Geben Sie den Mittelwert, die Standardabweichung sowie die untere und die obere Grenze des gewünschten Bereichs ein. Der Rechner bestimmt die Wahrscheinlichkeit, in diesen Bereich zu fallen, und eine Tabelle zum Konfidenzintervall.
Wenn es keine untere Grenze gibt, geben Sie „-inf“ ein. Wenn es keine obere Grenze gibt, geben Sie „inf“ ein (sie stehen für minus unendlich und plus unendlich). Dezimalzahlen schreiben Sie mit Komma (3,5).
Ergebnis und Diagramm
Geben Sie in den Feldern links Mittelwert, Standardabweichung und Bereich ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis erscheint hier.
Inhaltsverzeichnis
[
Schließen X
Öffnen
]
-
Was Sie auf dieser Seite tun können
-
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
-
Anleitung
-
Formel und Diagramm
-
Symbole und Begriffe
-
Was Sie vorab wissen sollten
-
Mit Excel berechnen
-
Mit Google Tabellen berechnen
-
Mit Python berechnen
-
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
-
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
-
Die Vorteile von DataChef
-
Verwandte Funktionen
-
Alle NumberChef-Rechner
Was Sie auf dieser Seite tun können
- Geben Sie den Mittelwert \(\mu\) und die Streuung (die Standardabweichung \(\sigma\)) ein, und Sie sehen sofort die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert in einen bestimmten Bereich fällt
- Auch die Wahrscheinlichkeit, einen Wert zu erreichen oder zu überschreiten (oder zu unterschreiten), wird berechnet, etwa „Wie viel Prozent der Schülerinnen und Schüler haben 80 Punkte oder mehr?“
- Eine Tabelle der in der Statistik häufig verwendeten Bereiche (etwa der Bereich, der 95 % des Ganzen enthält) wird gleichzeitig angezeigt
- Eine verständliche Erklärung der Normalverteilung sowie Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python finden Sie ebenfalls auf dieser Seite
Der Rechner passt, wenn die Daten annähernd normalverteilt sind (eine symmetrische Glockenform um den Mittelwert). Viele Daten aus der Praxis, etwa Testpunkte, Körpergrößen und die Gewichte von Produkten, kommen bekanntlich dieser Form nahe.
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
Testergebnisse und Prozentränge richtig lesen (IQ und standardisierte Tests)
IQ-Werte sind so festgelegt, dass der Mittelwert 100 beträgt und eine Standardabweichung 15 Punkte entspricht. In einer Normalverteilung liegen nur etwa 16 % der Menschen bei \(+1\sigma\) oder darüber (ein IQ von 115 oder mehr) und nur etwa 2,3 % bei \(+2\sigma\) oder darüber (130 oder mehr).
Wenn Sie diesen Zusammenhang kennen, ist der Prozentrang bei standardisierten Tests kein Rätsel mehr. Sie können in Zahlen ablesen, wofür „ein Sprung um 10 Punkte“ oder „das 90. Perzentil“ wirklich steht, und müssen sich nicht auf Ihr Gefühl verlassen.
Den „Referenzbereich“ auf Laborbefunden gelassen lesen (Gesundheit)
Der „Referenzbereich“ bei Blutuntersuchungen und ähnlichen Laborbefunden wird oft als der Bereich festgelegt, der die mittleren 95 % der Messwerte gesunder Menschen enthält (etwa der Mittelwert \(\pm 2\sigma\)).
Bei jedem Untersuchungswert liegen also etwa 5 % der gesunden Menschen (1 von 20) außerhalb des Referenzbereichs. Bei einer Untersuchung mit vielen Werten ist es sogar normal, dass bei einer gesunden Person mindestens ein Wert auffällt. Wenn Sie das wissen, verstehen Sie, dass „knapp außerhalb des Bereichs“ nicht automatisch ein Zeichen dafür ist, dass „etwas nicht stimmt“, und können der Erklärung Ihrer Ärztin oder Ihres Arztes gelassen zuhören. Das hilft besonders, wenn Sie Befunde schnell beunruhigen.
Qualitätssicherung in der Fabrik: Wie viele Produkte verfehlen die Vorgabe?
Gewicht und Maße von Produkten streuen so, dass sie einer Normalverteilung nahekommen. Werden zum Beispiel Beutel im Mittel mit 102 g bei einer Standardabweichung von 1 g gefüllt und liegt die Untergrenze der Vorgabe bei 100 g, sind die Beutel unter 100 g diejenigen jenseits von \(-2\sigma\), etwa 2,3 %.
Fabriken sagen mit dieser Rechnung die Ausschussquote voraus und legen fest, wo der mittlere Füllstand liegen soll (wie viel sie zusätzlich einfüllen), um Reklamationen und Kosten auszubalancieren.
A/B-Tests für Websites und Apps auswerten (Marketing)
Wenn Sie vergleichen, ob Design A oder Design B die höhere Klickrate hat, entscheiden Sie mit der Normalverteilung (einem Konfidenzintervall), ob der Unterschied nur Zufall oder ein echter Unterschied ist.
Die Zeile „0,95“ in der Tabelle im Ergebnis ist genau das in der Praxis am häufigsten verwendete „95-%-Konfidenzintervall“. Hinter Entscheidungen, die große Geldsummen bewegen, etwa Werbebudgets, wird diese Rechnung jeden Tag angewendet.
Die Mathematik, die Versicherungen möglich macht (Versicherungsmathematik)
Fachleute, die Aktuarinnen und Aktuare genannt werden, schätzen das Risiko, Versicherungsleistungen zahlen zu müssen, als Wahrscheinlichkeiten ein und legen daraus die Beiträge fest.
Einzelne Schäden lassen sich nicht vorhersagen, aber die Summe über viele Versicherte nähert sich einer Normalverteilung (dem zentralen Grenzwertsatz), sodass sich die gesamten Leistungen erstaunlich genau vorhersagen lassen. Dank dieser Mathematik können wir großen Schutz für einen erschwinglichen Beitrag bekommen.
Formel und Diagramm
Wahrscheinlichkeit für einen Bereich (mit der Verteilungsfunktion \(\Phi\))
Diagramm
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(P(a \le X \le b)\)
\(=\)
\(\Phi\!\left(\dfrac{b-\mu}{\sigma}\right)\)
\(-\)
\(\Phi\!\left(\dfrac{a-\mu}{\sigma}\right)\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
③
Wahrscheinlichkeit, zwischen \(a\) und \(b\) zu liegen
\(=\)
①
Anteil bis zur oberen Grenze \(b\)
\(-\)
②
Anteil bis zur unteren Grenze \(a\)
Die Formel in Worten
①
Bestimmen Sie den
Anteil bis zur oberen Grenze \(b\)
mit der Verteilungsfunktion \(\Phi\) (Phi). In der Klammer von \(\Phi\) steht der z-Wert: der Abstand zum Mittelwert \(\mu\), geteilt durch die Standardabweichung \(\sigma\)
②
bestimmen Sie den
Anteil bis zur unteren Grenze \(a\)
auf dieselbe Weise und ziehen Sie ihn ab,
③
dann erhalten Sie die
Wahrscheinlichkeit, zwischen \(a\) und \(b\) zu liegen
Einfaches Beispiel
Bei einem Test mit dem Mittelwert 62 Punkte und der Standardabweichung 14 Punkte ist der Anteil der Ergebnisse zwischen 50 und 80
Wahrscheinlichkeit für 50 bis 80 Punkte
\(=\)
Anteil bis 80 Punkte \(\Phi((80-62)/14)\)
\(-\)
Anteil bis 50 Punkte \(\Phi((50-62)/14)\)
\(\Phi(1{,}29) - \Phi(-0{,}86) \approx 0{,}90 - 0{,}20 = 0{,}70\ \ (70\,\%)\)
Der Kerngedanke
Den Abstand zum Mittelwert \(\mu\) durch die Standardabweichung \(\sigma\) zu teilen, nennt man Standardisierung (einen Wert in einen z-Wert umrechnen). Welchen Mittelwert und welche Standardabweichung eine Normalverteilung auch hat: Schreiben Sie die Werte als \(z = (x - \mu) \div \sigma\) um, dann lassen sich Wahrscheinlichkeiten mit einer einzigen Standardnormalverteilung mit dem Mittelwert 0 und der Standardabweichung 1 bestimmen (ein gemeinsamer Maßstab). Auch dieser Rechner nimmt diese Umrechnung intern vor, bevor er rechnet. IQ-Werte beruhen auf derselben Idee: IQ \(= 100 + 15 \times z\).
Formel der Normalverteilungskurve (Dichtefunktion)
Diagramm
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(f(x)\)
\(=\)
\(\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\)
\(\times\)
\(e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
③
Höhe der Kurve bei \(x\), \(f(x)\)
\(=\)
②
Faktor zum Anpassen (macht die Gesamtfläche 1)
\(\times\)
①
Teil, der mit dem Abstand vom Mittelwert kleiner wird
Die Formel in Worten
①
Der
Teil, der mit dem Abstand vom Mittelwert kleiner wird
fällt schnell ab, wenn \(x\) sich vom Mittelwert \(\mu\) entfernt, und bildet so die Glockenform.
②
Der
Faktor zum Anpassen (macht die Gesamtfläche 1)
sorgt dafür, dass die Fläche unter der Kurve genau 1 beträgt,
③
und zusammen ergeben sie die
Höhe der Kurve bei \(x\), \(f(x)\)
(die Fläche zwischen der Kurve und der waagerechten Achse ist die Wahrscheinlichkeit)
Einfaches Beispiel
Diese Formel rechnet man selten von Hand aus. Üblicherweise rechnet man wie in der ersten Formel in einen z-Wert um oder verwendet den Rechner auf dieser Seite oder Excel.
Der Kerngedanke
In einer Normalverteilung liegen etwa 68,3 % der Daten im Bereich des Mittelwerts \(\pm 1\sigma\) (eine Standardabweichung), etwa 95,4 % im Bereich \(\pm 2\sigma\) und etwa 99,7 % im Bereich \(\pm 3\sigma\) (die 68-95-99,7-Regel, auch Sigma-Regeln genannt). Bei einem Mittelwert von 62 Punkten und einer Standardabweichung von 14 Punkten erreichen zum Beispiel etwa 68 % der Personen zwischen 48 und 76 Punkten. Wenn Sie sich diese Faustregel merken, bekommen Sie ein Gefühl dafür, wie die Form der Kurve zu den Wahrscheinlichkeiten passt.
Der Kniff bei Wahrscheinlichkeiten der Normalverteilung: Welchen Mittelwert und welche Standardabweichung die Daten auch haben, wenn Sie einen Wert als „um wie viele Standardabweichungen er vom Mittelwert entfernt ist“ (den z-Wert) schreiben, lässt sich die Wahrscheinlichkeit mit einem gemeinsamen Maßstab bestimmen.
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(\mu\) | My | Der Mittelwert. Er gibt an, wo die Mitte des Gipfels der Verteilung liegt. Ein griechischer Buchstabe, der dem deutschen m entspricht. |
| \(\sigma\) | Sigma | Die Standardabweichung. Sie ist das Maß für die Streuung der Daten und bestimmt die Breite des Gipfels. Je größer sie ist, desto niedriger und breiter wird der Gipfel. Ein griechischer Buchstabe, der dem deutschen s entspricht. |
| \(X\) | X (Zufallsvariable) | Ein Buchstabe für eine Größe, deren Wert sich bei jeder Messung ändern kann, etwa eine Testpunktzahl oder eine Körpergröße. |
| \(\Phi\) | großes Phi | Die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung (Mittelwert 0, Standardabweichung 1). Sie liefert die Wahrscheinlichkeit, diesen Wert oder weniger zu erhalten. |
| \(z\) | z (z-Wert) | Eine Zahl, die angibt, um wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt ist. Sie ergibt sich aus \(z = (x - \mu) \div \sigma\). |
| \(e\) | e (Eulersche Zahl) | Eine Konstante, etwa 2,71828…, und die Basis des natürlichen Logarithmus. Sie ist eine besondere Zahl, auf der die Exponentialfunktionen beruhen. |
| \(\pi\) | Pi | Eine Konstante, etwa 3,14159…, das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser. In der Formel der Normalverteilung kommt sie vor, damit die Gesamtfläche unter der Kurve genau 1 beträgt. |
Begriffe
| Normalverteilung | Eine Verteilung, die glockenförmig und symmetrisch um den Mittelwert streut (auch Gauß-Verteilung genannt). Man verwendet sie als Modell für Daten, bei denen Werte nahe dem Mittelwert am häufigsten vorkommen und mit wachsendem Abstand vom Mittelwert immer seltener werden, etwa Körpergrößen, Testpunkte und die Gewichte von Produkten. |
| Standardabweichung | Eine Zahl, die angibt, wie stark die Daten streuen. Zwei Datensätze können denselben Mittelwert und trotzdem unterschiedliche Streuung haben. Je größer die Standardabweichung, desto niedriger und breiter ist der Gipfel der Verteilung. |
| Standardisierung (z-Transformation) | Einen Wert so umschreiben, dass er angibt, „um wie viele Standardabweichungen er vom Mittelwert entfernt ist“ (der z-Wert). Jede Normalverteilung lässt sich nach der Standardisierung mit der einen Standardnormalverteilung mit dem Mittelwert 0 und der Standardabweichung 1 behandeln. IQ-Werte beruhen auf derselben Idee: IQ \(= 100 + 15 \times z\). |
| Verteilungsfunktion | Eine Funktion, die die Wahrscheinlichkeit angibt, diesen Wert oder weniger zu erhalten (kumulierte Verteilungsfunktion). Die der Standardnormalverteilung schreibt man \(\Phi\) (Phi). Die Wahrscheinlichkeit für einen Bereich ergibt sich als „\(\Phi\) bis zur oberen Grenze“ minus „\(\Phi\) bis zur unteren Grenze“. |
| Dichtefunktion | Die Formel für die Kurve der Verteilung selbst (Wahrscheinlichkeitsdichte). Die Höhe der Kurve ist keine Wahrscheinlichkeit, sondern eine Wahrscheinlichkeitsdichte. Die Fläche zwischen der Kurve und der waagerechten Achse über einem Bereich ist die Wahrscheinlichkeit. Bei der Normalverteilung ist es eine glockenförmige Kurve. |
| Konfidenzintervall | Die Tabelle im Ergebnis nennt zu jedem Prozentsatz den Bereich um den Mittelwert, der diesen Anteil der gesamten Verteilung enthält (\(\mu \pm z \times \sigma\)), und den Faktor \(z\). Genau genommen ist ein „95-%-Konfidenzintervall“ in der Statistik ein Bereich für den wahren Wert (etwa den Mittelwert der Grundgesamtheit), der aus Stichprobendaten geschätzt wird. Wird eine Normalverteilung angenommen, verwendet es aber dasselbe \(z\) (1,96 für 95 %), sodass die \(z\)-Werte in dieser Tabelle direkt gelten. Man verwendet es oft, um die „Fehlerspanne“ von Umfragen und Testergebnissen zu bestimmen. |
| 68-95-99,7-Regel | Eine praktische Faustregel, auch Sigma-Regeln genannt: In einer Normalverteilung liegen etwa 68,3 % der Daten im Bereich des Mittelwerts \(\pm 1\sigma\), etwa 95,4 % im Bereich \(\pm 2\sigma\) und etwa 99,7 % im Bereich \(\pm 3\sigma\). |
| zentraler Grenzwertsatz | Die mathematische Tatsache, dass sich eine Größe, die aus vielen kleinen Zufallseinflüssen entsteht (eine Summe oder ein Mittelwert), unabhängig von der ursprünglichen Verteilung einer Normalverteilung annähert. Er ist der Grund dafür, dass so viele Daten aus der Praxis einer Normalverteilung nahekommen. |
Was Sie vorab wissen sollten
Hier finden Sie zusammengestellt, was Ihnen hilft, die Berechnung auf dieser Seite mit echtem Verständnis zu nutzen und nicht nur den Knopf zu drücken.
| Der Mittelwert (Klasse 5–6, 10–12 Jahre) |
|
| Datenanalyse und Standardabweichung (Oberstufe, ab 16 Jahren) |
|
| Anteile als Flächen lesen (Klasse 6–7, 11–13 Jahre) |
|
| Standardisierung und z-Werte (Oberstufe, ab 16 Jahren) |
|
Mit Excel berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit für einen Bereich
| Mittelwert μ | 62 |
| Standardabw. σ | 14 |
| Untere Grenze | 50 |
| Obere Grenze | 80 |
| Wahrscheinlichkeit zwischen den Grenzen | =NORM.VERT(B4;B1;B2;WAHR)-NORM.VERT(B3;B1;B2;WAHR) |
Tabelle zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit für einen Wert oder mehr (die obersten wie viel Prozent)
| Mittelwert μ | 62 |
| Standardabw. σ | 14 |
| Wert (Anteil ab diesem Wert gesucht) | 80 |
| Wahrscheinlichkeit für diesen Wert oder mehr | =1-NORM.VERT(B3;B1;B2;WAHR) |
Tabelle zur Berechnung der Höhe der Kurve an einer Stelle (Wahrscheinlichkeitsdichte)
| Mittelwert μ | 62 |
| Standardabw. σ | 14 |
| Stelle x | 80 |
| Höhe der Kurve an dieser Stelle | =NORM.VERT(B3;B1;B2;FALSCH) |
NORM.VERT ist die Funktion der Normalverteilung. NORM.VERT(x; Mittelwert; Standabw; WAHR) liefert die Wahrscheinlichkeit, x oder weniger zu erhalten.
Die Wahrscheinlichkeit für einen Bereich ist „die Wahrscheinlichkeit für die obere Grenze oder weniger“ minus „die Wahrscheinlichkeit für die untere Grenze oder weniger“.
Setzen Sie das letzte Argument auf FALSCH, erhalten Sie statt einer Wahrscheinlichkeit die Höhe der Kurve an dieser Stelle (den Wert der Dichtefunktion).
Nach dem Einfügen enthält Spalte B Ihre Eingaben, und die Formel in der letzten Zeile rechnet automatisch. Die erste Tabelle zeigt etwa 0,70 (etwa 70 %), und die zweite zeigt etwa 0,10 (etwa 10 %, also etwa die obersten 10 %).
Die Wahrscheinlichkeit für einen Bereich ist „die Wahrscheinlichkeit für die obere Grenze oder weniger“ minus „die Wahrscheinlichkeit für die untere Grenze oder weniger“.
Setzen Sie das letzte Argument auf FALSCH, erhalten Sie statt einer Wahrscheinlichkeit die Höhe der Kurve an dieser Stelle (den Wert der Dichtefunktion).
Nach dem Einfügen enthält Spalte B Ihre Eingaben, und die Formel in der letzten Zeile rechnet automatisch. Die erste Tabelle zeigt etwa 0,70 (etwa 70 %), und die zweite zeigt etwa 0,10 (etwa 10 %, also etwa die obersten 10 %).
Mit Google Tabellen berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit für einen Bereich
| Mittelwert μ | 62 |
| Standardabw. σ | 14 |
| Untere Grenze | 50 |
| Obere Grenze | 80 |
| Wahrscheinlichkeit zwischen den Grenzen | =NORMVERT(B4;B1;B2;WAHR)-NORMVERT(B3;B1;B2;WAHR) |
Tabelle zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit für einen Wert oder mehr (die obersten wie viel Prozent)
| Mittelwert μ | 62 |
| Standardabw. σ | 14 |
| Wert (Anteil ab diesem Wert gesucht) | 80 |
| Wahrscheinlichkeit für diesen Wert oder mehr | =1-NORMVERT(B3;B1;B2;WAHR) |
Tabelle zur Berechnung der Höhe der Kurve an einer Stelle (Wahrscheinlichkeitsdichte)
| Mittelwert μ | 62 |
| Standardabw. σ | 14 |
| Stelle x | 80 |
| Höhe der Kurve an dieser Stelle | =NORMVERT(B3;B1;B2;FALSCH) |
In Google Tabellen verwenden Sie die Funktion NORMVERT (sie arbeitet wie NORM.VERT in Excel).
NORMVERT(x; Mittelwert; Standabw; WAHR) liefert die Wahrscheinlichkeit, x oder weniger zu erhalten. Der Wert für die obere Grenze minus der Wert für die untere Grenze ist also die Wahrscheinlichkeit für den Bereich.
Setzen Sie das letzte Argument auf FALSCH, erhalten Sie statt einer Wahrscheinlichkeit die Höhe der Kurve an dieser Stelle (die Wahrscheinlichkeitsdichte).
NORMVERT(x; Mittelwert; Standabw; WAHR) liefert die Wahrscheinlichkeit, x oder weniger zu erhalten. Der Wert für die obere Grenze minus der Wert für die untere Grenze ist also die Wahrscheinlichkeit für den Bereich.
Setzen Sie das letzte Argument auf FALSCH, erhalten Sie statt einer Wahrscheinlichkeit die Höhe der Kurve an dieser Stelle (die Wahrscheinlichkeitsdichte).
Mit Python berechnen
from statistics import NormalDist
mean = 62 # Mittelwert
standard_deviation = 14 # Standardabweichung
lower_bound = 50 # untere Grenze des Bereichs
upper_bound = 80 # obere Grenze des Bereichs
distribution = NormalDist(mean, standard_deviation)
p_between = distribution.cdf(upper_bound) - distribution.cdf(lower_bound)
print(f"Wahrscheinlichkeit zwischen {lower_bound} und {upper_bound}: {p_between}")
In aktuellen Python-Versionen genügt das Modul statistics der Standardbibliothek (nichts muss zusätzlich installiert werden). cdf(x) liefert die Wahrscheinlichkeit, x oder weniger zu erhalten, deshalb zieht der Code den Wert für die untere Grenze vom Wert für die obere Grenze ab.
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
Wahrscheinlichkeit für einen Bereich (mit der Verteilungsfunktion \(\Phi\))
P(a ≤ X ≤ b) = Φ((b − μ)/σ) − Φ((a − μ)/σ)
P(a \le X \le b) = \Phi\!\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right) - \Phi\!\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>a</mi><mo>≤</mo><mi>X</mi><mo>≤</mo><mi>b</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mi>Φ</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mfrac><mrow><mi>b</mi><mo>−</mo><mi>μ</mi></mrow><mi>σ</mi></mfrac>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>−</mo>
<mi>Φ</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mfrac><mrow><mi>a</mi><mo>−</mo><mi>μ</mi></mrow><mi>σ</mi></mfrac>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
</math>
P(a <= X <= b) = Phi((b - mu)/sigma) - Phi((a - mu)/sigma)
CDF[NormalDistribution[mu, sigma], b] - CDF[NormalDistribution[mu, sigma], a]
with(Statistics): CDF(RandomVariable(Normal(mu, sigma)), b) - CDF(RandomVariable(Normal(mu, sigma)), a);
p = normcdf(b, mu, sigma) - normcdf(a, mu, sigma);
P(a ≤ X ≤ b) = Φ((b-μ)/σ) - Φ((a-μ)/σ)
Formel der Normalverteilungskurve (Dichtefunktion)
f(x) = 1/(σ√(2π)) · e^(−(x − μ)²/(2σ²))
f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\, e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mn>1</mn>
<mrow><mi>σ</mi><msqrt><mrow><mn>2</mn><mi>π</mi></mrow></msqrt></mrow>
</mfrac>
<msup>
<mi>e</mi>
<mrow>
<mo>−</mo>
<mfrac>
<msup><mrow><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>μ</mi><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup>
<mrow><mn>2</mn><msup><mi>σ</mi><mn>2</mn></msup></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</msup>
</mrow>
</math>
f(x) = 1/(sigma sqrt(2 pi)) e^(-(x - mu)^2 / (2 sigma^2))
PDF[NormalDistribution[mu, sigma], x]
with(Statistics): PDF(RandomVariable(Normal(mu, sigma)), x);
y = normpdf(x, mu, sigma);
f(x) = 1/(σ√(2π)) e^(-(x-μ)^2/(2σ^2))
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
Sie sind ein Assistent für Wahrscheinlichkeitsrechnung. Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort ausschließlich auf die Zahlen aus dem Ergebnis der Ausführung (antworten Sie nicht durch Kopfrechnen oder Raten). Die Punktzahlen in einem Test sind normalverteilt mit dem Mittelwert 62 Punkte und der Standardabweichung 14 Punkte. Bestimmen Sie jeweils: 1. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Punktzahl zwischen 50 und 80 Punkten liegt 2. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Punktzahl 80 Punkte oder mehr beträgt (die obersten wie viel Prozent) 3. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Punktzahl 50 Punkte oder weniger beträgt Verwenden Sie statistics.NormalDist aus Python und zeigen Sie den verwendeten Code und die Zahlen aus dem Ergebnis der Ausführung.
Anleitung
-
1Zahlen eingebenGeben Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
-
2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
-
3Ergebnis ablesenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
Die Vorteile von DataChef
Einfach und kostenlos
Kostenlose Umwandlung ohne Limit
Kein Fachwissen nötig – einfach und intuitiv
Kein Fachwissen nötig – einfach und intuitiv
Keine Anmeldung erforderlich
Sofort nach dem Öffnen der Seite nutzbar
Keine persönlichen Daten erforderlich
Keine persönlichen Daten erforderlich
Sicher und geschützt
Stark verschlüsselte Verbindung (SSL)
Die Datei wird nach dem Download automatisch gelöscht
Die Datei wird nach dem Download automatisch gelöscht
Schnell
Schnelle Anzeige und Umwandlung – ganz ohne Wartezeit
Keine Wasserzeichen
Kein Wasserzeichen
Keine Quellenangabe nötig
Keine Quellenangabe nötig
Kommerzielle Nutzung möglich
Kostenlos auch für die kommerzielle Nutzung
Keine vorherige Genehmigung erforderlich
Keine vorherige Genehmigung erforderlich
Verwandte Funktionen
Wahrscheinlichkeit von zwei Ereignissen (und, oder, keines)
Berechnet aus zwei Wahrscheinlichkeiten, wie wahrscheinlich es ist, dass beide eintreten, dass mindestens eines eintritt, und mehr
Wahrscheinlichkeit von zwei Ereignissen rückwärts berechnen
Berechnet aus den zwei bekannten Wahrscheinlichkeiten alle übrigen Wahrscheinlichkeiten
Wahrscheinlichkeit bei wiederholten Versuchen (mindestens einmal, n-mal in Folge)
Berechnet die Wahrscheinlichkeit, dass etwas n-mal hintereinander eintritt oder bei n Versuchen mindestens einmal
Binomialverteilung berechnen (genau k Treffer, kumulierte Wahrscheinlichkeit)
Die Binomialverteilung, aus der die Normalverteilung als Näherung entsteht. Berechnet die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer, kumulierte Wahrscheinlichkeiten und prüft die Faustregel np ≥ 5
Ad 
