Kreuzprodukt berechnen (Komponenten, Parallelogrammfläche, Normalenvektor)

Geben Sie die Komponenten der beiden Vektoren a und b ein. Die Formel unten ist mit den Eingabefeldern verknüpft, Sie können also auch rechnen, indem Sie die untereinanderstehenden Zahlen direkt darin ändern. Bei Vektoren in der Ebene lassen Sie die Felder der z-Komponenten leer (0).

x-Komponente von a (a₁)

y-Komponente von a (a₂)

z-Komponente von a (a₃)

x-Komponente von b (b₁)

y-Komponente von b (b₂)

z-Komponente von b (b₃)

Dezimalzahlen, negative Zahlen und Brüche wie 3/4 sind erlaubt. Leere Komponenten werden als 0 behandelt.

Ergebnis und Figur

Geben Sie links die Komponenten der beiden Vektoren ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis und eine 3D-Abbildung erscheinen hier.

Inhaltsverzeichnis

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Was Sie auf dieser Seite tun können
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
Anleitung
Formeln und Abbildungen
Symbole und Begriffe
- Symbole
- Begriffe
Was Sie vorab wissen sollten
Mit Excel berechnen
Mit Google Tabellen berechnen
Mit Python berechnen
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
Die Vorteile von DataChef
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Was Sie auf dieser Seite tun können

Geben Sie die Komponenten zweier Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) im Raum ein, und Sie erhalten die Komponenten des Kreuzprodukts \(\vec{a}\times\vec{b}\), mit jedem Schritt der kreuzweisen Multiplikation
Der Betrag \(|\vec{a}\times\vec{b}|\) (der Flächeninhalt des Parallelogramms, das die beiden Vektoren aufspannen) wird sowohl als exakter Wert mit Wurzel angezeigt, etwa \(3\sqrt{6}\), als auch als Dezimalzahl. Der Flächeninhalt des Dreiecks (die Hälfte davon) wird gleichzeitig berechnet
Sie erhalten außerdem den Einheitsnormalenvektor \(\vec{n}\), der orthogonal zu \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) ist, den Winkel \(\theta\) zwischen den beiden Vektoren und eine Prüfung, dass die Skalarprodukte 0 sind (Nachweis der Orthogonalität)
Das Ergebnis wird auch als 3D-Abbildung gezeichnet, die Sie mit der Maus drehen können, sodass Sie sehen, wie das Kreuzprodukt senkrecht auf dem Parallelogramm steht (Rechte-Hand-Regel)
Komponenten dürfen Dezimalzahlen, negative Zahlen oder Brüche wie 3/4 sein. Lassen Sie die z-Komponenten leer (0), können Sie den Rechner auch für Vektoren in der Ebene verwenden
Eine leicht verständliche Erklärung der Formeln sowie Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python finden Sie ebenfalls auf dieser Seite

Das Kreuzprodukt ist nur für Vektoren im Raum (3D) definiert. Bei Vektoren in der Ebene wird die z-Komponente als 0 behandelt, und das Kreuzprodukt hat dann nur eine z-Komponente. In Deutschland wird das Kreuzprodukt je nach Bundesland und Schulart in der Oberstufe (analytische Geometrie) behandelt oder nur kurz erwähnt. In Physik, Ingenieurwissenschaften und 3D-Grafik gehört es zu den ersten grundlegenden Werkzeugen, die man lernt.

Wofür ist diese Berechnung nützlich?

Schattierung in 3D-Grafik und Spielen (bestimmen, wohin eine Fläche zeigt)

In den 3D-Bildern von Spielen und Filmen wird die Oberfläche eines Objekts in viele kleine Dreiecke zerlegt. Der Normalenvektor, der angibt, wohin jedes Dreieck zeigt, wird als Kreuzprodukt zweier seiner Seiten-Vektoren berechnet. Wie die Lichtrichtung zu diesem Normalenvektor steht, entscheidet, ob die Fläche hell oder dunkel wirkt.
Gekrümmte Flächen wirken gleichmäßig beleuchtet, weil die Schattierung Fläche für Fläche aus diesen Normalenvektoren berechnet wird.

Eine Schraube mit dem Schraubenschlüssel anziehen (Drehmoment)

Die Drehwirkung einer Kraft heißt Drehmoment. Es ist das Kreuzprodukt aus dem Vektor vom Drehpunkt zum Angriffspunkt der Kraft und dem Vektor der Kraft. Sein Betrag, \(|\vec{r}||\vec{F}|\sin\theta\), passt zur Alltagserfahrung: „Ein längerer Schraubenschlüssel dreht sich leichter“ und „am besten wirkt es, im rechten Winkel zum Griff zu drücken“.
Kfz-Mechaniker ziehen Radschrauben mit einem Drehmomentschlüssel auf einen vorgegebenen Wert an, weil genau diese Größe kontrolliert werden muss.

Wie sich ein Elektromotor dreht (Kraft im Magnetfeld)

Ein elektrischer Strom im Magnetfeld erfährt eine Kraft, die orthogonal zum Strom und zum Feld ist. Richtung und Größe dieser Kraft ergeben sich aus dem Kreuzprodukt des Vektors für den Strom und des Vektors für das Magnetfeld (bei einer einzelnen Ladung wie einem Elektron ist es das Kreuzprodukt aus Geschwindigkeit und Feld, die Lorentzkraft \(\vec{F} = q\vec{v}\times\vec{B}\)). Diese senkrechte Kraft dreht einen Motor und bewegt die Membran eines Lautsprechers.
Die im Physikunterricht gelernte Drei-Finger-Regel der rechten Hand ist eine Möglichkeit, die Richtung dieses Kreuzprodukts mit der Hand zu finden.

Vermessung und Grundstücksfläche (Fläche aus Koordinaten)

Die Fläche eines Grundstücks wird aus den gemessenen Koordinaten seiner Grenzpunkte berechnet. Gehen Sie die Ecken des Vielecks der Reihe nach durch, berechnen Sie für jedes Paar benachbarter Punkte \(x_1y_2 - x_2y_1\), addieren Sie alles und nehmen Sie die Hälfte des Betrags der Summe. So erhalten Sie die Fläche, ohne jede Seite zu messen. Der Schlüssel ist, die Summanden mit ihren Vorzeichen zu addieren und nicht einzeln den Betrag zu nehmen. Die überschüssigen Teile heben sich dann von selbst auf, und auch ein Grundstück mit einer Einbuchtung (nicht konvex) liefert die richtige Fläche. Das nutzt die \(z\)-Komponente des Kreuzprodukts (den orientierten Flächeninhalt) und ist als Gaußsche Flächenformel oder Trapezformel bekannt.
Dieselbe Idee wird bei der Berechnung von Flurstücksflächen in der Landesvermessung und in Kartensoftware (GIS) verwendet.

Lage von Drohnen und Robotern steuern (die Drehachse bestimmen)

Um eine Drohne oder einen Roboter von „der Richtung, in die er jetzt zeigt“ in „die Richtung, in die er zeigen soll“ zu drehen, müssen Sie festlegen, um welche Achse und um wie viele Grad gedreht wird. Das Kreuzprodukt der beiden Richtungs-Vektoren liefert einen Vektor, der auf beiden senkrecht steht, und das ist die Drehachse selbst. Den Winkel erhält man, indem man den Betrag des Kreuzprodukts (den Teil \(\sin\theta\)) und das Skalarprodukt (den Teil \(\cos\theta\)) kombiniert.
Dieselbe Idee wird für die Flugsteuerung von Drohnen und dafür verwendet, in der 3D-Animation den Kopf oder Arm einer Figur auf ein Ziel zu drehen.

Formeln und Abbildungen

Komponenten des Kreuzprodukts (kreuzweise Multiplikation)

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(\vec{a} \times \vec{b}\) \(=\) \((\) \(a_2 b_3 - a_3 b_2\) \(,\) \(a_3 b_1 - a_1 b_3\) \(,\) \(a_1 b_2 - a_2 b_1\) \()\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

④ \(\vec{a}\times\vec{b}\): Kreuzprodukt \(=\) \((\) ① \(x\)-Komponente (kreuzweise Differenz von \(y\) und \(z\)) \(,\) ② \(y\)-Komponente (kreuzweise Differenz von \(z\) und \(x\)) \(,\) ③ \(z\)-Komponente (kreuzweise Differenz von \(x\) und \(y\)) \()\)

Die Formel in Worten

① Mit \(\vec{a} = (a_1,\ a_2,\ a_3)\) und \(\vec{b} = (b_1,\ b_2,\ b_3)\) bilden Sie zuerst die \(x\)-Komponente, die kreuzweise Differenz von \(y\) und \(z\): \(a_2b_3 - a_3b_2\) ,

② dann die \(y\)-Komponente, die kreuzweise Differenz von \(z\) und \(x\): \(a_3b_1 - a_1b_3\) ,

③ und die \(z\)-Komponente, die kreuzweise Differenz von \(x\) und \(y\): \(a_1b_2 - a_2b_1\) .

④ Der Vektor mit diesen drei Zahlen als Komponenten ist das \(\vec{a}\times\vec{b}\): Kreuzprodukt

Einfaches Beispiel

Das Kreuzprodukt von \(\vec{a} = (1,\ 2,\ 3)\) und \(\vec{b} = (4,\ 5,\ 6)\) ist

\(\vec{a}\times\vec{b}\): Kreuzprodukt \(=\) \((\) \(x\)-Komponente (\(2 \times 6 - 3 \times 5\)) \(,\) \(y\)-Komponente (\(3 \times 4 - 1 \times 6\)) \(,\) \(z\)-Komponente (\(1 \times 5 - 2 \times 4\)) \()\)

\(\vec{a} \times \vec{b} = (2 \times 6 - 3 \times 5,\ \ 3 \times 4 - 1 \times 6,\ \ 1 \times 5 - 2 \times 4)\)

\(= (12 - 15,\ \ 12 - 6,\ \ 5 - 8) = (-3,\ 6,\ -3)\)

Der Kerngedanke

Die drei Komponenten müssen Sie nicht einzeln auswendig lernen, die kreuzweise Multiplikation bildet sie. Stellen Sie sich die Reihenfolge \(x \to y \to z \to x \to y \to z\) vor, die im Kreis herumläuft (man spricht von der zyklischen Reihenfolge). Verdecken Sie den Buchstaben der gesuchten Komponente und lesen Sie die nächsten beiden Buchstaben: bei der \(x\)-Komponente sind das \(y,\ z\), bei der \(y\)-Komponente \(z,\ x\) und bei der \(z\)-Komponente \(x,\ y\). Schreiben Sie nur diese beiden Zeilen von \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) in zwei Spalten und bilden Sie das Produkt der Diagonale nach rechts unten minus das Produkt der Diagonale nach rechts oben. Die Abbildung oben zeigt diese Schritte. Nur die \(y\)-Komponente, \(a_3b_1 - a_1b_3\), sieht im Vergleich zu den anderen verdreht aus. Das liegt daran, dass die Buchstaben in der Reihenfolge \(z,\ x\) gelesen werden und nicht \(x,\ z\). Verwechseln Sie diese Reihenfolge, hat nur die \(y\)-Komponente das falsche Vorzeichen. In Formelsammlungen wird dieselbe Rechnung oft als 3×3-Determinante geschrieben, mit den Einheitsvektoren \(\vec{e}_1,\ \vec{e}_2,\ \vec{e}_3\) in der ersten Zeile und den Komponenten von \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) in den beiden Zeilen darunter. Entwickelt man sie nach der ersten Zeile, ergeben sich genau diese drei Komponenten (das Minuszeichen vor \(\vec{e}_2\) ist der Grund, warum die \(y\)-Komponente verdreht aussieht). Beachten Sie außerdem, dass \(\vec{b} \times \vec{a}\) das entgegengesetzte Vorzeichen von \(\vec{a} \times \vec{b}\) hat (\(\vec{b} \times \vec{a} = -\left( \vec{a} \times \vec{b} \right)\)). Vertauscht man die Reihenfolge, ändert sich das Ergebnis, anders als beim Skalarprodukt kommt es also auf die Reihenfolge an.

Betrag des Kreuzprodukts (\(|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta\))

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(\left| \vec{a} \times \vec{b} \right|\) \(=\) \(\left| \vec{a} \right|\) \(\left| \vec{b} \right|\) \(\sin\theta\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

④ \(|\vec{a}\times\vec{b}|\): Betrag des Kreuzprodukts \(=\) ① \(|\vec{a}|\): Betrag von \(\vec{a}\) ② \(|\vec{b}|\): Betrag von \(\vec{b}\) ③ \(\sin\theta\): Sinus des Winkels \(\theta\) zwischen ihnen

Die Formel in Worten

① Multiplizieren Sie den \(|\vec{a}|\): Betrag von \(\vec{a}\)

② mit dem \(|\vec{b}|\): Betrag von \(\vec{b}\) ,

③ dann mit dem \(\sin\theta\): Sinus des Winkels \(\theta\) zwischen den beiden Vektoren ,

④ und Sie erhalten den \(|\vec{a}\times\vec{b}|\): Betrag des Kreuzprodukts

Einfaches Beispiel

Schließen ein Vektor vom Betrag 4 und ein Vektor vom Betrag 3 einen Winkel von 30° ein, ist der Betrag des Kreuzprodukts

Betrag des Kreuzprodukts \(=\) Betrag von \(\vec{a}\) (4) Betrag von \(\vec{b}\) (3) \(\sin 30^\circ\)

\(\left| \vec{a} \times \vec{b} \right| = 4 \times 3 \times \sin 30^\circ = 4 \times 3 \times \dfrac{1}{2} = 6\)

Der Kerngedanke

Der Flächeninhalt eines Parallelogramms ist „Grundseite × Höhe“. Ist die Grundseite \(|\vec{a}|\), beträgt die Höhe \(|\vec{b}|\sin\theta\) (die gepunktete Linie in der Abbildung oben). \(|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta\) ist also genau der Flächeninhalt des Parallelogramms. Der Winkel \(\theta\) wird zwischen 0° und 180° betrachtet. In diesem Bereich ist \(\sin\theta\) nie negativ, also ist auch \(|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta\) nie negativ und lässt sich direkt als Länge oder Fläche verwenden. (\(\cos\theta\) wird jenseits von 90° negativ, deshalb kann das Skalarprodukt negativ sein.) Das Skalarprodukt ist \(|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\), während der Betrag des Kreuzprodukts \(\sin\theta\) verwendet. Zeigen die beiden Vektoren in dieselbe Richtung (\(\theta = 0^\circ\)) oder in entgegengesetzte Richtungen (\(\theta = 180^\circ\)), ist \(\sin\theta = 0\), und das Kreuzprodukt ist der Nullvektor. Bei einem rechten Winkel (\(\theta = 90^\circ\)) ist \(\sin\theta = 1\), der größte Wert. „Null bei parallelen, am größten bei orthogonalen Vektoren“ ist genau das Gegenteil des Skalarprodukts. Diese Formel ist praktisch, wenn Sie den Winkel kennen. Kennen Sie die Komponenten, geht es schneller, die Komponenten mit der kreuzweisen Multiplikation (Formel 1) zu bestimmen und dann den Betrag zu nehmen, und es schleicht sich kein Rundungsfehler durch den Winkel ein. Dieser Rechner arbeitet ebenfalls exakt mit den Komponenten.

Flächeninhalt von Parallelogramm und Dreieck

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(S\) \(=\) \(\left| \vec{a} \times \vec{b} \right|\)

\(S_{\triangle}\) \(=\) \(\dfrac{1}{2} \left| \vec{a} \times \vec{b} \right|\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

② \(S\): Flächeninhalt des Parallelogramms \(=\) ① \(|\vec{a}\times\vec{b}|\): Betrag des Kreuzprodukts

④ \(S_{\triangle}\): Flächeninhalt des Dreiecks \(=\) ③ halber Betrag des Kreuzprodukts

Die Formel in Worten

① Betrachten Sie das Parallelogramm, dessen zwei Seiten die beiden Vektoren sind. Der \(|\vec{a}\times\vec{b}|\): Betrag des Kreuzprodukts ist genau der

② \(S\): Flächeninhalt des Parallelogramms ,

③ und der halbe Betrag des Kreuzprodukts ist der

④ \(S_{\triangle}\): Flächeninhalt des Dreiecks, dessen zwei Seiten die beiden Vektoren sind

Einfaches Beispiel

Die Flächeninhalte des Parallelogramms und des Dreiecks, die \(\vec{a} = (1,\ 2,\ 3)\) und \(\vec{b} = (4,\ 5,\ 6)\) aufspannen, sind (das Kreuzprodukt ist \((-3,\ 6,\ -3)\) aus Formel 1)

Flächeninhalt des Parallelogramms \(=\) Betrag des Kreuzprodukts \((-3,\ 6,\ -3)\)

\(S = \sqrt{(-3)^{2} + 6^{2} + (-3)^{2}} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6} \approx 7{,}34846922835\)

\(S_{\triangle} = \dfrac{1}{2} \times 3\sqrt{6} = \dfrac{3\sqrt{6}}{2} \approx 3{,}67423461417\)

Der Kerngedanke

Schneidet man ein Parallelogramm entlang einer Diagonale, erhält man zwei kongruente Dreiecke. Der Flächeninhalt des Dreiecks ist also genau die Hälfte des Flächeninhalts des Parallelogramms. Um den Flächeninhalt des Dreiecks aus drei Punkten A, B und C im Raum zu bestimmen, bilden Sie das Kreuzprodukt von \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) und \(\overrightarrow{\mathrm{AC}}\) und halbieren seinen Betrag. Sie müssen nicht die drei Seiten messen und die Heron-Formel verwenden; kennen Sie die Koordinaten, erhalten Sie die Fläche. Das ist eine Stärke des Kreuzprodukts. Beträge haben oft große Zahlen unter der Wurzel, etwa \(\sqrt{54}\). Suchen Sie nach einer Quadratzahl, etwa \(54 = 9 \times 6\), und vereinfachen Sie zu \(3\sqrt{6}\) (die Regel lautet, jeden möglichen Faktor vor die Wurzel zu ziehen). Dieser Rechner zeigt sowohl die vereinfachte Wurzel als auch die Dezimalzahl.

Einheitsnormalenvektor (orthogonal zu beiden, Länge 1)

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(\vec{n}\) \(=\) \(\dfrac{1}{\left| \vec{a} \times \vec{b} \right|}\) \(\left( \vec{a} \times \vec{b} \right)\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(\vec{n}\): Einheitsnormalenvektor \(=\) ② durch den Betrag teilen (setzt die Länge auf 1) ① \(\vec{a}\times\vec{b}\): Kreuzprodukt

Die Formel in Worten

① Nehmen Sie das \(\vec{a}\times\vec{b}\): Kreuzprodukt und

② teilen Sie es durch seinen Betrag \(|\vec{a}\times\vec{b}|\) (= mit 1 durch den Betrag multiplizieren) . Die Richtung bleibt gleich, nur die Länge wird 1, und Sie erhalten den

③ \(\vec{n}\): Einheitsnormalenvektor

Einfaches Beispiel

Ist das Kreuzprodukt \((-3,\ 6,\ -3)\) und sein Betrag \(3\sqrt{6}\), ist der Einheitsnormalenvektor

\(\vec{n}\): Einheitsnormalenvektor \(=\) durch den Betrag \(3\sqrt{6}\) teilen Kreuzprodukt \((-3,\ 6,\ -3)\)

\(\vec{n} = \dfrac{1}{3\sqrt{6}}(-3,\ 6,\ -3) \approx (-0{,}408248290464,\ 0{,}816496580928,\ -0{,}408248290464)\)

\(\vec{a} \cdot \left( \vec{a} \times \vec{b} \right) = 1 \times (-3) + 2 \times 6 + 3 \times (-3) = 0\)

Der Kerngedanke

Das Kreuzprodukt ist orthogonal zu beiden ursprünglichen Vektoren. Berechnen Sie die Skalarprodukte, erhalten Sie immer \(\vec{a} \cdot (\vec{a}\times\vec{b}) = 0\) und \(\vec{b} \cdot (\vec{a}\times\vec{b}) = 0\) (ein Skalarprodukt von 0 zeigt, dass die Vektoren orthogonal sind). Dieser Rechner prüft, dass beide 0 sind, und zeigt sie im Ergebnis an. Ein Vektor, der auf einer Ebene senkrecht steht, heißt Normalenvektor, und ein auf die Länge 1 gebrachter Normalenvektor ist ein Einheitsnormalenvektor. Er lässt die Länge weg und behält nur die Richtung, was Sie brauchen, wenn nur zählt, „wohin die Fläche zeigt“, etwa bei der Schattierung in der 3D-Grafik. Zu einer Ebene gibt es zwei senkrechte Richtungen, vorn und hinten, und Ihre rechte Hand entscheidet, welche Sie erhalten. Krümmen Sie die Finger Ihrer rechten Hand von \(\vec{a}\) nach \(\vec{b}\); der Daumen zeigt dann in die Richtung von \(\vec{a}\times\vec{b}\) (die Rechte-Hand-Regel). \(\vec{b}\times\vec{a}\) zeigt in die entgegengesetzte Richtung, zur Rückseite der Ebene. Eine Ebene hat also zwei Einheitsnormalenvektoren, \(\vec{n}\) und \(-\vec{n}\), und beide sind „Länge 1 und orthogonal zur Ebene“. Welchen Sie erhalten, hängt von der Reihenfolge ab, in der Sie \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) multiplizieren; dieser Rechner zeigt den in Richtung von \(\vec{a}\times\vec{b}\). Brauchen Sie ein eindeutiges Ergebnis, legen Sie selbst eine Regel fest, etwa „der mit positiver \(z\)-Komponente“.

Bei Vektoren in der Ebene (die Formel für die Dreiecksfläche)

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(S_{\triangle}\) \(=\) \(\dfrac{1}{2}\) \(\Bigl|\) \(x_1 y_2\) \(-\) \(x_2 y_1\) \(\Bigr|\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

④ \(S_{\triangle}\): Flächeninhalt des Dreiecks OAB \(=\) ③ die Hälfte des Parallelogramms \(\Bigl|\) ① \(x\)-Koordinate von A mal \(y\)-Koordinate von B \(-\) ② \(x\)-Koordinate von B mal \(y\)-Koordinate von A \(\Bigr|\)

Die Formel in Worten

① Für drei Punkte \(\mathrm{O}(0 \mid 0)\), \(\mathrm{A}(x_1 \mid y_1)\) und \(\mathrm{B}(x_2 \mid y_2)\) in der Ebene nehmen Sie das \(x_1y_2\): \(x\)-Koordinate von A mal \(y\)-Koordinate von B ,

② ziehen das \(x_2y_1\): \(x\)-Koordinate von B mal \(y\)-Koordinate von A ab und nehmen den Betrag (ein Minuszeichen lassen Sie weg).

③ Teilen Sie durch 2, um die Hälfte des Parallelogramms zu nehmen und Sie erhalten den

④ \(S_{\triangle}\): Flächeninhalt des Dreiecks OAB

Einfaches Beispiel

Der Flächeninhalt des Dreiecks aus \(\mathrm{O}(0 \mid 0)\), \(\mathrm{A}(4 \mid 1)\) und \(\mathrm{B}(1 \mid 3)\) ist

Dreiecksfläche \(=\) die Hälfte des Parallelogramms \(\Bigl|\) A-\(x\) mal B-\(y\) (\(4 \times 3\)) \(-\) B-\(x\) mal A-\(y\) (\(1 \times 1\)) \(\Bigr|\)

\(S_{\triangle} = \dfrac{1}{2}\left| 4 \times 3 - 1 \times 1 \right| = \dfrac{1}{2}\left| 12 - 1 \right| = \dfrac{11}{2} = 5{,}5\)

Der Kerngedanke

Die Vektoren in der Ebene \(\vec{a} = (x_1,\ y_1)\) und \(\vec{b} = (x_2,\ y_2)\) lassen sich als Vektoren im Raum \((x_1,\ y_1,\ 0)\) und \((x_2,\ y_2,\ 0)\) mit der \(z\)-Komponente 0 behandeln. Bilden Sie ihr Kreuzprodukt, sind die \(x\)- und die \(y\)-Komponente 0, und es bleibt nur die \(z\)-Komponente \(x_1y_2 - x_2y_1\) übrig. Mit anderen Worten: Die bekannte Formel für die Dreiecksfläche \(S_{\triangle} = \dfrac{1}{2}|x_1y_2 - x_2y_1|\) ist genau die Hälfte des Betrags der \(z\)-Komponente des Kreuzprodukts. Lassen Sie in diesem Rechner die Felder der \(z\)-Komponenten leer (0), um das selbst zu sehen. Auch das Vorzeichen von \(x_1y_2 - x_2y_1\) vor dem Bilden des Betrags trägt Information. Ist es positiv, ist die Drehung von \(\vec{a}\) nach \(\vec{b}\) gegen den Uhrzeigersinn; ist es negativ, im Uhrzeigersinn. Dieser orientierte Flächeninhalt dient dazu, die Fläche eines Vielecks aus seinen Koordinaten in einem Durchgang zu bestimmen (die Gaußsche Flächenformel, auch Trapezformel genannt, wie sie in der Vermessung verwendet wird).

Das Kreuzprodukt \(\vec{a}\times\vec{b}\) macht aus zwei Vektoren im Raum einen neuen Vektor. Seine Komponenten entstehen aus drei kreuzweisen Subtraktionen. Seine Richtung ist orthogonal zu beiden ursprünglichen Vektoren (Rechte-Hand-Regel), und sein Betrag \(|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta\) ist gleich dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das die beiden Vektoren aufspannen. Die Hälfte davon ist der Flächeninhalt des Dreiecks, und teilt man das Kreuzprodukt durch seinen Betrag, erhält man den Einheitsnormalenvektor.

Symbole und Begriffe

Symbole

\(\vec{a}\)	Vektor a	Das Symbol für eine Größe mit Richtung und Betrag (Länge). Der Pfeil über dem Buchstaben markiert sie als Vektor. In Hochschullehrbüchern und in der Physik werden Vektoren oft fett gedruckt (a) statt mit Pfeil.
\(a_1,\ a_2,\ a_3\)	a Index 1, a Index 2, a Index 3	Die Komponenten des Vektors \(\vec{a}\): drei Zahlen, die angeben, wie weit er in \(x\)-, \(y\)- und \(z\)-Richtung geht. Die kleine Zahl unten rechts (der Index) sagt, um welche Komponente es geht. Manche Bücher schreiben stattdessen \(a_x,\ a_y,\ a_z\).
\(\vec{a} \times \vec{b}\)	a Kreuz b	Das Kreuzprodukt (auch Vektorprodukt genannt). Es ist nach dem Malkreuz \(\times\) benannt, das es verwendet. Das Ergebnis ist ein Vektor, keine Zahl.
\(\vec{a} \cdot \vec{b}\)	a Punkt b	Das Skalarprodukt. Es wird mit einem Mal-Punkt geschrieben. Sein Ergebnis ist eine Zahl (ein Skalar). Seine Schreibweise ähnelt der des Kreuzprodukts, halten Sie die beiden also auseinander.
\(\left\| \vec{a} \right\|\)	Betrag von a	Der Betrag (die Länge) eines Vektors, also die Länge des Pfeils. Aus den Komponenten ergibt er sich als \(\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}\), mit dem Satz des Pythagoras. Er verwendet dieselben Striche wie der Betrag einer Zahl, und beide beschreiben einen Abstand vom Ursprung.
\(\theta\)	Theta	Der Winkel zwischen den beiden Vektoren. Ein griechischer Buchstabe, der oft für Winkel verwendet wird (viele deutsche Schulbücher schreiben \(\varphi\)). Beim Kreuzprodukt wird er zwischen 0° und 180° betrachtet.
\(\sin\theta\)	Sinus Theta	Der Sinus des Winkels \(\theta\). Im rechtwinkligen Dreieck ist er das Verhältnis „Gegenkathete ÷ Hypotenuse“, kurz \(\sin\) geschrieben. Zwischen 0° und 180° ist er nie negativ: \(\sin 0^\circ = 0\), \(\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}\), \(\sin 90^\circ = 1\), \(\sin 180^\circ = 0\).
\(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\)	Vektor AB	Der Vektor, der im Punkt A beginnt und im Punkt B endet. Seine Komponenten sind „Koordinaten des Endpunkts − Koordinaten des Anfangspunkts“. Um die Fläche eines Dreiecks aus drei Punkten zu bestimmen, bilden Sie zuerst auf diese Weise zwei Seiten-Vektoren.
\(S\)	S	Ein Buchstabe, der oft für den Flächeninhalt verwendet wird (\(A\) ist in deutschen Büchern ebenfalls üblich). Auf dieser Seite steht er für den Flächeninhalt des Parallelogramms.
\(S_{\triangle}\)	S Dreieck	Der Flächeninhalt des Dreiecks. Ein kleines Dreieckszeichen steht bei \(S\), um ihn vom Flächeninhalt des Parallelogramms zu unterscheiden.
\(\vec{n}\)	Vektor n	Der Normalenvektor. Üblich ist \(n\), der erste Buchstabe von „normal“ (senkrecht). Auf dieser Seite ist es der Einheitsnormalenvektor mit der Länge 1.
\(\vec{0}\)	Nullvektor	Der Vektor, dessen Komponenten alle 0 sind (der Nullvektor). Sein Betrag ist 0, und er hat keine Richtung. Sind zwei Vektoren parallel, ist ihr Kreuzprodukt dieser Nullvektor.
\(\sqrt{\phantom{a}}\)	Wurzel	Das Wurzelzeichen. \(\sqrt{54}\) ist „die positive Zahl, die quadriert 54 ergibt“. Steckt unter der Wurzel eine Quadratzahl (\(4,\ 9,\ 16, \dots\)), ziehen Sie sie vor die Wurzel, um zu vereinfachen, etwa \(\sqrt{54} = \sqrt{9 \times 6} = 3\sqrt{6}\).

Begriffe

Vektor	Eine Größe mit Richtung und Betrag. Zwei Pfeile mit gleicher Richtung und Länge zählen als derselbe Vektor, wo auch immer sie gezeichnet sind. Größen, die sagen „in welche Richtung und wie viel“, etwa Kraft, Geschwindigkeit und Wind, sind Vektoren.
Komponentendarstellung	Die Schreibweise, die einen Vektor als Liste angibt, wie weit er in \(x\)-, \(y\)- und \(z\)-Richtung geht, etwa \((1,\ 2,\ 3)\). In der Schule schreibt man ihn meist als Spaltenvektor (untereinander) mit derselben Bedeutung.
Kreuzprodukt	Eine Rechnung, die aus zwei Vektoren im Raum einen neuen Vektor macht. Man nennt es auch Vektorprodukt. Der neue Vektor ist orthogonal zu beiden ursprünglichen Vektoren, und sein Betrag ist gleich dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das sie aufspannen.
Skalarprodukt	Eine Rechnung, die aus zwei Vektoren eine Zahl (einen Skalar) macht. Sie ist gleich \(\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\cos\theta\), und ist sie 0, sind die beiden Vektoren orthogonal. Sie unterscheidet sich vom Kreuzprodukt, dessen Ergebnis ein Vektor ist.
Betrag	Die Länge eines Vektors. Für die Komponenten \((a_1,\ a_2,\ a_3)\) ist er \(\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}\), der auf den Raum erweiterte Satz des Pythagoras. Man nennt ihn auch Norm.
Winkel zwischen zwei Vektoren	Der Winkel, der zwischen zwei Vektoren entsteht, wenn sie vom selben Anfangspunkt aus gezeichnet werden. Er wird zwischen 0° und 180° betrachtet.
Parallelogramm	Ein Viereck, dessen zwei Paare gegenüberliegender Seiten parallel sind. Verwendet man zwei Vektoren als zwei seiner Seiten, ist sein Flächeninhalt der Betrag des Kreuzprodukts.
Normalenvektor	Ein Vektor, der auf einer Ebene (oder Geraden) senkrecht steht. Er zeigt, wohin die Fläche gerichtet ist, und das Kreuzprodukt liefert ihn leicht aus zwei Vektoren, die in der Ebene liegen.
Einheitsvektor	Ein Vektor der Länge 1. Teilt man einen Vektor durch seinen eigenen Betrag, bleibt die Richtung erhalten, und die Länge wird 1, es entsteht ein Einheitsvektor.
Einheitsnormalenvektor	Ein Normalenvektor auf die Länge 1 gebracht. Man verwendet ihn, wenn man nur die Richtung haben möchte.
kreuzweise Multiplikation	Eine Rechenweise für vier Zahlen in zwei Zeilen: entlang der beiden Diagonalen (nach rechts unten und nach rechts oben) multiplizieren und subtrahieren. Es ist das Muster \(ad - bc\) der 2×2-Determinante, und jede Komponente des Kreuzprodukts hat diese Form.
Rechte-Hand-Regel	Die Regel, die die Richtung des Kreuzprodukts angibt. Krümmen Sie die Finger Ihrer rechten Hand von \(\vec{a}\) nach \(\vec{b}\); der Daumen zeigt in die Richtung von \(\vec{a}\times\vec{b}\). Ein Koordinatensystem, das dieser Regel folgt, heißt Rechtssystem. In der Physik spricht man auch von der Drei-Finger-Regel der rechten Hand.
Nullvektor	Der Vektor, dessen Komponenten alle 0 sind. Sein Betrag ist 0, und er hat keine Richtung. Sind zwei Vektoren parallel, ist ihr Kreuzprodukt der Nullvektor.
orthogonal	Wenn der Winkel zwischen zwei Vektoren 90° beträgt (auch senkrecht genannt). Man prüft es daran, dass das Skalarprodukt 0 ist.
parallel	Wenn zwei Vektoren in dieselbe oder genau entgegengesetzte Richtung zeigen. Sie können dann auf derselben Geraden liegen und ein Parallelogramm nicht aufspannen (es fällt flach zusammen mit dem Flächeninhalt 0).
orientierter Flächeninhalt	Ein Flächeninhalt, der je nach Drehrichtung ein Plus- oder Minuszeichen erhält. In der Ebene ist \(x_1y_2 - x_2y_1\) ein orientierter Flächeninhalt: positiv gegen den Uhrzeigersinn und negativ im Uhrzeigersinn. Sein Betrag ist der gewöhnliche Flächeninhalt.
Determinante	Eine einzelne Zahl, die sich aus in einem Quadrat angeordneten Zahlen ergibt. Die 2×2-Determinante \(\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc\) ist genau die kreuzweise Multiplikation, und jede Komponente des Kreuzprodukts hat die Form dieser 2×2-Determinante.
zyklische Reihenfolge	Eine Reihenfolge, die im Kreis herumläuft und zum Anfang zurückkehrt, wie in \(x \to y \to z \to x\). Die drei Komponenten des Kreuzprodukts wiederholen in dieser zyklischen Reihenfolge dieselbe Form.
Komponente	Eine der drei Zahlen, die angeben, wie weit ein Vektor in \(x\)-, \(y\)- und \(z\)-Richtung geht (auch Koordinate genannt).
Sinus	Für einen Winkel das Verhältnis „Gegenkathete ÷ Hypotenuse“, geschrieben \(\sin\). Zwischen 0° und 180° nie negativ.

Was Sie vorab wissen sollten

Hier finden Sie zusammengestellt, was Ihnen hilft, die Berechnung auf dieser Seite mit echtem Verständnis zu nutzen und nicht nur den Knopf zu drücken.
Wenn Sie nicht weiterkommen, ist es der schnellste Weg, diese Themen noch einmal durchzugehen.

Was ein Vektor ist (Oberstufe, Klasse 11–12, 16–18 Jahre)	Wissen, dass ein Vektor eine Größe mit Richtung und Betrag ist und als Pfeil gezeichnet werden kann (eine Größe, die sagt „in welche Richtung und wie viel“, wie Kraft oder Geschwindigkeit) Einen Vektor mit Komponenten wie \((1,\ 2,\ 3)\) schreiben können (wie weit er in \(x\)-, \(y\)- und \(z\)-Richtung geht)
Koordinaten im Raum (Klasse 6 bis Oberstufe, ab 11 Jahren)	Wissen, dass eine Höhe \(z\) zu den Koordinaten der Ebene \((x,\ y)\) hinzukommt und \((x,\ y,\ z)\) die Lage eines Punktes im Raum festlegt Sich vorstellen können, dass sich die \(x\)-, \(y\)- und \(z\)-Achse im rechten Winkel schneiden
Der Satz des Pythagoras und der Betrag eines Vektors (Klasse 8–9, 13–15 Jahre, bis Oberstufe)	Wissen, dass im rechtwinkligen Dreieck \(a^2 + b^2 = c^2\) gilt Wissen, dass der Betrag eines Vektors im Raum \(\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}\) ist (der Satz des Pythagoras, zweimal angewendet)
Rechnen mit Quadratwurzeln (Klasse 9, 14–15 Jahre)	Eine Wurzel vereinfachen können, indem man eine Quadratzahl vor die Wurzel zieht, etwa \(\sqrt{54} = \sqrt{9 \times 6} = 3\sqrt{6}\) Den ungefähren Dezimalwert einer Wurzel kennen, etwa \(\sqrt{3} \approx 1{,}732\)
Das Skalarprodukt (Oberstufe, Klasse 11–12, 16–18 Jahre)	Wissen, dass das Skalarprodukt \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) gleich \(a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3\) ist und das Ergebnis eine Zahl ist Wissen, dass zwei Vektoren orthogonal sind, wenn ihr Skalarprodukt 0 ist (diese Seite nutzt das, um zu prüfen, dass das Kreuzprodukt senkrecht steht)
Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck (Klasse 9–10, 14–16 Jahre)	Wissen, dass \(\sin\theta\) im rechtwinkligen Dreieck das Verhältnis „Gegenkathete ÷ Hypotenuse“ ist Wichtige Werte wie \(\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}\) und \(\sin 90^\circ = 1\) im Kopf haben
Flächeninhalt von Parallelogrammen und Dreiecken (Klasse 6, 11–12 Jahre)	Wissen, dass der Flächeninhalt eines Parallelogramms „Grundseite × Höhe“ ist Wissen, dass ein Dreieck genau den halben Flächeninhalt eines Parallelogramms mit gleicher Grundseite und Höhe hat

Mit Excel berechnen

Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein. Sie funktioniert unverändert.

Tabelle zur Berechnung der Komponenten des Kreuzprodukts

x-Komponente von a (a₁)	1
y-Komponente von a (a₂)	2
z-Komponente von a (a₃)	3
x-Komponente von b (b₁)	4
y-Komponente von b (b₂)	5
z-Komponente von b (b₃)	6
x-Komponente von a×b (a₂b₃ − a₃b₂)	=B2B6-B3B5
y-Komponente von a×b (a₃b₁ − a₁b₃)	=B3B4-B1B6
z-Komponente von a×b (a₁b₂ − a₂b₁)	=B1B5-B2B4

Tabelle zur Prüfung, dass der Betrag = |a||b|sinθ ist

x-Komponente von a (a₁)	1
y-Komponente von a (a₂)	2
z-Komponente von a (a₃)	3
x-Komponente von b (b₁)	4
y-Komponente von b (b₂)	5
z-Komponente von b (b₃)	6
Betrag \|a×b\| (aus den Komponenten)	=WURZEL((B2B6-B3B5)^2+(B3B4-B1B6)^2+(B1B5-B2B4)^2)
Betrag von a, \|a\|	=WURZEL(B1^2+B2^2+B3^2)
Betrag von b, \|b\|	=WURZEL(B4^2+B5^2+B6^2)
Skalarprodukt a·b	=B1B4+B2B5+B3*B6
Winkel θ (Grad)	=GRAD(ARCCOS(B10/(B8*B9)))
\|a\|\|b\|sinθ	=B8B9SIN(BOGENMASS(B11))

Tabelle zur Berechnung von Parallelogramm- und Dreiecksfläche

x-Komponente von a×b	-3
y-Komponente von a×b	6
z-Komponente von a×b	-3
Parallelogrammfläche S (= Betrag)	=WURZEL(B1^2+B2^2+B3^2)
Dreiecksfläche (halbes Parallelogramm)	=B4/2

Tabelle zur Berechnung des Einheitsnormalenvektors

x-Komponente von a×b	-3
y-Komponente von a×b	6
z-Komponente von a×b	-3
Betrag \|a×b\|	=WURZEL(B1^2+B2^2+B3^2)
x-Komponente des Einheitsnormalenvektors	=B1/B4
y-Komponente des Einheitsnormalenvektors	=B2/B4
z-Komponente des Einheitsnormalenvektors	=B3/B4

Tabelle zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks in der Ebene

x-Koordinate von A (x₁)	4
y-Koordinate von A (y₁)	1
x-Koordinate von B (x₂)	1
y-Koordinate von B (y₂)	3
z-Komponente des Kreuzprodukts (x₁y₂ − x₂y₁)	=B1B4-B3B2
Fläche des Dreiecks OAB	=ABS(B5)/2

Nach dem Einfügen sind die oberen Zeilen (die Komponenten der Vektoren) Ihre Eingaben, und die unteren Zeilen werden automatisch berechnet.
„*“ ist die Multiplikation, „^“ eine Potenz und WURZEL die Quadratwurzel-Funktion. Die erste Tabelle verwendet a = (1 ; 2 ; 3) und b = (4 ; 5 ; 6), und das Ergebnis ist (−3 ; 6 ; −3).
Die zweite Tabelle prüft, dass „der aus den Komponenten bestimmte Betrag“ und „der Wert aus |a||b|sinθ“ übereinstimmen. B7 und B12 ergeben beide 7,348469… (der Winkel beträgt etwa 12,93°).
In der dritten Tabelle ist die Parallelogrammfläche 7,348469… und die Dreiecksfläche die Hälfte davon, 3,674234…. In der vierten Tabelle ist der Einheitsnormalenvektor (−0,408248… ; 0,816497… ; −0,408248…).
Die fünfte Tabelle ist der Fall von Vektoren in der Ebene mit der z-Komponente 0. Die Fläche des Dreiecks mit O(0 | 0), A(4 | 1) und B(1 | 3) ist 5,5.

Mit Google Tabellen berechnen

Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein. Sie funktioniert unverändert.

Tabelle zur Berechnung der Komponenten des Kreuzprodukts

x-Komponente von a (a₁)	1
y-Komponente von a (a₂)	2
z-Komponente von a (a₃)	3
x-Komponente von b (b₁)	4
y-Komponente von b (b₂)	5
z-Komponente von b (b₃)	6
x-Komponente von a×b (a₂b₃ − a₃b₂)	=B2B6-B3B5
y-Komponente von a×b (a₃b₁ − a₁b₃)	=B3B4-B1B6
z-Komponente von a×b (a₁b₂ − a₂b₁)	=B1B5-B2B4

Tabelle zur Prüfung, dass der Betrag = |a||b|sinθ ist

x-Komponente von a (a₁)	1
y-Komponente von a (a₂)	2
z-Komponente von a (a₃)	3
x-Komponente von b (b₁)	4
y-Komponente von b (b₂)	5
z-Komponente von b (b₃)	6
Betrag \|a×b\| (aus den Komponenten)	=WURZEL((B2B6-B3B5)^2+(B3B4-B1B6)^2+(B1B5-B2B4)^2)
Betrag von a, \|a\|	=WURZEL(B1^2+B2^2+B3^2)
Betrag von b, \|b\|	=WURZEL(B4^2+B5^2+B6^2)
Skalarprodukt a·b	=B1B4+B2B5+B3*B6
Winkel θ (Grad)	=GRAD(ARCCOS(B10/(B8*B9)))
\|a\|\|b\|sinθ	=B8B9SIN(BOGENMASS(B11))

Tabelle zur Berechnung von Parallelogramm- und Dreiecksfläche

x-Komponente von a×b	-3
y-Komponente von a×b	6
z-Komponente von a×b	-3
Parallelogrammfläche S (= Betrag)	=WURZEL(B1^2+B2^2+B3^2)
Dreiecksfläche (halbes Parallelogramm)	=B4/2

Tabelle zur Berechnung des Einheitsnormalenvektors

x-Komponente von a×b	-3
y-Komponente von a×b	6
z-Komponente von a×b	-3
Betrag \|a×b\|	=WURZEL(B1^2+B2^2+B3^2)
x-Komponente des Einheitsnormalenvektors	=B1/B4
y-Komponente des Einheitsnormalenvektors	=B2/B4
z-Komponente des Einheitsnormalenvektors	=B3/B4

Tabelle zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks in der Ebene

x-Koordinate von A (x₁)	4
y-Koordinate von A (y₁)	1
x-Koordinate von B (x₂)	1
y-Koordinate von B (y₂)	3
z-Komponente des Kreuzprodukts (x₁y₂ − x₂y₁)	=B1B4-B3B2
Fläche des Dreiecks OAB	=ABS(B5)/2

Dieselben Formeln wie in Excel funktionieren unverändert (WURZEL, ARCCOS, GRAD, BOGENMASS und ABS heißen in Google Tabellen genauso). Kopieren Sie die gesamte Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Komponenten durch Ihre eigenen Zahlen.

Mit Python berechnen

from fractions import Fraction
import math

# Vektorkomponenten (ein Bruch wie 3/4 wird als Fraction(3, 4) geschrieben)
a = (Fraction(1), Fraction(2), Fraction(3))
b = (Fraction(4), Fraction(5), Fraction(6))

def cross(u, v):
    # Kreuzprodukt (kreuzweise Multiplikation), in der Reihenfolge x, y, z gebildet
    return (u[1] * v[2] - u[2] * v[1],
            u[2] * v[0] - u[0] * v[2],
            u[0] * v[1] - u[1] * v[0])

def dot(u, v):
    return u[0] * v[0] + u[1] * v[1] + u[2] * v[2]

c = cross(a, b)
area = math.sqrt(dot(c, c))       # Parallelogrammfläche (= Betrag des Kreuzprodukts)

print(f"Kreuzprodukt a×b = ({c[0]}, {c[1]}, {c[2]})")
print(f"Parallelogrammfläche: {area}")
print(f"Dreiecksfläche: {area / 2}")
print(f"Orthogonalitätsprüfung (beide sind 0): {dot(a, c)}, {dot(b, c)}")

Mit dem Modul fractions der Standardbibliothek bleibt die Rechnung exakt und ohne Rundungsfehler, auch wenn die Komponenten Brüche sind. Dieses Beispiel ist das Kreuzprodukt von a = (1, 2, 3) und b = (4, 5, 6). Beim Ausführen wird das Kreuzprodukt (-3, 6, -3), die Parallelogrammfläche (etwa 7,348), die Dreiecksfläche (etwa 3,674) und für die Orthogonalitätsprüfung „0, 0“ ausgegeben (Python schreibt Dezimalzahlen mit Punkt und mit mehr Stellen). Ändern Sie die Komponenten und führen Sie den Code erneut aus.

Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)

Komponenten des Kreuzprodukts (kreuzweise Multiplikation)

a×b = (a₂b₃ − a₃b₂, a₃b₁ − a₁b₃, a₁b₂ − a₂b₁)

\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} a_2 b_3 - a_3 b_2 \\ a_3 b_1 - a_1 b_3 \\ a_1 b_2 - a_2 b_1 \end{pmatrix}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>=</mo>
    <mo>(</mo>
    <mrow>
      <msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub><msub><mi>b</mi><mn>3</mn></msub>
      <mo>&#x2212;</mo>
      <msub><mi>a</mi><mn>3</mn></msub><msub><mi>b</mi><mn>2</mn></msub>
    </mrow>
    <mo>,</mo>
    <mrow>
      <msub><mi>a</mi><mn>3</mn></msub><msub><mi>b</mi><mn>1</mn></msub>
      <mo>&#x2212;</mo>
      <msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>b</mi><mn>3</mn></msub>
    </mrow>
    <mo>,</mo>
    <mrow>
      <msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>b</mi><mn>2</mn></msub>
      <mo>&#x2212;</mo>
      <msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub><msub><mi>b</mi><mn>1</mn></msub>
    </mrow>
    <mo>)</mo>
  </mrow>
</math>

vec a xx vec b = (a_2 b_3 - a_3 b_2, a_3 b_1 - a_1 b_3, a_1 b_2 - a_2 b_1)

Cross[{a1, a2, a3}, {b1, b2, b3}]

LinearAlgebra:-CrossProduct(Vector([a1, a2, a3]), Vector([b1, b2, b3]));

c = cross(a, b);

a⃗×b⃗ = (a_2 b_3 − a_3 b_2, a_3 b_1 − a_1 b_3, a_1 b_2 − a_2 b_1)

Betrag des Kreuzprodukts (\(|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta\))

|a×b| = |a||b|sinθ

\left| \vec{a} \times \vec{b} \right| = \left| \vec{a} \right| \left| \vec{b} \right| \sin\theta

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mo>|</mo>
    <mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>|</mo>
    <mo>=</mo>
    <mo>|</mo><mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover><mo>|</mo>
    <mo>|</mo><mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover><mo>|</mo>
    <mi>sin</mi><mo>&#x2061;</mo><mi>&#x3B8;</mi>
  </mrow>
</math>

|vec a xx vec b| = |vec a| |vec b| sin theta

Norm[Cross[a, b]] == Norm[a] Norm[b] Sin[theta]

LinearAlgebra:-Norm(LinearAlgebra:-CrossProduct(a, b), 2);

m = norm(cross(a, b));

|a⃗×b⃗| = |a⃗||b⃗| sin⁡θ

Flächeninhalt von Parallelogramm und Dreieck

S = |a×b|,  S△ = |a×b| ÷ 2

S = \left| \vec{a} \times \vec{b} \right|,\quad S_{\triangle} = \frac{1}{2} \left| \vec{a} \times \vec{b} \right|

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>S</mi>
    <mo>=</mo>
    <mo>|</mo>
    <mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>|</mo>
    <mo>,</mo>
    <msub><mi>S</mi><mo>&#x25B3;</mo></msub>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac>
    <mo>|</mo>
    <mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>|</mo>
  </mrow>
</math>

S = |vec a xx vec b|, S_triangle = 1/2 |vec a xx vec b|

area = Norm[Cross[a, b]]; triangle = area/2

S := LinearAlgebra:-Norm(LinearAlgebra:-CrossProduct(a, b), 2);

S = norm(cross(a, b)); tri = S / 2;

S = |a⃗×b⃗|,  S_△ = 1/2 |a⃗×b⃗|

Einheitsnormalenvektor (orthogonal zu beiden, Länge 1)

n = (a×b) ÷ |a×b|

\vec{n} = \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{\left| \vec{a} \times \vec{b} \right|}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mover><mi>n</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow>
        <mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
        <mo>&#xD7;</mo>
        <mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
      </mrow>
      <mrow>
        <mo>|</mo>
        <mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
        <mo>&#xD7;</mo>
        <mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
        <mo>|</mo>
      </mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

vec n = (vec a xx vec b) / |vec a xx vec b|

n = Normalize[Cross[a, b]]

n := LinearAlgebra:-Normalize(LinearAlgebra:-CrossProduct(a, b), 2);

n = cross(a, b) / norm(cross(a, b));

n⃗ = (a⃗×b⃗)/|a⃗×b⃗|

Bei Vektoren in der Ebene (die Formel für die Dreiecksfläche)

S△ = |x₁y₂ − x₂y₁| ÷ 2

S_{\triangle} = \frac{1}{2} \left| x_1 y_2 - x_2 y_1 \right|

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>S</mi><mo>&#x25B3;</mo></msub>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac>
    <mo>|</mo>
    <msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>y</mi><mn>2</mn></msub>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub><msub><mi>y</mi><mn>1</mn></msub>
    <mo>|</mo>
  </mrow>
</math>

S_triangle = 1/2 |x_1 y_2 - x_2 y_1|

Abs[x1*y2 - x2*y1]/2

S := abs(x1*y2 - x2*y1)/2;

S = abs(x1*y2 - x2*y1) / 2;

S_△ = 1/2 |x_1 y_2 − x_2 y_1|

Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen

Sie sind ein Assistent für Berechnungen mit Vektoren (Geometrie im Raum). Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort ausschließlich auf die Zahlen aus dem Ergebnis der Ausführung (antworten Sie nicht durch Kopfrechnen oder Raten).

Bestimmen Sie für die Vektoren a = (1, 2, 3) und b = (4, 5, 6) Folgendes.
1. Die Komponenten des Kreuzprodukts a×b (zeigen Sie auch die Schritte der kreuzweisen Multiplikation)
2. Den Betrag |a×b| (als exakten Wert mit vereinfachter Wurzel und als Dezimalzahl)
3. Die Flächeninhalte des Parallelogramms und des Dreiecks, die a und b aufspannen
4. Die Werte von a·(a×b) und b·(a×b), um zu prüfen, dass das Kreuzprodukt auf beiden senkrecht steht

Berechnen Sie in Python die Komponenten exakt mit dem Modul fractions der Standardbibliothek; die Wurzel dürfen Sie mit sympy vereinfachen. Zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ergebnis der Ausführung.

Anleitung

1

Zahlen eingeben

Geben Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
2

Berechnen

Klicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
3

Ergebnis ablesen

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Kreuzprodukt berechnen (Komponenten, Parallelogrammfläche, Normalenvektor)

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