Konfidenzintervall berechnen (für den Mittelwert)

Geben Sie den Umfang der Stichprobe, den Stichprobenmittelwert, die Standardabweichung und das Konfidenzniveau ein. Der Rechner bestimmt das Konfidenzintervall für den Mittelwert der Grundgesamtheit (untere und obere Grenze), die Fehlerspanne und eine Tabelle für gängige Konfidenzniveaus.

Umfang der Stichprobe n

Stichprobenmittelwert x̄

Standardabweichung σ

Konfidenzniveau (%)

Geben Sie als Standardabweichung die Standardabweichung σ der Grundgesamtheit ein, wenn Sie sie kennen. Kennen Sie sie nicht, können Sie stattdessen die Standardabweichung Ihrer Stichprobe verwenden, solange die Stichprobe groß genug ist (als Faustregel 30 oder mehr). Geben Sie das Konfidenzniveau als Prozentzahl ein (zum Beispiel 95 für 95 %).

Ergebnis und Diagramm

Geben Sie in den Feldern links Zahlen ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis und ein Diagramm erscheinen hier.

Inhaltsverzeichnis

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Was Sie auf dieser Seite tun können
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
Anleitung
Formeln und Diagramm
Symbole und Begriffe
- Symbole
- Begriffe
Was Sie vorab wissen sollten
Mit Excel berechnen
Mit Google Tabellen berechnen
Mit Python berechnen
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
Die Vorteile von DataChef
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Was Sie auf dieser Seite tun können

Geben Sie den Umfang der Stichprobe \(n\), den Stichprobenmittelwert \(\bar{x}\), die Standardabweichung \(\sigma\) und das Konfidenzniveau (%) ein, und Sie sehen sofort das Konfidenzintervall für den Mittelwert der Grundgesamtheit (untere und obere Grenze)
Auch die Fehlerspanne \(E\) (um wie viel die Schätzung nach oben oder unten abweichen kann), der Standardfehler und der zum Konfidenzniveau gehörende kritische Wert z werden gleichzeitig berechnet
Die Konfidenzintervalle bei gängigen Konfidenzniveaus wie 90 %, 95 % und 99 % sehen Sie gesammelt in einer Tabelle, und in einem Diagramm können Sie prüfen, wie sich das Intervall weitet
Eine verständliche Erklärung der Formeln sowie Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python finden Sie ebenfalls auf dieser Seite

Dieser Rechner bestimmt ein Konfidenzintervall auf Grundlage der Normalverteilung (das z-Verfahren), wenn die Standardabweichung σ der Grundgesamtheit bekannt ist (oder die Stichprobe groß genug ist, um stattdessen die Standardabweichung der Stichprobe zu verwenden). Konfidenzintervalle auf Grundlage der t-Verteilung, die man bei kleiner Stichprobe und unbekannter Standardabweichung der Grundgesamtheit verwendet, werden nicht unterstützt.

Wofür ist diese Berechnung nützlich?

Was die „± Prozentpunkte“ in Umfragen wirklich aussagen (Nachrichten und Politik)

Die „Fehlerspanne“ in einem Umfrageergebnis wie „Zustimmung zu einem Gesetzesvorhaben bei 45 % (Fehlerspanne ±2,5 Prozentpunkte)“ ist genau die Fehlerspanne \(E\) auf dieser Seite. Bei einer Umfrage mit 45 % Zustimmung und 1.600 Befragten beträgt die Streuung \(\sigma = \sqrt{0{,}45 \times 0{,}55} \approx 0{,}497\), bei einem Konfidenzniveau von 95 % also \(E = 1{,}96 \times 0{,}497 \div \sqrt{1600} \approx 0{,}024\) (etwa ±2,4 Prozentpunkte). Das setzt voraus, dass sich der Anteil der Antworten durch eine Normalverteilung annähern lässt. Die „±2,5 Prozentpunkte“ in Nachrichtenmeldungen passen zu einer Schätzung mit 50 % Zustimmung, bei der die Streuung am größten ist.
So können Sie selbst beurteilen, ob eine Meldung wie „die Zustimmung hat sich um 1 Prozentpunkt verändert“ innerhalb der Fehlerspanne liegt.

Qualitätssicherung in der Fabrik: die Angabe „500 mL“ mit Zahlen belegen (Fertigung)

Eine Fabrik kann nicht jede Flasche öffnen und nachmessen, deshalb prüft sie eine Stichprobe. Haben 50 Flaschen im Durchschnitt 500,2 mL Inhalt bei einer Standardabweichung von 2 mL, lässt sich das 95-%-Konfidenzintervall für den durchschnittlichen Inhalt der gesamten Produktion auf etwa 499,65 bis 500,75 mL schätzen.
Allein mit Stichprobenprüfungen statistisch zu bestätigen, dass die Produkte die angegebene Füllmenge nicht unterschreiten, ist eine Rechnung, die in der Herstellung von Lebensmitteln, Getränken und Arzneimitteln jeden Tag verwendet wird.

Lesen, wie sicher es ist, dass eine neue Behandlung wirkt (Medizin)

Ergebnisse in medizinischen Fachartikeln werden fast immer mit einem Konfidenzintervall angegeben, etwa „das neue Medikament senkte den Blutdruck im Mittel um 8,0 mmHg (95-%-Konfidenzintervall: 5,6 bis 10,4)“. Bei einer Studie mit 100 Personen, in der die Senkungen eine Standardabweichung von 12 mmHg haben, ist \(E = 1{,}96 \times 12 \div \sqrt{100} \approx 2{,}4\).
Liegt das ganze Intervall auf der positiven Seite (es enthält die 0 nicht), spricht das dafür, dass das Medikament gewirkt hat. Enthält das Intervall die 0, lesen Sie das als „es kann Zufall sein“. Das ist eine der wichtigsten Arten, Gesundheitsinformationen selbst zu prüfen.

Eine bundesweite Erhebung durchführen, ohne alle zu befragen (Stichprobenerhebungen in Bildung und Verwaltung)

Alle Schülerinnen und Schüler des Landes zu untersuchen wäre ein riesiger Aufwand, deshalb arbeiten Vergleichsstudien zu Leistungen und Fitness oft mit Stichproben. Hat zum Beispiel eine Stichprobe von 400 Schülerinnen und Schülern beim 50-m-Lauf im Durchschnitt 9,2 Sekunden bei einer Standardabweichung von 0,8 Sekunden, beträgt das 95-%-Konfidenzintervall für die durchschnittliche Zeit aller etwa 9,12 bis 9,28 Sekunden. Schon 400 Schülerinnen und Schüler ergeben einen recht schmalen Bereich.
Auch amtliche Statistiken, etwa der Mikrozensus, aus dem das Statistische Bundesamt (Destatis) die Erwerbslosenquote berechnet, beruhen hauptsächlich auf Stichproben, und diese Rechnung belegt, wie genau sie sind.

Echte Verbesserungen von Rauschen auf einer Website unterscheiden (IT und Marketing)

Steigt die durchschnittliche Verweildauer auf Ihrer Seite von 180 auf 184 Sekunden, ist das dann die Wirkung Ihrer Änderung oder nur Zufall? Bei 2.500 Besucherinnen und Besuchern und einer Standardabweichung von 90 Sekunden beträgt das 95-%-Konfidenzintervall für die durchschnittliche Zeit etwa 176,5 bis 183,5 Sekunden, es gibt also eine Spanne von etwa ±3,5 Sekunden.
Ist eine Veränderung etwa so groß wie die Breite des Konfidenzintervalls, können Sie sagen, dass sie sich „noch nicht vom Zufall unterscheiden lässt“. Diese Idee ist die Grundlage dafür, A/B-Test-Ergebnisse nicht falsch zu lesen.

Formeln und Diagramm

Fehlerspanne \(E\) (die halbe Breite des Intervalls)

Diagramm

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(E\) \(=\) \(z\) \(\times\) \(\sigma\) \(\div\) \(\sqrt{n}\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

④ \(E\): Fehlerspanne \(=\) ③ \(z\): kritischer Wert für das Konfidenzniveau \(\times\) ① \(\sigma\): Standardabweichung der Grundgesamtheit \(\div\) ② \(\sqrt{n}\): Quadratwurzel des Stichprobenumfangs \(n\)

Die Formel in Worten

① Nehmen Sie die \(\sigma\): Standardabweichung der Grundgesamtheit

② teilen Sie sie durch die \(\sqrt{n}\): Quadratwurzel des Stichprobenumfangs \(n\) und Sie erhalten den Standardfehler (die Streuung des Stichprobenmittelwerts),

③ multiplizieren Sie mit dem \(z\): kritischer Wert für das Konfidenzniveau ,

④ und Sie erhalten die \(E\): Fehlerspanne

Einfaches Beispiel

Sie prüfen den Inhalt von 25 Flaschen. Bei einer Standardabweichung von 2 mL und einem Konfidenzniveau von 95 % (z = 1,96) ist die Fehlerspanne

\(E\): Fehlerspanne \(=\) z (1,96) \(\times\) Standardabweichung (2) \(\div\) Quadratwurzel aus 25 (5)

\(1{,}96 \times 2 \div 5 = 1{,}96 \times 0{,}4 = 0{,}784\)

Der Kerngedanke

\(\sigma \div \sqrt{n}\) heißt Standardfehler. Er ist das Maß für die Streuung des Stichprobenmittelwerts selbst. Der Kern ist, dass Sie durch \(\sqrt{n}\) (die Quadratwurzel) teilen und nicht durch \(n\): Eine 4-mal so große Stichprobe halbiert die Fehlerspanne nur. Deshalb braucht man viele Daten, um genauer zu werden.

Konfidenzintervall (untere Grenze \(L\) und obere Grenze \(U\))

Diagramm

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(L,\ U\) \(=\) \(\bar{x}\) \(\pm\) \(E\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(L\), \(U\): untere und obere Grenze des Konfidenzintervalls \(=\) ① \(\bar{x}\): Stichprobenmittelwert \(\pm\) ② \(E\): Fehlerspanne

Die Formel in Worten

① Bilden Sie aus dem \(\bar{x}\): Stichprobenmittelwert

② durch Abziehen und Addieren der \(E\): Fehlerspanne (das Zeichen ± steht für „minus“ und „plus“ zugleich),

③ und Sie erhalten die \(L\), \(U\): untere und obere Grenze des Konfidenzintervalls

Einfaches Beispiel

Beträgt der durchschnittliche Inhalt der 25 Flaschen 500,2 mL und die Fehlerspanne 0,784 mL, ist das 95-%-Konfidenzintervall für den Mittelwert der Grundgesamtheit

\(L\), \(U\): untere und obere Grenze des Konfidenzintervalls \(=\) Stichprobenmittelwert (500,2) \(\pm\) Fehlerspanne (0,784)

\(L = 500{,}2 - 0{,}784 = 499{,}416\)

\(U = 500{,}2 + 0{,}784 = 500{,}984\)

Der Kerngedanke

Setzt man die ersten beiden Formeln zusammen, erhält man die aus dem Lehrbuch bekannte Formel für ein Konfidenzintervall, \(\bar{x} \pm z \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\). Beim Lesen eines „95-%-Konfidenzintervalls“ ist Vorsicht geboten. Es sagt nicht: „Der Mittelwert der Grundgesamtheit liegt mit 95 % Wahrscheinlichkeit in diesem Intervall.“ Es sagt: „Würde man 100-mal eine Stichprobe ziehen und daraus auf dieselbe Weise ein Intervall bilden, enthielten etwa 95 dieser Intervalle den Mittelwert der Grundgesamtheit.“ Der Mittelwert der Grundgesamtheit ist ein fester Wert; es ist das Intervall, das sich von Stichprobe zu Stichprobe verschiebt.

Den kritischen Wert z aus dem Konfidenzniveau bestimmen

Diagramm

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(z\) \(=\) \(\Phi^{-1}\!\left(\dfrac{1+C}{2}\right)\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

② \(z\): kritischer Wert für das Konfidenzniveau \(=\) ① der von links gezählte Anteil (1 + Konfidenzniveau \(C\)) ÷ 2, umgerechnet in eine Stelle auf der z-Achse

Die Formel in Worten

① Bestimmen Sie den von links gezählten Anteil (1 + Konfidenzniveau \(C\)) ÷ 2, umgerechnet in eine Stelle auf der z-Achse (\(\Phi^{-1}\), „Phi hoch minus 1“, ist die Funktion, die „einen von links gezählten Anteil“ in „eine Stelle auf der waagerechten Achse“ umrechnet. Schreiben Sie das Konfidenzniveau \(C\) als Dezimalzahl, etwa 0,95 für 95 %)

② und das ist der \(z\): kritischer Wert für das Konfidenzniveau

Einfaches Beispiel

Der kritische Wert z für ein Konfidenzniveau von 95 % (C = 0,95) ist

kritischer Wert \(z\) \(=\) Stelle bei 97,5 % von links, \(\Phi^{-1}(0{,}975)\)

\(\Phi^{-1}\!\left(\dfrac{1+0{,}95}{2}\right) = \Phi^{-1}(0{,}975) \approx 1{,}96\)

Der Kerngedanke

Der kritische Wert z ist die Grenze in der Standardnormalverteilung, die in der Mitte genau das Konfidenzniveau (95 % bei 95 %) einschließt. Liegen in der Mitte 95 %, bleiben an jedem Rand 2,5 % übrig, also ist z die Stelle bei 97,5 % von links: \(\Phi^{-1}(0{,}975) \approx 1{,}96\). Die gängigen Werte stehen fest: 90 % → 1,6449, 95 % → 1,9600, 99 % → 2,5758, 99,9 % → 3,2905. Dieser Rechner bestimmt auch weniger gängige Konfidenzniveaus, die nicht in der Tabelle stehen (zum Beispiel 97 %).

Ein Konfidenzintervall ist „Stichprobenmittelwert ± Fehlerspanne“. Die Fehlerspanne ist \(z \times \sigma \div \sqrt{n}\), insgesamt also \(\bar{x} \pm z \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\). Je größer die Stichprobe (je größer \(\sqrt{n}\)), desto schmaler das Intervall; je höher das Konfidenzniveau (je größer z), desto breiter das Intervall.

Symbole und Begriffe

Symbole

\(n\)	n	Der Umfang der Stichprobe: wie viele Stücke oder Personen Sie tatsächlich gemessen haben. (Beispiel: Messen Sie 50 Flaschen, ist \(n = 50\).)
\(\bar{x}\)	x quer	Der Stichprobenmittelwert, der Durchschnitt der gemessenen Stichprobe. Der Querstrich oben ist das Zeichen für einen Mittelwert.
\(\sigma\)	Sigma	Die Standardabweichung der Grundgesamtheit, das Maß für die Streuung in der gesamten Grundgesamtheit. Ein griechischer Buchstabe, der dem deutschen s entspricht. Ist die Stichprobe groß genug, kann man stattdessen die Standardabweichung der Stichprobe verwenden.
\(\sqrt{n}\)	Wurzel aus n	Die Quadratwurzel des Stichprobenumfangs (Beispiel: \(\sqrt{25} = 5\)). Sie steht im Nenner des Standardfehlers, und sie ist der Grund dafür, dass die 4-fache Datenmenge den Fehler nur halbiert.
\(z\)	z (kritischer Wert)	Der vom Konfidenzniveau abhängige Faktor. Er ist die Grenze in der Standardnormalverteilung, die in der Mitte genau das Konfidenzniveau einschließt. Für 95 % beträgt er etwa 1,96. Man schreibt ihn auch z*.
\(E\)	E	Die Fehlerspanne (Fehlerschranke). Sie ist die halbe Breite des Konfidenzintervalls und ein Anhaltspunkt dafür, um wie viel der Stichprobenmittelwert nach oben oder unten vom Mittelwert der Grundgesamtheit abweichen kann. E steht für „Error“ (Fehler).
\(L,\ U\)	L, U	Die untere (englisch „lower“) und die obere (englisch „upper“) Grenze des Konfidenzintervalls, bestimmt mit \(L = \bar{x} - E\) und \(U = \bar{x} + E\).
\(\Phi^{-1}\)	Phi hoch minus 1	Die Umkehrfunktion von \(\Phi\), der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung. Sie nimmt eine Wahrscheinlichkeit (Fläche) und liefert das passende z. (Beispiel: \(\Phi^{-1}(0{,}975) \approx 1{,}96\))
\(C\)	C	Das Konfidenzniveau als Dezimalzahl geschrieben. Für 95 % ist \(C = 0{,}95\).

Begriffe

Konfidenzintervall	Ein aus Stichprobendaten geschätzter Bereich, in dem der Mittelwert der Grundgesamtheit wahrscheinlich liegt (auch Vertrauensintervall genannt). Man erhält ihn, indem man den Stichprobenmittelwert um die Fehlerspanne nach oben und unten erweitert.
Konfidenzniveau	Wie sicher Sie sich bei dem Intervall sein können. Es ist der Anteil der Intervalle, die den Mittelwert der Grundgesamtheit enthielten, wenn man Intervalle immer wieder auf dieselbe Weise bildete. Am häufigsten verwendet man 95 %.
Grundgesamtheit	Die gesamte Gruppe, die Sie eigentlich untersuchen möchten. (Beispiele: alle Flaschen, die eine Fabrik herstellt, oder alle Wahlberechtigten des Landes)
Stichprobe	Der Teil der Grundgesamtheit, den Sie tatsächlich auswählen und untersuchen. Aus einer Stichprobe darauf zu schließen, wie die Grundgesamtheit aussieht, ist das Schätzen der Statistik.
Mittelwert der Grundgesamtheit	Der Mittelwert der gesamten Grundgesamtheit (auch Erwartungswert genannt). Man kann nicht alles messen, deshalb ist sein genauer Wert unbekannt. Ein Konfidenzintervall schätzt, wo dieser unbekannte Wert liegt. Üblicherweise schreibt man ihn \(\mu\) (My).
Stichprobenmittelwert	Der Mittelwert der Stichprobe, \(\bar{x}\). Er ist die wahrscheinlichste einzelne Schätzung des Mittelwerts der Grundgesamtheit (eine Punktschätzung), ändert sich aber jedes Mal ein wenig, je nachdem, welche Stichprobe Sie gerade ziehen.
Standardfehler	Das Maß für die Streuung des Stichprobenmittelwerts selbst, bestimmt mit \(\sigma \div \sqrt{n}\). Er wird leicht mit der Streuung der einzelnen Datenwerte (der Standardabweichung) verwechselt, seien Sie also vorsichtig.
Intervallschätzung	Ein Verfahren, einen unbekannten Wert wie den Mittelwert der Grundgesamtheit nicht mit einer einzelnen Zahl, sondern mit einem Bereich zu schätzen. Im Vergleich zur Punktschätzung liegt ihre Stärke darin, dass sie auch zeigt, wie weit die Schätzung danebenliegen kann.
t-Verteilung	Die Verteilung, die man anstelle der Normalverteilung (z) verwendet, wenn die Stichprobe klein und die Standardabweichung der Grundgesamtheit unbekannt ist (auch Student-Verteilung genannt). Der Rechner auf dieser Seite unterstützt nur das z-Verfahren. Je größer die Stichprobe wird, desto mehr nähert sich die t-Verteilung der Normalverteilung an, und die Ergebnisse werden nahezu gleich.

Was Sie vorab wissen sollten

Hier finden Sie zusammengestellt, was Ihnen hilft, die Berechnung auf dieser Seite mit echtem Verständnis zu nutzen und nicht nur den Knopf zu drücken.

Der Mittelwert (Klasse 5–6, 10–12 Jahre)	Wissen, dass man den Mittelwert erhält, indem man alle Daten addiert und durch die Anzahl der Werte teilt
Quadratwurzeln (Klasse 9, 14–15 Jahre)	Wissen, dass eine Quadratwurzel die Zahl ist, die quadriert die ursprüngliche Zahl ergibt, wie in \(\sqrt{25} = 5\)
Zufallsstichproben (Klasse 9–10, 14–16 Jahre)	Wissen, dass man statt des Ganzen (der Grundgesamtheit) auch einen Teil (eine Stichprobe) untersuchen und daraus auf das Ganze schließen kann Wissen, dass die Stichprobe ohne Verzerrung (zufällig) ausgewählt werden muss
Datenanalyse und Standardabweichung (Oberstufe, ab 16 Jahren)	Wissen, dass die Standardabweichung die Größe der Streuung der Daten als eine Zahl ausdrückt
Die Normalverteilung und Intervallschätzung (Oberstufe, ab 16 Jahren)	Wissen, dass die Normalverteilung eine symmetrische Glockenform um den Mittelwert hat Die Faustregel der Normalverteilung kennen, dass etwa 95 % innerhalb von 1,96 Standardabweichungen um den Mittelwert liegen

Mit Excel berechnen

Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein. Sie funktioniert unverändert.

Tabelle zur Berechnung des kritischen Werts z für ein Konfidenzniveau

Niveau (%)	95
z	=NORM.S.INV((1+B1/100)/2)

Tabelle zur Berechnung der Fehlerspanne E

z	1,96
Standardabw. σ	2
Umfang n	25
Fehlerspanne E	=B1*B2/WURZEL(B3)

Tabelle zur Berechnung des Konfidenzintervalls (untere und obere Grenze)

Umfang n	50
Mittelwert x̄	500,2
Standardabw. σ	2
Niveau (%)	95
z	=NORM.S.INV((1+B4/100)/2)
Fehlerspanne E	=B5*B3/WURZEL(B1)
Untere Grenze	=B2-B6
Obere Grenze	=B2+B6

„NORM.S.INV(Wahrsch)“ ist die Funktion, die aus einer Wahrscheinlichkeit z bestimmt (die Umkehrfunktion der Verteilungsfunktion, \(\Phi^{-1}\)). „WURZEL“ ist die Quadratwurzel.
Die erste Tabelle bestimmt z allein aus dem Konfidenzniveau (B1); geben Sie 95 ein, dann ist B2 etwa 1,959964. Die zweite Tabelle ist die Fehlerspanne; mit den Beispielwerten ist B4 gleich 0,784.
Die dritte Tabelle bestimmt das Konfidenzintervall aus allen Eingaben auf einmal. Mit den Beispielwerten (n = 50, x̄ = 500,2, σ = 2, 95 %) ist die untere Grenze (B7) etwa 499,6456 und die obere Grenze (B8) etwa 500,7544. Ersetzen Sie einfach B1 bis B4 durch Ihre eigenen Zahlen.

Mit Google Tabellen berechnen

Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein. Sie funktioniert unverändert.

Tabelle zur Berechnung des kritischen Werts z für ein Konfidenzniveau

Niveau (%)	95
z	=STANDNORMINV((1+B1/100)/2)

Tabelle zur Berechnung der Fehlerspanne E

z	1,96
Standardabw. σ	2
Umfang n	25
Fehlerspanne E	=B1*B2/WURZEL(B3)

Tabelle zur Berechnung des Konfidenzintervalls (untere und obere Grenze)

Umfang n	50
Mittelwert x̄	500,2
Standardabw. σ	2
Niveau (%)	95
z	=STANDNORMINV((1+B4/100)/2)
Fehlerspanne E	=B5*B3/WURZEL(B1)
Untere Grenze	=B2-B6
Obere Grenze	=B2+B6

In Google Tabellen schreibt man die Funktion, die aus einer Wahrscheinlichkeit z bestimmt, „STANDNORMINV(Wahrsch)“ (sie arbeitet wie „NORM.S.INV“ in Excel). Alle anderen Formeln sind dieselben wie in Excel.
Kopieren Sie die gesamte Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Zahlen in Spalte B durch Ihre eigenen. Die Ergebnisse sind dieselben wie in der Excel-Version: In der dritten Tabelle ist die untere Grenze etwa 499,6456 und die obere Grenze etwa 500,7544.

Mit Python berechnen

import math
from statistics import NormalDist

sample_size = 50        # Stichprobenumfang n
sample_mean = 500.2     # Stichprobenmittelwert x̄
sd = 2                  # Standardabweichung σ
confidence_level = 95   # Konfidenzniveau (%)

z = NormalDist().inv_cdf((1 + confidence_level / 100) / 2)  # kritischer Wert z für das Konfidenzniveau
standard_error = sd / math.sqrt(sample_size)                # Standardfehler σ ÷ √n
margin_of_error = z * standard_error                        # Fehlerspanne E
lower = sample_mean - margin_of_error                       # untere Grenze des Konfidenzintervalls
upper = sample_mean + margin_of_error                       # obere Grenze des Konfidenzintervalls

print(f"z: {z}")
print(f"Fehlerspanne E: {margin_of_error}")
print(f"{confidence_level} %-Konfidenzintervall: {lower} bis {upper}")

Der Code läuft nur mit der Standardbibliothek. NormalDist().inv_cdf() ist die Funktion, die aus einer Wahrscheinlichkeit z bestimmt (\(\Phi^{-1}\)). Ersetzen Sie die ersten vier Werte durch Ihre eigenen Zahlen und führen Sie den Code aus. Mit den Beispielwerten werden etwa 499,65 bis 500,75 angezeigt (die Python-Ausgabe verwendet dabei Punkte statt Kommas).

Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)

Fehlerspanne \(E\) (die halbe Breite des Intervalls)

E = z × σ ÷ √n

E = z \times \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>E</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>z</mi>
    <mo>&#x00D7;</mo>
    <mfrac>
      <mi>&#x3C3;</mi>
      <msqrt><mi>n</mi></msqrt>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

E = z sigma / sqrt(n)

z*sigma/Sqrt[n]

E := z*sigma/sqrt(n);

E = z*sigma/sqrt(n);

E = zσ/√n

Konfidenzintervall (untere Grenze \(L\) und obere Grenze \(U\))

L = x̄ − E,  U = x̄ + E

L = \bar{x} - E,\quad U = \bar{x} + E

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>L</mi>
    <mo>=</mo>
    <mover><mi>x</mi><mo>&#x00AF;</mo></mover>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mi>E</mi>
    <mo>,</mo>
    <mspace width="1em"/>
    <mi>U</mi>
    <mo>=</mo>
    <mover><mi>x</mi><mo>&#x00AF;</mo></mover>
    <mo>+</mo>
    <mi>E</mi>
  </mrow>
</math>

L = bar x - E, U = bar x + E

{xbar - e, xbar + e}

L := xbar - E; U := xbar + E;

L = xbar - E; U = xbar + E;

L = x̄ - E, U = x̄ + E

Den kritischen Wert z aus dem Konfidenzniveau bestimmen

z = Φ⁻¹((1 + C) ÷ 2)

z = \Phi^{-1}\!\left(\dfrac{1+C}{2}\right)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>z</mi>
    <mo>=</mo>
    <msup><mi>&#x3A6;</mi><mrow><mo>&#x2212;</mo><mn>1</mn></mrow></msup>
    <mrow>
      <mo>(</mo>
      <mfrac>
        <mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>C</mi></mrow>
        <mn>2</mn>
      </mfrac>
      <mo>)</mo>
    </mrow>
  </mrow>
</math>

z = Phi^-1((1 + C)/2)

InverseCDF[NormalDistribution[0, 1], (1 + c)/2]

with(Statistics): Quantile(RandomVariable(Normal(0, 1)), (1 + c)/2);

z = norminv((1 + c)/2);

z = Φ^(-1)((1+C)/2)

Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen

Sie sind ein Assistent für statistische Berechnungen. Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort ausschließlich auf die Zahlen aus dem Ergebnis der Ausführung (antworten Sie nicht durch Kopfrechnen oder Raten).

Aus einer Fabrikanlage wurden 50 Flaschen entnommen und ihr Inhalt gemessen. Der Mittelwert betrug 500,2 mL. Es ist bekannt, dass die Streuung der Füllmenge (die Standardabweichung der Grundgesamtheit) 2 mL beträgt.
1. Bestimmen Sie den kritischen Wert z für ein Konfidenzniveau von 95 % (verwenden Sie die Umkehrfunktion der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung; die Funktion statistics.NormalDist().inv_cdf aus der Standardbibliothek von Python ist verwendbar).
2. Bestimmen Sie die Fehlerspanne E = z × σ ÷ √n.
3. Bestimmen Sie das 95-%-Konfidenzintervall (untere und obere Grenze) für den Mittelwert der Grundgesamtheit (den wahren durchschnittlichen Inhalt aller Flaschen).

Zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ergebnis der Ausführung.

Anleitung

1

Zahlen eingeben

Geben Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
2

Berechnen

Klicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
3

Ergebnis ablesen

Das Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel