Geben Sie die Koeffizienten a, b und c der quadratischen Funktion y = ax² + bx + c ein. Die Gleichung unten ist mit den Eingabefeldern verbunden, Sie können die Koeffizienten also auch direkt in der Gleichung ändern.
Geben Sie nur Zahlen ein. Dezimalzahlen mit Komma, negative Zahlen und Brüche wie 3/4 sind möglich. Ein leeres a zählt als 1 (x² bedeutet dasselbe wie 1x²), ein leeres b oder c als 0.
Ergebnis und Diagramm
Geben Sie im Feld links die Koeffizienten a, b und c ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Der Rechenweg der quadratischen Ergänzung, der Scheitelpunkt und ein Graph erscheinen hier.
Inhaltsverzeichnis
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Was Sie auf dieser Seite tun können
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Wofür ist diese Berechnung nützlich?
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Anleitung
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Formeln und Graphen
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Symbole und Begriffe
-
Was Sie vorab wissen sollten
-
Mit Excel berechnen
-
Mit Google Tabellen berechnen
-
Mit Python berechnen
-
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
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Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
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Die Vorteile von DataChef
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Verwandte Funktionen
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Alle NumberChef-Rechner
Was Sie auf dieser Seite tun können
- Geben Sie die Koeffizienten ein, und die quadratische Funktion \(y = ax^{2} + bx + c\) wird durch quadratische Ergänzung in die Form \(y = a(x - p)^{2} + q\) (Scheitelpunktform) umgeschrieben
- Der Rechenweg folgt Zeile für Zeile dem Verfahren im Lehrbuch: den Koeffizienten von \(x^2\) ausklammern, das Quadrat der Hälfte des Koeffizienten von \(x\) addieren und subtrahieren, dann das vollständige Quadrat schreiben
- Sie erhalten außerdem den Scheitelpunkt S\((p|q)\), die Symmetrieachse \(x = p\), die Öffnungsrichtung des Graphen (nach oben oder nach unten) und das Maximum oder Minimum, dazu einen Graphen der Parabel
- Die Antworten werden sowohl als gekürzte Brüche (exakte Werte) wie \(-\dfrac{5}{4}\) als auch als Dezimalzahlen angezeigt. Koeffizienten können Dezimalzahlen (mit Komma), negative Zahlen oder Brüche wie 3/4 sein
- Der Rechner zeigt die Gleichung so, wie Sie sie von Hand schreiben würden, und Sie können die Koeffizienten direkt in der Gleichung ändern
- Eine verständliche Erklärung der Formeln sowie Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python finden Sie ebenfalls auf dieser Seite
Diese Seite ist für quadratische Funktionen (der Koeffizient a von x² ist nicht 0). Um eine Gleichung der Form ax²+bx+c = 0 zu lösen, verwenden Sie die verwandte Seite „Lösungsformel für quadratische Gleichungen“.
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
Den höchsten Punkt eines Balls oder eines Springbrunnens bestimmen (Physik und Sport)
Die Höhe eines nach oben geworfenen Balls oder des Wassers in einem Springbrunnen wird oft als quadratische Funktion der Zeit modelliert. Ist die Höhe zum Beispiel \(h = -5t^{2} + 20t\) (in Metern, mit \(t\) in Sekunden, ohne Luftwiderstand und mit \(g \approx 10\ \mathrm{m/s^2}\) genähert), ergibt die quadratische Ergänzung \(h = -5(t - 2)^{2} + 20\). Sie können ablesen, dass der Ball nach 2 Sekunden seinen höchsten Punkt, 20 Meter, erreicht.
Den Scheitelpunkt, „den höchsten Punkt und den Zeitpunkt“, direkt aus der Gleichung zu ziehen, ist die Stärke der quadratischen Ergänzung, und Wurfaufgaben in der Physik sind eine klassische Anwendung.
Den Preis finden, der den Gewinn maximiert (Wirtschaft)
Wenn „eine Preiserhöhung den Gewinn pro Stück steigert, aber die Zahl der verkauften Stücke senkt“, lässt sich der Gewinn manchmal als quadratische Funktion des Preises modellieren, die nach unten geöffnet ist. Der Preis mit dem größten Gewinn ist genau der Scheitelpunkt der Parabel. Ist der Gewinn zum Beispiel \(y = -x^{2} + 60x - 500\) Euro (mit \(x\) als Preis in Euro), ist der Scheitelpunkt \(x = 30\) der Preis, der den Gewinn maximiert: 30 €, mit einem Gewinn von 400 €.
Echte Märkte sind komplizierter, aber „den besten Wert im Scheitelpunkt suchen“ ist ein Ausgangspunkt, um über Preise und die Aufteilung eines Werbebudgets nachzudenken.
Mit einem Zaun fester Länge das größte Beet anlegen (Planung und Heimwerken)
Bei einem Rechteck mit festem Umfang ist die Fläche eine quadratische Funktion der Seitenlänge. Hat man zum Beispiel 20 Meter Zaun und ist die Breite \(x\) Meter, dann ist die Länge \(10 - x\) Meter, und die Fläche ist \(y = x(10 - x) = -x^{2} + 10x\). Die quadratische Ergänzung ergibt \(y = -(x - 5)^{2} + 25\), also ist die größte Fläche 25 Quadratmeter für \(x = 5\) (ein Quadrat).
Das ist die einfachste Form einer Optimierungsaufgabe: das Meiste aus begrenztem Material oder einem begrenzten Budget herauszuholen.
Reflektoren von Antennen und Lampen entwerfen (Technik)
Satellitenschüsseln und die Reflektoren in Autoscheinwerfern und Taschenlampen haben die Form einer um ihre Achse gedrehten Parabel (eines Paraboloids). Sie nutzen eine Eigenschaft der Parabel: Radiowellen oder Licht, die parallel zur Achse einfallen, werden alle zu einem Punkt auf der Achse (dem Brennpunkt) zurückgeworfen, und Licht, das vom Brennpunkt ausgeht, läuft parallel zur Achse geradeaus weiter.
Beim Entwurf wird eine Parabel dadurch beschrieben, wo ihr Scheitelpunkt liegt und wie weit sie sich in welche Richtung öffnet. Deshalb ist der Gedanke der Scheitelpunktform \(y = a(x - p)^{2} + q\), die um den Scheitelpunkt herum aufgebaut ist, die Grundlage.
Formeln und Graphen
Quadratische Ergänzung (Umformung in die Scheitelpunktform)
Graph
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(y\)
\(=\)
\(a\)
\(\left(x - p\right)^{2}\)
\(+\)
\(q\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
④
\(y\): Wert der quadratischen Funktion
\(=\)
①
\(a\): Koeffizient von \(x^{2}\)
②
Quadrat von \(x\) minus der \(x\)-Koordinate \(p\) des Scheitelpunkts
\(+\)
③
\(q\): \(y\)-Koordinate des Scheitelpunkts
Die Formel in Worten
①
Nehmen Sie den
Koeffizienten \(a\) von \(x^{2}\)
②
multiplizieren Sie ihn mit dem
Quadrat von \(x\) minus der \(x\)-Koordinate \(p\) des Scheitelpunkts
③
addieren Sie die
\(y\)-Koordinate \(q\) des Scheitelpunkts
④
und Sie erhalten den
Wert \(y\) der quadratischen Funktion
(in dieser Form erkennen Sie den Scheitelpunkt S\((p|q)\) und die Achse \(x = p\) auf einen Blick)
Einfaches Beispiel
Die quadratische Ergänzung bei \(y = 2x^{2} - 8x + 3\) ergibt \(y = 2(x - 2)^{2} - 5\) (Scheitelpunkt \(\mathrm{S}(2|-5)\))
Wert der Funktion \(y\)
\(=\)
Koeffizient von \(x^{2}\) (2)
Quadrat von \(x\) minus 2
\(+\)
\(y\)-Koordinate des Scheitelpunkts (−5)
\(y = 2x^{2} - 8x + 3 = 2\left(x^{2} - 4x\right) + 3\)
\(y = 2\left(x^{2} - 4x + 4 - 4\right) + 3 = 2\left\{\left(x - 2\right)^{2} - 4\right\} + 3\)
\(y = 2\left(x - 2\right)^{2} - 8 + 3 = 2\left(x - 2\right)^{2} - 5\)
Der Kerngedanke
Die quadratische Ergänzung schreibt eine quadratische Funktion als „einen quadrierten Teil plus eine Konstante“ um. Da \((x - p)^{2}\) ein Quadrat ist, ist es immer 0 oder größer, und es ist nur für \(x = p\) gleich 0. Für \(a > 0\) ist \(y\) also bei \(x = p\) am kleinsten (Minimum \(q\)), und für \(a < 0\) ist \(y\) dort am größten (Maximum \(q\)). Der Wert dieser Umformung ist, dass man den Scheitelpunkt und das Maximum oder Minimum allein an der Form der Gleichung ablesen kann.
Die Form \(y = ax^{2} + bx + c\) heißt allgemeine Form, und \(y = a(x - p)^{2} + q\) heißt Scheitelpunktform (der Scheitelpunkt ist auf einen Blick zu sehen). Zeichnet man eine Parabel oder sucht ihr Maximum oder Minimum, ist die Umformung in die Scheitelpunktform meist der erste Schritt. (Deutsche Lehrbücher schreiben die Scheitelpunktform meist als \(y = a(x - d)^{2} + e\) mit dem Scheitelpunkt \(\mathrm{S}(d|e)\).)
\(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts (die Symmetrieachse)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(p\)
\(=\)
\(-b\)
\(\div\)
\((\)
\(2a\)
\()\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(p\): \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts
\(=\)
①
\(-b\): Koeffizient von \(x\) mit geändertem Vorzeichen
\(\div\)
\((\)
②
\(2a\): das Doppelte des Koeffizienten von \(x^{2}\)
\()\)
Die Formel in Worten
①
Nehmen Sie den
Koeffizienten von \(x\) mit geändertem Vorzeichen, \(-b\)
②
teilen Sie ihn durch das
Doppelte des Koeffizienten von \(x^{2}\), \(2a\)
③
und Sie erhalten die
\(x\)-Koordinate \(p\) des Scheitelpunkts
(die Symmetrieachse ist die Gerade \(x = p\))
Einfaches Beispiel
Die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts von \(y = 2x^{2} - 8x + 3\) (\(a = 2,\ b = -8\)) ist
\(x\)-Koordinate \(p\) des Scheitelpunkts
\(=\)
\(b\) mit geändertem Vorzeichen (8)
\(\div\)
\((\)
das Doppelte von \(a\) (4)
\()\)
\(p = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-8}{2 \times 2} = \dfrac{8}{4} = 2\)
Der Kerngedanke
Das ist die Scheitelpunktformel, die man erhält, wenn man die quadratische Ergänzung mit Buchstaben statt mit Zahlen bis zum Ende durchführt. Ohne die Gleichung jedes Mal umzuschreiben, finden Sie die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts direkt aus \(a\) und \(b\). (Auch dieser Rechner bestimmt \(p\) mit dieser Formel.)
Eine Parabel ist symmetrisch zu ihrer Achse (der Geraden \(x = p\)), also ist \(p\) auch die Stelle, an der der Graph umklappt. Es ist dieselbe Form wie \(-\dfrac{b}{2a}\), der Teil vor dem „±“ in der Lösungsformel \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}\). Das zeigt, dass die Achse genau in der Mitte zwischen den beiden Lösungen liegt.
\(y\)-Koordinate des Scheitelpunkts (Maximum oder Minimum)
Graph
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(q\)
\(=\)
\(c\)
\(-\)
\(b^{2}\)
\(\div\)
\((\)
\(4a\)
\()\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
④
\(q\): \(y\)-Koordinate des Scheitelpunkts
\(=\)
①
\(c\): Konstante
\(-\)
②
\(b^{2}\): Quadrat des Koeffizienten von \(x\)
\(\div\)
\((\)
③
\(4a\): das Vierfache des Koeffizienten von \(x^{2}\)
\()\)
Die Formel in Worten
①
Ziehen Sie von der
Konstanten \(c\)
②
das
Quadrat des Koeffizienten \(b\) von \(x\)
③
geteilt durch das
Vierfache des Koeffizienten von \(x^{2}\), \(4a\)
④
ab, und Sie erhalten die
\(y\)-Koordinate \(q\) des Scheitelpunkts
(das Minimum für \(a > 0\), das Maximum für \(a < 0\))
Einfaches Beispiel
Die \(y\)-Koordinate des Scheitelpunkts von \(y = 2x^{2} - 8x + 3\) (\(a = 2,\ b = -8,\ c = 3\)) ist
\(y\)-Koordinate \(q\) des Scheitelpunkts
\(=\)
Konstante (3)
\(-\)
\(b\) zum Quadrat (64)
\(\div\)
\((\)
das Vierfache von \(a\) (8)
\()\)
\(q = c - \dfrac{b^{2}}{4a} = 3 - \dfrac{(-8)^{2}}{4 \times 2} = 3 - \dfrac{64}{8} = 3 - 8 = -5\)
Der Kerngedanke
\(q\) ist der Wert von \(y\) bei \(x = p\), also ergibt das Einsetzen von \(x = p\) in die ursprüngliche Gleichung dieselbe Antwort. So können Sie Ihre Rechnung bequem kontrollieren.
Eine Parabel, die nach oben geöffnet ist (\(a > 0\)), hat ihren tiefsten Punkt im Scheitelpunkt, also ist \(q\) das Minimum. Eine Parabel, die nach unten geöffnet ist (\(a < 0\)), hat ihren höchsten Punkt im Scheitelpunkt, also ist \(q\) das Maximum. Ist aber der Definitionsbereich (die Werte, die \(x\) annehmen darf) eingeschränkt, kann der Scheitelpunkt außerhalb liegen, und Sie müssen mit den Werten an den Enden des Definitionsbereichs vergleichen.
Durch quadratische Ergänzung lässt sich die quadratische Funktion \(y = ax^{2} + bx + c\) in die Scheitelpunktform \(y = a(x - p)^{2} + q\) umschreiben, mit \(p = -\dfrac{b}{2a}\) und \(q = c - \dfrac{b^{2}}{4a}\). Der Scheitelpunkt ist \(\mathrm{S}(p|q)\) und die Symmetrieachse die Gerade \(x = p\). Für \(a > 0\) ist das Minimum \(q\) bei \(x = p\), für \(a < 0\) ist das Maximum \(q\).
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(a,\ b,\ c\) | a, b, c | Die Koeffizienten der quadratischen Funktion \(y = ax^{2} + bx + c\). \(a\) ist der Koeffizient von \(x^{2}\) (nicht 0), \(b\) der Koeffizient von \(x\) und \(c\) die Konstante. Für feste Zahlen verwendet man üblicherweise Buchstaben vom Anfang des Alphabets, \(a,\ b,\ c\). |
| \(x,\ y\) | x, y | Variablen. \(x\) ist die Eingabe und \(y\) die Ausgabe. Für Zahlen, die viele Werte annehmen können, verwendet man üblicherweise Buchstaben vom Ende des Alphabets, \(x,\ y,\ z\). |
| \(p\) | p | Die \(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts, also auch die Lage der Symmetrieachse (der Geraden \(x = p\)). In deutschen Lehrbüchern steht dafür meist \(d\) (\(y = a(x - d)^{2} + e\)). Achtung: \(p\) und \(q\) sind in der Normalform \(x^{2} + px + q = 0\) etwas anderes. |
| \(q\) | q | Die \(y\)-Koordinate des Scheitelpunkts. Sie ist das Minimum für \(a > 0\) und das Maximum für \(a < 0\). Es ist der Buchstabe nach \(p\), deshalb werden beide als Paar verwendet. In deutschen Lehrbüchern steht dafür meist \(e\). |
| \((x - p)^{2}\) | x minus p, zum Quadrat | Der quadrierte Teil, den die quadratische Ergänzung erzeugt. Als Quadrat ist er immer 0 oder größer und nur für \(x = p\) gleich 0. Genau das ist der Grund, warum das Maximum oder Minimum im Scheitelpunkt liegt. |
| \(x^{2}\) | x hoch 2 | \(x\) mit sich selbst multipliziert (\(x^{2} = x \times x\)). Die kleine hochgestellte Zahl (der Exponent) gibt an, wie oft multipliziert wird. |
Begriffe
| quadratische Funktion | Eine Funktion der Form \(y = ax^{2} + bx + c\) (\(a \neq 0\)). Ihr Graph ist eine Parabel. Sie wird in Klasse 9–10 (14–16 Jahre) behandelt. |
| Parabel | Die symmetrische U-förmige Kurve, die der Graph einer quadratischen Funktion ist. Sie hat dieselbe Form wie die Bahn eines geworfenen Balls. |
| Scheitelpunkt | Der Wendepunkt einer Parabel: der tiefste Punkt, wenn sie nach oben geöffnet ist, der höchste, wenn sie nach unten geöffnet ist. Seine Koordinaten sind \((p|q)\). |
| Symmetrieachse | Die senkrechte Gerade \(x = p\), zu der eine Parabel symmetrisch ist. Die Parabel ist ein Spiegelbild ihrer selbst an dieser Geraden, und der Scheitelpunkt liegt auf ihr. |
| quadratische Ergänzung | Das Umschreiben von \(y = ax^{2} + bx + c\) in die Form \(y = a(x - p)^{2} + q\). Der Name kommt vom „Ergänzen zu einem vollständigen Quadrat“. Sie ist das grundlegende Werkzeug, um den Scheitelpunkt, die Achse und das Maximum oder Minimum zu finden, und auch die Lösungsformel selbst wird mit ihr hergeleitet. |
| vollständiges Quadrat | Ein Ausdruck, der etwas im Quadrat ist, etwa \((x - 2)^{2} = x^{2} - 4x + 4\) (binomische Formeln). Das Quadrat einer Zahl ist die Zahl mal sich selbst: das Quadrat von \(3\) ist \(3^{2} = 9\). |
| allgemeine Form | Die Form \(y = ax^{2} + bx + c\). Es ist die übliche ausmultiplizierte Form, und man kann leicht ablesen, wo sie die \(y\)-Achse schneidet (\(y = c\) für \(x = 0\)). |
| Scheitelpunktform | Die Form \(y = a(x - p)^{2} + q\) (in deutschen Lehrbüchern meist \(y = a(x - d)^{2} + e\), auch Scheitelform genannt). Den Scheitelpunkt \((p|q)\) sieht man auf einen Blick. Die quadratische Ergänzung wandelt die allgemeine Form in die Scheitelpunktform um. |
| nach oben geöffnet | Der Graph öffnet sich wie ein Tal. Das ist der Fall für \(a > 0\), und der Scheitelpunkt ist der tiefste Punkt. |
| nach unten geöffnet | Der Graph öffnet sich wie ein Berg. Das ist der Fall für \(a < 0\), und der Scheitelpunkt ist der höchste Punkt. |
| Maximum | Der größte Wert, den die Funktion \(y\) annehmen kann. Bei einer quadratischen Funktion, die nach unten geöffnet ist, ist die \(y\)-Koordinate \(q\) des Scheitelpunkts das Maximum. |
| Minimum | Der kleinste Wert, den die Funktion \(y\) annehmen kann. Bei einer quadratischen Funktion, die nach oben geöffnet ist, ist die \(y\)-Koordinate \(q\) des Scheitelpunkts das Minimum. |
| Koeffizient | Die Zahl vor einem Buchstaben. In \(2x^{2}\) ist 2 der Koeffizient. Ein Term, bei dem keine Zahl steht, wie \(x^{2}\), hat den Koeffizienten 1. |
| konstantes Glied | Ein Glied ohne \(x\), das nur aus einer Zahl besteht, wie die 3 in \(2x^{2} - 8x + 3\). Es heißt konstant, weil es sich nicht ändert, welchen Wert \(x\) auch hat. |
| symmetrisch | Beim Umklappen genau deckungsgleich. Klappt man eine Parabel an ihrer Achse um, decken sich die linke und die rechte Seite genau (Achsensymmetrie). |
| Definitionsbereich | Die Menge der Werte, die \(x\) annehmen darf. Ist der Definitionsbereich eingeschränkt (zum Beispiel \(0 \le x \le 3\)), kann das Maximum oder Minimum an einem Ende des Definitionsbereichs statt im Scheitelpunkt liegen. |
| Verschiebung | Das Verschieben einer Figur, ohne ihre Form zu ändern. Der Graph von \(y = a(x - p)^{2} + q\) ist der Graph von \(y = ax^{2}\), um \(p\) in \(x\)-Richtung und um \(q\) in \(y\)-Richtung verschoben. |
Was Sie vorab wissen sollten
Hier steht, was Ihnen hilft, die Berechnung auf dieser Seite wirklich zu verstehen und nicht nur auf die Schaltfläche zu klicken.
Wenn Sie nicht weiterkommen, ist es der schnellste Weg, diese Themen noch einmal zu wiederholen.
| Funktionen und Graphen (Klasse 7–9, 12–15 Jahre) |
|
| Ausmultiplizieren und Faktorisieren (Klasse 8–9, 13–15 Jahre) |
|
| Negative Zahlen und Terme (Klasse 6–7, 11–13 Jahre) |
|
| Bruchrechnung (Klasse 5–6, 10–12 Jahre) |
|
| Graphen quadratischer Funktionen (Klasse 9–10, 14–16 Jahre) |
|
Mit Excel berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle für die quadratische Ergänzung (Scheitelpunkt p, q)
| Koeffizient a von x² | 2 |
| Koeffizient b von x | -8 |
| Konstante c | 3 |
| Scheitelpunkt: x-Koordinate p | =-B2/(2*B1) |
| Scheitelpunkt: y-Koordinate q | =B3-B2^2/(4*B1) |
Tabelle für die x-Koordinate des Scheitelpunkts (Symmetrieachse)
| Koeffizient a von x² | 1 |
| Koeffizient b von x | -6 |
| Scheitelpunkt: x-Koordinate p = −b/(2a) | =-B2/(2*B1) |
Tabelle für die y-Koordinate des Scheitelpunkts (Maximum oder Minimum)
| Koeffizient a von x² | 1 |
| Koeffizient b von x | -6 |
| Konstante c | 5 |
| Scheitelpunkt: y-Koordinate q = c − b²/(4a) | =B3-B2^2/(4*B1) |
Tabelle zur Kontrolle, dass die Scheitelpunktform mit der ursprünglichen Form übereinstimmt
| Koeffizient a von x² | 2 |
| Koeffizient b von x | -8 |
| Konstante c | 3 |
| Zu prüfender Wert von x | 1 |
| Scheitelpunkt: x-Koordinate p | =-B2/(2*B1) |
| Scheitelpunkt: y-Koordinate q | =B3-B2^2/(4*B1) |
| Wert von ax²+bx+c | =B1*B4^2+B2*B4+B3 |
| Wert von a(x−p)²+q | =B1*(B4-B5)^2+B6 |
Nach dem Einfügen sind die oberen Zeilen (Koeffizienten) Ihre Eingaben, und die unteren Zeilen werden automatisch berechnet.
„^“ ist die Potenz, „*“ die Multiplikation und „/“ die Division.
Die erste Tabelle ist das Beispiel y = 2x² − 8x + 3. p ist 2 und q ist −5 (also y = 2(x − 2)² − 5).
Die zweite und die dritte Tabelle sind das Beispiel y = x² − 6x + 5. p ist 3 und q ist −4.
Die vierte Tabelle ist eine Kontrolle. Für dasselbe x (im Beispiel 1) sind „Wert von ax²+bx+c“ und „Wert von a(x−p)²+q“ beide −3, die beiden Formen stimmen also überein.
„^“ ist die Potenz, „*“ die Multiplikation und „/“ die Division.
Die erste Tabelle ist das Beispiel y = 2x² − 8x + 3. p ist 2 und q ist −5 (also y = 2(x − 2)² − 5).
Die zweite und die dritte Tabelle sind das Beispiel y = x² − 6x + 5. p ist 3 und q ist −4.
Die vierte Tabelle ist eine Kontrolle. Für dasselbe x (im Beispiel 1) sind „Wert von ax²+bx+c“ und „Wert von a(x−p)²+q“ beide −3, die beiden Formen stimmen also überein.
Mit Google Tabellen berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle für die quadratische Ergänzung (Scheitelpunkt p, q)
| Koeffizient a von x² | 2 |
| Koeffizient b von x | -8 |
| Konstante c | 3 |
| Scheitelpunkt: x-Koordinate p | =-B2/(2*B1) |
| Scheitelpunkt: y-Koordinate q | =B3-B2^2/(4*B1) |
Tabelle für die x-Koordinate des Scheitelpunkts (Symmetrieachse)
| Koeffizient a von x² | 1 |
| Koeffizient b von x | -6 |
| Scheitelpunkt: x-Koordinate p = −b/(2a) | =-B2/(2*B1) |
Tabelle für die y-Koordinate des Scheitelpunkts (Maximum oder Minimum)
| Koeffizient a von x² | 1 |
| Koeffizient b von x | -6 |
| Konstante c | 5 |
| Scheitelpunkt: y-Koordinate q = c − b²/(4a) | =B3-B2^2/(4*B1) |
Tabelle zur Kontrolle, dass die Scheitelpunktform mit der ursprünglichen Form übereinstimmt
| Koeffizient a von x² | 2 |
| Koeffizient b von x | -8 |
| Konstante c | 3 |
| Zu prüfender Wert von x | 1 |
| Scheitelpunkt: x-Koordinate p | =-B2/(2*B1) |
| Scheitelpunkt: y-Koordinate q | =B3-B2^2/(4*B1) |
| Wert von ax²+bx+c | =B1*B4^2+B2*B4+B3 |
| Wert von a(x−p)²+q | =B1*(B4-B5)^2+B6 |
Dieselben Formeln wie in Excel funktionieren unverändert. Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Koeffizienten durch Ihre eigenen Zahlen.
Mit Python berechnen
from fractions import Fraction
# Koeffizienten der quadratischen Funktion y = ax² + bx + c (ein Bruch wie 3/4 lässt sich als Fraction(3, 4) schreiben)
coef_a = Fraction(2) # Koeffizient von x² (nicht 0)
coef_b = Fraction(-8) # Koeffizient von x
coef_c = Fraction(3) # Konstante
vertex_x = -coef_b / (2 * coef_a) # x-Koordinate des Scheitelpunkts p = −b/(2a)
vertex_y = coef_c - coef_b ** 2 / (4 * coef_a) # y-Koordinate des Scheitelpunkts q = c − b²/(4a)
print(f"x-Koordinate des Scheitelpunkts p: {vertex_x}")
print(f"y-Koordinate des Scheitelpunkts q: {vertex_y}")
print(f"Scheitelpunktform: y = {coef_a} * (x - ({vertex_x}))**2 + ({vertex_y})")
if coef_a > 0:
print(f"Nach oben geöffnet, also ist das Minimum {vertex_y} bei x = {vertex_x}")
else:
print(f"Nach unten geöffnet, also ist das Maximum {vertex_y} bei x = {vertex_x}")
Mit dem Modul fractions aus der Standardbibliothek bleibt die Rechnung bei exakten Brüchen, ohne Rundungsfehler. Das Beispiel führt die quadratische Ergänzung für y = 2x² − 8x + 3 aus. Beim Ausführen zeigt es p = 2 und q = −5 (also y = 2(x − 2)² − 5, mit dem Minimum −5). Ändern Sie die Koeffizienten und führen Sie den Code erneut aus.
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
Quadratische Ergänzung (Umformung in die Scheitelpunktform)
y = a(x − p)² + q
y = a(x - p)^{2} + q
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>y</mi>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi>
<msup>
<mrow><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>p</mi><mo>)</mo></mrow>
<mn>2</mn>
</msup>
<mo>+</mo>
<mi>q</mi>
</mrow>
</math>
y = a(x - p)^2 + q
a*(x - p)^2 + q
y := a*(x - p)^2 + q;
y = a*(x - p)^2 + q;
y = a(x - p)^2 + q
\(x\)-Koordinate des Scheitelpunkts (die Symmetrieachse)
p = −b/(2a)
p = -\frac{b}{2a}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>p</mi>
<mo>=</mo>
<mo>−</mo>
<mfrac>
<mi>b</mi>
<mrow><mn>2</mn><mi>a</mi></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
p = -b/(2a)
-b/(2*a)
p := -b/(2*a);
p = -b/(2*a);
p = −b/(2a)
\(y\)-Koordinate des Scheitelpunkts (Maximum oder Minimum)
q = c − b²/(4a)
q = c - \frac{b^{2}}{4a}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>q</mi>
<mo>=</mo>
<mi>c</mi>
<mo>−</mo>
<mfrac>
<msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
<mrow><mn>4</mn><mi>a</mi></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
q = c - b^2/(4a)
c - b^2/(4*a)
q := c - b^2/(4*a);
q = c - b^2/(4*a);
q = c − b^2/(4a)
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
Sie sind ein Assistent für quadratische Funktionen. Führen Sie die folgende Berechnung tatsächlich mit Python aus und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen des Ausführungsergebnisses (nicht im Kopf rechnen und nicht raten). Führen Sie für die quadratische Funktion y = 2x² − 8x + 3 die quadratische Ergänzung durch. Zeigen Sie jeweils Folgendes: 1. Den Rechenweg der quadratischen Ergänzung (den Koeffizienten von x² ausklammern → das Quadrat der Hälfte des Koeffizienten von x addieren und subtrahieren → das vollständige Quadrat schreiben) 2. Die Scheitelpunktform y = a(x − p)² + q, den Scheitelpunkt S(p|q) und die Symmetrieachse (als gekürzte Brüche) 3. In welche Richtung der Graph geöffnet ist (nach oben oder nach unten) und das Maximum oder Minimum Verwenden Sie in Python das Modul fractions aus der Standardbibliothek, um exakt zu rechnen. Zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis.
Anleitung
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1Zahlen eingebenGeben Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
-
2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
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