Lineare Funktion berechnen (y = mx + b aus zwei Punkten oder aus Steigung und Punkt, Änderungsrate und Achsenabschnitte)

Wählen Sie einen Modus und geben Sie die Koordinaten von zwei Punkten (oder die Steigung und die Koordinaten eines Punktes) ein. Geben Sie zusätzlich ein x ein, wird auch der Wert von y für dieses x berechnet.

Gerade bestimmen aus

x-Koordinate x1 von Punkt 1

y-Koordinate y1 von Punkt 1

x-Koordinate x2 von Punkt 2

y-Koordinate y2 von Punkt 2

Steigung m (Änderungsrate)

x, für das y bestimmt wird (optional)

Dezimalzahlen, negative Zahlen und Brüche wie 3/4 sind möglich. Die Felder, die Sie nicht brauchen, wechseln automatisch mit dem Modus.

Ergebnis und Diagramm

Geben Sie links die Koordinaten (oder die Steigung) ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis und ein Graph erscheinen hier.

Inhaltsverzeichnis

[ Schließen X ]

Was Sie auf dieser Seite tun können
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
Anleitung
Formeln und Diagramme
Symbole und Begriffe
- Symbole
- Begriffe
Was Sie vorab wissen sollten
Mit Excel berechnen
Mit Google Tabellen berechnen
Mit Python berechnen
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
Die Vorteile von DataChef
Verwandte Funktionen
Alle NumberChef-Rechner

Was Sie auf dieser Seite tun können

Bestimmen Sie die Gleichung \(y = mx + b\) der Geraden durch zwei Punkte \((x_1|y_1)\) und \((x_2|y_2)\) sofort, indem Sie einfach die Koordinaten eingeben
Sie können auch einen Modus wählen, der die Gleichung aus der Steigung \(m\) und einem Punkt der Geraden bestimmt
Die Steigung (Änderungsrate) wird mit den Schritten von \(m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}\) gezeigt. Antworten erscheinen als gekürzte Brüche (exakte Werte)
Es bestimmt auch, wo die Gerade die x-Achse und die y-Achse schneidet, und den Wert von \(y\) für ein von Ihnen gewähltes \(x\), und zeichnet einen Graphen der Geraden
Haben die beiden Punkte dieselbe x-Koordinate, ist die Gerade also keine lineare Funktion, erklärt der Rechner, dass es sich um die senkrechte Gerade „x = Konstante“ handelt, und begründet es
Eine leicht verständliche Erklärung der Formeln sowie Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python finden Sie ebenfalls auf dieser Seite

Koordinaten und Steigungen dürfen Dezimalzahlen, negative Zahlen oder Brüche wie 3/4 sein.

Wofür ist diese Berechnung nützlich?

Kosten bei einem Tarif abschätzen (Handy, Strom, Taxi)

Ein Preis aus „einem Grundpreis plus einem Betrag für jede verbrauchte Einheit“ ist genau die lineare Funktion \(y = mx + b\): Der y-Achsenabschnitt \(b\) ist der Grundpreis und die Steigung \(m\) der Preis je Einheit. Ein Taxi, das (angenommen) 4,00 € Grundpreis plus 2,50 € je Kilometer verlangt, kostet zum Beispiel \(y = 2{,}5x + 4\), eine Fahrt von 4 km also \(2{,}5 \times 4 + 4 = 14{,}00\) Euro.
Aus zwei Monatsrechnungen (zwei Punkte aus Verbrauch und Betrag) den Preis je Einheit und den Grundpreis zu bestimmen, ist genau „die Gleichung aus zwei Punkten bestimmen“.

Verstehen, wie sich eine Feder dehnt (Physik, Hookesches Gesetz)

Eine Feder dehnt sich proportional zum angehängten Gewicht (Hookesches Gesetz), die Gesamtlänge der Feder, „Ruhelänge + Dehnung“, ist also eine lineare Funktion. Eine Feder mit der Ruhelänge 10 cm, die sich pro Gewichtsstück um 2 cm dehnt, hat zum Beispiel die Länge \(y = 2x + 10\) (\(x\) ist die Anzahl der Gewichtsstücke).
Legt man die Gleichung aus zwei Messungen in einem Versuch (zwei Punkte) fest, lässt sich die Länge für noch nicht ausprobierte Gewichte vorhersagen. Es ist ein klassisches Beispiel, das Physik und Mathematik der Mittelstufe verbindet.

Die Temperatur aus der Höhe abschätzen (Wandern und Wetter)

Im Durchschnitt wird die Luft pro 100 m Höhe um etwa 0,6 °C kälter (man nennt das den Temperaturgradienten). Kennt man die Temperatur unten, liefert eine lineare Funktion eine grobe Schätzung für die Temperatur oben. Sind es am Ausgangspunkt der Wanderung 20 °C, beträgt die Temperatur \(x\) mal 100 m höher etwa \(y = 20 - 0{,}6x\), auf einem Gipfel 1.500 m höher (\(x = 15\)) also etwa \(20 - 0{,}6 \times 15 = 11\) °C.
Die wirkliche Temperatur hängt auch vom Wetter und der Luftfeuchtigkeit ab, das ist also keine exakte Formel, aber eine brauchbare Näherung, um zu entscheiden, was man auf einer Wanderung anzieht.

Umsatz und Kosten abschätzen (Geschäft, Gewinnschwelle)

Kosten im Geschäft haben oft die Form „Fixkosten wie Miete + variable Kosten für jedes hergestellte Stück“, auch das ist eine lineare Funktion: Der y-Achsenabschnitt sind die Fixkosten und die Steigung die variablen Kosten je Stück.
Vergleicht man die Kostengerade mit der Umsatzgeraden, sieht man, „wie viele Stücke man verkaufen muss, um Gewinn zu machen“ (die Gewinnschwelle). Es ist ein weit verbreiteter erster Schritt in einem Businessplan.

Temperatureinheiten umrechnen (Celsius und Fahrenheit)

Fahrenheit (°F), das in den USA verwendet wird, und Celsius (°C), das in Deutschland und den meisten anderen Ländern verwendet wird, hängen genau über die lineare Funktion \(F = 1{,}8C + 32\) zusammen. Mit der Steigung 1,8 und dem y-Achsenabschnitt 32 ist es ein bekanntes Beispiel für einen genau linearen Zusammenhang.
20 °C sind zum Beispiel \(1{,}8 \times 20 + 32 = 68\) °F, und 180 °C Backofentemperatur sind \(1{,}8 \times 180 + 32 = 356\) °F. Mit dieser Formel lesen Sie direkt einen Wetterbericht aus den USA oder eine Ofentemperatur in einem amerikanischen Rezept.

Formeln und Diagramme

Gleichung einer linearen Funktion \(y = mx + b\) (Form mit Steigung und Achsenabschnitt)

Diagramm

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(y\) \(=\) \(m\) \(\times\) \(x\) \(+\) \(b\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

④ y-Koordinate eines Punktes der Geraden \(y\) \(=\) ② Steigung \(m\) (Änderungsrate) \(\times\) ① x-Koordinate \(x\) \(+\) ③ y-Achsenabschnitt \(b\)

Die Formel in Worten

① Nehmen Sie die x-Koordinate \(x\)

② multiplizieren Sie sie mit der Steigung \(m\) (um wie viel y wächst, wenn x um 1 wächst)

③ addieren Sie den y-Achsenabschnitt \(b\) (der Wert von y bei x = 0)

④ so erhalten Sie die y-Koordinate des Punktes der Geraden \(y\)

Einfaches Beispiel

Für die lineare Funktion \(y = 2x + 1\) mit der Steigung 2 und dem y-Achsenabschnitt 1 ist der Wert von \(y\) bei \(x = 3\)

y-Koordinate \(y\) \(=\) Steigung (2) \(\times\) x-Koordinate (3) \(+\) y-Achsenabschnitt (1)

\(y = 2 \times 3 + 1 = 7\)

Der Kerngedanke

Eine lineare Funktion ist eine Funktion der Form \(y = mx + b\), und ihr Graph ist eine Gerade. Das Wort „linear“ sagt, dass \(x\) nur in der ersten Potenz vorkommt (kein \(x^2\) oder \(x^3\)). In deutschen Schulbüchern schreibt man oft auch \(y = mx + n\). Die Steigung \(m\) sagt „um wie viel sich y ändert, wenn x um 1 wächst“, und der y-Achsenabschnitt \(b\) ist „die Starthöhe (y bei x = 0)“. Ein Tarif aus „einem Grundpreis von \(b\) Euro plus \(m\) Euro für jede verbrauchte Einheit \(x\)“ hat zum Beispiel genau diese Form. Die Proportionalität \(y = kx\) aus Klasse 6–7 ist die besondere lineare Funktion, deren y-Achsenabschnitt 0 ist (ihre Gerade geht durch den Ursprung).

Die Steigung \(m\) (Änderungsrate) aus zwei Punkten bestimmen

Diagramm

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(m\) \(=\) \(y_2 - y_1\) \(\div\) \(x_2 - x_1\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

③ Steigung \(m\) (Änderungsrate) \(=\) ① Änderung von y (Höhenunterschied) \(\Delta y = y_2 - y_1\) \(\div\) ② Änderung von x (waagerechte Strecke) \(\Delta x = x_2 - x_1\)

Die Formel in Worten

① Nehmen Sie die Änderung von y, \(\Delta y\) (wie weit es nach oben oder unten ging)

② teilen Sie sie durch die Änderung von x, \(\Delta x\) (wie weit es nach rechts ging)

③ so erhalten Sie die Steigung \(m\) (Änderungsrate)

Einfaches Beispiel

Die Steigung (Änderungsrate) der Geraden durch die beiden Punkte (1|3) und (4|9) beträgt

Steigung \(m\) \(=\) Änderung von y (9 − 3 = 6) \(\div\) Änderung von x (4 − 1 = 3)

\(m = \dfrac{9 - 3}{4 - 1} = \dfrac{6}{3} = 2\)

Der Kerngedanke

Die Änderungsrate, die zusammen mit linearen Funktionen in Klasse 7–8 behandelt wird, ist \(\dfrac{\text{Änderung von } y}{\text{Änderung von } x}\), oft „Höhenunterschied durch waagerechte Strecke“ genannt. Bei einer linearen Funktion ist dieser Wert überall gleich, wo Sie ihn auch messen, und er ist genau die Steigung \(m\) (bei einer Kurve hängt er davon ab, wo man misst). Subtrahieren Sie oben und unten in derselben Reihenfolge. Zieht man Punkt 1 von Punkt 2 ab, tut man das in beiden in dieser Reihenfolge. Vertauscht man die Reihenfolge, kommt das Vorzeichen falsch heraus. Haben die beiden Punkte dieselbe x-Koordinate (\(\Delta x = 0\)), müsste man durch 0 teilen, deshalb ist die Steigung nicht definiert. Die Gerade durch die beiden Punkte ist dann eine senkrechte Gerade parallel zur y-Achse, „x = Konstante“, die nicht der Graph einer linearen Funktion ist (dieser Rechner erkennt diesen Fall und erklärt ihn).

Den y-Achsenabschnitt \(b\) aus der Steigung und einem Punkt bestimmen

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(b\) \(=\) \(y_1\) \(-\) \(m\) \(\times\) \(x_1\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

④ y-Achsenabschnitt \(b\) \(=\) ③ y-Koordinate des Punktes \(y_1\) \(-\) ① Steigung \(m\) \(\times\) ② x-Koordinate des Punktes \(x_1\)

Die Formel in Worten

① Multiplizieren Sie die Steigung \(m\)

② mit der x-Koordinate des Punktes \(x_1\) (so viel wächst y auf dem Weg von x = 0 bis zum Punkt)

③ und ziehen Sie das Ergebnis von der y-Koordinate des Punktes \(y_1\)

④ ab, so erhalten Sie den y-Achsenabschnitt \(b\)

Einfaches Beispiel

Der y-Achsenabschnitt der Geraden mit der Steigung 2 durch den Punkt (3|7) beträgt

y-Achsenabschnitt \(b\) \(=\) y-Koordinate (7) \(-\) Steigung (2) \(\times\) x-Koordinate (3)

\(b = 7 - 2 \times 3 = 1\)

\(y = 2x + 1\)

Der Kerngedanke

Dass der Punkt \((x_1|y_1)\) auf der Geraden liegt, heißt, dass das Einsetzen in die Gleichung, \(y_1 = m x_1 + b\), eine wahre Aussage ergibt. Löst man das nach \(b\) auf, erhält man \(b = y_1 - m x_1\). (Das ist dasselbe, wie von der Punkt-Steigungs-Form \(y - y_1 = m(x - x_1)\) auszugehen und sie in die Form mit Steigung und Achsenabschnitt umzuschreiben.) Bestimmt man die Gleichung aus zwei Punkten, bestimmt man zuerst die Steigung \(m\) als Änderungsrate, und dann muss man nur noch einen der Punkte in diese Formel einsetzen. In beiden Modi läuft der letzte Schritt also auf diese Formel hinaus.

Wo die Gerade die x-Achse und die y-Achse schneidet (die Achsenabschnitte)

Diagramm

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(x\) \(=\) \(-\) \(b\) \(\div\) \(m\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

③ x-Achsenabschnitt (Schnittpunkt mit der x-Achse) \(=\) \(-\) ① y-Achsenabschnitt \(b\) \(\div\) ② Steigung \(m\)

Die Formel in Worten

① Nehmen Sie den y-Achsenabschnitt \(b\) mit umgekehrtem Vorzeichen

② teilen Sie ihn durch die Steigung \(m\)

③ so erhalten Sie den x-Achsenabschnitt (Schnittpunkt mit der x-Achse) (die y-Achse schneidet sie bei \((0|b)\))

Einfaches Beispiel

Um zu bestimmen, wo \(y = 2x + 1\) die x-Achse schneidet, setzen Sie \(y = 0\) ein:

x-Achsenabschnitt \(=\) \(-\) y-Achsenabschnitt (1) \(\div\) Steigung (2)

\(0 = 2x + 1\)

\(x = -\dfrac{1}{2}\)

Der Kerngedanke

Die Gerade schneidet die x-Achse „dort, wo \(y = 0\)“, also ergibt das Auflösen von \(0 = mx + b\) nach \(x\) den x-Achsenabschnitt \(x = -\dfrac{b}{m}\) (die Nullstelle). Das ist eine wichtige Sichtweise auf lineare Funktionen: Die Lösung der Gleichung \(mx + b = 0\) stimmt mit dem Punkt überein, an dem der Graph die x-Achse schneidet. Die Gerade schneidet die y-Achse „dort, wo \(x = 0\)“, und Einsetzen ergibt \(y = b\). Der y-Achsenabschnitt \(b\) ist also genau „die Höhe, in der der Graph die y-Achse schneidet“. Ist die Steigung 0 (die waagerechte Gerade \(y = b\)), ist die Gerade parallel zur x-Achse und schneidet sie nie (bei \(b = 0\) ist die Gerade die x-Achse selbst).

Um die Gleichung \(y = mx + b\) einer Geraden aus zwei Punkten zu bestimmen, bestimmt man zuerst die Steigung \(m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}\) (die Änderungsrate) und dann den y-Achsenabschnitt \(b = y_1 - m x_1\). Aus der Steigung und einem Punkt braucht man nur den y-Achsenabschnitt. Der y-Achsenabschnitt \(b\) ist die Höhe, in der die Gerade die y-Achse schneidet, und \(-\dfrac{b}{m}\) ist die x-Koordinate, bei der sie die x-Achse schneidet.

Symbole und Begriffe

Symbole

\(y = mx + b\)	y gleich m x plus b	Die Form einer linearen Funktion mit Steigung und Achsenabschnitt: \(m\) ist die Steigung und \(b\) der y-Achsenabschnitt. In deutschen Schulen schreibt man auch \(y = mx + n\).
\(m\)	m	Die Steigung (Änderungsrate): um wie viel y wächst, wenn x um 1 wächst.
\(b\)	b	Der y-Achsenabschnitt: der Wert von y bei x = 0, also die Höhe, in der der Graph die y-Achse schneidet.
\(x_1,\ y_1\)	x eins, y eins	Die Koordinaten von Punkt 1. Die kleine Zahl unten rechts heißt Index, sie ist eine Nummerierung für „welcher Punkt“ (sie ist keine Multiplikation und kein Exponent).
\(\Delta\)	Delta	Das große griechische Delta, das griechische D wie in „Differenz“. Es steht für „Änderung“. \(\Delta x\) ist die Änderung von x und \(\Delta y\) die Änderung von y.
\(\left(-\dfrac{b}{m}\,\middle\|\,0\right)\)	minus b durch m, null	Der Punkt, an dem die Gerade die x-Achse schneidet. Seine y-Koordinate ist 0, und seine x-Koordinate ist \(-\dfrac{b}{m}\), die Lösung der Gleichung \(mx + b = 0\).
\((0\|b)\)	null, b	Der Punkt, an dem die Gerade die y-Achse schneidet. Seine x-Koordinate ist 0, und seine y-Koordinate ist der y-Achsenabschnitt \(b\) selbst.

Begriffe

lineare Funktion	Eine Funktion der Form \(y = mx + b\). Ihr Graph ist eine Gerade. Das Wort „linear“ sagt, dass x nur in der ersten Potenz vorkommt. Wird in Klasse 7–8 behandelt.
Funktion	Eine Vorschrift, die zu jeder eingegebenen Zahl genau eine Zahl zurückgibt. Stellen Sie sich eine Maschine vor: \(x\) hinein, \(y\) heraus. Gibt man zum Beispiel 3 in die Maschine \(y = 2x + 1\), kommt 7 heraus.
Steigung	Eine Zahl, die angibt, „um wie viel die Gerade steigt oder fällt, wenn man 1 nach rechts geht“ (Höhenunterschied durch waagerechte Strecke). Eine positive Steigung steigt von links nach rechts, eine negative fällt, und die Steigung 0 ergibt eine waagerechte Gerade.
Änderungsrate	Die Änderung von y geteilt durch die Änderung von x, \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\). Bei einer linearen Funktion ist sie überall gleich, wo Sie sie auch messen, und sie ist gleich der Steigung \(m\).
y-Achsenabschnitt	Die y-Koordinate des Punktes, an dem der Graph die y-Achse schneidet (der Wert von y bei x = 0). Bei der linearen Funktion \(y = mx + b\) ist es \(b\). (Der x-Achsenabschnitt ist die Stelle, an der der Graph die x-Achse schneidet.)
proportionale Zuordnung	Eine Beziehung der Form \(y = kx\). Verdoppelt oder verdreifacht sich x, verdoppelt oder verdreifacht sich auch y. Sie ist die besondere lineare Funktion, deren y-Achsenabschnitt \(b\) gleich 0 ist (ihre Gerade geht durch den Ursprung). Wird in Klasse 6–7 behandelt.
Koordinaten	Ein Zahlenpaar \((x\|y)\), das die Lage eines Punktes angibt. Die waagerechte Position ist die x-Koordinate und die senkrechte Position die y-Koordinate.
Koordinatensystem	Eine Ebene, die entsteht, wenn man eine waagerechte Zahlengerade (die x-Achse) und eine senkrechte Zahlengerade (die y-Achse) im rechten Winkel kreuzt. Es ist das Raster, in das man Graphen zeichnet.
Ursprung	Der Punkt \((0\|0)\), in dem sich die x-Achse und die y-Achse schneiden. Er wird mit \(O\) bezeichnet.
Schnittpunkt	Der Punkt, in dem sich zwei Linien schneiden. Auf dieser Seite bestimmen Sie die Punkte, in denen eine Gerade die x-Achse und die y-Achse schneidet.
Änderung von y	Um wie viel ein Wert zugenommen hat, bestimmt als „nachher − vorher“ (die Änderung von x bestimmt man genauso). Ist der Wert gesunken, ist die Änderung negativ.
Konstante	Eine feste Zahl, die sich nicht ändert. In einer Gleichung wie „x = 2“ ist die 2 eine Konstante, und die Gleichung steht für die senkrechte Gerade, deren x-Koordinate immer 2 ist.
konstante Funktion	Eine Funktion, deren y-Wert immer gleich ist, was auch x ist. Ihre Gleichung hat die Form \(y = b\), und ihr Graph ist eine waagerechte Gerade parallel zur x-Achse. Sie ist \(y = mx + b\) mit \(m = 0\), manche Schulbücher zählen sie zu den linearen Funktionen, andere nicht.

Was Sie vorab wissen sollten

Hier steht, was Ihnen hilft, die Rechnung dieser Seite wirklich zu verstehen und nicht nur den Knopf zu drücken.
Wenn Sie nicht weiterkommen, ist es der schnellste Weg, zu diesen Themen zurückzugehen.

Positive und negative Zahlen (Klasse 6–7, 11–13 Jahre)	Mit negativen Zahlen subtrahieren können (Beispiel: \(3 - (-1) = 4\)) Die Vorzeichenregeln beim Multiplizieren und Dividieren negativer und positiver Zahlen kennen (Beispiel: \((-3) \times 2 = -6\))
Das Koordinatensystem (Klasse 5–6, 10–12 Jahre)	Die Lage eines Punktes als Paar \((x\|y)\) schreiben können (Beispiel: Der Punkt \((2\|3)\) liegt „2 nach rechts und 3 nach oben“) Wissen, wo die x-Achse, die y-Achse und der Ursprung liegen
Proportionale Zuordnungen (Klasse 6–7, 11–13 Jahre)	Wissen, dass der Graph einer proportionalen Zuordnung \(y = kx\) eine Gerade durch den Ursprung ist Wissen, dass der Faktor \(k\) angibt, „um wie viel y wächst, wenn x um 1 wächst“
Terme und Gleichungen (Klasse 6–8, 11–14 Jahre)	Zahlen in einen Term wie \(y_1 = m x_1 + b\) einsetzen können Eine lineare Gleichung wie \(0 = 2x - 6\) lösen können (wird gebraucht, um den Schnittpunkt mit der x-Achse zu bestimmen)
Bruchrechnung (Klasse 5–7, 10–13 Jahre)	Brüche wie \(\dfrac{6}{3} = 2\) kürzen können Sich damit wohlfühlen, Antworten als Brüche stehen zu lassen (und \(\dfrac{3}{2}\) in 1,5 umwandeln können)

Mit Excel berechnen

Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein. Sie funktioniert unverändert.

Tabelle zur Bestimmung der Geradengleichung aus zwei Punkten

x-Koordinate x1 von Punkt 1	1
y-Koordinate y1 von Punkt 1	3
x-Koordinate x2 von Punkt 2	4
y-Koordinate y2 von Punkt 2	9
Steigung m (Änderungsrate)	=(B4-B2)/(B3-B1)
y-Achsenabschnitt b	=B2-B5*B1
x-Achsenabschnitt (x beim Schnittpunkt mit der x-Achse)	=-B6/B5

Tabelle zur Bestimmung der Geradengleichung aus der Steigung und einem Punkt

Steigung m	2
x-Koordinate des Punktes x1	3
y-Koordinate des Punktes y1	7
y-Achsenabschnitt b	=B3-B1*B2
x, für das y bestimmt wird	5
Wert von y für dieses x	=B1*B5+B4

Tabelle zur Bestimmung der Schnittpunkte der Geraden mit der x-Achse und der y-Achse

Steigung m	2
y-Achsenabschnitt b	1
x-Achsenabschnitt (x beim Schnittpunkt mit der x-Achse)	=-B2/B1
y beim Schnittpunkt mit der y-Achse	=B2

Nach dem Einfügen sind die oberen Zeilen (Koordinaten und Steigung) Ihre Eingaben, und die unteren Zeilen werden automatisch berechnet.
Die erste Tabelle bestimmt die Gleichung aus den beiden Punkten (1|3) und (4|9): Die Steigung m ist 2, der y-Achsenabschnitt b ist 1 (die Geradengleichung lautet y = 2x + 1), und der x-Achsenabschnitt ist −0,5. „/“ ist die Division und „*“ die Multiplikation.
Die zweite Tabelle geht von der Steigung 2 und dem Punkt (3|7) aus: Der y-Achsenabschnitt b ist 1, und y ist 11 bei x = 5.
Die dritte Tabelle bestimmt nur die Schnittpunkte mit den Achsen aus der Gleichung (Steigung und y-Achsenabschnitt). Haben die beiden Punkte dieselbe x-Koordinate, ist der Divisor 0, und es erscheint ein Fehler (#DIV/0!). Das passt dazu, dass die Steigung nicht definiert ist (die Gerade ist keine lineare Funktion).

Mit Google Tabellen berechnen

Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein. Sie funktioniert unverändert.

Tabelle zur Bestimmung der Geradengleichung aus zwei Punkten

x-Koordinate x1 von Punkt 1	1
y-Koordinate y1 von Punkt 1	3
x-Koordinate x2 von Punkt 2	4
y-Koordinate y2 von Punkt 2	9
Steigung m (Änderungsrate)	=(B4-B2)/(B3-B1)
y-Achsenabschnitt b	=B2-B5*B1
x-Achsenabschnitt (x beim Schnittpunkt mit der x-Achse)	=-B6/B5

Tabelle zur Bestimmung der Geradengleichung aus der Steigung und einem Punkt

Steigung m	2
x-Koordinate des Punktes x1	3
y-Koordinate des Punktes y1	7
y-Achsenabschnitt b	=B3-B1*B2
x, für das y bestimmt wird	5
Wert von y für dieses x	=B1*B5+B4

Tabelle zur Bestimmung der Schnittpunkte der Geraden mit der x-Achse und der y-Achse

Steigung m	2
y-Achsenabschnitt b	1
x-Achsenabschnitt (x beim Schnittpunkt mit der x-Achse)	=-B2/B1
y beim Schnittpunkt mit der y-Achse	=B2

Dieselben Formeln wie in Excel funktionieren unverändert. Kopieren Sie die gesamte Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Koordinaten und die Steigung durch Ihre eigenen Zahlen.

Mit Python berechnen

from fractions import Fraction

# Koordinaten der beiden Punkte (ein Bruch wie 3/4 lässt sich als Fraction(3, 4) schreiben)
x1, y1 = Fraction(1), Fraction(3)
x2, y2 = Fraction(4), Fraction(9)

slope = (y2 - y1) / (x2 - x1)   # Steigung m (Änderungsrate) = Δy ÷ Δx
intercept = y1 - slope * x1     # y-Achsenabschnitt b = y1 − m×x1

print(f"Steigung m = {slope}")
print(f"y-Achsenabschnitt b = {intercept}")
print(f"Geradengleichung: y = {slope}x + {intercept}")
if slope != 0:
    print(f"Schnittpunkt mit der x-Achse: ({-intercept / slope}|0)")
print(f"Schnittpunkt mit der y-Achse: (0|{intercept})")

x_value = Fraction(5)           # das x, für das y bestimmt wird
print(f"Für x = {x_value} ist y = {slope * x_value + intercept}")

Mit dem Modul fractions aus der Standardbibliothek rechnen Sie mit exakten Brüchen und ohne Rundungsfehler bei Dezimalzahlen. Dieses Beispiel bestimmt die Gleichung aus den beiden Punkten (1|3) und (4|9). Beim Ausführen erscheinen die Steigung 2 und der y-Achsenabschnitt 1 (y = 2x + 1), der Schnittpunkt mit der x-Achse (-1/2|0) und y = 11 bei x = 5. Ändern Sie die Koordinaten und führen Sie den Code aus.

Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)

Gleichung einer linearen Funktion \(y = mx + b\) (Form mit Steigung und Achsenabschnitt)

y = mx + b

y = mx + b

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>y</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>m</mi><mi>x</mi>
    <mo>+</mo>
    <mi>b</mi>
  </mrow>
</math>

y = m x + b

y == m x + b

y := m*x + b;

y = m*x + b;

y = mx + b

Die Steigung \(m\) (Änderungsrate) aus zwei Punkten bestimmen

m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>m</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><msub><mi>y</mi><mn>2</mn></msub><mo>&#x2212;</mo><msub><mi>y</mi><mn>1</mn></msub></mrow>
      <mrow><msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub><mo>&#x2212;</mo><msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub></mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

m = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)

(y2 - y1)/(x2 - x1)

m := (y2 - y1)/(x2 - x1);

m = (y2 - y1)/(x2 - x1);

m = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)

Den y-Achsenabschnitt \(b\) aus der Steigung und einem Punkt bestimmen

b = y₁ − mx₁

b = y_1 - m x_1

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>b</mi>
    <mo>=</mo>
    <msub><mi>y</mi><mn>1</mn></msub>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mi>m</mi>
    <msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub>
  </mrow>
</math>

b = y_1 - m x_1

y1 - m x1

b := y1 - m*x1;

b = y1 - m*x1;

b = y_1 - m x_1

Wo die Gerade die x-Achse und die y-Achse schneidet (die Achsenabschnitte)

x = −b ÷ m

x = -\frac{b}{m}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>x</mi>
    <mo>=</mo>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mfrac><mi>b</mi><mi>m</mi></mfrac>
  </mrow>
</math>

x = -b/m

-b/m

x := -b/m;

x = -b/m;

x = −b/m

Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen

Sie sind ein Rechenassistent für lineare Funktionen. Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort ausschließlich auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (nicht im Kopf rechnen und nicht schätzen).

Bestimmen Sie die Gleichung y = mx + b der Geraden durch die beiden Punkte (1|3) und (4|9).
Nennen Sie jeweils:
1. Die Steigung m (Änderungsrate), mit den Schritten von Δy/Δx
2. Den y-Achsenabschnitt b
3. Die Geradengleichung y = mx + b
4. Die Koordinaten der Punkte, in denen die Gerade die x-Achse und die y-Achse schneidet
5. Den Wert von y bei x = 5

Verwenden Sie in Python das Modul fractions aus der Standardbibliothek, um exakt zu rechnen, und nennen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis. Ist eine Antwort ein Bruch, geben Sie ihn gekürzt an.

Anleitung

1

Zahlen eingeben

Geben Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
2

Berechnen

Klicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
3

Ergebnis ablesen

Das Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel