Steigung berechnen (Steigung einer Geraden, Abstand und Winkel)

Es gibt zwei Möglichkeiten. [Aus zwei Punkten] Geben Sie die Koordinaten von Punkt 1 und Punkt 2 ein, um die Steigung, den Abstand, den Winkel und die Geradengleichung zu erhalten. [Aus einem Punkt und einer Strecke] Lassen Sie Punkt 2 leer und geben Sie die Strecke d und die Steigung m (oder den Winkel θ) ein, um die Koordinaten des Punktes zu erhalten, den Sie von Punkt 1 aus erreichen.

x-Koordinate X1 von Punkt 1

y-Koordinate Y1 von Punkt 1

x-Koordinate X2 von Punkt 2

y-Koordinate Y2 von Punkt 2

Strecke d (bei Vorgabe eines Punktes)

Steigung m

Winkel θ (Grad)

Koordinaten, Abstand und Steigung dürfen Dezimalzahlen oder negative Zahlen sein. Ist Punkt 2 (X2 und Y2) ausgefüllt, werden die Felder für Abstand d, Steigung m und Winkel θ nicht verwendet. Geben Sie sowohl die Steigung m als auch den Winkel θ ein, wird die Steigung m verwendet.

Ergebnis und Diagramm

Geben Sie links die Koordinaten von zwei Punkten ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis erscheint hier.

Inhaltsverzeichnis

[ Schließen X ]

Was Sie auf dieser Seite tun können
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
Anleitung
Formeln und Diagramme
Symbole und Begriffe
- Symbole
- Begriffe
Was Sie vorab wissen sollten
Mit Excel berechnen
Mit Google Tabellen berechnen
Mit Python berechnen
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
Die Vorteile von DataChef
Verwandte Funktionen
Alle NumberChef-Rechner

Was Sie auf dieser Seite tun können

Geben Sie die Koordinaten von zwei Punkten ein und erhalten Sie sofort die Steigung \(m\) der Geraden (die Änderungsrate einer linearen Funktion)
Zusammen mit der Steigung werden auch der Abstand der beiden Punkte, der Steigungswinkel \(\theta\), die Geradengleichung \(y = mx + b\), der y-Achsenabschnitt und der x-Achsenabschnitt bestimmt
Es funktioniert auch umgekehrt: Aus einem Punkt, einer Strecke, die man zurücklegt, und einer Steigung (oder einem Winkel) erhalten Sie die Koordinaten des Punktes, den Sie erreichen
Eine leicht verständliche Erklärung der Formeln sowie Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python finden Sie ebenfalls auf dieser Seite

Die Steigung lässt sich nur berechnen, wenn die beiden Punkte verschiedene x-Koordinaten haben. Eine Gerade durch zwei Punkte mit derselben x-Koordinate (eine senkrechte Gerade) hat keine definierte Steigung, deshalb wird „Nicht definiert“ angezeigt. Der Winkel θ wird gegen den Uhrzeigersinn von der positiven x-Achse aus gemessen und von 0° bis (ausschließlich) 360° angezeigt.

Wofür ist diese Berechnung nützlich?

Prüfen, ob eine Rollstuhlrampe die Vorgaben erfüllt (Bauen und Barrierefreiheit)

Nach DIN 18040 (barrierefreies Bauen) darf die Längsneigung einer Rampe in Deutschland höchstens 6 % betragen, also 6 cm Höhe auf 100 cm Länge (Steigung 0,06). Die Frage „Wie lang muss die Rampe für eine 30 cm hohe Schwelle mindestens sein?“ ist eine Steigungsrechnung: \(0{,}30 \div 5{,}00 = 0{,}06\), die Rampe muss also mindestens 5 m lang sein. Als Winkel sind das etwa 3,4°.
Beim Umbau einer Wohnung oder beim Entwurf eines Gebäudes lässt sich so mit Zahlen prüfen, ob eine Rampe sicher befahrbar ist. Maßgeblich sind immer die Vorgaben der Bauordnung Ihres Bundeslandes.

Ein Verkehrszeichen „Steigung 10 %“ lesen (Autofahren und Radfahren)

Ein Verkehrszeichen „Steigung 10 %“ sagt: „Auf 100 m waagerecht steigt die Straße um 10 m“, eine Steigung von 0,1. Als Winkel ist das \(\arctan 0{,}1 \approx 5{,}7°\). Erstaunlich wenige Menschen wissen, dass 10 % nicht 10° sind.
Wer das lesen kann, kann vorab beurteilen, wie steil ein Berg ist, wenn er beim Autofahren den Gang wählt oder eine Rad- oder Laufstrecke plant.

Den Winkel eines Dachs aus der Steigung bestimmen (Bauen und Heimwerken)

In Deutschland wird die Neigung eines Satteldachs meist als Dachneigung in Grad angegeben, etwa 35°. Die Steigung ist dann \(\tan 35° \approx 0{,}70\), also 70 %. Bei einer Halbspannweite von 4 m (Hausbreite 8 m) liegt der First etwa \(4 \times 0{,}70 \approx 2{,}8\) m höher als die Traufe. Umgekehrt ergibt sich aus der Steigung 1/3 der Winkel \(\arctan \dfrac{1}{3} \approx 18{,}4°\).
Dachdeckerinnen, Dachdecker und Planende nutzen diese Umrechnung jeden Tag. Sie hilft auch, wenn Sie das Dach eines Gartenhauses selbst bauen.

Die Steilheit eines Wanderwegs und die tatsächlich gegangene Strecke abschätzen (Wandern und Karten)

Steigt ein Weg auf der Karte auf einer waagerechten Strecke von 1000 m um 300 m, ist seine mittlere Steigung \(300 \div 1000 = 0{,}3\) (ein Winkel von etwa 16,7°), und nach dem Satz des Pythagoras beträgt die tatsächlich gegangene Strecke \(\sqrt{1000^2 + 300^2} \approx 1044\) m.
Wer mit Zahlen weiß, dass „die wirkliche Strecke länger ist als auf der Karte und die Steigung darüber entscheidet, wie anstrengend es wird“, plant Wanderungen sicherer.

Ablesen, wie schnell sich Daten ändern, an der Steigung (Beruf und Diagramme lesen)

Wuchs der Monatsumsatz von 40.000 € im April auf 58.000 € im Juli, ist die Steigung \((58.000 - 40.000) \div (7 - 4) = 6.000\) Euro pro Monat, das liest sich als „wächst im Durchschnitt um 6.000 € pro Monat“.
Die Steigung eines Liniendiagramms ist das Tempo der Änderung selbst. Aus den Werten zu zwei Zeitpunkten zu bestimmen, wie schnell sich etwas ändert, ob Umsatz, Körpergewicht oder Temperatur, ist dieselbe Rechnung wie die Steigungsformel dieser Seite.

Formeln und Diagramme

Steigung einer Geraden \(m\) (Änderungsrate)

Diagramm

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(m\) \(=\) \(y_2 - y_1\) \(\div\) \(x_2 - x_1\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

③ Steigung der Geraden \(m\) \(=\) ① Änderung von y (Höhenunterschied) \(\Delta y = y_2 - y_1\) \(\div\) ② Änderung von x (waagerechte Strecke) \(\Delta x = x_2 - x_1\)

Die Formel in Worten

① Nehmen Sie die Änderung von y, \(\Delta y\) (wie weit es nach oben oder unten geht)

② teilen Sie sie durch die Änderung von x, \(\Delta x\) (wie weit es nach rechts geht)

③ so erhalten Sie die Steigung der Geraden \(m\)

Einfaches Beispiel

Die Steigung der Geraden durch die Punkte (3|4) und (6|8) beträgt

Steigung \(m\) \(=\) Änderung von y (8 − 4 = 4) \(\div\) Änderung von x (6 − 3 = 3)

\(m = \frac{8 - 4}{6 - 3} = \frac{4}{3} \approx 1{,}333\)

Der Kerngedanke

Die Steigung sagt, „um wie viel die Gerade steigt oder fällt, wenn man 1 nach rechts geht“. Man nennt sie oft „Höhenunterschied durch waagerechte Strecke“ (Steigungsdreieck), und sie ist dasselbe wie die Änderungsrate einer linearen Funktion aus dem Mathematikunterricht der Klasse 7–8. Eine positive Steigung steigt von links nach rechts, eine negative fällt von links nach rechts, und die Steigung 0 ist eine waagerechte Gerade. Subtrahieren Sie oben und unten in derselben Reihenfolge (zieht man Punkt 1 von Punkt 2 ab, tut man es bei beiden). Vertauscht man die Reihenfolge, kommt das Vorzeichen falsch heraus. Ist die Änderung von x gleich 0 (eine senkrechte Gerade), müsste man durch 0 teilen, deshalb ist die Steigung nicht definiert.

Abstand zweier Punkte \(d\)

Diagramm

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(d\) \(=\) \(\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

② Abstand der Punkte \(d\) \(=\) ① Wurzel aus der Summe der quadrierten Änderungen \(\Delta x^2 + \Delta y^2\)

Die Formel in Worten

① Nehmen Sie die Wurzel aus der Summe der quadrierten Änderungen, \(\Delta x^2 + \Delta y^2\) (quadrieren Sie die Änderung nach rechts und die nach oben, addieren Sie sie und ziehen Sie die Wurzel)

② so erhalten Sie den Abstand der Punkte \(d\)

Einfaches Beispiel

Der Abstand der Punkte (1|1) und (4|5) (Δx = 3, Δy = 4) beträgt

Abstand \(d\) \(=\) Wurzel aus der Summe der Quadrate (3² + 4² = 25)

\(d = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)

Der Kerngedanke

Das ist einfach der Satz des Pythagoras. Stellen Sie sich ein rechtwinkliges Dreieck vor, dessen beide Katheten die Änderung nach rechts, \(\Delta x\), und die Änderung nach oben, \(\Delta y\), sind. Die Strecke zwischen den beiden Punkten ist seine Hypotenuse. Auch wenn eine Änderung negativ ist, wird sie durch das Quadrieren positiv, die Formel funktioniert also, wo auch immer die Punkte liegen.

Steigungswinkel \(\theta\) (der Winkel der Geraden)

Diagramm

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(\theta\) \(=\) \(\arctan m\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

② Steigungswinkel \(\theta\) \(=\) ① Arkustangens der Steigung \(m\) (der aus dem Tangens zurückgerechnete Winkel)

Die Formel in Worten

① Nehmen Sie den Arkustangens der Steigung \(m\) (bestimmen Sie den Winkel, dessen Tangens m ist)

② so erhalten Sie den Steigungswinkel \(\theta\)

Einfaches Beispiel

Der Winkel zwischen der x-Achse und einer Geraden mit der Steigung 1 (sie steigt pro 1 nach rechts um 1) beträgt

Steigungswinkel \(\theta\) \(=\) Arkustangens der Steigung (1)

\(\theta = \arctan 1 = 45^{\circ}\)

Der Kerngedanke

Die Steigung und der Winkel hängen über \(m = \tan\theta\) zusammen. Der Arkustangens (\(\arctan\), auf einem wissenschaftlichen Taschenrechner als tan⁻¹ angezeigt) geht den umgekehrten Weg und bestimmt den Winkel aus der Steigung. \(\arctan\) liefert Winkel von −90° bis 90°, bei negativer Steigung (die Gerade fällt von links nach rechts) ist das Ergebnis also ein negativer Winkel. Dieser Rechner addiert zu negativen Winkeln 360°, sodass sie von 0° bis 360° angezeigt werden (Beispiel: −63,4° → 296,6°). Der Winkel einer senkrechten Geraden ist 90°. Geht man von zwei Punkten aus, wird der Winkel in der Richtung „von Punkt 1 nach Punkt 2“ gemessen. Gibt man dieselben zwei Punkte in umgekehrter Reihenfolge ein, zeigt der Winkel also in die Gegenrichtung (er unterscheidet sich um 180°).

Gleichung einer Geraden \(y = mx + b\) (Form mit Steigung und Achsenabschnitt)

Diagramm

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(y\) \(=\) \(m\) \(\times\) \(x\) \(+\) \(b\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

④ y-Koordinate eines Punktes der Geraden \(y\) \(=\) ② Steigung \(m\) \(\times\) ① x-Koordinate \(x\) \(+\) ③ y-Achsenabschnitt \(b\)

Die Formel in Worten

① Nehmen Sie die x-Koordinate \(x\)

② multiplizieren Sie sie mit der Steigung \(m\)

③ addieren Sie den y-Achsenabschnitt \(b\)

④ so erhalten Sie die y-Koordinate des Punktes der Geraden \(y\)

Einfaches Beispiel

Die Gleichung der Geraden mit der Steigung −2 durch den Punkt (1|5) (der y-Achsenabschnitt ist b = 5 − (−2) × 1 = 7) lautet

y-Koordinate \(y\) \(=\) Steigung (−2) \(\times\) x-Koordinate \(x\) \(+\) y-Achsenabschnitt (7)

\(b = y_1 - m x_1 = 5 - (-2) \times 1 = 7\)

\(y = -2x + 7\)

Der Kerngedanke

Kennt man die Steigung \(m\) und einen Punkt \((x_1|y_1)\) der Geraden, gibt es genau eine Gerade. Der y-Achsenabschnitt \(b\) ergibt sich, wenn man „die Gleichung an diesem Punkt“, \(y_1 = m x_1 + b\), nach \(b\) auflöst: \(b = y_1 - m x_1\). In deutschen Schulbüchern steht für den y-Achsenabschnitt oft auch \(n\), also \(y = mx + n\). Der y-Achsenabschnitt ist die Höhe, in der der Graph die y-Achse schneidet (\(y\) bei \(x = 0\)), und der x-Achsenabschnitt ist die Stelle, an der der Graph die x-Achse schneidet (\(x\) bei \(y = 0\)). Der x-Achsenabschnitt ist \(-b \div m\) (eine waagerechte Gerade, \(m = 0\), hat keinen x-Achsenabschnitt, es sei denn, sie ist die x-Achse selbst).

Der Punkt im Abstand \(d\) von einem Punkt (bei gegebener Steigung \(m\))

Diagramm

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(\Delta x\) \(=\) \(d\) \(\div\) \(\sqrt{1 + m^2}\)

\(\Delta y\) \(=\) \(m\) \(\times\) \(\Delta x\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

③ Änderung von x \(\Delta x\) \(=\) ① zurückgelegte Strecke \(d\) \(\div\) ② Wurzel aus \(1 + m^2\)

⑥ Änderung von y \(\Delta y\) \(=\) ④ Steigung \(m\) \(\times\) ⑤ Änderung von x \(\Delta x\)

Die Formel in Worten

① Nehmen Sie die zurückgelegte Strecke \(d\)

② teilen Sie sie durch die Wurzel aus \(1 + m^2\)

③ so erhalten Sie die Änderung von x \(\Delta x\)

④ Multiplizieren Sie danach die Steigung \(m\)

⑤ mit der Änderung von x \(\Delta x\)

⑥ so erhalten Sie die Änderung von y \(\Delta y\) (der erreichte Punkt ist also \((x_1 + \Delta x|y_1 + \Delta y)\))

Einfaches Beispiel

Geht man vom Punkt (1|1) aus die Strecke 5 nach rechts entlang einer Geraden mit der Steigung 0,75, erreicht man

Änderung von x \(\Delta x\) \(=\) zurückgelegte Strecke (5) \(\div\) \(\sqrt{1 + 0{,}75^2}\) (= 1,25)

\(\Delta x = 5 \div \sqrt{1 + 0{,}75^2} = 5 \div 1{,}25 = 4\)

\(\Delta y = 0{,}75 \times 4 = 3\)

\((x_2|y_2) = (1 + 4|1 + 3) = (5|4)\)

Der Kerngedanke

Warum durch \(\sqrt{1 + m^2}\) teilen? Entlang einer Geraden mit der Steigung \(m\) geht es, wenn man 1 nach rechts geht, \(m\) nach oben, nach dem Satz des Pythagoras ist die tatsächlich zurückgelegte Länge also \(\sqrt{1 + m^2}\). Anders gesagt: „Pro 1 nach rechts legt man \(\sqrt{1 + m^2}\) entlang der Geraden zurück“, also ergibt die Strecke \(d\) geteilt durch \(\sqrt{1 + m^2}\) die Änderung nach rechts. Man kann in zwei Richtungen gehen, „nach rechts“ (\(\Delta x\) positiv) und „nach links“ (negativ), deshalb zeigt dieser Rechner beide Lösungen. Gibt man statt einer Steigung einen Winkel \(\theta\) an, legt der Winkel auch die Richtung fest, es gibt also nur eine Lösung: \(\Delta x = d\cos\theta\), \(\Delta y = d\sin\theta\).

Die Steigung einer Geraden ist „Änderung von y ÷ Änderung von x“ (Höhenunterschied durch waagerechte Strecke), der Abstand zweier Punkte folgt aus dem Satz des Pythagoras, und der Winkel aus dem Arkustangens. Mit diesen drei Werkzeugen lässt sich alles über eine Gerade aus den Koordinaten zweier Punkte bestimmen. Sie können auch den umgekehrten Weg gehen und den Punkt bestimmen, den man von einem Punkt aus mit einer Strecke und einer Steigung erreicht.

Symbole und Begriffe

Symbole

\(m\)	m	Die Steigung der Geraden: um wie viel sie steigt oder fällt, wenn man 1 nach rechts geht. Eine positive Steigung steigt von links nach rechts, eine negative fällt. In deutschen Schulen steht \(m\) für die Steigung.
\((x_1, y_1)\), \((x_2, y_2)\)	x eins, y eins	Die Koordinaten der beiden Punkte. \(x\) ist die waagerechte und \(y\) die senkrechte Position, und die kleine Zahl unten rechts (der Index) unterscheidet „den ersten Punkt“ vom „zweiten Punkt“.
\(\Delta x\), \(\Delta y\)	Delta x, Delta y	Die Änderung (um wie viel sich ein Wert geändert hat). \(\Delta\) (Delta) ist der griechische Buchstabe für „Änderung“: \(\Delta x = x_2 - x_1\) (waagerecht) und \(\Delta y = y_2 - y_1\) (senkrecht).
\(d\)	d	Der Abstand der beiden Punkte, vom Anfangsbuchstaben von „Distanz“.
\(\theta\)	Theta	Ein griechischer Buchstabe, der oft für Winkel verwendet wird. Auf dieser Seite ist es der Winkel zwischen der Geraden und der x-Achse (der Steigungswinkel).
\(b\)	b	Der y-Achsenabschnitt: die Höhe, in der die Gerade die y-Achse schneidet (der Wert von \(y\) bei \(x = 0\)).
\(\tan\)	Tangens	Eine Winkelfunktion: „Gegenkathete ÷ Ankathete“, also „nach oben ÷ nach rechts“, für einen Winkel. Die Steigung einer Geraden hängt über \(m = \tan\theta\) mit ihrem Winkel zusammen.
\(\arctan\)	Arkustangens	Die Umkehrung des Tangens: Sie bestimmt „den Winkel, dessen Tangens diese Zahl ist“. Auf einem wissenschaftlichen Taschenrechner wird sie als tan⁻¹ angezeigt.

Begriffe

Steigung	Eine Zahl, die angibt, wie steil eine Gerade ist: um wie viel \(y\) wächst, wenn \(x\) um 1 wächst („Höhenunterschied durch waagerechte Strecke“). Je größer sie ist, desto steiler ist die Gerade. Die Neigung einer Straße oder eines Daches beruht auf demselben Gedanken.
Änderungsrate	(Änderung von y) ÷ (Änderung von x). Sie wird zusammen mit linearen Funktionen in der Klasse 7–8 behandelt, und bei einer linearen Funktion ist sie genau dieselbe wie die Steigung der Geraden.
lineare Funktion	Eine Funktion der Form \(y = mx + b\). Ihr Graph ist eine Gerade mit der Steigung \(m\) und dem y-Achsenabschnitt \(b\) (in deutschen Schulen schreibt man auch \(y = mx + n\)).
Achsenabschnitt	Die Stelle, an der ein Graph eine Achse schneidet. Die Höhe, in der er die y-Achse schneidet, ist der y-Achsenabschnitt (\(y\) bei \(x = 0\)), und die Stelle, an der er die x-Achse schneidet, ist der x-Achsenabschnitt (\(x\) bei \(y = 0\)).
Steigungswinkel	Der Winkel, den eine Gerade mit der x-Achse (der Waagerechten) bildet. Er hängt über \(m = \tan\theta\) mit der Steigung zusammen.
Neigung in Prozent (Gefälle)	Der praktische Ausdruck für die Steilheit einer Straße, Rampe oder eines Dachs. Ein Verkehrszeichen „Steigung 10 %“ sagt „auf 100 m waagerecht steigt die Straße um 10 m“, das ist eine Steigung von 0,1. Bei Dächern gibt man die Dachneigung in Deutschland meist in Grad an.
Koordinaten	Ein Zahlenpaar (waagerechte Position\|senkrechte Position), das die Lage eines Punktes angibt. Der Punkt (3\|4) liegt „3 nach rechts und 4 nach oben vom Ursprung“. Das wird in Klasse 5–6 behandelt.
senkrechte Gerade	Eine Gerade, die senkrecht zur x-Achse steht (gerade nach oben verläuft). Die Änderung von x ist 0, die Steigungsformel würde also durch 0 teilen, und die Steigung ist nicht definiert. Ihre Gleichung hat nicht die Form \(y = mx + b\), sondern \(x = \text{konstant}\).

Was Sie vorab wissen sollten

Hier steht, was Ihnen hilft, die Rechnung dieser Seite wirklich zu verstehen und nicht nur den Knopf zu drücken.
Wenn Sie nicht weiterkommen, ist es der schnellste Weg, zu diesen Themen zurückzugehen.

Das Koordinatensystem (Klasse 5–6, 10–12 Jahre)	Koordinaten wie den Punkt (3\|4) als „ein Paar aus waagerechter und senkrechter Position“ lesen können Wissen, dass negative x- und y-Koordinaten Positionen links und unterhalb bedeuten
Rechnen mit negativen Zahlen (Klasse 6–7, 11–13 Jahre)	Mit negativen Zahlen subtrahieren können, wie in \(-1 - 5 = -6\) und \(5 - (-2) = 7\)
Lineare Funktionen und Änderungsrate (Klasse 7–8, 12–14 Jahre)	Wissen, dass der Graph von \(y = mx + b\) eine Gerade mit der Steigung \(m\) und dem y-Achsenabschnitt \(b\) ist Wissen, dass die Änderungsrate „Änderung von y ÷ Änderung von x“ ist
Der Satz des Pythagoras (Klasse 8, 13–14 Jahre)	Wissen, dass die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks \(\sqrt{a^2 + b^2}\) lang ist (das ist die Grundlage der Abstandsformel)
Der Tangens (Klasse 9–10, 14–16 Jahre)	Wissen, dass \(\tan\theta\) das Verhältnis „nach oben ÷ nach rechts“ für einen Winkel ist (nur für den Winkel nötig, für die Steigung oder den Abstand nicht)

Mit Excel berechnen

Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein. Sie funktioniert unverändert.

Tabelle zur Bestimmung der Steigung m

x-Koordinate x₁ von Punkt 1	3
y-Koordinate y₁ von Punkt 1	4
x-Koordinate x₂ von Punkt 2	6
y-Koordinate y₂ von Punkt 2	8
Steigung m	=(B4-B2)/(B3-B1)

Tabelle zur Bestimmung des Abstands d zweier Punkte

x-Koordinate x₁ von Punkt 1	3
y-Koordinate y₁ von Punkt 1	4
x-Koordinate x₂ von Punkt 2	6
y-Koordinate y₂ von Punkt 2	8
Abstand der Punkte d	=WURZEL((B3-B1)^2+(B4-B2)^2)

Tabelle zur Bestimmung des Steigungswinkels θ

x-Koordinate x₁ von Punkt 1	3
y-Koordinate y₁ von Punkt 1	4
x-Koordinate x₂ von Punkt 2	6
y-Koordinate y₂ von Punkt 2	8
Steigungswinkel θ (Grad)	=GRAD(ARCTAN2(B3-B1;B4-B2))

Tabelle zur Bestimmung von y-Achsenabschnitt und x-Achsenabschnitt

x-Koordinate eines Punktes der Geraden x₁	1
y-Koordinate eines Punktes der Geraden y₁	5
Steigung m	-2
y-Achsenabschnitt b	=B2-B3*B1
x-Achsenabschnitt	=-B4/B3

Tabelle zur Bestimmung des Punktes im Abstand d von einem Punkt

x-Koordinate x₁ von Punkt 1	1
y-Koordinate y₁ von Punkt 1	1
Zurückgelegte Strecke d	5
Steigung m	0,75
Änderung von x Δx	=B3/WURZEL(1+B4^2)
Änderung von y Δy	=B4*B5
Erreichte x-Koordinate x₂	=B1+B5
Erreichte y-Koordinate y₂	=B2+B6

Nach dem Einfügen sind die oberen Zeilen Ihre Eingaben, und die Formeln in den unteren Zeilen werden automatisch berechnet.
„WURZEL(…)“ ist die Quadratwurzel, „^2“ quadriert eine Zahl, „GRAD(…)“ rechnet das Bogenmaß in Grad um, und „ARCTAN2(Änderung nach rechts; Änderung nach oben)“ bestimmt den Winkel aus den Änderungen in den beiden Richtungen.
Die erste Tabelle ergibt eine Steigung von etwa 1,333, die zweite einen Abstand von 5 und die dritte einen Winkel von etwa 53,13°. ARCTAN2 liefert in der dritten Tabelle auch negative Winkel (von −180° bis 180°), bei einer Geraden, die von links nach rechts fällt, addieren Sie also 360, wenn Sie den Winkel von 0 bis 360° möchten.
Die fünfte Tabelle bestimmt die Lösung, die nach rechts führt (im Beispiel den Punkt (5|4)). Für die Lösung nach links setzen Sie ein Minuszeichen an den Anfang der Formel für Δx (=-B3/WURZEL(1+B4^2)).

Mit Google Tabellen berechnen

Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein. Sie funktioniert unverändert.

Tabelle zur Bestimmung der Steigung m

x-Koordinate x₁ von Punkt 1	3
y-Koordinate y₁ von Punkt 1	4
x-Koordinate x₂ von Punkt 2	6
y-Koordinate y₂ von Punkt 2	8
Steigung m	=(B4-B2)/(B3-B1)

Tabelle zur Bestimmung des Abstands d zweier Punkte

x-Koordinate x₁ von Punkt 1	3
y-Koordinate y₁ von Punkt 1	4
x-Koordinate x₂ von Punkt 2	6
y-Koordinate y₂ von Punkt 2	8
Abstand der Punkte d	=WURZEL((B3-B1)^2+(B4-B2)^2)

Tabelle zur Bestimmung des Steigungswinkels θ

x-Koordinate x₁ von Punkt 1	3
y-Koordinate y₁ von Punkt 1	4
x-Koordinate x₂ von Punkt 2	6
y-Koordinate y₂ von Punkt 2	8
Steigungswinkel θ (Grad)	=GRAD(ARCTAN2(B3-B1;B4-B2))

Tabelle zur Bestimmung von y-Achsenabschnitt und x-Achsenabschnitt

x-Koordinate eines Punktes der Geraden x₁	1
y-Koordinate eines Punktes der Geraden y₁	5
Steigung m	-2
y-Achsenabschnitt b	=B2-B3*B1
x-Achsenabschnitt	=-B4/B3

Tabelle zur Bestimmung des Punktes im Abstand d von einem Punkt

x-Koordinate x₁ von Punkt 1	1
y-Koordinate y₁ von Punkt 1	1
Zurückgelegte Strecke d	5
Steigung m	0,75
Änderung von x Δx	=B3/WURZEL(1+B4^2)
Änderung von y Δy	=B4*B5
Erreichte x-Koordinate x₂	=B1+B5
Erreichte y-Koordinate y₂	=B2+B6

Dieselben Formeln wie in Excel (WURZEL, GRAD, ARCTAN2 und ^2) funktionieren unverändert in Google Tabellen. Kopieren Sie die gesamte Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Eingabezahlen durch Ihre eigenen Koordinaten.

Mit Python berechnen

import math

x1, y1 = 3.0, 4.0   # Koordinaten von Punkt 1
x2, y2 = 6.0, 8.0   # Koordinaten von Punkt 2

delta_x = x2 - x1                       # Änderung von x (waagerecht)
delta_y = y2 - y1                       # Änderung von y (senkrecht)
slope = delta_y / delta_x               # Steigung m (ist delta_x 0, ist die Gerade senkrecht und das schlägt fehl)
distance = math.hypot(delta_x, delta_y) # Abstand der Punkte (wie √(Δx²+Δy²))
angle = math.degrees(math.atan2(delta_y, delta_x)) % 360   # Winkel (0 bis 360°)
y_intercept = y1 - slope * x1           # y-Achsenabschnitt b

print(f"Steigung m: {slope}")
print(f"Abstand d: {distance}")
print(f"Winkel θ: {angle}")
print(f"Geradengleichung: y = {slope}x + {y_intercept}")

# Die Umkehrung: der Punkt, den man erreicht, wenn man vom Punkt (x1, y1) die Strecke d entlang der Steigung geht
d = 5.0
dx = d / math.sqrt(1 + slope ** 2)      # Lösung nach rechts (nach links ist -dx)
dy = slope * dx
print(f"Erreichter Punkt: ({x1 + dx}, {y1 + dy})")

Läuft nur mit der Standardbibliothek. math.hypot ist die Wurzel aus der Summe der Quadrate, und math.atan2 ist der Arkustangens (eine Funktion, die den Winkel aus den Änderungen nach rechts und nach oben bestimmt). Ändern Sie die Koordinaten ganz oben und führen Sie den Code aus.

Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)

Steigung einer Geraden \(m\) (Änderungsrate)

m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>m</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><msub><mi>y</mi><mn>2</mn></msub><mo>&#x2212;</mo><msub><mi>y</mi><mn>1</mn></msub></mrow>
      <mrow><msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub><mo>&#x2212;</mo><msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub></mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

m = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)

(y2 - y1)/(x2 - x1)

m := (y2 - y1)/(x2 - x1);

m = (y2 - y1)/(x2 - x1);

m = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)

Abstand zweier Punkte \(d\)

d = √(Δx² + Δy²)

d = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mo>=</mo>
    <msqrt>
      <mrow>
        <msup><mrow><mi mathvariant="normal">&#x394;</mi><mi>x</mi></mrow><mn>2</mn></msup>
        <mo>+</mo>
        <msup><mrow><mi mathvariant="normal">&#x394;</mi><mi>y</mi></mrow><mn>2</mn></msup>
      </mrow>
    </msqrt>
  </mrow>
</math>

d = sqrt((Delta x)^2 + (Delta y)^2)

Sqrt[dx^2 + dy^2]

d := sqrt(dx^2 + dy^2);

d = sqrt(dx^2 + dy^2);

d = √(Δx^2 + Δy^2)

Steigungswinkel \(\theta\) (der Winkel der Geraden)

θ = arctan(m)

\theta = \arctan m

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>&#x3B8;</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>arctan</mi>
    <mo>&#x2061;</mo>
    <mi>m</mi>
  </mrow>
</math>

theta = arctan(m)

ArcTan[m]

theta := arctan(m);

theta = atan(m);

θ = arctan(m)

Gleichung einer Geraden \(y = mx + b\) (Form mit Steigung und Achsenabschnitt)

y = mx + b (b = y₁ − m·x₁)

y = mx + b, \quad b = y_1 - m x_1

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>y</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>m</mi><mi>x</mi>
    <mo>+</mo>
    <mi>b</mi>
    <mo>,</mo>
    <mi>b</mi>
    <mo>=</mo>
    <msub><mi>y</mi><mn>1</mn></msub>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mi>m</mi><msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub>
  </mrow>
</math>

y = m x + b, b = y_1 - m x_1

b = y1 - m*x1; y = m*x + b

b := y1 - m*x1; y := m*x + b;

b = y1 - m*x1; y = m*x + b;

y = mx + b, b = y_1 - mx_1

Der Punkt im Abstand \(d\) von einem Punkt (bei gegebener Steigung \(m\))

Δx = ±d ÷ √(1 + m²),  Δy = m·Δx

\Delta x = \pm\frac{d}{\sqrt{1 + m^2}}, \quad \Delta y = m\,\Delta x

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mrow><mi mathvariant="normal">&#x394;</mi><mi>x</mi></mrow>
    <mo>=</mo>
    <mo>&#xB1;</mo>
    <mfrac>
      <mi>d</mi>
      <msqrt><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><msup><mi>m</mi><mn>2</mn></msup></mrow></msqrt>
    </mfrac>
    <mo>,</mo>
    <mrow><mi mathvariant="normal">&#x394;</mi><mi>y</mi></mrow>
    <mo>=</mo>
    <mi>m</mi>
    <mrow><mi mathvariant="normal">&#x394;</mi><mi>x</mi></mrow>
  </mrow>
</math>

Delta x = +-d/sqrt(1 + m^2), Delta y = m Delta x

dx = d/Sqrt[1 + m^2]; dy = m*dx

dx := d/sqrt(1 + m^2); dy := m*dx;

dx = d/sqrt(1 + m^2); dy = m*dx;

Δx = ±d/√(1 + m^2), Δy = mΔx

Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen

Sie sind ein Rechenassistent für Mathematik. Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort ausschließlich auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (nicht im Kopf rechnen und nicht schätzen).

Bestimmen Sie für die beiden Punkte (3|4) und (6|8) im Koordinatensystem jeweils:
1. Die Steigung m der Geraden durch die beiden Punkte
2. Den Abstand d der beiden Punkte
3. Den Winkel θ (in Grad) zwischen der Geraden und der x-Achse
4. Die Gleichung der Geraden y = mx + b (nennen Sie auch den Wert des y-Achsenabschnitts b)

Nennen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis.

Anleitung

1

Zahlen eingeben

Geben Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
2

Berechnen

Klicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
3

Ergebnis ablesen

Das Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel