Choisissez le type de courbe et entrez les dénominateurs (ellipse ou hyperbole) ou le coefficient du terme du premier degré (parabole). Le calculateur trouve les foyers, les sommets et l’excentricité, ainsi que les asymptotes d’une hyperbole ou la directrice d’une parabole.
Les nombres décimaux (2,5) et les fractions comme 3/4 sont acceptés. Pour les dénominateurs a² et b², entrez le nombre écrit sous x² ou y², et non la valeur de a ou de b (pour x²/9, entrez 9). Un champ vide vaut 1 (un dénominateur ou un coefficient non écrit vaut 1).
Résultat et graphique
Choisissez le type de courbe dans les champs à gauche, entrez les nombres, puis appuyez sur « Calculer ». Les foyers, l’excentricité et les autres résultats s’affichent ici avec un graphique.
Table des matières
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Ce que vous pouvez faire sur cette page
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À quoi sert ce calcul ?
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Mode d'emploi
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Formules et figures
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Symboles et termes
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Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
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Calculer avec Excel
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Calculer avec Google Sheets
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Calculer avec Python
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Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
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Faire faire le calcul par ChatGPT
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Les atouts de DataChef
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Fonctions connexes
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Liste des calculatrices NumberChef
Ce que vous pouvez faire sur cette page
- Entrez les dénominateurs ou le coefficient : vous obtenez tout de suite les foyers, les sommets et l’excentricité de l’ellipse \(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\), de l’hyperbole \(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} - \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = \pm 1\) ou de la parabole \(y^{2} = 4px\) (et \(x^{2} = 4py\))
- Les réponses sont données à la fois en valeurs exactes avec \(\sqrt{\ }\), comme \(\left(\pm\sqrt{5}\,;\,0\right)\), et en écriture décimale. Vous voyez aussi les étapes qui trouvent les foyers à partir de \(c^{2} = a^{2} - b^{2}\)
- Pour une hyperbole, vous obtenez aussi les asymptotes, et pour une parabole la directrice. La courbe, les foyers, les asymptotes, la directrice et les sommets sont tracés sur un graphique
- Vous pouvez vérifier sur le graphique les définitions du cours : « la somme (ou la différence) des distances aux deux foyers est constante » et « à égale distance du foyer et de la directrice »
- Une explication simple des formules et des formules à copier-coller pour Excel, Google Sheets et Python se trouvent aussi sur cette page
Cette page traite des équations réduites centrées à l’origine (pour une parabole, de sommet l’origine). Les équations décalées comme \(\dfrac{(x-1)^{2}}{9} + \dfrac{y^{2}}{4} = 1\) ne sont pas prises en charge. Les ellipses allongées horizontalement ou verticalement, les hyperboles ouvertes à gauche et à droite ou en haut et en bas, et les paraboles tournées vers la droite, la gauche, le haut ou le bas sont toutes prises en charge.
À quoi sert ce calcul ?
Prévoir les orbites des planètes et des comètes (astronomie et spatial)
Les planètes décrivent des orbites elliptiques dont le Soleil occupe l’un des foyers (première loi de Kepler). L’orbite de la Terre a une excentricité d’environ 0,017, très proche d’un cercle, tandis que la comète de Halley suit une ellipse très allongée, d’excentricité environ 0,97, et revient près du Soleil environ tous les 76 ans.
Les mêmes mathématiques servent à concevoir les trajectoires des satellites et des sondes spatiales, et la forme d’une orbite (ellipse, parabole ou hyperbole) se classe selon son excentricité. Quand une sonde échappe à l’attraction d’une planète et s’en éloigne, sa trajectoire est une hyperbole.
Concevoir les antennes paraboliques et les phares (ondes radio et optique)
Une surface obtenue en faisant tourner une parabole autour de son axe (un paraboloïde) a cette propriété : les ondes radio ou la lumière qui arrivent parallèlement à l’axe se réfléchissent toutes vers le foyer. Une antenne satellite concentre ainsi des signaux faibles venus de très haut vers le récepteur placé au foyer.
Les phares de voiture et les projecteurs l’utilisent dans l’autre sens : la lumière d’une source placée au foyer se réfléchit en un faisceau rectiligne parallèle à l’axe. La position du foyer (le \(p\) calculé par cette page) est la clé de la conception.
Briser des calculs rénaux par ondes de choc (médecine)
Une ellipse a cette propriété : une onde émise depuis un foyer se réfléchit sur l’ellipse et se concentre sur l’autre foyer. La lithotritie extracorporelle (LEC) produit une onde de choc à un foyer d’un réflecteur elliptique et place l’autre foyer sur le calcul rénal, à l’intérieur du corps : le calcul est fragmenté sans chirurgie.
Déterminer la position exacte des foyers influe directement sur la précision du traitement.
Les miroirs secondaires des télescopes et des antennes (conception optique)
Un télescope de type Cassegrain associe un miroir primaire paraboloïdal et un miroir secondaire hyperboloïdal. Il utilise une propriété de l’hyperboloïde, « la lumière dirigée vers un foyer se réfléchit et converge vers l’autre foyer », pour conduire la lumière jusqu’à l’oculaire, à l’arrière du tube.
La plupart des grands radiotélescopes et des antennes de communication par satellite reprennent ce principe : les propriétés des foyers des ellipses, des hyperboles et des paraboles travaillent ensemble dans un même appareil.
Se localiser grâce à des différences de temps d’arrivée de signaux (navigation)
Certains systèmes de localisation utilisent la définition même de l’hyperbole : « les points dont la différence des distances à deux points fixes est constante ». En navigation hyperbolique, comme le système LORAN, un navire ou un avion mesurait la différence de temps d’arrivée des signaux de deux stations pour savoir sur quelle hyperbole il se trouvait, puis déterminait sa position à l’intersection avec une autre hyperbole obtenue avec une autre paire de stations.
Le GPS l’a remplacé, mais l’idée de localiser à partir de différences de temps survit, par exemple pour estimer la position d’un téléphone lors d’un appel d’urgence.
Les structures courbes du bâtiment et du génie civil (tours de refroidissement et câbles)
Beaucoup d’immenses tours aéroréfrigérantes de centrales électriques, comme celles des centrales nucléaires françaises, ont la forme d’un hyperboloïde, obtenu en faisant tourner une hyperbole. Cette surface courbe peut être construite avec de simples éléments droits inclinés, tout en restant solide et économe en matériau.
Le câble porteur d’un pont suspendu forme une parabole quand le poids du tablier est réparti régulièrement à l’horizontale. (Un câble qui pend sous son seul poids forme une autre courbe, d’aspect semblable, appelée chaînette.) Dans les plans, des équations réduites comme celles de cette page définissent ces formes.
Formules et figures
Foyers d’une ellipse (\(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\), \(a > b > 0\))
Figure
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(c^{2}\)
\(=\)
\(a^{2}\)
\(-\)
\(b^{2}\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
③
\(c^{2}\) : carré de la distance du centre à un foyer
\(=\)
①
\(a^{2}\) : dénominateur de \(x^{2}\) (carré du demi-grand axe)
\(-\)
②
\(b^{2}\) : dénominateur de \(y^{2}\) (carré du demi-petit axe)
La formule en mots
①
Au
dénominateur de \(x^{2}\), \(a^{2}\),
②
on retranche le
dénominateur de \(y^{2}\), \(b^{2}\),
③
et on obtient le
carré de la distance \(c\) du centre à un foyer
(les foyers sont les deux points \((\pm c\,;\,0)\) de l’axe des abscisses)
Exemple simple
Les foyers de \(\dfrac{x^{2}}{25} + \dfrac{y^{2}}{9} = 1\) (\(a^{2} = 25\), \(b^{2} = 9\)) sont
carré de la distance \(c\) à un foyer
\(=\)
dénominateur de \(x^{2}\) (25)
\(-\)
dénominateur de \(y^{2}\) (9)
\(c^{2} = 25 - 9 = 16\)
\(c = \sqrt{16} = 4\)
\(F(4\,;\,0) \ ;\quad F'(-4\,;\,0)\)
L’idée clé
Une ellipse est l’ensemble des points dont la somme des distances aux deux foyers est toujours la même (\(= 2a\)). Plantez deux punaises dans une planche, passez une ficelle en boucle autour, tendez-la avec un crayon et faites le tour : vous tracez une ellipse (c’est la « méthode du jardinier »). C’est exactement la définition.
Si le dénominateur de \(x^{2}\) est le plus grand, l’ellipse est allongée horizontalement et les foyers sont en \((\pm c\,;\,0)\) sur l’axe des abscisses. Si le dénominateur de \(y^{2}\) est le plus grand, elle est allongée verticalement, \(c^{2} = b^{2} - a^{2}\), et les foyers passent en \((0\,;\,\pm c)\) sur l’axe des ordonnées. Retenez « grand dénominateur moins petit dénominateur », et vous ne vous tromperez pas de sens.
Si \(a^{2} = b^{2}\), alors \(c = 0\) et les deux foyers sont confondus au centre : l’ellipse est un cercle. Un cercle est un cas particulier d’ellipse.
Foyers et asymptotes d’une hyperbole (\(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} - \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\))
Figure
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(c^{2}\)
\(=\)
\(a^{2}\)
\(+\)
\(b^{2}\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
③
\(c^{2}\) : carré de la distance du centre à un foyer
\(=\)
①
\(a^{2}\) : dénominateur de \(x^{2}\) (carré de la distance à un sommet)
\(+\)
②
\(b^{2}\) : dénominateur de \(y^{2}\)
La formule en mots
①
Au
dénominateur de \(x^{2}\), \(a^{2}\),
②
on ajoute le
dénominateur de \(y^{2}\), \(b^{2}\),
③
et on obtient le
carré de la distance \(c\) du centre à un foyer
(les foyers sont les deux points \((\pm c\,;\,0)\) de l’axe des abscisses)
Exemple simple
Les foyers de \(\dfrac{x^{2}}{9} - \dfrac{y^{2}}{16} = 1\) (\(a^{2} = 9\), \(b^{2} = 16\)) sont
carré de la distance \(c\) à un foyer
\(=\)
dénominateur de \(x^{2}\) (9)
\(+\)
dénominateur de \(y^{2}\) (16)
\(c^{2} = 9 + 16 = 25\)
\(c = \sqrt{25} = 5\)
\(F(5\,;\,0) \ ;\quad F'(-5\,;\,0)\)
L’idée clé
Une hyperbole est l’ensemble des points dont la différence des distances aux deux foyers est toujours la même (\(= 2a\)). L’ellipse utilise \(c^{2} = a^{2} - b^{2}\) (une soustraction) et l’hyperbole \(c^{2} = a^{2} + b^{2}\) (une addition) : seul un signe change. La raison : dans une ellipse, les foyers sont à l’intérieur des sommets (\(c < a\)), alors que dans une hyperbole ils sont à l’extérieur (\(c > a\)), donc \(c^{2}\) est plus grand que \(a^{2}\).
Une hyperbole a deux droites dont la courbe se rapproche indéfiniment, appelées asymptotes : \(y = \pm\dfrac{b}{a}x\) (pour l’hyperbole de l’exemple, \(y = \pm\dfrac{4}{3}x\)). Pour la tracer, on dessine d’abord les asymptotes, puis on esquisse la courbe en les suivant.
Si le membre de droite vaut \(-1\) (\(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} - \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = -1\)), l’hyperbole est ouverte vers le haut et vers le bas. Les foyers sont en \((0\,;\,\pm c)\) sur l’axe des ordonnées, les sommets en \((0\,;\,\pm b)\), et la différence des distances devient \(2b\). Le calcul de \(c\) (addition) et les asymptotes ne changent pas.
Foyer et directrice d’une parabole (\(y^{2} = 4px\))
Figure
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(PF\)
\(=\)
\(PH\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
②
\(PF\) : distance au foyer \(F\)
\(=\)
①
\(PH\) : distance à la directrice
La formule en mots
①
Une parabole est l’ensemble des points \(P\) pour lesquels la
distance à la directrice \(PH\)
②
et la
distance au foyer \(F\), \(PF\),
sont toujours égales
Exemple simple
En comparant \(y^{2} = 8x\) avec l’équation réduite \(y^{2} = 4px\), on obtient \(4p = 8\), donc
distance au foyer \((2\,;\,0)\)
\(=\)
distance à la directrice \(x = -2\)
\(4p = 8\)
\(p = \dfrac{8}{4} = 2\)
L’idée clé
Le foyer de \(y^{2} = 4px\) est le point \((p\,;\,0)\) de l’axe des abscisses, et la directrice est la droite verticale \(x = -p\). Si \(p > 0\), la parabole est tournée vers la droite ; si \(p < 0\), vers la gauche.
En échangeant \(x\) et \(y\), on obtient \(x^{2} = 4py\), une parabole tournée vers le haut ou vers le bas, de foyer \((0\,;\,p)\) et de directrice horizontale \(y = -p\). La courbe bien connue de \(y = ax^{2}\) fait partie de la même famille : réécrite \(x^{2} = \dfrac{1}{a}y\), elle a pour foyer \(\left(0\,;\,\dfrac{1}{4a}\right)\) et possède une directrice.
On écrit le coefficient \(4p\) parce qu’ainsi le foyer et la directrice prennent les formes simples \((p\,;\,0)\) et \(x = -p\). Face à une équation comme \(y^{2} = 8x\), la première étape est de trouver \(p\) à partir de \(4p = 8\).
Excentricité \(e\) (un nombre qui décrit la forme de la courbe)
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(e\)
\(=\)
\(c\)
\(\div\)
\(a\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
③
\(e\) : excentricité
\(=\)
①
\(c\) : distance du centre à un foyer
\(\div\)
②
\(a\) : distance du centre à un sommet
La formule en mots
①
On prend la
distance \(c\) du centre à un foyer
②
on la divise par la
distance \(a\) du centre à un sommet (l’extrémité du plus long axe)
③
et on obtient l’
excentricité \(e\)
Exemple simple
L’excentricité de \(\dfrac{x^{2}}{25} + \dfrac{y^{2}}{9} = 1\) (\(a = 5\), \(c = 4\)) vaut
excentricité \(e\)
\(=\)
distance à un foyer (4)
\(\div\)
distance à un sommet (5)
\(e = \dfrac{4}{5} = 0{,}8\)
L’idée clé
L’excentricité est un nombre qui indique à quel point une courbe s’éloigne d’un cercle. Un cercle a \(e = 0\), une ellipse \(0 < e < 1\) (proche de 0 : plus ronde ; proche de 1 : plus allongée), une parabole exactement \(e = 1\), et une hyperbole \(e > 1\).
Ellipses, hyperboles et paraboles semblent au premier abord sans rapport, mais ce seul nombre les range en une suite continue : cercle → ellipse → parabole → hyperbole. C’est l’une des raisons pour lesquelles on les regroupe sous le nom de coniques (ou courbes du second degré).
Pour une ellipse allongée verticalement ou une hyperbole ouverte vers le haut et vers le bas, le plus long axe est l’axe des ordonnées : on divise alors par \(b\) (la distance du centre à un sommet). Retenez « distance à un foyer ÷ distance à un sommet », et ça marche dans tous les sens.
La distance \(c\) du centre à un foyer se calcule par \(c^{2} = a^{2} - b^{2}\) pour une ellipse et par \(c^{2} = a^{2} + b^{2}\) pour une hyperbole. La parabole \(y^{2} = 4px\) a pour foyer \((p\,;\,0)\) et pour directrice \(x = -p\). Ces trois courbes forment une famille (les coniques) définie par des distances à un foyer, et leurs formes se classent selon l’excentricité \(e\) : ellipse \(e < 1\), parabole \(e = 1\), hyperbole \(e > 1\).
Symboles et termes
Symboles
| \(a,\ b\) | a, b | Des nombres positifs qui apparaissent aux dénominateurs des équations réduites de l’ellipse et de l’hyperbole (sous la forme \(a^{2}\) et \(b^{2}\)). Pour une ellipse, \(a\) est le rayon dans la direction des \(x\) et \(b\) celui dans la direction des \(y\) (chacun est la moitié du grand ou du petit axe). Pour une hyperbole, \(a\) est la distance du centre à un sommet. Attention : beaucoup d’ouvrages prennent toujours \(a\) pour le plus long demi-axe et écrivent une ellipse allongée verticalement \(\dfrac{x^{2}}{b^{2}} + \dfrac{y^{2}}{a^{2}} = 1\) ; sur cette page, \(a^{2}\) est toujours le dénominateur de \(x^{2}\). |
| \(c\) | c | La distance du centre à un foyer. Les foyers sont en \((\pm c\,;\,0)\) ou en \((0\,;\,\pm c)\). C’est la lettre qui suit \(a\) et \(b\). Pour une ellipse, \(c^{2} = a^{2} - b^{2}\) ; pour une hyperbole, \(c^{2} = a^{2} + b^{2}\). |
| \(F,\ F'\) | F, F prime | Les noms des foyers (F comme « foyer »). Une ellipse ou une hyperbole a deux foyers, et le second s’écrit \(F'\) (F prime). |
| \(P\) | P | Le nom d’un point de la courbe (P comme « point »). On l’utilise pour énoncer les définitions, comme « pour tout point \(P\), la somme des distances est constante ». |
| \(PF\) | P F | La longueur du segment qui relie le point \(P\) et le foyer \(F\) (la distance de \(P\) à \(F\)). Écrire côte à côte les noms de deux points pour la longueur d’un segment est la notation habituelle en géométrie. |
| \(H\) | H | Le nom du projeté orthogonal du point \(P\) de la parabole sur la directrice (le pied de la perpendiculaire). \(H\) est une lettre habituelle pour ce point (comme le pied d’une hauteur). La distance de \(P\) à la directrice s’écrit \(PH\). |
| \(p\) | p | Pour la parabole \(y^{2} = 4px\), le nombre qui donne la distance du sommet au foyer (une valeur négative inverse le sens). Le foyer est \((p\,;\,0)\) et la directrice \(x = -p\). La lettre viendrait de « paramètre ». |
| \(e\) | e | L’excentricité (e comme « excentricité »). Un cercle a \(e = 0\), une ellipse \(0 < e < 1\), une parabole \(e = 1\) et une hyperbole \(e > 1\). (Ce n’est pas le nombre e ≈ 2,718.) |
| \(\pm\) | plus ou moins | Un symbole qui regroupe le cas + et le cas − en une seule écriture. Les foyers \((\pm 4\,;\,0)\) sont les deux points \((4\,;\,0)\) et \((-4\,;\,0)\) écrits ensemble. |
| \(\sqrt{\ }\) | racine carrée | Le symbole de la racine carrée (le nombre positif dont le carré est le nombre sous la racine). On l’utilise pour obtenir \(c = \sqrt{5}\) à partir de \(c^{2} = 5\). \(\sqrt{5}\) vaut environ 2,236. |
Termes
| conique | La courbe qu’on obtient au bord de la section d’un cône (comme un cornet de glace) par un plan. Selon l’angle de la coupe, on obtient un cercle, une ellipse, une parabole ou une hyperbole. En France, les coniques ne figurent plus au programme du lycée : on les étudie surtout dans l’enseignement supérieur (classes préparatoires, licence). |
| courbe du second degré | Une autre façon de décrire les coniques : les courbes données par une équation du second degré en \(x\) et \(y\). Les ellipses, hyperboles et paraboles (et les cercles) sont exactement ces courbes. |
| ellipse | L’ensemble des points dont la somme des distances à deux foyers est constante. Elle ressemble à un cercle aplati dans une direction, et son équation réduite est \(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\). |
| hyperbole | L’ensemble des points dont la différence des distances à deux foyers est constante. Elle est formée de deux branches ouvertes à gauche et à droite (ou en haut et en bas), et son équation réduite est \(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} - \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = \pm 1\). |
| parabole | L’ensemble des points situés à égale distance d’un foyer et d’une directrice. C’est la forme de la trajectoire d’un objet lancé. Son équation réduite est \(y^{2} = 4px\) (ou \(x^{2} = 4py\)). |
| foyer | Un point particulier qui détermine la forme d’une conique. Une ellipse ou une hyperbole en a deux, une parabole un seul. Les foyers concentrent la lumière et les ondes radio, et le mot vient du latin « focus », qui signifie « foyer » (l’âtre où brûle le feu). |
| directrice | La droite qui sert à définir une parabole. Tout point de la parabole est à la même distance du foyer que de la directrice. La directrice de \(y^{2} = 4px\) est \(x = -p\). |
| asymptote | Une droite dont une courbe se rapproche indéfiniment sans jamais l’atteindre. L’hyperbole \(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} - \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = \pm 1\) a deux asymptotes, \(y = \pm\dfrac{b}{a}x\). |
| excentricité | Un seul nombre \(e\) qui indique à quel point une courbe s’éloigne d’un cercle (« excentrique » signifie « éloigné du centre »). Avec cercle \(e = 0\), ellipse \(0 < e < 1\), parabole \(e = 1\) et hyperbole \(e > 1\), ce nombre classe toutes les coniques. |
| grand axe | Le plus long segment qui traverse une ellipse en passant par son centre. Pour une ellipse allongée horizontalement, sa longueur vaut \(2a\), et les foyers sont sur le grand axe. |
| petit axe | Le plus court segment qui traverse une ellipse en passant par son centre. Pour une ellipse allongée horizontalement, sa longueur vaut \(2b\), et il coupe le grand axe à angle droit. |
| sommet | Un point où la courbe coupe un axe de symétrie. Une ellipse en a quatre (les extrémités du grand axe et du petit axe), une hyperbole deux, et une parabole un seul (l’origine). |
| équation réduite | L’équation la plus simple de la courbe, avec le centre (pour une parabole, le sommet) à l’origine, comme \(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\). On y lit facilement les foyers et les sommets. |
| racine carrée | Un nombre dont le carré est le nombre donné. Trouver \(c = 4\) à partir de \(c^{2} = 16\), c’est « prendre la racine carrée ». Quand la racine carrée n’est pas un nombre entier, on l’écrit exactement avec le radical, comme \(\sqrt{5}\). |
Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
Voici ce qu’il est utile de savoir pour utiliser le calcul de cette page en le comprenant vraiment, et pas seulement en appuyant sur le bouton.
Si vous bloquez, revoir ces notions est le chemin le plus court.
| Les racines carrées (4e-seconde, 13-16 ans) |
|
| Le repère et la distance entre deux points (5e-seconde, 12-16 ans) |
|
| Les courbes des fonctions du second degré (seconde-première, 15-17 ans) |
|
| L’équation d’un cercle (première, 16-17 ans) |
|
| Fractions et rapports (6e-4e, 11-14 ans) |
|
Calculer avec Excel
Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 d’Excel. Il fonctionne tel quel.
Tableau pour trouver les foyers et l’excentricité d’une ellipse (allongée horizontalement, a² > b²)
| Dénominateur de x², a² | 25 |
| Dénominateur de y², b² | 9 |
| c² = a² − b² | =B1-B2 |
| Distance à un foyer c = √(c²) | =RACINE(B3) |
| Longueur du grand axe 2a | =2*RACINE(B1) |
| Longueur du petit axe 2b | =2*RACINE(B2) |
| Excentricité e = c/a | =B4/RACINE(B1) |
Tableau pour trouver les foyers et les asymptotes d’une hyperbole
| Dénominateur de x², a² | 9 |
| Dénominateur de y², b² | 16 |
| c² = a² + b² | =B1+B2 |
| Distance à un foyer c = √(c²) | =RACINE(B3) |
| Coefficient directeur des asymptotes b/a | =RACINE(B2/B1) |
| Excentricité e = c/a | =B4/RACINE(B1) |
Tableau pour trouver le foyer et la directrice d’une parabole (y² = cx)
| Coefficient de x, c | 8 |
| p = c ÷ 4 | =B1/4 |
| Abscisse du foyer (le foyer est (p ; 0)) | =B2 |
| Directrice x = −p | =-B2 |
Une fois le tableau collé, les lignes du haut (dénominateurs ou coefficient) sont vos données et les lignes du bas se calculent automatiquement. RACINE donne la racine carrée.
Le premier tableau reprend l’ellipse x²/25 + y²/9 = 1 : c² = 16, c = 4, grand axe 10, petit axe 6 et excentricité 0,8. Pour une ellipse allongée verticalement (a² < b²), remplacez la formule de c² par « =B2-B1 » et celle de l’excentricité par « =B4/RACINE(B2) ».
Le deuxième tableau reprend l’hyperbole x²/9 − y²/16 = 1 : c² = 25, c = 5, coefficient directeur des asymptotes 1,333… (= 4/3) et excentricité 1,666… (= 5/3).
Le troisième tableau reprend la parabole y² = 8x : p = 2, foyer (2 ; 0) et directrice x = −2. Pour x² = cy (parabole d’axe vertical), lisez le foyer (0 ; p) et la directrice y = −p.
Excel donne des valeurs décimales : utilisez le calculateur de cette page quand vous avez besoin de valeurs exactes comme √5.
Le premier tableau reprend l’ellipse x²/25 + y²/9 = 1 : c² = 16, c = 4, grand axe 10, petit axe 6 et excentricité 0,8. Pour une ellipse allongée verticalement (a² < b²), remplacez la formule de c² par « =B2-B1 » et celle de l’excentricité par « =B4/RACINE(B2) ».
Le deuxième tableau reprend l’hyperbole x²/9 − y²/16 = 1 : c² = 25, c = 5, coefficient directeur des asymptotes 1,333… (= 4/3) et excentricité 1,666… (= 5/3).
Le troisième tableau reprend la parabole y² = 8x : p = 2, foyer (2 ; 0) et directrice x = −2. Pour x² = cy (parabole d’axe vertical), lisez le foyer (0 ; p) et la directrice y = −p.
Excel donne des valeurs décimales : utilisez le calculateur de cette page quand vous avez besoin de valeurs exactes comme √5.
Calculer avec Google Sheets
Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 de Google Sheets. Il fonctionne tel quel.
Tableau pour trouver les foyers et l’excentricité d’une ellipse (allongée horizontalement, a² > b²)
| Dénominateur de x², a² | 25 |
| Dénominateur de y², b² | 9 |
| c² = a² − b² | =B1-B2 |
| Distance à un foyer c = √(c²) | =RACINE(B3) |
| Longueur du grand axe 2a | =2*RACINE(B1) |
| Longueur du petit axe 2b | =2*RACINE(B2) |
| Excentricité e = c/a | =B4/RACINE(B1) |
Tableau pour trouver les foyers et les asymptotes d’une hyperbole
| Dénominateur de x², a² | 9 |
| Dénominateur de y², b² | 16 |
| c² = a² + b² | =B1+B2 |
| Distance à un foyer c = √(c²) | =RACINE(B3) |
| Coefficient directeur des asymptotes b/a | =RACINE(B2/B1) |
| Excentricité e = c/a | =B4/RACINE(B1) |
Tableau pour trouver le foyer et la directrice d’une parabole (y² = cx)
| Coefficient de x, c | 8 |
| p = c ÷ 4 | =B1/4 |
| Abscisse du foyer (le foyer est (p ; 0)) | =B2 |
| Directrice x = −p | =-B2 |
Les mêmes formules qu’Excel fonctionnent telles quelles. Copiez tout le tableau, collez-le dans la cellule A1, puis remplacez les dénominateurs ou le coefficient par vos propres nombres.
Calculer avec Python
from fractions import Fraction
import math
# Dénominateurs de l’ellipse x²/a² + y²/b² = 1 (une fraction comme 3/4 s’écrit Fraction(3, 4))
x_denominator = Fraction(25) # a²
y_denominator = Fraction(9) # b²
# Ellipse : c² = grand dénominateur − petit dénominateur (pour une hyperbole, on les additionne)
c_squared = abs(x_denominator - y_denominator)
c = math.sqrt(c_squared)
semi_major = math.sqrt(max(x_denominator, y_denominator))
print(f"c² = {c_squared}")
print(f"c = √{c_squared} = {c}")
if x_denominator >= y_denominator:
print(f"Foyers : (±{c} ; 0)") # allongée horizontalement → foyers sur l’axe des abscisses
else:
print(f"Foyers : (0 ; ±{c})") # allongée verticalement → foyers sur l’axe des ordonnées
print(f"Excentricité e = c ÷ {semi_major} = {c / semi_major}")
Fonctionne avec la seule bibliothèque standard. Le module fractions garde les dénominateurs sous forme de fractions : tout est exact jusqu’à c², sans erreur d’arrondi (seule la racine carrée, math.sqrt, donne un nombre décimal). Cet exemple traite l’ellipse x²/25 + y²/9 = 1. Le programme affiche quatre lignes : c² = 16, puis c = 4, puis les foyers (±4 ; 0) et enfin l’excentricité e = 0,8 (Python écrit les nombres décimaux avec un point). Pour l’hyperbole x²/a² − y²/b² = 1, remplacez la ligne c_squared par « x_denominator + y_denominator ». Pour la parabole y² = cx, il suffit de p = c/4, que l’on obtient directement, par exemple avec Fraction(8) / 4.
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
Foyers d’une ellipse (\(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\), \(a > b > 0\))
c² = a² − b²
c^{2} = a^{2} - b^{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>=</mo>
<msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>−</mo>
<msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</math>
c^2 = a^2 - b^2
c = Sqrt[a^2 - b^2]
c := sqrt(a^2 - b^2);
c = sqrt(a^2 - b^2);
c^2 = a^2 - b^2
Foyers et asymptotes d’une hyperbole (\(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} - \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\))
c² = a² + b²
c^{2} = a^{2} + b^{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>=</mo>
<msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo>
<msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</math>
c^2 = a^2 + b^2
c = Sqrt[a^2 + b^2]
c := sqrt(a^2 + b^2);
c = sqrt(a^2 + b^2);
c^2 = a^2 + b^2
Foyer et directrice d’une parabole (\(y^{2} = 4px\))
y² = 4px
y^{2} = 4px
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>=</mo>
<mn>4</mn><mi>p</mi><mi>x</mi>
</mrow>
</math>
y^2 = 4px
y^2 == 4 p x
y^2 = 4*p*x;
y^2 == 4*p*x
y^2 = 4px
Excentricité \(e\) (un nombre qui décrit la forme de la courbe)
e = c/a
e = \dfrac{c}{a}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>e</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac><mi>c</mi><mi>a</mi></mfrac>
</mrow>
</math>
e = c/a
e = c/a
e := c/a;
e = c/a;
e = c/a
Faire faire le calcul par ChatGPT
Tu es un assistant de calcul mathématique spécialisé dans les coniques. Fais le calcul suivant en exécutant réellement du code Python, et appuie ta réponse uniquement sur les nombres obtenus à l’exécution (ne réponds pas de tête ni au jugé). Pour l’ellipse x²/9 + y²/4 = 1, donne : 1. La valeur de c² = a² − b² 2. La distance c du centre à un foyer (en valeur exacte avec √ et en écriture décimale) 3. Les coordonnées des foyers 4. La longueur du grand axe 2a et celle du petit axe 2b 5. L’excentricité e = c/a (en valeur exacte et en écriture décimale) En Python, utilise sympy (ou fractions et math si sympy n’est pas disponible), et obtiens les valeurs exactes comme √5 avec sympy.sqrt. Montre les formules utilisées et les nombres obtenus à l’exécution.
Mode d'emploi
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1Saisissez vos nombresTapez les nombres à calculer dans les champs de saisie
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2CalculezAppuyez sur le bouton « Calculer »
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3Lisez le résultatLe résultat s’affiche aussitôt. La même page explique aussi le raisonnement et la formule
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