Entrez le rayon du haut, le rayon du bas et la hauteur d’un tronc de cône (un solide comme un seau, avec deux disques parallèles en haut et en bas et un flanc qui se resserre). Vous obtenez le volume et sa conversion en litres (L).
Entrez les trois longueurs dans la même unité, avec des nombres seuls (pour 15 cm, entrez « 15 »). Le rayon le plus grand peut être en haut ou en bas. Entrez 0 pour l’un des rayons pour obtenir un cône, ou la même valeur pour les deux pour obtenir un cylindre.
Résultat et figure
Saisissez les rayons du haut et du bas et la hauteur dans les champs à gauche et appuyez sur « Calculer ». Le résultat s’affiche ici.
Table des matières
-
Ce que vous pouvez faire sur cette page
-
À quoi sert ce calcul ?
-
Mode d'emploi
-
Formules et figures
-
Symboles et termes
-
Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
-
Calculer avec Excel
-
Calculer avec Google Sheets
-
Calculer avec Python
-
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
-
Faire faire le calcul par ChatGPT
-
Les atouts de DataChef
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Fonctions connexes
-
Liste des calculatrices NumberChef
Ce que vous pouvez faire sur cette page
- Entrez le rayon du haut, le rayon du bas et la hauteur, et vous obtenez aussitôt le volume d’un tronc de cône (une forme comme un seau ou un pot de flan)
- Le volume converti en litres (L) s’affiche en même temps (que vous saisissiez des cm ou des m)
- Vous pouvez aussi voir le tronc de cône en 3D et le faire tourner en le faisant glisser à la souris
- Entrez 0 pour l’un des rayons pour obtenir le volume d’un cône, ou le même rayon en haut et en bas pour obtenir celui d’un cylindre
- Une explication simple des formules et des formules à copier-coller pour Excel, Google Sheets et Python se trouvent aussi sur cette page
Entrez les trois longueurs dans la même unité (toutes en cm, par exemple). La « hauteur » est ici la distance mesurée perpendiculairement entre le disque du haut et celui du bas, et non la longueur du flanc incliné.
À quoi sert ce calcul ?
Savoir combien de litres contient un seau (maison)
La plupart des seaux sont des troncs de cône, larges en haut et étroits en bas. Pour un seau de 15 cm de rayon au bord, 10 cm de rayon au fond et 25 cm de profondeur, le volume vaut environ 12 435 cm³, soit environ 12,4 L.
Mesurez un seau vendu comme « 12 L » et vous trouverez à peu près ces dimensions. Ce calcul sert à estimer combien de seaux il faut pour une quantité d’eau donnée, ou la contenance approximative d’un récipient sans indication (on ne remplit jamais à ras bord, donc comptez un peu moins que le résultat).
Estimer le terreau nécessaire pour un pot (jardinage)
Un pot de fleurs est un tronc de cône typique. Pour un pot de 12 cm de rayon en haut, 8 cm de rayon au fond et 20 cm de haut, le volume vaut environ 6 367 cm³, soit environ 6,4 L. Le terreau se vend en sacs de 20 L, 40 L ou 50 L : avec le nombre de pots, vous savez combien de sacs acheter avant d’aller en jardinerie.
On ne remplit pas le pot jusqu’au bord (on laisse de la place pour l’arrosage) : comptez environ 80 à 90 % du résultat.
Concevoir la contenance des gobelets et des pots (alimentation et industrie)
Un gobelet en carton est un tronc de cône plus large en haut. Pour un gobelet de 3,6 cm de rayon en haut, 2,3 cm de rayon au fond et 8 cm de haut, le volume vaut environ 222 cm³ (environ 22 cL) rempli à ras bord. Comme on ne verse pas jusqu’au bord, c’est ce qu’on vend comme un gobelet de 20 cL : cette formule sert de base pour concevoir les récipients et la contenance indiquée.
Pots de flan, pots de yaourt, verres doseurs : la contenance de tous les emballages alimentaires en forme de tronc de cône se calcule ainsi.
Estimer un tas de sable ou de terre (BTP)
Un tas de sable ou de gravier livré par camion prend à peu près la forme d’un cône (un tronc de cône dont le rayon du haut vaut 0). Pour un tas de 2 m de rayon à la base et de 1,5 m de haut, le volume vaut environ 6,3 m³.
Sur les chantiers et en aménagement paysager, cette estimation permet de savoir à combien de camions-bennes cela correspond et si la quantité commandée suffit. Un vrai tas n’est jamais un cône parfait : ce n’est qu’une estimation.
Contenance d’une trémie, un réservoir en entonnoir (industrie)
Dans une usine, la trémie stocke de la poudre ou du grain et le laisse s’écouler peu à peu par le bas. Sa partie inférieure est un tronc de cône à l’envers. Pour une partie de 1 m de rayon en haut, 0,2 m en bas et 1,2 m de haut, la contenance vaut environ 1,56 m³ (environ 1 560 L).
Les concepteurs d’équipements calculent ainsi ce que peut contenir l’installation, puis décident de la taille des cuves et de la fréquence de remplissage. Silos, entonnoirs, regards d’évacuation : les troncs de cône sont partout dans les équipements industriels.
Formules et figures
Formule du volume d’un tronc de cône
Figure
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(V\)
\(=\)
\((\)
\(r\)
\(2\)
\(+\)
\(r\)
\(\times\)
\(R\)
\(+\)
\(R\)
\(2\)
\()\)
\(\times\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(h\)
\(\div 3\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
⑦
\(V\) : volume du tronc de cône
\(=\)
\((\)
①
\(r\) : rayon du haut
③
au carré (le nombre multiplié par lui-même)
\(+\)
\(r\) : rayon du haut
\(\times\)
②
\(R\) : rayon du bas
\(+\)
\(R\) : rayon du bas
au carré
\()\)
\(\times\)
④
\(\pi\) : pi
\(\times\)
⑤
\(h\) : hauteur
⑥
\(\div 3\)
La formule en mots
①
Avec le
\(r\) : rayon du haut
②
et le
\(R\) : rayon du bas
③
formez trois produits : les valeurs
au carré (le nombre multiplié par lui-même)
\(r^2\) et \(R^2\), et \(rR\) (les deux rayons multipliés entre eux), puis additionnez-les
④
multipliez par
\(\pi\) : pi (environ 3,14)
⑤
multipliez par la
\(h\) : hauteur
⑥
et divisez enfin par 3 (partagez en 3 parts égales)
⑦
pour obtenir le
\(V\) : volume du tronc de cône
Exemple simple
Pour un tronc de cône de 1 cm de rayon en haut, 2 cm de rayon en bas et 3 cm de hauteur (plus large en bas, comme un petit flan), le volume vaut
\(V\) : volume du tronc de cône
\(=\)
\((\)
rayon du haut (1 cm)
au carré
\(+\)
rayon du haut (1 cm)
\(\times\)
rayon du bas (2 cm)
\(+\)
rayon du bas (2 cm)
au carré
\()\)
\(\times\)
\(\pi\) : pi
\(\times\)
hauteur (3 cm)
\(\div 3\)
\(1 \times 1 + 1 \times 2 + 2 \times 2 = 1 + 2 + 4 = 7\)
\(7 \times \pi \times 3 \div 3 = 7\pi\)
\(7\pi = 7 \times 3{,}14159\ldots \approx 21{,}99\,\mathrm{cm^3}\)
L’idée clé
Pour la retenir : additionnez les trois produits \(r^2\), \(rR\) et \(R^2\), multipliez par π comme pour l’aire d’un disque, et comme c’est un cousin du cône (un solide pointu), divisez par 3 à la fin.
Cette formule contient aussi celles du cône et du cylindre. Avec \(r = 0\), elle devient la formule du cône \(V = \dfrac{1}{3}\pi R^2 h\) ; avec \(r = R\), celle du cylindre \(V = \pi R^2 h\). Échanger les rayons du haut et du bas ne change pas le résultat (la formule garde la même forme quand on échange \(r\) et \(R\)).
Grand cône moins petit cône (d’où vient la formule)
Figure
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(V\)
\(=\)
\(V_{1}\)
\(-\)
\(V_{2}\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
③
\(V\) : volume du tronc de cône
\(=\)
①
\(V_1\) : volume du grand cône de départ
\(-\)
②
\(V_2\) : volume du petit cône retiré
La formule en mots
①
Du
\(V_1\) : volume du grand cône de départ
②
soustrayez le
\(V_2\) : volume du petit cône retiré
③
et vous obtenez le
\(V\) : volume du tronc de cône
Exemple simple
Vérifions avec le même tronc de cône qu’à la formule 1 (rayon du haut 1 cm, rayon du bas 2 cm, hauteur 3 cm). En prolongeant le flanc vers le haut, on obtient un grand cône de 6 cm de haut ; le petit cône retiré mesure 3 cm de haut
\(V\) : volume du tronc de cône
\(=\)
grand cône (rayon 2 cm, hauteur 6 cm)
\(-\)
petit cône (rayon 1 cm, hauteur 3 cm)
\(V_1 = 2 \times 2 \times \pi \times 6 \div 3 = 8\pi\)
\(V_2 = 1 \times 1 \times \pi \times 3 \div 3 = \pi\)
\(V = 8\pi - \pi = 7\pi \approx 21{,}99\,\mathrm{cm^3}\)
L’idée clé
Un tronc de cône est ce qu’on obtient en coupant un cône par un plan parallèle à sa base et en retirant la partie qui contient le sommet. On peut donc trouver son volume en prolongeant le flanc pour reconstituer le grand cône, puis en soustrayant le petit cône retiré.
Jusqu’où prolonger le flanc pour atteindre le sommet ? On le sait grâce à la réduction : le petit cône est une réduction du grand. Ici, les rayons du haut et du bas sont dans le rapport \(1 : 2\), donc les hauteurs du petit et du grand cône le sont aussi. La hauteur de 3 cm du tronc est leur différence : le petit cône mesure 3 cm de haut et le grand 6 cm. La formule 1 n’est autre que cette soustraction écrite avec des lettres et simplifiée, d’où exactement le même résultat \(7\pi\). Même si vous oubliez la formule, ce raisonnement suffit pour trouver le volume d’un tronc de cône.
Conversion d’unités de volume (cm³ → L)
Figure
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(V_{\mathrm{L}}\)
\(=\)
\(V_{\mathrm{cm^3}}\)
\(\div\)
\(1000\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
③
\(V_{\mathrm{L}}\) : volume en litres
\(=\)
①
\(V_{\mathrm{cm^3}}\) : volume en cm³
\(\div\)
②
\(1\,000\) : nombre de cm³ dans 1 L
La formule en mots
①
Divisez le
\(V_{\mathrm{cm^3}}\) : volume en cm³
②
par le
\(1\,000\) : nombre de cm³ dans 1 L
③
et vous obtenez le
\(V_{\mathrm{L}}\) : volume en litres
Exemple simple
Un seau (un tronc de cône) de 15 cm de rayon en haut, 10 cm de rayon en bas et 25 cm de hauteur a un volume d’environ 12 435 cm³. En litres, cela fait
volume en litres
\(=\)
volume en cm³ (environ 12 435)
\(\div\)
nombre de cm³ dans 1 L (1 000)
\(12\,435 \div 1\,000 = 12{,}435 \approx 12{,}4\,\mathrm{L}\)
L’idée clé
Un litre (L) est le volume d’un cube de 10 cm de côté, soit \(10 \times 10 \times 10 = 1\,000\,\mathrm{cm^3}\). Pour passer des cm³ aux litres, on divise donc par 1 000.
Si vous saisissez des m, c’est l’inverse : on multiplie par 1 000. En effet, \(1\,\mathrm{m^3}\) est un cube de 1 m (= 100 cm) de côté, soit \(100 \times 100 \times 100 = 1\,000\,000\,\mathrm{cm^3}\), c’est-à-dire \(1\,\mathrm{m^3} = 1\,000\,\mathrm{L}\).
Le volume d’un tronc de cône vaut « (rayon du haut au carré + rayon du haut × rayon du bas + rayon du bas au carré) × π × hauteur ÷ 3 ». Si vous oubliez la formule, revenez à la soustraction « grand cône − petit cône ».
Symboles et termes
Symboles
| \(r\) | r minuscule | Le rayon du disque du haut, initiale de « rayon ». Sur cette page, c’est toujours le rayon du haut, que le disque du haut soit le plus petit ou non. |
| \(R\) | R majuscule | Le rayon du disque du bas (la base). On l’écrit en majuscule pour le distinguer du rayon du haut \(r\). |
| \(h\) | h | La hauteur du tronc de cône (h comme « hauteur »). C’est la distance mesurée perpendiculairement entre le disque du bas et celui du haut, et non la longueur du flanc incliné. |
| \(\pi\) | pi | Le nombre pi : le périmètre d’un cercle divisé par son diamètre. Il vaut \(3{,}14159265\ldots\) et ses décimales ne s’arrêtent jamais. À l’école primaire, on calcule avec 3,14. |
| \(r^2\) | r au carré | Le nombre \(r\) multiplié par lui-même (\(r \times r\)). Le petit 2 en haut à droite est un exposant qui veut dire « multiplier 2 fois ». |
| \(V\) | V | Une lettre souvent utilisée pour le volume, dont c’est l’initiale. |
| \(\mathrm{cm^3}\) | centimètre cube | Une unité de volume. Le volume d’un cube de 1 cm de côté vaut 1 cm³. |
| \(\mathrm{L}\) | litre | L’unité de volume (de contenance) courante pour l’eau et les liquides, avec \(1\,\mathrm{L} = 1\,000\,\mathrm{cm^3}\) et \(1\,\mathrm{m^3} = 1\,000\,\mathrm{L}\). |
Termes
| tronc de cône | Le solide qu’on obtient en coupant un cône par un plan parallèle à sa base et en retirant la partie qui contient le sommet. Le haut et le bas sont deux disques parallèles de tailles différentes, et le flanc se resserre. Seaux, pots de fleurs, gobelets, pots de flan : c’est une forme très courante. |
| cône | Un solide dont la base est un disque et qui se termine en pointe en un seul point, le sommet, comme un cornet de glace. Le tronc de cône est tiré d’un cône. |
| base | La face sur laquelle repose un solide. Pour un tronc de cône, c’est le disque du bas (le disque du haut est la face supérieure). |
| volume | La place qu’occupe un solide, donnée par un nombre. On la mesure en comptant combien de cubes de 1 cm de côté (1 cm³) tiennent dedans. |
| réduction | Une figure de même forme mais plus petite, dont toutes les longueurs sont multipliées par un même nombre (le coefficient de réduction). À la formule 2, pour trouver la hauteur du grand cône, on utilise le fait que le petit cône est une réduction du grand : le rapport des rayons est égal au rapport des hauteurs. |
| pyramide | Un solide dont la base est un polygone et dont les faces latérales sont des triangles qui se rejoignent en un point. Cônes et pyramides se terminent tous deux en pointe, et leur volume vaut toujours « aire de la base × hauteur ÷ 3 ». Le « ÷ 3 » de la formule du tronc de cône vient de là. |
Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
Voici ce qu’il est utile de savoir pour utiliser le calcul de cette page en le comprenant, et pas seulement en appuyant sur le bouton.
| L’aire du disque et le nombre pi (6e, 11-12 ans) |
|
| Le volume et ses unités (CM2-6e, 10-12 ans) |
|
| Les puissances (4e, 13-14 ans) |
|
| Le volume du cylindre et du cône (5e-4e, 12-14 ans) |
|
| Agrandissement et réduction (3e, 14-15 ans) |
|
Calculer avec Excel
Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 d’Excel. Il fonctionne tel quel.
Tableau pour calculer le volume d’un tronc de cône
| Rayon du haut r (cm) | 15 |
| Rayon du bas R (cm) | 10 |
| Hauteur h (cm) | 25 |
| Volume du tronc de cône (cm³) | =(B1^2+B1*B2+B2^2)*PI()*B3/3 |
Tableau pour le calculer comme grand cône − petit cône
| Rayon de la base du grand cône | 2 |
| Hauteur du grand cône | 6 |
| Rayon de la base du petit cône | 1 |
| Hauteur du petit cône | 3 |
| Volume du grand cône | =B1^2*PI()*B2/3 |
| Volume du petit cône | =B3^2*PI()*B4/3 |
| Volume du tronc de cône | =B5-B6 |
Tableau pour convertir des cm³ en litres
| Volume en cm³ | 12435,47 |
| Volume en litres | =B1/1000 |
Une fois le tableau collé, la colonne A contient les libellés et la colonne B les nombres. Les premières lignes sont vos données, et la formule de la dernière ligne se calcule toute seule à partir d’elles.
Dans une formule, « B1 » et « B2 » veulent dire « prendre le nombre de cette cellule ». « * » est la multiplication, « / » la division, « ^2 » le carré et « PI() » la fonction d’Excel qui donne le nombre pi (3,14159…).
Par exemple, dans le premier tableau, B4 affiche environ 12 435,47 (en cm³ car vous avez saisi des cm). Le deuxième tableau affiche environ 21,99 en B7 et le troisième environ 12,44 en B2. Il suffit de remplacer les nombres saisis par vos propres longueurs.
Dans une formule, « B1 » et « B2 » veulent dire « prendre le nombre de cette cellule ». « * » est la multiplication, « / » la division, « ^2 » le carré et « PI() » la fonction d’Excel qui donne le nombre pi (3,14159…).
Par exemple, dans le premier tableau, B4 affiche environ 12 435,47 (en cm³ car vous avez saisi des cm). Le deuxième tableau affiche environ 21,99 en B7 et le troisième environ 12,44 en B2. Il suffit de remplacer les nombres saisis par vos propres longueurs.
Calculer avec Google Sheets
Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 de Google Sheets. Il fonctionne tel quel.
Tableau pour calculer le volume d’un tronc de cône
| Rayon du haut r (cm) | 15 |
| Rayon du bas R (cm) | 10 |
| Hauteur h (cm) | 25 |
| Volume du tronc de cône (cm³) | =(B1^2+B1*B2+B2^2)*PI()*B3/3 |
Tableau pour le calculer comme grand cône − petit cône
| Rayon de la base du grand cône | 2 |
| Hauteur du grand cône | 6 |
| Rayon de la base du petit cône | 1 |
| Hauteur du petit cône | 3 |
| Volume du grand cône | =B1^2*PI()*B2/3 |
| Volume du petit cône | =B3^2*PI()*B4/3 |
| Volume du tronc de cône | =B5-B6 |
Tableau pour convertir des cm³ en litres
| Volume en cm³ | 12435,47 |
| Volume en litres | =B1/1000 |
Les mêmes formules qu’Excel (y compris la fonction PI()) fonctionnent telles quelles. Copiez tout le tableau, collez-le dans la cellule A1 et remplacez les nombres saisis par vos propres longueurs.
Calculer avec Python
import math
radius_top = 15 # rayon du disque du haut
radius_bottom = 10 # rayon du disque du bas (la base)
height = 25 # hauteur (dans la même unité que les rayons)
volume = (radius_top**2 + radius_top*radius_bottom + radius_bottom**2) * math.pi * height / 3
liter = volume / 1000 # pour des cm saisis, le volume converti en litres (L)
print(f"Volume du tronc de cône : {volume} cm3")
print(f"En litres : {liter} L")
Fonctionne avec la bibliothèque standard seule. « math.pi » est le nombre pi, « **2 » le carré, « * » la multiplication et « / » la division. Modifiez les trois valeurs du début et lancez le code (l’exemple est en cm ; si vous saisissez des m, multipliez par 1 000 pour obtenir des litres).
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
Formule du volume d’un tronc de cône
V = (1/3)πh(r² + rR + R²)
V = \frac{1}{3}\pi h \left( r^{2} + rR + R^{2} \right)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>V</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac>
<mi>π</mi>
<mi>h</mi>
<mo>(</mo>
<msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo>
<mi>r</mi>
<mi>R</mi>
<mo>+</mo>
<msup><mi>R</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>)</mo>
</mrow>
</math>
V = (1/3) pi h (r^2 + r R + R^2)
Pi*h*(r^2 + r*R + R^2)/3
V := Pi*h*(r^2 + r*R + R^2)/3;
V = pi*h*(r^2 + r*R + R^2)/3;
V = (1/3)πh(r^2 + rR + R^2)
Grand cône moins petit cône (d’où vient la formule)
V = V₁ − V₂
V = V_{1} - V_{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>V</mi>
<mo>=</mo>
<msub><mi>V</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>−</mo>
<msub><mi>V</mi><mn>2</mn></msub>
</mrow>
</math>
V = V_1 - V_2
v1 - v2
V := V1 - V2;
V = V1 - V2;
V = V_1 - V_2
Conversion d’unités de volume (cm³ → L)
V[L] = V[cm³] ÷ 1000
V_{\mathrm{L}} = V_{\mathrm{cm^3}} \div 1000
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>V</mi><mi mathvariant="normal">L</mi></msub>
<mo>=</mo>
<msub><mi>V</mi><mrow><msup><mi mathvariant="normal">cm</mi><mn>3</mn></msup></mrow></msub>
<mo>÷</mo>
<mn>1000</mn>
</mrow>
</math>
V_(L) = V_(cm^3) -: 1000
vCm3/1000
vL := vCm3/1000;
v_l = v_cm3/1000;
V(L) = V(cm³)/1000
Faire faire le calcul par ChatGPT
Vous êtes un assistant de calcul en mathématiques. Faites le calcul suivant en exécutant réellement du code Python, et appuyez votre réponse uniquement sur les nombres obtenus à l’exécution (ne répondez pas de tête ni au jugé). Un tronc de cône (en forme de seau) a un rayon de 15 cm en haut, un rayon de 10 cm en bas et une hauteur de 25 cm. Calculez : 1. Le volume de ce tronc de cône en cm³ (avec la formule V = (1/3)πh(r² + rR + R²)) 2. Ce volume converti en litres (L) Montrez les formules utilisées et les nombres obtenus à l’exécution.
Mode d'emploi
-
1Saisissez vos nombresTapez les nombres à calculer dans les champs de saisie
-
2CalculezAppuyez sur le bouton « Calculer »
-
3Lisez le résultatLe résultat s’affiche aussitôt. La même page explique aussi le raisonnement et la formule
Les atouts de DataChef
Simple et gratuit
Conversions gratuites et illimitées
Aucune compétence requise – simple et intuitif
Aucune compétence requise – simple et intuitif
Aucune inscription requise
Utilisable dès l'ouverture de la page
Aucune donnée personnelle nécessaire
Aucune donnée personnelle nécessaire
Sûr et fiable
Connexion fortement chiffrée (SSL)
Le fichier est supprimé automatiquement après le téléchargement
Le fichier est supprimé automatiquement après le téléchargement
Rapide
Affichage et conversion rapides, sans attente
Sans filigrane
Aucun filigrane
Aucune mention de crédit nécessaire
Aucune mention de crédit nécessaire
Usage commercial autorisé
Usage commercial gratuit
Aucune autorisation préalable nécessaire
Aucune autorisation préalable nécessaire
Fonctions connexes
Calcul du cercle (rayon, diamètre, périmètre et aire du disque)
Calcule d’un coup, à partir du rayon, l’aire, le périmètre et d’autres grandeurs des disques du haut et du bas d’un tronc de cône
