Lineare Funktion aufstellen – Rechner für y = mx + b aus zwei Punkten oder Steigung und Punkt, mit Nullstelle

Wählen Sie einen Modus und geben Sie die Koordinaten zweier Punkte (oder die Steigung und die Koordinaten eines Punktes) ein. Geben Sie zusätzlich ein x ein, wird auch der y-Wert dazu berechnet.

Gerade bestimmen aus

x-Koordinate Punkt 1, x1

y-Koordinate Punkt 1, y1

x-Koordinate Punkt 2, x2

y-Koordinate Punkt 2, y2

Steigung m (Änderungsrate)

x, zu dem y gesucht ist (optional)

Möglich sind Dezimalzahlen, negative Zahlen und Brüche wie 3/4. Die Felder, die Sie nicht brauchen, wechseln automatisch mit dem Modus.

Ergebnis und Graph

Geben Sie links die Koordinaten (oder die Steigung) ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis und der Graph erscheinen dann hier.

Inhaltsverzeichnis

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Das können Sie auf dieser Seite
Wofür braucht man diese Berechnung?
Anleitung
Formeln und Graphen
Symbole und Begriffe
- Symbole
- Begriffe
Das sollten Sie vorher wissen
So berechnen Sie es in Excel
So berechnen Sie es in Google Tabellen
So berechnen Sie es in Python
So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
So lassen Sie ChatGPT rechnen
Die Vorteile von DataChef
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Das können Sie auf dieser Seite

Sie stellen die Gleichung \(y = mx + b\) der Geraden durch zwei Punkte \(P_1(x_1 \,|\, y_1)\) und \(P_2(x_2 \,|\, y_2)\) sofort auf – Sie geben nur die Koordinaten ein
Sie können auch einen Modus wählen, der die Gleichung aus der Steigung \(m\) und einem Punkt der Geraden bestimmt
Die Steigung (Änderungsrate) erscheint mit dem Rechenweg \(m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}\). Die Ergebnisse stehen als vollständig gekürzte Brüche (exakte Werte) da
Gleichzeitig berechnet der Rechner die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstelle) und der y-Achse sowie den Wert von \(y\) zu einem \(x\) Ihrer Wahl, und er zeichnet den Graphen
Haben beide Punkte dieselbe x-Koordinate, ist die Gerade keine lineare Funktion: Der Rechner erkennt die senkrechte Gerade „x = Konstante“ und erklärt, warum
Auf dieser Seite finden Sie außerdem eine leicht verständliche Erklärung der Formeln sowie Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python

Als Koordinaten und Steigung sind Dezimalzahlen, negative Zahlen und Brüche wie 3/4 möglich.

Wofür braucht man diese Berechnung?

Kosten eines Tarifs vorausberechnen (Handy, Strom, Taxi)

Ein Preis aus „Grundgebühr plus Betrag pro verbrauchter Einheit“ ist genau die lineare Funktion \(y = mx + b\): Der y-Achsenabschnitt \(b\) ist die Grundgebühr, die Steigung \(m\) der Preis pro Einheit. Kostet ein Taxi zum Beispiel 4 € Grundgebühr plus 2,50 € pro Kilometer, gilt \(y = 2{,}5x + 4\); eine Fahrt über 5 km kostet dann \(2{,}5 \cdot 5 + 4 = 16{,}50\) €.
Aus zwei Monatsrechnungen (zwei Punkte aus Verbrauch und Betrag) den Preis pro Einheit und die Grundgebühr zu bestimmen, ist genau „die Gleichung aus zwei Punkten aufstellen“.

Wie sich eine Feder dehnt (Physik, hookesches Gesetz)

Eine Feder dehnt sich proportional zum angehängten Gewicht (hookesches Gesetz), daher ist ihre Gesamtlänge „Ausgangslänge + Dehnung“ eine lineare Funktion. Eine Feder mit 10 cm Ausgangslänge, die sich pro Gewichtsstück um 2 cm dehnt, ist \(y = 2x + 10\) cm lang (\(x\) ist die Zahl der Gewichtsstücke).
Bestimmt man die Gleichung aus zwei Messungen eines Versuchs (zwei Punkte), kann man die Länge für noch nicht ausprobierte Gewichte vorhersagen – ein klassisches Beispiel, das Physik und Mathematik verbindet.

Temperatur aus der Höhe abschätzen (Bergwandern und Wetter)

Als grobe Faustregel wird die Luft pro 100 m Höhe um etwa 0,6 °C kälter. Kennt man die Temperatur im Tal, liefert eine lineare Funktion eine Schätzung für den Gipfel. Sind es im Tal 20 °C, ist es \(x\) Hundert Meter höher etwa \(y = 20 - 0{,}6x\) Grad warm; auf einem Gipfel 1.500 m höher also etwa \(20 - 0{,}6 \cdot 15 = 11\) °C.
Die echte Temperatur hängt auch von Wetter und Luftfeuchtigkeit ab, die Formel ist also nicht exakt – aber eine praktische Näherung, um zu entscheiden, was man auf der Wanderung anzieht.

Umsatz und Kosten vorausplanen (Betrieb, Gewinnschwelle)

Kosten haben in einem Betrieb oft die Form „Fixkosten wie Miete + variable Kosten pro hergestelltem Stück“ – ebenfalls eine lineare Funktion: Der y-Achsenabschnitt sind die Fixkosten, die Steigung die variablen Kosten pro Stück.
Vergleicht man die Kostengerade mit der Umsatzgeraden, sieht man, „wie viel man verkaufen muss, um Gewinn zu machen“ (die Gewinnschwelle, Break-even-Point). Das ist ein verbreiteter erster Schritt in jedem Geschäftsplan.

Temperatureinheiten umrechnen (Celsius und Fahrenheit)

Grad Fahrenheit (°F), in den USA üblich, und Grad Celsius (°C) hängen genau über die lineare Funktion \(F = 1{,}8C + 32\) zusammen – mit der Steigung 1,8 und dem y-Achsenabschnitt 32 ein bekanntes Beispiel für einen exakt linearen Zusammenhang.
Steht in einem amerikanischen Rezept „Ofen auf 350 °F“, rechnen Sie zurück: \(C = (350 - 32) \div 1{,}8 \approx 177\) °C. Umgekehrt sind 20 °C genau \(1{,}8 \cdot 20 + 32 = 68\) °F.

Formeln und Graphen

Gleichung einer linearen Funktion \(y = mx + b\)

Graph

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(y\) \(=\) \(m\) \(\times\) \(x\) \(+\) \(b\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

④ y-Koordinate eines Punktes auf der Geraden \(y\) \(=\) ② Steigung \(m\) (Änderungsrate) \(\times\) ① x-Koordinate \(x\) \(+\) ③ y-Achsenabschnitt \(b\)

Die Formel in Worten

① Multipliziert man die x-Koordinate \(x\)

② mit der Steigung \(m\) (um wie viel y zunimmt, wenn x um 1 zunimmt)

③ und addiert den y-Achsenabschnitt \(b\) (den y-Wert bei x = 0) ,

④ erhält man die y-Koordinate des Punktes auf der Geraden \(y\) .

Einfaches Beispiel

Bei der linearen Funktion \(y = 2x + 1\) mit der Steigung 2 und dem y-Achsenabschnitt 1 ist der y-Wert für \(x = 3\)

y-Koordinate \(y\) \(=\) Steigung (2) \(\times\) x-Koordinate (3) \(+\) y-Achsenabschnitt (1)

\(y = 2 \times 3 + 1 = 7\)

Der Grundgedanke

Eine lineare Funktion ist eine Funktion der Form \(f(x) = mx + b\); ihr Graph ist eine Gerade. „Linear“ heißt: \(x\) kommt nur in der ersten Potenz vor (kein \(x^2\), kein \(x^3\)). Die Steigung \(m\) sagt, „um wie viel sich y ändert, wenn x um 1 zunimmt“, der y-Achsenabschnitt \(b\) ist „die Starthöhe (y bei x = 0)“. Ein Tarif wie „Grundgebühr \(b\) Euro plus \(m\) Euro für jede verbrauchte Einheit \(x\)“ hat genau diese Form. Die proportionale Zuordnung \(y = kx\) aus Klasse 6–7 (11–13 Jahre) ist der Sonderfall einer linearen Funktion mit dem y-Achsenabschnitt 0 – ihre Gerade geht durch den Ursprung.

Steigung \(m\) (Änderungsrate) aus zwei Punkten bestimmen

Graph

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(m\) \(=\) \(y_2 - y_1\) \(\div\) \(x_2 - x_1\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

③ Steigung \(m\) (Änderungsrate) \(=\) ① Änderung in y \(\Delta y = y_2 - y_1\) \(\div\) ② Änderung in x \(\Delta x = x_2 - x_1\)

Die Formel in Worten

① Teilt man die Änderung in y, \(\Delta y\) (wie weit es nach oben oder unten ging),

② durch die Änderung in x, \(\Delta x\) (wie weit es nach rechts ging),

③ erhält man die Steigung \(m\) (Änderungsrate) .

Einfaches Beispiel

Die Steigung (Änderungsrate) der Geraden durch die Punkte \(P_1(1 \,|\, 3)\) und \(P_2(4 \,|\, 9)\) ist

Steigung \(m\) \(=\) Änderung in y (9 − 3 = 6) \(\div\) Änderung in x (4 − 1 = 3)

\(m = \dfrac{9 - 3}{4 - 1} = \dfrac{6}{3} = 2\)

Der Grundgedanke

Die Änderungsrate ist \(\dfrac{\text{Änderung in } y}{\text{Änderung in } x}\) – im Unterricht zeichnet man dazu ein Steigungsdreieck. Bei einer linearen Funktion ist dieser Wert überall gleich, egal wo man misst, und genau die Steigung \(m\) (bei einer Kurve hängt er davon ab, wo man misst). Subtrahieren Sie oben und unten in derselben Reihenfolge: Ziehen Sie Punkt 1 von Punkt 2 ab, dann in beiden. Vertauscht man die Reihenfolge, dreht sich das Vorzeichen um. Haben die beiden Punkte dieselbe x-Koordinate (\(\Delta x = 0\)), müsste man durch 0 teilen – die Steigung ist nicht definiert. Die Gerade durch die beiden Punkte ist dann eine senkrechte Gerade parallel zur y-Achse, „x = Konstante“, und nicht der Graph einer linearen Funktion (der Rechner erkennt diesen Fall und erklärt ihn).

y-Achsenabschnitt \(b\) aus Steigung und einem Punkt bestimmen

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(b\) \(=\) \(y_1\) \(-\) \(m\) \(\times\) \(x_1\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

④ y-Achsenabschnitt \(b\) \(=\) ③ y-Koordinate des Punktes \(y_1\) \(-\) ① Steigung \(m\) \(\times\) ② x-Koordinate des Punktes \(x_1\)

Die Formel in Worten

① Multipliziert man die Steigung \(m\)

② mit der x-Koordinate des Punktes \(x_1\) (das ist die Zunahme von y auf dem Weg von x = 0 bis zum Punkt)

③ und zieht das Ergebnis von der y-Koordinate des Punktes \(y_1\) ab,

④ erhält man den y-Achsenabschnitt \(b\) .

Einfaches Beispiel

Der y-Achsenabschnitt der Geraden mit der Steigung 2 durch den Punkt \(P(3 \,|\, 7)\) ist

y-Achsenabschnitt \(b\) \(=\) y-Koordinate (7) \(-\) Steigung (2) \(\times\) x-Koordinate (3)

\(b = 7 - 2 \times 3 = 1\)

\(y = 2x + 1\)

Der Grundgedanke

Liegt der Punkt \(P(x_1 \,|\, y_1)\) auf der Geraden, dann stimmt die Gleichung, wenn man ihn einsetzt: \(y_1 = m x_1 + b\). Löst man nach \(b\) auf, erhält man \(b = y_1 - m x_1\). (Dasselbe ergibt sich, wenn man von der Punkt-Steigungs-Form \(y - y_1 = m(x - x_1)\) ausgeht und sie umformt.) Auch beim Aufstellen aus zwei Punkten bestimmt man zuerst die Steigung \(m\) als Änderungsrate und setzt dann einen der beiden Punkte in diese Formel ein. In beiden Modi läuft der letzte Schritt also auf diese Formel hinaus.

Schnittpunkte mit der x-Achse und der y-Achse

Graph

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(x\) \(=\) \(-\) \(b\) \(\div\) \(m\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

③ Nullstelle (Schnittpunkt mit der x-Achse) \(=\) \(-\) ① y-Achsenabschnitt \(b\) \(\div\) ② Steigung \(m\)

Die Formel in Worten

① Teilt man den y-Achsenabschnitt \(b\) mit umgedrehtem Vorzeichen

② durch die Steigung \(m\) ,

③ erhält man die Nullstelle (Schnittpunkt mit der x-Achse) (die y-Achse schneidet die Gerade in \((0 \,|\, b)\))

Einfaches Beispiel

Für die Nullstelle von \(y = 2x + 1\) setzt man \(y = 0\) ein:

Nullstelle \(=\) \(-\) y-Achsenabschnitt (1) \(\div\) Steigung (2)

\(0 = 2x + 1\)

\(x = -\dfrac{1}{2}\)

Der Grundgedanke

Die Gerade schneidet die x-Achse „dort, wo \(y = 0\) ist“. Löst man \(0 = mx + b\) nach \(x\) auf, erhält man die Nullstelle \(x = -\dfrac{b}{m}\). Das ist ein wichtiger Blick auf lineare Funktionen: Die Lösung der Gleichung \(mx + b = 0\) ist genau die Stelle, an der der Graph die x-Achse schneidet. Die y-Achse schneidet die Gerade „dort, wo \(x = 0\) ist“; Einsetzen ergibt \(y = b\). Der y-Achsenabschnitt \(b\) ist also genau „die Höhe, in der der Graph die y-Achse schneidet“. Ist die Steigung 0 (die waagerechte Gerade \(y = b\), eine konstante Funktion), verläuft die Gerade parallel zur x-Achse und hat keine Nullstelle (für \(b = 0\) ist sie die x-Achse selbst).

Die Gleichung \(y = mx + b\) einer Geraden durch zwei Punkte stellen Sie in zwei Schritten auf: erst die Steigung \(m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}\) (die Änderungsrate), dann den y-Achsenabschnitt \(b = y_1 - m x_1\). Kennen Sie Steigung und einen Punkt, brauchen Sie nur noch den y-Achsenabschnitt. \(b\) ist die Höhe, in der die Gerade die y-Achse schneidet, und \(-\dfrac{b}{m}\) ist die Nullstelle.

Symbole und Begriffe

Symbole

\(y = mx + b\)	y gleich m x plus b	Die übliche Form einer linearen Funktion: \(m\) ist die Steigung, \(b\) der y-Achsenabschnitt. So steht es in den meisten deutschen Schulbüchern (manche schreiben \(y = mx + n\) oder \(y = mx + t\)).
\(m\)	m	Die Steigung (Änderungsrate): um wie viel y zunimmt, wenn x um 1 zunimmt. Woher der Buchstabe m für die Steigung genau kommt, ist nicht sicher geklärt.
\(b\)	b	Der y-Achsenabschnitt: der y-Wert bei x = 0, also die Höhe, in der der Graph die y-Achse schneidet.
\(x_1,\ y_1\)	x eins, y eins	Die Koordinaten von Punkt 1. Die kleine Zahl rechts unten heißt Index; sie ist nur eine Nummer für „welcher Punkt“ (keine Multiplikation und kein Exponent).
\(\Delta\)	Delta	Das große griechische Delta, das griechische D wie in „Differenz“. Es steht für eine Änderung: \(\Delta x\) ist die Änderung in x, \(\Delta y\) die Änderung in y.
\(\left(-\dfrac{b}{m} \,\middle\|\, 0\right)\)	minus b durch m, null	Der Schnittpunkt mit der x-Achse. Seine y-Koordinate ist 0, seine x-Koordinate ist die Nullstelle \(-\dfrac{b}{m}\), die Lösung der Gleichung \(mx + b = 0\).
\((0 \,\|\, b)\)	null, b	Der Schnittpunkt mit der y-Achse. Seine x-Koordinate ist 0, seine y-Koordinate ist genau der y-Achsenabschnitt \(b\).

Begriffe

lineare Funktion	Eine Funktion der Form \(f(x) = mx + b\). Ihr Graph ist eine Gerade. „Linear“ heißt, dass x nur in der ersten Potenz vorkommt. Thema in Klasse 7–8 (12–14 Jahre).
Funktion	Eine Zuordnung, die jeder eingesetzten Zahl nach einer festen Regel genau eine Zahl zuordnet. Stellen Sie sich eine Maschine vor: \(x\) hinein, \(y\) heraus. Steckt man in die Maschine \(y = 2x + 1\) eine 3, kommt 7 heraus.
Steigung	Eine Zahl, die angibt, „um wie viel die Gerade pro 1 nach rechts steigt oder fällt“. Positiv heißt steigend, negativ fallend, und bei 0 ist die Gerade waagerecht.
Änderungsrate	Die Änderung in y geteilt durch die Änderung in x, \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\) (auch mittlere Änderungsrate oder Differenzenquotient). Bei einer linearen Funktion ist sie überall gleich und entspricht der Steigung \(m\).
y-Achsenabschnitt	Die y-Koordinate des Punktes, in dem der Graph die y-Achse schneidet (der y-Wert bei x = 0). Bei der linearen Funktion \(y = mx + b\) ist das \(b\). (Die Stelle, an der der Graph die x-Achse schneidet, heißt Nullstelle.)
proportionale Zuordnung	Eine Beziehung der Form \(y = kx\). Verdoppelt oder verdreifacht sich x, verdoppelt oder verdreifacht sich auch y. Sie ist die besondere lineare Funktion mit dem y-Achsenabschnitt 0 (ihre Gerade geht durch den Ursprung). Thema in Klasse 6–7 (11–13 Jahre).
Koordinaten	Ein Zahlenpaar \((x \,\|\, y)\), das die Lage eines Punktes angibt. Die waagerechte Lage ist die x-Koordinate, die senkrechte die y-Koordinate.
Koordinatensystem	Eine Ebene aus einer waagerechten Zahlengeraden (x-Achse) und einer senkrechten (y-Achse), die sich im rechten Winkel kreuzen – das Kästchenraster, in das man Graphen zeichnet.
Ursprung	Der Punkt \((0 \,\|\, 0)\), in dem sich x-Achse und y-Achse schneiden. Man schreibt ihn \(O\) (vom lateinischen „origo“, Ursprung).
Schnittpunkt	Der Punkt, in dem sich zwei Linien schneiden. Auf dieser Seite bestimmen Sie die Schnittpunkte einer Geraden mit der x-Achse und der y-Achse.
Änderung	Um wie viel sich ein Wert verändert hat, berechnet als „nachher − vorher“. Ist der Wert gesunken, ist die Änderung negativ.
Konstante	Eine feste Zahl, die sich nicht ändert. In einer Gleichung wie „x = 2“ ist die 2 eine Konstante, und die Gleichung beschreibt die senkrechte Gerade, deren x-Koordinate immer 2 ist.
konstante Funktion	Eine Funktion, deren y-Wert immer gleich ist, egal welches x man einsetzt. Ihre Gleichung hat die Form \(y = b\), ihr Graph ist eine waagerechte Gerade parallel zur x-Achse. Sie ist \(y = mx + b\) mit \(m = 0\); manche Lehrbücher zählen sie zu den linearen Funktionen, manche nicht.

Das sollten Sie vorher wissen

Hier steht, was Ihnen hilft, die Rechnungen auf dieser Seite wirklich zu verstehen – statt nur auf die Schaltfläche zu klicken.
Wenn Sie nicht weiterkommen, ist das Wiederholen dieser Themen der schnellste Weg.

Positive und negative Zahlen (Klasse 6–7, 11–13 Jahre)	Mit negativen Zahlen subtrahieren können (Beispiel: \(3 - (-1) = 4\)) Die Vorzeichenregeln beim Multiplizieren und Dividieren kennen (Beispiel: \((-3) \cdot 2 = -6\))
Das Koordinatensystem (Klasse 5–6, 10–12 Jahre)	Die Lage eines Punktes als Paar \((x \,\|\, y)\) angeben können (Beispiel: der Punkt \((2 \,\|\, 3)\) liegt „2 nach rechts und 3 nach oben“) Wissen, wo x-Achse, y-Achse und Ursprung liegen
Proportionale Zuordnungen (Klasse 6–7, 11–13 Jahre)	Wissen, dass der Graph der proportionalen Zuordnung \(y = kx\) eine Gerade durch den Ursprung ist Wissen, dass der Proportionalitätsfaktor \(k\) angibt, „um wie viel y zunimmt, wenn x um 1 zunimmt“
Terme und Gleichungen (Klasse 7–8, 12–14 Jahre)	Zahlen in einen Term wie \(y_1 = m x_1 + b\) einsetzen und ausrechnen können Eine lineare Gleichung wie \(0 = 2x - 6\) lösen können (das braucht man für die Nullstelle)
Bruchrechnung (Klasse 5–6, 10–12 Jahre)	Brüche kürzen können, etwa \(\dfrac{6}{3} = 2\) Ergebnisse als Brüche stehen lassen können (und \(\dfrac{3}{2}\) in 1,5 umwandeln können)

So berechnen Sie es in Excel

Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein – dann funktioniert sie direkt.

Tabelle für die Geradengleichung aus zwei Punkten

x-Koordinate Punkt 1, x1	1
y-Koordinate Punkt 1, y1	3
x-Koordinate Punkt 2, x2	4
y-Koordinate Punkt 2, y2	9
Steigung m (Änderungsrate)	=(B4-B2)/(B3-B1)
y-Achsenabschnitt b	=B2-B5*B1
Nullstelle (Schnittpunkt mit der x-Achse)	=-B6/B5

Tabelle für die Geradengleichung aus Steigung und einem Punkt

Steigung m	2
x-Koordinate des Punktes, x1	3
y-Koordinate des Punktes, y1	7
y-Achsenabschnitt b	=B3-B1*B2
x, zu dem y gesucht ist	5
y-Wert zu diesem x	=B1*B5+B4

Tabelle für die Schnittpunkte mit der x-Achse und der y-Achse

Steigung m	2
y-Achsenabschnitt b	1
Nullstelle (Schnittpunkt mit der x-Achse)	=-B2/B1
y-Koordinate des Schnittpunkts mit der y-Achse	=B2

Nach dem Einfügen sind die oberen Zeilen (Koordinaten und Steigung) Ihre Eingaben, die unteren werden automatisch berechnet.
Die erste Tabelle bestimmt die Gleichung aus den Punkten (1 | 3) und (4 | 9): Die Steigung m ist 2, der y-Achsenabschnitt b ist 1 (die Geradengleichung lautet y = 2x + 1), und die Nullstelle ist −0,5. „/“ steht für Dividieren, „*“ für Multiplizieren.
Die zweite Tabelle rechnet mit der Steigung 2 und dem Punkt (3 | 7): Der y-Achsenabschnitt b ist 1, und für x = 5 ist y = 11.
Die dritte Tabelle bestimmt nur die Schnittpunkte mit den Achsen aus der Gleichung (Steigung und y-Achsenabschnitt). Haben die beiden Punkte dieselbe x-Koordinate, ist der Divisor 0 und es erscheint ein Fehler (#DIV/0!). Das passt dazu, dass die Steigung dann nicht definiert ist (die Gerade ist keine lineare Funktion).

So berechnen Sie es in Google Tabellen

Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein – dann funktioniert sie direkt.

Tabelle für die Geradengleichung aus zwei Punkten

x-Koordinate Punkt 1, x1	1
y-Koordinate Punkt 1, y1	3
x-Koordinate Punkt 2, x2	4
y-Koordinate Punkt 2, y2	9
Steigung m (Änderungsrate)	=(B4-B2)/(B3-B1)
y-Achsenabschnitt b	=B2-B5*B1
Nullstelle (Schnittpunkt mit der x-Achse)	=-B6/B5

Tabelle für die Geradengleichung aus Steigung und einem Punkt

Steigung m	2
x-Koordinate des Punktes, x1	3
y-Koordinate des Punktes, y1	7
y-Achsenabschnitt b	=B3-B1*B2
x, zu dem y gesucht ist	5
y-Wert zu diesem x	=B1*B5+B4

Tabelle für die Schnittpunkte mit der x-Achse und der y-Achse

Steigung m	2
y-Achsenabschnitt b	1
Nullstelle (Schnittpunkt mit der x-Achse)	=-B2/B1
y-Koordinate des Schnittpunkts mit der y-Achse	=B2

Dieselben Formeln wie in Excel funktionieren direkt. Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie Koordinaten und Steigung durch Ihre eigenen Zahlen.

So berechnen Sie es in Python

from fractions import Fraction

# Koordinaten der beiden Punkte (einen Bruch wie 3/4 schreibt man Fraction(3, 4))
x1, y1 = Fraction(1), Fraction(3)
x2, y2 = Fraction(4), Fraction(9)

slope = (y2 - y1) / (x2 - x1)   # Steigung m (Änderungsrate) = Δy ÷ Δx
intercept = y1 - slope * x1     # y-Achsenabschnitt b = y1 − m×x1

print(f"Steigung m = {slope}")
print(f"y-Achsenabschnitt b = {intercept}")
print(f"Geradengleichung: y = {slope}x + {intercept}")
if slope != 0:
    print(f"Schnittpunkt mit der x-Achse: ({-intercept / slope}, 0)")
print(f"Schnittpunkt mit der y-Achse: (0, {intercept})")

x_value = Fraction(5)           # das x, zu dem y gesucht ist
print(f"Für x = {x_value} ist y = {slope * x_value + intercept}")

Mit dem Modul fractions aus der Standardbibliothek rechnen Sie mit exakten Brüchen, ganz ohne Rundungsfehler. Das Beispiel stellt die Gleichung aus den Punkten (1 | 3) und (4 | 9) auf. Ausgegeben werden die Steigung 2 und der y-Achsenabschnitt 1 (y = 2x + 1), der Schnittpunkt mit der x-Achse (-1/2, 0) und y = 11 für x = 5. Ändern Sie die Koordinaten und führen Sie das Skript aus.

So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)

Gleichung einer linearen Funktion \(y = mx + b\)

y = mx + b

y = mx + b

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>y</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>m</mi><mi>x</mi>
    <mo>+</mo>
    <mi>b</mi>
  </mrow>
</math>

y = m x + b

y == m x + b

y := m*x + b;

y = m*x + b;

y = mx + b

Steigung \(m\) (Änderungsrate) aus zwei Punkten bestimmen

m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>m</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><msub><mi>y</mi><mn>2</mn></msub><mo>&#x2212;</mo><msub><mi>y</mi><mn>1</mn></msub></mrow>
      <mrow><msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub><mo>&#x2212;</mo><msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub></mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

m = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)

(y2 - y1)/(x2 - x1)

m := (y2 - y1)/(x2 - x1);

m = (y2 - y1)/(x2 - x1);

m = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)

y-Achsenabschnitt \(b\) aus Steigung und einem Punkt bestimmen

b = y₁ − mx₁

b = y_1 - m x_1

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>b</mi>
    <mo>=</mo>
    <msub><mi>y</mi><mn>1</mn></msub>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mi>m</mi>
    <msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub>
  </mrow>
</math>

b = y_1 - m x_1

y1 - m x1

b := y1 - m*x1;

b = y1 - m*x1;

b = y_1 - m x_1

Schnittpunkte mit der x-Achse und der y-Achse

x = −b ÷ m

x = -\frac{b}{m}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>x</mi>
    <mo>=</mo>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mfrac><mi>b</mi><mi>m</mi></mfrac>
  </mrow>
</math>

x = -b/m

-b/m

x := -b/m;

x = -b/m;

x = −b/m

So lassen Sie ChatGPT rechnen

Sie sind ein Rechenassistent für Mathematik (lineare Funktionen). Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (nicht im Kopf rechnen und nicht schätzen).

Stellen Sie die Gleichung y = mx + b der Geraden durch die Punkte P1(1 | 3) und P2(4 | 9) auf.
Geben Sie Folgendes an:
1. Die Steigung m (Änderungsrate) mit dem Rechenweg Δy/Δx
2. Den y-Achsenabschnitt b
3. Die Geradengleichung y = mx + b
4. Die Koordinaten der Schnittpunkte mit der x-Achse und der y-Achse
5. Den y-Wert für x = 5

Rechnen Sie in Python mit dem Modul fractions aus der Standardbibliothek exakt und zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis. Geben Sie Brüche vollständig gekürzt an.

Anleitung

1

Werte eingeben

Tragen Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
2

Berechnen

Klicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
3

Ergebnis ansehen

Das Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel