Kreuzprodukt berechnen – Vektorprodukt, Parallelogrammfläche und Normalenvektor

Geben Sie die Koordinaten der beiden Vektoren a und b ein. Die Formel unten ist mit den Eingabefeldern verknüpft – Sie können die untereinanderstehenden Zahlen auch direkt darin ändern. Für Vektoren in der Ebene lassen Sie die Felder der z-Koordinate leer (0).

x-Koordinate von a (a₁)

y-Koordinate von a (a₂)

z-Koordinate von a (a₃)

x-Koordinate von b (b₁)

y-Koordinate von b (b₂)

z-Koordinate von b (b₃)

Geben Sie nur Zahlen ein. Dezimalzahlen, negative Zahlen und Brüche wie 3/4 sind erlaubt. Leere Koordinaten zählen als 0.

Ergebnis und Figur

Geben Sie links die Koordinaten der beiden Vektoren ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis und eine 3D-Abbildung erscheinen dann hier.

Inhaltsverzeichnis

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Das können Sie auf dieser Seite
Wofür braucht man diese Berechnung?
Anleitung
Formeln und Abbildungen
Symbole und Begriffe
- Symbole
- Begriffe
Das sollten Sie vorher wissen
So berechnen Sie es in Excel
So berechnen Sie es in Google Tabellen
So berechnen Sie es in Python
So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
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Das können Sie auf dieser Seite

Sie geben die Koordinaten zweier Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) im Raum ein und erhalten die Koordinaten des Kreuzprodukts \(\vec{a}\times\vec{b}\) – mit jedem Schritt beim Über-Kreuz-Multiplizieren
Den Betrag \(|\vec{a}\times\vec{b}|\) (die Fläche des Parallelogramms, das die beiden Vektoren aufspannen) zeigt der Rechner als exakten Wert mit Wurzel, etwa \(3\sqrt{6}\), und als Dezimalzahl. Die Dreiecksfläche (die Hälfte davon) wird gleich mitberechnet
Außerdem erhalten Sie den Normaleneinheitsvektor \(\vec{n}\), der zu \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) orthogonal ist, den Winkel \(\theta\) zwischen den beiden Vektoren und die Probe, dass die Skalarprodukte 0 sind (Nachweis der Orthogonalität)
Das Ergebnis erscheint auch als 3D-Abbildung, die Sie mit der Maus drehen können. So sehen Sie, wie das Kreuzprodukt senkrecht auf dem Parallelogramm steht (Rechte-Hand-Regel)
Die Koordinaten dürfen Dezimalzahlen, negative Zahlen oder Brüche wie 3/4 sein. Lassen Sie die z-Koordinaten leer (0), funktioniert der Rechner auch für Vektoren in der Ebene
Dazu finden Sie eine leicht verständliche Erklärung der Formeln sowie Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python

Das Kreuzprodukt ist nur für Vektoren im Raum (3D) definiert. Vektoren in der Ebene behandelt man mit der z-Koordinate 0; dann hat das Kreuzprodukt nur eine z-Koordinate. In Deutschland kommt das Kreuzprodukt in der analytischen Geometrie der Oberstufe vor (je nach Bundesland und Kurs, oft um Normalenvektoren von Ebenen zu bestimmen). In Technik, Physik und 3D-Grafik ist es eines der ersten Grundwerkzeuge.

Wofür braucht man diese Berechnung?

Schattierung in 3D-Grafik und Spielen (wohin zeigt eine Fläche?)

In den 3D-Bildern von Spielen und Filmen wird die Oberfläche eines Objekts in viele kleine Dreiecke zerlegt. Den Normalenvektor, der zeigt, wohin jedes Dreieck zeigt, berechnet man als Kreuzprodukt zweier Seitenvektoren. Wie die Lichtrichtung zu diesem Normalenvektor steht, entscheidet, ob die Fläche hell oder dunkel erscheint.
Gekrümmte Flächen wirken gleichmäßig beleuchtet, weil die Schattierung Fläche für Fläche aus diesen Normalenvektoren berechnet wird.

Eine Schraube mit dem Schlüssel anziehen (Drehmoment)

Die drehende Wirkung einer Kraft heißt Drehmoment. Es ist das Kreuzprodukt aus dem Vektor vom Drehpunkt zum Angriffspunkt und dem Kraftvektor, \(\vec{M} = \vec{r}\times\vec{F}\). Sein Betrag \(|\vec{r}||\vec{F}|\sin\theta\) passt zur Alltagserfahrung: „Mit einem längeren Schlüssel geht es leichter“ und „senkrecht zum Griff drücken wirkt am besten“.
In der Werkstatt zieht man Radmuttern mit einem Drehmomentschlüssel auf einen festen Wert an, weil genau diese Größe kontrolliert werden muss.

Warum sich ein Elektromotor dreht (Kraft im Magnetfeld)

Auf einen Strom im Magnetfeld wirkt eine Kraft, die sowohl zum Strom als auch zum Feld orthogonal ist. Richtung und Größe dieser Kraft ergeben sich aus dem Kreuzprodukt des Stromvektors und des Magnetfeldvektors (für eine einzelne Ladung wie ein Elektron ist es das Kreuzprodukt aus Geschwindigkeit und Feld, die Lorentzkraft \(\vec{F} = q\vec{v}\times\vec{B}\)). Diese senkrechte Kraft dreht den Motor und bewegt die Membran eines Lautsprechers.
Die Drei-Finger-Regel (UVW-Regel) aus dem Physikunterricht ist eine Methode, die Richtung dieses Kreuzprodukts mit der Hand zu bestimmen – wie die Rechte-Hand-Regel.

Vermessung und Grundstücksfläche (Fläche aus Koordinaten)

Die Fläche eines Grundstücks berechnet man aus den gemessenen Koordinaten seiner Grenzpunkte. Man geht die Ecken des Vielecks der Reihe nach durch, rechnet für jedes Paar benachbarter Punkte \(x_1y_2 - x_2y_1\), addiert alles und nimmt die Hälfte des Betrags der Summe. So erhält man die Fläche, ohne jede Seite zu messen. Der Trick: Die Summanden mit Vorzeichen addieren, nicht jeden einzeln in Beträge setzen. Dann heben sich überzählige Teile von selbst auf, und auch ein eingebuchtetes (nicht konvexes) Grundstück ergibt die richtige Fläche. Das nutzt die \(z\)-Koordinate des Kreuzprodukts (den orientierten Flächeninhalt) und heißt Gaußsche Trapezformel oder gaußsche Flächenformel.
Dieselbe Idee steckt in der Flächenberechnung von Flurstücken in der Vermessung und in Kartensoftware (GIS).

Lageregelung von Drohnen und Robotern (die Drehachse finden)

Um eine Drohne oder einen Roboter von „der Richtung, in die er jetzt zeigt“ in „die Richtung, in die er zeigen soll“ zu drehen, muss man festlegen, um welche Achse und um wie viel Grad gedreht wird. Das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren liefert einen Vektor, der zu beiden orthogonal ist – genau die Drehachse. Den Winkel erhält man, indem man den Betrag des Kreuzprodukts (den Anteil \(\sin\theta\)) mit dem Skalarprodukt (dem Anteil \(\cos\theta\)) kombiniert.
Dieselbe Idee nutzt man bei der Flugsteuerung von Drohnen und in der 3D-Animation, um Kopf oder Arm einer Figur auf ein Ziel auszurichten.

Formeln und Abbildungen

Koordinaten des Kreuzprodukts (über Kreuz multiplizieren)

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(\vec{a} \times \vec{b}\) \(=\) \((\) \(a_2 b_3 - a_3 b_2\) \(;\) \(a_3 b_1 - a_1 b_3\) \(;\) \(a_1 b_2 - a_2 b_1\) \()\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

④ \(\vec{a}\times\vec{b}\): Kreuzprodukt \(=\) \((\) ① \(x\)-Koordinate (\(y\) und \(z\) über Kreuz) \(;\) ② \(y\)-Koordinate (\(z\) und \(x\) über Kreuz) \(;\) ③ \(z\)-Koordinate (\(x\) und \(y\) über Kreuz) \()\)

Die Formel in Worten

① Mit \(\vec{a} = \begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}\) und \(\vec{b} = \begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}\) bildet man zuerst die \(x\)-Koordinate als Über-Kreuz-Differenz von \(y\) und \(z\), \(a_2b_3 - a_3b_2\) ,

② dann die \(y\)-Koordinate als Über-Kreuz-Differenz von \(z\) und \(x\), \(a_3b_1 - a_1b_3\) und

③ die \(z\)-Koordinate als Über-Kreuz-Differenz von \(x\) und \(y\), \(a_1b_2 - a_2b_1\) .

④ Der Vektor mit diesen drei Zahlen als Koordinaten ist das \(\vec{a}\times\vec{b}\): Kreuzprodukt .

Einfaches Beispiel

Das Kreuzprodukt von \(\vec{a} = \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\) und \(\vec{b} = \begin{pmatrix}4\\5\\6\end{pmatrix}\) ist

\(\vec{a}\times\vec{b}\) \(=\) \((\) \(x\): \(2 \cdot 6 - 3 \cdot 5\) \(;\) \(y\): \(3 \cdot 4 - 1 \cdot 6\) \(;\) \(z\): \(1 \cdot 5 - 2 \cdot 4\) \()\)

\(\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 6 - 3 \cdot 5 \\ 3 \cdot 4 - 1 \cdot 6 \\ 1 \cdot 5 - 2 \cdot 4 \end{pmatrix}\)

\(= \begin{pmatrix} 12 - 15 \\ 12 - 6 \\ 5 - 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 6 \\ -3 \end{pmatrix}\)

Der Grundgedanke

Die drei Koordinaten müssen Sie nicht einzeln auswendig lernen – sie entstehen durch Über-Kreuz-Multiplizieren. Stellen Sie sich die Reihenfolge \(x \to y \to z \to x \to y \to z\) als Kreis vor (zyklische Reihenfolge). Decken Sie den Buchstaben der gesuchten Koordinate ab und lesen Sie die nächsten beiden: für die \(x\)-Koordinate \(y,\ z\), für die \(y\)-Koordinate \(z,\ x\), für die \(z\)-Koordinate \(x,\ y\). Schreiben Sie nur diese beiden Zeilen von \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) nebeneinander und rechnen Sie „Produkt nach rechts unten minus Produkt nach rechts oben“. Die Abbildung oben zeigt diese Schritte. Ein beliebter Merktrick aus dem Unterricht: Schreiben Sie \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) nebeneinander und ihre Koordinaten zweimal untereinander (sechs Zeilen), streichen Sie die erste und die letzte Zeile und multiplizieren Sie je zwei benachbarte Zeilen über Kreuz. Nur die \(y\)-Koordinate \(a_3b_1 - a_1b_3\) sieht verdreht aus, weil die Buchstaben in der Reihenfolge \(z,\ x\) gelesen werden, nicht \(x,\ z\). Wer diese Reihenfolge verwechselt, bekommt genau bei der \(y\)-Koordinate das falsche Vorzeichen. In Lehrbüchern schreibt man dieselbe Rechnung auch als 3×3-Determinante mit den Einheitsvektoren \(\vec{e}_1,\ \vec{e}_2,\ \vec{e}_3\) in der ersten Zeile und den Koordinaten von \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) darunter. Entwickelt man sie nach der ersten Zeile, ergeben sich genau diese drei Koordinaten (das Minuszeichen vor \(\vec{e}_2\) ist der Grund, warum die \(y\)-Koordinate verdreht aussieht). Beachten Sie außerdem: \(\vec{b} \times \vec{a}\) hat das entgegengesetzte Vorzeichen von \(\vec{a} \times \vec{b}\) (\(\vec{b} \times \vec{a} = -\left( \vec{a} \times \vec{b} \right)\)). Vertauschen ändert das Ergebnis – anders als beim Skalarprodukt kommt es also auf die Reihenfolge an.

Betrag des Kreuzprodukts (\(|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta\))

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(\left| \vec{a} \times \vec{b} \right|\) \(=\) \(\left| \vec{a} \right|\) \(\left| \vec{b} \right|\) \(\sin\theta\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

④ \(|\vec{a}\times\vec{b}|\): Betrag des Kreuzprodukts \(=\) ① \(|\vec{a}|\): Betrag von \(\vec{a}\) ② \(|\vec{b}|\): Betrag von \(\vec{b}\) ③ \(\sin\theta\): Sinus des Winkels \(\theta\) zwischen ihnen

Die Formel in Worten

① Multipliziert man den \(|\vec{a}|\): Betrag von \(\vec{a}\) mit dem

② \(|\vec{b}|\): Betrag von \(\vec{b}\) und mit dem

③ \(\sin\theta\): Sinus des Winkels \(\theta\) zwischen den beiden Vektoren , erhält man den

④ \(|\vec{a}\times\vec{b}|\): Betrag des Kreuzprodukts .

Einfaches Beispiel

Schließen ein Vektor mit dem Betrag 4 und einer mit dem Betrag 3 einen Winkel von 30° ein, ist der Betrag des Kreuzprodukts

Betrag des Kreuzprodukts \(=\) Betrag von \(\vec{a}\) (4) Betrag von \(\vec{b}\) (3) \(\sin 30^\circ\)

\(\left| \vec{a} \times \vec{b} \right| = 4 \cdot 3 \cdot \sin 30^\circ = 4 \cdot 3 \cdot \dfrac{1}{2} = 6\)

Der Grundgedanke

Die Fläche eines Parallelogramms ist „Grundseite × Höhe“. Ist die Grundseite \(|\vec{a}|\), so ist die Höhe \(|\vec{b}|\sin\theta\) (die gestrichelte Linie in der Abbildung). \(|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta\) ist also genau die Fläche des Parallelogramms. Der Winkel \(\theta\) liegt zwischen 0° und 180°. In diesem Bereich ist \(\sin\theta\) nie negativ, also auch \(|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta\) nicht – der Wert taugt direkt als Länge oder Fläche. (\(\cos\theta\) wird ab 90° negativ, deshalb kann das Skalarprodukt negativ sein.) Das Skalarprodukt ist \(|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\), der Betrag des Kreuzprodukts verwendet dagegen \(\sin\theta\). Zeigen die beiden Vektoren in dieselbe Richtung (\(\theta = 0^\circ\)) oder entgegengesetzt (\(\theta = 180^\circ\)), ist \(\sin\theta = 0\) und das Kreuzprodukt der Nullvektor. Bei einem rechten Winkel (\(\theta = 90^\circ\)) ist \(\sin\theta = 1\), der größte Wert. „Null bei parallelen, am größten bei orthogonalen Vektoren“ – genau umgekehrt wie beim Skalarprodukt. Die Formel ist praktisch, wenn Sie den Winkel kennen. Kennen Sie die Koordinaten, ist es schneller, die Koordinaten über Kreuz zu bilden (Formel 1) und dann den Betrag zu nehmen – ohne Rundungsfehler durch den Winkel. Auch dieser Rechner arbeitet exakt mit den Koordinaten.

Fläche von Parallelogramm und Dreieck

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(S\) \(=\) \(\left| \vec{a} \times \vec{b} \right|\)

\(S_{\triangle}\) \(=\) \(\dfrac{1}{2} \left| \vec{a} \times \vec{b} \right|\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

② \(S\): Fläche des Parallelogramms \(=\) ① \(|\vec{a}\times\vec{b}|\): Betrag des Kreuzprodukts

④ \(S_{\triangle}\): Dreiecksfläche \(=\) ③ halber Betrag des Kreuzprodukts

Die Formel in Worten

① Betrachten Sie das Parallelogramm, das die beiden Vektoren aufspannen. Der \(|\vec{a}\times\vec{b}|\): Betrag des Kreuzprodukts ist genau die

② \(S\): Fläche des Parallelogramms , und der

③ halbe Betrag des Kreuzprodukts ist die

④ \(S_{\triangle}\): Fläche des Dreiecks, das die beiden Vektoren aufspannen .

Einfaches Beispiel

Die Flächen von Parallelogramm und Dreieck zu \(\vec{a} = \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\) und \(\vec{b} = \begin{pmatrix}4\\5\\6\end{pmatrix}\) sind (das Kreuzprodukt aus Formel 1 ist \(\begin{pmatrix}-3\\6\\-3\end{pmatrix}\))

Parallelogrammfläche \(=\) Betrag des Kreuzprodukts

\(S = \sqrt{(-3)^{2} + 6^{2} + (-3)^{2}} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6} \approx 7{,}34846922835\)

\(S_{\triangle} = \dfrac{1}{2} \cdot 3\sqrt{6} = \dfrac{3\sqrt{6}}{2} \approx 3{,}67423461417\)

Der Grundgedanke

Schneidet man ein Parallelogramm entlang einer Diagonale durch, entstehen zwei kongruente Dreiecke. Die Dreiecksfläche ist also genau die Hälfte der Parallelogrammfläche. Für die Fläche des Dreiecks aus drei Punkten A, B und C im Raum bilden Sie das Kreuzprodukt von \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) und \(\overrightarrow{\mathrm{AC}}\) und halbieren seinen Betrag. Sie müssen weder die drei Seiten messen noch den Satz des Heron anwenden – die Koordinaten genügen. Das ist eine Stärke des Kreuzprodukts. Beträge haben oft große Zahlen unter der Wurzel, etwa \(\sqrt{54}\). Suchen Sie eine Quadratzahl, etwa \(54 = 9 \cdot 6\), und vereinfachen Sie zu \(3\sqrt{6}\) (teilweises Wurzelziehen: alles, was geht, vor die Wurzel). Dieser Rechner zeigt die vereinfachte Wurzel und die Dezimalzahl.

Normaleneinheitsvektor (orthogonal zu beiden, Länge 1)

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(\vec{n}\) \(=\) \(\dfrac{1}{\left| \vec{a} \times \vec{b} \right|}\) \(\left( \vec{a} \times \vec{b} \right)\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(\vec{n}\): Normaleneinheitsvektor \(=\) ② durch den Betrag teilen (Länge wird 1) ① \(\vec{a}\times\vec{b}\): Kreuzprodukt

Die Formel in Worten

① Teilt man das \(\vec{a}\times\vec{b}\): Kreuzprodukt

② durch seinen Betrag \(|\vec{a}\times\vec{b}|\) (= mit dem Kehrwert des Betrags multiplizieren) , bleibt die Richtung gleich, nur die Länge wird 1 – das ergibt den

③ \(\vec{n}\): Normaleneinheitsvektor .

Einfaches Beispiel

Ist das Kreuzprodukt \(\begin{pmatrix}-3\\6\\-3\end{pmatrix}\) mit dem Betrag \(3\sqrt{6}\), so ist der Normaleneinheitsvektor

\(\vec{n}\) \(=\) durch den Betrag \(3\sqrt{6}\) teilen Kreuzprodukt

\(\vec{n} = \dfrac{1}{3\sqrt{6}} \begin{pmatrix} -3 \\ 6 \\ -3 \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} -0{,}408248290464 \\ 0{,}816496580928 \\ -0{,}408248290464 \end{pmatrix}\)

\(\vec{a} \cdot \left( \vec{a} \times \vec{b} \right) = 1 \cdot (-3) + 2 \cdot 6 + 3 \cdot (-3) = 0\)

Der Grundgedanke

Das Kreuzprodukt ist zu beiden Ausgangsvektoren orthogonal. Rechnen Sie die Skalarprodukte aus, erhalten Sie immer \(\vec{a} \cdot (\vec{a}\times\vec{b}) = 0\) und \(\vec{b} \cdot (\vec{a}\times\vec{b}) = 0\) (ein Skalarprodukt von 0 zeigt, dass Vektoren orthogonal sind). Dieser Rechner prüft, dass beide 0 sind, und zeigt sie im Ergebnis. Ein Vektor, der senkrecht auf einer Ebene steht, heißt Normalenvektor; auf die Länge 1 gebracht ist er ein Normaleneinheitsvektor. Er lässt die Länge weg und behält nur die Richtung – genau das, was man braucht, wenn nur zählt, „wohin die Fläche zeigt“, etwa bei der Schattierung in der 3D-Grafik. In der Schule bestimmt man so den Normalenvektor einer Ebene aus zwei Spannvektoren (für die Normalenform bzw. Koordinatenform der Ebene). Eine Ebene hat zwei senkrechte Richtungen, nach vorn und nach hinten; welche Sie erhalten, entscheidet die rechte Hand. Zeigt der Daumen der rechten Hand in Richtung \(\vec{a}\) und der Zeigefinger in Richtung \(\vec{b}\), dann zeigt der abgespreizte Mittelfinger in Richtung \(\vec{a}\times\vec{b}\) (Rechte-Hand-Regel). \(\vec{b}\times\vec{a}\) zeigt in die Gegenrichtung, auf die Rückseite der Ebene. Eine Ebene hat also zwei Normaleneinheitsvektoren, \(\vec{n}\) und \(-\vec{n}\), und beide sind „Länge 1 und orthogonal zur Ebene“. Welchen Sie erhalten, hängt von der Reihenfolge ab, in der Sie \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) multiplizieren; dieser Rechner zeigt den in Richtung von \(\vec{a}\times\vec{b}\). Brauchen Sie eine eindeutige Antwort, legen Sie selbst eine Regel fest, etwa „der mit positiver \(z\)-Koordinate“.

Vektoren in der Ebene (Flächenformel für Dreiecke)

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(S_{\triangle}\) \(=\) \(\dfrac{1}{2}\) \(\Bigl|\) \(x_1 y_2\) \(-\) \(x_2 y_1\) \(\Bigr|\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

④ \(S_{\triangle}\): Fläche des Dreiecks OAB \(=\) ③ Hälfte des Parallelogramms \(\Bigl|\) ① \(x\)-Koordinate von A mal \(y\)-Koordinate von B \(-\) ② \(x\)-Koordinate von B mal \(y\)-Koordinate von A \(\Bigr|\)

Die Formel in Worten

① Für drei Punkte \(\mathrm{O}(0\,|\,0)\), \(\mathrm{A}(x_1\,|\,y_1)\) und \(\mathrm{B}(x_2\,|\,y_2)\) in der Ebene zieht man vom \(x_1y_2\): \(x\)-Koordinate von A mal \(y\)-Koordinate von B das

② \(x_2y_1\): \(x\)-Koordinate von B mal \(y\)-Koordinate von A ab und nimmt den Betrag (ein Minuszeichen fällt weg).

③ Durch 2 teilen, also die Hälfte des Parallelogramms nehmen, das ergibt die

④ \(S_{\triangle}\): Fläche des Dreiecks OAB .

Einfaches Beispiel

Die Fläche des Dreiecks mit \(\mathrm{O}(0\,|\,0)\), \(\mathrm{A}(4\,|\,1)\) und \(\mathrm{B}(1\,|\,3)\) ist

Dreiecksfläche \(=\) Hälfte des Parallelogramms \(\Bigl|\) \(x\) von A mal \(y\) von B (\(4 \cdot 3\)) \(-\) \(x\) von B mal \(y\) von A (\(1 \cdot 1\)) \(\Bigr|\)

\(S_{\triangle} = \dfrac{1}{2}\left| 4 \cdot 3 - 1 \cdot 1 \right| = \dfrac{1}{2}\left| 12 - 1 \right| = \dfrac{11}{2} = 5{,}5\)

Der Grundgedanke

Die Vektoren in der Ebene \(\vec{a} = \begin{pmatrix}x_1\\y_1\end{pmatrix}\) und \(\vec{b} = \begin{pmatrix}x_2\\y_2\end{pmatrix}\) lassen sich als Vektoren im Raum mit der \(z\)-Koordinate 0 auffassen. Bildet man ihr Kreuzprodukt, sind \(x\)- und \(y\)-Koordinate 0, und nur die \(z\)-Koordinate \(x_1y_2 - x_2y_1\) bleibt übrig. Die bekannte Flächenformel \(S_{\triangle} = \dfrac{1}{2}|x_1y_2 - x_2y_1|\) ist also genau die Hälfte (des Betrags) der \(z\)-Koordinate des Kreuzprodukts. Lassen Sie im Rechner die Felder der \(z\)-Koordinate leer (0), um das selbst nachzuprüfen. Auch das Vorzeichen von \(x_1y_2 - x_2y_1\) vor dem Betragnehmen hat eine Bedeutung: Ist es positiv, dreht man sich von \(\vec{a}\) nach \(\vec{b}\) gegen den Uhrzeigersinn, ist es negativ, im Uhrzeigersinn. Mit diesem orientierten Flächeninhalt berechnet man die Fläche eines Vielecks aus seinen Koordinaten in einem Durchgang (Gaußsche Trapezformel, auch gaußsche Flächenformel).

Das Kreuzprodukt \(\vec{a}\times\vec{b}\) macht aus zwei Vektoren im Raum einen neuen Vektor. Seine Koordinaten entstehen aus drei Über-Kreuz-Differenzen. Er ist zu beiden Ausgangsvektoren orthogonal (Rechte-Hand-Regel), und sein Betrag \(|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta\) ist die Fläche des Parallelogramms, das die beiden Vektoren aufspannen. Die Hälfte davon ist die Dreiecksfläche, und teilt man das Kreuzprodukt durch seinen Betrag, erhält man den Normaleneinheitsvektor.

Symbole und Begriffe

Symbole

\(\vec{a}\)	Vektor a	Das Zeichen für eine Größe mit Richtung und Betrag (Länge). Der Pfeil über dem Buchstaben kennzeichnet einen Vektor. In Hochschulbüchern und in der Physik druckt man Vektoren oft fett (a) statt mit Pfeil.
\(a_1,\ a_2,\ a_3\)	a eins, a zwei, a drei	Die Koordinaten des Vektors \(\vec{a}\): drei Zahlen, die angeben, wie weit er in \(x\)-, \(y\)- und \(z\)-Richtung geht. Die kleine Zahl rechts unten (der Index) sagt, welche gemeint ist. Manche Bücher schreiben \(a_x,\ a_y,\ a_z\).
\(\vec{a} \times \vec{b}\)	a kreuz b	Das Kreuzprodukt (auch Vektorprodukt). Der Name kommt vom Kreuz \(\times\) im Zeichen. Das Ergebnis ist ein Vektor, keine Zahl.
\(\vec{a} \cdot \vec{b}\)	a mal b	Das Skalarprodukt. Man schreibt es mit dem Malpunkt, das Ergebnis ist eine Zahl (ein Skalar). Name und Zeichen ähneln denen des Kreuzprodukts – halten Sie die beiden auseinander.
\(\left\| \vec{a} \right\|\)	Betrag von a	Der Betrag (die Länge) eines Vektors, also die Länge des Pfeils. Aus den Koordinaten ist er \(\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}\), berechnet mit dem Satz des Pythagoras. Er nutzt dieselben Striche wie der Betrag einer Zahl; beide beschreiben einen Abstand vom Ursprung.
\(\theta\)	Theta	Der Winkel zwischen den beiden Vektoren. Ein griechischer Buchstabe, der oft für Winkel steht. Beim Kreuzprodukt liegt er zwischen 0° und 180°.
\(\sin\theta\)	Sinus Theta	Der Sinus des Winkels \(\theta\). Im rechtwinkligen Dreieck ist er „Gegenkathete durch Hypotenuse“, kurz \(\sin\). Zwischen 0° und 180° ist er nie negativ: \(\sin 0^\circ = 0\), \(\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}\), \(\sin 90^\circ = 1\), \(\sin 180^\circ = 0\).
\(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\)	Vektor AB	Der Vektor vom Punkt A zum Punkt B. Seine Koordinaten sind „Koordinaten des Endpunkts − Koordinaten des Anfangspunkts“ („Spitze minus Fuß“). Für die Dreiecksfläche aus drei Punkten bilden Sie zuerst zwei Seitenvektoren in dieser Form.
\(S\)	S	Ein häufiger Buchstabe für Flächen (in deutschen Schulbüchern meist \(A\) für „area“). Auf dieser Seite steht er für die Fläche des Parallelogramms.
\(S_{\triangle}\)	S Dreieck	Die Dreiecksfläche. Das kleine Dreieck am \(S\) unterscheidet sie von der Fläche des Parallelogramms.
\(\vec{n}\)	Vektor n	Der Normalenvektor. Üblich ist \(n\) wie „Normale“ (die Senkrechte). Auf dieser Seite ist es der Normaleneinheitsvektor, also ein Einheitsvektor mit der Länge 1 (oft auch \(\vec{n}_0\) geschrieben).
\(\vec{0}\)	Nullvektor	Der Vektor, dessen Koordinaten alle 0 sind (der Nullvektor). Sein Betrag ist 0, eine Richtung hat er nicht. Sind zwei Vektoren parallel, ist ihr Kreuzprodukt der Nullvektor.
\(\sqrt{\phantom{a}}\)	Wurzel	Das Wurzelzeichen. \(\sqrt{54}\) ist „die positive Zahl, die quadriert 54 ergibt“. Steckt eine Quadratzahl (\(4,\ 9,\ 16, \ldots\)) unter der Wurzel, ziehen Sie sie heraus: \(\sqrt{54} = \sqrt{9 \cdot 6} = 3\sqrt{6}\).

Begriffe

Vektor	Eine Größe mit Richtung und Betrag. Zwei Pfeile mit gleicher Richtung und Länge stellen denselben Vektor dar, egal wo sie gezeichnet sind. Größen, die „wohin und wie viel“ angeben – Kraft, Geschwindigkeit, Wind –, sind Vektoren.
Koordinate	Eine der drei Zahlen, die angeben, wie weit ein Vektor in \(x\)-, \(y\)- und \(z\)-Richtung geht (auch Komponente). In deutschen Schulbüchern schreibt man sie untereinander als Spaltenvektor, \(\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\); Punkte schreibt man dagegen mit senkrechten Strichen, \(P(1\,\|\,2\,\|\,3)\).
Kreuzprodukt (Vektorprodukt)	Eine Rechnung, die aus zwei Vektoren im Raum einen neuen Vektor macht. Der neue Vektor ist zu beiden Ausgangsvektoren orthogonal, und sein Betrag ist die Fläche des aufgespannten Parallelogramms.
Skalarprodukt	Eine Rechnung, die aus zwei Vektoren eine Zahl (einen Skalar) macht. Sie ist gleich \(\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\cos\theta\); ist sie 0, sind die beiden Vektoren orthogonal. Nicht zu verwechseln mit dem Kreuzprodukt, dessen Ergebnis ein Vektor ist.
Betrag	Die Länge eines Vektors. Bei den Koordinaten \(a_1,\ a_2,\ a_3\) ist er \(\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}\) – der Satz des Pythagoras im Raum. Man sagt auch Norm.
Winkel zwischen zwei Vektoren	Der Winkel zwischen zwei Vektoren, wenn man sie vom selben Anfangspunkt aus zeichnet. Er liegt zwischen 0° und 180°.
Parallelogramm	Ein Viereck, bei dem die gegenüberliegenden Seiten jeweils parallel sind. Spannen zwei Vektoren es auf, ist seine Fläche der Betrag des Kreuzprodukts.
Normalenvektor	Ein Vektor, der senkrecht auf einer Ebene (oder Geraden) steht. Er zeigt, wohin die Fläche zeigt, und das Kreuzprodukt liefert ihn bequem aus zwei Vektoren, die in der Ebene liegen.
Einheitsvektor	Ein Vektor der Länge 1. Teilt man einen Vektor durch seinen eigenen Betrag, bleibt die Richtung gleich und die Länge wird 1 – ein Einheitsvektor.
Normaleneinheitsvektor	Ein Normalenvektor mit der Länge 1. Man nutzt ihn, wenn nur die Richtung zählt.
über Kreuz multiplizieren	Eine Rechenweise mit vier Zahlen in zwei Zeilen – entlang der beiden Diagonalen (nach rechts unten und nach rechts oben) multiplizieren und subtrahieren. Das ist das Muster \(ad - bc\) der 2×2-Determinante; jede Koordinate des Kreuzprodukts hat diese Form.
Rechte-Hand-Regel	Die Regel für die Richtung des Kreuzprodukts: Daumen der rechten Hand in Richtung \(\vec{a}\), Zeigefinger in Richtung \(\vec{b}\) – dann zeigt der abgespreizte Mittelfinger in Richtung \(\vec{a}\times\vec{b}\). Ein Koordinatensystem, das dieser Regel folgt, heißt Rechtssystem.
Nullvektor	Der Vektor, dessen Koordinaten alle 0 sind. Sein Betrag ist 0, eine Richtung hat er nicht. Sind zwei Vektoren parallel, ist ihr Kreuzprodukt der Nullvektor.
orthogonal	Der Winkel zwischen zwei Vektoren beträgt 90° (sie stehen senkrecht aufeinander). Man prüft es daran, dass das Skalarprodukt 0 ist.
parallel	Zwei Vektoren zeigen in dieselbe oder genau die entgegengesetzte Richtung (kollinear). Sie liegen dann auf einer Geraden und spannen kein Parallelogramm auf (es fällt mit der Fläche 0 zusammen).
orientierter Flächeninhalt	Ein Flächeninhalt mit Vorzeichen je nach Drehsinn. In der Ebene ist \(x_1y_2 - x_2y_1\) ein orientierter Flächeninhalt: positiv gegen den Uhrzeigersinn, negativ im Uhrzeigersinn. Sein Betrag ist die gewöhnliche Fläche.
Determinante	Eine Zahl, die zu quadratisch angeordneten Zahlen gehört. Die 2×2-Determinante \(\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc\) ist genau das Über-Kreuz-Multiplizieren, und jede Koordinate des Kreuzprodukts hat die Form einer solchen 2×2-Determinante. Für 3×3-Determinanten gibt es die Regel von Sarrus.
zyklische Reihenfolge	Eine Reihenfolge, die im Kreis läuft und zum Anfang zurückkehrt, wie \(x \to y \to z \to x\). Die drei Koordinaten des Kreuzprodukts wiederholen dieselbe Form in dieser zyklischen Reihenfolge.

Das sollten Sie vorher wissen

Hier steht, was Ihnen hilft, die Berechnung auf dieser Seite wirklich zu verstehen – nicht nur auf den Knopf zu drücken.
Wenn Sie hängen bleiben, ist eine Wiederholung dieser Themen der schnellste Weg weiter.

Was ein Vektor ist (Oberstufe, Klasse 11–12, 16–18 Jahre)	Wissen, dass ein Vektor eine Größe mit Richtung und Betrag ist und als Pfeil dargestellt werden kann (eine Größe, die „wohin und wie viel“ angibt, wie Kraft oder Geschwindigkeit) Einen Vektor mit Koordinaten wie \(\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\) schreiben können (wie weit er in \(x\)-, \(y\)- und \(z\)-Richtung geht)
Koordinaten im Raum (Klasse 5 bis Oberstufe, 10–18 Jahre)	Wissen, dass die Höhe \(z\) zu den Koordinaten der Ebene \(P(x\,\|\,y)\) hinzukommt und \(P(x\,\|\,y\,\|\,z)\) die Lage eines Punktes im Raum festlegt Sich vorstellen können, dass \(x\)-, \(y\)- und \(z\)-Achse paarweise senkrecht aufeinanderstehen
Satz des Pythagoras und Betrag eines Vektors (Klasse 8 bis Oberstufe, 13–18 Jahre)	Wissen, dass im rechtwinkligen Dreieck \(a^2 + b^2 = c^2\) gilt Wissen, dass der Betrag eines Vektors im Raum \(\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}\) ist (der Satz des Pythagoras zweimal angewendet)
Rechnen mit Quadratwurzeln (Klasse 8–9, 13–15 Jahre)	Eine Wurzel durch teilweises Wurzelziehen vereinfachen können, etwa \(\sqrt{54} = \sqrt{9 \cdot 6} = 3\sqrt{6}\) Den ungefähren Dezimalwert einer Wurzel kennen, etwa \(\sqrt{3} \approx 1{,}732\)
Das Skalarprodukt (Oberstufe, Klasse 11–12, 16–18 Jahre)	Wissen, dass das Skalarprodukt \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) gleich \(a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3\) ist und das Ergebnis eine Zahl ist Wissen, dass zwei Vektoren orthogonal sind, wenn ihr Skalarprodukt 0 ist (diese Seite prüft damit, dass das Kreuzprodukt orthogonal ist)
Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck (Klasse 9–10, 14–16 Jahre)	Wissen, dass \(\sin\theta\) im rechtwinkligen Dreieck das Verhältnis „Gegenkathete durch Hypotenuse“ ist Wichtige Werte wie \(\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}\) und \(\sin 90^\circ = 1\) kennen
Flächen von Parallelogramm und Dreieck (Klasse 6–7, 11–13 Jahre)	Wissen, dass die Fläche eines Parallelogramms „Grundseite × Höhe“ ist Wissen, dass ein Dreieck genau die halbe Fläche eines Parallelogramms mit gleicher Grundseite und Höhe hat

So berechnen Sie es in Excel

Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein – dann funktioniert sie direkt.

Tabelle für die Koordinaten des Kreuzprodukts

x-Koordinate von a (a₁)	1
y-Koordinate von a (a₂)	2
z-Koordinate von a (a₃)	3
x-Koordinate von b (b₁)	4
y-Koordinate von b (b₂)	5
z-Koordinate von b (b₃)	6
x-Koordinate von a×b (a₂b₃ − a₃b₂)	=B2B6-B3B5
y-Koordinate von a×b (a₃b₁ − a₁b₃)	=B3B4-B1B6
z-Koordinate von a×b (a₁b₂ − a₂b₁)	=B1B5-B2B4

Tabelle zur Probe „Betrag = |a||b|sinθ“

x-Koordinate von a (a₁)	1
y-Koordinate von a (a₂)	2
z-Koordinate von a (a₃)	3
x-Koordinate von b (b₁)	4
y-Koordinate von b (b₂)	5
z-Koordinate von b (b₃)	6
Betrag \|a×b\| (aus den Koordinaten)	=WURZEL((B2B6-B3B5)^2+(B3B4-B1B6)^2+(B1B5-B2B4)^2)
Betrag von a \|a\|	=WURZEL(B1^2+B2^2+B3^2)
Betrag von b \|b\|	=WURZEL(B4^2+B5^2+B6^2)
Skalarprodukt a·b	=B1B4+B2B5+B3*B6
Winkel θ (Grad)	=GRAD(ARCCOS(B10/(B8*B9)))
\|a\|\|b\|sinθ	=B8B9SIN(BOGENMASS(B11))

Tabelle für die Flächen von Parallelogramm und Dreieck

x-Koordinate von a×b	-3
y-Koordinate von a×b	6
z-Koordinate von a×b	-3
Parallelogrammfläche S (= Betrag)	=WURZEL(B1^2+B2^2+B3^2)
Dreiecksfläche (halbes Parallelogramm)	=B4/2

Tabelle für den Normaleneinheitsvektor

x-Koordinate von a×b	-3
y-Koordinate von a×b	6
z-Koordinate von a×b	-3
Betrag \|a×b\|	=WURZEL(B1^2+B2^2+B3^2)
x-Koordinate des Normaleneinheitsvektors	=B1/B4
y-Koordinate des Normaleneinheitsvektors	=B2/B4
z-Koordinate des Normaleneinheitsvektors	=B3/B4

Tabelle für die Fläche eines Dreiecks in der Ebene

x-Koordinate von A (x₁)	4
y-Koordinate von A (y₁)	1
x-Koordinate von B (x₂)	1
y-Koordinate von B (y₂)	3
z-Koordinate des Kreuzprodukts (x₁y₂ − x₂y₁)	=B1B4-B3B2
Fläche des Dreiecks OAB	=ABS(B5)/2

Nach dem Einfügen sind die oberen Zeilen (die Koordinaten der Vektoren) Ihre Eingaben, die unteren Zeilen werden automatisch berechnet.
„*“ ist die Multiplikation, „^“ eine Potenz und WURZEL die Quadratwurzel. Die erste Tabelle verwendet \(\vec{a} = \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\) und \(\vec{b} = \begin{pmatrix}4\\5\\6\end{pmatrix}\); das Ergebnis ist \(\begin{pmatrix}-3\\6\\-3\end{pmatrix}\).
Die zweite Tabelle prüft, dass „der Betrag aus den Koordinaten“ und „der Wert aus |a||b|sinθ“ übereinstimmen. B7 und B12 ergeben beide 7,348469… (der Winkel ist etwa 12,93°).
In der dritten Tabelle ist die Parallelogrammfläche 7,348469… und die Dreiecksfläche die Hälfte davon, 3,674234…. In der vierten Tabelle ist der Normaleneinheitsvektor \(\begin{pmatrix}-0{,}408248\ldots\\0{,}816497\ldots\\-0{,}408248\ldots\end{pmatrix}\).
Die fünfte Tabelle ist der Fall von Vektoren in der Ebene mit der z-Koordinate 0. Das Dreieck mit O(0 | 0), A(4 | 1) und B(1 | 3) hat die Fläche 5,5.

So berechnen Sie es in Google Tabellen

Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein – dann funktioniert sie direkt.

Tabelle für die Koordinaten des Kreuzprodukts

x-Koordinate von a (a₁)	1
y-Koordinate von a (a₂)	2
z-Koordinate von a (a₃)	3
x-Koordinate von b (b₁)	4
y-Koordinate von b (b₂)	5
z-Koordinate von b (b₃)	6
x-Koordinate von a×b (a₂b₃ − a₃b₂)	=B2B6-B3B5
y-Koordinate von a×b (a₃b₁ − a₁b₃)	=B3B4-B1B6
z-Koordinate von a×b (a₁b₂ − a₂b₁)	=B1B5-B2B4

Tabelle zur Probe „Betrag = |a||b|sinθ“

x-Koordinate von a (a₁)	1
y-Koordinate von a (a₂)	2
z-Koordinate von a (a₃)	3
x-Koordinate von b (b₁)	4
y-Koordinate von b (b₂)	5
z-Koordinate von b (b₃)	6
Betrag \|a×b\| (aus den Koordinaten)	=WURZEL((B2B6-B3B5)^2+(B3B4-B1B6)^2+(B1B5-B2B4)^2)
Betrag von a \|a\|	=WURZEL(B1^2+B2^2+B3^2)
Betrag von b \|b\|	=WURZEL(B4^2+B5^2+B6^2)
Skalarprodukt a·b	=B1B4+B2B5+B3*B6
Winkel θ (Grad)	=GRAD(ARCCOS(B10/(B8*B9)))
\|a\|\|b\|sinθ	=B8B9SIN(BOGENMASS(B11))

Tabelle für die Flächen von Parallelogramm und Dreieck

x-Koordinate von a×b	-3
y-Koordinate von a×b	6
z-Koordinate von a×b	-3
Parallelogrammfläche S (= Betrag)	=WURZEL(B1^2+B2^2+B3^2)
Dreiecksfläche (halbes Parallelogramm)	=B4/2

Tabelle für den Normaleneinheitsvektor

x-Koordinate von a×b	-3
y-Koordinate von a×b	6
z-Koordinate von a×b	-3
Betrag \|a×b\|	=WURZEL(B1^2+B2^2+B3^2)
x-Koordinate des Normaleneinheitsvektors	=B1/B4
y-Koordinate des Normaleneinheitsvektors	=B2/B4
z-Koordinate des Normaleneinheitsvektors	=B3/B4

Tabelle für die Fläche eines Dreiecks in der Ebene

x-Koordinate von A (x₁)	4
y-Koordinate von A (y₁)	1
x-Koordinate von B (x₂)	1
y-Koordinate von B (y₂)	3
z-Koordinate des Kreuzprodukts (x₁y₂ − x₂y₁)	=B1B4-B3B2
Fläche des Dreiecks OAB	=ABS(B5)/2

Dieselben Formeln wie in Excel funktionieren unverändert (WURZEL, ARCCOS, GRAD, BOGENMASS und ABS gibt es in Google Tabellen unter denselben Namen). Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Koordinaten durch Ihre eigenen Zahlen.

So berechnen Sie es in Python

from fractions import Fraction
import math

# Koordinaten der Vektoren (ein Bruch wie 3/4 lässt sich als Fraction(3, 4) schreiben)
a = (Fraction(1), Fraction(2), Fraction(3))
b = (Fraction(4), Fraction(5), Fraction(6))

def cross(u, v):
    # Kreuzprodukt (über Kreuz multiplizieren), in der Reihenfolge x, y, z
    return (u[1] * v[2] - u[2] * v[1],
            u[2] * v[0] - u[0] * v[2],
            u[0] * v[1] - u[1] * v[0])

def dot(u, v):
    return u[0] * v[0] + u[1] * v[1] + u[2] * v[2]

c = cross(a, b)
area = math.sqrt(dot(c, c))       # Parallelogrammfläche (= Betrag des Kreuzprodukts)

print(f"Kreuzprodukt a×b = ({c[0]}, {c[1]}, {c[2]})")
print(f"Parallelogrammfläche: {area}")
print(f"Dreiecksfläche: {area / 2}")
print(f"Probe auf Orthogonalität (beide 0): {dot(a, c)}, {dot(b, c)}")

Mit dem Modul fractions aus der Standardbibliothek bleibt die Rechnung exakt, auch wenn die Koordinaten Brüche sind. Das Beispiel ist das Kreuzprodukt von a = (1 | 2 | 3) und b = (4 | 5 | 6). Die Ausgabe zeigt das Kreuzprodukt (-3, 6, -3), die Parallelogrammfläche ≈ 7,3485, die Dreiecksfläche ≈ 3,6742 und bei der Probe auf Orthogonalität zweimal 0 (Python selbst schreibt Dezimalzahlen mit Punkt und trennt Koordinaten mit Komma). Ändern Sie die Koordinaten und führen Sie den Code erneut aus.

So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)

Koordinaten des Kreuzprodukts (über Kreuz multiplizieren)

a×b = (a₂b₃ − a₃b₂, a₃b₁ − a₁b₃, a₁b₂ − a₂b₁)

\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} a_2 b_3 - a_3 b_2 \\ a_3 b_1 - a_1 b_3 \\ a_1 b_2 - a_2 b_1 \end{pmatrix}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>=</mo>
    <mo>(</mo>
    <mrow>
      <msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub><msub><mi>b</mi><mn>3</mn></msub>
      <mo>&#x2212;</mo>
      <msub><mi>a</mi><mn>3</mn></msub><msub><mi>b</mi><mn>2</mn></msub>
    </mrow>
    <mo>,</mo>
    <mrow>
      <msub><mi>a</mi><mn>3</mn></msub><msub><mi>b</mi><mn>1</mn></msub>
      <mo>&#x2212;</mo>
      <msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>b</mi><mn>3</mn></msub>
    </mrow>
    <mo>,</mo>
    <mrow>
      <msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>b</mi><mn>2</mn></msub>
      <mo>&#x2212;</mo>
      <msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub><msub><mi>b</mi><mn>1</mn></msub>
    </mrow>
    <mo>)</mo>
  </mrow>
</math>

vec a xx vec b = (a_2 b_3 - a_3 b_2, a_3 b_1 - a_1 b_3, a_1 b_2 - a_2 b_1)

Cross[{a1, a2, a3}, {b1, b2, b3}]

LinearAlgebra:-CrossProduct(Vector([a1, a2, a3]), Vector([b1, b2, b3]));

c = cross(a, b);

a⃗×b⃗ = (a_2 b_3 − a_3 b_2, a_3 b_1 − a_1 b_3, a_1 b_2 − a_2 b_1)

Betrag des Kreuzprodukts (\(|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta\))

|a×b| = |a||b|sinθ

\left| \vec{a} \times \vec{b} \right| = \left| \vec{a} \right| \left| \vec{b} \right| \sin\theta

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mo>|</mo>
    <mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>|</mo>
    <mo>=</mo>
    <mo>|</mo><mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover><mo>|</mo>
    <mo>|</mo><mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover><mo>|</mo>
    <mi>sin</mi><mo>&#x2061;</mo><mi>&#x3B8;</mi>
  </mrow>
</math>

|vec a xx vec b| = |vec a| |vec b| sin theta

Norm[Cross[a, b]] == Norm[a] Norm[b] Sin[theta]

LinearAlgebra:-Norm(LinearAlgebra:-CrossProduct(a, b), 2);

m = norm(cross(a, b));

|a⃗×b⃗| = |a⃗||b⃗| sin⁡θ

Fläche von Parallelogramm und Dreieck

S = |a×b|,  S△ = |a×b| ÷ 2

S = \left| \vec{a} \times \vec{b} \right|,\quad S_{\triangle} = \frac{1}{2} \left| \vec{a} \times \vec{b} \right|

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>S</mi>
    <mo>=</mo>
    <mo>|</mo>
    <mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>|</mo>
    <mo>,</mo>
    <msub><mi>S</mi><mo>&#x25B3;</mo></msub>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac>
    <mo>|</mo>
    <mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>|</mo>
  </mrow>
</math>

S = |vec a xx vec b|, S_triangle = 1/2 |vec a xx vec b|

area = Norm[Cross[a, b]]; triangle = area/2

S := LinearAlgebra:-Norm(LinearAlgebra:-CrossProduct(a, b), 2);

S = norm(cross(a, b)); tri = S / 2;

S = |a⃗×b⃗|,  S_△ = 1/2 |a⃗×b⃗|

Normaleneinheitsvektor (orthogonal zu beiden, Länge 1)

n = (a×b) ÷ |a×b|

\vec{n} = \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{\left| \vec{a} \times \vec{b} \right|}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mover><mi>n</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow>
        <mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
        <mo>&#xD7;</mo>
        <mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
      </mrow>
      <mrow>
        <mo>|</mo>
        <mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
        <mo>&#xD7;</mo>
        <mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
        <mo>|</mo>
      </mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

vec n = (vec a xx vec b) / |vec a xx vec b|

n = Normalize[Cross[a, b]]

n := LinearAlgebra:-Normalize(LinearAlgebra:-CrossProduct(a, b), 2);

n = cross(a, b) / norm(cross(a, b));

n⃗ = (a⃗×b⃗)/|a⃗×b⃗|

Vektoren in der Ebene (Flächenformel für Dreiecke)

S△ = |x₁y₂ − x₂y₁| ÷ 2

S_{\triangle} = \frac{1}{2} \left| x_1 y_2 - x_2 y_1 \right|

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>S</mi><mo>&#x25B3;</mo></msub>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac>
    <mo>|</mo>
    <msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>y</mi><mn>2</mn></msub>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub><msub><mi>y</mi><mn>1</mn></msub>
    <mo>|</mo>
  </mrow>
</math>

S_triangle = 1/2 |x_1 y_2 - x_2 y_1|

Abs[x1*y2 - x2*y1]/2

S := abs(x1*y2 - x2*y1)/2;

S = abs(x1*y2 - x2*y1) / 2;

S_△ = 1/2 |x_1 y_2 − x_2 y_1|

So lassen Sie ChatGPT rechnen

Sie sind ein Rechenassistent für Vektoren (analytische Geometrie im Raum). Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (nicht im Kopf rechnen und nicht schätzen).

Bestimmen Sie für die Vektoren a = (1 ; 2 ; 3) und b = (4 ; 5 ; 6) (Spaltenvektoren, hier in eine Zeile geschrieben) Folgendes.
1. Die Koordinaten des Kreuzprodukts a×b (zeigen Sie auch die Schritte beim Über-Kreuz-Multiplizieren)
2. Den Betrag |a×b| (als exakten Wert mit vereinfachter Wurzel und als Dezimalzahl)
3. Die Flächen des Parallelogramms und des Dreiecks, die a und b aufspannen
4. Die Werte von a·(a×b) und b·(a×b) als Probe, dass das Kreuzprodukt zu beiden orthogonal ist

Rechnen Sie in Python die Koordinaten mit dem Modul fractions aus der Standardbibliothek exakt; zum Vereinfachen der Wurzel dürfen Sie sympy verwenden. Geben Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis an. Antworten Sie auf Deutsch und schreiben Sie Vektoren als Spaltenvektoren.

Anleitung

1

Werte eingeben

Tragen Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
2

Berechnen

Klicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
3

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Kreuzprodukt berechnen – Vektorprodukt, Parallelogrammfläche und Normalenvektor

Inhaltsverzeichnis

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Symbole und Begriffe

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Begriffe

Das sollten Sie vorher wissen

So berechnen Sie es in Excel

So berechnen Sie es in Google Tabellen

So berechnen Sie es in Python

So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)

So lassen Sie ChatGPT rechnen

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