Scheitelpunktform berechnen – quadratische Ergänzung (Scheitelpunkt, Symmetrieachse, Maximum und Minimum)
Geben Sie die Koeffizienten a, b und c der quadratischen Funktion y = ax² + bx + c ein. Die Gleichung unten ist mit den Eingabefeldern verbunden – Sie können die Koeffizienten auch direkt darin ändern.
Möglich sind Dezimalzahlen, negative Zahlen und Brüche wie 3/4. Ein leeres Feld a zählt als 1 (x² ist dasselbe wie 1x²), leere Felder b und c zählen als 0.
Ergebnis und Graph
Geben Sie links die Koeffizienten a, b und c ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Hier erscheinen dann der Rechenweg der quadratischen Ergänzung, der Scheitelpunkt und der Graph.
Inhaltsverzeichnis
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Das können Sie auf dieser Seite
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Wofür braucht man diese Berechnung?
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Anleitung
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Formeln und Graphen
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Symbole und Begriffe
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Das sollten Sie vorher wissen
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So berechnen Sie es in Excel
-
So berechnen Sie es in Google Tabellen
-
So berechnen Sie es in Python
-
So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
-
So lassen Sie ChatGPT rechnen
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Die Vorteile von DataChef
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Alle Rechner von NumberChef
Das können Sie auf dieser Seite
- Sie geben nur die Koeffizienten ein, und die quadratische Funktion \(y = ax^{2} + bx + c\) wird per quadratischer Ergänzung in die Scheitelpunktform \(y = a(x - p)^{2} + q\) gebracht
- Der Rechenweg folgt Zeile für Zeile dem Vorgehen aus dem Schulbuch: den Faktor vor \(x^{2}\) ausklammern, das Quadrat der Hälfte des \(x\)-Koeffizienten addieren und wieder subtrahieren, dann mit der binomischen Formel zum Quadrat zusammenfassen
- Sie erhalten außerdem den Scheitelpunkt \(S(p \,|\, q)\), die Symmetrieachse \(x = p\), die Öffnung der Parabel (nach oben oder nach unten) und das Maximum bzw. Minimum – dazu den Graphen der Parabel
- Die Ergebnisse stehen als gekürzte Brüche (exakte Werte) wie \(-\dfrac{5}{4}\) und als Dezimalzahlen da. Als Koeffizienten sind Dezimalzahlen, negative Zahlen und Brüche wie 3/4 möglich
- Der Rechner zeigt die Funktionsgleichung so, wie Sie sie von Hand schreiben, und Sie können die Koeffizienten direkt in der Gleichung ändern
- Auf dieser Seite finden Sie außerdem eine leicht verständliche Erklärung der Formeln sowie Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python
Diese Seite behandelt quadratische Funktionen (der Koeffizient a vor x² ist nicht 0). Möchten Sie eine Gleichung der Form ax² + bx + c = 0 lösen, nutzen Sie die verwandte Seite „Quadratische Gleichungen lösen (Mitternachtsformel)“.
Wofür braucht man diese Berechnung?
Den höchsten Punkt eines Balls oder einer Fontäne bestimmen (Physik und Sport)
Die Höhe eines senkrecht nach oben geworfenen Balls oder des Wassers einer Fontäne lässt sich gut durch eine quadratische Funktion der Zeit beschreiben. Ist die Höhe zum Beispiel \(y = -5t^{2} + 20t\) (in Metern, \(t\) in Sekunden, ohne Luftwiderstand), ergibt die quadratische Ergänzung \(y = -5(t - 2)^{2} + 20\). Daran lesen Sie ab: Nach 2 Sekunden erreicht der Ball seinen höchsten Punkt in 20 m Höhe.
Den Scheitelpunkt – „höchster Punkt und Zeitpunkt“ – direkt aus der Gleichung zu holen, ist die Stärke der quadratischen Ergänzung. Aufgaben zum senkrechten oder schiefen Wurf in der Physik sind ein klassisches Anwendungsbeispiel.
Den Preis mit dem größten Gewinn finden (Wirtschaft)
Wenn eine Preiserhöhung den Gewinn pro Stück steigert, aber weniger verkauft wird, lässt sich der Gewinn manchmal durch eine nach unten geöffnete Parabel in Abhängigkeit vom Preis beschreiben. Der Preis mit dem größten Gewinn ist dann genau der Scheitelpunkt der Parabel. Beträgt der Gewinn zum Beispiel \(y = -x^{2} + 60x - 500\) Euro (\(x\) ist der Preis in Euro), so ist der Scheitelpunkt \(x = 30\) der gewinnmaximale Preis: 30 €.
Echte Märkte sind komplizierter, aber der Gedanke „den besten Wert im Scheitelpunkt suchen“ ist ein guter Ausgangspunkt für Preisgestaltung oder die Aufteilung eines Werbebudgets.
Mit einem Zaun fester Länge das größte Beet abstecken (Planung und Heimwerken)
Bei einem Rechteck mit festem Umfang ist der Flächeninhalt eine quadratische Funktion der Seitenlänge. Haben Sie zum Beispiel 20 m Zaun und ist die Breite \(x\) m, so ist die Länge \(10 - x\) m und der Flächeninhalt \(y = x(10 - x) = -x^{2} + 10x\). Die quadratische Ergänzung ergibt \(y = -(x - 5)^{2} + 25\): Die größte Fläche, 25 m², erhalten Sie für \(x = 5\) (ein Quadrat).
Das ist die einfachste Form einer Optimierungsaufgabe (Extremwertaufgabe): mit begrenztem Material oder Budget das Beste herausholen.
Satellitenschüsseln und Scheinwerfer-Reflektoren konstruieren (Technik)
Satellitenschüsseln und die Reflektoren in Autoscheinwerfern und Taschenlampen haben die Form einer um ihre Achse gedrehten Parabel (eines Paraboloids). Sie nutzen eine Eigenschaft der Parabel: Funkwellen oder Licht, die parallel zur Achse einfallen, werden alle in einen Punkt auf der Achse reflektiert (den Brennpunkt). Umgekehrt verlässt Licht aus dem Brennpunkt den Reflektor parallel zur Achse.
In der Konstruktion beschreibt man eine Parabel dadurch, wo ihr Scheitelpunkt liegt und wie weit sie sich in welche Richtung öffnet. Die Scheitelpunktform \(y = a(x - p)^{2} + q\), die vom Scheitelpunkt ausgeht, ist dafür die Grundlage.
Formeln und Graphen
Quadratische Ergänzung (Umformen in die Scheitelpunktform)
Graph
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(y\)
\(=\)
\(a\)
\(\left(x - p\right)^{2}\)
\(+\)
\(q\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
④
\(y\): Funktionswert der quadratischen Funktion
\(=\)
①
\(a\): Koeffizient vor \(x^{2}\)
②
\(x\) minus \(x\)-Koordinate \(p\) des Scheitelpunkts, quadriert
\(+\)
③
\(q\): \(y\)-Koordinate des Scheitelpunkts
Die Formel in Worten
①
Den
Koeffizienten \(a\) vor \(x^{2}\)
②
mal das
Quadrat von \(x\) minus \(x\)-Koordinate \(p\) des Scheitelpunkts
③
plus die
\(y\)-Koordinate \(q\) des Scheitelpunkts
④
ergibt den
Funktionswert \(y\) der quadratischen Funktion
(in dieser Form sehen Sie den Scheitelpunkt \(S(p \,|\, q)\) und die Symmetrieachse \(x = p\) auf einen Blick)
Einfaches Beispiel
Die quadratische Ergänzung von \(y = 2x^{2} - 8x + 3\) ergibt \(y = 2(x - 2)^{2} - 5\) (Scheitelpunkt \(S(2 \,|\, -5)\))
Funktionswert \(y\)
\(=\)
Koeffizient vor \(x^{2}\) (2)
\(x\) minus 2, quadriert
\(+\)
\(y\)-Koordinate des Scheitelpunkts (−5)
\(y = 2x^{2} - 8x + 3 = 2\left(x^{2} - 4x\right) + 3\)
\(y = 2\left(x^{2} - 4x + 4 - 4\right) + 3 = 2\left\{\left(x - 2\right)^{2} - 4\right\} + 3\)
\(y = 2\left(x - 2\right)^{2} - 8 + 3 = 2\left(x - 2\right)^{2} - 5\)
Der Grundgedanke
Bei der quadratischen Ergänzung schreiben Sie eine quadratische Funktion als „Quadrat plus Zahl“. Weil \((x - p)^{2}\) ein Quadrat ist, ist es nie negativ und nur für \(x = p\) gleich 0. Ist \(a > 0\), wird \(y\) also bei \(x = p\) am kleinsten (Minimum \(q\)); ist \(a < 0\), wird \(y\) dort am größten (Maximum \(q\)). Der Nutzen dieser Umformung: Scheitelpunkt und Maximum oder Minimum lassen sich direkt an der Gleichung ablesen.
Die Form \(y = ax^{2} + bx + c\) heißt allgemeine Form, die Form \(y = a(x - p)^{2} + q\) heißt Scheitelpunktform (der Scheitelpunkt ist auf einen Blick zu sehen). Wenn Sie eine Parabel zeichnen oder ihr Maximum bzw. Minimum suchen, ist die Umformung in die Scheitelpunktform meist der erste Schritt. (Viele deutsche Schulbücher schreiben die Scheitelpunktform als \(y = a(x - d)^{2} + e\) mit dem Scheitelpunkt \(S(d \,|\, e)\).)
\(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts (Lage der Symmetrieachse)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(p\)
\(=\)
\(-b\)
\(\div\)
\((\)
\(2a\)
\()\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(p\): \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts
\(=\)
①
\(-b\): Koeffizient vor \(x\) mit umgekehrtem Vorzeichen
\(\div\)
\((\)
②
\(2a\): das Doppelte des Koeffizienten vor \(x^{2}\)
\()\)
Die Formel in Worten
①
Den
Koeffizienten vor \(x\) mit umgekehrtem Vorzeichen, \(-b\),
②
geteilt durch
das Doppelte des Koeffizienten vor \(x^{2}\), \(2a\),
③
ergibt die
\(x\)-Koordinate \(p\) des Scheitelpunkts
(die Symmetrieachse ist die Gerade \(x = p\))
Einfaches Beispiel
Die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts von \(y = 2x^{2} - 8x + 3\) (\(a = 2\), \(b = -8\)) ist
\(x\)-Koordinate \(p\) des Scheitelpunkts
\(=\)
\(b\) mit umgekehrtem Vorzeichen (8)
\(\div\)
\((\)
das Doppelte von \(a\) (4)
\()\)
\(p = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-8}{2 \times 2} = \dfrac{8}{4} = 2\)
Der Grundgedanke
Diese Formel erhalten Sie, wenn Sie die quadratische Ergänzung mit Buchstaben statt mit Zahlen bis zum Ende durchführen. So bekommen Sie die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts direkt aus \(a\) und \(b\), ohne die Gleichung jedes Mal umzuformen. (Auch dieser Rechner bestimmt \(p\) mit dieser Formel.)
Eine Parabel ist achsensymmetrisch zu ihrer Symmetrieachse (der Geraden \(x = p\)) – an \(p\) „klappt“ der Graph also um. Der Term \(-\dfrac{b}{2a}\) ist genau der Teil vor dem „±“ in der Mitternachtsformel \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}\). Daran sieht man: Die Symmetrieachse liegt genau in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen.
\(y\)-Koordinate des Scheitelpunkts (Maximum oder Minimum)
Graph
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(q\)
\(=\)
\(c\)
\(-\)
\(b^{2}\)
\(\div\)
\((\)
\(4a\)
\()\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
④
\(q\): \(y\)-Koordinate des Scheitelpunkts
\(=\)
①
\(c\): Absolutglied
\(-\)
②
\(b^{2}\): Quadrat des Koeffizienten vor \(x\)
\(\div\)
\((\)
③
\(4a\): das Vierfache des Koeffizienten vor \(x^{2}\)
\()\)
Die Formel in Worten
①
Vom
Absolutglied \(c\)
②
das
Quadrat des Koeffizienten \(b\) vor \(x\)
③
geteilt durch
das Vierfache des Koeffizienten vor \(x^{2}\), \(4a\),
④
abziehen – das ergibt die
\(y\)-Koordinate \(q\) des Scheitelpunkts
(für \(a > 0\) das Minimum, für \(a < 0\) das Maximum)
Einfaches Beispiel
Die \(y\)-Koordinate des Scheitelpunkts von \(y = 2x^{2} - 8x + 3\) (\(a = 2\), \(b = -8\), \(c = 3\)) ist
\(y\)-Koordinate \(q\) des Scheitelpunkts
\(=\)
Absolutglied (3)
\(-\)
\(b\) zum Quadrat (64)
\(\div\)
\((\)
das Vierfache von \(a\) (8)
\()\)
\(q = c - \dfrac{b^{2}}{4a} = 3 - \dfrac{(-8)^{2}}{4 \times 2} = 3 - \dfrac{64}{8} = 3 - 8 = -5\)
Der Grundgedanke
\(q\) ist der Wert von \(y\) an der Stelle \(x = p\). Setzen Sie \(x = p\) in die ursprüngliche Gleichung ein, erhalten Sie also dasselbe Ergebnis – eine praktische Probe.
Eine nach oben geöffnete Parabel (\(a > 0\)) hat ihren tiefsten Punkt im Scheitelpunkt, \(q\) ist also das Minimum. Eine nach unten geöffnete Parabel (\(a < 0\)) hat dort ihren höchsten Punkt, \(q\) ist also das Maximum. Ist der Definitionsbereich (die Werte, die \(x\) annehmen darf) aber eingeschränkt, kann der Scheitelpunkt außerhalb liegen. Dann müssen Sie zusätzlich die Funktionswerte an den Rändern des Definitionsbereichs vergleichen.
Mit der quadratischen Ergänzung bringen Sie die quadratische Funktion \(y = ax^{2} + bx + c\) in die Scheitelpunktform \(y = a(x - p)^{2} + q\) mit \(p = -\dfrac{b}{2a}\) und \(q = c - \dfrac{b^{2}}{4a}\). Der Scheitelpunkt ist \(S(p \,|\, q)\), die Symmetrieachse ist die Gerade \(x = p\). Für \(a > 0\) ist \(q\) das Minimum bei \(x = p\), für \(a < 0\) das Maximum.
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(a,\ b,\ c\) | a, b, c | Die Koeffizienten der quadratischen Funktion \(y = ax^{2} + bx + c\). \(a\) steht vor \(x^{2}\) (nicht 0), \(b\) vor \(x\), und \(c\) ist das Absolutglied. Für feste Zahlen nimmt man meist Buchstaben vom Anfang des Alphabets, \(a,\ b,\ c\). |
| \(x,\ y\) | x, y | Variablen: \(x\) ist die Eingabe, \(y\) die Ausgabe. Für Zahlen, die viele Werte annehmen können, nimmt man üblicherweise Buchstaben vom Ende des Alphabets, \(x,\ y,\ z\). |
| \(p\) | p | Die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts und damit auch die Lage der Symmetrieachse (der Geraden \(x = p\)). Viele deutsche Schulbücher schreiben dafür \(d\). Nicht zu verwechseln mit dem \(p\) der pq-Formel. |
| \(q\) | q | Die \(y\)-Koordinate des Scheitelpunkts. Für \(a > 0\) ist sie das Minimum, für \(a < 0\) das Maximum. Als Buchstabe nach \(p\) wird sie gern mit \(p\) zusammen verwendet; viele deutsche Schulbücher schreiben dafür \(e\). Nicht zu verwechseln mit dem \(q\) der pq-Formel. |
| \((x - p)^{2}\) | x minus p in Klammern hoch 2 | Das Quadrat, das bei der quadratischen Ergänzung entsteht. Als Quadrat ist es nie negativ und nur für \(x = p\) gleich 0. Genau deshalb liegt das Maximum bzw. Minimum im Scheitelpunkt. |
| \(x^{2}\) | x hoch 2 (x Quadrat) | \(x\) mit sich selbst multipliziert (\(x^{2} = x \cdot x\)). Die kleine hochgestellte Zahl (der Exponent) gibt an, wie oft multipliziert wird. |
Begriffe
| quadratische Funktion | Eine Funktion der Form \(y = ax^{2} + bx + c\) mit \(a \neq 0\). Ihr Graph ist eine Parabel. Sie steht in Klasse 9 (14–15 Jahre) auf dem Lehrplan. |
| Parabel | Die achsensymmetrische, U-förmige Kurve, die der Graph einer quadratischen Funktion ist. Sie hat dieselbe Form wie die Flugbahn eines geworfenen Balls. |
| Scheitelpunkt | Der Umkehrpunkt einer Parabel: bei einer nach oben geöffneten Parabel der tiefste Punkt (Tiefpunkt), bei einer nach unten geöffneten der höchste (Hochpunkt). Seine Koordinaten sind \(S(p \,|\, q)\). |
| Symmetrieachse | Die senkrechte Gerade \(x = p\), zu der eine Parabel achsensymmetrisch ist. Die beiden Hälften der Parabel sind Spiegelbilder voneinander, und der Scheitelpunkt liegt auf dieser Geraden. |
| quadratische Ergänzung | Das Umformen von \(y = ax^{2} + bx + c\) in die Form \(y = a(x - p)^{2} + q\). Man „ergänzt“ den Term so, dass eine binomische Formel rückwärts angewendet werden kann. Sie ist das Standardwerkzeug, um Scheitelpunkt, Symmetrieachse und Maximum oder Minimum zu bestimmen – und auch die Mitternachtsformel wird damit hergeleitet. |
| binomische Formel | Die Formeln \((x + m)^{2} = x^{2} + 2mx + m^{2}\) (1. binomische Formel) und \((x - m)^{2} = x^{2} - 2mx + m^{2}\) (2. binomische Formel), etwa \((x - 2)^{2} = x^{2} - 4x + 4\). Ein Quadrat ist eine Zahl mal sich selbst: Das Quadrat von \(3\) ist \(3^{2} = 9\). |
| allgemeine Form | Die Form \(y = ax^{2} + bx + c\), also die ausmultiplizierte Form. An ihr lässt sich der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse leicht ablesen (für \(x = 0\) ist \(y = c\)). Für \(a = 1\) spricht man auch von der Normalform \(y = x^{2} + px + q\). |
| Scheitelpunktform | Die Form \(y = a(x - p)^{2} + q\) (in vielen Schulbüchern \(y = a(x - d)^{2} + e\)). Der Scheitelpunkt \(S(p \,|\, q)\) ist auf einen Blick zu sehen. Die quadratische Ergänzung formt die allgemeine Form in die Scheitelpunktform um. |
| nach oben geöffnet | Der Graph ist wie ein Tal geöffnet. Das ist für \(a > 0\) der Fall, und der Scheitelpunkt ist der tiefste Punkt. |
| nach unten geöffnet | Der Graph ist wie ein Berg geformt. Das ist für \(a < 0\) der Fall, und der Scheitelpunkt ist der höchste Punkt. |
| Maximum | Der größte Wert, den die Funktion \(y\) annehmen kann. Bei einer nach unten geöffneten Parabel ist die \(y\)-Koordinate \(q\) des Scheitelpunkts das Maximum. |
| Minimum | Der kleinste Wert, den die Funktion \(y\) annehmen kann. Bei einer nach oben geöffneten Parabel ist die \(y\)-Koordinate \(q\) des Scheitelpunkts das Minimum. |
| Koeffizient | Die Zahl vor einer Variablen. In \(2x^{2}\) ist 2 der Koeffizient. Steht keine Zahl davor wie bei \(x^{2}\), ist der Koeffizient 1. |
| Absolutglied | Das Glied ohne \(x\), etwa die 3 in \(2x^{2} - 8x + 3\). Es heißt auch konstantes Glied, weil es sich nicht ändert, egal welchen Wert \(x\) hat. |
| achsensymmetrisch | Deckungsgleich, wenn man die Figur an einer Geraden umklappt. Klappt man eine Parabel an ihrer Symmetrieachse um, passen linke und rechte Hälfte genau aufeinander. |
| Definitionsbereich | Die Werte, die \(x\) annehmen darf. Ist er eingeschränkt (zum Beispiel \(0 \le x \le 3\)), kann das Maximum oder Minimum statt im Scheitelpunkt an einem Rand des Bereichs liegen. |
| Verschiebung | Das Verschieben einer Figur, ohne ihre Form zu ändern. Der Graph von \(y = a(x - p)^{2} + q\) ist der Graph von \(y = ax^{2}\), um \(p\) in \(x\)-Richtung und um \(q\) in \(y\)-Richtung verschoben. |
Das sollten Sie vorher wissen
Damit Sie die Rechnung auf dieser Seite nicht nur per Knopfdruck, sondern mit echtem Verständnis nutzen, ist hier zusammengestellt, was Sie vorher wissen sollten.
Wenn Sie hängen bleiben, ist es am schnellsten, diese Themen zu wiederholen.
| Funktionen und Graphen (Klasse 7–9, 12–15 Jahre) |
|
| Binomische Formeln und Ausklammern (Klasse 8, 13–14 Jahre) |
|
| Negative Zahlen und Terme (Klasse 6–7, 11–13 Jahre) |
|
| Bruchrechnung (Klasse 5–6, 10–12 Jahre) |
|
| Graphen quadratischer Funktionen (Klasse 9–10, 14–16 Jahre) |
|
So berechnen Sie es in Excel
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle für die quadratische Ergänzung (Scheitelpunkt p, q)
| a (vor x²) | 2 |
| b (vor x) | -8 |
| c (Absolutglied) | 3 |
| Scheitelpunkt, x-Koordinate p | =-B2/(2*B1) |
| Scheitelpunkt, y-Koordinate q | =B3-B2^2/(4*B1) |
Tabelle für die x-Koordinate des Scheitelpunkts (Symmetrieachse)
| a (vor x²) | 1 |
| b (vor x) | -6 |
| Scheitelpunkt, x-Koordinate p = −b/(2a) | =-B2/(2*B1) |
Tabelle für die y-Koordinate des Scheitelpunkts (Maximum oder Minimum)
| a (vor x²) | 1 |
| b (vor x) | -6 |
| c (Absolutglied) | 5 |
| Scheitelpunkt, y-Koordinate q = c − b²/(4a) | =B3-B2^2/(4*B1) |
Tabelle zur Probe, ob die Scheitelpunktform mit der ursprünglichen Gleichung übereinstimmt
| a (vor x²) | 2 |
| b (vor x) | -8 |
| c (Absolutglied) | 3 |
| x-Wert für die Probe | 1 |
| Scheitelpunkt, x-Koordinate p | =-B2/(2*B1) |
| Scheitelpunkt, y-Koordinate q | =B3-B2^2/(4*B1) |
| Wert von ax²+bx+c | =B1*B4^2+B2*B4+B3 |
| Wert von a(x−p)²+q | =B1*(B4-B5)^2+B6 |
Nach dem Einfügen sind die oberen Zeilen (Koeffizienten) Ihre Eingaben, die unteren Zeilen werden automatisch berechnet.
„^“ bedeutet hoch (Potenz), „*“ mal und „/“ geteilt durch.
Die erste Tabelle ist das Beispiel y = 2x² − 8x + 3: p ist 2 und q ist −5 (also y = 2(x − 2)² − 5).
Die zweite und dritte Tabelle sind das Beispiel y = x² − 6x + 5: p ist 3 und q ist −4.
Die vierte Tabelle ist eine Probe: Für dasselbe x (im Beispiel 1) ergeben „Wert von ax²+bx+c“ und „Wert von a(x−p)²+q“ beide −3 – die beiden Formen stimmen also überein.
„^“ bedeutet hoch (Potenz), „*“ mal und „/“ geteilt durch.
Die erste Tabelle ist das Beispiel y = 2x² − 8x + 3: p ist 2 und q ist −5 (also y = 2(x − 2)² − 5).
Die zweite und dritte Tabelle sind das Beispiel y = x² − 6x + 5: p ist 3 und q ist −4.
Die vierte Tabelle ist eine Probe: Für dasselbe x (im Beispiel 1) ergeben „Wert von ax²+bx+c“ und „Wert von a(x−p)²+q“ beide −3 – die beiden Formen stimmen also überein.
So berechnen Sie es in Google Tabellen
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle für die quadratische Ergänzung (Scheitelpunkt p, q)
| a (vor x²) | 2 |
| b (vor x) | -8 |
| c (Absolutglied) | 3 |
| Scheitelpunkt, x-Koordinate p | =-B2/(2*B1) |
| Scheitelpunkt, y-Koordinate q | =B3-B2^2/(4*B1) |
Tabelle für die x-Koordinate des Scheitelpunkts (Symmetrieachse)
| a (vor x²) | 1 |
| b (vor x) | -6 |
| Scheitelpunkt, x-Koordinate p = −b/(2a) | =-B2/(2*B1) |
Tabelle für die y-Koordinate des Scheitelpunkts (Maximum oder Minimum)
| a (vor x²) | 1 |
| b (vor x) | -6 |
| c (Absolutglied) | 5 |
| Scheitelpunkt, y-Koordinate q = c − b²/(4a) | =B3-B2^2/(4*B1) |
Tabelle zur Probe, ob die Scheitelpunktform mit der ursprünglichen Gleichung übereinstimmt
| a (vor x²) | 2 |
| b (vor x) | -8 |
| c (Absolutglied) | 3 |
| x-Wert für die Probe | 1 |
| Scheitelpunkt, x-Koordinate p | =-B2/(2*B1) |
| Scheitelpunkt, y-Koordinate q | =B3-B2^2/(4*B1) |
| Wert von ax²+bx+c | =B1*B4^2+B2*B4+B3 |
| Wert von a(x−p)²+q | =B1*(B4-B5)^2+B6 |
Dieselben Formeln wie in Excel funktionieren unverändert. Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Koeffizienten durch Ihre eigenen Zahlen.
So berechnen Sie es in Python
from fractions import Fraction
# Koeffizienten der quadratischen Funktion y = ax² + bx + c (ein Bruch wie 3/4 wird als Fraction(3, 4) geschrieben)
coef_a = Fraction(2) # Koeffizient vor x² (nicht 0)
coef_b = Fraction(-8) # Koeffizient vor x
coef_c = Fraction(3) # Absolutglied
vertex_x = -coef_b / (2 * coef_a) # x-Koordinate des Scheitelpunkts p = −b/(2a)
vertex_y = coef_c - coef_b ** 2 / (4 * coef_a) # y-Koordinate des Scheitelpunkts q = c − b²/(4a)
print(f"x-Koordinate des Scheitelpunkts p: {vertex_x}")
print(f"y-Koordinate des Scheitelpunkts q: {vertex_y}")
print(f"Scheitelpunktform: y = {coef_a} * (x - ({vertex_x}))**2 + ({vertex_y})")
if coef_a > 0:
print(f"Nach oben geöffnet, also Minimum {vertex_y} bei x = {vertex_x}")
else:
print(f"Nach unten geöffnet, also Maximum {vertex_y} bei x = {vertex_x}")
Mit dem Modul fractions aus der Standardbibliothek rechnen Sie mit exakten Brüchen, ganz ohne Rundungsfehler. Das Beispiel ist die quadratische Ergänzung von y = 2x² − 8x + 3. Beim Ausführen erscheinen p = 2 und q = −5 (also y = 2(x − 2)² − 5 mit dem Minimum −5). Ändern Sie die Koeffizienten und führen Sie das Programm erneut aus.
So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
Quadratische Ergänzung (Umformen in die Scheitelpunktform)
y = a(x − p)² + q
y = a(x - p)^{2} + q
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>y</mi>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi>
<msup>
<mrow><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>p</mi><mo>)</mo></mrow>
<mn>2</mn>
</msup>
<mo>+</mo>
<mi>q</mi>
</mrow>
</math>
y = a(x - p)^2 + q
a*(x - p)^2 + q
y := a*(x - p)^2 + q;
y = a*(x - p)^2 + q;
y = a(x - p)^2 + q
\(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts (Lage der Symmetrieachse)
p = −b/(2a)
p = -\frac{b}{2a}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>p</mi>
<mo>=</mo>
<mo>−</mo>
<mfrac>
<mi>b</mi>
<mrow><mn>2</mn><mi>a</mi></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
p = -b/(2a)
-b/(2*a)
p := -b/(2*a);
p = -b/(2*a);
p = −b/(2a)
\(y\)-Koordinate des Scheitelpunkts (Maximum oder Minimum)
q = c − b²/(4a)
q = c - \frac{b^{2}}{4a}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>q</mi>
<mo>=</mo>
<mi>c</mi>
<mo>−</mo>
<mfrac>
<msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
<mrow><mn>4</mn><mi>a</mi></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
q = c - b^2/(4a)
c - b^2/(4*a)
q := c - b^2/(4*a);
q = c - b^2/(4*a);
q = c − b^2/(4a)
So lassen Sie ChatGPT rechnen
Sie sind ein Rechenassistent für Mathematik (quadratische Funktionen). Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (nicht im Kopf rechnen und nicht schätzen). Bringen Sie die quadratische Funktion y = 2x² − 8x + 3 mit quadratischer Ergänzung in die Scheitelpunktform. Geben Sie Folgendes an: 1. Den Rechenweg der quadratischen Ergänzung (Koeffizienten vor x² ausklammern → Quadrat der Hälfte des Koeffizienten vor x addieren und subtrahieren → mit der binomischen Formel zum Quadrat zusammenfassen) 2. Die Scheitelpunktform y = a(x − p)² + q, den Scheitelpunkt S(p | q) und die Symmetrieachse (als gekürzte Brüche) 3. Ob die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet ist, und das Maximum bzw. Minimum Rechnen Sie in Python exakt mit dem Modul fractions aus der Standardbibliothek. Zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis.
Anleitung
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2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
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