Choisissez ce que vous voulez vérifier, puis saisissez les dimensions du meuble et de la porte, du couloir ou de l’ascenseur (cm). La marge est retirée de l’ouverture ou du couloir pour l’emballage, les poignées et les protections (3 cm par défaut ; laissez vide pour 3 cm, ou entrez 0 pour aucune).
Dimensions du meuble ou de l’appareil (cm)
cm
cm
cm
Mesurez la porte de l’intérieur du cadre à l’intérieur du cadre (la cote intérieure). Si la porte peut être dégondée, la largeur sans la porte peut changer le verdict.
Résultat et figure
Saisissez à gauche les trois dimensions du meuble et celles de la porte (du couloir ou de l’ascenseur), puis appuyez sur « Calculer ». Le verdict s’affiche ici, avec une figure de la face du meuble superposée à l’ouverture.
Table des matières
-
Ce que vous pouvez faire sur cette page
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À quoi sert ce calcul ?
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Mode d'emploi
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Formules et figures
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Condition pour passer une porte (ouverture utile et face qui passe)
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Condition pour passer en l’inclinant (largeur et hauteur du rectangle autour de la face inclinée)
-
Plus grande longueur qui peut tourner dans un angle de couloir en L
-
Diagonales d’une cabine d’ascenseur (la limite pour les objets longs et minces)
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Symboles et termes
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Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
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Calculer avec Excel
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Calculer avec Google Sheets
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Calculer avec Python
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Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
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Faire faire le calcul par ChatGPT
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Les atouts de DataChef
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Fonctions connexes
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Liste des calculatrices NumberChef
Ce que vous pouvez faire sur cette page
- Saisissez la largeur, la profondeur et la hauteur d’un meuble ou d’un appareil, et la largeur et la hauteur d’une porte, d’une fenêtre ou d’une autre ouverture. Vous obtenez l’un de trois verdicts : « devrait passer », « devrait passer en l’inclinant » ou « ne devrait pas passer »
- Voyez quelle face du meuble (avant, latérale ou dessus) présenter à l’ouverture (debout, sur le côté ou couché), et combien de centimètres il reste
- Pour un meuble haut et mince, voyez de combien de degrés l’incliner par rapport à la verticale. S’il ne passe pas, voyez combien de centimètres il manque
- Pour un angle de couloir en L, trouvez la plus grande longueur qui peut tourner en tenant compte de la largeur du meuble, et l’angle le plus critique
- À partir des dimensions intérieures d’une cabine d’ascenseur, voyez si le meuble entre tel quel ou incliné, et trouvez la diagonale du sol et la grande diagonale (la limite pour un objet long et mince)
Le verdict est un calcul géométrique qui assimile l’ouverture à un rectangle et le meuble à un pavé droit. La place pour l’emballage, les poignées, les boutons de porte et les protections se retire avec le champ « Marge ». Lors d’un vrai déménagement, les porteurs ont aussi besoin de place pour leurs mains : s’il ne reste que quelques centimètres, vérifiez d’abord avec le déménageur.
À quoi sert ce calcul ?
Vérifier soi-même, avant le devis du déménageur, que les gros meubles entrent dans le nouveau logement (déménagement)
Un canapé de 180 cm de large, 90 cm de profondeur et 75 cm de haut devrait passer par une porte de 80 cm de large et 200 cm de haut (marge 3 cm) si l’on présente sa face latérale (profondeur 90 × hauteur 75) à l’ouverture : le canapé posé sur le dos et entré par un bout, avec les 75 cm de hauteur en largeur et les 90 cm de profondeur en hauteur. Il passe avec 2 cm de reste en largeur. Avant de vous séparer d’un canapé en vous disant qu’« un canapé de 180 cm ne passera jamais par une porte de 80 cm », vous pouvez vérifier avec des chiffres si le bon choix de face suffit.
Avec seulement 2 cm de reste, ce sera très juste en pratique, une fois comptés les boutons de porte, les paumelles et les protections. Pour un passage aussi serré, donnez les dimensions au déménageur lors de sa visite et voyez avec lui les solutions, comme dégonder la porte ou démonter les pieds.
Vérifier la porte d’entrée et celle de la buanderie avant d’acheter un réfrigérateur ou un lave-linge (achat d’électroménager)
Un lave-linge hublot standard de 60 cm de large, 60 cm de profondeur et 85 cm de haut ne devrait pas passer par une porte de salle de bains ou de buanderie de 58 cm de passage (marge 3 cm, soit une largeur utile de 55 cm). Toutes ses faces ont un petit côté de 60 cm : il manque 5 cm en largeur. Pour un réfrigérateur ou un lave-linge, dont toutes les faces sont larges, changer de face ou incliner ne rattrape pas un manque de largeur. Il faut dégonder la porte, passer par un autre chemin ou choisir un modèle un peu plus petit.
Les guides de livraison des magasins et des fabricants indiquent souvent la largeur de passage nécessaire sous la forme « largeur de l’appareil + tant de centimètres ». Entrez ce supplément dans le champ « Marge », et vous vérifiez de la même façon que le guide. La place à l’emplacement final (hauteur des robinets, arrivée d’eau) est une autre question : voyez la notice d’installation.
Faire entrer dans une pièce une bibliothèque haute, une armoire ou un miroir en pied sans les coucher (achat ou réaménagement)
Un panneau mince de 202 cm de haut et 10 cm d’épaisseur (un miroir en pied ou le fond d’une armoire avant montage) dépasse de 2 cm pour passer debout par une porte de 200 cm de haut. Inclinez-le d’environ 20° par rapport à la verticale : la hauteur nécessaire descend à environ 193 cm et la largeur nécessaire est d’environ 79 cm, il devrait donc passer par une porte de 90 cm de large. « Il suffit de l’incliner un peu » ne marche ainsi que pour les objets minces qui dépassent de peu en hauteur.
Une bibliothèque ou une armoire épaisse demande beaucoup plus de largeur dès qu’on l’incline : on la porte en général couchée (avec le dessus ou la face latérale présenté à l’ouverture). Pour un meuble en kit monté dans la pièce, seules les pièces détachées doivent passer : pas besoin de se soucier de la taille du meuble fini.
Estimer si un long canapé ou un lit peut passer un angle de couloir en L ou un escalier à retour (appartement, location)
Dans un angle droit entre des couloirs de 85 cm et 110 cm de large (marge 3 cm), une barre sans largeur pourrait tourner jusqu’à environ 267 cm. Mais pour un canapé de 60 cm de profondeur, la plus grande longueur qui peut tourner n’est que d’environ 145 cm : un canapé de 230 cm porté à plat ne devrait pas passer. Pour un meuble qui a une largeur, la formule de la barre donne une réponse très fausse ; il faut la formule qui tient compte de la largeur.
Dans ce cas, porter le canapé debout (hauteur dans le champ de la longueur, profondeur dans celui de la largeur) marche souvent. Pour un escalier à retour (en U), prenez la largeur de l’escalier et la profondeur du palier comme largeurs de couloir \(a\) et \(b\), et voyez l’escalier comme deux angles droits à la suite : la même formule donne une estimation (comptez la main courante et les appliques dans la marge).
Choisir entre l’escalier et le monte-meubles pour un meuble qui n’entre pas dans l’ascenseur (déménagement en immeuble)
Dans une cabine de 140 cm de large, 110 cm de profondeur et 230 cm de haut (marge 3 cm), un tapis roulé de 235 cm de long et 20 cm d’épaisseur dépasse la hauteur utile de 227 cm, mais il devrait entrer si on relève son grand côté d’environ 62° dans la face largeur × hauteur de la cabine. En revanche, un colis de même longueur avec une section de 40 × 40 cm ne devrait pas entrer, même incliné. Même avec de la place sur la grande diagonale (environ 286 cm), l’épaisseur bloque.
Une fois que vous savez qu’un meuble n’entrera pas dans l’ascenseur, vous pouvez comparer, avant le devis, l’escalier (vérifiez les angles avec la formule de l’angle de couloir) et le monte-meubles par la fenêtre ou le balcon (souvent facturé en plus). Le syndic ou la fiche technique du fabricant de l’ascenseur donne les dimensions intérieures de la cabine et celles de la porte. La porte est souvent plus étroite : saisissez aussi ses dimensions.
Des usages concrets de sin, cos et d’un minimum (mathématiques au lycée)
La largeur nécessaire pour une face inclinée, \(p\cos\theta + q\sin\theta\), et la hauteur nécessaire, \(p\sin\theta + q\cos\theta\), ne font qu’additionner les parties horizontales et verticales (\(p\cos\theta\) et \(p\sin\theta\)) d’un côté de longueur \(p\) incliné d’un angle \(\theta\). C’est l’usage le plus simple des rapports trigonométriques. La plus grande longueur qui peut tourner dans un angle de couloir est la plus petite valeur de \(L(\theta) = \dfrac{a}{\sin\theta} + \dfrac{b}{\cos\theta}\), un problème d’optimisation classique (le problème de « l’échelle dans l’angle d’un couloir »).
Penser à un vrai meuble qui tourne dans un angle aide à comprendre pourquoi le minimum donne la plus grande longueur : en tournant, le meuble passe par tous les angles.
Formules et figures
Condition pour passer une porte (ouverture utile et face qui passe)
Figure
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(w'\)
\(=\)
\(w\)
\(-\)
\(c\)
\(h'\)
\(=\)
\(h\)
\(-\)
\(c\)
\(p\)
\(\leqslant\)
\(w'\)
\(\quad\text{et}\)
\(q\)
\(\leqslant\)
\(h'\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
③
\(w'\) : largeur de l’ouverture utile
\(=\)
①
\(w\) : largeur de l’ouverture (intérieur)
\(-\)
②
\(c\) : marge
④
\(h'\) : hauteur de l’ouverture utile
\(=\)
\(h\) : hauteur de l’ouverture (intérieur)
\(-\)
\(c\) : marge
⑤
\(p\) : côté de la face dans le sens de la largeur
\(\leqslant\)
\(w'\) : largeur de l’ouverture utile
\(\quad\text{et}\)
⑥
\(q\) : côté de la face dans le sens de la hauteur
\(\leqslant\)
\(h'\) : hauteur de l’ouverture utile
La formule en mots
①
De la
\(w\) : largeur de l’ouverture
②
on retire la
\(c\) : marge
(pour l’emballage, les poignées et les protections)
③
et on obtient la
\(w'\) : largeur de l’ouverture utile
④
De même, en retirant la marge \(c\) de la hauteur de l’ouverture \(h\), on obtient la
\(h'\) : hauteur de l’ouverture utile
⑤
Prenez l’une des trois faces du meuble (avant \(W \times H\), latérale \(D \times H\) ou dessus \(W \times D\)). Si, cette face présentée à l’ouverture, le
\(p\) : côté dans le sens de la largeur
est au plus égal à la largeur de l’ouverture utile \(w'\), et si le
⑥
\(q\) : côté dans le sens de la hauteur
est au plus égal à la hauteur de l’ouverture utile \(h'\), le meuble passe avec cette face présentée à l’ouverture (on peut aussi tourner la face de 90° et échanger \(p\) et \(q\))
Exemple simple
Un canapé de 180 cm de large, 90 cm de profondeur et 75 cm de haut passe-t-il par une porte de 80 cm de large et 200 cm de haut (marge 3 cm) ? On présente la face latérale (profondeur 90 × hauteur 75) à l’ouverture, avec les 75 cm de hauteur en largeur et les 90 cm de profondeur en hauteur (le canapé sur le dos, entré par un bout) :
\(w'\) : largeur de l’ouverture utile
\(=\)
largeur de l’ouverture (80 cm)
\(-\)
marge (3 cm)
côté dans le sens de la largeur (75 cm)
\(\leqslant\)
largeur de l’ouverture utile (77 cm)
\(\quad\text{et}\)
côté dans le sens de la hauteur (90 cm)
\(\leqslant\)
hauteur de l’ouverture utile (197 cm)
\(w' = 80 - 3 = 77\ (\mathrm{cm}),\quad h' = 200 - 3 = 197\ (\mathrm{cm})\)
\(75 \leqslant 77,\quad 90 \leqslant 197\)
L’idée clé
Un meuble en forme de pavé droit a trois sortes de faces que l’on peut présenter à l’ouverture. Face avant (largeur \(W\) × hauteur \(H\)) : le meuble passe profondeur en premier. Face latérale (profondeur \(D\) × hauteur \(H\)) : il passe largeur en premier. Dessus (largeur \(W\) × profondeur \(D\)) : il passe hauteur en premier (porté debout ou couché). Chaque face peut aussi être tournée de 90° (basculée sur le côté), soit six façons en tout. Un canapé de 180 cm semble trop large pour une porte de 80 cm, et pourtant il passe si l’on présente sa face latérale de 90 × 75. Tout l’intérêt est de bien choisir la face.
La marge \(c\) couvre l’emballage (carton et mousse), les poignées, boutons de porte et paumelles qui dépassent, et les protections du sol et du cadre. On compte en général 2 à 5 cm. Le calcul se fait sur l’« ouverture utile », cette valeur étant retirée de la largeur et de la hauteur : le verdict dépend donc de la marge choisie. Si c’est très juste, on peut dégonder la porte (l’ouverture s’élargit) ou démonter les pieds ou les poignées du meuble (le meuble rétrécit).
Cette condition est la géométrie d’« un trou rectangulaire dans une planche mince, avec le meuble poussé tout droit ». Si le couloir est trop étroit pour aligner le meuble devant l’ouverture, ou s’il y a une marche devant la porte, vérifiez aussi la condition de l’angle de couloir ci-dessous.
Condition pour passer en l’inclinant (largeur et hauteur du rectangle autour de la face inclinée)
Figure
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(W_{\theta}\)
\(=\)
\(p\)
\(\cos\theta\)
\(+\)
\(q\)
\(\sin\theta\)
\(H_{\theta}\)
\(=\)
\(p\)
\(\sin\theta\)
\(+\)
\(q\)
\(\cos\theta\)
\(W_{\theta}\)
\(\leqslant\)
\(w'\)
\(\quad\text{et}\)
\(H_{\theta}\)
\(\leqslant\)
\(h'\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
④
\(W_{\theta}\) : largeur nécessaire
\(=\)
①
\(p\) : grand côté de la face
③
\(\cos\theta\) : cosinus de l’angle \(\theta\)
\(+\)
②
\(q\) : petit côté de la face
\(\sin\theta\) : sinus de l’angle \(\theta\)
⑤
\(H_{\theta}\) : hauteur nécessaire
\(=\)
\(p\) : grand côté de la face
\(\sin\theta\) : sinus de l’angle \(\theta\)
\(+\)
\(q\) : petit côté de la face
\(\cos\theta\) : cosinus de l’angle \(\theta\)
\(W_{\theta}\) : largeur nécessaire
\(\leqslant\)
⑥
\(w'\) : largeur de l’ouverture utile
\(\quad\text{et}\)
\(H_{\theta}\) : hauteur nécessaire
\(\leqslant\)
\(h'\) : hauteur de l’ouverture utile
La formule en mots
①
Prenez une face avec un
\(p\) : grand côté
et un
②
\(q\) : petit côté
et inclinez-la pour que le grand côté fasse un angle \(\theta\) avec le sol.
③
La partie horizontale du grand côté vaut \(p\) fois le
\(\cos\theta\) : cosinus de l’angle \(\theta\)
, et la partie horizontale du petit côté vaut \(q\) fois \(\sin\theta\). En les additionnant, on obtient la
④
\(W_{\theta}\) : largeur nécessaire
, la largeur du rectangle qui contient entièrement la face inclinée
⑤
En additionnant de même les parties verticales, on obtient la
\(H_{\theta}\) : hauteur nécessaire
, qui vaut \(p\sin\theta + q\cos\theta\)
⑥
Si, pour un angle entre 0° et 90°, la largeur nécessaire et la hauteur nécessaire sont toutes deux au plus égales à la
\(w'\), \(h'\) : largeur et hauteur de l’ouverture utile
, le meuble passe incliné à cet angle
Exemple simple
Un panneau mince de 202 cm de haut et 10 cm d’épaisseur (face 202 × 10) dépasse de 2 cm pour passer debout par une porte de 90 cm de large et 200 cm de haut (marge 0). On incline son grand côté à 70° du sol (20° de la verticale), avec \(\cos 70^\circ \approx 0{,}3420\) et \(\sin 70^\circ \approx 0{,}9397\) :
\(W_{\theta}\) : largeur nécessaire
\(=\)
grand côté (202 cm)
cosinus \(\cos 70^\circ\) (≈ 0,3420)
\(+\)
petit côté (10 cm)
sinus \(\sin 70^\circ\) (≈ 0,9397)
\(H_{\theta}\) : hauteur nécessaire
\(=\)
grand côté (202 cm)
sinus \(\sin 70^\circ\) (≈ 0,9397)
\(+\)
petit côté (10 cm)
cosinus \(\cos 70^\circ\) (≈ 0,3420)
\(W_{\theta} = 202 \times 0{,}3420 + 10 \times 0{,}9397 \approx 69{,}1 + 9{,}4 = 78{,}5\ (\mathrm{cm}) \leqslant 90\)
\(H_{\theta} = 202 \times 0{,}9397 + 10 \times 0{,}3420 \approx 189{,}8 + 3{,}4 = 193{,}2\ (\mathrm{cm}) \leqslant 200\)
L’idée clé
Quand on incline une face, la largeur et la hauteur dont elle a besoin dans l’ouverture sont la largeur et la hauteur du rectangle englobant de la face inclinée. Relevez le grand côté \(p\) d’un angle \(\theta\) par rapport au sol : sa partie horizontale vaut \(p\cos\theta\) et sa partie verticale \(p\sin\theta\). Le petit côté \(q\) est perpendiculaire au grand côté, donc sa partie horizontale vaut \(q\sin\theta\) et sa partie verticale \(q\cos\theta\). En les additionnant, on obtient la largeur et la hauteur nécessaires (c’est l’usage le plus simple des rapports trigonométriques \(\sin\) et \(\cos\)).
La formule montre deux choses importantes. D’abord, la largeur nécessaire \(p\cos\theta + q\sin\theta\) n’est jamais inférieure au petit côté \(q\), quel que soit l’angle (elle vaut au minimum \(q\), pour \(\theta = 90^\circ\)). Incliner ne peut donc pas rattraper un manque de largeur. Pour une face carrée (\(p = q\)), incliner ne fait qu’agrandir le rectangle englobant : cela ne sert à rien. Ensuite, incliner n’aide que pour les objets minces dont le petit côté tient dans la largeur de l’ouverture mais dont le grand côté dépasse un peu la hauteur. Comme pour le panneau de 202 cm de l’exemple, quand il manque quelques centimètres en hauteur, une légère inclinaison ramène la hauteur nécessaire à environ \(p\sin\theta\), mais la largeur nécessaire augmente d’environ \(p\cos\theta\). Pour un meuble épais, ce surplus de largeur dépasse vite la largeur de l’ouverture.
Pour savoir si la face passe à un certain angle, ce calculateur teste les angles de 0° à 90° par petits pas. Il existe aussi en mathématiques un critère exact pour savoir quand un rectangle tient dans un autre, mais tester angle par angle avec cette formule suffit en pratique. Par ailleurs, si la diagonale de la face \(\sqrt{p^{2}+q^{2}}\) est plus longue que la diagonale de l’ouverture utile \(\sqrt{w'^{2}+h'^{2}}\), la face ne peut pas passer, même inclinée. C’est une condition nécessaire : une face dont la diagonale tient ne passe pas toujours.
Plus grande longueur qui peut tourner dans un angle de couloir en L
Figure
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(L_{\max}\)
\(=\)
\(\bigl(\)
\(a\)
\(\frac{2}{3}\)
\(+\)
\(b\)
\(\frac{2}{3}\)
\(\bigr)^{\frac{3}{2}}\)
\(L(\theta)\)
\(=\)
\(\dfrac{a}{\sin\theta}\)
\(+\)
\(\dfrac{b}{\cos\theta}\)
\(-\)
\(\dfrac{d}{\sin\theta\cos\theta}\)
\(L_{\max}\)
\(=\)
\(\min_{\theta}\)
\(L(\theta)\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
③
\(L_{\max}\) : plus longue barre
\(=\)
\(\bigl(\)
①
\(a\) : largeur du couloir
puissance \(\dfrac{2}{3}\)
\(+\)
②
\(b\) : largeur du couloir
puissance \(\dfrac{2}{3}\)
\(\bigr)^{\frac{3}{2}}\)
⑥
\(L(\theta)\) : longueur qui tient
\(=\)
④
\(\dfrac{\text{largeur du couloir avant l’angle } a}{\text{sinus de l’angle } \theta, \ \sin\theta}\)
\(+\)
\(\dfrac{\text{largeur du couloir après l’angle } b}{\text{cosinus de l’angle } \theta, \ \cos\theta}\)
\(-\)
⑤
\(\dfrac{\text{largeur du meuble } d}{\text{sinus fois cosinus, } \sin\theta\cos\theta}\)
⑦
\(L_{\max}\) : plus long meuble
\(=\)
\(\min_{\theta}\)
\(L(\theta)\) : longueur qui tient
La formule en mots
①
On élève la
\(a\) : largeur du couloir avant l’angle
à la puissance \(\dfrac{2}{3}\),
②
on ajoute la
\(b\) : largeur du couloir après l’angle
à la puissance \(\dfrac{2}{3}\), et on élève la somme à la puissance \(\dfrac{3}{2}\). On obtient la
③
\(L_{\max}\) : plus longue barre sans largeur qui peut tourner
④
Quand le meuble a une largeur \(d\), imaginez son bord intérieur contre l’angle intérieur et son bord extérieur contre les deux murs extérieurs. Quand le meuble fait un angle \(\theta\) avec le premier couloir, on additionne
\(\dfrac{\text{largeur du couloir avant l’angle } a}{\text{sinus de l’angle } \theta, \ \sin\theta}\) et \(\dfrac{\text{largeur du couloir après l’angle } b}{\text{cosinus de l’angle } \theta, \ \cos\theta}\)
⑤
puis on retire
\(\dfrac{\text{largeur du meuble } d}{\text{sinus fois cosinus, } \sin\theta\cos\theta}\)
pour obtenir la
⑥
\(L(\theta)\) : longueur qui tient
⑦
Pendant que le meuble tourne dans l’angle, l’angle passe par toutes les valeurs de 0° à 90° : le meuble doit tenir à chaque angle. La plus petite valeur de \(L(\theta)\) est la
\(L_{\max}\) : plus long meuble de largeur \(d\) qui peut tourner
Exemple simple
Dans un angle droit entre deux couloirs de 90 cm de large, la plus grande longueur d’un carton de 50 cm de large qui peut tourner se calcule ainsi (les deux couloirs ont la même largeur, donc l’angle le plus critique est 45°, et \(\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \approx 0{,}7071\)) :
\(L_{\max}\) : plus longue barre
\(=\)
\(\bigl(\)
\(90^{\frac{2}{3}}\)
\(+\)
\(90^{\frac{2}{3}}\)
\(\bigr)^{\frac{3}{2}}\)
plus long carton de 50 cm de large, \(L(45^\circ)\)
\(=\)
\(\dfrac{90}{\sin 45^\circ}\)
\(+\)
\(\dfrac{90}{\cos 45^\circ}\)
\(-\)
\(\dfrac{50}{\sin 45^\circ \cos 45^\circ}\)
\(L_{\max} = \bigl(2 \times 90^{\frac{2}{3}}\bigr)^{\frac{3}{2}} = 2^{\frac{3}{2}} \times 90 = 180\sqrt{2} \approx 254{,}6\ (\mathrm{cm})\)
\(L(45^\circ) = \dfrac{90}{0{,}7071} + \dfrac{90}{0{,}7071} - \dfrac{50}{0{,}5} \approx 127{,}3 + 127{,}3 - 100 = 154{,}6\ (\mathrm{cm})\)
L’idée clé
Pour une barre sans largeur (un tube mince ou une tringle à rideaux), la plus grande longueur qui peut tourner dans un angle droit vient de la longueur \(\dfrac{a}{\sin\theta} + \dfrac{b}{\cos\theta}\) d’une barre qui touche l’angle intérieur et dont les deux bouts touchent les murs extérieurs. On regarde comment cette longueur varie avec l’angle \(\theta\) et on prend sa plus petite valeur. Pendant que la barre tourne dans l’angle, son angle varie en continu de 0° à 90° : elle se bloque si elle ne tient pas à chaque angle du trajet. La plus petite valeur prend la forme simple \(\bigl(a^{2/3} + b^{2/3}\bigr)^{3/2}\) (à l’angle où \(\tan\theta = \left(\dfrac{a}{b}\right)^{1/3}\)). En mathématiques, c’est le problème classique de « l’échelle dans l’angle d’un couloir ».
Un meuble a une largeur \(d\) : il se bloque donc pour une longueur bien plus courte qu’une barre. Le dernier terme de la formule, \(\dfrac{d}{\sin\theta\cos\theta}\), représente cette perte. Dans les couloirs de 90 cm de l’exemple, une barre peut tourner jusqu’à environ 255 cm, mais un carton de 50 cm de large seulement jusqu’à environ 155 cm. Un meuble dont la largeur dépasse la moitié de celle du couloir touche facilement à la fois l’intérieur et l’extérieur de l’angle, et il reste peu de longueur. La vérification porte sur deux points : la largeur du meuble \(d\) est au plus égale à la largeur utile des deux couloirs, et la longueur \(L\) est au plus égale à \(L_{\max}\).
Si la longueur du meuble est au plus égale à la largeur du second couloir (\(L \leqslant b\) et \(d \leqslant a\), ou l’inverse), le meuble peut changer de direction sans pivoter dans l’angle : il passe sans comparaison avec \(L_{\max}\). Quand la longueur dépasse \(L_{\max}\), porter le meuble debout marche souvent (sa hauteur devient la longueur vue de dessus et sa profondeur la largeur). Entrez la hauteur comme longueur et la profondeur comme largeur, puis recommencez (le plafond du couloir doit alors être au moins aussi haut que la largeur du meuble). Un escalier à retour (en U) s’estime aussi avec la même formule : prenez la largeur de l’escalier et la profondeur du palier comme \(a\) et \(b\), et voyez l’escalier comme deux angles droits à la suite.
Diagonales d’une cabine d’ascenseur (la limite pour les objets longs et minces)
Figure
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(D_{\text{sol}}\)
\(=\)
\(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\)
\(D_{\text{côté}}\)
\(=\)
\(\sqrt{b^{2} + h^{2}}\)
\(D_{\text{espace}}\)
\(=\)
\(\sqrt{a^{2} + b^{2} + h^{2}}\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
③
\(D_{\text{sol}}\) : diagonale du sol
\(=\)
①
racine carrée de la largeur \(a\) de la cabine au carré plus la profondeur \(b\) au carré
④
\(D_{\text{côté}}\) : diagonale en le mettant debout en biais
\(=\)
②
racine carrée de la profondeur \(b\) au carré plus la hauteur \(h\) au carré
⑤
\(D_{\text{espace}}\) : grande diagonale
\(=\)
racine carrée de la somme des carrés de la largeur \(a\), de la profondeur \(b\) et de la hauteur \(h\)
La formule en mots
①
On additionne
la largeur \(a\) de la cabine au carré et la profondeur \(b\) au carré
et on prend la racine carrée (théorème de Pythagore) pour obtenir la
③
\(D_{\text{sol}}\) : diagonale du sol
(la plus grande longueur qui tient couchée en biais sur le sol)
②
On additionne
la profondeur \(b\) au carré et la hauteur \(h\) au carré
et on prend la racine carrée pour obtenir la
④
\(D_{\text{côté}}\) : diagonale en le mettant debout en biais
(de même pour la face de largeur \(a\) et de hauteur \(h\) ; on prend la plus longue)
⑤
En additionnant les carrés des trois côtés et en prenant la racine carrée, on obtient la
\(D_{\text{espace}}\) : grande diagonale
, la plus longue ligne droite dans la cabine (la limite pour une barre mince)
Exemple simple
Pour une petite cabine de 90 cm de large, 120 cm de profondeur et 200 cm de haut (marge 0), les trois diagonales valent
\(D_{\text{sol}}\) : diagonale du sol
\(=\)
\(\sqrt{90^{2} + 120^{2}}\)
\(D_{\text{côté}}\) : debout en biais
\(=\)
\(\sqrt{120^{2} + 200^{2}}\)
\(D_{\text{espace}}\) : grande diagonale
\(=\)
\(\sqrt{90^{2} + 120^{2} + 200^{2}}\)
\(D_{\text{sol}} = \sqrt{8\,100 + 14\,400} = \sqrt{22\,500} = 150\ (\mathrm{cm})\)
\(D_{\text{côté}} = \sqrt{14\,400 + 40\,000} = \sqrt{54\,400} \approx 233{,}2\ (\mathrm{cm})\)
\(D_{\text{espace}} = \sqrt{8\,100 + 14\,400 + 40\,000} = \sqrt{62\,500} = 250\ (\mathrm{cm})\)
L’idée clé
Une cabine d’ascenseur est un pavé droit largeur × profondeur × hauteur. Un meuble entre tel quel si ses trois côtés, rangés dans un certain ordre, sont au plus égaux aux trois côtés de la cabine (les dimensions intérieures utiles, marge déduite). Il y a six ordres possibles. Même un meuble plus haut que le plafond peut entrer si on l’incline dans une face de la cabine, et la limite est alors la diagonale. La diagonale du sol est la limite quand le meuble est couché en biais sur le sol. La diagonale de la face profondeur × hauteur (ou largeur × hauteur) est la limite quand il est appuyé en biais contre une paroi. La grande diagonale est la limite quand il va d’un coin du bas de la cabine au coin opposé du haut. Toutes viennent du théorème de Pythagore (l’hypoténuse d’un triangle rectangle).
Une diagonale n’est que la limite pour une barre sans épaisseur : un meuble épais peut ne pas entrer même s’il est bien plus court. Pour un meuble épais incliné, on utilise la même formule que dans « Condition pour passer en l’inclinant » ci-dessus (le rectangle englobant de la face tournée tient-il dans la face de la cabine ?). Pour chacune des trois faces de la cabine, ce calculateur place un côté du meuble perpendiculairement à cette face et vérifie si le rectangle formé par les deux autres côtés peut tourner pour tenir dans la face.
La porte d’un ascenseur est souvent plus étroite et plus basse que la cabine : certains appareils entrent dans la cabine mais bloquent à la porte. Si vous saisissez les dimensions de la porte, la même vérification que pour une porte (l’une des trois faces tient-elle dans l’ouverture utile ?) est faite pour la porte de l’ascenseur. Les dimensions intérieures de la cabine et celles de la porte figurent sur la fiche technique du fabricant, ou le syndic peut vous les donner. Le cache de l’éclairage, la main courante et le miroir réduisent un peu la taille intérieure réelle.
La vérification de base consiste à voir si l’une des trois faces du meuble tient dans la dimension utile, c’est-à-dire l’ouverture, le couloir ou la cabine moins la marge \(c\) (\(p \leqslant w'\) et \(q \leqslant h'\)). Un objet mince qui ne passe pas peut passer incliné s’il existe un angle où la largeur \(p\cos\theta + q\sin\theta\) et la hauteur \(p\sin\theta + q\cos\theta\) de son rectangle englobant tiennent dans l’ouverture utile. Dans un angle de couloir, la plus grande longueur qui peut tourner est la plus petite valeur de \(L(\theta) = \dfrac{a}{\sin\theta} + \dfrac{b}{\cos\theta} - \dfrac{d}{\sin\theta\cos\theta}\) (pour une barre, \((a^{2/3}+b^{2/3})^{3/2}\)). Dans un ascenseur, la diagonale \(\sqrt{a^{2}+b^{2}+h^{2}}\) est la limite pour un objet long et mince.
Symboles et termes
Symboles
| \(W,\ D,\ H\) | W, D, H | Les initiales anglaises de la largeur (width), de la profondeur (depth) et de la hauteur (height) du meuble, dans l’ordre « largeur × profondeur × hauteur » des catalogues. L’unité est le centimètre. |
| \(w,\ h\) | w, h minuscules | La largeur et la hauteur de l’ouverture (porte ou fenêtre), mesurées à l’intérieur. Elles sont en minuscules pour les distinguer du \(W\) et du \(H\) du meuble. Dans la formule de l’ascenseur, \(h\) est la hauteur de la cabine (dimension intérieure utile). |
| \(c\) | c | L’initiale de l’anglais « clearance », la marge : la longueur retirée de l’ouverture, du couloir ou de la cabine pour l’emballage, les poignées, les protections, etc. (en cm). |
| \(w',\ h'\) | w prime, h prime | La largeur et la hauteur de l’ouverture utile : \(w' = w - c\) et \(h' = h - c\). Le « prime » en haut à droite signifie « la valeur après avoir retiré la marge ». |
| \(p,\ q\) | p, q | Les deux côtés de la face présentée à l’ouverture. Dans la condition de passage, ce sont le côté dans le sens de la largeur et le côté dans le sens de la hauteur. Dans la condition en inclinant, \(p\) est le grand côté et \(q\) le petit. Ce sont deux des côtés \(W\), \(D\) et \(H\) du meuble. |
| \(\theta\) | thêta | Un angle. La lettre grecque thêta sert souvent à noter les angles. Dans la condition en inclinant, c’est l’angle entre le grand côté de la face et le sol. Dans l’angle de couloir, c’est l’angle entre le meuble et le premier couloir. |
| \(W_{\theta},\ H_{\theta}\) | W indice thêta, H indice thêta | La largeur et la hauteur nécessaires quand la face est inclinée d’un angle \(\theta\) (la largeur et la hauteur du rectangle englobant de la face inclinée). Le petit \(\theta\) en bas à droite signifie « une valeur qui dépend de l’angle ». |
| \(a,\ b\) | a, b | Dans l’angle de couloir, \(a\) est la largeur du couloir avant l’angle et \(b\) celle après l’angle. Pour l’ascenseur, \(a\) est la largeur de la cabine et \(b\) sa profondeur (toutes deux utiles, marge déduite). |
| \(L,\ d\) | L, d | La longueur \(L\) et la largeur \(d\) du meuble qui tourne dans l’angle : son grand côté et son petit côté vus de dessus. Avec \(d = 0\), le meuble est traité comme une barre sans épaisseur. |
| \(L_{\max}\) | L max | La plus grande longueur qui peut tourner dans l’angle. « max » abrège maximum. Pour une barre, elle vaut \(\bigl(a^{2/3}+b^{2/3}\bigr)^{3/2}\) ; pour un meuble de largeur \(d\), c’est la plus petite valeur de \(L(\theta)\). |
| \(\min_{\theta}\) | minimum en thêta | La plus petite valeur quand l’angle \(\theta\) varie. « min » abrège minimum. En tournant dans l’angle, le meuble passe par tous les angles : la longueur à l’angle le plus critique est donc la limite. |
| \(\sin\theta,\ \cos\theta\) | sinus thêta, cosinus thêta | Des rapports trigonométriques. Dans un triangle rectangle, \(\sin\theta\) est le côté opposé divisé par l’hypoténuse, et \(\cos\theta\) le côté adjacent divisé par l’hypoténuse. Quand un côté de longueur \(p\) est incliné d’un angle \(\theta\), sa partie verticale vaut \(p\sin\theta\) et sa partie horizontale \(p\cos\theta\). |
| \(D_{\text{sol}},\ D_{\text{côté}},\ D_{\text{espace}}\) | D sol, D côté, D espace | La diagonale du sol de la cabine, la diagonale d’une face quand le meuble est mis debout en biais, et la grande diagonale. \(D\) est l’initiale de « diagonale ». |
| \(\sqrt{\ }\) | racine carrée | La racine carrée : le nombre positif qui, élevé au carré, redonne le nombre sous la racine. Elle sert à trouver les diagonales avec le théorème de Pythagore (par exemple \(\sqrt{90^{2}+120^{2}} = \sqrt{22\,500} = 150\)). |
| \(\leqslant\) | inférieur ou égal à | Le signe d’inégalité « la valeur de gauche est au plus égale à celle de droite ». \(p \leqslant w'\) dit que le côté \(p\) du meuble est au plus égal à la largeur de l’ouverture utile \(w'\) : autrement dit, il passe encore s’ils sont exactement égaux. |
| \(a^{2/3}\) | a puissance deux tiers | \(a\) à la puissance \(\dfrac{2}{3}\) : on élève \(a\) au carré, puis on prend la racine cubique. C’est la même chose que \(\sqrt[3]{a^{2}}\). Par exemple, \(8^{2/3} = \sqrt[3]{64} = 4\). On la trouve dans la formule de la plus longue barre qui peut tourner dans un angle. |
| \(\approx\) | environ égal à | Le signe « à peu près égal ». On l’utilise quand une valeur qui ne tombe pas juste, comme un rapport trigonométrique ou une racine carrée, est arrondie à un nombre décimal. |
Termes
| cote intérieure | La dimension d’un cadre de porte ou de fenêtre mesurée de l’intérieur à l’intérieur. Elle est plus petite que la dimension prise à l’extérieur du cadre, et c’est la taille par laquelle un meuble passe réellement. Si la porte ne peut pas être dégondée, l’ouverture est encore réduite de l’épaisseur du battant ouvert à 90° ; mesurez-la dans cette position. |
| ouverture utile | La cote intérieure de l’ouverture moins la marge pour l’emballage, les poignées, les boutons de porte, les protections, etc. C’est la taille vraiment disponible pour le meuble. Toutes les vérifications de cette page utilisent cette dimension, qui s’affiche aussi dans le résultat. |
| marge | Le jeu nécessaire entre le meuble et l’ouverture, pour l’épaisseur de l’emballage, les poignées et paumelles qui dépassent, les plaques de protection et les mains des porteurs. On compte en général 2 à 5 cm. La bonne valeur dépend du meuble et de la façon de le porter, c’est pourquoi elle se règle dans le champ de saisie. |
| protection | Plaques, films, couvertures ou cartons posés sur le sol, les murs et le cadre de porte pendant un déménagement pour les protéger des chocs. Les déménageurs les installent en général ; elles réduisent l’ouverture de leur épaisseur, il faut donc les compter dans la marge. |
| face avant | La face largeur × hauteur du meuble. Avec cette face présentée à l’ouverture, le meuble avance dans le sens de sa profondeur. Pour un canapé, c’est la face que l’on voit du côté de l’assise. |
| face latérale | La face profondeur × hauteur du meuble. Avec cette face présentée à l’ouverture, le meuble avance dans le sens de sa largeur. Un canapé ou un lit large se porte en général de cette façon. |
| face du dessus | La face largeur × profondeur du meuble. Avec cette face présentée à l’ouverture, le meuble avance dans le sens de sa hauteur, le haut en premier. Pour une bibliothèque haute ou un réfrigérateur, cela revient à le porter couché. |
| rectangle englobant | Le plus petit rectangle aux côtés horizontaux et verticaux qui contient entièrement une figure inclinée. Une face inclinée du meuble passe par l’ouverture quand la largeur et la hauteur de ce rectangle tiennent dans l’ouverture utile. |
| diagonale | Le segment qui relie deux sommets opposés d’un rectangle (et sa longueur). Pour un rectangle de côtés \(x\) et \(y\), elle vaut \(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\). Si la diagonale d’une face du meuble est plus longue que celle de l’ouverture, le meuble ne passe pas, même incliné. |
| grande diagonale | Le segment qui relie deux sommets opposés d’un pavé droit en traversant l’intérieur. Pour des côtés \(a\), \(b\) et \(h\), elle vaut \(\sqrt{a^{2}+b^{2}+h^{2}}\) : c’est la plus longue ligne droite dans la cabine. Une barre mince jusqu’à cette longueur y entre. |
| théorème de Pythagore | Le théorème selon lequel, dans un triangle rectangle, la somme des carrés des deux côtés de l’angle droit est égale au carré de l’hypoténuse. Toutes les diagonales de cette page se calculent avec ce théorème. |
| rapport trigonométrique | Les rapports \(\sin\), \(\cos\) et \(\tan\) entre les côtés d’un triangle rectangle. Ils donnent des longueurs à partir d’un angle connu, et servent ici pour la largeur et la hauteur d’une face inclinée et pour la formule de l’angle de couloir. |
| minimum | La plus petite valeur que prend une fonction quand l’angle varie. Dans un angle de couloir, le meuble passe par tous les angles en tournant, donc la longueur qui tient à l’angle le plus critique (le minimum) est la plus grande longueur qui peut tourner. |
| dimension intérieure | Une dimension mesurée à l’intérieur d’une boîte ou d’une cabine d’ascenseur. Elle est plus petite que la dimension extérieure de l’épaisseur des parois. Les fiches techniques des ascenseurs l’indiquent comme dimensions de la cabine. |
| palier | La partie plate au milieu d’un escalier. Dans un escalier à retour (en U), c’est là que l’on fait pivoter le meuble de 180°. En prenant la largeur de l’escalier et la profondeur du palier comme largeurs de couloir \(a\) et \(b\), la formule de l’angle donne une estimation. |
Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
Voici ce qui aide à utiliser le calcul de cette page en le comprenant vraiment, et pas seulement en appuyant sur le bouton.
Si vous bloquez, revenir sur ces notions est le plus court chemin.
| Unités de longueur et mesure (CE1-CE2, 7-9 ans) |
|
| Comparer des grandeurs et signes d’inégalité (CE2 à 5e, 8-13 ans) |
|
| Pavé droit et ses faces (CM1-CM2, 9-11 ans) |
|
| Le théorème de Pythagore (4e, 13-14 ans) |
|
| Cosinus, sinus et tangente (rapports trigonométriques, 3e, 14-15 ans) |
|
| Puissances à exposant fractionnaire et minimum d’une fonction (1re et terminale, 16-18 ans) |
|
Calculer avec Excel
Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 d’Excel. Il fonctionne tel quel.
Tableau pour passer une porte (face qui passe)
| Largeur du meuble W (cm) | 180 |
| Profondeur du meuble D (cm) | 90 |
| Hauteur du meuble H (cm) | 75 |
| Largeur de l’ouverture w (cm) | 80 |
| Hauteur de l’ouverture h (cm) | 200 |
| Marge c (cm) | 3 |
| Largeur de l’ouverture utile w' (cm) | =B4-B6 |
| Hauteur de l’ouverture utile h' (cm) | =B5-B6 |
| Face avant (W×H) présentée à l’ouverture | =SI(OU(ET(B1<=B7;B3<=B8);ET(B3<=B7;B1<=B8));"Passe";"Ne passe pas") |
| Face latérale (D×H) présentée à l’ouverture | =SI(OU(ET(B2<=B7;B3<=B8);ET(B3<=B7;B2<=B8));"Passe";"Ne passe pas") |
| Face du dessus (W×D) présentée à l’ouverture | =SI(OU(ET(B1<=B7;B2<=B8);ET(B2<=B7;B1<=B8));"Passe";"Ne passe pas") |
Tableau pour passer en l’inclinant (largeur et hauteur de la face inclinée)
| Grand côté de la face p (cm) | 202 |
| Petit côté de la face q (cm) | 10 |
| Angle du grand côté avec le sol θ (degrés) | 70 |
| Largeur nécessaire Wθ (cm) | =B1*COS(RADIANS(B3))+B2*SIN(RADIANS(B3)) |
| Hauteur nécessaire Hθ (cm) | =B1*SIN(RADIANS(B3))+B2*COS(RADIANS(B3)) |
Tableau pour la plus grande longueur qui tourne dans un angle de couloir
| Largeur du couloir avant l’angle a (cm) | 90 |
| Largeur du couloir après l’angle b (cm) | 90 |
| Largeur du meuble d (cm) | 50 |
| Angle θ (degrés) | 45 |
| Plus longue barre qui tourne (cm) | =(B1^(2/3)+B2^(2/3))^(3/2) |
| Longueur qui tient à l’angle θ, L(θ) (cm) | =B1/SIN(RADIANS(B4))+B2/COS(RADIANS(B4))-B3/(SIN(RADIANS(B4))*COS(RADIANS(B4))) |
Tableau pour les diagonales d’une cabine d’ascenseur
| Largeur de la cabine a (cm) | 90 |
| Profondeur de la cabine b (cm) | 120 |
| Hauteur de la cabine h (cm) | 200 |
| Diagonale du sol (cm) | =RACINE(B1^2+B2^2) |
| Diagonale debout en biais (cm) | =RACINE(B2^2+B3^2) |
| Grande diagonale (cm) | =RACINE(B1^2+B2^2+B3^2) |
Une fois collé, les lignes du haut de la colonne B sont vos données et les lignes du bas se calculent automatiquement.
Le premier tableau reprend le canapé de 180 × 90 × 75 cm et la porte de 80 × 200 cm (marge 3 cm). B7 vaut 77 et B8 vaut 197. B10 (face latérale) affiche « Passe », tandis que B9 (face avant) et B11 (face du dessus) affichent « Ne passe pas ». « SI » change l’affichage selon une condition, « ET » signifie « les deux sont vrais » et « OU » « au moins un est vrai ». OU réunit les deux cas : la face telle quelle et la face tournée de 90°.
Le deuxième tableau incline la face de 202 × 10 à 70° : B4 vaut environ 78,5 et B5 environ 193,2. « RADIANS » convertit les degrés en radians, l’unité d’angle qu’utilisent COS et SIN. Le troisième tableau est l’angle entre deux couloirs de 90 cm : B5 (barre) vaut environ 254,6 et B6 (largeur 50 à 45°) environ 154,6. Pour trouver la plus grande longueur d’un meuble large, changez l’angle en B4 degré par degré et cherchez le plus petit B6 (avec deux couloirs de même largeur, il est à 45°). Le quatrième tableau est une cabine de 90 × 120 × 200 cm : B4 vaut 150, B5 environ 233,2 et B6 250.
Le premier tableau reprend le canapé de 180 × 90 × 75 cm et la porte de 80 × 200 cm (marge 3 cm). B7 vaut 77 et B8 vaut 197. B10 (face latérale) affiche « Passe », tandis que B9 (face avant) et B11 (face du dessus) affichent « Ne passe pas ». « SI » change l’affichage selon une condition, « ET » signifie « les deux sont vrais » et « OU » « au moins un est vrai ». OU réunit les deux cas : la face telle quelle et la face tournée de 90°.
Le deuxième tableau incline la face de 202 × 10 à 70° : B4 vaut environ 78,5 et B5 environ 193,2. « RADIANS » convertit les degrés en radians, l’unité d’angle qu’utilisent COS et SIN. Le troisième tableau est l’angle entre deux couloirs de 90 cm : B5 (barre) vaut environ 254,6 et B6 (largeur 50 à 45°) environ 154,6. Pour trouver la plus grande longueur d’un meuble large, changez l’angle en B4 degré par degré et cherchez le plus petit B6 (avec deux couloirs de même largeur, il est à 45°). Le quatrième tableau est une cabine de 90 × 120 × 200 cm : B4 vaut 150, B5 environ 233,2 et B6 250.
Calculer avec Google Sheets
Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 de Google Sheets. Il fonctionne tel quel.
Tableau pour passer une porte (face qui passe)
| Largeur du meuble W (cm) | 180 |
| Profondeur du meuble D (cm) | 90 |
| Hauteur du meuble H (cm) | 75 |
| Largeur de l’ouverture w (cm) | 80 |
| Hauteur de l’ouverture h (cm) | 200 |
| Marge c (cm) | 3 |
| Largeur de l’ouverture utile w' (cm) | =B4-B6 |
| Hauteur de l’ouverture utile h' (cm) | =B5-B6 |
| Face avant (W×H) présentée à l’ouverture | =SI(OU(ET(B1<=B7;B3<=B8);ET(B3<=B7;B1<=B8));"Passe";"Ne passe pas") |
| Face latérale (D×H) présentée à l’ouverture | =SI(OU(ET(B2<=B7;B3<=B8);ET(B3<=B7;B2<=B8));"Passe";"Ne passe pas") |
| Face du dessus (W×D) présentée à l’ouverture | =SI(OU(ET(B1<=B7;B2<=B8);ET(B2<=B7;B1<=B8));"Passe";"Ne passe pas") |
Tableau pour passer en l’inclinant (largeur et hauteur de la face inclinée)
| Grand côté de la face p (cm) | 202 |
| Petit côté de la face q (cm) | 10 |
| Angle du grand côté avec le sol θ (degrés) | 70 |
| Largeur nécessaire Wθ (cm) | =B1*COS(RADIANS(B3))+B2*SIN(RADIANS(B3)) |
| Hauteur nécessaire Hθ (cm) | =B1*SIN(RADIANS(B3))+B2*COS(RADIANS(B3)) |
Tableau pour la plus grande longueur qui tourne dans un angle de couloir
| Largeur du couloir avant l’angle a (cm) | 90 |
| Largeur du couloir après l’angle b (cm) | 90 |
| Largeur du meuble d (cm) | 50 |
| Angle θ (degrés) | 45 |
| Plus longue barre qui tourne (cm) | =(B1^(2/3)+B2^(2/3))^(3/2) |
| Longueur qui tient à l’angle θ, L(θ) (cm) | =B1/SIN(RADIANS(B4))+B2/COS(RADIANS(B4))-B3/(SIN(RADIANS(B4))*COS(RADIANS(B4))) |
Tableau pour les diagonales d’une cabine d’ascenseur
| Largeur de la cabine a (cm) | 90 |
| Profondeur de la cabine b (cm) | 120 |
| Hauteur de la cabine h (cm) | 200 |
| Diagonale du sol (cm) | =RACINE(B1^2+B2^2) |
| Diagonale debout en biais (cm) | =RACINE(B2^2+B3^2) |
| Grande diagonale (cm) | =RACINE(B1^2+B2^2+B3^2) |
Les mêmes formules qu’Excel (SI, ET, OU, SIN, COS, RADIANS et RACINE) fonctionnent telles quelles dans Google Sheets en français. Copiez tout le tableau, collez-le dans la cellule A1 et remplacez les nombres de la colonne B par les vôtres.
Calculer avec Python
import math
# ---- Porte ou ouverture : un meuble W x D x H passe-t-il par une ouverture w x h (marge c) ? ----
W, D, H = 180, 90, 75 # largeur, profondeur, hauteur du meuble (cm)
w, h, c = 80, 200, 3 # largeur et hauteur de l'ouverture (cote intérieure) et marge (cm)
w_eff, h_eff = w - c, h - c
faces = {"face avant (W x H)": (W, H), "face latérale (D x H)": (D, H), "face du dessus (W x D)": (W, D)}
def fits_upright(p, q, width, height):
"""La face p x q passe-t-elle telle quelle (on peut la tourner de 90 degrés) ?"""
return (p <= width and q <= height) or (q <= width and p <= height)
def fits_tilted(p, q, width, height):
"""Existe-t-il un angle de 0 à 90 degrés où le rectangle autour de la face inclinée p x q tient ? (pas de 0,01 degré)"""
p, q = max(p, q), min(p, q)
for i in range(9001):
t = math.radians(i / 100)
need_w = p * math.cos(t) + q * math.sin(t)
need_h = p * math.sin(t) + q * math.cos(t)
if need_w <= width and need_h <= height:
return i / 100
return None
print(f"Ouverture utile : {w_eff} x {h_eff} cm")
for name, (p, q) in faces.items():
if fits_upright(p, q, w_eff, h_eff):
print(f"{name} : devrait passer avec cette face présentée à l'ouverture")
else:
angle = fits_tilted(p, q, w_eff, h_eff)
print(f"{name} : " + (f"devrait passer en inclinant le grand côté à {angle} degrés du sol" if angle is not None else "ne devrait pas passer"))
# ---- Angle de couloir : un meuble de longueur L et de largeur d tourne-t-il dans un angle droit entre des couloirs de largeur a et b ? ----
a, b, L, d = 90, 90, 150, 50
rod_max = (a ** (2 / 3) + b ** (2 / 3)) ** 1.5
lengths = []
for i in range(1, 9000):
t = math.radians(i / 100)
lengths.append((a * math.cos(t) + b * math.sin(t) - d) / (math.sin(t) * math.cos(t)))
L_max = min(lengths)
print(f"Plus longue barre qui tourne : {rod_max:.1f} cm, meuble de {d} cm de large : {L_max:.1f} cm -> "
+ ("devrait tourner" if L <= L_max else "ne devrait pas tourner"))
# ---- Ascenseur : diagonales d'une cabine a x b x h ----
ea, eb, eh = 90, 120, 200
print(f"Diagonale du sol {math.hypot(ea, eb):.1f} cm, debout en biais {math.hypot(eb, eh):.1f} cm, "
f"grande diagonale {math.sqrt(ea**2 + eb**2 + eh**2):.1f} cm")
Fonctionne avec la bibliothèque standard seule. fits_upright() vérifie si une face passe telle quelle, et fits_tilted() cherche un angle où elle passe inclinée, par pas de 0,01°. La partie « angle de couloir » fait varier l’angle de 0,01° à la fois et prend la plus petite longueur qui tient ; math.hypot() renvoie l’hypoténuse (la diagonale) à partir de deux côtés. Remplacez les dimensions en haut par les vôtres, puis lancez le code.
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
Condition pour passer une porte (ouverture utile et face qui passe)
w' = w − c, h' = h − c, p ⩽ w' et q ⩽ h'
w' = w - c,\quad h' = h - c,\quad p \leqslant w' \ \text{et}\ q \leqslant h'
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup><mi>w</mi><mo>′</mo></msup><mo>=</mo><mi>w</mi><mo>−</mo><mi>c</mi>
<mo>,</mo>
<msup><mi>h</mi><mo>′</mo></msup><mo>=</mo><mi>h</mi><mo>−</mo><mi>c</mi>
<mo>,</mo>
<mi>p</mi><mo>≤</mo><msup><mi>w</mi><mo>′</mo></msup>
<mo>∧</mo>
<mi>q</mi><mo>≤</mo><msup><mi>h</mi><mo>′</mo></msup>
</mrow>
</math>
w' = w - c, h' = h - c, p <= w' and q <= h'
weff = w - c; heff = h - c; fits = (p <= weff && q <= heff) || (q <= weff && p <= heff)
weff := w - c; heff := h - c; fits := (p <= weff and q <= heff) or (q <= weff and p <= heff);
weff = w - c; heff = h - c; fits = (p <= weff && q <= heff) || (q <= weff && p <= heff); % p, q : les deux côtés de la face présentée à l’ouverture
w' = w − c, h' = h − c, p ≤ w' ∧ q ≤ h'
Condition pour passer en l’inclinant (largeur et hauteur du rectangle autour de la face inclinée)
W_θ = p cos θ + q sin θ, H_θ = p sin θ + q cos θ, W_θ ⩽ w' et H_θ ⩽ h'
W_{\theta} = p\cos\theta + q\sin\theta,\quad H_{\theta} = p\sin\theta + q\cos\theta,\quad W_{\theta} \leqslant w' \ \text{et}\ H_{\theta} \leqslant h'
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>W</mi><mi>θ</mi></msub><mo>=</mo>
<mi>p</mi><mo>⁢</mo><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi>
<mo>+</mo>
<mi>q</mi><mo>⁢</mo><mi>sin</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi>
<mo>,</mo>
<msub><mi>H</mi><mi>θ</mi></msub><mo>=</mo>
<mi>p</mi><mo>⁢</mo><mi>sin</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi>
<mo>+</mo>
<mi>q</mi><mo>⁢</mo><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi>
</mrow>
</math>
W_theta = p cos theta + q sin theta, H_theta = p sin theta + q cos theta
{p*Cos[theta] + q*Sin[theta], p*Sin[theta] + q*Cos[theta]} (* theta en radians ; en degrés : theta Degree *)
Wt := p*cos(theta) + q*sin(theta); Ht := p*sin(theta) + q*cos(theta);
Wt = p*cosd(theta) + q*sind(theta); Ht = p*sind(theta) + q*cosd(theta); % theta en degrés
W_θ = p cos θ + q sin θ, H_θ = p sin θ + q cos θ
Plus grande longueur qui peut tourner dans un angle de couloir en L
L_max = (a^(2/3) + b^(2/3))^(3/2) (barre), L(θ) = a/sin θ + b/cos θ − d/(sin θ cos θ), L_max = min L(θ)
L_{\max} = \left(a^{2/3} + b^{2/3}\right)^{3/2},\quad L(\theta) = \frac{a}{\sin\theta} + \frac{b}{\cos\theta} - \frac{d}{\sin\theta\cos\theta},\quad L_{\max} = \min_{0 < \theta < 90^\circ} L(\theta)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>L</mi><mi>max</mi></msub><mo>=</mo>
<msup>
<mrow><mo>(</mo><msup><mi>a</mi><mrow><mn>2</mn><mo>/</mo><mn>3</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mrow><mn>2</mn><mo>/</mo><mn>3</mn></mrow></msup><mo>)</mo></mrow>
<mrow><mn>3</mn><mo>/</mo><mn>2</mn></mrow>
</msup>
<mo>,</mo>
<mi>L</mi><mo>(</mo><mi>θ</mi><mo>)</mo><mo>=</mo>
<mfrac><mi>a</mi><mrow><mi>sin</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi></mrow></mfrac>
<mo>+</mo>
<mfrac><mi>b</mi><mrow><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi></mrow></mfrac>
<mo>−</mo>
<mfrac><mi>d</mi><mrow><mi>sin</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi><mo>⁢</mo><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi></mrow></mfrac>
</mrow>
</math>
L_max = (a^(2/3) + b^(2/3))^(3/2), L(theta) = a/sin theta + b/cos theta - d/(sin theta cos theta)
lrod = (a^(2/3) + b^(2/3))^(3/2); NMinimize[{a/Sin[t] + b/Cos[t] - d/(Sin[t]*Cos[t]), 0.01 < t < Pi/2 - 0.01}, t]
lrod := (a^(2/3) + b^(2/3))^(3/2); L := theta -> a/sin(theta) + b/cos(theta) - d/(sin(theta)*cos(theta)); Lmax := minimize(L(theta), theta = 0.01 .. Pi/2 - 0.01);
lrod = (a^(2/3) + b^(2/3))^(3/2); L = @(t) a./sin(t) + b./cos(t) - d./(sin(t).*cos(t)); [t0, Lmax] = fminbnd(L, 0.01, pi/2 - 0.01); % t en radians
L_max = (a^(2/3) + b^(2/3))^(3/2), L(θ) = a/sin θ + b/cos θ − d/(sin θ cos θ)
Diagonales d’une cabine d’ascenseur (la limite pour les objets longs et minces)
D_sol = √(a² + b²), D_côté = √(b² + h²), D_espace = √(a² + b² + h²)
D_{\text{sol}} = \sqrt{a^{2}+b^{2}},\quad D_{\text{côté}} = \sqrt{b^{2}+h^{2}},\quad D_{\text{espace}} = \sqrt{a^{2}+b^{2}+h^{2}}
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<mrow>
<msub><mi>D</mi><mtext>sol</mtext></msub><mo>=</mo>
<msqrt><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup></msqrt>
<mo>,</mo>
<msub><mi>D</mi><mtext>côté</mtext></msub><mo>=</mo>
<msqrt><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup></msqrt>
<mo>,</mo>
<msub><mi>D</mi><mtext>espace</mtext></msub><mo>=</mo>
<msqrt><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup></msqrt>
</mrow>
</math>
D_sol = sqrt(a^2 + b^2), D_cote = sqrt(b^2 + h^2), D_espace = sqrt(a^2 + b^2 + h^2)
{Sqrt[a^2 + b^2], Sqrt[b^2 + h^2], Sqrt[a^2 + b^2 + h^2]}
Dsol := sqrt(a^2 + b^2); Dcote := sqrt(b^2 + h^2); Despace := sqrt(a^2 + b^2 + h^2);
Dsol = sqrt(a^2 + b^2); Dcote = sqrt(b^2 + h^2); Despace = sqrt(a^2 + b^2 + h^2); % a, b, h : dimensions intérieures utiles de la cabine
D_sol = √(a^2 + b^2), D_côté = √(b^2 + h^2), D_espace = √(a^2 + b^2 + h^2)
Faire faire le calcul par ChatGPT
Tu es un assistant de calcul qui vérifie si un meuble passe par une porte. Fais le calcul suivant en exécutant réellement du code Python, et fonde ta réponse uniquement sur les nombres obtenus à l’exécution (ne réponds pas de tête ni au jugé). Un canapé de 180 cm de large, 90 cm de profondeur et 75 cm de haut doit passer par une porte de 80 cm de large et 200 cm de haut (cote intérieure). Compte une marge de 3 cm pour l’emballage et les protections. Calcule chacun des points suivants : 1. La largeur et la hauteur de l’ouverture utile (retire la marge de 3 cm de la largeur et de la hauteur de l’ouverture) 2. Pour chacune des trois faces du canapé (largeur × hauteur, profondeur × hauteur, largeur × profondeur), si elle passe telle quelle par l’ouverture utile (les deux côtés p, q de la face vérifient p ⩽ largeur utile et q ⩽ hauteur utile ; on peut échanger p et q) 3. Si aucune face ne passe, s’il existe un angle de 0° à 90° où, avec le grand côté de la face incliné de θ degrés par rapport au sol, la largeur nécessaire p cosθ + q sinθ et la hauteur nécessaire p sinθ + q cosθ tiennent toutes les deux 4. La plus grande longueur d’un carton de 50 cm de large qui peut tourner dans un angle droit entre deux couloirs de 90 cm de large (la plus petite valeur de L(θ) = a/sinθ + b/cosθ − d/(sinθ cosθ) pour θ de 0° à 90°) Indique les formules utilisées et les nombres obtenus à l’exécution.
Mode d'emploi
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1Saisissez vos nombresTapez les nombres à calculer dans les champs de saisie
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2CalculezAppuyez sur le bouton « Calculer »
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3Lisez le résultatLe résultat s’affiche aussitôt. La même page explique aussi le raisonnement et la formule
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