Calculatrice financière (valeur temps de l’argent, TVM)

Parmi les cinq champs (nombre de périodes N, taux annuel I/Y, valeur actuelle PV, versement PMT et valeur future FV), laissez vide uniquement celui que vous cherchez et remplissez les quatre autres. Le champ vide est calculé.

Périodes N (nombre de versements)

Taux annuel I/Y (%)

Valeur actuelle PV (€)

Versement PMT (€)

Valeur future FV (€)

Moment des versements

P/Y (versements par an)

C/Y (capitalisations par an)

Convention de signe (comme sur une calculatrice financière) : l’argent qui sort est négatif, l’argent qui entre est positif. Par exemple, « emprunter 20 000 € et rembourser 2 000 € par an » donne PV = 20000 (entrée) et PMT = -2000 (sortie). Saisissez 0 dans les champs inutilisés (un champ vide indique la valeur à calculer). C’est un calcul mathématique à taux fixe, sans les frais, impôts ni variations de taux des produits réels.

Résultat et graphique

Parmi les cinq champs de gauche, laissez vide uniquement celui que vous cherchez et appuyez sur « Calculer ». Le résultat et un graphique s’affichent ici.

Table des matières

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Ce que vous pouvez faire sur cette page
À quoi sert ce calcul ?
Mode d'emploi
Formules et graphiques
Symboles et termes
- Symboles
- Termes
Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
Calculer avec Excel
Calculer avec Google Sheets
Calculer avec Python
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
Faire faire le calcul par ChatGPT
Les atouts de DataChef
Fonctions connexes
Liste des calculatrices NumberChef

Ce que vous pouvez faire sur cette page

Saisissez 4 valeurs parmi le nombre de périodes \(N\), le taux annuel \(I/Y\), la valeur actuelle \(PV\), le versement périodique \(PMT\) et la valeur future \(FV\) : la 5e est calculée (le même principe que le solveur TVM des calculatrices de lycée et des calculatrices financières comme la BA II Plus ou la HP 12C)
La convention de signe est la même que sur une calculatrice financière : l’argent qui sort de votre poche (dépôt, épargne, remboursement) est négatif, l’argent que vous recevez (somme empruntée, versements reçus) est positif. Exemple : pour épargner 2 000 € par an, PMT = -2000
Vous pouvez régler le moment des versements (fin de période, comme la plupart des crédits et plans d’épargne, ou début de période), P/Y (versements par an) et C/Y (capitalisations par an)
En plus de la valeur cherchée, vous obtenez le total des versements et le total des intérêts. Quand le nombre de périodes est un entier jusqu’à 20, un tableau montre les intérêts et le solde période par période
Avec un graphique du solde. Vous trouverez aussi une explication simple des formules et des formules à copier-coller pour Excel (fonctions VC, VA, VPM, TAUX et NPM), Google Sheets et Python

Cette page fait un calcul mathématique (la valeur temps de l’argent, TVM) qui suppose un taux d’intérêt constant sur toute la durée. Les crédits, l’épargne et les placements réels comportent des frais, des impôts et des taux qui changent : vérifiez les montants exacts auprès de votre prêteur ou de votre banque. Cette page ne recommande aucun produit financier et ne constitue pas un conseil en investissement. Elle sert à étudier les mathématiques financières (lycée, BTS, DCG, licence) et à comprendre le fonctionnement des crédits et des rentes.

À quoi sert ce calcul ?

Réviser les mathématiques financières (BTS, DCG, licence)

Les formules que l’on apprend en mathématiques financières (valeur acquise et valeur actuelle d’une suite d’annuités constantes, annuité de remboursement d’un emprunt) sont toutes des façons de lire cette unique équation TVM. Par exemple, la valeur acquise d’annuités de montant \(a\) est \(a \times \dfrac{(1+i)^N-1}{i}\), et l’annuité constante d’un emprunt \(C\) est \(a = C \times \dfrac{i}{1-(1+i)^{-N}}\).
Les vérifier sur cette page avec d’autres nombres aide à voir ces formules comme « une seule équation lue de plusieurs façons » plutôt que comme des formules séparées à apprendre par cœur, ce qui aide aussi pour les exercices plus difficiles.

Comprendre la mensualité d’un prêt immobilier

« Emprunter 250 000 € à taux fixe de 3,5 % sur 25 ans » donne PV = +250 000, N = 300 (25 ans × 12), versements mensuels (P/Y = C/Y = 12) et FV = 0, et l’on cherche PMT. La réponse est environ 1 251,56 € par mois. Les mensualités totalisent environ 375 468 €, soit environ 125 468 € d’intérêts.
En voyant comment la mensualité se construit, vous mesurez vous-même l’effet du montant emprunté, du taux et de la durée. C’est la mensualité hors assurance emprunteur ; le coût réel du crédit (le TAEG indiqué par la banque) inclut aussi l’assurance et les frais : vérifiez le montant exact auprès de votre banque.

Préparer des retraits à la retraite (combien faut-il au départ ?)

« Je veux retirer 20 000 € par an pendant 25 ans. Si mon épargne rapporte 3 % par an, combien me faut-il au départ ? » donne PMT = +20 000, N = 25 et FV = 0, et l’on cherche PV. La réponse est environ 348 263 € (PV = −348 263, la somme placée au départ).
Vous recevez 500 000 € au total : les intérêts couvrent l’écart d’environ 151 737 €. Voir en chiffres comment la somme nécessaire change avec le taux aide beaucoup à préparer sa retraite (dans un vrai placement, le rendement n’est pas garanti et l’on peut perdre de l’argent).

Estimer le temps pour atteindre un objectif d’épargne

« Si j’épargne 300 € par mois à 3 % (capitalisation mensuelle), quand aurai-je 30 000 € ? » donne PMT = −300, FV = +30 000 et P/Y = C/Y = 12, et l’on cherche N. La réponse est environ 89,4 mois (environ 7,4 ans).
À 0 %, il faudrait 100 mois : les intérêts font gagner environ 10 mois. Voir en chiffres ce qu’apportent les intérêts, c’est tout l’intérêt de calculer N.

Repérer les intérêts d’un crédit auto ou d’un paiement en plusieurs fois

Pour un crédit auto de 20 000 € à 5 % sur 60 mois, on pose PV = +20 000, N = 60, P/Y = C/Y = 12 et FV = 0, et l’on cherche PMT. La mensualité est d’environ 377,42 € et le total d’environ 22 645 €, soit environ 2 645 € d’intérêts.
Dans l’autre sens, si l’on ne vous donne que la mensualité et le total, chercher I/Y révèle le vrai taux annuel. Cela aide à comparer crédits auto, location avec option d’achat (LOA), paiements en plusieurs fois et forfaits téléphone avec mobile payé en mensualités.

Formules et graphiques

L’équation TVM (la formule de base de la valeur temps de l’argent, versements en fin de période)

Graphique

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(PV\) \(\times\) \((1+i)\) \(N\) \(+\) \(PMT\) \(\times\) \(\dfrac{(1+i)^{N}-1}{i}\) \(+\) \(FV\) \(=\) \(0\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

① \(PV\) : valeur actuelle \(\times\) ② coefficient d’une période ③ \(N\) : nombre de périodes \(+\) ④ versement périodique \(\times\) ⑤ coefficient de valeur acquise \(+\) ⑥ \(FV\) : valeur future \(=\) \(0\)

La formule en mots

① On prend la somme d’aujourd’hui, la \(PV\) : valeur actuelle

② et on la multiplie par le coefficient d’une période \((1+i)\)

③ une fois pour chacune des \(N\) : périodes

④ On ajoute le \(PMT\) : versement périodique

⑤ multiplié par le coefficient de valeur acquise (ce que devient, avec les intérêts, un versement de 1 par période)

⑥ puis la \(FV\) : valeur future . Ces trois parties ont une somme nulle : les entrées et sorties d’argent s’équilibrent exactement, intérêts compris

Exemple simple

Si vous empruntez 1 000 € à 6 % par an (PV = +1000, argent qui entre) et remboursez tout en une fois au bout de 5 ans sans versement intermédiaire (PMT = 0), la somme à rembourser (FV) est

valeur actuelle (+1000) \(\times\) coefficient (1,06) périodes (5) \(+\) \(FV\) : valeur future \(=\) \(0\)

\(1000 \times 1{,}06^{5} + FV = 0\)

\(FV = -1000 \times 1{,}06^{5} \approx -1338{,}23\)

L’idée clé

L’essentiel de cette équation, c’est la convention de signe. L’argent qui sort de votre poche est négatif, celui que vous recevez est positif. Dans l’exemple, le signe moins de « FV = −1 338,23 » signifie « vous payez 1 338,23 € au bout de 5 ans ». De même, épargner 2 000 € chaque année est de l’argent qui sort : on saisit PMT = −2000. Cette convention est celle des calculatrices financières (BA II Plus, HP 12C, solveur TVM des calculatrices de lycée) et des fonctions VC, VA et VPM d’Excel. \(i\) est le taux d’intérêt par période (avec des versements annuels, c’est le taux annuel lui-même ; pour 6 %, \(i = 0{,}06\)). Dans la forme générale avec \(g\), des versements en début de période multiplient une fois de plus le terme en \(PMT\) par \((1+i)\), car l’argent versé plus tôt rapporte une période d’intérêts de plus.

Calculer la valeur future FV (versements en fin de période)

Graphique

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(FV\) \(=\) \(-\) \((\) \(PV\) \(\times\) \((1+i)\) \(N\) \(+\) \(PMT\) \(\times\) \(\dfrac{(1+i)^{N}-1}{i}\) \()\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

⑥ \(FV\) : valeur future \(=\) \(-\) \((\) ① \(PV\) : valeur actuelle \(\times\) ② coefficient d’une période ③ \(N\) : nombre de périodes \(+\) ④ versement périodique \(\times\) ⑤ coefficient de valeur acquise \()\)

La formule en mots

① On prend la \(PV\) : valeur actuelle

② et on la multiplie par le coefficient d’une période \((1+i)\)

③ une fois pour chacune des \(N\) : périodes

④ On ajoute le \(PMT\) : versement périodique

⑤ multiplié par le coefficient de valeur acquise puis on change le signe du total

⑥ et on obtient la \(FV\) : valeur future

Exemple simple

Si vous épargnez 2 000 € chaque année pendant 5 ans à 3 % (PV = 0, PMT = −2000, fin de période), la somme reçue au bout de 5 ans (FV) est

\(FV\) : valeur future \(=\) \(-\) \((\) versement (−2000) \(\times\) coefficient (environ 5,31) \()\)

\(\dfrac{1{,}03^{5}-1}{0{,}03} \approx 5{,}3091\)

\(FV = -\left( 0 + (-2000) \times 5{,}3091 \right) \approx 10\,618{,}27\)

L’idée clé

L’argent qui sort, saisi en négatif (2 000 € épargnés chaque année), revient comme argent reçu, en positif (environ 10 618 €). Ce changement de signe est la clé pour lire les résultats TVM. Vous avez versé 2 000 € × 5 ans = 10 000 €, donc l’écart d’environ 618 € correspond aux intérêts. Avec des versements en début d’année, le terme en \(PMT\) est multiplié une fois de plus par \((1+i)\) : \(FV \approx 10\,618{,}27 \times 1{,}03 \approx 10\,936{,}82\) euros.

Calculer le nombre de périodes N (logarithmes, quand PMT = 0)

Graphique

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(N\) \(=\) \(\ln\!\left(-\dfrac{FV}{PV}\right)\) \(\div\) \(\ln(1+i)\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

③ \(N\) : nombre de périodes \(=\) ① logarithme du coefficient de croissance \(\div\) ② logarithme d’une période

La formule en mots

① On cherche par combien l’argent est multiplié (le coefficient de croissance \(-FV \div PV\)) et on prend le logarithme du coefficient de croissance \(\ln(-FV \div PV)\)

② on le divise par le logarithme du coefficient d’une période \(\ln(1+i)\)

③ et on obtient le \(N\) : nombre de périodes

Exemple simple

Si vous placez 1 000 € à 8 % par an (PV = −1000), le nombre de périodes pour atteindre 2 000 € (FV = +2000, un coefficient de 2) est

\(N\) : nombre de périodes \(=\) logarithme du coefficient de croissance (2) \(\div\) logarithme d’une période (1,08)

\(-FV \div PV = -2000 \div (-1000) = 2\)

\(N = \ln 2 \div \ln 1{,}08 \approx 0{,}6931 \div 0{,}07696 \approx 9{,}006\)

L’idée clé

\(N\) est en exposant : on le calcule avec les logarithmes (\(\ln\)), l’outil qui fait « descendre » un exposant. En prenant le logarithme des deux membres de \((1+i)^N = -FV \div PV\), on obtient \(N \ln(1+i) = \ln(-FV \div PV)\), d’où la formule ci-dessus. S’il y a aussi des versements (\(PMT \neq 0\)), on pose \(K = PMT(1+i \cdot g) \div i\). L’équation devient \((PV + K)(1+i)^N = K - FV\), qui se résout aussi avec les logarithmes (c’est la forme générale qu’utilise le calculateur de cette page). Si le coefficient de croissance est nul ou négatif (par exemple, vous avez fait un dépôt mais donné le même signe aux deux sommes), il n’y a pas de solution.

La formule particulière pour un taux de 0 % (quand i = 0)

Graphique

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(PV\) \(+\) \(PMT\) \(\times\) \(N\) \(+\) \(FV\) \(=\) \(0\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

① \(PV\) : valeur actuelle \(+\) ② versement périodique \(\times\) ③ \(N\) : nombre de périodes \(+\) ④ \(FV\) : valeur future \(=\) \(0\)

La formule en mots

① On additionne la \(PV\) : valeur actuelle

② le \(PMT\) : versement périodique

③ pris une fois pour chacune des \(N\) : périodes

④ et la \(FV\) : valeur future . Le total vaut 0 (sans intérêts, ce ne sont que des additions et des soustractions)

Exemple simple

À 0 % d’intérêt, si vous placez d’abord 1 000 € (PV = −1000) puis épargnez 100 € chaque année pendant 12 ans (PMT = −100), la somme reçue au bout de 12 ans (FV) est

valeur actuelle (−1000) \(+\) versement (−100) \(\times\) périodes (12) \(+\) \(FV\) : valeur future \(=\) \(0\)

\(-1000 + (-100) \times 12 + FV = 0\)

\(FV = 1000 + 1200 = 2200\)

L’idée clé

L’équation TVM contient une division par \(i\) : on ne peut pas l’utiliser telle quelle quand le taux est de 0 % (\(i = 0\)). Mais sans intérêts, tout est simple : l’argent versé revient tel quel, ce n’est qu’une addition. Le calculateur de cette page passe automatiquement à cette formule quand \(i = 0\).

La TVM (valeur temps de l’argent) tient en une équation : l’argent d’aujourd’hui, l’argent de chaque période et l’argent futur s’équilibrent, intérêts compris. Tant que l’on respecte la convention de signe (sorties négatives, entrées positives), chacune des cinq valeurs (N, I/Y, PV, PMT, FV) se calcule à partir des quatre autres. Seul le taux annuel I/Y ne s’isole pas par transformation de la formule : on le trouve numériquement (par dichotomie).

Symboles et termes

Symboles

\(PV\)	P V	La valeur actuelle (de l’anglais « present value »). La somme qui bouge aujourd’hui. Positive si vous l’empruntez ou la recevez, négative si vous la placez ou l’investissez.
\(FV\)	F V	La valeur future (de l’anglais « future value »). La somme qui bouge à la fin de la durée. Positive si vous la recevez à la fin, négative si vous la payez.
\(PMT\)	P M T (versement)	Le versement de chaque période (de l’anglais « payment »). La somme qui bouge à chaque période. L’argent qui sort, comme l’épargne ou les mensualités d’un crédit, est négatif ; l’argent qui entre, comme un loyer perçu, est positif.
\(N\)	N	Le nombre de périodes (nombre de versements). Avec des versements annuels, c’est le nombre d’années ; avec des versements mensuels (P/Y = 12), on compte en mois (10 ans font \(N = 120\)).
\(I/Y\)	I sur Y	Le taux annuel (de l’anglais « interest per year »), en %. Le nom vient directement de la touche d’une calculatrice financière (noté I% sur les calculatrices de lycée).
\(P/Y\)	P sur Y	Le nombre de versements par an (« payments per year ») : combien de versements \(PMT\) il y a dans une année, 1 pour des versements annuels, 12 pour des versements mensuels.
\(C/Y\)	C sur Y	Le nombre de capitalisations par an (« compounding per year ») : combien de fois par an les intérêts s’ajoutent au solde. En général, la même valeur que \(P/Y\) ; sinon, la capitalisation est convertie à la période des versements.
\(i\)	i minuscule	Le taux d’intérêt par période, en décimal. Avec des versements annuels, c’est le taux annuel lui-même (pour 6 %, \(i = 0{,}06\)) ; avec des versements mensuels, c’est le taux par mois.
\(g\)	g	Un interrupteur pour le moment des versements : \(g = 1\) en début de période, \(g = 0\) en fin de période. En début de période, le terme en \(PMT\) est multiplié une fois de plus par \((1+i)\).
\(\ln\)	logarithme népérien	Le logarithme népérien. L’outil qui trouve combien de fois il faut multiplier pour atteindre un coefficient donné. Il sert à calculer le nombre de périodes \(N\).

Termes

valeur temps de l’argent (TVM)	L’idée que 10 000 € aujourd’hui valent plus que 10 000 € dans le futur, car l’argent dont on dispose maintenant peut rapporter des intérêts (en anglais « time value of money », TVM). C’est la base de la finance, et l’équation de cette page la traduit en une seule formule.
valeur actuelle	Ce que vaut une somme future en argent d’aujourd’hui. Par exemple, à 2 % par an, 10 200 € dans un an valent autant que 10 000 € aujourd’hui.
valeur future	Ce que deviendront, intérêts compris, une somme d’aujourd’hui ou des versements réguliers. On parle aussi de valeur acquise (ou valeur capitalisée, d’où le nom VC de la fonction Excel).
actualisation	Le calcul qui ramène une somme future à sa valeur actuelle. On divise la somme future par \((1+i)^N\), donc la valeur diminue. C’est exactement l’inverse de la capitalisation (ajouter des intérêts).
coefficient de valeur acquise	Le coefficient \(\dfrac{(1+i)^N - 1}{i}\) : ce que devient, intérêts compris, un versement de 1 € par période. En mathématiques financières, c’est le facteur de la valeur acquise d’une suite d’annuités constantes. On le multiplie par le versement de chaque période.
coefficient de valeur actuelle	Le coefficient \(\dfrac{1-(1+i)^{-N}}{i}\) : ce que vaut aujourd’hui le droit de recevoir 1 € par période. C’est la version « valeur actuelle » du coefficient de valeur acquise, utilisée pour les rentes et les crédits (le lien entre le capital emprunté et chaque mensualité).
flux de trésorerie	Les entrées et sorties d’argent. La TVM ne regarde que quand, combien et dans quel sens l’argent circule, et indique le sens par un signe (plus ou moins).
convention de signe	La règle selon laquelle l’argent qui sort de votre poche (dépôt, épargne, remboursement) est négatif et l’argent que vous recevez (somme empruntée, versements reçus) est positif. Les calculatrices financières et les fonctions financières d’Excel suivent cette règle, ce qui permet de traiter crédits, épargne et rentes avec la même équation.
terme échu (fin de période)	Des versements (PMT) effectués à la fin de chaque période. La plupart des remboursements de crédit et des plans d’épargne fonctionnent ainsi, et c’est le réglage par défaut de cette page.
terme à échoir (début de période)	Des versements (PMT) effectués au début de chaque période. Le même versement commence à rapporter des intérêts une période plus tôt, donc le terme en \(PMT\) est multiplié une fois de plus par \((1+i)\). Un loyer payé d’avance ou les loyers d’une location avec option d’achat (LOA) fonctionnent ainsi.
calculatrice financière	Une calculatrice avec des touches dédiées à la TVM (N, I/Y, PV, PMT, FV). La BA II Plus de Texas Instruments et la HP 12C sont connues, et les calculatrices graphiques de lycée ont un solveur TVM avec les mêmes valeurs. Cette page en est une version web.
méthode de dichotomie	Une méthode numérique qui trouve une valeur approchée en coupant en deux, encore et encore, l’intervalle qui contient la réponse ; on l’utilise quand la réponse ne s’isole pas par transformation de la formule. Trouver le taux annuel I/Y revient à résoudre une équation de degré N, sans formule générale, donc cette page utilise la dichotomie.

Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer

Voici ce qui aide à utiliser le calcul de cette page en le comprenant vraiment, et pas seulement en appuyant sur le bouton.

Nombres relatifs (5e-4e, 12-14 ans)	Lire un nombre négatif comme une quantité dans l’autre sens (sur cette page, l’argent qui sort est négatif) Savoir multiplier des nombres négatifs, comme \((-2000) \times 5 = -10000\)
Pourcentages (CM2-6e, 10-12 ans)	Savoir écrire « 6 % » sous la forme du décimal 0,06 Savoir que « augmenter de 6 % » revient à « multiplier par 1,06 »
Puissances (4e, 13-14 ans)	Savoir que \(1{,}06^{5}\), c’est « 1,06 multiplié 5 fois par lui-même »
Les bases des intérêts composés (page « Calcul des intérêts composés » de ce site)	Comprendre les intérêts composés, où les intérêts gagnés rapportent eux aussi des intérêts
Logarithme népérien (terminale, 17-18 ans, pour aller plus loin)	Savoir utiliser les logarithmes pour trouver combien de fois multiplier pour atteindre un coefficient (sert à calculer N ; sinon, le calculateur le fait pour vous)

Calculer avec Excel

Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 d’Excel. Il fonctionne tel quel.

Tableau pour la valeur future FV (fonction VC)

Taux par période (6 % = 0,06)	0,06
Nombre de périodes N	10
Versement PMT	-2000
Valeur actuelle PV	20000
Valeur future FV	=VC(B1;B2;B3;B4;0)

Tableau pour le versement PMT (fonction VPM)

Taux par période (6 % = 0,06)	0,06
Nombre de périodes N	10
Valeur actuelle PV	20000
Valeur future FV	0
Versement PMT	=VPM(B1;B2;B3;B4;0)

Tableau pour le taux (fonction TAUX)

Nombre de périodes N	5
Versement PMT	0
Valeur actuelle PV	-1000
Valeur future FV	1500
Taux par période	=TAUX(B1;B2;B3;B4)

Tableau pour le nombre de périodes N (fonction NPM)

Taux par période (8 % = 0,08)	0,08
Versement PMT	0
Valeur actuelle PV	-1000
Valeur future FV	2000
Nombre de périodes N	=NPM(B1;B2;B3;B4)

Tableau pour la valeur actuelle PV (fonction VA, début de période)

Taux par période (5 % = 0,05)	0,05
Nombre de périodes N	20
Versement PMT	-100
Valeur future FV	0
Valeur actuelle PV	=VA(B1;B2;B3;B4;1)

Excel dispose de fonctions TVM intégrées (VC, VPM, TAUX, NPM et VA), qui suivent la même convention de signe que cette page (sorties négatives, entrées positives).
Le premier tableau affiche -9 455,36 en B5, le deuxième -2 717,36, le troisième environ 0,0845 (un taux annuel de 8,447 % ; mettez la cellule au format pourcentage pour le lire facilement), le quatrième environ 9,006 et le cinquième 1 308,53.
Le dernier argument de VC, VPM et VA est le moment des versements : 0 ou omis = fin de période, 1 = début de période. Pour des versements mensuels, saisissez le taux par mois (taux annuel ÷ 12) et N en mois.

Calculer avec Google Sheets

Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 de Google Sheets. Il fonctionne tel quel.

Tableau pour la valeur future FV (fonction VC)

Taux par période (6 % = 0,06)	0,06
Nombre de périodes N	10
Versement PMT	-2000
Valeur actuelle PV	20000
Valeur future FV	=VC(B1;B2;B3;B4;0)

Tableau pour le versement PMT (fonction VPM)

Taux par période (6 % = 0,06)	0,06
Nombre de périodes N	10
Valeur actuelle PV	20000
Valeur future FV	0
Versement PMT	=VPM(B1;B2;B3;B4;0)

Tableau pour le taux (fonction TAUX)

Nombre de périodes N	5
Versement PMT	0
Valeur actuelle PV	-1000
Valeur future FV	1500
Taux par période	=TAUX(B1;B2;B3;B4)

Tableau pour le nombre de périodes N (fonction NPM)

Taux par période (8 % = 0,08)	0,08
Versement PMT	0
Valeur actuelle PV	-1000
Valeur future FV	2000
Nombre de périodes N	=NPM(B1;B2;B3;B4)

Tableau pour la valeur actuelle PV (fonction VA, début de période)

Taux par période (5 % = 0,05)	0,05
Nombre de périodes N	20
Versement PMT	-100
Valeur future FV	0
Valeur actuelle PV	=VA(B1;B2;B3;B4;1)

Google Sheets en français utilise les mêmes noms de fonctions (VC, VPM, TAUX, NPM, VA) et la même convention de signe qu’Excel. Copiez tout le tableau, collez-le dans la cellule A1, puis remplacez les valeurs de la colonne B par les vôtres.

Calculer avec Python

import math

# Mettez à None la valeur à calculer (cet exemple calcule fv)
n = 10            # nombre de périodes N (nombre de versements)
annual_rate = 6   # taux annuel I/Y (%)
pv = 20000        # valeur actuelle PV (entrée = positif, sortie = négatif)
pmt = -2000       # versement PMT
fv = None         # valeur future FV
is_beginning = False  # True = début de période, False = fin de période

g = 1 if is_beginning else 0
# Taux par période (versements annuels ; pour des versements mensuels, divisez par 12 et comptez n en mois). Laissez None pour calculer le taux
i = annual_rate / 100 if annual_rate is not None else None

def tvm_left_side(i_, n_, pv_, pmt_, fv_):
    """Membre de gauche de l'équation TVM (la solution l'annule)"""
    if abs(i_) < 1e-12:
        return pv_ + pmt_ * n_ + fv_
    growth = (1 + i_) ** n_
    return pv_ * growth + pmt_ * (1 + i_ * g) * (growth - 1) / i_ + fv_

if fv is None:
    fv = -(pv + pmt * n) if abs(i) < 1e-12 else -(pv * (1 + i) ** n + pmt * (1 + i * g) * ((1 + i) ** n - 1) / i)
    print(f"Valeur future FV = {fv:.2f}")
elif pv is None:
    pv = -(fv + pmt * n) if abs(i) < 1e-12 else -(fv + pmt * (1 + i * g) * ((1 + i) ** n - 1) / i) / (1 + i) ** n
    print(f"Valeur actuelle PV = {pv:.2f}")
elif pmt is None:
    pmt = -(pv + fv) / n if abs(i) < 1e-12 else -(pv * (1 + i) ** n + fv) / ((1 + i * g) * ((1 + i) ** n - 1) / i)
    print(f"Versement PMT = {pmt:.2f}")
elif n is None:
    if abs(i) < 1e-12:
        n = -(pv + fv) / pmt
    else:
        k = pmt * (1 + i * g) / i
        n = math.log((k - fv) / (pv + k)) / math.log(1 + i)
    print(f"Nombre de périodes N = {n:.3f}")
else:
    # Le taux annuel ne s'isole pas par transformation de la formule : on le cherche par dichotomie (certaines données n'ont pas de solution)
    low, high = -0.9999, 10.0
    if tvm_left_side(low, n, pv, pmt, fv) * tvm_left_side(high, n, pv, pmt, fv) > 0:
        raise SystemExit("Pas de solution dans cet intervalle. Vérifiez le sens (le signe) des sommes")
    for _ in range(200):
        mid = (low + high) / 2
        if tvm_left_side(low, n, pv, pmt, fv) * tvm_left_side(mid, n, pv, pmt, fv) <= 0:
            high = mid
        else:
            low = mid
    i = (low + high) / 2
    print(f"Taux annuel I/Y = {i * 100:.3f} %")

total_interest = abs(pv + pmt * n + fv)
print(f"Total des intérêts = {total_interest:.2f}")

Fonctionne avec la seule bibliothèque standard. Mettez à None la valeur à calculer, saisissez des nombres pour les quatre autres et lancez le code (Python affiche les décimales avec un point). La convention de signe (sorties négatives, entrées positives) est la même que dans le calculateur de cette page. Seul le taux annuel n’a pas de formule : il est trouvé par dichotomie (en coupant en deux, encore et encore, l’intervalle qui contient la réponse).

Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)

L’équation TVM (la formule de base de la valeur temps de l’argent, versements en fin de période)

PV(1 + i)ᴺ + PMT × ((1 + i)ᴺ − 1)/i + FV = 0

PV(1+i)^{N} + PMT \cdot \dfrac{(1+i)^{N}-1}{i} + FV = 0

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>PV</mi>
    <msup>
      <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>i</mi><mo>)</mo></mrow>
      <mi>N</mi>
    </msup>
    <mo>+</mo>
    <mi>PMT</mi>
    <mo>&#x22C5;</mo>
    <mfrac>
      <mrow>
        <msup>
          <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>i</mi><mo>)</mo></mrow>
          <mi>N</mi>
        </msup>
        <mo>&#x2212;</mo>
        <mn>1</mn>
      </mrow>
      <mi>i</mi>
    </mfrac>
    <mo>+</mo>
    <mi>FV</mi>
    <mo>=</mo>
    <mn>0</mn>
  </mrow>
</math>

PV(1+i)^N + PMT((1+i)^N-1)/i + FV = 0

pv (1 + i)^n + pmt ((1 + i)^n - 1)/i + fv == 0

pv*(1 + i)^n + pmt*((1 + i)^n - 1)/i + fv = 0;

pv*(1 + i)^n + pmt*((1 + i)^n - 1)/i + fv == 0

PV(1+i)^N + PMT((1+i)^N-1)/i + FV = 0

Calculer la valeur future FV (versements en fin de période)

FV = −(PV(1 + i)ᴺ + PMT × ((1 + i)ᴺ − 1)/i)

FV = -\left( PV(1+i)^{N} + PMT \cdot \dfrac{(1+i)^{N}-1}{i} \right)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>FV</mi>
    <mo>=</mo>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mrow>
      <mo>(</mo>
      <mi>PV</mi>
      <msup>
        <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>i</mi><mo>)</mo></mrow>
        <mi>N</mi>
      </msup>
      <mo>+</mo>
      <mi>PMT</mi>
      <mo>&#x22C5;</mo>
      <mfrac>
        <mrow>
          <msup>
            <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>i</mi><mo>)</mo></mrow>
            <mi>N</mi>
          </msup>
          <mo>&#x2212;</mo>
          <mn>1</mn>
        </mrow>
        <mi>i</mi>
      </mfrac>
      <mo>)</mo>
    </mrow>
  </mrow>
</math>

FV = -(PV(1+i)^N + PMT((1+i)^N-1)/i)

fv = -(pv (1 + i)^n + pmt ((1 + i)^n - 1)/i)

fv := -(pv*(1 + i)^n + pmt*((1 + i)^n - 1)/i);

fv = -(pv*(1 + i)^n + pmt*((1 + i)^n - 1)/i);

FV = -(PV(1+i)^N + PMT((1+i)^N-1)/i)

Calculer le nombre de périodes N (logarithmes, quand PMT = 0)

N = ln(−FV/PV) / ln(1 + i)

N = \dfrac{\ln\left(-\dfrac{FV}{PV}\right)}{\ln(1+i)}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>N</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow>
        <mi>ln</mi>
        <mrow>
          <mo>(</mo>
          <mo>&#x2212;</mo>
          <mfrac><mi>FV</mi><mi>PV</mi></mfrac>
          <mo>)</mo>
        </mrow>
      </mrow>
      <mrow>
        <mi>ln</mi>
        <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>i</mi><mo>)</mo></mrow>
      </mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

N = ln(-FV/PV) / ln(1+i)

n = Log[-fv/pv]/Log[1 + i]

n := ln(-fv/pv)/ln(1 + i);

n = log(-fv/pv)/log(1 + i);

N = ln(-FV/PV)/ln(1+i)

La formule particulière pour un taux de 0 % (quand i = 0)

PV + PMT × N + FV = 0

PV + PMT \cdot N + FV = 0

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>PV</mi>
    <mo>+</mo>
    <mi>PMT</mi>
    <mo>&#x22C5;</mo>
    <mi>N</mi>
    <mo>+</mo>
    <mi>FV</mi>
    <mo>=</mo>
    <mn>0</mn>
  </mrow>
</math>

PV + PMT * N + FV = 0

pv + pmt n + fv == 0

pv + pmt*n + fv = 0;

pv + pmt*n + fv == 0

PV + PMT N + FV = 0

Faire faire le calcul par ChatGPT

Tu es un assistant de calcul financier (valeur temps de l’argent, TVM). Fais le calcul suivant en exécutant réellement du code Python, et appuie ta réponse uniquement sur les nombres obtenus à l’exécution (ne réponds pas de tête ni au jugé).

Utilise l’équation TVM standard PV(1+i)^N + PMT(1+i*g)*((1+i)^N - 1)/i + FV = 0 (g=1 pour des versements en début de période, g=0 en fin de période).
La convention de signe est celle d’une calculatrice financière : l’argent qui sort est négatif, l’argent qui entre est positif.

Tu empruntes 20 000 € à 6 % par an (PV = +20000) et tu rembourses par annuités constantes, à la fin de chaque année, pendant 10 ans (FV = 0).
Trouve :
1. L’annuité PMT
2. Le total des versements (PMT × 10)
3. Le total des intérêts (|PV + PMT×N + FV|)

Montre les formules utilisées et les nombres issus de l’exécution.

Mode d'emploi

1

Saisissez vos nombres

Tapez les nombres à calculer dans les champs de saisie
2

Calculez

Appuyez sur le bouton « Calculer »
3

Lisez le résultat

Le résultat s’affiche aussitôt. La même page explique aussi le raisonnement et la formule