Entrez le nombre entier à décomposer. Vous obtenez d’un coup le produit de facteurs premiers, l’écriture avec des exposants, les étapes de la décomposition en colonnes et le nombre de diviseurs.
Entrez un nombre entier de 2 à cent mille milliards (100 000 000 000 000).
Résultat
Saisissez un nombre entier dans le champ à gauche et appuyez sur « Calculer ». Le résultat s’affiche ici.
Table des matières
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Ce que vous pouvez faire sur cette page
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À quoi sert ce calcul ?
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Mode d'emploi
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Formule
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Symboles et termes
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Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
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Calculer avec Excel
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Calculer avec Google Sheets
-
Calculer avec Python
-
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
-
Faire faire le calcul par ChatGPT
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Les atouts de DataChef
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Fonctions connexes
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Liste des calculatrices NumberChef
Ce que vous pouvez faire sur cette page
- Saisissez un nombre entier supérieur ou égal à 2 et obtenez aussitôt sa décomposition en facteurs premiers, écrite sous forme de produit comme \(2 \times 2 \times 5 \times 5\)
- L’écriture avec des exposants (\(2^{2} \times 5^{2}\)) et les étapes de la décomposition en colonnes s’affichent aussi
- En application de la décomposition en facteurs premiers, elle compte aussi le nombre de diviseurs du nombre
- Si vous saisissez un nombre premier (un nombre qu’on ne peut plus décomposer), elle vous indique qu’il est premier : elle sert donc aussi à tester si un nombre est premier
- Une explication simple des formules et des formules à copier-coller pour Excel, Google Sheets et Python sont réunies sur cette page
Les nombres entiers de 2 à cent mille milliards (100 000 000 000 000) sont acceptés. 1 est un nombre particulier, ni premier ni composé : il n’a pas de décomposition en facteurs premiers.
À quoi sert ce calcul ?
Simplifier une fraction en trouvant le PGCD (école et calculs du quotidien)
Même une grande fraction comme \(\frac{84}{126}\) se simplifie pas à pas grâce à la décomposition en facteurs premiers. \(84 = 2^{2} \times 3 \times 7\) et \(126 = 2 \times 3^{2} \times 7\), donc la partie commune \(2 \times 3 \times 7 = 42\) est le PGCD. En divisant les deux par 42, on obtient \(\frac{2}{3}\).
Simplifier une fraction, réduire au même dénominateur, trouver le PPCM : tout repose sur la décomposition en facteurs premiers, qui rend tous les calculs avec des fractions plus lisibles.
Le chiffrement RSA, qui protège les achats et la banque en ligne
Le chiffrement RSA, qui protège par exemple les numéros de carte bancaire, repose sur le fait que décomposer un très grand nombre prend un temps énorme, même pour des ordinateurs. Décomposer un nombre de 232 chiffres (RSA-768) a ainsi demandé environ deux ans de calcul sur des centaines d’ordinateurs.
Un ordinateur décompose en un instant un nombre de l’ordre de cent mille milliards (15 chiffres), mais la difficulté explose quand le nombre de chiffres augmente. C’est cet écart qui assure la sécurité d’Internet.
Concevoir des engrenages et des cycles (industrie)
Une roue de 12 dents et une roue de 18 dents reviennent à leur position de départ après 36 dents, le PPCM de \(12 = 2^{2} \times 3\) et \(18 = 2 \times 3^{2}\) (3 tours de la petite roue et 2 tours de la grande).
La décomposition en facteurs premiers est un outil fiable pour trouver un PPCM : on s’en sert pour répartir l’usure des engrenages et pour savoir quand plusieurs cycles coïncident.
Compter les façons de former des groupes égaux (équipes et classes)
De combien de façons peut-on répartir 36 personnes en groupes de même taille ? Avec \(36 = 2^{2} \times 3^{2}\), le nombre de diviseurs est \((2+1) \times (2+1) = 9\) : il y a 9 façons, de « 36 groupes de 1 » à « 1 groupe de 36 ».
Équipes, carrelage, rangement de produits dans des cartons : chaque fois qu’on veut un partage sans reste, on peut compter les possibilités sans les écrire toutes.
Les cigales périodiques, des nombres premiers dans la nature
Dans l’est des États-Unis, certaines cigales sortent de terre toutes en même temps tous les 13 ou 17 ans (cigales périodiques). Un cycle premier coïncide rarement avec d’autres cycles. Par exemple, les cigales de 13 ans et un prédateur au cycle de 12 ans n’apparaissent la même année qu’une fois tous les 156 ans, leur PPCM.
Une hypothèse répandue est que ce cycle premier les a aidées à survivre. En calculant à quelle fréquence les cycles coïncident grâce à la décomposition en facteurs premiers, vous pouvez vérifier cette idée vous-même.
Formule
Décomposition en facteurs premiers (écrire un nombre comme un produit de nombres premiers)
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(n\)
\(=\)
\(p_1 \times p_2 \times \cdots \times p_k\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
①
\(n\) : nombre de départ
\(=\)
②
produit des facteurs premiers \(p_1, p_2, \ldots, p_k\)
La formule en mots
①
Le
\(n\) : nombre de départ
s’écrit comme un
②
produit des facteurs premiers \(p_1, p_2, \ldots, p_k\)
d’une seule façon, à l’ordre des facteurs près
Exemple simple
En décomposant 100 par divisions successives, en divisant par les plus petits nombres premiers d’abord (100 ÷ 2 = 50, 50 ÷ 2 = 25, 25 ÷ 5 = 5), on obtient
nombre de départ (100)
\(=\)
produit de facteurs premiers (2 × 2 × 5 × 5)
\(100 = 2 \times 2 \times 5 \times 5\)
L’idée clé
Les nombres premiers (2, 3, 5, 7, 11…) n’ont pas d’autres diviseurs que 1 et eux-mêmes. Ce sont les briques de base des nombres entiers, les pièces qu’on ne peut plus découper. La décomposition en facteurs premiers ramène un nombre entier à ces briques, et pour tout entier supérieur ou égal à 2, le résultat est toujours le même, à l’ordre des facteurs près (c’est le théorème fondamental de l’arithmétique).
À la main, le plus sûr est de diviser par les plus petits nombres premiers dans l’ordre (2 → 3 → 5 → …), chacun autant de fois que la division tombe juste (divisions successives). Un arbre, où l’on sépare le nombre en deux facteurs quelconques puis on continue de les séparer, aboutit aux mêmes nombres premiers.
Écriture avec des exposants (regrouper les facteurs premiers identiques)
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(n\)
\(=\)
\(p\)
\(a\)
\(\times\)
\(q\)
\(b\)
\(\times \cdots\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
⑤
\(n\) : nombre de départ
\(=\)
①
\(p\) : premier facteur premier
②
\(a\) : nombre de fois
\(\times\)
③
\(q\) : deuxième facteur premier
④
\(b\) : nombre de fois
\(\times \cdots\)
La formule en mots
①
On multiplie le
\(p\) : premier facteur premier
②
par lui-même
\(a\) : nombre de fois (exposant)
③
puis le
\(q\) : deuxième facteur premier
④
par lui-même
\(b\) : nombre de fois (exposant)
et on multiplie le tout
⑤
pour retrouver le
\(n\) : nombre de départ
Exemple simple
En regroupant les facteurs premiers identiques de 100 = 2 × 2 × 5 × 5 et en les écrivant avec des exposants, on obtient
nombre de départ (100)
\(=\)
facteur premier 2
2 fois
\(\times\)
facteur premier 5
2 fois
\(100 = 2 \times 2 \times 5 \times 5 = 2^{2} \times 5^{2}\)
L’idée clé
Quand un même facteur premier apparaît 2 fois ou plus, on le regroupe en écrivant en haut à droite un petit nombre (l’exposant) qui indique combien de fois il est multiplié : c’est l’écriture avec des puissances. On écrit les facteurs premiers du plus petit au plus grand.
Un facteur premier qui n’apparaît qu’une fois s’écrit sans exposant. Par exemple, dans \(360 = 2^{3} \times 3^{2} \times 5\), le 5 s’écrit tel quel, sans exposant.
Nombre de diviseurs (une application de la décomposition en facteurs premiers)
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(d\)
\(=\)
\((a+1)\)
\(\times\)
\((b+1)\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
③
\(d\) : nombre de diviseurs
\(=\)
①
\((a+1)\) : exposant de \(p\) plus 1
\(\times\)
②
\((b+1)\) : exposant de \(q\) plus 1
La formule en mots
①
On multiplie
\((a+1)\) : exposant du facteur premier \(p\) plus 1
②
par
\((b+1)\) : exposant du facteur premier \(q\) plus 1
③
et on obtient le
\(d\) : nombre de diviseurs
Exemple simple
La décomposition en facteurs premiers de 100 est \(2^{2} \times 5^{2}\). Le nombre de diviseurs de 100 est donc
\(d\) : nombre de diviseurs
\(=\)
exposant de 2 plus 1 (2 + 1)
\(\times\)
exposant de 5 plus 1 (2 + 1)
\((2+1) \times (2+1) = 3 \times 3 = 9\)
L’idée clé
Si l’on écrit vraiment la liste des diviseurs de 100, on trouve 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 et 100 : 9 diviseurs, comme le donne la formule.
Pourquoi ajouter 1 à chaque exposant ? Chaque diviseur de 100 s’obtient en prenant le facteur premier 2 zéro, une ou deux fois (3 choix) et le facteur premier 5 zéro, une ou deux fois (3 choix), puis en multipliant. Prendre un facteur zéro fois compte aussi, donc il y a un choix de plus que l’exposant. Avec 3 facteurs premiers différents ou plus, on multiplie de la même façon toutes les valeurs (exposant + 1).
La décomposition en facteurs premiers écrit un nombre entier comme un produit de nombres premiers uniquement, et le résultat est unique. À la main, le plus sûr est la décomposition en colonnes, en divisant par les plus petits nombres premiers dans l’ordre.
Symboles et termes
Symboles
| \(n\) | n | Le nombre entier de départ que l’on veut décomposer (2 ou plus). (Exemple : 100) |
| \(p, q\) | p, q | Des facteurs premiers (nombres premiers qui divisent \(n\)). On les écrit du plus petit au plus grand. (Exemple : les facteurs premiers de 100 sont 2 et 5) |
| \(p^{a}\) | p exposant a | Le produit de \(a\) facteurs égaux au facteur premier \(p\). Le petit \(a\) en haut à droite est l’exposant. (Exemple : \(2^{2} = 2 \times 2 = 4\)) |
| \(d\) | d | Le nombre de diviseurs. La lettre vient de « diviseur » (divisor en anglais). (Exemple : pour 100, \(d = 9\)) |
Termes
| nombre premier | Un nombre entier supérieur ou égal à 2 dont les seuls diviseurs sont 1 et lui-même : 2, 3, 5, 7, 11, 13… 1 n’est pas un nombre premier, et 2 est le seul nombre premier pair. |
| nombre composé | Un nombre entier supérieur ou égal à 2 qui n’est pas premier. Autrement dit, un nombre qu’on peut obtenir en multipliant 2 nombres premiers ou plus (exemple : 100 = 2 × 2 × 5 × 5). |
| facteur premier | Un nombre premier qui divise un nombre entier. Les facteurs premiers de 100 sont 2 et 5. |
| décomposition en facteurs premiers | Écrire un nombre entier comme un produit de nombres premiers uniquement. Le résultat est toujours le même, à l’ordre des facteurs près. |
| diviseur | Un nombre entier qui divise un nombre sans reste. 12 a 6 diviseurs : 1, 2, 3, 4, 6 et 12. |
| exposant | Le petit nombre écrit en haut à droite qui indique combien de facteurs on multiplie. \(2^{3}\) est le produit de 3 facteurs égaux à 2 (\(2 \times 2 \times 2 = 8\)). |
| théorème fondamental de l’arithmétique | Le théorème selon lequel tout nombre entier supérieur ou égal à 2 s’écrit d’une seule façon comme produit de nombres premiers. C’est pour cela qu’une décomposition en facteurs premiers n’a qu’une seule réponse. |
| décomposition en colonnes | Une façon d’écrire à la main les divisions successives par de petits nombres premiers. On écrit le nombre premier par lequel on divise dans une colonne et le quotient dans l’autre, ligne après ligne, jusqu’à ce que le quotient soit premier (au collège, on met souvent les diviseurs à droite ; cette page les place à gauche, le principe est le même). En multipliant tous les nombres premiers de la colonne et le dernier quotient, on retrouve le nombre de départ. |
| divisions successives | Une méthode de décomposition qui consiste à tester si le nombre est divisible par les plus petits nombres premiers dans l’ordre : 2, 3, 5… Si aucun nombre jusqu’à \(\sqrt{n}\) ne le divise, le nombre qui reste est premier. |
Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
Voici ce qu’il est utile de savoir pour utiliser le calcul de cette page en le comprenant, et pas seulement en appuyant sur le bouton.
Si vous bloquez, revoir ces notions est le chemin le plus court.
| Tables de multiplication et division (CE1-CM1, 7-10 ans) |
|
| Nombres pairs et impairs, diviseurs et multiples (CM1-6e, 9-12 ans) |
|
| Nombres premiers et décomposition en facteurs premiers (5e-3e, 12-15 ans) |
|
| Puissances et exposants (4e, 13-14 ans) |
|
Calculer avec Excel
Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 d’Excel. Il fonctionne tel quel.
Tableau pour vérifier que le produit des facteurs premiers redonne le nombre de départ
| Facteur premier 1 | 2 |
| Facteur premier 2 | 2 |
| Facteur premier 3 | 5 |
| Facteur premier 4 | 5 |
| Nombre de départ n | =B1*B2*B3*B4 |
Tableau pour retrouver le nombre de départ à partir de l’écriture avec des exposants
| Facteur premier p | 2 |
| Exposant de p, a | 2 |
| Facteur premier q | 5 |
| Exposant de q, b | 2 |
| Nombre de départ n | =B1^B2*B3^B4 |
Tableau pour trouver le nombre de diviseurs
| Exposant de p, a | 2 |
| Exposant de q, b | 2 |
| Nombre de diviseurs d | =(B1+1)*(B2+1) |
Excel n’a pas de fonction qui décompose un nombre en facteurs premiers en une fois : ces tableaux servent donc à vérifier qu’une décomposition est juste. Faites la décomposition elle-même avec la calculatrice de cette page ou avec Python.
Le premier tableau vérifie que le produit de tous les facteurs premiers redonne le nombre de départ. B5 affiche 2 × 2 × 5 × 5 = 100.
Le deuxième tableau part de l’écriture avec des exposants (2² × 5²). « ^ » est le symbole de la puissance (nombre de facteurs). B5 affiche 100.
Le troisième tableau calcule le nombre de diviseurs. B3 affiche (2+1) × (2+1) = 9. Il suffit de remplacer les facteurs premiers et les exposants par vos propres résultats.
Le premier tableau vérifie que le produit de tous les facteurs premiers redonne le nombre de départ. B5 affiche 2 × 2 × 5 × 5 = 100.
Le deuxième tableau part de l’écriture avec des exposants (2² × 5²). « ^ » est le symbole de la puissance (nombre de facteurs). B5 affiche 100.
Le troisième tableau calcule le nombre de diviseurs. B3 affiche (2+1) × (2+1) = 9. Il suffit de remplacer les facteurs premiers et les exposants par vos propres résultats.
Calculer avec Google Sheets
Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 de Google Sheets. Il fonctionne tel quel.
Tableau pour vérifier que le produit des facteurs premiers redonne le nombre de départ
| Facteur premier 1 | 2 |
| Facteur premier 2 | 2 |
| Facteur premier 3 | 5 |
| Facteur premier 4 | 5 |
| Nombre de départ n | =B1*B2*B3*B4 |
Tableau pour retrouver le nombre de départ à partir de l’écriture avec des exposants
| Facteur premier p | 2 |
| Exposant de p, a | 2 |
| Facteur premier q | 5 |
| Exposant de q, b | 2 |
| Nombre de départ n | =B1^B2*B3^B4 |
Tableau pour trouver le nombre de diviseurs
| Exposant de p, a | 2 |
| Exposant de q, b | 2 |
| Nombre de diviseurs d | =(B1+1)*(B2+1) |
Les formules d’Excel fonctionnent telles quelles. Copiez tout le tableau, collez-le dans la cellule A1 et remplacez les facteurs premiers et les exposants par vos propres résultats.
Calculer avec Python
number = 100 # le nombre entier à décomposer (2 ou plus)
prime_factors = [] # liste des facteurs premiers, du plus petit au plus grand
remaining = number
divisor = 2
while divisor * divisor <= remaining:
while remaining % divisor == 0: # on divise par le même nombre tant que la division tombe juste
prime_factors.append(divisor)
remaining //= divisor
divisor += 1
if remaining > 1: # ce qui reste au-dessus de 1 est un nombre premier
prime_factors.append(remaining)
print(f"Facteurs premiers de {number} : {prime_factors}")
Fonctionne avec la seule bibliothèque standard. C’est la méthode des divisions successives écrite en code : on teste si chaque nombre, du plus petit au plus grand, divise le nombre. « % » donne le reste d’une division, et « //= » divise en supprimant la partie décimale. Modifiez number en haut et lancez le programme. Pour 100, il affiche [2, 2, 5, 5].
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
Décomposition en facteurs premiers (écrire un nombre comme un produit de nombres premiers)
n = p₁ × p₂ × ⋯ × pₖ
n = p_1 \times p_2 \times \cdots \times p_k
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>n</mi>
<mo>=</mo>
<msub><mi>p</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>×</mo>
<msub><mi>p</mi><mn>2</mn></msub>
<mo>×</mo>
<mo>⋯</mo>
<mo>×</mo>
<msub><mi>p</mi><mi>k</mi></msub>
</mrow>
</math>
n = p_1 xx p_2 xx cdots xx p_k
FactorInteger[n]
ifactor(n);
factor(n)
n = p_1 × p_2 × ⋯ × p_k
Écriture avec des exposants (regrouper les facteurs premiers identiques)
n = pᵃ × qᵇ × ⋯
n = p^{a} \times q^{b} \times \cdots
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>n</mi>
<mo>=</mo>
<msup><mi>p</mi><mi>a</mi></msup>
<mo>×</mo>
<msup><mi>q</mi><mi>b</mi></msup>
<mo>×</mo>
<mo>⋯</mo>
</mrow>
</math>
n = p^a xx q^b xx cdots
p^a * q^b
n := p^a * q^b;
n = p^a * q^b;
n = p^a × q^b × ⋯
Nombre de diviseurs (une application de la décomposition en facteurs premiers)
d = (a + 1) × (b + 1)
d = (a+1) \times (b+1)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>d</mi>
<mo>=</mo>
<mo>(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo>
<mo>×</mo>
<mo>(</mo><mi>b</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo>
</mrow>
</math>
d = (a + 1) xx (b + 1)
(a + 1)*(b + 1)
d := (a + 1)*(b + 1);
d = (a + 1)*(b + 1);
d = (a + 1) × (b + 1)
Faire faire le calcul par ChatGPT
Tu es un assistant de calcul sur les nombres entiers. Effectue le calcul suivant en exécutant réellement du code Python, et fonde ta réponse uniquement sur les nombres obtenus à l’exécution (ne réponds pas de tête ni par estimation). Trouve la décomposition en facteurs premiers de 360. 1. Donne tous les facteurs premiers du plus petit au plus grand (répète un facteur premier autant de fois qu’il apparaît) 2. Écris-la avec des puissances (par exemple sous une forme comme 2^3 × 3^2 × 5) 3. Trouve aussi le nombre de diviseurs de 360 Indique le code utilisé et les nombres obtenus à l’exécution.
Mode d'emploi
-
1Saisissez vos nombresTapez les nombres à calculer dans les champs de saisie
-
2CalculezAppuyez sur le bouton « Calculer »
-
3Lisez le résultatLe résultat s’affiche aussitôt. La même page explique aussi le raisonnement et la formule
Les atouts de DataChef
Simple et gratuit
Conversions gratuites et illimitées
Aucune compétence requise – simple et intuitif
Aucune compétence requise – simple et intuitif
Aucune inscription requise
Utilisable dès l'ouverture de la page
Aucune donnée personnelle nécessaire
Aucune donnée personnelle nécessaire
Sûr et fiable
Connexion fortement chiffrée (SSL)
Le fichier est supprimé automatiquement après le téléchargement
Le fichier est supprimé automatiquement après le téléchargement
Rapide
Affichage et conversion rapides, sans attente
Sans filigrane
Aucun filigrane
Aucune mention de crédit nécessaire
Aucune mention de crédit nécessaire
Usage commercial autorisé
Usage commercial gratuit
Aucune autorisation préalable nécessaire
Aucune autorisation préalable nécessaire
Fonctions connexes
Simplifier une fraction (fraction irréductible)
Divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD pour obtenir la fraction irréductible
Calcul de fractions (addition, soustraction, multiplication, division)
Additionne, soustrait, multiplie et divise des fractions avec les étapes
Convertir une fraction en nombre décimal (numérateur ÷ dénominateur)
Calcule l’écriture décimale à partir du numérateur et du dénominateur, y compris les fractions à développement décimal périodique
