Entrez les coefficients a, b et c de la fonction du second degré y = ax² + bx + c. L’expression ci-dessous est liée aux champs de saisie : vous pouvez aussi modifier les coefficients directement dans l’expression.
Les nombres décimaux (2,5), négatifs et les fractions comme 3/4 sont acceptés. Si a est vide, il vaut 1 (x² signifie 1x²) ; si b ou c est vide, il vaut 0.
Résultat et graphique
Saisissez les coefficients a, b et c dans les champs à gauche, puis appuyez sur « Calculer ». Les étapes de la mise sous forme canonique, le sommet et la parabole s’affichent ici.
Table des matières
-
Ce que vous pouvez faire sur cette page
-
À quoi sert ce calcul ?
-
Mode d'emploi
-
Formules et graphiques
-
Symboles et termes
-
Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
-
Calculer avec Excel
-
Calculer avec Google Sheets
-
Calculer avec Python
-
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
-
Faire faire le calcul par ChatGPT
-
Les atouts de DataChef
-
Fonctions connexes
-
Liste des calculatrices NumberChef
Ce que vous pouvez faire sur cette page
- Entrez les coefficients : la fonction du second degré \(y = ax^{2} + bx + c\) est mise sous la forme \(y = a(x - p)^{2} + q\) (forme canonique)
- Les étapes suivent la méthode du cours, ligne par ligne : mettre le coefficient de \(x^{2}\) en facteur, ajouter et retrancher le carré de la moitié du coefficient de \(x\), puis reconnaître une identité remarquable
- Vous obtenez aussi le sommet \((p\,;\,q)\), l’axe de symétrie \(x = p\), le sens de la courbe (tournée vers le haut ou vers le bas) et le maximum ou le minimum, avec le tracé de la parabole
- Les réponses sont données en fractions irréductibles (valeurs exactes), comme \(-\dfrac{5}{4}\), et en écriture décimale. Les coefficients peuvent être décimaux, négatifs ou des fractions comme 3/4
- Le calculateur affiche l’expression comme vous l’écririez à la main, et vous pouvez modifier les coefficients directement dans l’expression
- Une explication simple des formules et des formules à copier-coller pour Excel, Google Sheets et Python se trouvent aussi sur cette page
Cette page traite des fonctions du second degré (le coefficient a de x² est différent de 0). Pour résoudre une équation de la forme ax²+bx+c = 0, utilisez le calculateur « Équation du second degré » parmi les outils liés.
À quoi sert ce calcul ?
Trouver le point le plus haut d’une balle ou d’un jet d’eau (physique et sport)
La hauteur d’une balle lancée vers le haut, ou de l’eau d’un jet d’eau, se modélise souvent par une fonction du second degré du temps. Par exemple, si la hauteur vaut \(h = -5t^{2} + 20t\) (en mètres, avec \(t\) en secondes, sans tenir compte de la résistance de l’air), la forme canonique donne \(h = -5(t - 2)^{2} + 20\). On lit que la balle atteint son point le plus haut, 20 m, au bout de 2 secondes.
Sortir le sommet, « le point le plus haut et le moment où on l’atteint », directement de l’expression, c’est la force de la forme canonique, et les problèmes de trajectoire en physique en sont un usage classique.
Trouver le prix qui maximise le bénéfice (commerce et économie)
Quand « augmenter le prix fait gagner plus par article mais en fait vendre moins », le bénéfice peut parfois se modéliser par une fonction du second degré du prix dont la parabole est tournée vers le bas. Le prix qui donne le plus grand bénéfice est alors exactement le sommet de la parabole. Par exemple, si le bénéfice vaut \(y = -x^{2} + 60x - 500\) euros (avec \(x\) le prix en euros), le sommet \(x = 30\) donne le prix qui maximise le bénéfice : 30 €, pour un bénéfice de 400 €.
Les vrais marchés sont plus compliqués, mais « chercher la meilleure valeur au sommet » est un point de départ pour réfléchir à un prix de vente ou à la répartition d’un budget publicitaire.
Faire le plus grand massif possible avec une longueur de clôture donnée (conception et bricolage)
Pour un rectangle de périmètre fixé, l’aire est une fonction du second degré de la longueur d’un côté. Par exemple, avec 20 m de clôture, si la largeur vaut \(x\) m, la longueur vaut \(10 - x\) m et l’aire vaut \(y = x(10 - x) = -x^{2} + 10x\). La forme canonique donne \(y = -(x - 5)^{2} + 25\) : l’aire est la plus grande, 25 m², pour \(x = 5\) (un carré).
C’est la forme la plus simple d’un problème d’optimisation : tirer le meilleur parti de matériaux ou d’un budget limités.
Concevoir des antennes et des réflecteurs de lumière (ingénierie)
Les antennes paraboliques et les réflecteurs des phares de voiture et des lampes de poche ont la forme d’une parabole tournée autour de son axe (un paraboloïde). Ils utilisent une propriété de la parabole : les ondes radio ou la lumière qui arrivent parallèlement à l’axe se réfléchissent toutes vers un même point de l’axe (le foyer), et la lumière émise depuis le foyer repart parallèlement à l’axe.
En conception, on décrit une parabole par la position de son sommet et par son ouverture (dans quel sens et de combien) : la forme canonique \(y = a(x - p)^{2} + q\), construite autour du sommet, en est la base.
Formules et graphiques
Mise sous forme canonique
Graphique
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(y\)
\(=\)
\(a\)
\(\left(x - p\right)^{2}\)
\(+\)
\(q\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
④
\(y\) : valeur de la fonction du second degré
\(=\)
①
\(a\) : coefficient de \(x^{2}\)
②
carré de \(x\) moins l’abscisse \(p\) du sommet
\(+\)
③
\(q\) : ordonnée du sommet
La formule en mots
①
On prend le
coefficient \(a\) de \(x^{2}\)
②
on le multiplie par le
carré de \(x\) moins l’abscisse \(p\) du sommet
③
on ajoute l’
ordonnée \(q\) du sommet
④
et on obtient la
valeur \(y\) de la fonction du second degré
(sous cette forme, on lit d’un coup d’œil le sommet \((p\,;\,q)\) et l’axe \(x = p\))
Exemple simple
La forme canonique de \(y = 2x^{2} - 8x + 3\) est \(y = 2(x - 2)^{2} - 5\) (sommet \((2\,;\,-5)\))
valeur de la fonction \(y\)
\(=\)
coefficient de \(x^{2}\) (2)
carré de \(x\) moins 2
\(+\)
ordonnée du sommet (−5)
\(y = 2x^{2} - 8x + 3 = 2\left(x^{2} - 4x\right) + 3\)
\(y = 2\left(x^{2} - 4x + 4 - 4\right) + 3 = 2\left\{\left(x - 2\right)^{2} - 4\right\} + 3\)
\(y = 2\left(x - 2\right)^{2} - 8 + 3 = 2\left(x - 2\right)^{2} - 5\)
L’idée clé
Mettre sous forme canonique, c’est réécrire une fonction du second degré sous la forme « un carré plus une constante ». Comme \((x - p)^{2}\) est un carré, il est toujours positif ou nul, et il ne vaut 0 que pour \(x = p\). Donc si \(a > 0\), \(y\) est le plus petit en \(x = p\) (minimum \(q\)), et si \(a < 0\), il y est le plus grand (maximum \(q\)). L’intérêt de cette écriture : on lit le sommet et l’extremum directement sur l’expression.
La forme \(y = ax^{2} + bx + c\) s’appelle la forme développée, et \(y = a(x - p)^{2} + q\) la forme canonique (on y lit le sommet d’un coup d’œil). Pour tracer une parabole ou chercher un extremum, passer à la forme canonique est le réflexe habituel. (Les manuels français l’écrivent souvent \(f(x) = a(x - \alpha)^{2} + \beta\), avec le sommet \(S(\alpha\,;\,\beta)\).)
Abscisse du sommet (l’axe de symétrie)
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(p\)
\(=\)
\(-b\)
\(\div\)
\((\)
\(2a\)
\()\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
③
\(p\) : abscisse du sommet
\(=\)
①
\(-b\) : coefficient de \(x\) changé de signe
\(\div\)
\((\)
②
\(2a\) : double du coefficient de \(x^{2}\)
\()\)
La formule en mots
①
On prend le
coefficient de \(x\) changé de signe, \(-b\)
②
on le divise par le
double du coefficient de \(x^{2}\), \(2a\)
③
et on obtient l’
abscisse \(p\) du sommet
(l’axe de symétrie est la droite \(x = p\))
Exemple simple
L’abscisse du sommet de \(y = 2x^{2} - 8x + 3\) (\(a = 2\), \(b = -8\)) vaut
abscisse \(p\) du sommet
\(=\)
\(b\) changé de signe (8)
\(\div\)
\((\)
double de \(a\) (4)
\()\)
\(p = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-8}{2 \times 2} = \dfrac{8}{4} = 2\)
L’idée clé
C’est la formule du sommet qu’on obtient en menant la mise sous forme canonique jusqu’au bout avec des lettres au lieu de nombres. Sans réécrire l’expression à chaque fois, on trouve l’abscisse du sommet directement à partir de \(a\) et de \(b\). (Ce calculateur trouve aussi \(p\) avec cette formule.)
Une parabole est symétrique par rapport à son axe (la droite \(x = p\)) : \(p\) est donc aussi l’endroit où la courbe se « replie ». Il a la même forme que \(-\dfrac{b}{2a}\), la partie avant le « ± » dans les solutions de l’équation du second degré \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}\). On voit ainsi que l’axe se trouve exactement au milieu des deux solutions.
Ordonnée du sommet (maximum ou minimum)
Graphique
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(q\)
\(=\)
\(c\)
\(-\)
\(b^{2}\)
\(\div\)
\((\)
\(4a\)
\()\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
④
\(q\) : ordonnée du sommet
\(=\)
①
\(c\) : terme constant
\(-\)
②
\(b^{2}\) : carré du coefficient de \(x\)
\(\div\)
\((\)
③
\(4a\) : 4 fois le coefficient de \(x^{2}\)
\()\)
La formule en mots
①
Au
terme constant \(c\)
②
on retranche le
carré du coefficient de \(x\), \(b\)
③
divisé par
4 fois le coefficient de \(x^{2}\), \(4a\)
④
et on obtient l’
ordonnée \(q\) du sommet
(c’est le minimum si \(a > 0\), le maximum si \(a < 0\))
Exemple simple
L’ordonnée du sommet de \(y = 2x^{2} - 8x + 3\) (\(a = 2\), \(b = -8\), \(c = 3\)) vaut
ordonnée \(q\) du sommet
\(=\)
terme constant (3)
\(-\)
carré de \(b\) (64)
\(\div\)
\((\)
4 fois \(a\) (8)
\()\)
\(q = c - \dfrac{b^{2}}{4a} = 3 - \dfrac{(-8)^{2}}{4 \times 2} = 3 - \dfrac{64}{8} = 3 - 8 = -5\)
L’idée clé
\(q\) est la valeur de \(y\) pour \(x = p\) : en remplaçant \(x\) par \(p\) dans l’expression de départ, on retrouve la même réponse. C’est pratique pour vérifier son calcul.
Une parabole tournée vers le haut (\(a > 0\)) a son point le plus bas au sommet : \(q\) est le minimum. Une parabole tournée vers le bas (\(a < 0\)) a son point le plus haut au sommet : \(q\) est le maximum. Mais quand l’ensemble de définition (les valeurs que \(x\) peut prendre) est limité, le sommet peut se trouver en dehors, et il faut comparer avec les valeurs aux bornes de l’intervalle.
La fonction du second degré \(y = ax^{2} + bx + c\) se met sous forme canonique \(y = a(x - p)^{2} + q\), avec \(p = -\dfrac{b}{2a}\) et \(q = c - \dfrac{b^{2}}{4a}\). Le sommet est \((p\,;\,q)\) et l’axe de symétrie est la droite \(x = p\). Si \(a > 0\), le minimum vaut \(q\) et il est atteint en \(x = p\) ; si \(a < 0\), c’est le maximum qui vaut \(q\).
Symboles et termes
Symboles
| \(a,\ b,\ c\) | a, b, c | Les coefficients de la fonction du second degré \(y = ax^{2} + bx + c\). \(a\) est le coefficient de \(x^{2}\) (différent de 0), \(b\) celui de \(x\), et \(c\) le terme constant. On utilise souvent les premières lettres de l’alphabet, \(a\), \(b\), \(c\), pour des nombres fixés. |
| \(x,\ y\) | x, y | Les variables. \(x\) est l’entrée et \(y\) la sortie. On utilise souvent les dernières lettres de l’alphabet, \(x\), \(y\), \(z\), pour des nombres qui peuvent prendre de nombreuses valeurs. |
| \(p\) | p | L’abscisse du sommet, qui est aussi la position de l’axe de symétrie (la droite \(x = p\)). Les manuels français la notent souvent \(\alpha\) (alpha). |
| \(q\) | q | L’ordonnée du sommet. C’est le minimum si \(a > 0\) et le maximum si \(a < 0\). C’est la lettre qui suit \(p\), d’où leur emploi par paire. Les manuels français la notent souvent \(\beta\) (bêta). |
| \((x - p)^{2}\) | x moins p, au carré | Le carré que fait apparaître la mise sous forme canonique. Comme c’est un carré, il est toujours positif ou nul, et il ne vaut 0 que pour \(x = p\). C’est exactement pour cela que le maximum ou le minimum est atteint au sommet. |
| \(x^{2}\) | x au carré | \(x\) multiplié par lui-même (\(x^{2} = x \times x\)). Le petit nombre en haut à droite (l’exposant) indique combien de fois on multiplie. |
Termes
| fonction du second degré | Une fonction de la forme \(y = ax^{2} + bx + c\) (\(a \neq 0\)), appelée aussi fonction polynôme du second degré. Sa courbe est une parabole. On l’étudie en première (spécialité mathématiques). |
| parabole | La courbe symétrique en forme de U qui représente une fonction du second degré. Elle a la même forme que la trajectoire d’un objet lancé. |
| sommet | Le point où la parabole change de sens : le point le plus bas si elle est tournée vers le haut, le plus haut si elle est tournée vers le bas. Ses coordonnées sont \((p\,;\,q)\). |
| axe de symétrie | La droite verticale \(x = p\) par rapport à laquelle la parabole est symétrique. La parabole est son propre reflet de part et d’autre de cette droite, et le sommet se trouve dessus. |
| forme canonique | L’écriture \(y = a(x - p)^{2} + q\) d’une fonction du second degré (dans les manuels, \(f(x) = a(x - \alpha)^{2} + \beta\)). La « mise sous forme canonique » transforme la forme développée en cette forme, en faisant apparaître un carré. C’est l’outil de base pour trouver le sommet, l’axe et l’extremum, et c’est elle qui permet de démontrer les formules de résolution de l’équation du second degré. |
| identité remarquable | Une égalité à connaître par cœur, comme \((x + m)^{2} = x^{2} + 2mx + m^{2}\) ou \((x - 2)^{2} = x^{2} - 4x + 4\). La mise sous forme canonique l’utilise « à l’envers » pour faire apparaître un carré. |
| forme développée | La forme \(y = ax^{2} + bx + c\). C’est la forme développée habituelle, sur laquelle on lit facilement le point d’intersection avec l’axe des ordonnées (\(y = c\) pour \(x = 0\)). |
| tournée vers le haut | Se dit d’une parabole qui s’ouvre comme une vallée. C’est le cas quand \(a > 0\), et le sommet est le point le plus bas. |
| tournée vers le bas | Se dit d’une parabole qui s’ouvre comme une colline. C’est le cas quand \(a < 0\), et le sommet est le point le plus haut. |
| maximum | La plus grande valeur que peut prendre la fonction \(y\). Pour une fonction du second degré dont la parabole est tournée vers le bas, l’ordonnée \(q\) du sommet est le maximum. |
| minimum | La plus petite valeur que peut prendre la fonction \(y\). Pour une fonction du second degré dont la parabole est tournée vers le haut, l’ordonnée \(q\) du sommet est le minimum. |
| coefficient | Le nombre placé devant une lettre. Dans \(2x^{2}\), le coefficient est 2. Un terme sans nombre écrit, comme \(x^{2}\), a pour coefficient 1. |
| terme constant | Le terme sans \(x\), comme le 3 dans \(2x^{2} - 8x + 3\). On l’appelle constant parce qu’il ne change pas, quelle que soit la valeur de \(x\). |
| symétrique | Qui se superpose exactement quand on plie la figure. Si l’on plie une parabole le long de son axe, les deux moitiés se superposent exactement (symétrie axiale). |
| ensemble de définition | L’ensemble des valeurs que \(x\) peut prendre. Quand il est limité (par exemple l’intervalle \([0\,;\,3]\)), le maximum ou le minimum peut être atteint à une borne plutôt qu’au sommet. |
| translation | Le fait de faire glisser une figure sans changer sa forme. La courbe de \(y = a(x - p)^{2} + q\) est l’image de celle de \(y = ax^{2}\) par la translation de \(p\) dans la direction des \(x\) et de \(q\) dans la direction des \(y\). |
Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
Voici ce qu’il est utile de savoir pour utiliser le calcul de cette page en le comprenant vraiment, et pas seulement en appuyant sur le bouton.
Si vous bloquez, revoir ces notions est le chemin le plus court.
| Fonctions et courbes (3e-seconde, 14-16 ans) |
|
| Développer et factoriser (3e-seconde, 14-16 ans) |
|
| Nombres relatifs et calcul littéral (5e-4e, 12-14 ans) |
|
| Le calcul avec les fractions (6e-4e, 11-14 ans) |
|
| Les courbes des fonctions du second degré (première, 16-17 ans) |
|
Calculer avec Excel
Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 d’Excel. Il fonctionne tel quel.
Tableau pour trouver la forme canonique (sommet p ; q)
| Coefficient de x², a | 2 |
| Coefficient de x, b | -8 |
| Terme constant c | 3 |
| Abscisse du sommet p | =-B2/(2*B1) |
| Ordonnée du sommet q | =B3-B2^2/(4*B1) |
Tableau pour trouver l’abscisse du sommet (axe de symétrie)
| Coefficient de x², a | 1 |
| Coefficient de x, b | -6 |
| Abscisse du sommet p = −b/(2a) | =-B2/(2*B1) |
Tableau pour trouver l’ordonnée du sommet (maximum ou minimum)
| Coefficient de x², a | 1 |
| Coefficient de x, b | -6 |
| Terme constant c | 5 |
| Ordonnée du sommet q = c − b²/(4a) | =B3-B2^2/(4*B1) |
Tableau pour vérifier que la forme canonique est égale à l’expression de départ
| Coefficient de x², a | 2 |
| Coefficient de x, b | -8 |
| Terme constant c | 3 |
| Valeur de x pour vérifier | 1 |
| Abscisse du sommet p | =-B2/(2*B1) |
| Ordonnée du sommet q | =B3-B2^2/(4*B1) |
| Valeur de ax²+bx+c | =B1*B4^2+B2*B4+B3 |
| Valeur de a(x−p)²+q | =B1*(B4-B5)^2+B6 |
Une fois le tableau collé, les lignes du haut (coefficients) sont vos données et les lignes du bas se calculent automatiquement.
« ^ » est une puissance, « * » une multiplication et « / » une division.
Le premier tableau reprend l’exemple y = 2x² − 8x + 3. p vaut 2 et q vaut −5 (donc y = 2(x − 2)² − 5).
Le deuxième et le troisième tableau reprennent l’exemple y = x² − 6x + 5. p vaut 3 et q vaut −4.
Le quatrième tableau sert de vérification. Pour la même valeur de x (1 dans l’exemple), « Valeur de ax²+bx+c » et « Valeur de a(x−p)²+q » valent toutes les deux −3 : les deux formes sont bien égales.
« ^ » est une puissance, « * » une multiplication et « / » une division.
Le premier tableau reprend l’exemple y = 2x² − 8x + 3. p vaut 2 et q vaut −5 (donc y = 2(x − 2)² − 5).
Le deuxième et le troisième tableau reprennent l’exemple y = x² − 6x + 5. p vaut 3 et q vaut −4.
Le quatrième tableau sert de vérification. Pour la même valeur de x (1 dans l’exemple), « Valeur de ax²+bx+c » et « Valeur de a(x−p)²+q » valent toutes les deux −3 : les deux formes sont bien égales.
Calculer avec Google Sheets
Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 de Google Sheets. Il fonctionne tel quel.
Tableau pour trouver la forme canonique (sommet p ; q)
| Coefficient de x², a | 2 |
| Coefficient de x, b | -8 |
| Terme constant c | 3 |
| Abscisse du sommet p | =-B2/(2*B1) |
| Ordonnée du sommet q | =B3-B2^2/(4*B1) |
Tableau pour trouver l’abscisse du sommet (axe de symétrie)
| Coefficient de x², a | 1 |
| Coefficient de x, b | -6 |
| Abscisse du sommet p = −b/(2a) | =-B2/(2*B1) |
Tableau pour trouver l’ordonnée du sommet (maximum ou minimum)
| Coefficient de x², a | 1 |
| Coefficient de x, b | -6 |
| Terme constant c | 5 |
| Ordonnée du sommet q = c − b²/(4a) | =B3-B2^2/(4*B1) |
Tableau pour vérifier que la forme canonique est égale à l’expression de départ
| Coefficient de x², a | 2 |
| Coefficient de x, b | -8 |
| Terme constant c | 3 |
| Valeur de x pour vérifier | 1 |
| Abscisse du sommet p | =-B2/(2*B1) |
| Ordonnée du sommet q | =B3-B2^2/(4*B1) |
| Valeur de ax²+bx+c | =B1*B4^2+B2*B4+B3 |
| Valeur de a(x−p)²+q | =B1*(B4-B5)^2+B6 |
Les mêmes formules qu’Excel fonctionnent telles quelles. Copiez tout le tableau, collez-le dans la cellule A1, puis remplacez les coefficients par vos propres nombres.
Calculer avec Python
from fractions import Fraction
# Coefficients de la fonction du second degré y = ax² + bx + c (une fraction comme 3/4 s’écrit Fraction(3, 4))
coef_a = Fraction(2) # coefficient de x² (différent de 0)
coef_b = Fraction(-8) # coefficient de x
coef_c = Fraction(3) # terme constant
vertex_x = -coef_b / (2 * coef_a) # abscisse du sommet p = −b/(2a)
vertex_y = coef_c - coef_b ** 2 / (4 * coef_a) # ordonnée du sommet q = c − b²/(4a)
print(f"Abscisse du sommet p : {vertex_x}")
print(f"Ordonnée du sommet q : {vertex_y}")
print(f"Forme canonique : y = {coef_a} * (x - ({vertex_x}))**2 + ({vertex_y})")
if coef_a > 0:
print(f"Parabole tournée vers le haut : minimum {vertex_y} atteint en x = {vertex_x}")
else:
print(f"Parabole tournée vers le bas : maximum {vertex_y} atteint en x = {vertex_x}")
Avec le module fractions de la bibliothèque standard, on calcule avec des fractions exactes, sans erreur d’arrondi. Cet exemple met y = 2x² − 8x + 3 sous forme canonique. Le programme affiche p = 2 et q = −5 (donc y = 2(x − 2)² − 5, de minimum −5). Modifiez les coefficients et relancez le programme.
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
Mise sous forme canonique
y = a(x − p)² + q
y = a(x - p)^{2} + q
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>y</mi>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi>
<msup>
<mrow><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>p</mi><mo>)</mo></mrow>
<mn>2</mn>
</msup>
<mo>+</mo>
<mi>q</mi>
</mrow>
</math>
y = a(x - p)^2 + q
a*(x - p)^2 + q
y := a*(x - p)^2 + q;
y = a*(x - p)^2 + q;
y = a(x - p)^2 + q
Abscisse du sommet (l’axe de symétrie)
p = −b/(2a)
p = -\frac{b}{2a}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>p</mi>
<mo>=</mo>
<mo>−</mo>
<mfrac>
<mi>b</mi>
<mrow><mn>2</mn><mi>a</mi></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
p = -b/(2a)
-b/(2*a)
p := -b/(2*a);
p = -b/(2*a);
p = −b/(2a)
Ordonnée du sommet (maximum ou minimum)
q = c − b²/(4a)
q = c - \frac{b^{2}}{4a}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>q</mi>
<mo>=</mo>
<mi>c</mi>
<mo>−</mo>
<mfrac>
<msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
<mrow><mn>4</mn><mi>a</mi></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
q = c - b^2/(4a)
c - b^2/(4*a)
q := c - b^2/(4*a);
q = c - b^2/(4*a);
q = c − b^2/(4a)
Faire faire le calcul par ChatGPT
Tu es un assistant de calcul mathématique spécialisé dans les fonctions du second degré. Fais le calcul suivant en exécutant réellement du code Python, et appuie ta réponse uniquement sur les nombres obtenus à l’exécution (ne réponds pas de tête ni au jugé). Mets la fonction du second degré y = 2x² − 8x + 3 sous forme canonique. Donne : 1. Les étapes de la mise sous forme canonique (mettre le coefficient de x² en facteur → ajouter et retrancher le carré de la moitié du coefficient de x → reconnaître une identité remarquable) 2. La forme canonique y = a(x − p)² + q, le sommet (p ; q) et l’axe de symétrie (en fractions irréductibles) 3. Le sens de la parabole (tournée vers le haut ou vers le bas) et le maximum ou le minimum En Python, utilise le module fractions de la bibliothèque standard pour calculer de façon exacte, et montre les formules utilisées et les nombres obtenus à l’exécution.
Mode d'emploi
-
1Saisissez vos nombresTapez les nombres à calculer dans les champs de saisie
-
2CalculezAppuyez sur le bouton « Calculer »
-
3Lisez le résultatLe résultat s’affiche aussitôt. La même page explique aussi le raisonnement et la formule
Les atouts de DataChef
Simple et gratuit
Conversions gratuites et illimitées
Aucune compétence requise – simple et intuitif
Aucune compétence requise – simple et intuitif
Aucune inscription requise
Utilisable dès l'ouverture de la page
Aucune donnée personnelle nécessaire
Aucune donnée personnelle nécessaire
Sûr et fiable
Connexion fortement chiffrée (SSL)
Le fichier est supprimé automatiquement après le téléchargement
Le fichier est supprimé automatiquement après le téléchargement
Rapide
Affichage et conversion rapides, sans attente
Sans filigrane
Aucun filigrane
Aucune mention de crédit nécessaire
Aucune mention de crédit nécessaire
Usage commercial autorisé
Usage commercial gratuit
Aucune autorisation préalable nécessaire
Aucune autorisation préalable nécessaire
Fonctions connexes
Résoudre une équation du second degré (discriminant et racines complexes)
Entrez a, b et c pour résoudre l’équation du second degré ax²+bx+c=0, avec le discriminant et les étapes
Équation d’un cercle (forme développée et forme canonique, centre, rayon, position d’une droite)
Passe de la forme développée à la forme canonique de l’équation d’un cercle, trouve le centre et le rayon exacts, et étudie la position d’une droite par rapport au cercle
