Konfidenzintervall berechnen für den Mittelwert

Geben Sie Stichprobenumfang, Stichprobenmittel, Standardabweichung und Konfidenzniveau ein. Der Rechner bestimmt das Konfidenzintervall für den Mittelwert der Grundgesamtheit (untere und obere Grenze), die Fehlermarge und eine Tabelle für die üblichen Konfidenzniveaus.

Stichprobenumfang n

Stichprobenmittel x̄

Standardabweichung σ

Konfidenzniveau (%)

Als Standardabweichung geben Sie die der Grundgesamtheit σ ein, falls Sie sie kennen. Andernfalls können Sie die Standardabweichung Ihrer Stichprobe verwenden, sofern die Stichprobe groß genug ist (Faustregel ab 30). Das Konfidenzniveau geben Sie als Prozentzahl ein (für 95 % also 95).

Ergebnis und Graph

Geben Sie links Ihre Werte ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Ergebnis und Graph erscheinen dann hier.

Inhaltsverzeichnis

[ Schließen X ]

Das können Sie auf dieser Seite
Wofür braucht man diese Berechnung?
Anleitung
Formeln und Graphen
Symbole und Begriffe
- Symbole
- Begriffe
Das sollten Sie vorher wissen
So berechnen Sie es in Excel
So berechnen Sie es in Google Tabellen
So berechnen Sie es in Python
So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
So lassen Sie ChatGPT rechnen
Die Vorteile von DataChef
Verwandte Funktionen
Alle Rechner von NumberChef

Das können Sie auf dieser Seite

Geben Sie den Stichprobenumfang \(n\), das Stichprobenmittel \(\bar{x}\), die Standardabweichung \(\sigma\) und das Konfidenzniveau (%) ein – und Sie sehen sofort das Konfidenzintervall für den Mittelwert der Grundgesamtheit (untere und obere Grenze)
Gleichzeitig berechnet werden die Fehlermarge \(E\) (um wie viel die Schätzung nach oben oder unten abweichen kann), der Standardfehler und der zum Konfidenzniveau passende z-Wert
Die Konfidenzintervalle für die üblichen Niveaus 90 %, 95 % und 99 % stehen übersichtlich in einer Tabelle, und ein Graph zeigt, wie das Intervall breiter wird
Dazu eine verständliche Erklärung der Formeln sowie fertige Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python

Dieser Rechner bestimmt ein Konfidenzintervall auf Grundlage der Normalverteilung (mit dem z-Wert), wenn die Standardabweichung σ der Grundgesamtheit bekannt ist – oder wenn die Stichprobe groß genug ist, um stattdessen die Standardabweichung der Stichprobe zu verwenden. Konfidenzintervalle mit der t-Verteilung, die man bei kleinen Stichproben und unbekannter Standardabweichung der Grundgesamtheit braucht, berechnet er nicht.

Wofür braucht man diese Berechnung?

Was hinter „± Prozentpunkten“ in Umfragen steckt (Nachrichten und Politik)

Die „Fehlertoleranz“ in einem Umfrageergebnis wie „45 % sind mit der Bundesregierung zufrieden (Fehlertoleranz ±2,5 Prozentpunkte)“ ist genau die Fehlermarge \(E\) auf dieser Seite. Bei 45 % Zustimmung und 1.600 Befragten ist die Streuung \(\sigma = \sqrt{0{,}45 \times 0{,}55} \approx 0{,}497\), beim Konfidenzniveau 95 % also \(E = 1{,}96 \times 0{,}497 \div \sqrt{1600} \approx 0{,}024\) (etwa ±2,4 Prozentpunkte). Dabei nimmt man an, dass sich der Anteil der Antworten durch eine Normalverteilung annähern lässt. Die „±2,5 Prozentpunkte“ in Medienberichten entsprechen einer Schätzung mit 50 % Zustimmung, bei der die Streuung am größten ist.
So können Sie selbst beurteilen, ob eine Meldung wie „Zustimmung um 1 Prozentpunkt gestiegen“ noch innerhalb der Fehlertoleranz liegt.

Qualitätskontrolle in der Fabrik: die Angabe „500 ml“ mit Zahlen belegen (Produktion)

Eine Fabrik kann nicht jede Flasche öffnen und nachmessen, deshalb prüft sie eine Stichprobe. Haben 50 Flaschen einen mittleren Inhalt von 500,2 ml bei einer Standardabweichung von 2 ml, so liegt das 95-%-Konfidenzintervall für den mittleren Inhalt der gesamten Produktion bei etwa 499,65 bis 500,75 ml.
Allein mit Stichproben statistisch zu prüfen, dass die angegebene Füllmenge nicht unterschritten wird – diese Rechnung wird in der Lebensmittel-, Getränke- und Arzneimittelherstellung jeden Tag gebraucht.

Einschätzen, wie sicher eine neue Behandlung wirkt (Medizin)

Ergebnisse in medizinischen Studien werden fast immer mit einem Konfidenzintervall angegeben, etwa „Das neue Medikament senkte den Blutdruck im Mittel um 8,0 mmHg (95-%-Konfidenzintervall: 5,6 bis 10,4)“. In einer Studie mit 100 Personen, in der die Senkung eine Standardabweichung von 12 mmHg hat, ist \(E = 1{,}96 \times 12 \div \sqrt{100} \approx 2{,}4\).
Liegt das ganze Intervall im positiven Bereich (es enthält die 0 nicht), spricht das für eine Wirkung des Medikaments. Enthält das Intervall die 0, kann das Ergebnis auch Zufall sein. Das ist eine der wichtigsten Regeln, um Gesundheitsinformationen selbst zu prüfen.

Bundesweite Erhebungen, ohne alle zu befragen (Stichproben in Bildung und Verwaltung)

Alle Schülerinnen und Schüler des Landes zu testen, wäre ein riesiger Aufwand. Deshalb arbeiten bundesweite Studien zu Fitness und Schulleistungen oft mit Stichproben. Läuft eine Stichprobe von 400 Kindern die 50 m im Mittel in 9,2 Sekunden bei einer Standardabweichung von 0,8 Sekunden, so liegt das 95-%-Konfidenzintervall für die mittlere Zeit aller Kinder bei etwa 9,12 bis 9,28 Sekunden. Schon 400 Kinder ergeben einen recht schmalen Bereich.
Auch die amtliche Statistik beruht zu einem großen Teil auf Stichproben – etwa der Mikrozensus des Statistischen Bundesamts, für den rund 1 % der Haushalte in Deutschland befragt wird. Diese Rechnung belegt, wie genau solche Zahlen sind.

Echte Verbesserungen auf einer Website vom Zufall unterscheiden (IT und Marketing)

Die mittlere Verweildauer auf Ihrer Website steigt von 180 auf 184 Sekunden – ist das die Wirkung Ihrer Änderung oder nur Zufall? Bei 2.500 Besuchern und einer Standardabweichung von 90 Sekunden liegt das 95-%-Konfidenzintervall für die mittlere Verweildauer bei etwa 176,5 bis 183,5 Sekunden, also bei rund ±3,5 Sekunden.
Ist eine Veränderung etwa so groß wie die Breite des Konfidenzintervalls, lässt sie sich noch nicht vom Zufall unterscheiden. Dieser Gedanke ist die Grundlage, um Ergebnisse von A/B-Tests nicht falsch zu lesen.

Formeln und Graphen

Fehlermarge \(E\) (die halbe Breite des Intervalls)

Graph

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(E\) \(=\) \(z\) \(\times\) \(\sigma\) \(\div\) \(\sqrt{n}\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

④ \(E\): Fehlermarge \(=\) ③ \(z\): z-Wert zum Konfidenzniveau \(\times\) ① \(\sigma\): Standardabweichung der Grundgesamtheit \(\div\) ② \(\sqrt{n}\): Wurzel aus dem Stichprobenumfang \(n\)

Die Formel in Worten

① Man teilt die \(\sigma\): Standardabweichung der Grundgesamtheit

② durch die \(\sqrt{n}\): Wurzel aus dem Stichprobenumfang \(n\) und erhält den Standardfehler (die Streuung des Stichprobenmittels).

③ Multipliziert man ihn mit dem \(z\): z-Wert zum Konfidenzniveau ,

④ ergibt sich die \(E\): Fehlermarge .

Einfaches Beispiel

Sie prüfen den Inhalt von 25 Flaschen. Bei einer Standardabweichung von 2 ml und einem Konfidenzniveau von 95 % (z = 1,96) beträgt die Fehlermarge

\(E\): Fehlermarge \(=\) z (1,96) \(\times\) Standardabweichung (2) \(\div\) Wurzel aus 25 (5)

\(1{,}96 \times 2 \div 5 = 1{,}96 \times 0{,}4 = 0{,}784\)

Der Grundgedanke

\(\sigma \div \sqrt{n}\) heißt Standardfehler. Er gibt an, wie stark das Stichprobenmittel selbst streut. Entscheidend ist, dass man durch \(\sqrt{n}\) (die Wurzel) teilt und nicht durch \(n\): Eine viermal so große Stichprobe halbiert die Fehlermarge nur. Deshalb braucht man für mehr Genauigkeit so viele Daten.

Konfidenzintervall (untere Grenze \(L\) und obere Grenze \(U\))

Graph

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(L,\ U\) \(=\) \(\bar{x}\) \(\pm\) \(E\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(L\), \(U\): untere und obere Grenze des Konfidenzintervalls \(=\) ① \(\bar{x}\): Stichprobenmittel \(\pm\) ② \(E\): Fehlermarge

Die Formel in Worten

① Vom \(\bar{x}\): Stichprobenmittel

② zieht man die \(E\): Fehlermarge ab bzw. addiert sie (das Zeichen ± steht für „minus“ und „plus“ zugleich).

③ So erhält man die \(L\), \(U\): untere und obere Grenze des Konfidenzintervalls .

Einfaches Beispiel

Beträgt der mittlere Inhalt der 25 Flaschen 500,2 ml und die Fehlermarge 0,784 ml, so ist das 95-%-Konfidenzintervall für den Mittelwert der Grundgesamtheit

\(L\), \(U\): untere und obere Grenze des Konfidenzintervalls \(=\) Stichprobenmittel (500,2) \(\pm\) Fehlermarge (0,784)

\(L = 500{,}2 - 0{,}784 = 499{,}416\)

\(U = 500{,}2 + 0{,}784 = 500{,}984\)

Der Grundgedanke

Setzt man die ersten beiden Formeln zusammen, erhält man die aus dem Schulbuch bekannte Formel für das Konfidenzintervall: \(\bar{x} \pm z \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\). Vorsicht beim Lesen eines „95-%-Konfidenzintervalls“: Es bedeutet nicht „der Mittelwert der Grundgesamtheit liegt mit 95 % Wahrscheinlichkeit in diesem Intervall“. Es bedeutet: „Würde man 100-mal auf dieselbe Weise eine Stichprobe ziehen und ein Intervall bilden, enthielten etwa 95 dieser Intervalle den Mittelwert der Grundgesamtheit.“ Der Mittelwert der Grundgesamtheit ist ein fester Wert – was sich von Stichprobe zu Stichprobe bewegt, ist das Intervall.

Den z-Wert aus dem Konfidenzniveau bestimmen

Graph

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(z\) \(=\) \(\Phi^{-1}\!\left(\dfrac{1+C}{2}\right)\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

② \(z\): z-Wert zum Konfidenzniveau \(=\) ① der von links gezählte Anteil (1 + Konfidenzniveau \(C\)) ÷ 2, umgerechnet in eine Stelle auf der z-Achse

Die Formel in Worten

① Man bestimmt der von links gezählte Anteil (1 + Konfidenzniveau \(C\)) ÷ 2, umgerechnet in eine Stelle auf der z-Achse (\(\Phi^{-1}\), die Umkehrfunktion von \(\Phi\), rechnet „von links gezählter Anteil“ in „Stelle auf der waagerechten Achse“ um. Das Konfidenzniveau \(C\) schreibt man als Dezimalzahl, für 95 % also 0,95).

② Das ist der \(z\): z-Wert zum Konfidenzniveau .

Einfaches Beispiel

Der z-Wert zum Konfidenzniveau 95 % (C = 0,95) ist

z-Wert \(z\) \(=\) Stelle bei 97,5 % von links, \(\Phi^{-1}(0{,}975)\)

\(\Phi^{-1}\!\left(\dfrac{1+0{,}95}{2}\right) = \Phi^{-1}(0{,}975) \approx 1{,}96\)

Der Grundgedanke

Der z-Wert ist die Grenze auf der Standardnormalverteilung, zwischen der in der Mitte genau das Konfidenzniveau liegt (bei 95 % also 95 %). Liegen 95 % in der Mitte, bleiben an jedem Rand 2,5 %. z ist also die Stelle bei 97,5 % von links: \(\Phi^{-1}(0{,}975) \approx 1{,}96\). Die üblichen Werte stehen fest: 90 % → 1,6449, 95 % → 1,9600, 99 % → 2,5758, 99,9 % → 3,2905. Dieser Rechner bestimmt auch ungewöhnliche Konfidenzniveaus, die nicht in der Tabelle stehen (z. B. 97 %).

Ein Konfidenzintervall ist „Stichprobenmittel ± Fehlermarge“. Die Fehlermarge ist \(z \times \sigma \div \sqrt{n}\), zusammen also \(\bar{x} \pm z \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\). Je größer die Stichprobe (je größer \(\sqrt{n}\)), desto schmaler das Intervall; je höher das Konfidenzniveau (je größer z), desto breiter das Intervall.

Symbole und Begriffe

Symbole

\(n\)	n	Der Stichprobenumfang: wie viele Stücke oder Personen Sie tatsächlich gemessen haben (Beispiel: 50 Flaschen gemessen, also \(n = 50\)).
\(\bar{x}\)	x quer	Das Stichprobenmittel, der Mittelwert der gemessenen Stichprobe. Der Strich darüber ist das Zeichen für einen Mittelwert.
\(\sigma\)	Sigma	Die Standardabweichung der Grundgesamtheit, also wie stark die ganze Grundgesamtheit streut. Ein griechischer Buchstabe, der unserem s entspricht. Ist die Stichprobe groß genug, kann man stattdessen die Standardabweichung der Stichprobe verwenden.
\(\sqrt{n}\)	Wurzel aus n	Die Quadratwurzel aus dem Stichprobenumfang (Beispiel: \(\sqrt{25} = 5\)). Sie steht im Nenner des Standardfehlers und ist der Grund, warum viermal so viele Daten den Fehler nur halbieren.
\(z\)	z (z-Wert)	Der Faktor, der sich aus dem Konfidenzniveau ergibt. Er ist die Grenze auf der Standardnormalverteilung, zwischen der in der Mitte genau das Konfidenzniveau liegt. Für 95 % ist er etwa 1,96.
\(E\)	E	Die Fehlermarge (auch Fehlerspanne). Sie ist die halbe Breite des Konfidenzintervalls und ein Richtwert dafür, um wie viel das Stichprobenmittel nach oben oder unten vom Mittelwert der Grundgesamtheit abweichen kann. E steht für „Error“ (Fehler).
\(L,\ U\)	L, U	Untere und obere Grenze des Konfidenzintervalls (vom Englischen „lower“ und „upper“). Man berechnet sie mit \(L = \bar{x} - E\) und \(U = \bar{x} + E\).
\(\Phi^{-1}\)	Phi hoch minus eins (Umkehrfunktion von Φ)	Die Umkehrfunktion von \(\Phi\), der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung. Sie nimmt eine Wahrscheinlichkeit (Fläche) und liefert den passenden z-Wert (Beispiel: \(\Phi^{-1}(0{,}975) \approx 1{,}96\)).
\(C\)	C	Das Konfidenzniveau als Dezimalzahl. Für 95 % ist \(C = 0{,}95\).

Begriffe

Konfidenzintervall	Ein aus Stichprobendaten geschätzter Bereich, in dem der Mittelwert der Grundgesamtheit vermutlich liegt (auch Vertrauensintervall). Man bildet es, indem man das Stichprobenmittel um die Fehlermarge nach oben und unten erweitert.
Konfidenzniveau	Wie sicher das Intervall ist. Es ist der Anteil der Intervalle, die den Mittelwert der Grundgesamtheit enthalten würden, wenn man immer wieder auf dieselbe Weise Intervalle bildet. Am häufigsten verwendet man 95 %. Man spricht auch von Vertrauensniveau.
Grundgesamtheit	Die gesamte Gruppe, die man eigentlich untersuchen möchte (Beispiele: alle Flaschen, die eine Fabrik abfüllt, oder alle Wahlberechtigten in Deutschland).
Stichprobe	Der Teil der Grundgesamtheit, den man tatsächlich auswählt und untersucht. Von der Stichprobe auf die Grundgesamtheit zu schließen, ist die Aufgabe der schließenden Statistik.
Stichprobenumfang	Die Anzahl der Werte (Stücke, Personen) in der Stichprobe, kurz \(n\). Im Englischen „sample size“.
Mittelwert der Grundgesamtheit	Der Mittelwert der ganzen Grundgesamtheit. Da man nicht alles messen kann, kennt man seinen genauen Wert nicht. Ein Konfidenzintervall schätzt, wo dieser unbekannte Wert liegt. Meist schreibt man ihn \(\mu\) (My).
Stichprobenmittel	Der Mittelwert der Stichprobe, \(\bar{x}\). Er ist die plausibelste Schätzung des Mittelwerts der Grundgesamtheit mit einem einzigen Wert (Punktschätzung), ändert sich aber jedes Mal ein wenig, je nachdem, welche Stichprobe man zieht.
Standardfehler	Wie stark das Stichprobenmittel selbst streut, berechnet mit \(\sigma \div \sqrt{n}\). Er wird leicht mit der Streuung der einzelnen Werte (der Standardabweichung) verwechselt – achten Sie auf den Unterschied.
Intervallschätzung	Eine Methode, einen unbekannten Wert wie den Mittelwert der Grundgesamtheit nicht mit einer einzigen Zahl, sondern mit einem Bereich zu schätzen. Gegenüber der Punktschätzung hat sie den Vorteil, dass sie auch zeigt, wie weit die Schätzung danebenliegen kann.
t-Verteilung	Die Verteilung, die man statt der Normalverteilung (z) verwendet, wenn die Stichprobe klein und die Standardabweichung der Grundgesamtheit unbekannt ist. Der Rechner auf dieser Seite arbeitet nur mit z. Je größer die Stichprobe, desto ähnlicher wird die t-Verteilung der Normalverteilung, und die Ergebnisse sind fast gleich.

Das sollten Sie vorher wissen

Damit Sie die Berechnung auf dieser Seite wirklich verstehen und nicht nur auf die Schaltfläche klicken, hilft Ihnen dieses Vorwissen.

Der Mittelwert (Klasse 5–6, 10–12 Jahre)	Wissen, dass man den Mittelwert erhält, indem man alle Werte addiert und durch ihre Anzahl teilt
Quadratwurzeln (Klasse 8–9, 13–15 Jahre)	Wissen, dass die Quadratwurzel die Zahl ist, die quadriert wieder die Ausgangszahl ergibt, etwa \(\sqrt{25} = 5\)
Stichproben (Klasse 8–10, 13–16 Jahre)	Wissen, dass man statt des Ganzen (der Grundgesamtheit) auch einen Teil (eine Stichprobe) untersuchen und auf das Ganze schließen kann Wissen, dass die Stichprobe ohne Verzerrung (zufällig) ausgewählt werden muss
Datenanalyse und Standardabweichung (Klasse 10–11, 15–17 Jahre)	Wissen, dass die Standardabweichung in einer einzigen Zahl ausdrückt, wie stark die Daten streuen
Normalverteilung und Intervallschätzung (Oberstufe, Klasse 11–13, 16–19 Jahre)	Wissen, dass die Normalverteilung symmetrisch und glockenförmig um den Mittelwert verläuft Die Faustregel kennen, dass bei einer Normalverteilung etwa 95 % der Werte im Bereich Mittelwert ± 1,96 Standardabweichungen liegen

So berechnen Sie es in Excel

Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein – dann funktioniert sie direkt.

Tabelle für den z-Wert zum Konfidenzniveau

Niveau (%)	95
z	=NORM.S.INV((1+B1/100)/2)

Tabelle für die Fehlermarge E

z	1,96
Standardabw. σ	2
Stichprobenumfang n	25
Fehlermarge E	=B1*B2/WURZEL(B3)

Tabelle für das Konfidenzintervall (untere und obere Grenze)

Stichprobenumfang n	50
Stichprobenmittel x̄	500,2
Standardabw. σ	2
Niveau (%)	95
z	=NORM.S.INV((1+B4/100)/2)
Fehlermarge E	=B5*B3/WURZEL(B1)
Untere Grenze	=B2-B6
Obere Grenze	=B2+B6

„NORM.S.INV(Wahrsch)“ ist die Funktion, die aus einer Wahrscheinlichkeit den z-Wert bestimmt (die Umkehrfunktion der Verteilungsfunktion, \(\Phi^{-1}\)). „WURZEL“ ist die Quadratwurzel.
Die erste Tabelle bestimmt z allein aus dem Konfidenzniveau (B1). Bei 95 % ergibt B2 etwa 1,959964. Die zweite Tabelle berechnet die Fehlermarge; mit den Beispielwerten ergibt B4 den Wert 0,784.
Die dritte Tabelle berechnet das Konfidenzintervall aus allen Eingaben auf einmal. Mit den Beispielwerten (n = 50, x̄ = 500,2, σ = 2, 95 %) liegt die untere Grenze (B7) bei etwa 499,6456 und die obere Grenze (B8) bei etwa 500,7544. Ersetzen Sie einfach B1 bis B4 durch Ihre eigenen Werte.

So berechnen Sie es in Google Tabellen

Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein – dann funktioniert sie direkt.

Tabelle für den z-Wert zum Konfidenzniveau

Niveau (%)	95
z	=STANDNORMINV((1+B1/100)/2)

Tabelle für die Fehlermarge E

z	1,96
Standardabw. σ	2
Stichprobenumfang n	25
Fehlermarge E	=B1*B2/WURZEL(B3)

Tabelle für das Konfidenzintervall (untere und obere Grenze)

Stichprobenumfang n	50
Stichprobenmittel x̄	500,2
Standardabw. σ	2
Niveau (%)	95
z	=STANDNORMINV((1+B4/100)/2)
Fehlermarge E	=B5*B3/WURZEL(B1)
Untere Grenze	=B2-B6
Obere Grenze	=B2+B6

In Google Tabellen heißt die Funktion, die aus einer Wahrscheinlichkeit den z-Wert bestimmt, „STANDNORMINV(Wahrsch)“ (sie arbeitet wie „NORM.S.INV“ in Excel). Alle anderen Formeln sind dieselben wie in Excel.
Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Zahlen in Spalte B durch Ihre eigenen. Die Ergebnisse sind dieselben wie in Excel: In der dritten Tabelle liegt die untere Grenze bei etwa 499,6456 und die obere Grenze bei etwa 500,7544.

So berechnen Sie es in Python

import math
from statistics import NormalDist

sample_size = 50        # Stichprobenumfang n
sample_mean = 500.2     # Stichprobenmittel x̄
sd = 2                  # Standardabweichung σ
confidence_level = 95   # Konfidenzniveau (%)

z = NormalDist().inv_cdf((1 + confidence_level / 100) / 2)  # z-Wert zum Konfidenzniveau
standard_error = sd / math.sqrt(sample_size)                # Standardfehler σ ÷ √n
margin_of_error = z * standard_error                        # Fehlermarge E
lower = sample_mean - margin_of_error                       # untere Grenze des Konfidenzintervalls
upper = sample_mean + margin_of_error                       # obere Grenze des Konfidenzintervalls

print(f"z: {z}")
print(f"Fehlermarge E: {margin_of_error}")
print(f"{confidence_level}-%-Konfidenzintervall: {lower} bis {upper}")

Läuft nur mit der Standardbibliothek. NormalDist().inv_cdf() ist die Funktion, die aus einer Wahrscheinlichkeit den z-Wert bestimmt (\(\Phi^{-1}\)). Ersetzen Sie die ersten vier Werte durch Ihre eigenen und führen Sie den Code aus. Mit den Beispielwerten erscheint etwa 499,65 bis 500,75.

So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)

Fehlermarge \(E\) (die halbe Breite des Intervalls)

E = z × σ ÷ √n

E = z \times \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>E</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>z</mi>
    <mo>&#x00D7;</mo>
    <mfrac>
      <mi>&#x3C3;</mi>
      <msqrt><mi>n</mi></msqrt>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

E = z sigma / sqrt(n)

z*sigma/Sqrt[n]

E := z*sigma/sqrt(n);

E = z*sigma/sqrt(n);

E = zσ/√n

Konfidenzintervall (untere Grenze \(L\) und obere Grenze \(U\))

L = x̄ − E,  U = x̄ + E

L = \bar{x} - E,\quad U = \bar{x} + E

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>L</mi>
    <mo>=</mo>
    <mover><mi>x</mi><mo>&#x00AF;</mo></mover>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mi>E</mi>
    <mo>,</mo>
    <mspace width="1em"/>
    <mi>U</mi>
    <mo>=</mo>
    <mover><mi>x</mi><mo>&#x00AF;</mo></mover>
    <mo>+</mo>
    <mi>E</mi>
  </mrow>
</math>

L = bar x - E, U = bar x + E

{xbar - e, xbar + e}

L := xbar - E; U := xbar + E;

L = xbar - E; U = xbar + E;

L = x̄ - E, U = x̄ + E

Den z-Wert aus dem Konfidenzniveau bestimmen

z = Φ⁻¹((1 + C) ÷ 2)

z = \Phi^{-1}\!\left(\dfrac{1+C}{2}\right)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>z</mi>
    <mo>=</mo>
    <msup><mi>&#x3A6;</mi><mrow><mo>&#x2212;</mo><mn>1</mn></mrow></msup>
    <mrow>
      <mo>(</mo>
      <mfrac>
        <mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>C</mi></mrow>
        <mn>2</mn>
      </mfrac>
      <mo>)</mo>
    </mrow>
  </mrow>
</math>

z = Phi^-1((1 + C)/2)

InverseCDF[NormalDistribution[0, 1], (1 + c)/2]

with(Statistics): Quantile(RandomVariable(Normal(0, 1)), (1 + c)/2);

z = norminv((1 + c)/2);

z = Φ^(-1)((1+C)/2)

So lassen Sie ChatGPT rechnen

Sie sind ein Assistent für statistische Berechnungen. Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort ausschließlich auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (nicht im Kopf rechnen oder schätzen).

Aus einer Abfüllanlage wurden 50 Flaschen entnommen und ihr Inhalt gemessen. Der Mittelwert betrug 500,2 ml. Die Streuung der Füllmenge (die Standardabweichung der Grundgesamtheit) ist mit 2 ml bekannt.
1. Bestimmen Sie den z-Wert zum Konfidenzniveau 95 % (mit der Umkehrfunktion der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung; dafür können Sie statistics.NormalDist().inv_cdf aus der Python-Standardbibliothek verwenden).
2. Bestimmen Sie die Fehlermarge E = z × σ ÷ √n.
3. Bestimmen Sie das 95-%-Konfidenzintervall (untere und obere Grenze) für den Mittelwert der Grundgesamtheit (den wahren mittleren Inhalt aller Flaschen).

Zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis.

Anleitung

1

Werte eingeben

Tragen Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
2

Berechnen

Klicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
3

Ergebnis ansehen

Das Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel