Steigung berechnen – Rechner für Steigung, Abstand und Steigungswinkel einer Geraden

Es gibt zwei Möglichkeiten. [Aus zwei Punkten] Geben Sie die Koordinaten von Punkt 1 und Punkt 2 ein – Sie erhalten Steigung, Abstand, Winkel und Geradengleichung. [Aus einem Punkt und einer Strecke] Lassen Sie Punkt 2 leer und geben Sie die Strecke d und die Steigung m (oder den Winkel θ) ein – Sie erhalten die Koordinaten des Punktes, bei dem Sie von Punkt 1 aus ankommen.

x-Koordinate Punkt 1, X1

y-Koordinate Punkt 1, Y1

x-Koordinate Punkt 2, X2

y-Koordinate Punkt 2, Y2

Strecke d (bei Rechnung aus einem Punkt)

Steigung m

Winkel θ (Grad)

Koordinaten, Strecke und Steigung dürfen Dezimalzahlen oder negative Zahlen sein. Ist Punkt 2 (X2 und Y2) ausgefüllt, werden die Felder Strecke d, Steigung m und Winkel θ nicht verwendet. Geben Sie Steigung m und Winkel θ beide ein, gilt die Steigung m.

Ergebnis und Graph

Geben Sie links die Koordinaten zweier Punkte ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis erscheint dann hier.

Inhaltsverzeichnis

[ Schließen X ]

Das können Sie auf dieser Seite
Wofür braucht man diese Berechnung?
Anleitung
Formeln und Graphen
Symbole und Begriffe
- Symbole
- Begriffe
Das sollten Sie vorher wissen
So berechnen Sie es in Excel
So berechnen Sie es in Google Tabellen
So berechnen Sie es in Python
So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
So lassen Sie ChatGPT rechnen
Die Vorteile von DataChef
Verwandte Funktionen
Alle Rechner von NumberChef

Das können Sie auf dieser Seite

Sie geben die Koordinaten zweier Punkte ein und erhalten sofort die Steigung \(m\) der Geraden (die Änderungsrate einer linearen Funktion)
Zusammen mit der Steigung berechnet der Rechner den Abstand der beiden Punkte, den Steigungswinkel \(\theta\), die Geradengleichung \(y = mx + b\), den y-Achsenabschnitt und die Nullstelle
Auch umgekehrt: Aus einem Punkt, einer Strecke und einer Steigung (oder einem Winkel) bestimmt er die Koordinaten des Punktes, bei dem Sie ankommen
Auf dieser Seite finden Sie außerdem eine leicht verständliche Erklärung der Formeln sowie Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python

Die Steigung lässt sich nur berechnen, wenn die beiden Punkte verschiedene x-Koordinaten haben. Eine Gerade durch zwei Punkte mit gleicher x-Koordinate (eine senkrechte Gerade) hat keine definierte Steigung; dann erscheint „nicht definiert“. Der Winkel θ wird gegen den Uhrzeigersinn ab der positiven x-Achse gemessen und von 0° bis unter 360° angegeben.

Wofür braucht man diese Berechnung?

Prüfen, ob eine Rollstuhlrampe die Norm erfüllt (Bauen und Barrierefreiheit)

Nach DIN 18040 (barrierefreies Bauen) darf eine Rampe in Deutschland höchstens 6 % Steigung haben – ohne Quergefälle und nach spätestens 6 m Länge mit einem Zwischenpodest von mindestens 150 cm. Ob man 30 cm Höhe bis zur Haustür mit einer 5 m langen Rampe überwinden kann, ist eine Steigungsrechnung: \(0{,}30 \div 5 = 0{,}06\), also genau 6 % – die Grenze ist eingehalten. Als Winkel sind das etwa 3,4°.
Beim Umbau einer Wohnung oder der Planung eines Gebäudes können Sie so mit Zahlen prüfen, ob eine Rampe sicher nutzbar ist.

Das Verkehrszeichen „10 % Steigung“ verstehen (Auto und Fahrrad)

„10 %“ auf den Verkehrszeichen für Steigung und Gefälle bedeutet „auf 100 m waagerecht 10 m Höhenunterschied“, also eine Steigung von 0,1. Als Winkel sind das \(\arctan 0{,}1 \approx 5{,}7°\). Erstaunlich wenige wissen, dass 10 % nicht 10° sind.
Wer das lesen kann, schätzt die Steilheit einer Strecke schon vorher ein – bei der Gangwahl im Auto oder bei der Planung einer Rad- oder Laufroute.

Die Dachneigung in Grad bestimmen (Bauen und Heimwerken)

Ein Pultdach, das auf 4 m Tiefe um 1 m ansteigt, hat die Steigung \(1 \div 4 = 0{,}25\) (25 %). In Deutschland gibt man die Dachneigung meist in Grad an: \(\arctan 0{,}25 \approx 14{,}0°\).
Für jede Dacheindeckung gibt es eine Mindestdachneigung, deshalb rechnen Dachdecker und Planer diese Umrechnung ständig. Sie hilft auch, wenn Sie selbst ein Gartenhaus oder ein Carport-Dach bauen.

Steilheit eines Wanderwegs und tatsächliche Weglänge abschätzen (Wandern und Karten)

Steigt ein Weg auf der Karte über 1.000 m waagerechte Strecke um 300 m an, ist die mittlere Steigung \(300 \div 1000 = 0{,}3\) (ein Winkel von etwa 16,7°), und nach dem Satz des Pythagoras ist die tatsächlich gelaufene Strecke \(\sqrt{1000^2 + 300^2} \approx 1044\) m.
Wer mit Zahlen weiß, „die echte Strecke ist länger als auf der Karte, und die Steigung entscheidet, wie anstrengend es wird“, plant Bergtouren sicherer.

Das Tempo einer Entwicklung an der Steigung ablesen (Beruf und Diagramme)

Steigt der Monatsumsatz von 40.000 € im April auf 58.000 € im Juli, ist die Steigung \((58.000 - 40.000) \div (7 - 4) = 6.000\) € pro Monat – „im Schnitt 6.000 € mehr pro Monat“.
Die Steigung eines Liniendiagramms ist das Tempo der Veränderung. Ob Umsatz, Körpergewicht oder Temperatur: Wie schnell sich etwas zwischen zwei Zeitpunkten ändert, berechnen Sie mit derselben Formel wie auf dieser Seite.

Formeln und Graphen

Steigung einer Geraden \(m\) (Änderungsrate)

Graph

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(m\) \(=\) \(y_2 - y_1\) \(\div\) \(x_2 - x_1\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

③ Steigung der Geraden \(m\) \(=\) ① Änderung in y (Höhenunterschied) \(\Delta y = y_2 - y_1\) \(\div\) ② Änderung in x (Längenunterschied) \(\Delta x = x_2 - x_1\)

Die Formel in Worten

① Teilt man die Änderung in y, \(\Delta y\) (wie weit es nach oben oder unten geht),

② durch die Änderung in x, \(\Delta x\) (wie weit es nach rechts geht),

③ erhält man die Steigung der Geraden \(m\) .

Einfaches Beispiel

Die Steigung der Geraden durch die Punkte A(3 | 4) und B(6 | 8) ist

Steigung \(m\) \(=\) Änderung in y (8 − 4 = 4) \(\div\) Änderung in x (6 − 3 = 3)

\(m = \frac{8 - 4}{6 - 3} = \frac{4}{3} \approx 1{,}333\)

Der Grundgedanke

Die Steigung gibt an, „um wie viel die Gerade steigt oder fällt, wenn man 1 nach rechts geht“. Im Unterricht zeichnet man dazu ein Steigungsdreieck: Höhenunterschied geteilt durch Längenunterschied. Sie ist dasselbe wie die Änderungsrate einer linearen Funktion (Klasse 7–8, 12–14 Jahre). Eine positive Steigung steigt von links nach rechts, eine negative fällt, und bei Steigung 0 ist die Gerade waagerecht. Subtrahieren Sie oben und unten in derselben Reihenfolge (wenn Sie Punkt 1 von Punkt 2 abziehen, dann in beiden). Vertauscht man die Reihenfolge, dreht sich das Vorzeichen um. Ist die Änderung in x gleich 0 (eine senkrechte Gerade), müsste man durch 0 teilen – die Steigung ist dann nicht definiert.

Abstand zweier Punkte \(d\)

Graph

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(d\) \(=\) \(\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

② Abstand der Punkte \(d\) \(=\) ① Wurzel aus der Summe der quadrierten Änderungen \(\Delta x^2 + \Delta y^2\)

Die Formel in Worten

① Berechnet man die Wurzel aus der Summe der quadrierten Änderungen \(\Delta x^2 + \Delta y^2\) (Änderung nach rechts und nach oben quadrieren, addieren und die Wurzel ziehen),

② erhält man den Abstand der Punkte \(d\) .

Einfaches Beispiel

Der Abstand der Punkte A(1 | 1) und B(4 | 5) (Δx = 3, Δy = 4) ist

Abstand \(d\) \(=\) Wurzel aus der Summe der Quadrate (3² + 4² = 25)

\(d = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)

Der Grundgedanke

Das ist einfach der Satz des Pythagoras. Stellen Sie sich ein rechtwinkliges Dreieck vor, dessen Katheten die Änderung nach rechts \(\Delta x\) und die Änderung nach oben \(\Delta y\) sind. Die Strecke zwischen den beiden Punkten ist seine Hypotenuse. Auch wenn eine Änderung negativ ist, wird sie durch das Quadrieren positiv – die Formel funktioniert also, egal wo die Punkte liegen.

Steigungswinkel \(\theta\) (Winkel der Geraden)

Graph

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(\theta\) \(=\) \(\arctan m\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

② Steigungswinkel \(\theta\) \(=\) ① Arkustangens der Steigung \(m\) (Winkel aus tan zurückgerechnet)

Die Formel in Worten

① Berechnet man den Arkustangens der Steigung \(m\) (also den Winkel, dessen tan gleich m ist),

② erhält man den Steigungswinkel \(\theta\) .

Einfaches Beispiel

Der Winkel zwischen der x-Achse und einer Geraden mit der Steigung 1 (pro 1 nach rechts 1 nach oben) ist

Steigungswinkel \(\theta\) \(=\) Arkustangens der Steigung (1)

\(\theta = \arctan 1 = 45^{\circ}\)

Der Grundgedanke

Steigung und Winkel hängen über \(m = \tan\theta\) zusammen. Der Arkustangens (\(\arctan\), auf dem Taschenrechner tan⁻¹) rechnet in die Gegenrichtung und bestimmt aus der Steigung den Winkel. \(\arctan\) liefert Winkel von −90° bis 90°; bei negativer Steigung (die Gerade fällt von links nach rechts) ist das Ergebnis also ein negativer Winkel. Dieser Rechner addiert zu negativen Winkeln 360°, damit sie von 0° bis unter 360° erscheinen (Beispiel: −63,4° → 296,6°). Eine senkrechte Gerade hat den Winkel 90°. Bei der Rechnung aus zwei Punkten wird der Winkel in Richtung „von Punkt 1 zu Punkt 2“ gemessen. Geben Sie dieselben Punkte in umgekehrter Reihenfolge ein, zeigt der Winkel in die Gegenrichtung (er unterscheidet sich um 180°).

Geradengleichung \(y = mx + b\)

Graph

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(y\) \(=\) \(m\) \(\times\) \(x\) \(+\) \(b\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

④ y-Koordinate eines Punktes auf der Geraden \(y\) \(=\) ② Steigung \(m\) \(\times\) ① x-Koordinate \(x\) \(+\) ③ y-Achsenabschnitt \(b\)

Die Formel in Worten

① Multipliziert man die x-Koordinate \(x\)

② mit der Steigung \(m\)

③ und addiert den y-Achsenabschnitt \(b\) ,

④ erhält man die y-Koordinate des Punktes auf der Geraden \(y\) .

Einfaches Beispiel

Die Gleichung der Geraden mit der Steigung −2 durch den Punkt P(1 | 5) (der y-Achsenabschnitt ist b = 5 − (−2) · 1 = 7) lautet

y-Koordinate \(y\) \(=\) Steigung (−2) \(\times\) x-Koordinate \(x\) \(+\) y-Achsenabschnitt (7)

\(b = y_1 - m x_1 = 5 - (-2) \times 1 = 7\)

\(y = -2x + 7\)

Der Grundgedanke

Kennt man die Steigung \(m\) und einen Punkt \(P(x_1 \,|\, y_1)\) der Geraden, gibt es genau eine Gerade. Den y-Achsenabschnitt \(b\) erhält man, indem man den Punkt einsetzt, \(y_1 = m x_1 + b\), und nach \(b\) auflöst: \(b = y_1 - m x_1\) (Punktprobe). Der y-Achsenabschnitt ist die Höhe, in der der Graph die y-Achse schneidet (\(y\) bei \(x = 0\)); die Nullstelle ist die Stelle, an der er die x-Achse schneidet (\(x\) bei \(y = 0\)). Die Nullstelle ist \(-b \div m\) (eine waagerechte Gerade mit \(m = 0\) hat keine Nullstelle, außer sie ist die x-Achse selbst).

Punkt in der Entfernung \(d\) von einem Punkt (bei gegebener Steigung \(m\))

Graph

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(\Delta x\) \(=\) \(d\) \(\div\) \(\sqrt{1 + m^2}\)

\(\Delta y\) \(=\) \(m\) \(\times\) \(\Delta x\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

③ Änderung in x \(\Delta x\) \(=\) ① zurückgelegte Strecke \(d\) \(\div\) ② Wurzel aus \(1 + m^2\)

⑥ Änderung in y \(\Delta y\) \(=\) ④ Steigung \(m\) \(\times\) ⑤ Änderung in x \(\Delta x\)

Die Formel in Worten

① Teilt man die zurückgelegte Strecke \(d\)

② durch die Wurzel aus \(1 + m^2\) ,

③ erhält man die Änderung in x \(\Delta x\) .

④ Multipliziert man dann die Steigung \(m\)

⑤ mit der Änderung in x \(\Delta x\) ,

⑥ erhält man die Änderung in y \(\Delta y\) (der erreichte Punkt ist also \((x_1 + \Delta x \,|\, y_1 + \Delta y)\))

Einfaches Beispiel

Geht man vom Punkt A(1 | 1) entlang einer Geraden mit der Steigung 0,75 die Strecke 5 nach rechts, kommt man an bei

Änderung in x \(\Delta x\) \(=\) zurückgelegte Strecke (5) \(\div\) \(\sqrt{1 + 0{,}75^2}\) (= 1,25)

\(\Delta x = 5 \div \sqrt{1 + 0{,}75^2} = 5 \div 1{,}25 = 4\)

\(\Delta y = 0{,}75 \times 4 = 3\)

\((x_2 \,|\, y_2) = (1 + 4 \,|\, 1 + 3) = (5 \,|\, 4)\)

Der Grundgedanke

Warum teilt man durch \(\sqrt{1 + m^2}\)? Auf einer Geraden mit der Steigung \(m\) geht es pro 1 nach rechts um \(m\) nach oben, die tatsächlich zurückgelegte Länge ist nach dem Satz des Pythagoras also \(\sqrt{1 + m^2}\). Anders gesagt: „Pro 1 nach rechts legt man \(\sqrt{1 + m^2}\) auf der Geraden zurück“ – teilt man die Strecke \(d\) durch \(\sqrt{1 + m^2}\), erhält man die Änderung nach rechts. Man kann in zwei Richtungen gehen, „nach rechts“ (\(\Delta x\) positiv) und „nach links“ (negativ), deshalb zeigt der Rechner beide Lösungen. Geben Sie statt der Steigung einen Winkel \(\theta\) an, legt der Winkel auch die Richtung fest, und es gibt nur eine Lösung: \(\Delta x = d\cos\theta\), \(\Delta y = d\sin\theta\).

Die Steigung einer Geraden ist „Änderung in y geteilt durch Änderung in x“, der Abstand zweier Punkte folgt aus dem Satz des Pythagoras, und den Winkel liefert der Arkustangens. Mit diesen drei Werkzeugen bestimmen Sie aus den Koordinaten zweier Punkte alles über eine Gerade. Umgekehrt finden Sie aus einem Punkt, einer Strecke und einer Steigung den Punkt, bei dem Sie ankommen.

Symbole und Begriffe

Symbole

\(m\)	m	Die Steigung der Geraden: um wie viel es pro 1 nach rechts nach oben oder unten geht. Positiv heißt steigend, negativ heißt fallend. Auch in deutschen Schulbüchern steht \(m\) für die Steigung.
\((x_1, y_1)\), \((x_2, y_2)\)	x eins, y eins	Die Koordinaten der beiden Punkte (in deutschen Schulbüchern meist \(P(x_1 \,\|\, y_1)\) geschrieben). \(x\) ist die waagerechte, \(y\) die senkrechte Lage; die kleine Zahl rechts unten (der Index) unterscheidet „ersten“ und „zweiten Punkt“.
\(\Delta x\), \(\Delta y\)	Delta x, Delta y	Die Änderung (um wie viel sich ein Wert verändert). \(\Delta\) (Delta) ist der griechische Buchstabe für „Differenz“: \(\Delta x = x_2 - x_1\) und \(\Delta y = y_2 - y_1\) – die beiden Seiten des Steigungsdreiecks.
\(d\)	d	Der Abstand der beiden Punkte, nach dem englischen bzw. lateinischen Wort für Abstand („distance“, „distantia“).
\(\theta\)	Theta	Ein griechischer Buchstabe, der oft für Winkel steht. Auf dieser Seite der Winkel zwischen Gerade und x-Achse (der Steigungswinkel; in deutschen Schulbüchern oft \(\alpha\)).
\(b\)	b	Der y-Achsenabschnitt: die Höhe, in der die Gerade die y-Achse schneidet (der Wert von \(y\) bei \(x = 0\)).
\(\tan\)	Tangens	Eine Winkelfunktion: „Gegenkathete durch Ankathete“, also „nach oben durch nach rechts“. Die Steigung einer Geraden hängt über \(m = \tan\theta\) mit ihrem Winkel zusammen.
\(\arctan\)	Arkustangens	Die Umkehrung des Tangens: Er bestimmt „den Winkel, dessen tan diese Zahl ist“. Auf dem Taschenrechner heißt die Taste tan⁻¹.

Begriffe

Steigung	Eine Zahl, die angibt, wie steil eine Gerade ist: um wie viel \(y\) zunimmt, wenn \(x\) um 1 zunimmt. Je größer sie ist, desto steiler die Gerade. Die Steigung einer Straße in Prozent folgt derselben Idee.
Änderungsrate	(Änderung in y) : (Änderung in x), auch mittlere Änderungsrate oder Differenzenquotient genannt. Bei einer linearen Funktion ist sie genau gleich der Steigung der Geraden.
lineare Funktion	Eine Funktion der Form \(f(x) = mx + b\). Ihr Graph ist eine Gerade mit der Steigung \(m\) und dem y-Achsenabschnitt \(b\) (manche Bücher schreiben \(y = mx + n\) oder \(y = mx + t\)).
y-Achsenabschnitt	Die Höhe, in der ein Graph die y-Achse schneidet (\(y\) bei \(x = 0\)). Bei \(y = mx + b\) ist das \(b\). Die Stelle, an der der Graph die x-Achse schneidet (\(x\) bei \(y = 0\)), heißt Nullstelle (x-Achsenabschnitt).
Steigungswinkel	Der Winkel, den eine Gerade mit der x-Achse (der Waagerechten) bildet. Mit der Steigung hängt er über \(m = \tan\theta\) zusammen.
Steigung in Prozent (Gefälle)	Die Alltagsangabe für die Steilheit von Straßen, Rampen und Abflüssen. „10 %“ auf einem Verkehrszeichen heißt „auf 100 m waagerecht 10 m Höhenunterschied“, also eine Steigung von 0,1. Bei Dächern gibt man in Deutschland meist die Dachneigung in Grad an.
Koordinaten	Ein Zahlenpaar (waagerechte Lage \| senkrechte Lage), das die Lage eines Punktes angibt. Der Punkt A(3 \| 4) liegt „3 nach rechts und 4 nach oben vom Ursprung“. Thema in Klasse 5–6 (10–12 Jahre).
senkrechte Gerade	Eine Gerade senkrecht zur x-Achse (parallel zur y-Achse). Die Änderung in x ist 0, die Formel für die Steigung müsste durch 0 teilen – die Steigung ist nicht definiert. Ihre Gleichung hat nicht die Form \(y = mx + b\), sondern \(x = \text{Konstante}\).

Das sollten Sie vorher wissen

Hier steht, was Ihnen hilft, die Rechnungen auf dieser Seite wirklich zu verstehen – statt nur auf die Schaltfläche zu klicken.
Wenn Sie nicht weiterkommen, ist das Wiederholen dieser Themen der schnellste Weg.

Das Koordinatensystem (Klasse 5–6, 10–12 Jahre)	Koordinaten wie A(3 \| 4) als „Paar aus waagerechter und senkrechter Lage“ lesen können Wissen, dass negative x- und y-Koordinaten links bzw. unten liegen
Rechnen mit negativen Zahlen (Klasse 6–7, 11–13 Jahre)	Mit negativen Zahlen subtrahieren können, etwa \(-1 - 5 = -6\) und \(5 - (-2) = 7\)
Lineare Funktionen und Änderungsrate (Klasse 7–8, 12–14 Jahre)	Wissen, dass der Graph von \(y = mx + b\) eine Gerade mit der Steigung \(m\) und dem y-Achsenabschnitt \(b\) ist Wissen, dass die Änderungsrate „Änderung in y geteilt durch Änderung in x“ ist (Steigungsdreieck)
Satz des Pythagoras (Klasse 8–9, 13–15 Jahre)	Wissen, dass die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks \(\sqrt{a^2 + b^2}\) ist (die Grundlage der Abstandsformel)
Der Tangens (Klasse 9–10, 14–16 Jahre)	Wissen, dass \(\tan\theta\) das Verhältnis „nach oben durch nach rechts“ zu einem Winkel ist (nur für den Winkel nötig, nicht für Steigung oder Abstand)

So berechnen Sie es in Excel

Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein – dann funktioniert sie direkt.

Tabelle für die Steigung m

x-Koordinate Punkt 1, x₁	3
y-Koordinate Punkt 1, y₁	4
x-Koordinate Punkt 2, x₂	6
y-Koordinate Punkt 2, y₂	8
Steigung m	=(B4-B2)/(B3-B1)

Tabelle für den Abstand d zweier Punkte

x-Koordinate Punkt 1, x₁	3
y-Koordinate Punkt 1, y₁	4
x-Koordinate Punkt 2, x₂	6
y-Koordinate Punkt 2, y₂	8
Abstand der Punkte d	=WURZEL((B3-B1)^2+(B4-B2)^2)

Tabelle für den Steigungswinkel θ

x-Koordinate Punkt 1, x₁	3
y-Koordinate Punkt 1, y₁	4
x-Koordinate Punkt 2, x₂	6
y-Koordinate Punkt 2, y₂	8
Steigungswinkel θ (Grad)	=GRAD(ARCTAN2(B3-B1;B4-B2))

Tabelle für y-Achsenabschnitt und Nullstelle

x-Koordinate eines Punktes der Geraden, x₁	1
y-Koordinate eines Punktes der Geraden, y₁	5
Steigung m	-2
y-Achsenabschnitt b	=B2-B3*B1
Nullstelle	=-B4/B3

Tabelle für den Punkt in der Entfernung d von einem Punkt

x-Koordinate Punkt 1, x₁	1
y-Koordinate Punkt 1, y₁	1
Zurückgelegte Strecke d	5
Steigung m	0,75
Änderung in x, Δx	=B3/WURZEL(1+B4^2)
Änderung in y, Δy	=B4*B5
x-Koordinate des Zielpunkts, x₂	=B1+B5
y-Koordinate des Zielpunkts, y₂	=B2+B6

Nach dem Einfügen sind die oberen Zeilen Ihre Eingaben, die Formeln in den unteren Zeilen werden automatisch berechnet.
„WURZEL(…)“ ist die Quadratwurzel, „^2“ quadriert, „GRAD(…)“ rechnet Bogenmaß in Grad um, und „ARCTAN2(Änderung nach rechts; Änderung nach oben)“ bestimmt den Winkel aus den Änderungen in beide Richtungen.
Die erste Tabelle ergibt eine Steigung von etwa 1,333, die zweite einen Abstand von 5 und die dritte einen Winkel von etwa 53,13°. ARCTAN2 in der dritten Tabelle liefert auch negative Winkel (von −180° bis 180°); für eine fallende Gerade addieren Sie 360, wenn Sie den Winkel von 0 bis 360° möchten.
Die fünfte Tabelle berechnet die Lösung nach rechts (im Beispiel den Punkt (5 | 4)). Für die Lösung nach links setzen Sie ein Minus an den Anfang der Formel für Δx (=-B3/WURZEL(1+B4^2)).

So berechnen Sie es in Google Tabellen

Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein – dann funktioniert sie direkt.

Tabelle für die Steigung m

x-Koordinate Punkt 1, x₁	3
y-Koordinate Punkt 1, y₁	4
x-Koordinate Punkt 2, x₂	6
y-Koordinate Punkt 2, y₂	8
Steigung m	=(B4-B2)/(B3-B1)

Tabelle für den Abstand d zweier Punkte

x-Koordinate Punkt 1, x₁	3
y-Koordinate Punkt 1, y₁	4
x-Koordinate Punkt 2, x₂	6
y-Koordinate Punkt 2, y₂	8
Abstand der Punkte d	=WURZEL((B3-B1)^2+(B4-B2)^2)

Tabelle für den Steigungswinkel θ

x-Koordinate Punkt 1, x₁	3
y-Koordinate Punkt 1, y₁	4
x-Koordinate Punkt 2, x₂	6
y-Koordinate Punkt 2, y₂	8
Steigungswinkel θ (Grad)	=GRAD(ARCTAN2(B3-B1;B4-B2))

Tabelle für y-Achsenabschnitt und Nullstelle

x-Koordinate eines Punktes der Geraden, x₁	1
y-Koordinate eines Punktes der Geraden, y₁	5
Steigung m	-2
y-Achsenabschnitt b	=B2-B3*B1
Nullstelle	=-B4/B3

Tabelle für den Punkt in der Entfernung d von einem Punkt

x-Koordinate Punkt 1, x₁	1
y-Koordinate Punkt 1, y₁	1
Zurückgelegte Strecke d	5
Steigung m	0,75
Änderung in x, Δx	=B3/WURZEL(1+B4^2)
Änderung in y, Δy	=B4*B5
x-Koordinate des Zielpunkts, x₂	=B1+B5
y-Koordinate des Zielpunkts, y₂	=B2+B6

Bei deutscher Spracheinstellung funktionieren in Google Tabellen dieselben Formeln wie in Excel (WURZEL, GRAD, ARCTAN2 und ^2). Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Eingaben durch Ihre eigenen Koordinaten.

So berechnen Sie es in Python

import math

x1, y1 = 3.0, 4.0   # Koordinaten von Punkt 1
x2, y2 = 6.0, 8.0   # Koordinaten von Punkt 2

delta_x = x2 - x1                       # Änderung in x
delta_y = y2 - y1                       # Änderung in y
slope = delta_y / delta_x               # Steigung m (ist delta_x gleich 0, ist die Gerade senkrecht und es gibt einen Fehler)
distance = math.hypot(delta_x, delta_y) # Abstand der Punkte (wie √(Δx²+Δy²))
angle = math.degrees(math.atan2(delta_y, delta_x)) % 360   # Winkel (0 bis 360°)
y_intercept = y1 - slope * x1           # y-Achsenabschnitt b

print(f"Steigung m: {slope}")
print(f"Abstand d: {distance}")
print(f"Winkel θ: {angle}")
print(f"Geradengleichung: y = {slope}x + {y_intercept}")

# Umgekehrt: der Punkt, den man von (x1, y1) aus mit der Steigung nach der Strecke d erreicht
d = 5.0
dx = d / math.sqrt(1 + slope ** 2)      # Lösung nach rechts (nach links ist -dx)
dy = slope * dx
print(f"Erreichter Punkt: ({x1 + dx}, {y1 + dy})")

Läuft nur mit der Standardbibliothek. math.hypot ist die Wurzel aus der Summe der Quadrate, math.atan2 der Arkustangens (eine Funktion, die aus den Änderungen nach rechts und nach oben den Winkel bestimmt). Python schreibt Dezimalzahlen mit Punkt statt Komma. Ändern Sie die Koordinaten oben und führen Sie das Skript aus.

So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)

Steigung einer Geraden \(m\) (Änderungsrate)

m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>m</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><msub><mi>y</mi><mn>2</mn></msub><mo>&#x2212;</mo><msub><mi>y</mi><mn>1</mn></msub></mrow>
      <mrow><msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub><mo>&#x2212;</mo><msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub></mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

m = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)

(y2 - y1)/(x2 - x1)

m := (y2 - y1)/(x2 - x1);

m = (y2 - y1)/(x2 - x1);

m = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)

Abstand zweier Punkte \(d\)

d = √(Δx² + Δy²)

d = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mo>=</mo>
    <msqrt>
      <mrow>
        <msup><mrow><mi mathvariant="normal">&#x394;</mi><mi>x</mi></mrow><mn>2</mn></msup>
        <mo>+</mo>
        <msup><mrow><mi mathvariant="normal">&#x394;</mi><mi>y</mi></mrow><mn>2</mn></msup>
      </mrow>
    </msqrt>
  </mrow>
</math>

d = sqrt((Delta x)^2 + (Delta y)^2)

Sqrt[dx^2 + dy^2]

d := sqrt(dx^2 + dy^2);

d = sqrt(dx^2 + dy^2);

d = √(Δx^2 + Δy^2)

Steigungswinkel \(\theta\) (Winkel der Geraden)

θ = arctan(m)

\theta = \arctan m

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>&#x3B8;</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>arctan</mi>
    <mo>&#x2061;</mo>
    <mi>m</mi>
  </mrow>
</math>

theta = arctan(m)

ArcTan[m]

theta := arctan(m);

theta = atan(m);

θ = arctan(m)

Geradengleichung \(y = mx + b\)

y = mx + b (b = y₁ − m·x₁)

y = mx + b, \quad b = y_1 - m x_1

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>y</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>m</mi><mi>x</mi>
    <mo>+</mo>
    <mi>b</mi>
    <mo>,</mo>
    <mi>b</mi>
    <mo>=</mo>
    <msub><mi>y</mi><mn>1</mn></msub>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mi>m</mi><msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub>
  </mrow>
</math>

y = m x + b, b = y_1 - m x_1

b = y1 - m*x1; y = m*x + b

b := y1 - m*x1; y := m*x + b;

b = y1 - m*x1; y = m*x + b;

y = mx + b, b = y_1 - mx_1

Punkt in der Entfernung \(d\) von einem Punkt (bei gegebener Steigung \(m\))

Δx = ±d ÷ √(1 + m²),  Δy = m·Δx

\Delta x = \pm\frac{d}{\sqrt{1 + m^2}}, \quad \Delta y = m\,\Delta x

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mrow><mi mathvariant="normal">&#x394;</mi><mi>x</mi></mrow>
    <mo>=</mo>
    <mo>&#xB1;</mo>
    <mfrac>
      <mi>d</mi>
      <msqrt><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><msup><mi>m</mi><mn>2</mn></msup></mrow></msqrt>
    </mfrac>
    <mo>,</mo>
    <mrow><mi mathvariant="normal">&#x394;</mi><mi>y</mi></mrow>
    <mo>=</mo>
    <mi>m</mi>
    <mrow><mi mathvariant="normal">&#x394;</mi><mi>x</mi></mrow>
  </mrow>
</math>

Delta x = +-d/sqrt(1 + m^2), Delta y = m Delta x

dx = d/Sqrt[1 + m^2]; dy = m*dx

dx := d/sqrt(1 + m^2); dy := m*dx;

dx = d/sqrt(1 + m^2); dy = m*dx;

Δx = ±d/√(1 + m^2), Δy = mΔx

So lassen Sie ChatGPT rechnen

Sie sind ein Rechenassistent für Mathematik. Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (nicht im Kopf rechnen und nicht schätzen).

Bestimmen Sie für die beiden Punkte A(3 | 4) und B(6 | 8) im Koordinatensystem:
1. Die Steigung m der Geraden durch die beiden Punkte
2. Den Abstand d der beiden Punkte
3. Den Winkel θ (in Grad) zwischen der Geraden und der x-Achse
4. Die Geradengleichung y = mx + b (geben Sie auch den y-Achsenabschnitt b an)

Zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis.

Anleitung

1

Werte eingeben

Tragen Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
2

Berechnen

Klicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
3

Ergebnis ansehen

Das Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel