Geben Sie die Anzahl der Glieder ein (wie weit gerechnet wird) und klicken Sie auf „Berechnen“. Sie erhalten die ersten Glieder der Fibonacci-Folge (1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; …), das n-te Glied und die Summe der ersten n Glieder auf einmal.
Geben Sie die Anzahl der Glieder n als positive ganze Zahl ein (1 bis 1000). Gerechnet wird durchgehend mit exakten ganzen Zahlen, auch große Glieder haben also keinen Rundungsfehler.
Ergebnis und Graph
Geben Sie links die Anzahl der Glieder ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis und ein Graph erscheinen dann hier.
Inhaltsverzeichnis
[
Schließen X
Öffnen
]
-
Das können Sie auf dieser Seite
-
Wofür braucht man diese Berechnung?
-
Anleitung
-
Formeln und Graphen
-
Symbole und Begriffe
-
Das sollten Sie vorher wissen
-
So berechnen Sie es in Excel
-
So berechnen Sie es in Google Tabellen
-
So berechnen Sie es in Python
-
So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
-
So lassen Sie ChatGPT rechnen
-
Die Vorteile von DataChef
-
Verwandte Funktionen
-
Alle Rechner von NumberChef
Das können Sie auf dieser Seite
- Sie geben nur einen Wert ein – die Anzahl der Glieder (wie weit gerechnet wird) – und erhalten das \(n\)-te Glied der Fibonacci-Folge (1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; …) und die Summe der ersten \(n\) Glieder auf einen Schlag
- Passt direkt zu Fragen wie „Wie lautet die 20. Fibonacci-Zahl? Was ergeben die ersten 20 zusammen?“
- Rechnet exakt, ohne eine einzige Stelle zu verlieren – bis zum 1000. Glied (eine Zahl mit 209 Stellen)
- Zusammen mit dem Ergebnis zeigt ein Graph, wie die Folge wächst – jedes Glied ist die Summe seiner beiden Vorgänger
- Dazu finden Sie eine leicht verständliche Erklärung der Formel (der Rekursionsformel) sowie Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python
Dieser Rechner beginnt die Fibonacci-Folge mit 1, also 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; … (1. Glied = 1, 2. Glied = 1). Manche Bücher setzen eine 0 davor und schreiben 0 ; 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; …. Dann zählt die 0 meist als 0. Glied, und ab dem 1. Glied = 1 stimmt die Nummerierung mit dieser Seite überein. (Vorsicht – wer die 0 als 1. Glied zählt, verschiebt jede Nummer um eins.)
Wofür braucht man diese Berechnung?
Klassische Übung beim Programmierenlernen (Informatik)
Die Fibonacci-Folge folgt der einfachen Regel „die beiden vorigen Glieder addieren“ und ist deshalb eine klassische Übung für Schleifen und Rekursion (eine Funktion, die sich selbst aufruft) im Informatikunterricht. Dasselbe Ergebnis kann je nach Programmierweise sehr unterschiedlich lange dauern – eine einfache Rekursion braucht für das 50. Glied eine riesige Zahl von Aufrufen –, deshalb ist sie auch in Vorlesungen über Algorithmen beliebt.
Es gibt sogar eine Datenstruktur (Fibonacci-Heap) und ein Suchverfahren (Fibonacci-Suche), die nach ihr benannt sind. Sie gehört damit zu den Grundbegriffen der Informatik.
Der Quotient benachbarter Glieder nähert sich dem Goldenen Schnitt (Mathematik und Design)
Es ist bewiesen, dass der Quotient benachbarter Fibonacci-Zahlen (spätere ÷ frühere) dem Goldenen Schnitt \(\varphi = 1{,}618\ldots\) immer näher kommt, je weiter man geht. Tatsächlich ist \(55 : 34 \approx 1{,}6176\) und \(89 : 55 \approx 1{,}6182\) – schon um das 10. Glied herum stimmen also 2 Nachkommastellen.
Der Goldene Schnitt wird im Design gern als ausgewogenes Seitenverhältnis verwendet. So liegt etwa das Scheckkartenformat von Personalausweis und Bankkarte (85,60 mm × 53,98 mm, Verhältnis ≈ 1,586) nahe daran. Dass der Goldene Schnitt aus einer Folge entsteht, die nur ganze Zahlen addiert, ist die schönste Eigenschaft der Fibonacci-Folge.
Die Vermehrung von Kaninchenpaaren (die Aufgabe hinter der Folge)
Die Fibonacci-Folge geht auf eine Aufgabe im Buch Liber Abaci des italienischen Mathematikers Fibonacci aus dem 13. Jahrhundert zurück: „Ein neugeborenes Kaninchenpaar wirft ab dem Alter von 2 Monaten jeden Monat ein neues Paar. Wie entwickelt sich die Zahl der Paare von Monat zu Monat?“ Die Zahl der Paare wächst Monat für Monat wie 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; … und erreicht im 12. Monat 144 Paare.
Echte Kaninchen vermehren sich natürlich nicht genau so – es ist ein idealisiertes Modell. Trotzdem war es der Ausgangspunkt dafür, mit Folgen zu beschreiben, wie eine Größe von ihren eigenen Werten kurz davor abhängt.
Aufwandsschätzung in Softwareteams (IT und Projektmanagement)
In der agilen Softwareentwicklung (z. B. Scrum) schätzt man den Aufwand oft mit Zahlen, die an die Fibonacci-Folge angelehnt sind, etwa 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; … (Story Points, oft beim Planning Poker).
Die Abstände werden mit größeren Zahlen größer – das passt dazu, dass große Aufgaben sich nicht genau schätzen lassen. Außerdem vermeidet man so überflüssig feine Diskussionen wie „Ist das eine 8 oder eine 9?“.
In den Spiralen von Pflanzen (Biologie und Natur)
Es gibt viele Beispiele, bei denen die Zahl der Spiralen eine Fibonacci-Zahl ist (8 ; 13 ; 21 ; 34 ; 55 ; …), etwa die Spiralen der Kerne einer Sonnenblume (z. B. 34 in die eine und 55 in die andere Richtung) oder die Spiralen der Schuppen von Kiefernzapfen und Ananas. Erklärt wird das mit dem Wachstum der Pflanze: Neue Knospen und Samen bilden sich in Richtungen, die sich nicht mit den schon vorhandenen überdecken.
Nicht jede Pflanze und jedes Exemplar hält sich daran – bekannt ist es als Tendenz: Sehr oft ergeben sich Fibonacci-Zahlen. Zählen Sie doch einmal die Spiralen an einer Pflanze in Ihrer Nähe, vielleicht begegnen Sie dieser Folge.
Formeln und Graphen
Formel für das nächste Glied (die Rekursionsformel der Fibonacci-Folge)
Graph
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(a_n\)
\(=\)
\(a_{n-1}\)
\(+\)
\(a_{n-2}\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(a_n\): \(n\)-tes Glied
\(=\)
①
\(a_{n-1}\): Glied davor
\(+\)
②
\(a_{n-2}\): Glied zwei Stellen davor
Die Formel in Worten
①
Addiert man das
\(a_{n-1}\): Glied davor
und das
②
\(a_{n-2}\): Glied zwei Stellen davor
,
③
erhält man das
\(a_n\): \(n\)-tes Glied
.
Einfaches Beispiel
In der Fibonacci-Folge 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; … ist das 7. Glied
\(a_7\): 7. Glied
\(=\)
Glied davor (6. Glied = 8)
\(+\)
zwei Stellen davor (5. Glied = 5)
\(8 + 5 = 13\)
Der Grundgedanke
Diese Formel allein legt die ersten beiden Glieder nicht fest. Die Folge ist erst eindeutig, wenn man dazu sagt, dass die ersten beiden Glieder beide \(1\) sind (die Anfangswerte \(a_1 = 1\) und \(a_2 = 1\)).
Eine Formel, die wie hier angibt, wie man aus den vorherigen Gliedern das nächste bekommt, heißt Rekursionsformel (rekursive Darstellung). Anders als bei der expliziten Darstellung einer arithmetischen oder geometrischen Folge, die den Wert sofort liefert, sobald man \(n\) einsetzt, muss man hier vom 2. Glied aus Schritt für Schritt bis zum \(n\)-ten Glied weiteraddieren.
Manche Bücher setzen eine \(0\) davor und beginnen mit \(0 ; 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; \ldots\). Dann zählt die \(0\) meist als 0. Glied (\(a_0 = 0\)), und ab dem 1. Glied (\(a_1 = 1\), \(a_2 = 1\), …) stimmen Nummern und Werte mit dieser Seite überein. Nur wer die \(0\) als 1. Glied zählt, verschiebt alle Nummern um eins. Dieser Rechner folgt der in Schulbüchern üblichen Zählweise: Start mit \(1 ; 1\), das 1. Glied ist 1.
Formel für die Summe der ersten \(n\) Glieder (Summeneigenschaft)
Graph
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(S_n\)
\(=\)
\(a_{n+2}\)
\(-\)
\(1\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(S_n\): Summe vom 1. bis zum \(n\)-ten Glied
\(=\)
①
\(a_{n+2}\): Glied zwei Stellen weiter
\(-\)
②
\(1\)
Die Formel in Worten
①
Zieht man vom
\(a_{n+2}\): Glied zwei Stellen weiter
②
\(1\)
ab,
③
erhält man die
\(S_n\): Summe vom 1. bis zum \(n\)-ten Glied
.
Einfaches Beispiel
In der Fibonacci-Folge 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; 21 ; … ist die Summe vom 1. bis zum 6. Glied (1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8)
\(S_6\): Summe bis zum 6. Glied
\(=\)
zwei Stellen weiter (8. Glied = 21)
\(-\)
1
\(21 - 1 = 20\)
Der Grundgedanke
„Für die Summe schauen Sie einfach zwei Glieder weiter und ziehen \(1\) ab.“ Diese praktische Eigenschaft hat die Fibonacci-Folge: Sie erhalten die Summe in einem Schritt, ohne die Glieder einzeln zu addieren.
Warum gilt das? Lesen Sie die Rekursionsformel als \(a_k = a_{k+2} - a_{k+1}\) (ein Glied ist das Glied zwei Stellen weiter minus das nächste Glied). Setzt man das für jedes Glied von \(a_1 + a_2 + \cdots + a_n\) ein, heben sich benachbarte Teile nacheinander weg, und es bleibt nur \(a_{n+2} - a_2 = a_{n+2} - 1\) übrig.
Mit dieser Eigenschaft können Sie den Rechner auch überprüfen: Die Summe bis zum 10. Glied ist 143, also genau 1 weniger als das 12. Glied, 144.
In der Fibonacci-Folge ist jedes Glied die Summe seiner beiden Vorgänger (die ersten beiden Glieder sind 1). Das \(n\)-te Glied erhalten Sie Schritt für Schritt mit der Rekursionsformel \(a_n = a_{n-1} + a_{n-2}\), die Summe vom 1. bis zum \(n\)-ten Glied mit „Glied zwei Stellen weiter minus \(1\)“ (\(S_n = a_{n+2} - 1\)).
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(n\) | n | Die Anzahl der Glieder. Eine positive ganze Zahl, die angibt, wie weit man in der Folge geht. „Bis zum 10. Glied“ heißt \(n = 10\). |
| \(a_n\) | a n | Das \(n\)-te Glied, also die \(n\)-te Zahl der Folge. Die kleine Zahl rechts unten (der Index) gibt die Stelle an. In der Fibonacci-Folge ist \(a_1 = 1\), \(a_2 = 1\), \(a_3 = 2\), \(a_4 = 3\) usw. |
| \(a_{n-1}\) | a n minus eins | Das Glied direkt vor dem \(n\)-ten Glied (sein Vorgänger). Für das 10. Glied ist es das 9. Glied. Die Subtraktion im Index bedeutet „eine Stelle früher“. |
| \(a_{n-2}\) | a n minus zwei | Das Glied zwei Stellen vor dem \(n\)-ten Glied. Für das 10. Glied ist es das 8. Glied. |
| \(a_{n+2}\) | a n plus zwei | Das Glied zwei Stellen nach dem \(n\)-ten Glied. Für das 10. Glied ist es das 12. Glied. Die Summe vom 1. bis zum \(n\)-ten Glied ist genau dieses Glied minus \(1\). |
| \(S_n\) | S n | Die Summe vom 1. bis zum \(n\)-ten Glied, eine Kurzschreibweise für \(a_1 + a_2 + \cdots + a_n\). Das S steht für „Summe“. |
| \(\varphi\) | phi | Das Symbol für den Goldenen Schnitt. Sein Wert ist \(\varphi = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1{,}618\ldots\). Der Quotient benachbarter Fibonacci-Zahlen (spätere ÷ frühere) kommt diesem Wert immer näher, je weiter man geht. |
| \(\cdots\) | Punkt, Punkt, Punkt (Auslassungspunkte) | Zeigt an, dass es nach derselben Regel weitergeht. 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; … bedeutet, dass die Folge immer weiter die beiden vorigen Glieder addiert. |
Begriffe
| Folge | Zahlen in einer festen Reihenfolge (Zahlenfolge). Jede einzelne Zahl darin heißt Glied. |
| Fibonacci-Folge | Eine Folge, die mit 1 ; 1 beginnt und nach der Regel „jedes Glied ist die Summe seiner beiden Vorgänger“ weitergeht – 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; 21 ; …. Sie geht auf eine Aufgabe über die Vermehrung von Kaninchenpaaren zurück, die der italienische Mathematiker Fibonacci im 13. Jahrhundert in seinem Buch stellte. Die einzelnen Zahlen heißen Fibonacci-Zahlen. |
| Glied | Jede einzelne Zahl einer Folge (Folgenglied). Von vorn gezählt heißen sie 1. Glied, 2. Glied usw. |
| Anfangsglied | Das allererste Glied einer Folge, also das 1. Glied. In der Fibonacci-Folge (so wie auf dieser Seite gezählt) ist es 1. |
| Rekursionsformel (rekursive Darstellung) | Eine Formel, die eine Folge als Regel beschreibt, wie man aus den vorherigen Gliedern das nächste erhält. Die Rekursionsformel der Fibonacci-Folge lautet \(a_n = a_{n-1} + a_{n-2}\). Folgen und ihre Darstellungen kommen meist in Klasse 10–11 (15–17 Jahre) vor. |
| Anfangswert | Der Wert der ersten Glieder (bei der Fibonacci-Folge das Anfangsglied und das 2. Glied), der zusammen mit einer Rekursionsformel angegeben wird. Bei der Fibonacci-Folge sind \(a_1 = 1\) und \(a_2 = 1\) die Anfangswerte. Ohne sie legt die Rekursionsformel allein die Folge nicht fest. |
| Goldener Schnitt | Das Verhältnis \(1 : \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}\) (etwa \(1 : 1{,}618\)). Es gilt seit der Antike als besonders harmonisch und wird mit \(\varphi\) (phi) bezeichnet. Es ist bewiesen, dass der Quotient benachbarter Fibonacci-Zahlen dem Goldenen Schnitt immer näher kommt, je weiter man geht. |
| explizite Darstellung | Das \(n\)-te Glied als Formel in \(n\) (auch Bildungsvorschrift). Auch die Fibonacci-Folge hat eine solche Formel mit dem Goldenen Schnitt \(\varphi\), die Formel von Binet. Sie enthält \(\sqrt{5}\) und ist etwas aufwendig – wer nur den Wert braucht, rechnet mit der Rekursionsformel Schritt für Schritt sicherer. |
| arithmetische Folge | Eine Folge, bei der die Differenz benachbarter Glieder immer gleich ist, etwa 5 ; 8 ; 11 ; 14 ; … (jedes Mal plus 3). Eine arithmetische Folge addiert eine feste Zahl, die Fibonacci-Folge dagegen die beiden vorigen Glieder. |
| geometrische Folge | Eine Folge, bei der der Quotient benachbarter Glieder immer gleich ist, etwa 3 ; 6 ; 12 ; 24 ; … (jedes Mal mal 2). Die Fibonacci-Folge ist keine geometrische Folge, wächst aber später fast mit einem festen Faktor von etwa 1,618 und verhält sich dann ganz ähnlich. |
Das sollten Sie vorher wissen
Hier steht, was Ihnen hilft, die Berechnung auf dieser Seite wirklich zu verstehen – nicht nur auf den Knopf zu drücken.
Wenn Sie hängen bleiben, ist eine Wiederholung dieser Themen der schnellste Weg weiter.
| Ganze Zahlen addieren, schriftliche Addition (Klasse 2–3, 7–9 Jahre) |
|
| Zahlenfolgen und Muster (Klasse 3–5, 8–11 Jahre) |
|
| Variablen und Terme (Klasse 5–7, 10–13 Jahre) |
|
| Schreibweise von Folgen (Klasse 10–11, 15–17 Jahre) |
|
So berechnen Sie es in Excel
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle für das n-te Glied (bis zum 10. Glied)
| 1. Glied | 1 |
| 2. Glied | 1 |
| 3. Glied | =B1+B2 |
| 4. Glied | =B2+B3 |
| 5. Glied | =B3+B4 |
| 6. Glied | =B4+B5 |
| 7. Glied | =B5+B6 |
| 8. Glied | =B6+B7 |
| 9. Glied | =B7+B8 |
| 10. Glied | =B8+B9 |
Tabelle für die Summe vom 1. bis zum n-ten Glied (Summe bis zum 10. Glied)
| 1. Glied | 1 |
| 2. Glied | 1 |
| 3. Glied | =B1+B2 |
| 4. Glied | =B2+B3 |
| 5. Glied | =B3+B4 |
| 6. Glied | =B4+B5 |
| 7. Glied | =B5+B6 |
| 8. Glied | =B6+B7 |
| 9. Glied | =B7+B8 |
| 10. Glied | =B8+B9 |
| Summe vom 1. bis zum 10. Glied | =SUMME(B1:B10) |
Nach dem Einfügen sind nur B1 und B2 (die ersten beiden Glieder, beide 1) Eingaben. Ab B3 berechnet jede Zelle automatisch „Zelle eins darüber + Zelle zwei darüber“. In den Formeln bedeuten „B1“ und „B2“ „nimm die Zahl aus dieser Zelle“, „+“ ist die Addition, und SUMME(B1:B10) heißt „addiere alles von B1 bis B10“.
Die erste Tabelle zeigt in B10 die 55 (10. Glied), die zweite in B11 die 143 (Summe bis zum 10. Glied). Für weitere Glieder markieren Sie die unterste Zelle „=B8+B9“ und ziehen das kleine Quadrat an ihrer rechten unteren Ecke nach unten. Dieselbe Regel läuft dann weiter – die Rekursionsformel „die beiden vorigen Glieder addieren“ ist genau die Zellformel.
Die erste Tabelle zeigt in B10 die 55 (10. Glied), die zweite in B11 die 143 (Summe bis zum 10. Glied). Für weitere Glieder markieren Sie die unterste Zelle „=B8+B9“ und ziehen das kleine Quadrat an ihrer rechten unteren Ecke nach unten. Dieselbe Regel läuft dann weiter – die Rekursionsformel „die beiden vorigen Glieder addieren“ ist genau die Zellformel.
So berechnen Sie es in Google Tabellen
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle für das n-te Glied (bis zum 10. Glied)
| 1. Glied | 1 |
| 2. Glied | 1 |
| 3. Glied | =B1+B2 |
| 4. Glied | =B2+B3 |
| 5. Glied | =B3+B4 |
| 6. Glied | =B4+B5 |
| 7. Glied | =B5+B6 |
| 8. Glied | =B6+B7 |
| 9. Glied | =B7+B8 |
| 10. Glied | =B8+B9 |
Tabelle für die Summe vom 1. bis zum n-ten Glied (Summe bis zum 10. Glied)
| 1. Glied | 1 |
| 2. Glied | 1 |
| 3. Glied | =B1+B2 |
| 4. Glied | =B2+B3 |
| 5. Glied | =B3+B4 |
| 6. Glied | =B4+B5 |
| 7. Glied | =B5+B6 |
| 8. Glied | =B6+B7 |
| 9. Glied | =B7+B8 |
| 10. Glied | =B8+B9 |
| Summe vom 1. bis zum 10. Glied | =SUMME(B1:B10) |
Dieselben Formeln wie in Excel funktionieren unverändert. Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 ein. B10 zeigt 55 (10. Glied), in der zweiten Tabelle zeigt B11 die 143 (Summe). Für weitere Glieder ziehen Sie die unterste Formelzelle nach unten.
So berechnen Sie es in Python
number_of_terms = 10 # Anzahl der Glieder (wie weit gerechnet wird)
# Fibonacci-Folge: die ersten beiden Glieder sind 1, danach ist jedes Glied die Summe seiner beiden Vorgänger
fibonacci = [1, 1]
while len(fibonacci) < number_of_terms:
fibonacci.append(fibonacci[-1] + fibonacci[-2])
fibonacci = fibonacci[:number_of_terms]
nth_term = fibonacci[-1] # n-tes Glied
sum_of_terms = sum(fibonacci) # Summe vom 1. bis zum n-ten Glied
print(f"Erste Glieder: {fibonacci[:10]}")
print(f"{number_of_terms}. Glied: {nth_term}")
print(f"Summe vom 1. bis zum {number_of_terms}. Glied: {sum_of_terms}")
Der Code kommt mit der Standardbibliothek aus. Ändern Sie die Zahl oben (die Anzahl der Glieder) und führen Sie ihn aus. Dieses Beispiel gibt 55 für das 10. Glied und 143 für die Summe aus. Ganze Zahlen haben in Python keine Stellenbegrenzung, Sie erhalten also selbst bei 1000 Gliedern (das 1000. Glied hat 209 Stellen) den exakten Wert. In fibonacci[-1] bedeutet „-1“ „das letzte Element der Liste“ und [-2] „das vorletzte“ – der Code schreibt die Rekursionsformel „die beiden vorigen Glieder addieren“ also direkt hin.
So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
Formel für das nächste Glied (die Rekursionsformel der Fibonacci-Folge)
aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₋₂
a_n = a_{n-1} + a_{n-2} \quad (n \geq 3,\ a_1 = a_2 = 1)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub>
<mo>=</mo>
<msub><mi>a</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msub>
<mo>+</mo>
<msub><mi>a</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>2</mn></mrow></msub>
</mrow>
</math>
a_n = a_(n-1) + a_(n-2)
a[n] == a[n - 1] + a[n - 2]
a(n) := a(n - 1) + a(n - 2);
a(n) = a(n - 1) + a(n - 2);
a_n = a_(n-1) + a_(n-2)
Formel für die Summe der ersten \(n\) Glieder (Summeneigenschaft)
Sₙ = aₙ₊₂ − 1
S_n = a_{n+2} - 1
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>S</mi><mi>n</mi></msub>
<mo>=</mo>
<msub><mi>a</mi><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>2</mn></mrow></msub>
<mo>−</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
</math>
S_n = a_(n+2) - 1
Fibonacci[n + 2] - 1
Sn := a(n + 2) - 1;
S_n = a(n + 2) - 1;
S_n = a_(n+2) - 1
So lassen Sie ChatGPT rechnen
Sie sind ein Rechenassistent für die Fibonacci-Folge. Führen Sie die folgenden Berechnungen aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (nicht im Kopf rechnen und nicht schätzen). Definieren Sie die Fibonacci-Folge durch a_1 = 1, a_2 = 1, a_n = a_(n-1) + a_(n-2) (n ≥ 3). Berechnen Sie jede Summe, indem Sie die Glieder tatsächlich addieren, und prüfen Sie außerdem, dass sie mit der Eigenschaft S_n = a_(n+2) - 1 übereinstimmt. 1. Das 10. Glied der Fibonacci-Folge und die Summe vom 1. bis zum 10. Glied 2. Das 20. Glied der Fibonacci-Folge und die Summe vom 1. bis zum 20. Glied 3. Das 50. Glied der Fibonacci-Folge sowie das 50. Glied geteilt durch das 49. Glied (prüfen Sie auch, dass der Wert nahe am Goldenen Schnitt 1,6180… liegt) Geben Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis an. Antworten Sie auf Deutsch.
Anleitung
-
1Werte eingebenTragen Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
-
2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
-
3Ergebnis ansehenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
Die Vorteile von DataChef
Einfach und kostenlos
Kostenlose Umwandlung ohne Limit
Kein Fachwissen nötig – einfach und intuitiv
Kein Fachwissen nötig – einfach und intuitiv
Keine Anmeldung erforderlich
Sofort nach dem Öffnen der Seite nutzbar
Keine persönlichen Daten erforderlich
Keine persönlichen Daten erforderlich
Sicher und geschützt
Stark verschlüsselte Verbindung (SSL)
Die Datei wird nach dem Download automatisch gelöscht
Die Datei wird nach dem Download automatisch gelöscht
Schnell
Schnelle Anzeige und Umwandlung – ganz ohne Wartezeit
Keine Wasserzeichen
Kein Wasserzeichen
Keine Quellenangabe nötig
Keine Quellenangabe nötig
Kommerzielle Nutzung möglich
Kostenlos auch für die kommerzielle Nutzung
Keine vorherige Genehmigung erforderlich
Keine vorherige Genehmigung erforderlich
Verwandte Funktionen
Arithmetische Folge berechnen – n-tes Glied und Summe (arithmetische Reihe)
Berechnet aus Anfangsglied, Differenz und Anzahl der Glieder das n-te Glied und die Summe (eine Folge, die durch Addieren derselben Zahl wächst – wie die Fibonacci-Folge eine der typischen Folgen aus dem Unterricht)
Geometrische Folge berechnen – n-tes Glied, Summe und unendliche geometrische Reihe
Berechnet aus Anfangsglied, Quotient und Anzahl der Glieder das n-te Glied und die Summe (eine Folge, die durch Multiplizieren mit derselben Zahl wächst; auch die Fibonacci-Folge wächst später fast mit einem festen Faktor, dem Goldenen Schnitt)
Potenzrechner – Potenzen berechnen (a hoch n)
Berechnet a hoch n (Fibonacci-Zahlen wachsen ungefähr wie die Potenzen des Goldenen Schnitts und hängen deshalb eng mit Potenzen zusammen)
Ad 
