Équation d’un cercle (forme développée et forme canonique, centre, rayon, position d’une droite)

Choisissez le sens de la conversion et entrez les coefficients de l’équation du cercle. L’équation ci-dessous est liée aux champs de saisie : vous pouvez aussi modifier les coefficients directement dans l’équation. Pour étudier la position d’une droite par rapport au cercle, choisissez « Étudier aussi la droite px + qy + s = 0 » dans la dernière liste déroulante.

Conversion

Coefficient de x, l

Coefficient de y, m

Terme constant n

Abscisse du centre, a

Ordonnée du centre, b

Membre de droite (rayon au carré r²)

Cercle et droite

Coefficient de x de la droite, p

Coefficient de y de la droite, q

Terme constant de la droite, s

Les nombres décimaux (2,5), négatifs et les fractions comme 3/4 sont acceptés. Un coefficient de x ou de y laissé vide vaut 1 (x signifie 1x). Une constante ou une coordonnée du centre laissée vide vaut 0. Entrez 0 pour les termes que vous n’utilisez pas.

Résultat et graphique

Saisissez les coefficients dans les champs à gauche, puis appuyez sur « Calculer ». Le résultat et une figure du cercle s’affichent ici.

Table des matières

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Ce que vous pouvez faire sur cette page
À quoi sert ce calcul ?
Mode d'emploi
Formules et figures
Symboles et termes
- Symboles
- Termes
Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
Calculer avec Excel
Calculer avec Google Sheets
Calculer avec Python
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
Faire faire le calcul par ChatGPT
Les atouts de DataChef
Fonctions connexes
Liste des calculatrices NumberChef

Ce que vous pouvez faire sur cette page

Passez de la forme développée de l’équation d’un cercle, \(x^{2} + y^{2} + lx + my + n = 0\), à sa forme canonique \((x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}\), et obtenez le centre et le rayon en valeurs exactes, avec fractions et \(\sqrt{\ }\) (avec les étapes)
Vous pouvez aussi faire l’inverse : développer à partir du centre et du membre de droite (le carré du rayon) pour obtenir la forme développée
Si le membre de droite \(r^{2}\) est négatif ou nul, l’équation ne représente pas un cercle (un seul point, ou aucun point). Le calculateur indique lequel des deux cas, et pourquoi
Il étudie aussi la position d’une droite \(px + qy + s = 0\) par rapport au cercle (sécante en deux points, tangente ou extérieure) en comparant la distance \(d\) du centre à la droite avec le rayon \(r\), et donne les points d’intersection en valeurs exactes
Le calculateur affiche l’équation du cercle comme vous l’écririez à la main, et vous pouvez modifier les coefficients directement dans l’équation. Vous pouvez vérifier le résultat sur une figure du cercle et de la droite

Les coordonnées et les coefficients peuvent être décimaux, négatifs ou des fractions comme 3/4.

À quoi sert ce calcul ?

La détection de collisions dans les jeux vidéo (zones de collision circulaires)

Dans les jeux en 2D, on modélise très souvent la zone de collision (hitbox) d’un personnage ou d’un projectile par un cercle. Savoir si la trajectoire d’un projectile (une droite) touche le cercle d’un ennemi se décide exactement comme sur cette page : on compare la distance \(d\) du centre à la droite avec le rayon \(r\). Pour savoir si deux cercles se chevauchent, on compare de même la distance entre leurs centres avec la somme de leurs rayons.
On utilise des cercles parce que leur forme ne change pas quand ils tournent, et qu’un seul calcul de distance suffit. Si vous apprenez à programmer des jeux, vous verrez des équations de cercles à l’œuvre à chaque image.

Modéliser une zone de couverture (antennes-relais et Wi-Fi)

Dans des conditions idéales, sans obstacle, la zone couverte par une antenne-relais ou une box Wi-Fi se modélise par un cercle centré sur l’antenne (rayon = portée). « Cet endroit est-il couvert ? » revient à comparer la distance au centre avec le rayon, autrement dit à savoir si le point est à l’intérieur ou à l’extérieur du cercle.
Les vraies ondes sont perturbées par le relief et les bâtiments, et ne suivent donc pas exactement ce modèle. Mais les modèles en cercles sont un point de départ pour placer les antennes sans laisser de zones blanches.

Le principe de la géolocalisation (GPS et position de votre téléphone)

La géolocalisation par GPS repose sur cette idée : quand on connaît sa distance à un satellite, les endroits où l’on peut se trouver se réduisent à une sphère (un cercle, si l’on raisonne dans le plan). En résolvant ensemble les équations des cercles (des sphères) de distances à plusieurs satellites, on obtient le point où ils se croisent : votre position.
Le vrai calcul se fait en 3D et corrige aussi les erreurs d’horloge, il est donc plus compliqué. Mais l’idée de l’équation d’un cercle, « l’ensemble des points à distance fixe », en est la base.

Conception, dessin technique et CAO (gérer les arcs et la position des trous)

Les plans de pièces mécaniques et de bâtiments sont remplis de cercles : trous de boulons, bords arrondis, sections de tuyaux, etc. Les logiciels de CAO enregistrent un cercle par « les coordonnées du centre et le rayon », c’est-à-dire l’information de la forme canonique, et ils calculent les intersections entre cercles et droites, ainsi que les tangentes, à chaque modification d’une forme.
Des vérifications comme « si je perce un trou ici, est-il assez loin du bord ? » se ramènent elles aussi à des calculs de distance à un centre.

Tracer les virages des routes et des voies ferrées (courbes circulaires)

La forme de base d’un virage de route ou de voie ferrée est un arc de cercle, appelé courbe circulaire, que les plans décrivent par son centre et son rayon. Plus le rayon est petit, plus le virage est serré : les règles de conception routière fixent donc un rayon minimal pour chaque vitesse de référence.
Là où une ligne droite se raccorde en douceur à un virage, on utilise directement la condition « la droite est tangente au cercle ». La notion de tangente façonne les vraies routes.

Formules et figures

Équation d’un cercle (forme canonique)

Figure

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\((x - a)^{2}\) \(+\) \((y - b)^{2}\) \(=\) \(r^{2}\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

① carré de l’écart entre \(x\) et l’abscisse \(a\) du centre \(+\) ② carré de l’écart entre \(y\) et l’ordonnée \(b\) du centre \(=\) ③ \(r^{2}\) : carré du rayon

La formule en mots

① Pour tout point \((x\,;\,y)\) du cercle, le carré de l’écart horizontal avec le centre, \(x - a\)

② plus le carré de l’écart vertical avec le centre, \(y - b\)

③ est égal au carré du rayon \(r\)

Exemple simple

L’équation du cercle de centre (1 ; 2) et de rayon 3 est

\((x - 1)^{2}\) \(+\) \((y - 2)^{2}\) \(=\) \(3^{2} = 9\)

\((x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 9\)

L’idée clé

Un cercle est l’ensemble des points situés à une distance fixe (le rayon \(r\)) du centre. Écrivez la distance entre un point \((x\,;\,y)\) du cercle et le centre \((a\,;\,b)\) avec le théorème de Pythagore : vous obtenez \(\sqrt{(x-a)^{2} + (y-b)^{2}} = r\). En élevant les deux membres au carré, on obtient la forme canonique. Autrement dit, la forme canonique est la définition du cercle, « à la distance \(r\) du centre », écrite sous forme d’équation. Attention : le membre de droite est \(r^{2}\), le carré du rayon. Le rayon de \((x-1)^{2} + (y-2)^{2} = 9\) n’est pas 9, mais \(\sqrt{9} = 3\).

Forme développée → forme canonique (trouver le centre et le rayon)

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(\mathrm{C}\) \(=\) \(\left(-\dfrac{l}{2}\,;\ -\dfrac{m}{2}\right)\)

\(r^{2}\) \(=\) \(\dfrac{l^{2}}{4} + \dfrac{m^{2}}{4} - n\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

② \(\mathrm{C}\) : centre \(=\) ① moitiés du coefficient \(l\) de \(x\) et du coefficient \(m\) de \(y\), changées de signe

④ \(r^{2}\) : carré du rayon \(=\) ③ somme des carrés des demi-coefficients, moins le terme constant \(n\)

La formule en mots

① On met la forme développée \(x^{2} + y^{2} + lx + my + n = 0\) sous forme canonique. Les moitiés des coefficients \(l\) et \(m\), changées de signe,

② donnent le centre \(\mathrm{C}\)

③ et la somme des carrés des demi-coefficients moins le terme constant \(n\)

④ est le carré du rayon \(r^{2}\)

Exemple simple

La mise sous forme canonique de \(x^{2} + y^{2} - 4x - 6y + 9 = 0\) donne

centre \((2\,;\,3)\) \(,\) \(r^{2} = 4 + 9 - 9 = 4\)

\(x^{2} - 4x = (x - 2)^{2} - 4\)

\(y^{2} - 6y = (y - 3)^{2} - 9\)

\((x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 4 + 9 - 9 = 4\)

\(r = \sqrt{4} = 2\)

L’idée clé

La mise sous forme canonique réécrit « un terme au carré plus un terme du premier degré », comme \(x^{2} - 4x\), sous la forme « (quelque chose) au carré plus une constante », comme \((x - 2)^{2} - 4\). On construit \((x - 2)^{2}\) avec la moitié du coefficient de \(x\) (la moitié de \(-4\) est \(-2\)). En le développant, on obtient un \(+4\) en trop : on retranche donc cette quantité pour garder l’égalité. Le membre de droite du résultat est \(r^{2}\). Vérifiez toujours son signe à ce stade. S’il vaut 0, un seul point, le centre, vérifie l’équation. S’il est négatif, aucun point ne la vérifie, car une somme de carrés n’est jamais négative. Une équation sous forme développée ne représente donc pas toujours un cercle : c’est un cercle seulement si le membre de droite est strictement positif.

Position d’une droite par rapport à un cercle (comparer la distance d du centre à la droite avec le rayon r)

Figure

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(d\) \(=\) \(\dfrac{\left|\,pa + qb + s\,\right|}{\sqrt{p^{2} + q^{2}}}\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

② \(d\) : distance du centre \((a\,;\,b)\) à la droite \(=\) ① valeur absolue du membre de gauche de l’équation de la droite au centre, divisée par \(\sqrt{p^{2} + q^{2}}\)

La formule en mots

① Pour la droite \(px + qy + s = 0\), la valeur absolue du membre de gauche où l’on remplace par le centre \((a\,;\,b)\), divisée par \(\sqrt{p^{2} + q^{2}}\),

② est la distance \(d\) du centre à la droite . En comparant ce \(d\) avec le rayon \(r\), on connaît la position de la droite par rapport au cercle

Exemple simple

Pour le cercle \((x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 4\) (centre \((2\,;\,3)\), rayon 2) et la droite \(3x + 4y - 8 = 0\)

distance \(d = 2\) \(=\) rayon \(r = 2\)

\(d = \dfrac{|3 \times 2 + 4 \times 3 - 8|}{\sqrt{3^{2} + 4^{2}}} = \dfrac{10}{5} = 2\)

\(d = r\)

L’idée clé

Il y a trois cas, selon que la distance \(d\) est plus petite, égale ou plus grande que le rayon \(r\). Si \(d < r\), la droite coupe le cercle en deux points distincts (elle est sécante, et le segment qui relie ces deux points est une corde). Si \(d = r\), elle touche le cercle en un seul point (c’est une tangente, et le point commun est le point de tangence). Si \(d > r\), ils n’ont aucun point commun. Comparer des nombres avec des \(\sqrt{\ }\) est source d’erreurs : ce calculateur compare donc \(d^{2}\) et \(r^{2}\) en fractions exactes. Vous pouvez utiliser la même astuce à la main. Autre méthode : résoudre le système formé par l’équation du cercle et celle de la droite. On élimine \(y\) (ou \(x\)) et on regarde le signe du discriminant \(\Delta\) de l’équation du second degré obtenue (\(\Delta > 0\) : deux points, \(\Delta = 0\) : tangente, \(\Delta < 0\) : aucun point). C’est en résolvant ce système qu’on obtient les coordonnées des points d’intersection.

L’équation d’un cercle peut s’écrire sous deux formes : la forme canonique \((x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}\), où l’on lit le centre et le rayon, et la forme développée \(x^{2} + y^{2} + lx + my + n = 0\). La mise sous forme canonique permet de passer de l’une à l’autre, mais on n’a un cercle que si le membre de droite (la valeur à la place de \(r^{2}\)) est strictement positif. La position d’une droite par rapport à un cercle se décide en comparant la distance \(d\) du centre à la droite avec le rayon \(r\).

Symboles et termes

Symboles

\((x,\ y)\)	x, y	Les coordonnées d’un point qui se déplace sur le cercle. L’équation d’un cercle signifie : « tous les points \((x\,;\,y)\) qui vérifient cette égalité forment le cercle ».
\(a,\ b\)	a, b	Les lettres des coordonnées du centre \((a\,;\,b)\) du cercle. On utilise souvent les premières lettres de l’alphabet pour des nombres fixés : contrairement à \(x\) et \(y\) qui varient, elles ne changent pas pour un même cercle. Les manuels français notent souvent le centre \(\Omega(a\,;\,b)\).
\(r\)	r	Le rayon du cercle (initiale de « rayon »). Attention : le membre de droite de la forme canonique n’est pas \(r\) lui-même, mais son carré \(r^{2}\).
\(\mathrm{C}\)	C	Une lettre souvent utilisée pour le centre d’un cercle (initiale de « centre »). On nomme aussi parfois le cercle lui-même \(\mathcal{C}\).
\(l,\ m,\ n\)	l, m, n	Les coefficients de la forme développée \(x^{2} + y^{2} + lx + my + n = 0\). Selon les manuels, on les note aussi \(a\), \(b\), \(c\) ; le sens est le même.
\(d\)	d	La distance du centre à la droite (initiale de « distance »). En la comparant au rayon \(r\), on connaît la position de la droite par rapport au cercle.
\(p,\ q,\ s\)	p, q, s	Les coefficients de la droite \(px + qy + s = 0\) sur cette page. On écrit habituellement une droite \(ax + by + c = 0\), mais cette page utilise d’autres lettres pour ne pas les confondre avec le centre \((a\,;\,b)\).
\(\sqrt{\ }\)	racine carrée (radical)	Le symbole du nombre positif dont le carré est le nombre sous la racine (la racine carrée). On trouve le rayon par \(r = \sqrt{r^{2}}\). Par exemple, si \(r^{2} = 8\), alors \(r = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\).

Termes

cercle	La figure formée de tous les points du plan situés à une distance fixe (le rayon) d’un point (le centre). L’équation d’un cercle traduit cette définition « à distance fixe » en équation.
équation d’un cercle	Une équation qui représente un cercle dans un repère. Les points \((x\,;\,y)\) qui la vérifient forment exactement le cercle. On l’étudie en première (spécialité mathématiques), en géométrie repérée.
forme canonique	La forme \((x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}\). Son atout : on lit le centre \((a\,;\,b)\) et le rayon \(r\) d’un simple coup d’œil.
forme développée	La forme \(x^{2} + y^{2} + lx + my + n = 0\), obtenue en développant et en simplifiant la forme canonique. On n’y lit pas directement le centre ni le rayon, mais comme elle est déjà développée, elle est pratique dans les calculs.
mise sous forme canonique	Réécrire une expression comme \(x^{2} + lx\) sous la forme « (quelque chose) au carré plus une constante », comme \(\left(x + \dfrac{l}{2}\right)^{2} - \dfrac{l^{2}}{4}\). Elle sert aussi à trouver le sommet d’une parabole, et c’est la technique au cœur de cette page.
centre	Le point au milieu d’un cercle, à la même distance (le rayon) de tous les points du cercle. Le \((a\,;\,b)\) de la forme canonique donne directement les coordonnées du centre.
rayon	La distance \(r\) du centre à un point du cercle. C’est une longueur, donc un nombre toujours strictement positif. On l’obtient en prenant la racine carrée du membre de droite \(r^{2}\) de la forme canonique.
théorème de Pythagore	Le théorème selon lequel, dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Il est à la base de la distance entre deux points, et la forme canonique de l’équation d’un cercle n’est rien d’autre que ce théorème écrit en équation. On l’étudie en 4e (13-14 ans).
point d’intersection	Un point qui appartient aux deux figures à la fois (on dit aussi point commun). Pour un cercle et une droite, il y en a 2 quand la droite est sécante, 1 quand elle est tangente, et 0 quand elle est extérieure. On trouve leurs coordonnées en résolvant le système formé par les deux équations.
tangente	Une droite est tangente à un cercle quand ils ont exactement un point commun. On l’appelle une tangente, et le point commun est le point de tangence. La distance du centre à une tangente est exactement égale au rayon.
point de tangence	Le seul point commun à un cercle et à une de ses tangentes (on dit aussi point de contact). C’est le projeté orthogonal du centre sur la droite.
corde	Quand une droite coupe un cercle en deux points, le segment qui les relie est une corde. La perpendiculaire menée du centre à une corde la coupe exactement en son milieu : la demi-corde, la distance \(d\) du centre à la droite et le rayon \(r\) sont donc liés par le théorème de Pythagore.
distance d’un point à une droite	La longueur de la perpendiculaire menée d’un point à une droite (la plus courte distance du point à la droite). Elle se calcule par \(d = \dfrac{\|ax_0 + by_0 + c\|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}\) et sert à étudier la position d’une droite par rapport à un cercle.
discriminant	L’expression \(\Delta = b^{2} - 4ac\) qui indique combien de solutions a l’équation du second degré \(ax^{2} + bx + c = 0\). Le discriminant de l’équation obtenue en résolvant le système « cercle et droite » renseigne aussi sur leur position (\(\Delta > 0\) : deux points, \(\Delta = 0\) : tangente, \(\Delta < 0\) : aucun point).
repère	Une droite graduée horizontale (l’axe des abscisses) et une droite graduée verticale (l’axe des ordonnées) qui se coupent à angle droit, pour repérer chaque point par un couple de nombres \((x\,;\,y)\). C’est là que se rencontrent la géométrie et les équations.

Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer

Voici ce qu’il est utile de savoir pour utiliser le calcul de cette page en le comprenant vraiment, et pas seulement en appuyant sur le bouton.
Si vous bloquez, revoir ces notions est le chemin le plus court.

Repérer un point dans un repère (5e-4e, 12-14 ans)	Savoir repérer un point par un couple de nombres \((x\,;\,y)\) (par exemple, le point \((2\,;\,3)\) est à 2 vers la droite et à 3 vers le haut depuis l’origine) Avoir l’idée que « tous les points qui vérifient une équation forment sa courbe (une figure) »
Le théorème de Pythagore et la distance entre deux points (4e-seconde, 13-16 ans)	Savoir que, dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés Savoir que la distance entre deux points vaut \(\sqrt{(x_2 - x_1)^{2} + (y_2 - y_1)^{2}}\) (c’est le théorème de Pythagore lui-même)
Les racines carrées (3e-seconde, 14-16 ans)	Savoir trouver le nombre positif dont le carré est un nombre donné, comme \(\sqrt{4} = 2\) Savoir simplifier une racine en sortant un carré, comme \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\)
Développer, factoriser et mettre sous forme canonique (seconde-première, 15-17 ans)	Savoir développer avec les identités remarquables, comme \((x - 2)^{2} = x^{2} - 4x + 4\) Savoir faire apparaître un carré, comme \(x^{2} - 4x = (x - 2)^{2} - 4\) (la même transformation que pour trouver le sommet d’une parabole) Savoir résoudre une équation du second degré en factorisant ou avec le discriminant, et connaître le lien entre le signe de \(\Delta = b^{2} - 4ac\) et le nombre de solutions
La distance d’un point à une droite (première, 16-17 ans)	Savoir écrire une droite sous la forme \(ax + by + c = 0\) (équation cartésienne), y compris à partir de \(y = mx + k\) Savoir que la distance du point \((x_0\,;\,y_0)\) à la droite \(ax + by + c = 0\) vaut \(\dfrac{\|ax_0 + by_0 + c\|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}\)

Calculer avec Excel

Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 d’Excel. Il fonctionne tel quel.

Tableau forme développée → forme canonique (centre et rayon)

Coefficient de x, l	-4
Coefficient de y, m	-6
Terme constant n	9
Abscisse du centre (−l/2)	=-B1/2
Ordonnée du centre (−m/2)	=-B2/2
Carré du rayon r² (l²/4 + m²/4 − n)	=B1^2/4+B2^2/4-B3
Rayon r (un cercle seulement si r² > 0)	=SI(B6>0;RACINE(B6);"pas un cercle")

Tableau forme canonique → forme développée

Abscisse du centre, a	1
Ordonnée du centre, b	-2
Membre de droite (rayon au carré r²)	9
Coefficient de x, l (−2a)	=-2*B1
Coefficient de y, m (−2b)	=-2*B2
Terme constant n (a² + b² − r²)	=B1^2+B2^2-B3

Tableau pour étudier la position d’une droite par rapport au cercle

Abscisse du centre, a	2
Ordonnée du centre, b	3
Rayon r	2
Coefficient de x de la droite, p	3
Coefficient de y de la droite, q	4
Terme constant de la droite, s	-8
Distance d du centre à la droite	=ABS(B4B1+B5B2+B6)/RACINE(B4^2+B5^2)
Position	=SI(B7<B3;"deux points";SI(B7=B3;"tangente";"aucun point"))

Une fois le tableau collé, les lignes du haut (coefficients, etc.) sont vos données et les lignes du bas se calculent automatiquement. « ^ » est une puissance, RACINE donne la racine carrée et ABS la valeur absolue.
Le premier tableau reprend l’exemple x²+y²−4x−6y+9=0 : centre (2 ; 3), r²=4 et rayon 2. Si r² est négatif ou nul, l’équation ne représente pas un cercle, et la cellule affiche « pas un cercle ».
Le deuxième tableau reprend l’exemple de centre (1 ; −2) avec r²=9 : l=−2, m=4, n=−4, donc l’équation est x²+y²−2x+4y−4=0.
Le troisième tableau reprend l’exemple du cercle (x−2)²+(y−3)²=4 et de la droite 3x+4y−8=0. d=2 est égal au rayon 2 : le résultat est « tangente ». RACINE peut introduire de petites erreurs d’arrondi : pour vérifier une tangence exacte, il est plus sûr de comparer d² et r² (comparez =(B4*B1+B5*B2+B6)^2/(B4^2+B5^2) avec B3^2).

Calculer avec Google Sheets

Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 de Google Sheets. Il fonctionne tel quel.

Tableau forme développée → forme canonique (centre et rayon)

Coefficient de x, l	-4
Coefficient de y, m	-6
Terme constant n	9
Abscisse du centre (−l/2)	=-B1/2
Ordonnée du centre (−m/2)	=-B2/2
Carré du rayon r² (l²/4 + m²/4 − n)	=B1^2/4+B2^2/4-B3
Rayon r (un cercle seulement si r² > 0)	=SI(B6>0;RACINE(B6);"pas un cercle")

Tableau forme canonique → forme développée

Abscisse du centre, a	1
Ordonnée du centre, b	-2
Membre de droite (rayon au carré r²)	9
Coefficient de x, l (−2a)	=-2*B1
Coefficient de y, m (−2b)	=-2*B2
Terme constant n (a² + b² − r²)	=B1^2+B2^2-B3

Tableau pour étudier la position d’une droite par rapport au cercle

Abscisse du centre, a	2
Ordonnée du centre, b	3
Rayon r	2
Coefficient de x de la droite, p	3
Coefficient de y de la droite, q	4
Terme constant de la droite, s	-8
Distance d du centre à la droite	=ABS(B4B1+B5B2+B6)/RACINE(B4^2+B5^2)
Position	=SI(B7<B3;"deux points";SI(B7=B3;"tangente";"aucun point"))

Les mêmes formules qu’Excel fonctionnent telles quelles. Copiez tout le tableau, collez-le dans la cellule A1, puis remplacez les coefficients par vos propres nombres.

Calculer avec Python

from fractions import Fraction
import math

# Coefficients de la forme développée x² + y² + lx + my + n = 0 (une fraction comme 3/4 s’écrit Fraction(3, 4))
coef_l = Fraction(-4)
coef_m = Fraction(-6)
coef_n = Fraction(9)

center_x = -coef_l / 2
center_y = -coef_m / 2
radius_squared = coef_l ** 2 / 4 + coef_m ** 2 / 4 - coef_n

print(f"Centre : ({center_x} ; {center_y})")
print(f"Carré du rayon r² : {radius_squared}")
if radius_squared > 0:
    print(f"Rayon r : {math.sqrt(radius_squared)}")
elif radius_squared == 0:
    print("Pas un cercle : l’équation représente un seul point, le centre")
else:
    print("Pas un cercle : aucun point ne vérifie cette équation")

# Position par rapport à la droite px + qy + s = 0 (on compare d² et r² en fractions, donc sans erreur d’arrondi)
line_p = Fraction(3)
line_q = Fraction(4)
line_s = Fraction(-8)
distance_squared = (line_p * center_x + line_q * center_y + line_s) ** 2 / (line_p ** 2 + line_q ** 2)
if distance_squared < radius_squared:
    print("La droite coupe le cercle en deux points distincts")
elif distance_squared == radius_squared:
    print("La droite est tangente au cercle")
else:
    print("La droite et le cercle n’ont aucun point commun")

Avec le module fractions de la bibliothèque standard, on calcule avec des fractions exactes, sans erreur d’arrondi. Cet exemple utilise le cercle x²+y²−4x−6y+9=0 et la droite 3x+4y−8=0. Le programme affiche le centre (2 ; 3), r²=4, le rayon 2 (sous forme décimale) et « La droite est tangente au cercle ». La distance et le rayon sont comparés via d² et r², pour que les erreurs d’arrondi de la racine carrée ne faussent pas le test de tangence. Modifiez les coefficients et relancez le programme.

Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)

Équation d’un cercle (forme canonique)

(x − a)² + (y − b)² = r²

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msup><mrow><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>a</mi><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup>
    <mo>+</mo>
    <msup><mrow><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>b</mi><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup>
    <mo>=</mo>
    <msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
  </mrow>
</math>

(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2

(x - a)^2 + (y - b)^2 == r^2

(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2;

(x - a)^2 + (y - b)^2 == r^2

(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2

Forme développée → forme canonique (trouver le centre et le rayon)

(x + l/2)² + (y + m/2)² = l²/4 + m²/4 − n

\left(x + \frac{l}{2}\right)^{2} + \left(y + \frac{m}{2}\right)^{2} = \frac{l^{2}}{4} + \frac{m^{2}}{4} - n

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msup><mrow><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mfrac><mi>l</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup>
    <mo>+</mo>
    <msup><mrow><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>+</mo><mfrac><mi>m</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><msup><mi>l</mi><mn>2</mn></msup><mn>4</mn></mfrac>
    <mo>+</mo>
    <mfrac><msup><mi>m</mi><mn>2</mn></msup><mn>4</mn></mfrac>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mi>n</mi>
  </mrow>
</math>

(x + l/2)^2 + (y + m/2)^2 = l^2/4 + m^2/4 - n

Simplify[(x + l/2)^2 + (y + m/2)^2 - (l^2/4 + m^2/4 - n) == x^2 + y^2 + l x + m y + n]

Student:-Precalculus:-CompleteSquare(x^2 + y^2 + l*x + m*y + n, [x, y]);

expand((x + l/2)^2 + (y + m/2)^2 - (l^2/4 + m^2/4 - n))

(x + l/2)^2 + (y + m/2)^2 = l^2/4 + m^2/4 - n

Position d’une droite par rapport à un cercle (comparer la distance d du centre à la droite avec le rayon r)

d = |pa + qb + s| / √(p² + q²)

d = \frac{\left|pa + qb + s\right|}{\sqrt{p^{2} + q^{2}}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mo>|</mo><mi>p</mi><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>q</mi><mi>b</mi><mo>+</mo><mi>s</mi><mo>|</mo></mrow>
      <msqrt><mrow><msup><mi>p</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>q</mi><mn>2</mn></msup></mrow></msqrt>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

d = |p a + q b + s| / sqrt(p^2 + q^2)

d = Abs[p a + q b + s]/Sqrt[p^2 + q^2]

d := abs(p*a + q*b + s)/sqrt(p^2 + q^2);

d = abs(p*a + q*b + s)/sqrt(p^2 + q^2);

d = |pa + qb + s|/√(p^2 + q^2)

Faire faire le calcul par ChatGPT

Tu es un assistant de calcul mathématique spécialisé en géométrie repérée. Fais le calcul suivant en exécutant réellement du code Python, et appuie ta réponse uniquement sur les nombres obtenus à l’exécution (ne réponds pas de tête ni au jugé).

Pour le cercle d’équation x² + y² − 4x − 6y + 9 = 0, donne :
1. L’équation mise sous forme canonique (x−a)² + (y−b)² = r²
2. Le centre et le rayon (en valeurs exactes)
3. La position de la droite 3x + 4y − 8 = 0 par rapport au cercle (sécante en deux points / tangente / extérieure), et les coordonnées des éventuels points d’intersection

En Python, utilise le module fractions de la bibliothèque standard (ou sympy) pour calculer de façon exacte, et compare la distance au rayon en comparant d² et r². Montre les formules utilisées et les nombres obtenus à l’exécution.

Mode d'emploi

1

Saisissez vos nombres

Tapez les nombres à calculer dans les champs de saisie
2

Calculez

Appuyez sur le bouton « Calculer »
3

Lisez le résultat

Le résultat s’affiche aussitôt. La même page explique aussi le raisonnement et la formule