Abstand zweier Punkte berechnen (Abstandsformel, Steigung und Geradengleichung)

Geben Sie die Koordinaten von Punkt 1 und Punkt 2 ein, um den Abstand zwischen ihnen zu berechnen. Angezeigt werden auch die Steigung und die Gleichung der Geraden durch die beiden Punkte.

x-Koordinate von Punkt 1: x₁

y-Koordinate von Punkt 1: y₁

x-Koordinate von Punkt 2: x₂

y-Koordinate von Punkt 2: y₂

Geben Sie die Koordinaten als Zahlen ein (Dezimalzahlen mit Komma und negative Zahlen sind erlaubt). Alle vier Felder müssen ausgefüllt werden.

Ergebnis und Diagramm

Geben Sie im Feld links die Koordinaten zweier Punkte ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis erscheint hier.

Inhaltsverzeichnis

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Was Sie auf dieser Seite tun können
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
Anleitung
Formeln und Abbildungen
Symbole und Begriffe
- Symbole
- Begriffe
Was Sie vorab wissen sollten
Mit Excel berechnen
Mit Google Tabellen berechnen
Mit Python berechnen
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
Die Vorteile von DataChef
Verwandte Funktionen
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Was Sie auf dieser Seite tun können

Geben Sie die Koordinaten zweier Punkte ein, und Sie sehen sofort den Abstand \(d\) zwischen ihnen
Zusätzlich zum Abstand werden die Änderung von x \(\Delta x\), die Änderung von y \(\Delta y\), die Steigung \(m\) und die Gleichung der Geraden durch die beiden Punkte, \(y = mx + b\), berechnet
Das Ergebnis wird auch in einem Graphen gezeigt, sodass Sie sehen, dass der Abstand die Länge der Strecke zwischen den beiden Punkten ist
Eine verständliche Erklärung der Formeln sowie Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python finden Sie ebenfalls auf dieser Seite

Diese Seite berechnet den geradlinigen Abstand zwischen zwei Punkten in der Ebene (zwei Dimensionen). Sie funktioniert auch bei zwei Punkten mit derselben x-Koordinate (auf einer vertikalen Gerade). Dann ist die Steigung aber nicht definiert, deshalb erscheint „Nicht definiert“, und die Gerade wird als x = c (mit einer Konstanten c) statt als y = mx + b geschrieben.

Wofür ist diese Berechnung nützlich?

Kollisionsabfrage und Abstand zu Gegnern in Spielen (Programmierung)

In einem 2D-Spiel werden die Positionen Ihrer Figur, der Gegner und der Gegenstände als Koordinaten gespeichert, und das Spiel wertet einen „Treffer“, wenn der Abstand kleiner als ein festgelegter Wert wird. Steht Ihre Figur zum Beispiel bei (1|1) und ein Gegner bei (4|5), ist der Abstand \(\sqrt{3^2 + 4^2} = 5\). Wiederholt man diese Berechnung, funktioniert so die abstandsbasierte Kollisionsabfrage.
Die Abstandsformel gehört zu den ersten praktischen Formeln, die Sie schreiben, wenn Sie mit der Spieleentwicklung beginnen.

Den Abstand zweier Orte in Vermessung und Kartografie bestimmen (Vermessung und Bauwesen)

Vermessungsstellen erfassen Grundstücksgrenzpunkte und Bezugspunkte für Bauarbeiten als Koordinaten, in Deutschland zum Beispiel im amtlichen Koordinatensystem ETRS89/UTM. Kennt man die Koordinaten zweier Punkte, lässt sich der waagerechte Abstand zwischen ihnen mit der Abstandsformel auf dieser Seite berechnen.
Diese Berechnung unterstützt den Bau von Straßen, Gebäuden und anderer Infrastruktur. (Um einen Abstand aus Breiten- und Längengrad unter Berücksichtigung der Erdkrümmung zu bestimmen, wird eine andere Formel verwendet.)

Die Ähnlichkeit von Daten in Datenanalyse und KI messen (euklidischer Abstand)

In der Datenanalyse wird ein Zahlenpaar wie Körpergröße und Gewicht als Punkt im Koordinatensystem aufgefasst, und je näher zwei Punkte beieinander liegen, desto ähnlicher gelten die Daten. Dieser Abstand (der euklidische Abstand) wird verwendet, um ähnliche Kundinnen und Kunden zu gruppieren (Clustering) und um aus nahe liegenden Daten Vorhersagen zu treffen (das k-Nächste-Nachbarn-Verfahren).
Die Formel auf dieser Seite ist die grundlegende Art der Abstandsmessung, die in jedem Lehrbuch zu KI und maschinellem Lernen vorkommt.

Schräge Längen aus Zeichnungen und CAD ablesen (Konstruktion und Fertigung)

In technischen Zeichnungen und im CAD werden Positionen wie die Mittelpunkte von Bohrungen in einem Bauteil als Koordinaten angegeben. Den schrägen Abstand zwischen den Mittelpunkten zweier Bohrungen, der oft nicht in der Zeichnung steht, können Sie aus den Koordinatendifferenzen mit der Abstandsformel bestimmen.
Liegen zwei Bohrungen waagerecht 30 mm und senkrecht 40 mm auseinander, sind ihre Mittelpunkte \(\sqrt{30^2 + 40^2} = 50\) mm voneinander entfernt. Das ist eine alltägliche Rechnung in Zerspanung und Prüfung.

Formeln und Abbildungen

Abstand zweier Punkte \(d\) (die Abstandsformel)

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(d\) \(=\) \(\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

② \(d\): Abstand der Punkte \(=\) ① Wurzel aus der Summe der quadrierten Differenzen

Die Formel in Worten

① Berechnen Sie die Wurzel aus der Summe der quadrierten Differenzen, \((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2\) (quadrieren Sie die Differenz der x-Koordinaten und die Differenz der y-Koordinaten, addieren Sie beide und ziehen Sie die Wurzel)

② und Sie erhalten den \(d\): Abstand der Punkte

Einfaches Beispiel

Der Abstand der Punkte (1|1) und (4|5) ist

Abstand \(d\) \(=\) Wurzel aus der Summe der quadrierten Differenzen ((4−1)² + (5−1)² = 25)

\(d = \sqrt{(4-1)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)

Der Kerngedanke

Ein häufiger Fehler ist, die Wurzeln getrennt zu ziehen, etwa \(\sqrt{(x_2-x_1)^2} + \sqrt{(y_2-y_1)^2}\). Addieren Sie zuerst alles unter dem Wurzelzeichen und ziehen Sie die Wurzel erst am Ende, nur ein einziges Mal. Auch wenn eine Differenz der Koordinaten negativ ist, ist ihr Quadrat positiv. Der Abstand ist also derselbe, welchen Punkt Sie zuerst eingeben. Das Ergebnis ist oft eine Zahl, die nicht aufgeht, etwa \(\sqrt{13}\). In diesem Fall zeigt der Rechner eine Dezimalzahl (einen Näherungswert).

Warum diese Formel den Abstand liefert (der Satz des Pythagoras)

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(\Delta x^2\) \(+\) \(\Delta y^2\) \(=\) \(d^2\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

① Quadrat der Änderung von x, \(\Delta x = x_2 - x_1\) \(+\) ② Quadrat der Änderung von y, \(\Delta y = y_2 - y_1\) \(=\) ③ Quadrat des Abstands \(d\) (die Hypotenuse)

Die Formel in Worten

① Addieren Sie das Quadrat der Änderung von x, \(\Delta x\) (wie weit die Punkte waagerecht auseinanderliegen)

② und das Quadrat der Änderung von y, \(\Delta y\) (wie weit die Punkte senkrecht auseinanderliegen)

③ und Sie erhalten genau das Quadrat des Abstands \(d\) zwischen den Punkten (die Hypotenuse) (der Satz des Pythagoras)

Einfaches Beispiel

Zur Kontrolle mit den Punkten (1|1) und (4|5) (Δx = 3, Δy = 4)

Δx zum Quadrat (3² = 9) \(+\) Δy zum Quadrat (4² = 16) \(=\) Abstand zum Quadrat (25 = 5²)

\(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2\)

Der Kerngedanke

Stellen Sie sich ein rechtwinkliges Dreieck vor, dessen Hypotenuse die Strecke zwischen den beiden Punkten ist und dessen beiden Katheten die waagerechte Änderung \(\Delta x\) und die senkrechte Änderung \(\Delta y\) sind. Dann gilt direkt der Satz des Pythagoras. Die Abstandsformel ist nur diese Gleichung, nach \(d\) aufgelöst. Sobald Sie erkennen, dass „die Abstandsformel“ und „der Satz des Pythagoras“ nicht zwei verschiedene Formeln, sondern ein und derselbe Satz sind, müssen Sie sich eine Formel weniger merken.

Die Steigung \(m\) und die Gleichung \(y = mx + b\) der Geraden durch zwei Punkte

Graph

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(m\) \(=\) \(y_2 - y_1\) \(\div\) \(x_2 - x_1\)

\(y\) \(=\) \(m\) \(\times\) \(x\) \(+\) \(b\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(m\): Steigung der Geraden \(=\) ① Änderung von y, \(\Delta y = y_2 - y_1\) \(\div\) ② Änderung von x, \(\Delta x = x_2 - x_1\)

⑦ \(y\): y-Koordinate eines Punktes auf der Geraden \(=\) ④ \(m\): Steigung \(\times\) ⑤ \(x\): x-Koordinate \(+\) ⑥ \(b\): y-Achsenabschnitt

Die Formel in Worten

① Nehmen Sie die Änderung von y, \(\Delta y\)

② dividieren Sie sie durch die Änderung von x, \(\Delta x\)

③ und Sie erhalten die \(m\): Steigung der Geraden

④ Nehmen Sie als Nächstes die \(m\): Steigung

⑤ multiplizieren Sie sie mit der \(x\): x-Koordinate

⑥ addieren Sie den \(b\): y-Achsenabschnitt (zu berechnen als \(b = y_1 - m x_1\))

⑦ und Sie erhalten die \(y\): y-Koordinate eines Punktes auf der Geraden (das ist die Gleichung der Geraden durch die beiden Punkte)

Einfaches Beispiel

Für die Gerade durch die Punkte (1|5) und (3|2)

Steigung \(m\) \(=\) Änderung von y (2 − 5 = −3) \(\div\) Änderung von x (3 − 1 = 2)

\(m = \frac{2 - 5}{3 - 1} = \frac{-3}{2} = -1{,}5\)

\(b = y_1 - m x_1 = 5 - (-1{,}5) \times 1 = 6{,}5\)

\(y = -1{,}5x + 6{,}5\)

Der Kerngedanke

Als Zugabe zum Abstand zeigt dieser Rechner auch Angaben zur Geraden durch die beiden Punkte. Die Steigung \(m\) gibt an, wie viel die Gerade bei jedem Schritt um 1 nach rechts steigt oder fällt, und der y-Achsenabschnitt \(b\) ist die Höhe, in der die Gerade die y-Achse schneidet. Haben die beiden Punkte aber dieselbe x-Koordinate (\(x_1 = x_2\), einer genau über dem anderen), müssten Sie durch \(\Delta x = 0\) teilen, also ist die Steigung nicht definiert. Diese Gerade lässt sich nicht als \(y = mx + b\) schreiben, sondern hat die Form \(x = c\) mit einer Konstanten \(c\) (eine vertikale Gerade). Der Abstand lässt sich trotzdem als \(|\Delta y|\) bestimmen. Eine ausführlichere Erklärung der Steigung und des Steigungswinkels finden Sie auf der verwandten Seite „Steigung berechnen“.

Den Abstand zweier Punkte finden Sie, indem Sie die Differenz der x-Koordinaten und die Differenz der y-Koordinaten quadrieren, addieren und die Wurzel ziehen. Das ist der Satz des Pythagoras selbst. Stellen Sie sich vor, Sie berechnen die Länge der Hypotenuse aus den waagerechten und senkrechten Differenzen, dann vergessen Sie die Formel nicht.

Symbole und Begriffe

Symbole

\(d\)	de	Der Abstand zwischen den beiden Punkten, vom Anfangsbuchstaben von „Distanz“.
\((x_1, y_1)\), \((x_2, y_2)\)	x eins, y eins	Die Koordinaten der beiden Punkte. \(x\) ist die waagerechte Lage und \(y\) die senkrechte Lage. Die kleine Zahl unten rechts (der Index) unterscheidet den ersten vom zweiten Punkt.
\(\Delta x\), \(\Delta y\)	delta x, delta y	Die Änderung (die Differenz der Koordinaten). \(\Delta\) (Delta) ist ein griechischer Buchstabe für „Änderung“ oder „Differenz“: \(\Delta x = x_2 - x_1\) und \(\Delta y = y_2 - y_1\).
\(\sqrt{\phantom{a}}\)	Wurzel (Wurzelzeichen)	Das Zeichen für die Quadratwurzel (die Zahl, die quadriert diese Zahl ergibt). \(\sqrt{25} = 5\) (weil 5² = 25). In der Abstandsformel ziehen Sie die Wurzel nur ein einziges Mal, ganz am Ende.
\(m\)	em	Die Steigung der Geraden durch die beiden Punkte. Sie gibt an, wie viel die Gerade bei jedem Schritt um 1 nach rechts steigt oder fällt. Ist sie positiv, steigt die Gerade nach rechts, ist sie negativ, fällt sie.
\(b\)	be	Der y-Achsenabschnitt: die Höhe, in der die Gerade die y-Achse schneidet (der Wert von \(y\) für \(x = 0\)). In deutschen Schulbüchern heißt er oft \(n\) (also \(y = mx + n\)).

Begriffe

Koordinaten	Ein Zahlenpaar (waagerechte Lage \| senkrechte Lage), das die Lage eines Punktes angibt. Der Punkt (4\|5) liegt 4 rechts und 5 oberhalb des Ursprungs.
Koordinatensystem	Eine Ebene, in der Lagen durch eine waagerechte x-Achse und eine senkrechte y-Achse angegeben werden. Der Abstand auf dieser Seite ist die geradlinige Länge zwischen zwei Punkten im Koordinatensystem.
Strecke	Eine gerade Linie, die zwei Punkte verbindet und an diesen Punkten endet. Der Abstand zweier Punkte ist die Länge dieser Strecke.
Satz des Pythagoras	Der Satz, dass in einem rechtwinkligen Dreieck die Summe der Quadrate der beiden Katheten gleich dem Quadrat der Hypotenuse ist (\(a^2 + b^2 = c^2\)). Die Abstandsformel ist dieser Satz, angewendet auf Koordinaten. Er wird in Klasse 8 (13–14 Jahre) behandelt.
Hypotenuse	Die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks, gegenüber dem rechten Winkel. In der Abstandsformel ist die Strecke zwischen den beiden Punkten die Hypotenuse.
euklidischer Abstand	Der offizielle Name für den geradlinigen Abstand zweier Punkte, den diese Seite berechnet. In der Datenanalyse und in der KI wird dieser Name oft für die grundlegende Art verwendet, wie nah Punkte beieinander liegen.
Steigung	Eine Zahl, die zeigt, wie steil eine Gerade ist: wie stark y zunimmt, wenn x um 1 zunimmt („Steigungsdreieck“). Sie ist dasselbe wie die Änderungsrate einer linearen Funktion.
vertikale Gerade	Eine Gerade, die senkrecht zur x-Achse verläuft (genau nach oben und unten). Die Gerade durch zwei Punkte mit derselben x-Koordinate ist vertikal. Die Änderung von x ist 0, also ist ihre Steigung nicht definiert. Ihre Gleichung hat die Form \(x = c\) mit einer Konstanten \(c\).

Was Sie vorab wissen sollten

Hier steht, was Ihnen hilft, die Berechnung auf dieser Seite wirklich zu verstehen und nicht nur auf die Schaltfläche zu klicken.
Wenn Sie nicht weiterkommen, ist es der schnellste Weg, diese Themen noch einmal durchzugehen.

Das Koordinatensystem (Klasse 5–6, 10–12 Jahre)	Koordinaten wie (4\|5) als Paar aus einer waagerechten und einer senkrechten Lage lesen können Wissen, dass negative x- und y-Koordinaten Lagen links und unterhalb des Ursprungs bedeuten
Rechnen mit positiven und negativen Zahlen (Klasse 6–7, 11–13 Jahre)	Mit negativen Zahlen subtrahieren können, wie in \(3 - (-3) = 6\) Wissen, dass das Quadrat einer negativen Zahl positiv ist
Quadratwurzeln (Klasse 9, 14–15 Jahre)	Wissen, dass die Quadratwurzel die Zahl ist, die quadriert die ursprüngliche Zahl ergibt, wie in \(\sqrt{25} = 5\) Wissen, dass sich eine Quadratwurzel, die nicht aufgeht, wie \(\sqrt{13}\), als Näherungswert in Dezimalschreibweise angeben lässt
Der Satz des Pythagoras (Klasse 8, 13–14 Jahre)	Wissen, dass in einem rechtwinkligen Dreieck die Summe der Quadrate der beiden Katheten gleich dem Quadrat der Hypotenuse ist (das ist die eigentliche Bedeutung der Abstandsformel)
Lineare Funktionen (Klasse 7–8, 12–14 Jahre)	Wissen, dass der Graph von \(y = mx + b\) eine Gerade mit der Steigung \(m\) und dem y-Achsenabschnitt \(b\) ist (nur nötig, um die Steigung und die Geradengleichung zu lesen; für den Abstand allein nicht erforderlich)

Mit Excel berechnen

Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein. Sie funktioniert unverändert.

Tabelle für den Abstand d zweier Punkte

x-Koordinate von Punkt 1: x₁	1
y-Koordinate von Punkt 1: y₁	1
x-Koordinate von Punkt 2: x₂	4
y-Koordinate von Punkt 2: y₂	5
Abstand der Punkte d	=WURZEL((B3-B1)^2+(B4-B2)^2)

Tabelle zur Kontrolle mit dem Satz des Pythagoras

x-Koordinate von Punkt 1: x₁	1
y-Koordinate von Punkt 1: y₁	1
x-Koordinate von Punkt 2: x₂	4
y-Koordinate von Punkt 2: y₂	5
Änderung von x Δx	=B3-B1
Änderung von y Δy	=B4-B2
Summe der Quadrate Δx²+Δy²	=B5^2+B6^2
Abstand der Punkte d	=WURZEL(B7)

Tabelle für die Steigung m und die Geradengleichung

x-Koordinate von Punkt 1: x₁	1
y-Koordinate von Punkt 1: y₁	5
x-Koordinate von Punkt 2: x₂	3
y-Koordinate von Punkt 2: y₂	2
Steigung m	=(B4-B2)/(B3-B1)
y-Achsenabschnitt b	=B2-B5*B1

Nach dem Einfügen sind die oberen Zeilen Ihre Eingaben, und die Formeln in den unteren Zeilen werden automatisch berechnet.
„WURZEL(…)“ ist die Quadratwurzel, „^2“ das Quadrat.
Die erste Tabelle liefert den Abstand 5. Die zweite Tabelle bestimmt denselben Abstand 5 aus Δx = 3, Δy = 4 und der Quadratsumme 25, sodass Sie auch die Zwischenwerte sehen.
Die dritte Tabelle liefert die Steigung −1,5 und den y-Achsenabschnitt 6,5 (die Gerade y = −1,5x + 6,5). Haben die beiden Punkte dieselbe x-Koordinate, würde durch 0 geteilt, und es erscheint ein Fehler (#DIV/0!). Das zeigt, dass die Steigung nicht definiert ist (eine vertikale Gerade).

Mit Google Tabellen berechnen

Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein. Sie funktioniert unverändert.

Tabelle für den Abstand d zweier Punkte

x-Koordinate von Punkt 1: x₁	1
y-Koordinate von Punkt 1: y₁	1
x-Koordinate von Punkt 2: x₂	4
y-Koordinate von Punkt 2: y₂	5
Abstand der Punkte d	=WURZEL((B3-B1)^2+(B4-B2)^2)

Tabelle zur Kontrolle mit dem Satz des Pythagoras

x-Koordinate von Punkt 1: x₁	1
y-Koordinate von Punkt 1: y₁	1
x-Koordinate von Punkt 2: x₂	4
y-Koordinate von Punkt 2: y₂	5
Änderung von x Δx	=B3-B1
Änderung von y Δy	=B4-B2
Summe der Quadrate Δx²+Δy²	=B5^2+B6^2
Abstand der Punkte d	=WURZEL(B7)

Tabelle für die Steigung m und die Geradengleichung

x-Koordinate von Punkt 1: x₁	1
y-Koordinate von Punkt 1: y₁	5
x-Koordinate von Punkt 2: x₂	3
y-Koordinate von Punkt 2: y₂	2
Steigung m	=(B4-B2)/(B3-B1)
y-Achsenabschnitt b	=B2-B5*B1

Dieselben Formeln wie in Excel (WURZEL und ^2) funktionieren unverändert in Google Tabellen. Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Eingabewerte durch Ihre eigenen Koordinaten.

Mit Python berechnen

import math

x1, y1 = 1.0, 1.0   # Koordinaten von Punkt 1
x2, y2 = 4.0, 5.0   # Koordinaten von Punkt 2

delta_x = x2 - x1                        # Änderung von x
delta_y = y2 - y1                        # Änderung von y
distance = math.hypot(delta_x, delta_y)  # Abstand der Punkte (dasselbe wie √(Δx²+Δy²))

print(f"Abstand der Punkte d: {distance}")

# Zugabe: Steigung und Geradengleichung durch die beiden Punkte (nicht definiert, wenn Δx gleich 0 ist, bei einer vertikalen Gerade)
if delta_x != 0:
    slope = delta_y / delta_x            # Steigung m
    y_intercept = y1 - slope * x1        # y-Achsenabschnitt b
    sign = "+" if y_intercept >= 0 else "-"   # Vorzeichen abtrennen, damit ein negativer Achsenabschnitt nicht als "+ -0.3" erscheint
    print(f"Steigung m: {slope}")
    print(f"y-Achsenabschnitt b: {y_intercept}")
    print(f"Geradengleichung: y = {slope}x {sign} {abs(y_intercept)}")
else:
    print(f"Vertikale Gerade (x = {x1}), die Steigung ist also nicht definiert")

Läuft nur mit der Standardbibliothek. math.hypot berechnet „die Wurzel aus der Summe der Quadrate“ in einem Schritt und ist damit die Abstandsformel selbst. Ändern Sie oben die Koordinaten und führen Sie den Code aus.

Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)

Abstand zweier Punkte \(d\) (die Abstandsformel)

d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)

d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mo>=</mo>
    <msqrt>
      <mrow>
        <msup>
          <mrow><mo>(</mo><msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub><mo>&#x2212;</mo><msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub><mo>)</mo></mrow>
          <mn>2</mn>
        </msup>
        <mo>+</mo>
        <msup>
          <mrow><mo>(</mo><msub><mi>y</mi><mn>2</mn></msub><mo>&#x2212;</mo><msub><mi>y</mi><mn>1</mn></msub><mo>)</mo></mrow>
          <mn>2</mn>
        </msup>
      </mrow>
    </msqrt>
  </mrow>
</math>

d = sqrt((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2)

Sqrt[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2]

d := sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2);

d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2);

d = √((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2)

Warum diese Formel den Abstand liefert (der Satz des Pythagoras)

Δx² + Δy² = d²

\Delta x^2 + \Delta y^2 = d^2

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msup><mrow><mi mathvariant="normal">&#x394;</mi><mi>x</mi></mrow><mn>2</mn></msup>
    <mo>+</mo>
    <msup><mrow><mi mathvariant="normal">&#x394;</mi><mi>y</mi></mrow><mn>2</mn></msup>
    <mo>=</mo>
    <msup><mi>d</mi><mn>2</mn></msup>
  </mrow>
</math>

(Delta x)^2 + (Delta y)^2 = d^2

dx^2 + dy^2 == d^2

dx^2 + dy^2 = d^2;

dx^2 + dy^2 == d^2

Δx^2 + Δy^2 = d^2

Die Steigung \(m\) und die Gleichung \(y = mx + b\) der Geraden durch zwei Punkte

m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁),  y = mx + b (b = y₁ − m·x₁)

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}, \quad y = mx + b, \quad b = y_1 - m x_1

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>m</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><msub><mi>y</mi><mn>2</mn></msub><mo>&#x2212;</mo><msub><mi>y</mi><mn>1</mn></msub></mrow>
      <mrow><msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub><mo>&#x2212;</mo><msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub></mrow>
    </mfrac>
    <mo>,</mo>
    <mi>y</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>m</mi><mi>x</mi>
    <mo>+</mo>
    <mi>b</mi>
    <mo>,</mo>
    <mi>b</mi>
    <mo>=</mo>
    <msub><mi>y</mi><mn>1</mn></msub>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mi>m</mi><msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub>
  </mrow>
</math>

m = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1), y = m x + b, b = y_1 - m x_1

m = (y2 - y1)/(x2 - x1); b = y1 - m*x1; y = m*x + b

m := (y2 - y1)/(x2 - x1); b := y1 - m*x1; y := m*x + b;

m = (y2 - y1)/(x2 - x1); b = y1 - m*x1; y = m*x + b;

m = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1), y = mx + b, b = y_1 - mx_1

Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen

Sie sind ein Assistent für mathematische Berechnungen. Führen Sie die folgende Berechnung tatsächlich mit Python-Code aus und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen des Ausführungsergebnisses (nicht im Kopf rechnen und nicht raten).

Bestimmen Sie für die beiden Punkte (1|1) und (4|5) im Koordinatensystem jeweils Folgendes:
1. Den Abstand d der beiden Punkte (verwenden Sie die Abstandsformel d = √((x2−x1)² + (y2−y1)²))
2. Die Änderung von x, Δx, und die Änderung von y, Δy
3. Die Steigung m der Geraden durch diese beiden Punkte und die Geradengleichung y = mx + b (nennen Sie auch den Wert des y-Achsenabschnitts b)

Zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis.

Anleitung

1

Zahlen eingeben

Geben Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
2

Berechnen

Klicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
3

Ergebnis ablesen

Das Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel