Geben Sie die Anzahl der Glieder (bis zu welchem Glied gerechnet wird) ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Sie erhalten die ersten Glieder der Fibonacci-Folge (1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; …), das n-te Glied und die Summe der ersten n Glieder auf einmal.
Geben Sie die Anzahl der Glieder n als positive ganze Zahl ein (1 bis 1000). Alle Rechnungen verwenden exakte ganze Zahlen, deshalb gibt es auch bei großen Gliedern in keiner Ziffer einen Rundungsfehler.
Ergebnis und Diagramm
Geben Sie links die Anzahl der Glieder ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis und ein Diagramm erscheinen hier.
Inhaltsverzeichnis
[
Schließen X
Öffnen
]
-
Was Sie auf dieser Seite tun können
-
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
-
Anleitung
-
Formeln und Diagramme
-
Symbole und Begriffe
-
Was Sie vorab wissen sollten
-
Mit Excel berechnen
-
Mit Google Tabellen berechnen
-
Mit Python berechnen
-
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
-
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
-
Die Vorteile von DataChef
-
Verwandte Funktionen
-
Alle NumberChef-Rechner
Was Sie auf dieser Seite tun können
- Geben Sie nur einen Wert ein, die Anzahl der Glieder (bis zu welchem Glied gerechnet wird), und Sie erhalten das \(n\)-te Glied der Fibonacci-Folge (1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; …) und die Summe der ersten \(n\) Glieder auf einmal
- Sie eignen sich direkt für Fragen wie „Wie groß ist die 20. Fibonacci-Zahl? Wie groß ist die Summe der ersten 20?“
- Alle Werte werden exakt mit allen Ziffern berechnet, bis zum 1000. Glied (einer Zahl mit 209 Stellen)
- Zusammen mit dem Ergebnis zeigt ein Diagramm, wie die Fibonacci-Folge wächst, wobei jedes Glied die Summe der beiden vorangehenden Glieder ist
- Eine leicht verständliche Erklärung der Formel (der rekursiven Darstellung) sowie Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python finden Sie ebenfalls auf dieser Seite
Dieser Rechner beginnt die Fibonacci-Folge bei 1, also „1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; …“ (1. Glied = 1, 2. Glied = 1). Manche Bücher (auch Wikipedia) stellen eine 0 voran und beginnen mit „0 ; 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; …“. Dann zählt die 0 üblicherweise als 0. Glied, ab dem 1. Glied = 1 ist die Nummerierung also dieselbe wie auf dieser Seite. (Achtung, wenn Sie die 0 als 1. Glied zählen, verschiebt sich jede Nummer um eins.)
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
Eine klassische Übung zum Programmierenlernen (Informatik)
Die Fibonacci-Folge folgt der einfachen Regel „die beiden vorangehenden Glieder addieren“ und ist deshalb eine klassische Übung, um in der Programmiereinführung Schleifen und Rekursion (eine Funktion, die sich selbst aufruft) zu lernen. Dasselbe Ergebnis kann je nach Schreibweise des Codes sehr unterschiedlich lange dauern (die einfache Rekursion braucht bis zum 50. Glied eine riesige Zahl von Aufrufen), deshalb ist sie auch in Algorithmen-Vorlesungen beliebt.
Nach ihr sind außerdem eine Datenstruktur (der Fibonacci-Heap) und ein Suchverfahren (die Fibonacci-Suche) benannt, sie gehört also zu den Grundbegriffen der Informatik.
Das Verhältnis benachbarter Glieder nähert sich dem goldenen Schnitt (Mathematik und Gestaltung)
Es ist bewiesen, dass sich das Verhältnis benachbarter Fibonacci-Zahlen (spätere ÷ frühere) dem goldenen Schnitt \(\varphi = 1{,}618\cdots\) immer weiter nähert, je weiter Sie gehen. Tatsächlich ist \(55 \div 34 \approx 1{,}6176\) und \(89 \div 55 \approx 1{,}6182\), sodass beide beim 10. Glied schon auf 2 Nachkommastellen übereinstimmen.
Der goldene Schnitt wird in der Gestaltung manchmal als ausgewogenes Verhältnis verwendet. Zum Beispiel heißt es oft, die Form einer Kreditkarte liege nahe daran. Dass der goldene Schnitt aus einer Folge entsteht, die nur durch Addition ganzer Zahlen gebildet wird, ist die schönste Eigenschaft der Fibonacci-Folge.
Wie sich Kaninchenpaare vermehren (das Problem hinter der Folge)
Die Fibonacci-Folge geht auf eine Aufgabe im Buch Liber Abaci des italienischen Mathematikers Fibonacci aus dem 13. Jahrhundert zurück: „Ein neugeborenes Kaninchenpaar bekommt ab einem Alter von 2 Monaten jeden Monat ein neues Paar. Wie ändert sich die Zahl der Paare von Monat zu Monat?“ Die Zahl der Paare wächst in jedem Monat als 1, 1, 2, 3, 5, 8, … und erreicht im 12. Monat 144 Paare.
Echte Kaninchen vermehren sich natürlich nicht genau so, es ist ein idealisiertes Modell. Trotzdem wurde es zum Ausgangspunkt dafür, mit Folgen zu beschreiben, wie eine Menge davon abhängt, wie groß sie kurz zuvor war.
Für Aufwandsschätzungen in Softwareteams (IT und Projektmanagement)
In der agilen Softwareentwicklung ist es üblich, Aufwand mit Zahlen zu schätzen, die auf der Fibonacci-Folge beruhen, etwa 1, 2, 3, 5, 8, 13, … (sogenannte Story Points).
Die Abstände werden mit größeren Zahlen größer, was zur Wirklichkeit passt, dass sich größere Aufgaben nicht genau schätzen lassen. So vermeidet man auch sinnlos feine Debatten wie „Ist das eine 8 oder eine 9?“.
In den Spiralen von Pflanzen zu finden (Biologie und Naturbeobachtung)
Es wurden viele Beispiele berichtet, bei denen die Zahl der Spiralen eine Fibonacci-Zahl ist (8, 13, 21, 34, 55, …), etwa bei den Spiralen der Kerne in einer Sonnenblume (zum Beispiel 34 in die eine und 55 in die andere Richtung) und den Spiralen der Schuppen bei Kiefernzapfen und Ananas. Dieses Muster erklärt sich dadurch, wie Pflanzen wachsen: Neue Knospen und Samen entstehen in Richtungen, die die schon vorhandenen Teile nicht überdecken.
Nicht jede Pflanze und nicht jedes Exemplar folgt dem allerdings. Es ist als Tendenz bekannt: Viele Beispiele erweisen sich als Fibonacci-Zahlen. Zählen Sie einmal die Spiralen an einer Pflanze in Ihrer Nähe, vielleicht begegnen Sie dieser Folge.
Formeln und Diagramme
Formel für das nächste Glied (die rekursive Darstellung der Fibonacci-Folge)
Diagramm
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(a_n\)
\(=\)
\(a_{n-1}\)
\(+\)
\(a_{n-2}\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(a_n\): \(n\)-tes Glied
\(=\)
①
\(a_{n-1}\): vorheriges Glied
\(+\)
②
\(a_{n-2}\): vorvorheriges Glied
Die Formel in Worten
①
Addieren Sie das
\(a_{n-1}\): vorheriges Glied
und das
②
\(a_{n-2}\): vorvorheriges Glied
,
③
und Sie erhalten das
\(a_n\): \(n\)-tes Glied
Einfaches Beispiel
In der Fibonacci-Folge 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; … ist das 7. Glied
\(a_7\): 7. Glied
\(=\)
vorheriges Glied (6. Glied = 8)
\(+\)
vorvorheriges Glied (5. Glied = 5)
\(8 + 5 = 13\)
Der Kerngedanke
Diese Formel allein legt die ersten beiden Glieder noch nicht fest. Die Folge ist erst vollständig bestimmt, wenn die Vorgabe (die Anfangswerte) hinzukommt, dass die ersten beiden Glieder beide \(1\) sind (\(a_1 = 1,\ a_2 = 1\)).
Eine Formel in der Form „eine Regel, die das nächste Glied aus früheren Gliedern bestimmt“ nennt man rekursive Darstellung (oder Rekursionsformel). Anders als die explizite Darstellung einer arithmetischen oder geometrischen Folge (eine Formel, die den Wert liefert, sobald Sie \(n\) einsetzen) gehen Sie hier für das \(n\)-te Glied zurück bis zum 2. Glied und addieren sich der Reihe nach vor.
Viele Bücher stellen eine \(0\) voran und beginnen mit \(0, 1, 1, 2, 3, \cdots\). Dort zählt die \(0\) üblicherweise als 0. Glied (\(a_0 = 0\)), ab dem 1. Glied (\(a_1 = 1,\ a_2 = 1, \cdots\)) stimmen Nummern und Werte also mit dieser Seite überein. Die Nummern verschieben sich nur, wenn Sie die \(0\) als 1. Glied zählen. Dieser Rechner verwendet die verbreitete Schulbuch-Konvention: Beginn mit \(1, 1\), das 1. Glied ist 1.
Formel für die Summe der ersten \(n\) Glieder (die Summeneigenschaft)
Diagramm
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(S_n\)
\(=\)
\(a_{n+2}\)
\(-\)
\(1\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(S_n\): Summe der ersten \(n\) Glieder
\(=\)
①
\(a_{n+2}\): übernächstes Glied
\(-\)
②
\(1\)
Die Formel in Worten
①
Ziehen Sie vom
\(a_{n+2}\): übernächstes Glied
die
②
\(1\)
ab,
③
und Sie erhalten die
\(S_n\): Summe der ersten \(n\) Glieder
Einfaches Beispiel
In der Fibonacci-Folge 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; 21 ; … ist die Summe der Glieder 1 bis 6 (1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8)
\(S_6\): Summe bis zum 6. Glied
\(=\)
übernächstes Glied (8. Glied = 21)
\(-\)
1
\(21 - 1 = 20\)
Der Kerngedanke
„Um die Summe zu erhalten, schauen Sie sich das Glied zwei Stellen weiter an und ziehen Sie \(1\) ab.“ Das ist eine praktische Eigenschaft der Fibonacci-Folge. Sie erhalten die Summe in einem Schritt, ohne die Glieder einzeln zu addieren.
Warum gilt das? Lesen Sie die rekursive Darstellung als \(a_k = a_{k+2} - a_{k+1}\) (ein Glied ist das übernächste Glied minus das nächste). Wendet man sie auf jedes Glied von \(a_1 + a_2 + \cdots + a_n\) an, heben sich benachbarte Teile nacheinander auf, und es bleibt nur \(a_{n+2} - a_2 = a_{n+2} - 1\) übrig.
Mit dieser Eigenschaft können Sie den Rechner überprüfen. Die Summe bis zum 10. Glied ist zum Beispiel 143, genau 1 weniger als das 12. Glied, das 144 ist.
In der Fibonacci-Folge ist jedes Glied die Summe der beiden vorangehenden Glieder (die ersten beiden Glieder sind beide 1). Das \(n\)-te Glied finden Sie Schritt für Schritt mit der rekursiven Darstellung \(a_n = a_{n-1} + a_{n-2}\), die Summe der Glieder 1 bis \(n\) mit „das übernächste Glied nehmen und \(1\) abziehen“ (\(S_n = a_{n+2} - 1\)).
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(n\) | n | Die Anzahl der Glieder. Eine positive ganze Zahl, die angibt, bis zu welchem Glied der Folge gerechnet wird. „Bis zum 10. Glied“ bedeutet \(n = 10\). |
| \(a_n\) | a Index n | Das \(n\)-te Glied. Die \(n\)-te Zahl der Folge. Der kleine Buchstabe unten rechts (der Index) sagt, das wievielte Glied gemeint ist. In der Fibonacci-Folge gilt \(a_1 = 1,\ a_2 = 1,\ a_3 = 2,\ a_4 = 3, \cdots\). |
| \(a_{n-1}\) | a Index n minus 1 | Das Glied direkt vor dem \(n\)-ten Glied (eine Stelle zurück). Für das 10. Glied ist es das 9. Glied. Die Subtraktion im Index bedeutet „eine Nummer früher“. |
| \(a_{n-2}\) | a Index n minus 2 | Das Glied zwei Stellen vor dem \(n\)-ten Glied. Für das 10. Glied ist es das 8. Glied. |
| \(a_{n+2}\) | a Index n plus 2 | Das Glied zwei Stellen nach dem \(n\)-ten Glied (das übernächste). Für das 10. Glied ist es das 12. Glied. Die Summe der Glieder 1 bis \(n\) ist gleich diesem Glied minus \(1\). |
| \(S_n\) | S Index n | Die Summe der ersten \(n\) Glieder. Eine Kurzschreibweise für \(a_1 + a_2 + \cdots + a_n\). Der Buchstabe S steht für „Summe“. |
| \(\varphi\) | Phi | Das Symbol für den goldenen Schnitt. Sein Wert ist \(\varphi = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1{,}618\cdots\). Das Verhältnis benachbarter Fibonacci-Zahlen (spätere ÷ frühere) nähert sich diesem Wert, je weiter Sie gehen. |
| \(\cdots\) | drei Punkte (Auslassungspunkte) | Ein Zeichen dafür, dass das Muster auf dieselbe Weise weitergeht. Die Schreibweise 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; … bedeutet, dass die Folge mit der Regel „die beiden vorangehenden Glieder addieren“ weitergeht. |
Begriffe
| Zahlenfolge | Zahlen, die in einer festen Reihenfolge aufgelistet sind. Jede Zahl in der Liste heißt Glied. Man sagt kurz auch „Folge“. |
| Fibonacci-Folge | Eine Zahlenfolge, die mit 1, 1 beginnt und dann nach der Regel „jedes Glied ist die Summe der beiden vorangehenden Glieder“ weitergeht, also 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; 21 ; …. Sie geht auf ein Problem zurück, wie sich Kaninchenpaare vermehren, das der italienische Mathematiker Fibonacci im 13. Jahrhundert in seinem Buch beschrieben hat. Jede Zahl darin heißt Fibonacci-Zahl. |
| Glied | Jede einzelne Zahl in einer Zahlenfolge. Vom Anfang an heißen sie 1. Glied, 2. Glied und so weiter. |
| Anfangsglied | Das allererste Glied einer Zahlenfolge, also das 1. Glied. In der Fibonacci-Folge (wie auf dieser Seite gezählt) ist es 1. |
| rekursive Darstellung | Eine Formel, die eine Folge als „Regel beschreibt, die das nächste Glied aus früheren Gliedern bestimmt“, auch Rekursionsformel genannt. Die Formel der Fibonacci-Folge lautet \(a_n = a_{n-1} + a_{n-2}\). |
| Anfangswerte | Die Werte der ersten Glieder, die zusammen mit einer rekursiven Darstellung angegeben werden (auch Startwerte genannt). Bei der Fibonacci-Folge sind die Anfangswerte \(a_1 = 1,\ a_2 = 1\). Ohne sie legt die rekursive Darstellung allein die Folge nicht fest. |
| goldener Schnitt | Das Verhältnis \(1 : \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}\) (etwa \(1 : 1{,}618\)). Seit alters gilt es als ausgewogenes Verhältnis, und es wird mit dem Symbol \(\varphi\) (Phi) geschrieben. Es ist bewiesen, dass sich das Verhältnis benachbarter Fibonacci-Zahlen dem goldenen Schnitt immer weiter nähert, je weiter Sie gehen. |
| explizite Darstellung | Das \(n\)-te Glied, als Formel in \(n\) geschrieben (auch allgemeines Glied genannt). Auch die Fibonacci-Folge hat eine, die den goldenen Schnitt \(\varphi\) verwendet, die Formel von Binet. Sie enthält \(\sqrt{5}\) und ist etwas kompliziert. Wenn Sie nur den Wert brauchen, ist es sicherer, Schritt für Schritt mit der rekursiven Darstellung zu addieren. |
| arithmetische Folge | Eine Zahlenfolge, bei der die Differenz benachbarter Glieder immer gleich ist, etwa 5 ; 8 ; 11 ; 14 ; … (jedes Mal 3 addieren). Eine arithmetische Folge addiert eine feste Zahl, die Fibonacci-Folge addiert die beiden vorangehenden Glieder. |
| geometrische Folge | Eine Zahlenfolge, bei der der Quotient benachbarter Glieder immer gleich ist, etwa 3 ; 6 ; 12 ; 24 ; … (jedes Mal mit 2 multiplizieren). Die Fibonacci-Folge ist keine geometrische Folge, wächst aber weiter hinten fast mit einem festen Faktor von etwa 1,618 und verhält sich daher ähnlich. |
Was Sie vorab wissen sollten
Hier finden Sie zusammengestellt, was Ihnen hilft, die Berechnung auf dieser Seite mit echtem Verständnis zu nutzen und nicht nur den Knopf zu drücken.
Wenn Sie nicht weiterkommen, ist es der schnellste Weg, diese Themen noch einmal zu wiederholen.
| Addition ganzer Zahlen, schriftlich (Klasse 2–3, 7–9 Jahre) |
|
| Zahlenmuster (Klasse 5–6, 10–12 Jahre) |
|
| Variablen und Terme (Klasse 5–6, 10–12 Jahre) |
|
| Schreibweise von Folgen (Oberstufe, Klasse 10–11, 15–17 Jahre) |
|
Mit Excel berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle zur Berechnung des n-ten Glieds (bis zum 10. Glied)
| 1. Glied | 1 |
| 2. Glied | 1 |
| 3. Glied | =B1+B2 |
| 4. Glied | =B2+B3 |
| 5. Glied | =B3+B4 |
| 6. Glied | =B4+B5 |
| 7. Glied | =B5+B6 |
| 8. Glied | =B6+B7 |
| 9. Glied | =B7+B8 |
| 10. Glied | =B8+B9 |
Tabelle zur Berechnung der Summe der ersten n Glieder (Summe bis zum 10. Glied)
| 1. Glied | 1 |
| 2. Glied | 1 |
| 3. Glied | =B1+B2 |
| 4. Glied | =B2+B3 |
| 5. Glied | =B3+B4 |
| 6. Glied | =B4+B5 |
| 7. Glied | =B5+B6 |
| 8. Glied | =B6+B7 |
| 9. Glied | =B7+B8 |
| 10. Glied | =B8+B9 |
| Summe der Glieder 1 bis 10 | =SUMME(B1:B10) |
Nach dem Einfügen sind nur B1 und B2 (die ersten beiden Glieder, beide 1) Eingaben. Ab B3 abwärts berechnet jede Zelle automatisch „die Zelle eine Zeile darüber + die Zelle zwei Zeilen darüber“. In den Formeln bedeuten „B1“ und „B2“ „die Zahl in dieser Zelle verwenden“, „+“ ist die Addition, und SUMME(B1:B10) bedeutet „alles von B1 bis B10 addieren“.
Die erste Tabelle zeigt in B10 den Wert 55 (das 10. Glied), die zweite in B11 den Wert 143 (die Summe bis zum 10. Glied). Für weiter hinten liegende Glieder markieren Sie die unterste Zelle „=B8+B9“ und ziehen das kleine Quadrat in ihrer rechten unteren Ecke nach unten. Dieselbe Regel setzt sich fort (die rekursive Darstellung „die beiden vorangehenden Glieder addieren“ ist genau die Zellenformel).
Die erste Tabelle zeigt in B10 den Wert 55 (das 10. Glied), die zweite in B11 den Wert 143 (die Summe bis zum 10. Glied). Für weiter hinten liegende Glieder markieren Sie die unterste Zelle „=B8+B9“ und ziehen das kleine Quadrat in ihrer rechten unteren Ecke nach unten. Dieselbe Regel setzt sich fort (die rekursive Darstellung „die beiden vorangehenden Glieder addieren“ ist genau die Zellenformel).
Mit Google Tabellen berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle zur Berechnung des n-ten Glieds (bis zum 10. Glied)
| 1. Glied | 1 |
| 2. Glied | 1 |
| 3. Glied | =B1+B2 |
| 4. Glied | =B2+B3 |
| 5. Glied | =B3+B4 |
| 6. Glied | =B4+B5 |
| 7. Glied | =B5+B6 |
| 8. Glied | =B6+B7 |
| 9. Glied | =B7+B8 |
| 10. Glied | =B8+B9 |
Tabelle zur Berechnung der Summe der ersten n Glieder (Summe bis zum 10. Glied)
| 1. Glied | 1 |
| 2. Glied | 1 |
| 3. Glied | =B1+B2 |
| 4. Glied | =B2+B3 |
| 5. Glied | =B3+B4 |
| 6. Glied | =B4+B5 |
| 7. Glied | =B5+B6 |
| 8. Glied | =B6+B7 |
| 9. Glied | =B7+B8 |
| 10. Glied | =B8+B9 |
| Summe der Glieder 1 bis 10 | =SUMME(B1:B10) |
Dieselben Formeln wie in Excel funktionieren unverändert. Kopieren Sie die gesamte Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 ein. B10 zeigt 55 (das 10. Glied), und in der zweiten Tabelle zeigt B11 den Wert 143 (die Summe). Für weiter hinten liegende Glieder ziehen Sie die unterste Formelzelle nach unten, um fortzufahren.
Mit Python berechnen
number_of_terms = 10 # Anzahl der Glieder (bis zu welchem Glied gerechnet wird)
# Fibonacci-Folge: die ersten beiden Glieder sind 1, danach ist jedes Glied die Summe der beiden davor
fibonacci = [1, 1]
while len(fibonacci) < number_of_terms:
fibonacci.append(fibonacci[-1] + fibonacci[-2])
fibonacci = fibonacci[:number_of_terms]
nth_term = fibonacci[-1] # n-tes Glied
sum_of_terms = sum(fibonacci) # Summe der Glieder 1 bis n
print(f"Erste Glieder: {fibonacci[:10]}")
print(f"{number_of_terms}. Glied: {nth_term}")
print(f"Summe der Glieder 1 bis {number_of_terms}: {sum_of_terms}")
Der Code läuft nur mit der Standardbibliothek. Ändern Sie die Zahl am Anfang (die Anzahl der Glieder) und führen Sie ihn aus. In diesem Beispiel werden 55 für das 10. Glied und 143 für die Summe ausgegeben. Ganze Zahlen in Python haben keine Ziffernbegrenzung, deshalb erhalten Sie auch bei 1000 Gliedern (das 1000. Glied hat 209 Stellen) den exakten Wert. In fibonacci[-1] bedeutet „-1“ „das letzte Element der Liste“ und [-2] „das vorletzte“, der Code schreibt also die rekursive Darstellung „die beiden vorangehenden Glieder addieren“ direkt hin.
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
Formel für das nächste Glied (die rekursive Darstellung der Fibonacci-Folge)
aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₋₂
a_n = a_{n-1} + a_{n-2} \quad (n \geq 3,\ a_1 = a_2 = 1)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub>
<mo>=</mo>
<msub><mi>a</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msub>
<mo>+</mo>
<msub><mi>a</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>2</mn></mrow></msub>
</mrow>
</math>
a_n = a_(n-1) + a_(n-2)
a[n] == a[n - 1] + a[n - 2]
a(n) := a(n - 1) + a(n - 2);
a(n) = a(n - 1) + a(n - 2);
a_n = a_(n-1) + a_(n-2)
Formel für die Summe der ersten \(n\) Glieder (die Summeneigenschaft)
Sₙ = aₙ₊₂ − 1
S_n = a_{n+2} - 1
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>S</mi><mi>n</mi></msub>
<mo>=</mo>
<msub><mi>a</mi><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>2</mn></mrow></msub>
<mo>−</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
</math>
S_n = a_(n+2) - 1
Fibonacci[n + 2] - 1
Sn := a(n + 2) - 1;
S_n = a(n + 2) - 1;
S_n = a_(n+2) - 1
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
Sie sind ein Assistent für Berechnungen mit der Fibonacci-Folge. Führen Sie die folgenden Berechnungen aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort ausschließlich auf die Zahlen aus dem Ergebnis der Ausführung (antworten Sie nicht durch Kopfrechnen oder Raten). Definieren Sie die Fibonacci-Folge durch a_1 = 1, a_2 = 1, a_n = a_(n-1) + a_(n-2) (n ≥ 3). Bestimmen Sie jede Summe, indem Sie die Glieder tatsächlich addieren, und prüfen Sie außerdem, dass sie zur Eigenschaft S_n = a_(n+2) - 1 passt. 1. Das 10. Glied der Fibonacci-Folge und die Summe der Glieder 1 bis 10 2. Das 20. Glied der Fibonacci-Folge und die Summe der Glieder 1 bis 20 3. Das 50. Glied der Fibonacci-Folge und das 50. Glied geteilt durch das 49. Glied (prüfen Sie auch, dass es nahe am goldenen Schnitt 1,6180… liegt) Zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ergebnis der Ausführung.
Anleitung
-
1Zahlen eingebenGeben Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
-
2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
-
3Ergebnis ablesenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
Die Vorteile von DataChef
Einfach und kostenlos
Kostenlose Umwandlung ohne Limit
Kein Fachwissen nötig – einfach und intuitiv
Kein Fachwissen nötig – einfach und intuitiv
Keine Anmeldung erforderlich
Sofort nach dem Öffnen der Seite nutzbar
Keine persönlichen Daten erforderlich
Keine persönlichen Daten erforderlich
Sicher und geschützt
Stark verschlüsselte Verbindung (SSL)
Die Datei wird nach dem Download automatisch gelöscht
Die Datei wird nach dem Download automatisch gelöscht
Schnell
Schnelle Anzeige und Umwandlung – ganz ohne Wartezeit
Keine Wasserzeichen
Kein Wasserzeichen
Keine Quellenangabe nötig
Keine Quellenangabe nötig
Kommerzielle Nutzung möglich
Kostenlos auch für die kommerzielle Nutzung
Keine vorherige Genehmigung erforderlich
Keine vorherige Genehmigung erforderlich
Verwandte Funktionen
Rechner für arithmetische Folgen (n-tes Glied und Summe)
Berechnet das n-te Glied und die Summe aus Anfangsglied, Differenz und Anzahl der Glieder (eine Folge, die durch Addition derselben Zahl wächst, wie die Fibonacci-Folge eine der typischen Folgen der Oberstufe)
Rechner für geometrische Folgen (n-tes Glied und Summe)
Berechnet das n-te Glied und die Summe aus Anfangsglied, Quotient und Anzahl der Glieder (eine Folge, die durch Multiplikation mit derselben Zahl wächst; weiter hinten wächst auch die Fibonacci-Folge fast mit einem festen Verhältnis, dem goldenen Schnitt)
Potenzen berechnen (a hoch n, Exponent und Basis bestimmen)
Berechnet a hoch n (Fibonacci-Zahlen wachsen etwa im Tempo der Potenzen des goldenen Schnitts, sie hängen also eng mit Potenzen zusammen)
Ad 
