecteur (la longueur de la flèche). Pour \(\vec{n} = (a\,;\,b)\), \(\|\vec{n}\| = \sqrt{a^2 + b^2}\) : c’est le dénominateur de la formule de la distance. En France, on l’écrit souvent \(\\|\vec{n}\\|\).
\(\vec{n}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AP}}\)	n scalaire AP	Le produit scalaire de deux vecteurs : on multiplie les coordonnées correspondantes et on additionne (pour \((a\,;\,b)\) et \((p\,;\,q)\), c’est \(ap + bq\)). Il indique à quel point les deux directions vont dans le même sens. Le point surélevé désigne une opération différente de la multiplication ordinaire.
\(t\)	t	Le coefficient qui indique de combien de fois le vecteur normal il faut se déplacer depuis \(\mathrm{P}\) pour atteindre la droite. On utilise souvent la lettre \(t\) pour un nombre qui peut varier ainsi (un paramètre).
\(m,\ k\)	m, k	Le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine de l’équation réduite \(y = mx + k\). Les manuels français écrivent en général \(y = mx + p\) ; cette page utilise \(k\) pour ne pas confondre avec d’autres lettres des formules.
\(c_1,\ c_2\)	c indice 1, c indice 2	Les constantes des deux droites parallèles. Les petits nombres en bas à droite sont des indices qui distinguent la première droite de la seconde.
\(\ell_1,\ \ell_2\)	l indice 1, l indice 2	Des noms de droites. La lettre cursive \(\ell\) (un l, initiale de l’anglais « line ») sert souvent à nommer des droites. Les manuels français utilisent aussi \(d_1\) et \(d_2\) ou \(\mathcal{D}_1\) et \(\mathcal{D}_2\).

Termes

distance d’un point à une droite	La longueur de la perpendiculaire menée du point à la droite. Elle est plus courte que la distance à n’importe quel autre point de la droite : c’est donc aussi la plus courte distance entre le point et la droite. On l’étudie au lycée, en première (spécialité mathématiques), en géométrie repérée.
perpendiculaire	Une droite ou un segment qui coupe une autre droite à angle droit. Si l’on mène la perpendiculaire d’un point à une droite, sa longueur est la distance du point à la droite.
projeté orthogonal	Le point où la perpendiculaire menée d’un point coupe la droite (on dit aussi le pied de la perpendiculaire). C’est le point de la droite le plus proche du point de départ.
équation cartésienne	L’écriture de l’équation d’une droite sous la forme \(ax + by + c = 0\). Les droites verticales (comme \(x = 3\)) s’écrivent aussi ainsi : toutes les droites ont donc la même forme.
équation réduite	L’écriture de l’équation d’une droite sous la forme \(y = mx + k\) (dans les manuels français, \(y = mx + p\)). On lit d’un coup d’œil le coefficient directeur et le point d’intersection avec l’axe des ordonnées, mais les droites verticales ne peuvent pas s’écrire ainsi (on écrit alors \(x = c\)).
vecteur normal	Un vecteur dont la direction est perpendiculaire à une droite (ou à un plan). Un vecteur normal à la droite \(ax + by + c = 0\) est \((a\,;\,b)\). La formule de la distance d’un point à une droite donne la longueur mesurée dans la direction de ce vecteur normal.
produit scalaire	Un calcul qui associe un nombre à deux vecteurs : on multiplie les coordonnées correspondantes et on additionne (\((a\,;\,b)\cdot(p\,;\,q) = ap + bq\)). Il est aussi égal à \(\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\cos\theta\). S’il vaut 0, les deux vecteurs sont orthogonaux.
projection orthogonale	L’ombre d’un vecteur projetée droit sur la direction d’un autre vecteur. La distance d’un point à une droite est la longueur de l’ombre de \(\overrightarrow{\mathrm{AP}}\) sur la direction du vecteur normal.
valeur absolue	La taille d’un nombre sans son signe. C’est la distance à 0 sur la droite graduée (\(\|-7\| = 7\), \(\|7\| = 7\)). Une distance n’est jamais négative, donc la formule utilise la valeur absolue.
rationalisation du dénominateur	Faire disparaître une racine du dénominateur en multipliant le numérateur et le dénominateur par le même nombre. Par exemple, on multiplie les deux parties de \(\dfrac{7}{\sqrt{5}}\) par \(\sqrt{5}\) pour obtenir \(\dfrac{7\sqrt{5}}{5}\). On dit aussi « écrire sans racine au dénominateur ». C’est ainsi qu’on présente en général les résultats.
parallèle	Se dit de deux droites qui ne se coupent jamais, aussi loin qu’on les prolonge. Les droites \(a_1x + b_1y + c_1 = 0\) et \(a_2x + b_2y + c_2 = 0\) sont parallèles ou confondues quand les rapports des coefficients de \(x\) et de \(y\) sont égaux (en équation, \(a_1b_2 - a_2b_1 = 0\)). Si les constantes suivent aussi le même rapport, les deux droites sont confondues.
symétrique	Le point obtenu en « pliant » un point par rapport à une droite, comme son reflet dans un miroir. Une fois le projeté orthogonal \(\mathrm{H}\) connu, le symétrique de \(\mathrm{P}\) est \(2\mathrm{H} - \mathrm{P}\).
repère	Un axe des abscisses et un axe des ordonnées tracés dans le plan, qui permettent de repérer chaque point par un couple \((x\,;\,y)\). On peut ainsi transformer des problèmes de géométrie en calculs.
coordonnées	Le couple de nombres \((x\,;\,y)\) qui repère un point : l’abscisse \(x\) (position horizontale) et l’ordonnée \(y\) (position verticale).
norme	La longueur d’un vecteur. Pour \(\vec{n} = (a\,;\,b)\), elle vaut \(\sqrt{a^2 + b^2}\). Les manuels français la notent \(\\|\vec{n}\\|\).

Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer

Voici ce qu’il est utile de savoir pour utiliser le calcul de cette page en le comprenant vraiment, et pas seulement en appuyant sur le bouton.
Si vous bloquez, revoir ces notions est le chemin le plus court.

Repérer un point dans un repère (5e-4e, 12-14 ans)	Savoir qu’un point du plan est repéré par un couple de nombres \((x\,;\,y)\) (par exemple, le point \((4\,;\,3)\) est à 4 vers la droite et à 3 vers le haut depuis l’origine) Savoir ce que sont l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées et l’origine
Les équations de droites (3e-seconde, 14-16 ans)	Savoir que \(y = mx + k\) représente une droite, où \(m\) est le coefficient directeur (de combien \(y\) varie quand on avance de 1 vers la droite) et \(k\) la hauteur à laquelle elle coupe l’axe des ordonnées Savoir que la même droite peut s’écrire \(ax + by + c = 0\) (équation cartésienne), et savoir transformer \(y = 2x + 1\) en \(2x - y + 1 = 0\) Savoir que « le point est sur la droite » équivaut à « les coordonnées du point vérifient l’équation »
Les racines carrées (3e-seconde, 14-16 ans)	Savoir que \(\sqrt{5}\) est le nombre positif dont le carré vaut 5, et savoir sortir un carré d’une racine, comme \(\sqrt{20} = 2\sqrt{5}\) Savoir écrire \(\dfrac{7}{\sqrt{5}}\) sans racine au dénominateur, sous la forme \(\dfrac{7\sqrt{5}}{5}\), en multipliant le numérateur et le dénominateur par \(\sqrt{5}\)
La valeur absolue (seconde, 15-16 ans)	Savoir que la valeur absolue est la taille d’un nombre sans son signe, comme \(\|-7\| = 7\) Comprendre que la valeur absolue est la distance à 0 sur la droite graduée, et qu’elle n’est donc jamais négative
Le théorème de Pythagore et la distance entre deux points (4e-seconde, 13-16 ans)	Savoir que \(a^2 + b^2 = c^2\) dans un triangle rectangle Savoir que la distance entre \((x_1\,;\,y_1)\) et \((x_2\,;\,y_2)\) vaut \(\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\) Savoir que l’hypoténuse est le plus long côté d’un triangle rectangle (c’est pour cela que la perpendiculaire donne la plus courte distance)
Les vecteurs et le produit scalaire (seconde-première, 15-17 ans)	Savoir qu’un vecteur a une direction, un sens et une norme, et que dans le plan on l’écrit avec ses coordonnées, comme \((a\,;\,b)\) Savoir que la norme d’un vecteur vaut \(\sqrt{a^2 + b^2}\) Savoir calculer le produit scalaire \((a\,;\,b)\cdot(p\,;\,q) = ap + bq\), et savoir que les vecteurs sont orthogonaux quand il vaut 0 (vous pouvez utiliser la formule de la distance même sans avoir encore vu ce chapitre)

Calculer avec Excel

Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 d’Excel. Il fonctionne tel quel.

Tableau pour trouver la distance d’un point à une droite

Coefficient de x, a	1
Coefficient de y, b	2
Constante c	-3
Abscisse de P	4
Ordonnée de P	3
Numérateur \|ax0+by0+c\|	=ABS(B1B4+B2B5+B3)
Dénominateur √(a^2+b^2)	=RACINE(B1^2+B2^2)
Distance d	=B6/B7

Tableau pour vérifier l’explication par le vecteur normal

Coefficient de x, a	1
Coefficient de y, b	2
Abscisse du point A de la droite	3
Ordonnée du point A de la droite	0
Abscisse de P	4
Ordonnée de P	3
Produit scalaire n·AP	=B1(B5-B3)+B2(B6-B4)
Norme du vecteur normal \|n\|	=RACINE(B1^2+B2^2)
Distance d	=ABS(B7)/B8

Tableau pour trouver la distance avec l’équation réduite

Coefficient directeur m	2
Ordonnée à l’origine k	1
Abscisse de P	4
Ordonnée de P	3
Distance d	=ABS(B1*B3-B4+B2)/RACINE(B1^2+1)

Tableau pour trouver le projeté orthogonal H

Coefficient de x, a	1
Coefficient de y, b	2
Constante c	-3
Abscisse de P	4
Ordonnée de P	3
Coefficient t	=(B1B4+B2B5+B3)/(B1^2+B2^2)
Abscisse de H	=B4-B1*B6
Ordonnée de H	=B5-B2*B6

Tableau pour trouver la distance entre deux droites parallèles

Coefficient de x, a	1
Coefficient de y, b	2
Constante de la 1re droite, c1	-3
Constante de la 2e droite, c2	7
Distance d	=ABS(B3-B4)/RACINE(B1^2+B2^2)

Une fois le tableau collé, les lignes du haut (coefficients et coordonnées) sont vos données et les lignes du bas se calculent automatiquement.
« ^ » est une puissance, ABS donne la valeur absolue et RACINE la racine carrée.
Le premier tableau reprend l’exemple du point (4 ; 3) et de la droite x + 2y - 3 = 0. Le numérateur vaut 7, le dénominateur environ 2,2360679775 et la distance environ 3,1304951685.
Le deuxième tableau vérifie que « produit scalaire du vecteur normal et de AP ÷ norme du vecteur normal » donne la même distance. Le produit scalaire vaut 7 et la distance environ 3,1304951685, comme dans le premier tableau.
Le troisième tableau reprend l’exemple du point (4 ; 3) et de la droite y = 2x + 1. La distance vaut environ 2,683281573.
Le quatrième tableau donne 1,4, puis 2,6 et 0,2 : le projeté orthogonal est (2,6 ; 0,2) = (13/5 ; 1/5).
Le cinquième tableau donne la distance entre x + 2y - 3 = 0 et x + 2y + 7 = 0. Le résultat vaut environ 4,472135955.

Calculer avec Google Sheets

Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 de Google Sheets. Il fonctionne tel quel.

Tableau pour trouver la distance d’un point à une droite

Coefficient de x, a	1
Coefficient de y, b	2
Constante c	-3
Abscisse de P	4
Ordonnée de P	3
Numérateur \|ax0+by0+c\|	=ABS(B1B4+B2B5+B3)
Dénominateur √(a^2+b^2)	=RACINE(B1^2+B2^2)
Distance d	=B6/B7

Tableau pour vérifier l’explication par le vecteur normal

Coefficient de x, a	1
Coefficient de y, b	2
Abscisse du point A de la droite	3
Ordonnée du point A de la droite	0
Abscisse de P	4
Ordonnée de P	3
Produit scalaire n·AP	=B1(B5-B3)+B2(B6-B4)
Norme du vecteur normal \|n\|	=RACINE(B1^2+B2^2)
Distance d	=ABS(B7)/B8

Tableau pour trouver la distance avec l’équation réduite

Coefficient directeur m	2
Ordonnée à l’origine k	1
Abscisse de P	4
Ordonnée de P	3
Distance d	=ABS(B1*B3-B4+B2)/RACINE(B1^2+1)

Tableau pour trouver le projeté orthogonal H

Coefficient de x, a	1
Coefficient de y, b	2
Constante c	-3
Abscisse de P	4
Ordonnée de P	3
Coefficient t	=(B1B4+B2B5+B3)/(B1^2+B2^2)
Abscisse de H	=B4-B1*B6
Ordonnée de H	=B5-B2*B6

Tableau pour trouver la distance entre deux droites parallèles

Coefficient de x, a	1
Coefficient de y, b	2
Constante de la 1re droite, c1	-3
Constante de la 2e droite, c2	7
Distance d	=ABS(B3-B4)/RACINE(B1^2+B2^2)

Les mêmes formules qu’Excel fonctionnent telles quelles. Copiez tout le tableau, collez-le dans la cellule A1, puis remplacez les coefficients et les coordonnées par vos propres nombres.

Calculer avec Python

from fractions import Fraction

# Droite ax + by + c = 0 (une fraction comme 3/4 s’écrit Fraction(3, 4))
a = Fraction(1)
b = Fraction(2)
c = Fraction(-3)

# Coordonnées du point P
x0 = Fraction(4)
y0 = Fraction(3)

# Valeur de l’équation au point (avec son signe) et carré de la norme du vecteur normal
substituted = a * x0 + b * y0 + c
square = a * a + b * b

distance = abs(float(substituted)) / float(square) ** 0.5
print(f"Numérateur |a*x0+b*y0+c| = {abs(substituted)}")
print(f"Dénominateur √(a^2+b^2) = √{square}")
print(f"Distance d = {distance}")

# Projeté orthogonal H (on recule de t fois le vecteur normal)
t = substituted / square
foot_x = x0 - a * t
foot_y = y0 - b * t
print(f"Coefficient t = {t}")
print(f"Projeté orthogonal H = ({foot_x} ; {foot_y})")

Avec le module fractions de la bibliothèque standard, le numérateur, le dénominateur et le projeté orthogonal se calculent en fractions exactes, sans erreur d’arrondi. Cet exemple calcule la distance du point (4 ; 3) à la droite x + 2y - 3 = 0. Le programme affiche le numérateur 7, le dénominateur √5, la distance 3,1304951684997055 (Python écrit les décimales avec un point), le coefficient t = 7/5 et le projeté orthogonal (13/5 ; 1/5). Modifiez les coefficients et les coordonnées, puis relancez le programme.

Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)

Distance d’un point à une droite

d = |a·x₀ + b·y₀ + c| ÷ √(a² + b²)

d = \frac{\left|a x_0 + b y_0 + c\right|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
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    <mi>d</mi>
    <mo>=</mo>
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        <mi>b</mi><msub><mi>y</mi><mn>0</mn></msub>
        <mo>+</mo>
        <mi>c</mi>
        <mo>|</mo>
      </mrow>
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          <mo>+</mo>
          <msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
        </mrow>
      </msqrt>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

d = abs(a*x_0 + b*y_0 + c)/sqrt(a^2 + b^2)

d = Abs[a x0 + b y0 + c]/Sqrt[a^2 + b^2]

d := abs(a*x0 + b*y0 + c)/sqrt(a^2 + b^2);

d = abs(a*x0 + b*y0 + c)/sqrt(a^2 + b^2);

d = |a x_0+b y_0+c|/√(a^2+b^2)

Pourquoi cette formule donne la distance (avec le vecteur normal)

d = |n·AP| ÷ |n|

d = \frac{\left|\vec{n}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|}{\left|\vec{n}\right|}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
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    <mi>d</mi>
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    <mfrac>
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        <mo>|</mo>
        <mover><mi>n</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
        <mo>&#x22C5;</mo>
        <mover><mrow><mi>A</mi><mi>P</mi></mrow><mo>&#x2192;</mo></mover>
        <mo>|</mo>
      </mrow>
      <mrow>
        <mo>|</mo>
        <mover><mi>n</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
        <mo>|</mo>
      </mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

d = abs(vec n * vec(AP))/abs(vec n)

d = Abs[n . ap]/Norm[n]

d := abs(DotProduct(n, ap))/Norm(n, 2);

d = abs(dot(n, ap))/norm(n);

d = |n\vec ∙AP\vec |/|n\vec |

Distance quand la droite est donnée par son équation réduite \(y = mx + k\)

d = |m·x₀ − y₀ + k| ÷ √(m² + 1)

d = \frac{\left|m x_0 - y_0 + k\right|}{\sqrt{m^{2} + 1}}

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    <mi>d</mi>
    <mo>=</mo>
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        <mi>k</mi>
        <mo>|</mo>
      </mrow>
      <msqrt>
        <mrow>
          <msup><mi>m</mi><mn>2</mn></msup>
          <mo>+</mo>
          <mn>1</mn>
        </mrow>
      </msqrt>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

d = abs(m*x_0 - y_0 + k)/sqrt(m^2 + 1)

d = Abs[m x0 - y0 + k]/Sqrt[m^2 + 1]

d := abs(m*x0 - y0 + k)/sqrt(m^2 + 1);

d = abs(m*x0 - y0 + k)/sqrt(m^2 + 1);

d = |m x_0-y_0+k|/√(m^2+1)

Coordonnées du projeté orthogonal \(\mathrm{H}\)

H = (x₀ − t·a, y₀ − t·b)　t = (a·x₀ + b·y₀ + c) ÷ (a² + b²)

\mathrm{H} = \left(x_0 - t a,\ y_0 - t b\right),\quad t = \frac{a x_0 + b y_0 + c}{a^{2} + b^{2}}

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    <mi mathvariant="normal">H</mi>
    <mo>=</mo>
    <mo>(</mo>
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    <mo>,</mo>
    <mrow><msub><mi>y</mi><mn>0</mn></msub><mo>&#x2212;</mo><mi>t</mi><mi>b</mi></mrow>
    <mo>)</mo>
    <mo>,</mo>
    <mi>t</mi>
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        <mi>a</mi><msub><mi>x</mi><mn>0</mn></msub>
        <mo>+</mo>
        <mi>b</mi><msub><mi>y</mi><mn>0</mn></msub>
        <mo>+</mo>
        <mi>c</mi>
      </mrow>
      <mrow>
        <msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
        <mo>+</mo>
        <msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
      </mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

H = (x_0 - t*a, y_0 - t*b), t = (a*x_0 + b*y_0 + c)/(a^2 + b^2)

t = (a x0 + b y0 + c)/(a^2 + b^2); h = {x0 - t a, y0 - t b}

t := (a*x0 + b*y0 + c)/(a^2 + b^2); H := [x0 - t*a, y0 - t*b];

t = (a*x0 + b*y0 + c)/(a^2 + b^2); H = [x0 - t*a, y0 - t*b];

H = (x_0-t a, y_0-t b), t = (a x_0+b y_0+c)/(a^2+b^2)

Distance entre deux droites parallèles

d = |c₁ − c₂| ÷ √(a² + b²)

d = \frac{\left|c_1 - c_2\right|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}

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    <mi>d</mi>
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          <mo>+</mo>
          <msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
        </mrow>
      </msqrt>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

d = abs(c_1 - c_2)/sqrt(a^2 + b^2)

d = Abs[c1 - c2]/Sqrt[a^2 + b^2]

d := abs(c1 - c2)/sqrt(a^2 + b^2);

d = abs(c1 - c2)/sqrt(a^2 + b^2);

d = |c_1-c_2|/√(a^2+b^2)

Faire faire le calcul par ChatGPT

Tu es un assistant de calcul mathématique spécialisé en géométrie repérée. Fais le calcul suivant en exécutant réellement du code Python, et appuie ta réponse uniquement sur les nombres obtenus à l’exécution (ne réponds pas de tête ni au jugé).

Pour le point (4 ; 3) et la droite x + 2y - 3 = 0, trouve :
1. La distance du point à la droite (en valeur exacte sans racine au dénominateur, et en écriture décimale)
2. Les coordonnées du projeté orthogonal du point sur la droite (en fractions irréductibles)
3. L’équation de la perpendiculaire (la droite qui passe par le point et qui est perpendiculaire à la droite donnée)

En Python, utilise le module fractions de la bibliothèque standard et sympy pour calculer de façon exacte. Montre les formules utilisées et les nombres obtenus à l’exécution.

Mode d'emploi

1

Saisissez vos nombres

Tapez les nombres à calculer dans les champs de saisie
2

Calculez

Appuyez sur le bouton « Calculer »
3

Lisez le résultat

Le résultat s’affiche aussitôt. La même page explique aussi le raisonnement et la formule