Entrez la latitude et la longitude de deux points pour obtenir leur distance à la surface de la Terre, en km et en miles. Vous pouvez saisir les angles en degrés décimaux ou en DMS.
Remplissez tous les champs avec des nombres. En degrés décimaux, les latitudes sud et les longitudes ouest sont négatives (par exemple, 4,4861° O → −4,4861). En DMS, choisissez N/S et E/O dans les listes déroulantes.
Résultat
Saisissez la latitude et la longitude des deux points dans les champs à gauche, puis appuyez sur « Calculer ». Le résultat s’affiche ici.
Table des matières
-
Ce que vous pouvez faire sur cette page
-
À quoi sert ce calcul ?
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Mode d'emploi
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Formule
-
Symboles et termes
-
Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
-
Calculer avec Excel
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Calculer avec Google Sheets
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Calculer avec Python
-
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
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Faire faire le calcul par ChatGPT
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Les atouts de DataChef
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Fonctions connexes
-
Liste des calculatrices NumberChef
Ce que vous pouvez faire sur cette page
- Entrez la latitude et la longitude de deux points : vous obtenez tout de suite la distance qui les sépare à la surface de la Terre (en km et en miles)
- Saisie en degrés décimaux (par exemple 48,8584) ou en degrés, minutes, secondes (DMS, par exemple 48°51′30,24″). On passe de l’un à l’autre avec les boutons radio
- Le calcul utilise la formule de Lambert, qui assimile la Terre à un ellipsoïde (une sphère légèrement aplatie). C’est plus proche de la vraie Terre que la formule de haversine, qui la traite comme une sphère parfaite
- Une explication simple des formules et des formules à copier-coller pour Excel, Google Sheets et Python se trouvent aussi sur cette page
Le résultat est la longueur approximative du plus court chemin à la surface de la Terre (la géodésique, la distance « à vol d’oiseau »), et non la distance parcourue par la route ou le train. En degrés décimaux, entrez les latitudes sud et les longitudes ouest en négatif (Brest, à l’ouest du méridien de Greenwich, a une longitude négative).
À quoi sert ce calcul ?
Routes aériennes et distances de vol (aviation)
Les avions volent au plus près du plus court chemin qui suit la courbure de la Terre (l’orthodromie). La distance de vol entre deux villes s’estime donc comme une distance à la surface de la Terre, comme sur cette page (Paris–New York fait environ 5 850 km). Les « miles » des programmes de fidélité des compagnies aériennes reposent eux aussi sur ce type de distance.
Sur une carte plane, un vol Paris–Los Angeles semble faire un grand détour par le Groenland. En calculant cette distance, on comprend que ce trajet est en réalité le plus court.
La géolocalisation sur votre téléphone (recherche « à proximité »)
Quand une appli de cartes ou de livraison trie des lieux « du plus proche au plus éloigné », elle calcule la distance entre votre position et chaque magasin à partir de leurs latitudes et longitudes. En programmation, la formule de haversine (modèle sphérique) est l’outil standard pour cela, et les formules sur l’ellipsoïde, comme la formule de Lambert de cette page, servent quand il faut plus de précision.
Derrière les applis que vous utilisez tous les jours, ce type de formule est calculé en permanence.
La distance GPS des applis de course et de randonnée (sport)
Une montre GPS ou une appli de course enregistre votre position toutes les quelques secondes, calcule la distance entre chaque paire de points avec ce type de formule, puis les additionne. Chaque tronçon ne fait que quelques dizaines de mètres, mais la conversion latitude-longitude → distance est répétée des milliers de fois pour afficher « vous avez couru 10,2 km aujourd’hui ».
Planification des traversées et milles marins (transport maritime et logistique)
En mer, les distances se mesurent en milles marins (1 mille marin = 1,852 km, à peu près la longueur d’une minute de latitude). La route du port de départ au port d’arrivée se planifie comme une distance qui suit la courbure de la Terre, et l’heure d’arrivée comme la consommation de carburant s’estiment à partir de ce calcul.
Le transport maritime achemine une grande partie du commerce mondial, et le calcul de distance à partir des latitudes et longitudes fait partie de ce qui le fait tourner.
« À X km de l’épicentre » dans les bulletins sur les séismes (prévention des risques)
Les bulletins du type « l’épicentre est situé à 15 km au sud-ouest de la ville » viennent du même calcul : la distance entre la latitude et la longitude de l’épicentre (le point de la surface situé juste au-dessus du foyer du séisme) et celles de chaque commune ou station de mesure.
Savoir, chiffres à l’appui, à quelle distance votre logement se trouve des failles actives et des épicentres passés est un bon premier pas pour se préparer aux séismes.
Formule
Angle au centre \(c\) entre les deux points (formule de Lambert, 1re partie)
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(U\)
\(=\)
\(\arctan\bigl((1 - f)\tan \varphi\bigr)\)
\(c\)
\(=\)
\(2\arcsin\sqrt{\sin^2\!\frac{U_2 - U_1}{2} + \cos U_1 \cos U_2 \sin^2\!\frac{\lambda_2 - \lambda_1}{2}}\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
②
\(U\) : latitude réduite
\(=\)
①
latitude \(\varphi\) réduite selon l’aplatissement \(f\)
④
\(c\) : angle au centre entre les deux points
\(=\)
③
angle obtenu à partir des écarts de latitude réduite et de longitude
La formule en mots
①
Pour chacun des deux points, on calcule la
latitude \(\varphi\) réduite selon l’aplatissement \(f\), \(\arctan((1-f)\tan\varphi)\)
②
pour obtenir la
latitude réduite \(U\)
(\(U_1\) et \(U_2\)). On calcule ensuite l’
③
angle obtenu à partir de l’écart de latitude réduite \(U_2 - U_1\) et de l’écart de longitude \(\lambda_2 - \lambda_1\)
④
et on obtient l’
angle au centre \(c\) entre les deux points
(l’angle sous lequel on voit les deux points depuis le centre de la Terre)
Exemple simple
L’angle au centre entre Paris (48,8584° N ; 2,2945° E) et Marseille (43,2965° N ; 5,3698° E) vaut
angle au centre \(c\)
\(=\)
angle obtenu à partir des écarts de latitude réduite et de longitude de Paris et de Marseille
\(U_1 = \arctan\bigl((1 - \tfrac{1}{298{,}257})\tan 48{,}8584^\circ\bigr) \approx 48{,}7630^\circ \ ;\quad U_2 \approx 43{,}2005^\circ\)
\(c = 2\arcsin\sqrt{0{,}00270053} \approx 0{,}103980 \ \mathrm{rad} \ (\approx 5{,}9576^\circ)\)
L’idée clé
La Terre n’est pas une sphère parfaite. Son rayon équatorial mesure environ 6 378 km et son rayon polaire environ 6 357 km : elle est aplatie du nord au sud d’environ 1/300. Cette forme s’appelle un ellipsoïde de révolution. L’aplatissement \(f = \dfrac{1}{298{,}257}\) mesure à quel point elle est écrasée, et si l’on met directement la latitude dans une formule prévue pour une sphère, le résultat est faussé d’autant. On convertit donc d’abord chaque latitude en latitude réduite \(U\), une latitude corrigée pour pouvoir traiter l’ellipsoïde comme une sphère. On applique ensuite la formule classique de l’angle au centre entre deux points d’une sphère (une formule de type haversine).
En programmation, écrire \(c = 2\,\mathrm{atan2}(\sqrt{a},\ \sqrt{1-a})\) (où \(a\) est l’expression sous la racine) donne la même valeur que \(2\arcsin\sqrt{a}\), mais de façon plus stable numériquement. C’est cette forme qu’utilise le calculateur de cette page.
Correction due à l’ellipsoïde et distance \(d\) (formule de Lambert, 2e partie)
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(d\)
\(=\)
\(6378{,}1\)
\(\times\)
\(\bigl(\)
\(c\)
\(-\)
\(\frac{f(X + Y)}{2}\)
\(\bigr)\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
④
\(d\) : distance entre les deux points
\(=\)
③
rayon équatorial, 6378,1 km
\(\times\)
\(\bigl(\)
①
\(c\) : angle au centre
\(-\)
②
correction d’aplatissement \(f(X+Y) \div 2\)
\(\bigr)\)
La formule en mots
①
À l’
angle au centre \(c\) (en radians)
②
on retranche la
correction d’aplatissement \(f(X+Y) \div 2\) (\(X\) et \(Y\) sont des valeurs intermédiaires de la correction)
③
on multiplie par le
rayon équatorial, 6378,1 km
④
et on obtient la
distance \(d\) entre les deux points
(en km)
Exemple simple
Pour Paris et Marseille (angle au centre c ≈ 0,103980 rad)
distance \(d\)
\(=\)
rayon équatorial (6378,1 km)
\(\times\)
\(\bigl(\)
angle au centre (0,103980 rad)
\(-\)
correction d’aplatissement (environ 0,0001468)
\(\bigr)\)
\(X \approx 0{,}0000969 \ ;\quad Y \approx 0{,}087473 \ ;\quad \frac{f(X + Y)}{2} \approx 0{,}0001468\)
\(d = 6378{,}1 \times (0{,}103980 - 0{,}0001468) \approx 662{,}3 \ \mathrm{km} \quad (662{,}3 \div 1{,}60935 \approx 411{,}5 \ \mathrm{mi})\)
L’idée clé
La base, c’est la relation du secteur circulaire : longueur de l’arc = rayon × angle au centre (en radians). \(6378{,}1 \times c\) seul donne la longueur de l’arc sur une sphère de rayon égal au rayon équatorial : environ 663,2 km entre Paris et Marseille. Le terme \(\dfrac{f(X+Y)}{2}\) corrige ensuite l’aplatissement (ici, il raccourcit la distance d’environ 0,9 km, à 662,3 km). Pour obtenir le résultat en miles, divisez par 1,60935 (ou utilisez le rayon 3963,15 mi à la place de 6378,1 km).
Les définitions exactes des valeurs intermédiaires \(X\) et \(Y\) sont \(X = \dfrac{(c - \sin c)\sin^2 P \cos^2 Q}{\cos^2(c/2)}\) et \(Y = \dfrac{(c + \sin c)\sin^2 Q \cos^2 P}{\sin^2(c/2)}\), avec \(P = \dfrac{U_1 + U_2}{2}\) et \(Q = \dfrac{U_2 - U_1}{2}\). Elles ont l’air compliquées, mais toutes se calculent pas à pas à partir des latitudes réduites et de l’angle au centre trouvés dans la première formule. L’erreur de la formule de Lambert serait d’environ 10 mètres, même sur des distances de plusieurs milliers de kilomètres.
Conversion de DMS en degrés décimaux
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(D\)
\(=\)
\(d\)
\(+\)
\(\frac{m}{60}\)
\(+\)
\(\frac{s}{3600}\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
④
\(D\) : angle en degrés décimaux
\(=\)
①
\(d\) : degrés
\(+\)
②
minutes \(m \div 60\)
\(+\)
③
secondes \(s \div 3600\)
La formule en mots
①
Aux
degrés \(d\)
②
on ajoute les
minutes \(m\) divisées par 60
③
et les
secondes \(s\) divisées par 3600
④
et on obtient l’
angle en degrés décimaux \(D\)
(pour une latitude sud ou une longitude ouest, on ajoute un signe moins à la fin)
Exemple simple
La latitude du Vieux-Port de Marseille, 43°17′47,4″ N, en degrés décimaux, vaut
angle en degrés décimaux \(D\)
\(=\)
degrés (43)
\(+\)
minutes (17) ÷ 60
\(+\)
secondes (47,4) ÷ 3600
\(43 + \frac{17}{60} + \frac{47{,}4}{3600} = 43 + 0{,}283333\ldots + 0{,}013166\ldots \approx 43{,}2965\)
L’idée clé
Les degrés, minutes et secondes comptent en base 60, exactement comme les heures, minutes et secondes. 1 degré = 60 minutes et 1 minute = 60 secondes (donc 1 degré = 3600 secondes). C’est pourquoi on divise les minutes par 60 et les secondes par 3600 pour les convertir en degrés.
Pour une latitude sud ou une longitude ouest, on met un signe moins devant toute la valeur convertie (par exemple, 4°29′9,96″ O → −4,4861° pour Brest). En degrés décimaux, entrez cette valeur négative dans le calculateur. En DMS, choisir « S » ou « O » dans la liste déroulante revient au même.
La formule de Lambert calcule la distance entre deux points donnés par leur latitude et leur longitude en trois temps. On assimile la Terre à un ellipsoïde légèrement aplati, on calcule l’angle au centre entre les deux points, puis on applique « longueur de l’arc = rayon × angle au centre » avec une correction d’aplatissement. Le format DMS compte en base 60 comme les heures : minutes ÷ 60 et secondes ÷ 3600 donnent les degrés décimaux.
Symboles et termes
Symboles
| \(\varphi\) | phi | La latitude : l’angle qui indique à quelle distance au nord ou au sud de l’équateur (0°) se trouve un lieu. Le nord est positif et le sud négatif (de −90° à 90°). |
| \(\lambda\) | lambda | La longitude : l’angle qui donne la position est-ouest, mesurée à partir du méridien d’origine (0°), qui passe par l’ancien observatoire royal de Greenwich, en Angleterre. L’est est positif et l’ouest négatif (de −180° à 180°). |
| \(f\) | f | L’aplatissement de la Terre : à quel point l’ellipsoïde est écrasé, sous forme de rapport. Ce calcul utilise \(f = \dfrac{1}{298{,}257}\). |
| \(U\) | u | La latitude réduite : la latitude sur l’ellipsoïde, convertie par \(U = \arctan((1-f)\tan\varphi)\) pour pouvoir l’utiliser dans des formules prévues pour une sphère. |
| \(c\) | c | L’angle au centre : l’angle sous lequel on voit les deux points depuis le centre de la Terre (en radians). Avec « longueur de l’arc = rayon × angle au centre », il est la base de la distance. |
| \(X\), \(Y\) | x, y | Des valeurs intermédiaires qui servent à corriger l’aplatissement. On les calcule à partir de l’angle au centre \(c\), de la moyenne des latitudes réduites \(P = \dfrac{U_1+U_2}{2}\) et de leur demi-écart \(Q = \dfrac{U_2-U_1}{2}\). |
| \(d\) | d | La distance entre les deux points (initiale de « distance »). Cette page l’affiche en km (kilomètres) et en miles. |
| ° ′ ″ | degré, minute, seconde | Les symboles des degrés, minutes et secondes d’angle. 1° = 60′ et 1′ = 60″. Exemple : 48°51′30,24″ (48 degrés, 51 minutes, 30,24 secondes). |
Termes
| latitude | L’angle qui donne la position nord-sud, l’équateur étant à 0°. Le pôle Nord est à 90° N et le pôle Sud à 90° S. C’est une notion de base des cartes et de la géolocalisation, vue en géographie au collège. La France métropolitaine s’étend d’environ 41° N (sud de la Corse) à 51° N (Dunkerque). |
| longitude | L’angle qui donne la position est-ouest, le méridien d’origine (la ligne qui passe par Greenwich, en Angleterre) étant à 0°. Elle va jusqu’à 180° est et 180° ouest. La France métropolitaine s’étend d’environ 5° O (pointe de Bretagne) à 9,5° E (Corse). |
| DMS | Une écriture des angles en base 60, avec des degrés, des minutes et des secondes. 1 degré = 60 minutes et 1 minute = 60 secondes. Elle est courante sur les cartes IGN, les cartes marines et les appareils GPS. |
| ellipsoïde | Ici, un ellipsoïde de révolution, le solide obtenu en faisant tourner une ellipse autour de son axe. La rotation de la Terre la fait gonfler à l’équateur : on la modélise donc par un ellipsoïde plutôt que par une sphère. |
| aplatissement | Le rapport qui indique à quel point un ellipsoïde est écrasé, défini par (rayon équatorial − rayon polaire) ÷ rayon équatorial. Pour la Terre, il vaut environ 1/300. |
| latitude réduite | La latitude d’un point de l’ellipsoïde une fois reporté sur le cercle (la sphère) auxiliaire à partir duquel l’ellipse est construite. On la calcule par \(U = \arctan((1-f)\tan\varphi)\), et elle sert en géodésie (la science qui mesure la forme de la Terre). On l’appelle aussi latitude paramétrique. |
| angle au centre | L’angle sous lequel on voit deux points depuis le centre d’un cercle ou d’une sphère. La relation du secteur circulaire « longueur de l’arc = rayon × angle au centre (en radians) » est la base du calcul de distance de cette page. |
| géodésique | Le plus court chemin entre deux points d’une surface courbe. Sur la Terre, il est proche de l’orthodromie (la route du grand cercle), et les routes aériennes en suivent à peu près la forme. Cette page calcule la longueur approximative le long de la géodésique. |
| formule de haversine | Une formule célèbre qui calcule la distance entre deux points en traitant la Terre comme une sphère parfaite. La formule de Lambert de cette page en est une version améliorée pour l’ellipsoïde, et elle utilise une formule de type haversine pour l’angle au centre dans sa première étape. |
| formule de Lambert | Une méthode de calcul de la distance entre deux points qui modélise la Terre par un ellipsoïde. Son erreur serait d’environ 10 mètres même sur plusieurs milliers de kilomètres, ce qui est plus précis que l’approximation sphérique. |
| mile | Une unité de distance utilisée surtout aux États-Unis et au Royaume-Uni (le mile terrestre). 1 mile ≈ 1,609 km (exactement 1,609344 km selon la définition internationale). Ce calculateur convertit avec 1 mile = 1,60935 km. C’est une unité différente du mille marin ci-dessous. |
| mille marin | Une unité de distance utilisée en navigation maritime et aérienne (on dit aussi mille nautique). 1 mille marin = 1,852 km. Il a été choisi pour valoir à peu près la longueur d’une minute (1/60 de degré) de latitude. |
Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
Voici ce qu’il est utile de savoir pour utiliser le calcul de cette page en le comprenant vraiment, et pas seulement en appuyant sur le bouton.
Pour simplement trouver une distance, savoir lire une latitude et une longitude suffit. Pour comprendre ce qu’il y a dans les formules, il faut remonter jusqu’à la trigonométrie et aux radians.
| Latitude et longitude (géographie, 6e, 11-12 ans) |
|
| Les angles et la base 60 (CM1-6e, 9-12 ans) |
|
| La longueur d’un arc de cercle (3e-seconde, 14-16 ans) |
|
| La trigonométrie sin, cos et tan (4e-3e, 13-15 ans) |
|
| Les radians (première, 16-17 ans) |
|
| La forme de la Terre (sciences, collège, 11-15 ans) |
|
Calculer avec Excel
Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 d’Excel. Il fonctionne tel quel.
Tableau de conversion DMS → degrés décimaux
| Degrés | 43 |
| Minutes | 17 |
| Secondes | 47,4 |
| Degrés décimaux (ajouter − pour S et O) | =B1+B2/60+B3/3600 |
Tableau pour calculer la distance avec la formule de Lambert
| Latitude du point 1 (décimale ; S = −) | 48,8584 |
| Longitude du point 1 (décimale ; O = −) | 2,2945 |
| Latitude du point 2 | 43,2965 |
| Longitude du point 2 | 5,3698 |
| Aplatissement f | =1/298,257 |
| Latitude réduite U1 | =ATAN((1-B5)*TAN(RADIANS(B1))) |
| Latitude réduite U2 | =ATAN((1-B5)*TAN(RADIANS(B3))) |
| Écart de longitude Δλ (radians) | =RADIANS(B4-B2) |
| Terme de type haversine a | =SIN((B7-B6)/2)^2+COS(B6)*COS(B7)*SIN(B8/2)^2 |
| Angle au centre c (radians) | =2*ATAN2(RACINE(1-B9);RACINE(B9)) |
| Moyenne P | =(B6+B7)/2 |
| Demi-écart Q | =(B7-B6)/2 |
| Valeur intermédiaire X | =(B10-SIN(B10))*SIN(B11)^2*COS(B12)^2/COS(B10/2)^2 |
| Valeur intermédiaire Y | =(B10+SIN(B10))*SIN(B12)^2*COS(B11)^2/SIN(B10/2)^2 |
| Distance (km) | =6378,1*(B10-B5*(B13+B14)/2) |
| Distance (miles) | =B15/1,60935 |
Le premier tableau convertit des DMS en degrés décimaux. B4 affiche 43,2965.
Le second tableau reprend toutes les étapes de la formule de Lambert. B1 à B4 sont les données (en degrés décimaux), à partir de B6 viennent les valeurs intermédiaires des formules 1 et 2, B15 donne la distance en km (environ 662,26) et B16 la distance en miles (environ 411,51). Le calculateur de cette page les arrondit à 662,3 km et 411,5 mi.
RADIANS(…) convertit des degrés en radians. Dans Excel, ATAN2(x ; y) prend ses arguments dans l’ordre (abscisse ; ordonnée) : c’est pourquoi c s’écrit 2×ATAN2(√(1−a) ; √a).
Le second tableau reprend toutes les étapes de la formule de Lambert. B1 à B4 sont les données (en degrés décimaux), à partir de B6 viennent les valeurs intermédiaires des formules 1 et 2, B15 donne la distance en km (environ 662,26) et B16 la distance en miles (environ 411,51). Le calculateur de cette page les arrondit à 662,3 km et 411,5 mi.
RADIANS(…) convertit des degrés en radians. Dans Excel, ATAN2(x ; y) prend ses arguments dans l’ordre (abscisse ; ordonnée) : c’est pourquoi c s’écrit 2×ATAN2(√(1−a) ; √a).
Calculer avec Google Sheets
Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 de Google Sheets. Il fonctionne tel quel.
Tableau de conversion DMS → degrés décimaux
| Degrés | 43 |
| Minutes | 17 |
| Secondes | 47,4 |
| Degrés décimaux (ajouter − pour S et O) | =B1+B2/60+B3/3600 |
Tableau pour calculer la distance avec la formule de Lambert
| Latitude du point 1 (décimale ; S = −) | 48,8584 |
| Longitude du point 1 (décimale ; O = −) | 2,2945 |
| Latitude du point 2 | 43,2965 |
| Longitude du point 2 | 5,3698 |
| Aplatissement f | =1/298,257 |
| Latitude réduite U1 | =ATAN((1-B5)*TAN(RADIANS(B1))) |
| Latitude réduite U2 | =ATAN((1-B5)*TAN(RADIANS(B3))) |
| Écart de longitude Δλ (radians) | =RADIANS(B4-B2) |
| Terme de type haversine a | =SIN((B7-B6)/2)^2+COS(B6)*COS(B7)*SIN(B8/2)^2 |
| Angle au centre c (radians) | =2*ATAN2(RACINE(1-B9);RACINE(B9)) |
| Moyenne P | =(B6+B7)/2 |
| Demi-écart Q | =(B7-B6)/2 |
| Valeur intermédiaire X | =(B10-SIN(B10))*SIN(B11)^2*COS(B12)^2/COS(B10/2)^2 |
| Valeur intermédiaire Y | =(B10+SIN(B10))*SIN(B12)^2*COS(B11)^2/SIN(B10/2)^2 |
| Distance (km) | =6378,1*(B10-B5*(B13+B14)/2) |
| Distance (miles) | =B15/1,60935 |
Les mêmes formules qu’Excel (RADIANS, ATAN2, RACINE, etc.) fonctionnent telles quelles dans Google Sheets. Copiez tout le tableau, collez-le dans la cellule A1, puis remplacez B1 à B4 par vos propres latitudes et longitudes.
Calculer avec Python
import math
# Latitude et longitude des deux points (degrés décimaux ; sud et ouest en négatif)
lat1, lon1 = 35.6895, 139.6917 # point 1 (près de la gare de Tokyo)
lat2, lon2 = 34.6937, 135.5023 # point 2 (près de la gare d’Osaka)
flattening = 1 / 298.257 # aplatissement de la Terre, f
equator_radius_km = 6378.1 # rayon équatorial en km
# Formule 1, 1re partie : latitudes réduites (latitudes corrigées de l’aplatissement)
u1 = math.atan((1 - flattening) * math.tan(math.radians(lat1)))
u2 = math.atan((1 - flattening) * math.tan(math.radians(lat2)))
delta_lon = math.radians(lon2 - lon1)
# Formule 1, 2e partie : angle au centre c entre les deux points (formule de type haversine)
a = math.sin((u2 - u1) / 2) ** 2 + math.cos(u1) * math.cos(u2) * math.sin(delta_lon / 2) ** 2
central_angle = 2 * math.atan2(math.sqrt(a), math.sqrt(1 - a))
# Formule 2 : correction de l’aplatissement (X et Y), puis la distance
p = (u1 + u2) / 2
q = (u2 - u1) / 2
x = (central_angle - math.sin(central_angle)) * math.sin(p) ** 2 * math.cos(q) ** 2 / math.cos(central_angle / 2) ** 2
y = (central_angle + math.sin(central_angle)) * math.sin(q) ** 2 * math.cos(p) ** 2 / math.sin(central_angle / 2) ** 2
distance_km = equator_radius_km * (central_angle - flattening * (x + y) / 2)
distance_mile = distance_km / 1.60935
print(f"Distance entre les deux points : {distance_km:.1f} km ({distance_mile:.1f} miles)")
Fonctionne avec la seule bibliothèque standard. L’exemple utilise deux points au Japon (gares de Tokyo et d’Osaka) et affiche environ 397,2 km. Pour Paris et Marseille, remplacez ces coordonnées par celles de la tour Eiffel (48,8584 ; 2,2945) et du Vieux-Port (43,2965 ; 5,3698), en écrivant les décimales avec un point, comme le veut Python : vous obtenez environ 662,3 km. Convertissez d’abord les DMS en degrés décimaux avec « degrés + minutes ÷ 60 + secondes ÷ 3600 ». Si vous entrez exactement les mêmes coordonnées pour les deux points, le programme divise par 0 et s’arrête sur une erreur.
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
Angle au centre \(c\) entre les deux points (formule de Lambert, 1re partie)
U₁ = atan((1 − f)·tanφ₁), U₂ = atan((1 − f)·tanφ₂), c = 2·asin(√(sin²((U₂ − U₁)/2) + cosU₁·cosU₂·sin²((λ₂ − λ₁)/2)))
U_1 = \arctan\bigl((1-f)\tan\varphi_1\bigr),\ U_2 = \arctan\bigl((1-f)\tan\varphi_2\bigr),\quad c = 2\arcsin\sqrt{\sin^2\frac{U_2-U_1}{2} + \cos U_1 \cos U_2 \sin^2\frac{\lambda_2-\lambda_1}{2}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>U</mi><mi>i</mi></msub>
<mo>=</mo>
<mi>arctan</mi>
<mo>⁡</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>−</mo><mi>f</mi><mo>)</mo></mrow>
<mi>tan</mi><mo>⁡</mo><msub><mi>φ</mi><mi>i</mi></msub>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>,</mo>
<mspace width="1em"/>
<mi>c</mi>
<mo>=</mo>
<mn>2</mn>
<mi>arcsin</mi>
<mo>⁡</mo>
<msqrt>
<mrow>
<msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>⁡</mo>
<mfrac>
<mrow><msub><mi>U</mi><mn>2</mn></msub><mo>−</mo><msub><mi>U</mi><mn>1</mn></msub></mrow>
<mn>2</mn>
</mfrac>
<mo>+</mo>
<mi>cos</mi><mo>⁡</mo><msub><mi>U</mi><mn>1</mn></msub>
<mi>cos</mi><mo>⁡</mo><msub><mi>U</mi><mn>2</mn></msub>
<msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>⁡</mo>
<mfrac>
<mrow><msub><mi>λ</mi><mn>2</mn></msub><mo>−</mo><msub><mi>λ</mi><mn>1</mn></msub></mrow>
<mn>2</mn>
</mfrac>
</mrow>
</msqrt>
</mrow>
</math>
U_1 = arctan((1-f) tan(varphi_1)), U_2 = arctan((1-f) tan(varphi_2)), c = 2 arcsin(sqrt(sin^2((U_2-U_1)/2) + cos(U_1) cos(U_2) sin^2((lambda_2-lambda_1)/2)))
u1 = ArcTan[(1 - f) Tan[phi1]]; u2 = ArcTan[(1 - f) Tan[phi2]]; c = 2 ArcSin[Sqrt[Sin[(u2 - u1)/2]^2 + Cos[u1] Cos[u2] Sin[(lambda2 - lambda1)/2]^2]]
U1 := arctan((1 - f)*tan(phi1)); U2 := arctan((1 - f)*tan(phi2)); c := 2*arcsin(sqrt(sin((U2 - U1)/2)^2 + cos(U1)*cos(U2)*sin((lambda2 - lambda1)/2)^2));
u1 = atan((1 - f)*tan(phi1)); u2 = atan((1 - f)*tan(phi2)); c = 2*asin(sqrt(sin((u2 - u1)/2)^2 + cos(u1)*cos(u2)*sin((lambda2 - lambda1)/2)^2));
U_1 = atan((1 - f) tan(φ_1)), U_2 = atan((1 - f) tan(φ_2)), c = 2 asin(√(sin^2((U_2 - U_1)/2) + cos(U_1) cos(U_2) sin^2((λ_2 - λ_1)/2)))
Correction due à l’ellipsoïde et distance \(d\) (formule de Lambert, 2e partie)
d = 6378,1·(c − f·(X + Y)/2) ; X = (c − sin c)·sin²P·cos²Q ÷ cos²(c/2) ; Y = (c + sin c)·sin²Q·cos²P ÷ sin²(c/2) ; P = (U₁ + U₂)/2 ; Q = (U₂ − U₁)/2
d = 6378{,}1\left(c - \frac{f(X + Y)}{2}\right)\ ;\quad X = \frac{(c - \sin c)\sin^2 P \cos^2 Q}{\cos^2(c/2)}\ ;\quad Y = \frac{(c + \sin c)\sin^2 Q \cos^2 P}{\sin^2(c/2)}\ ;\quad P = \frac{U_1 + U_2}{2}\ ;\ Q = \frac{U_2 - U_1}{2}
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<mi>d</mi>
<mo>=</mo>
<mn>6378,1</mn>
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<mo>(</mo>
<mi>c</mi>
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<mfrac>
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<mn>2</mn>
</mfrac>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>;</mo>
<mspace width="1em"/>
<mi>X</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mo>(</mo><mi>c</mi><mo>−</mo><mi>sin</mi><mo>⁡</mo><mi>c</mi><mo>)</mo>
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<mrow><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mi>c</mi><mo>/</mo><mn>2</mn><mo>)</mo></mrow></mrow>
</mfrac>
<mo>;</mo>
<mspace width="1em"/>
<mi>Y</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mo>(</mo><mi>c</mi><mo>+</mo><mi>sin</mi><mo>⁡</mo><mi>c</mi><mo>)</mo>
<msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mo>⁡</mo><mi>Q</mi>
<msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mo>⁡</mo><mi>P</mi>
</mrow>
<mrow><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mi>c</mi><mo>/</mo><mn>2</mn><mo>)</mo></mrow></mrow>
</mfrac>
<mo>;</mo>
<mspace width="1em"/>
<mi>P</mi>
<mo>=</mo>
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<mo>;</mo>
<mi>Q</mi>
<mo>=</mo>
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</mrow>
</math>
d = 6378,1 (c - f(X + Y)/2), X = ((c - sin c) sin^2(P) cos^2(Q))/(cos^2(c/2)), Y = ((c + sin c) sin^2(Q) cos^2(P))/(sin^2(c/2)), P = (U_1 + U_2)/2, Q = (U_2 - U_1)/2
p = (u1 + u2)/2; q = (u2 - u1)/2; x = (c - Sin[c]) Sin[p]^2 Cos[q]^2/Cos[c/2]^2; y = (c + Sin[c]) Sin[q]^2 Cos[p]^2/Sin[c/2]^2; d = 6378.1 (c - f (x + y)/2)
P := (U1 + U2)/2; Q := (U2 - U1)/2; X := (c - sin(c))*sin(P)^2*cos(Q)^2/cos(c/2)^2; Y := (c + sin(c))*sin(Q)^2*cos(P)^2/sin(c/2)^2; d := 6378.1*(c - f*(X + Y)/2);
p = (u1 + u2)/2; q = (u2 - u1)/2; x = (c - sin(c))*sin(p)^2*cos(q)^2/cos(c/2)^2; y = (c + sin(c))*sin(q)^2*cos(p)^2/sin(c/2)^2; d = 6378.1*(c - f*(x + y)/2);
d = 6378,1(c - f(X + Y)/2) ; X = (c - sin c) sin^2(P) cos^2(Q)/cos^2(c/2) ; Y = (c + sin c) sin^2(Q) cos^2(P)/sin^2(c/2) ; P = (U_1 + U_2)/2 ; Q = (U_2 - U_1)/2
Conversion de DMS en degrés décimaux
D = d + m/60 + s/3600
D = d + \frac{m}{60} + \frac{s}{3600}
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<mi>D</mi>
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<mi>d</mi>
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<mo>+</mo>
<mfrac><mi>s</mi><mn>3600</mn></mfrac>
</mrow>
</math>
D = d + m/60 + s/3600
d + m/60 + s/3600
deg := d + m/60 + s/3600; # D (opérateur de dérivation) est réservé dans Maple, les degrés décimaux s’appellent donc deg
D = d + m/60 + s/3600;
D = d + m/60 + s/3600
Faire faire le calcul par ChatGPT
Tu es un assistant de calcul géographique. Fais le calcul suivant en exécutant réellement du code Python, et appuie ta réponse uniquement sur les nombres obtenus à l’exécution (ne réponds pas de tête ni au jugé). Calcule la distance entre deux points à partir de leur latitude et de leur longitude avec la formule de Lambert, qui assimile la Terre à un ellipsoïde d’aplatissement f = 1/298,257. Étapes : convertir chaque latitude en latitude réduite U = atan((1-f)·tanφ) ; a = sin²((U2-U1)/2) + cosU1·cosU2·sin²((λ2-λ1)/2) ; angle au centre c = 2·atan2(√a, √(1-a)) ; P = (U1+U2)/2 ; Q = (U2-U1)/2 ; X = (c-sin c)·sin²P·cos²Q/cos²(c/2) ; Y = (c+sin c)·sin²Q·cos²P/sin²(c/2) ; distance (km) = 6378,1·(c - f·(X+Y)/2). Point 1 : 48,8584° N, 2,2945° E (près de la tour Eiffel, Paris) Point 2 : 43,2965° N, 5,3698° E (près du Vieux-Port, Marseille) Donne la distance en km et en miles (1 mile = 1,60935 km), et montre le code utilisé et les nombres obtenus à l’exécution.
Mode d'emploi
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