Entrez le rayon de la base et la hauteur du cône. Le volume (1/3 × π × rayon² × hauteur) s’affiche, ainsi que le volume du cylindre de même base et de même hauteur, et la conversion en cm³, L et m³.
Entrez le rayon et la hauteur dans la même unité, avec des nombres supérieurs ou égaux à 0 (le nombre seul, sans l’unité : pour 3 cm, entrez « 3 »).
Résultat et figure
Saisissez le rayon de la base et la hauteur dans les champs à gauche et appuyez sur « Calculer ». Le résultat s’affiche ici, avec une figure 3D à faire tourner avec la souris.
Table des matières
-
Ce que vous pouvez faire sur cette page
-
À quoi sert ce calcul ?
-
Mode d'emploi
-
Formules et figures
-
Symboles et termes
-
Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
-
Calculer avec Excel
-
Calculer avec Google Sheets
-
Calculer avec Python
-
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
-
Faire faire le calcul par ChatGPT
-
Les atouts de DataChef
-
Fonctions connexes
-
Liste des calculatrices NumberChef
Ce que vous pouvez faire sur cette page
- Entrez le rayon de la base et la hauteur, et vous obtenez aussitôt le volume du cône (volume = \(\dfrac{1}{3}\) × π × rayon² × hauteur)
- Le résultat s’affiche aussi sous forme de figure 3D : faites-la tourner avec la souris pour voir à quoi correspond chaque longueur
- Le volume du cylindre de même base et de même hauteur s’affiche aussi (le cône en fait exactement le tiers) : vous voyez ce que dit la formule
- La conversion du volume s’affiche en même temps (en litres et en m³ si vous saisissez des cm)
- Une explication simple de « pourquoi un tiers » et des formules à copier-coller pour Excel, Google Sheets et Python se trouvent aussi sur cette page
Entrez le rayon et la hauteur dans la même unité (tous les deux en cm, ou tous les deux en m). Cette page traite le cône de révolution, dont le sommet est juste au-dessus du centre du disque de base. Les volumes des autres solides, comme le cylindre, la boule ou la pyramide, ont chacun leur propre page.
À quoi sert ce calcul ?
Savoir ce que contient un cornet de glace (alimentation)
Le biscuit d’un cornet de glace ou d’une glace à l’italienne est un cône. Pour un cornet de 3 cm de rayon au bord et de 10 cm de profondeur, ce qu’il contient rempli à ras bord vaut \(\dfrac{1}{3} \times \pi \times 3^2 \times 10 \approx 94\,\mathrm{cm^3}\) (environ 94 mL).
Les chiffres montrent qu’en dehors de la boule posée dessus, un cornet contient moins qu’on ne le croit. Les cônes sont partout en cuisine : cornets, moules, poches à douille…
L’eau que contient un gobelet conique en papier (bureau et réserves d’urgence)
Les gobelets coniques en papier posés à côté des fontaines à eau mesurent souvent environ 3,5 cm de rayon au bord et 9 cm de profondeur. Ils contiennent \(\dfrac{1}{3} \times \pi \times 3{,}5^2 \times 9 \approx 115\,\mathrm{cm^3}\) (environ 115 mL).
Une bonbonne de fontaine de 18,9 L remplit donc environ 163 de ces gobelets (\(18\,900 \div 115{,}5 \approx 163\)). Une estimation comme « combien de personnes peuvent avoir un verre chacune » tient en cette seule formule.
L’eau que peut recevoir un filtre à café conique (maison)
L’intérieur d’un porte-filtre à café conique peut être vu comme un cône d’environ 5 cm de rayon au bord et 8 cm de profondeur. Rempli à ras bord, il contient \(\dfrac{1}{3} \times \pi \times 5^2 \times 8 \approx 209\,\mathrm{cm^3}\) (environ 210 mL).
Vous savez ainsi combien d’eau chaude verser d’un coup, et si vous pouvez préparer deux tasses en une seule fois.
Estimer un tas de sable ou de gravier (travaux publics et construction)
Du sable ou du gravier déchargé d’un camion forme naturellement un tas proche d’un cône (la pente la plus raide qu’il peut garder sans s’ébouler s’appelle l’angle de talus naturel). Si le tas mesure 1,5 m de rayon à la base et 1 m de haut, il contient environ \(\dfrac{1}{3} \times \pi \times 1{,}5^2 \times 1 \approx 2{,}4\,\mathrm{m^3}\).
Un vrai tas n’est pas un cône parfait, c’est donc une estimation. Mais sur les chantiers et en paysagisme, cette formule répond vite à « combien de camions faut-il ? » et « est-ce que ça tiendra sur l’aire de stockage ? ».
Estimer la taille d’un volcan (sciences de la Terre et enseignement)
Les stratovolcans comme le mont Fuji, au Japon, ont une forme proche d’un cône. En le prenant pour un cône d’environ 20 km de rayon à la base et d’environ 3,3 km de haut au-dessus des terres voisines, son volume est de l’ordre de \(\dfrac{1}{3} \times \pi \times 20^2 \times 3{,}3 \approx 1\,400\,\mathrm{km^3}\).
Une vraie montagne n’est pas un cône parfait, ce n’est donc qu’un ordre de grandeur. Même en volcanologie, on estime souvent le volume d’un édifice volcanique en l’assimilant à un solide simple comme celui-ci.
Formules et figures
Volume d’un cône
Figure
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(V\)
\(=\)
\(\dfrac{1}{3}\)
\(\times\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(r\)
\(2\)
\(\times\)
\(h\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
⑥
\(V\) : volume du cône
\(=\)
⑤
\(\dfrac{1}{3}\) : un tiers
\(\times\)
①
\(\pi\) : le nombre pi (environ 3,14)
\(\times\)
②
\(r\) : rayon de la base
③
au carré (le nombre multiplié par lui-même)
\(\times\)
④
\(h\) : hauteur
La formule en mots
①
Prenez
\(\pi\) : le nombre pi (environ 3,14)
②
multipliez-le par le
\(r\) : rayon de la base
③
au carré (le nombre multiplié par lui-même)
④
puis par la
\(h\) : hauteur
. Vous obtenez le volume du cylindre de même base et de même hauteur.
⑤
Multipliez ensuite par
\(\dfrac{1}{3}\) : un tiers
(c’est-à-dire divisez par 3)
⑥
et vous obtenez le
\(V\) : volume du cône
Exemple simple
Le volume d’un cornet de glace (un cône de 3 cm de rayon de base et de 10 cm de hauteur) vaut
\(V\) : volume du cône
\(=\)
\(\dfrac{1}{3}\) : un tiers
\(\times\)
\(\pi\) : pi
\(\times\)
rayon (3 cm)
au carré
\(\times\)
hauteur (10 cm)
\(\dfrac{1}{3} \times \pi \times 3^{2} \times 10 = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 90 = 30\pi\)
\(30\pi \approx 30 \times 3{,}14 = 94{,}2\,\mathrm{cm^3}\)
L’idée clé
Pourquoi un tiers ? Prenez un récipient en forme de cylindre et un récipient en forme de cône, de même base et de même hauteur. Remplissez le cône d’eau et versez-la dans le cylindre : il faut exactement 3 cônes pour le remplir (une expérience classique en classe). Le volume d’un cône est donc exactement \(\dfrac{1}{3}\) du volume du cylindre, \(\pi r^2 h\). La démonstration rigoureuse utilise les intégrales vues au lycée ; au collège, on retient la règle : un cône ou une pyramide vaut le tiers du cylindre ou du prisme de même base et de même hauteur.
Autre point d’attention : la façon de mesurer la hauteur. La hauteur \(h\) se mesure tout droit de la base jusqu’au sommet, perpendiculairement à la base. Ce n’est pas la longueur le long du flanc (la génératrice).
Le lien avec le volume du cylindre (pour retenir la formule)
Figure
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(V\)
\(=\)
\(\pi r^{2} h\)
\(\div\)
\(3\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
③
\(V\) : volume du cône
\(=\)
①
\(\pi r^2 h\) : volume du cylindre de même base et de même hauteur
\(\div\)
②
\(3\) : partage en 3 parts égales
La formule en mots
①
Divisez le
\(\pi r^2 h\) : volume du cylindre de même base et de même hauteur
②
par
\(3\) : partage en 3 parts égales
③
et vous obtenez le
\(V\) : volume du cône
Exemple simple
Avec un rayon de base de 3 cm et une hauteur de 10 cm, le volume du cône calculé à partir du cylindre de même base et de même hauteur vaut
\(V\) : volume du cône
\(=\)
volume du cylindre (90π ≈ 282,6 cm³)
\(\div\)
3
\(\pi \times 3^{2} \times 10 = 90\pi \approx 90 \times 3{,}14 = 282{,}6\,\mathrm{cm^3}\)
\(90\pi \div 3 = 30\pi \approx 94{,}2\,\mathrm{cm^3}\)
L’idée clé
En mots : « volume du cône = aire de la base × hauteur ÷ 3 ». L’aire de la base (l’aire du disque, \(\pi r^2\)) multipliée par la hauteur donne le volume du cylindre, et le cône en est une des 3 parts égales. Cette forme « aire de la base × hauteur ÷ 3 » marche exactement de la même façon pour les pyramides, dont la base est un triangle ou un carré (pyramide à base triangulaire, pyramide à base carrée).
Conversion des unités de volume (cm³ → L)
Figure
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(V_{\mathrm{L}}\)
\(=\)
\(V_{\mathrm{cm^3}}\)
\(\div\)
\(1000\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
③
\(V_{\mathrm{L}}\) : volume en litres
\(=\)
①
\(V_{\mathrm{cm^3}}\) : volume en cm³
\(\div\)
②
\(1\,000\) : nombre de cm³ dans 1 L
La formule en mots
①
Divisez le
\(V_{\mathrm{cm^3}}\) : volume en cm³
②
par le
\(1\,000\) : nombre de cm³ dans 1 L
③
et vous obtenez le
\(V_{\mathrm{L}}\) : volume en litres
Exemple simple
Le volume du cornet de glace, 94,2 cm³, converti en litres (L) donne
volume en litres
\(=\)
volume en cm³ (94,2)
\(\div\)
nombre de cm³ dans 1 L (1 000)
\(94{,}2 \div 1\,000 = 0{,}0942\,\mathrm{L}\ \ (94{,}2\,\mathrm{mL})\)
L’idée clé
\(1\,\mathrm{L}\) est le volume d’un cube de 10 cm de côté, donc \(1\,\mathrm{L} = 10 \times 10 \times 10 = 1\,000\,\mathrm{cm^3}\) (autrement dit 1 dm³). Le coefficient de conversion des volumes est celui des longueurs au cube. Comme \(1\,\mathrm{m} = 100\,\mathrm{cm}\), on a \(1\,\mathrm{m^3} = 100 \times 100 \times 100 = 1\,000\,000\,\mathrm{cm^3}\) (= 1 000 L). L’erreur classique est de multiplier par 100 ou par 10 000 au lieu de 1 000 000.
Le volume d’un cône se calcule par « \(\dfrac{1}{3}\) × π × rayon au carré × hauteur », c’est-à-dire « aire de la base × hauteur ÷ 3 » : c’est exactement le tiers du cylindre de même base et de même hauteur. Le rayon et la hauteur doivent être dans la même unité, et le résultat est dans cette unité au cube (cm³ pour des cm). Pour passer des cm³ aux litres, il suffit de diviser par 1 000.
Symboles et termes
Symboles
| \(V\) | V | Une lettre souvent utilisée pour le volume, dont c’est l’initiale. Sur cette page, c’est le volume du cône. |
| \(r\) | r | Le rayon du disque de base, initiale de « rayon ». C’est la longueur du centre du cercle jusqu’à son bord, la moitié du diamètre. |
| \(h\) | h | La hauteur du cône (h comme « hauteur »). Elle se mesure perpendiculairement à la base, de la base jusqu’au sommet, et ne se confond pas avec la longueur le long du flanc (la génératrice). |
| \(r^2\) | r au carré | Le nombre \(r\) multiplié par lui-même (\(r \times r\)). Le petit 2 en haut à droite est un exposant qui veut dire « multiplier 2 fois ». |
| \(\pi\) | pi | Le nombre pi : le périmètre d’un cercle divisé par son diamètre. Il vaut environ 3,14159… et ses décimales ne s’arrêtent jamais. On calcule avec 3,14 à l’école primaire, puis on garde la lettre \(\pi\) dans les résultats à partir du collège. |
| \(\mathrm{cm^3}\) | centimètre cube | Une unité de volume. Le volume d’un cube de 1 cm de côté vaut 1 cm³. À ne pas confondre avec le cm² (centimètre carré), qui mesure une aire. |
| \(\mathrm{m^3}\) | mètre cube | Une unité de volume. Le volume d’un cube de 1 m de côté vaut 1 m³, et \(1\,\mathrm{m^3} = 1\,000\,000\,\mathrm{cm^3} = 1\,000\,\mathrm{L}\). |
| \(\mathrm{L}\) | litre | L’unité de volume (de contenance) familière des boissons. Le volume d’un cube de 10 cm de côté vaut 1 L, et \(1\,\mathrm{L} = 1\,000\,\mathrm{cm^3} = 1\,000\,\mathrm{mL}\). |
Termes
| cône | Un solide dont la base est un disque et qui se rétrécit régulièrement jusqu’à un seul point. Un cornet de glace, un chapeau pointu ou un cône de signalisation ont la forme d’un cône. |
| cône de révolution | Un cône dont le sommet est juste au-dessus du centre du disque de base (on l’obtient en faisant tourner un triangle rectangle autour d’un de ses côtés de l’angle droit). C’est le cône des manuels du collège, et c’est lui que traite ce calculateur. Un cône dont le sommet n’est pas au-dessus du centre s’appelle un cône oblique. |
| base | Le disque sur lequel repose le cône. Sa surface (\(\pi r^2\) pour un cône) s’appelle l’aire de la base. |
| sommet | La pointe du cône. La hauteur se mesure de ce point jusqu’à la base, perpendiculairement à celle-ci. |
| génératrice | Le segment qui relie le sommet au bord du disque de base, en ligne droite le long du flanc. Sa longueur vaut \(\sqrt{r^2 + h^2}\) d’après le théorème de Pythagore. Attention à ne pas la confondre avec la hauteur. |
| volume | La place qu’occupe un solide, donnée par un nombre. On la mesure en comptant combien de cubes de 1 cm de côté (1 cm³) tiennent dedans. |
| pi | Le nombre qui indique combien de fois le périmètre d’un cercle contient son diamètre (environ 3,14). Il apparaît dans tous les calculs de figures où intervient un cercle, comme le disque, le cône ou le cylindre. |
Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
Voici ce qu’il est utile de comprendre pour utiliser le calcul de cette page en sachant ce qu’il fait, et pas seulement en appuyant sur le bouton.
| Le volume et ses unités (CM2-6e, 10-12 ans) |
|
| L’aire du disque (6e, 11-12 ans) |
|
| Le calcul littéral et le nombre π (5e-4e, 12-14 ans) |
|
| Les solides de l’espace (4e, 13-14 ans) |
|
| La multiplication et la division des nombres décimaux (CM2-6e, 10-12 ans) |
|
Calculer avec Excel
Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 d’Excel. Il fonctionne tel quel.
Tableau pour calculer le volume d’un cône
| Rayon de la base (cm) | 3 |
| Hauteur (cm) | 10 |
| Volume du cône (cm³) | =PI()*B1^2*B2/3 |
Tableau pour vérifier le lien avec le volume du cylindre
| Rayon de la base (cm) | 3 |
| Hauteur (cm) | 10 |
| Cylindre de même base et de même hauteur (cm³) | =PI()*B1^2*B2 |
| Volume du cône, le tiers du cylindre (cm³) | =B3/3 |
Tableau pour convertir des cm³ en litres
| Volume en cm³ | 94,25 |
| Volume en litres | =B1/1000 |
Une fois le tableau collé, la colonne A contient les libellés et la colonne B les nombres. Les premières lignes sont vos données, et la formule de la dernière ligne se calcule toute seule à partir d’elles.
Dans une formule, « B1 » et « B2 » veulent dire « prendre le nombre de cette cellule ». « PI() » est le nombre pi (3,14159…), « ^ » la puissance (combien de fois on multiplie), « * » la multiplication et « / » la division.
Par exemple, dans le premier tableau, B3 affiche environ 94,25 (= 1/3 × π × 3² × 10), en cm³ car vous avez saisi des cm. Dans le deuxième tableau, B3 affiche environ 282,74 et B4 son tiers, environ 94,25 : vous vérifiez que le cône vaut le tiers du cylindre. Le troisième tableau affiche 0,09425 en B2. Il suffit de remplacer les nombres saisis par les dimensions de votre propre cône.
Dans une formule, « B1 » et « B2 » veulent dire « prendre le nombre de cette cellule ». « PI() » est le nombre pi (3,14159…), « ^ » la puissance (combien de fois on multiplie), « * » la multiplication et « / » la division.
Par exemple, dans le premier tableau, B3 affiche environ 94,25 (= 1/3 × π × 3² × 10), en cm³ car vous avez saisi des cm. Dans le deuxième tableau, B3 affiche environ 282,74 et B4 son tiers, environ 94,25 : vous vérifiez que le cône vaut le tiers du cylindre. Le troisième tableau affiche 0,09425 en B2. Il suffit de remplacer les nombres saisis par les dimensions de votre propre cône.
Calculer avec Google Sheets
Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 de Google Sheets. Il fonctionne tel quel.
Tableau pour calculer le volume d’un cône
| Rayon de la base (cm) | 3 |
| Hauteur (cm) | 10 |
| Volume du cône (cm³) | =PI()*B1^2*B2/3 |
Tableau pour vérifier le lien avec le volume du cylindre
| Rayon de la base (cm) | 3 |
| Hauteur (cm) | 10 |
| Cylindre de même base et de même hauteur (cm³) | =PI()*B1^2*B2 |
| Volume du cône, le tiers du cylindre (cm³) | =B3/3 |
Tableau pour convertir des cm³ en litres
| Volume en cm³ | 94,25 |
| Volume en litres | =B1/1000 |
Les mêmes formules qu’Excel (y compris la fonction PI()) fonctionnent telles quelles. Copiez tout le tableau, collez-le dans la cellule A1 et remplacez les nombres saisis par les dimensions de votre propre cône.
Calculer avec Python
import math
radius = 3 # rayon de la base (en cm dans cet exemple)
height = 10 # hauteur (dans la même unité que le rayon)
volume = math.pi * radius ** 2 * height / 3 # volume du cône (unité saisie au cube ; ici en cm3)
volume_l = volume / 1000 # pour des cm saisis, le volume converti en litres
print(f"Volume du cône : {volume} cm3")
print(f"En litres : {volume_l} L")
Fonctionne avec la bibliothèque standard seule. « math.pi » est le nombre pi (3,14159…), « ** » la puissance (radius ** 2 est le rayon au carré), « * » la multiplication et « / » la division. Modifiez le rayon et la hauteur au début et lancez le code (l’exemple est en cm ; si vous saisissez des m, le résultat est en m³, et il faut multiplier par 1 000 pour obtenir des litres).
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
Volume d’un cône
V = (1/3)πr²h
V = \frac{1}{3} \pi r^{2} h
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>V</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac>
<mi>π</mi>
<msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
<mi>h</mi>
</mrow>
</math>
V = 1/3 pi r^2 h
Pi*r^2*h/3
V := (1/3)*Pi*r^2*h;
V = (1/3)*pi*r^2*h;
V = (1/3)πr^2 h
Le lien avec le volume du cylindre (pour retenir la formule)
V = πr²h ÷ 3
V = \frac{\pi r^{2} h}{3}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>V</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>π</mi><msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup><mi>h</mi></mrow>
<mn>3</mn>
</mfrac>
</mrow>
</math>
V = (pi r^2 h)/3
Pi*r^2*h/3
V := Pi*r^2*h/3;
V = pi*r^2*h/3;
V = πr^2 h/3
Conversion des unités de volume (cm³ → L)
V[L] = V[cm³] ÷ 1000
V_{\mathrm{L}} = V_{\mathrm{cm^3}} \div 1000
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>V</mi><mi mathvariant="normal">L</mi></msub>
<mo>=</mo>
<msub><mi>V</mi><mrow><msup><mi mathvariant="normal">cm</mi><mn>3</mn></msup></mrow></msub>
<mo>÷</mo>
<mn>1000</mn>
</mrow>
</math>
V_(L) = V_(cm^3) -: 1000
vCm3/1000
vL := vCm3/1000;
v_l = v_cm3/1000;
V(L) = V(cm³)/1000
Faire faire le calcul par ChatGPT
Vous êtes un assistant de calcul en mathématiques. Faites le calcul suivant en exécutant réellement du code Python, et appuyez votre réponse uniquement sur les nombres obtenus à l’exécution (ne répondez pas de tête ni au jugé). Un cône a une base de 3 cm de rayon et une hauteur de 10 cm. Calculez : 1. Le volume de ce cône en cm³ (V = 1/3 × π × rayon² × hauteur) 2. Ce volume converti en litres (L) Montrez les formules utilisées et les nombres obtenus à l’exécution.
Mode d'emploi
-
1Saisissez vos nombresTapez les nombres à calculer dans les champs de saisie
-
2CalculezAppuyez sur le bouton « Calculer »
-
3Lisez le résultatLe résultat s’affiche aussitôt. La même page explique aussi le raisonnement et la formule
Les atouts de DataChef
Simple et gratuit
Conversions gratuites et illimitées
Aucune compétence requise – simple et intuitif
Aucune compétence requise – simple et intuitif
Aucune inscription requise
Utilisable dès l'ouverture de la page
Aucune donnée personnelle nécessaire
Aucune donnée personnelle nécessaire
Sûr et fiable
Connexion fortement chiffrée (SSL)
Le fichier est supprimé automatiquement après le téléchargement
Le fichier est supprimé automatiquement après le téléchargement
Rapide
Affichage et conversion rapides, sans attente
Sans filigrane
Aucun filigrane
Aucune mention de crédit nécessaire
Aucune mention de crédit nécessaire
Usage commercial autorisé
Usage commercial gratuit
Aucune autorisation préalable nécessaire
Aucune autorisation préalable nécessaire
Fonctions connexes
Calcul du cercle (rayon, diamètre, périmètre et aire du disque)
La base d’un cône est un disque. Calcule l’aire de la base (πr²) à partir du rayon, et passe d’une grandeur du cercle à l’autre
