Wählen Sie im Menü, was Sie wissen möchten, geben Sie Basis a und Exponent k ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Die Antwort erscheint zweimal – von Hand mit einem vorgegebenen Näherungswert (etwa lg 2 ≈ 0,3010) und exakt aus dem vollständigen Wert.
Bei „Stellenanzahl“ und „Erste Ziffer“ ist a eine ganze Zahl von 2 bis 1.000.000, bei „Erste Nachkommastelle ungleich 0“ eine Dezimalzahl größer als 0 und kleiner als 1 (höchstens 6 Nachkommastellen). Der Exponent k ist eine ganze Zahl von 1 bis 10.000.
Ergebnis und Graph
Geben Sie links Basis und Exponent ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Hier erscheinen dann das Ergebnis und ein Zahlenstrahl mit Zehnerpotenzen.
Inhaltsverzeichnis
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Das können Sie auf dieser Seite
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Wofür braucht man diese Berechnung?
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Anleitung
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Formeln und Abbildung
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Symbole und Begriffe
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Das sollten Sie vorher wissen
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So berechnen Sie es in Excel
-
So berechnen Sie es in Google Tabellen
-
So berechnen Sie es in Python
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So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
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So lassen Sie ChatGPT rechnen
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Die Vorteile von DataChef
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Verwandte Funktionen
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Alle Rechner von NumberChef
Das können Sie auf dieser Seite
- Geben Sie die Basis \(a\) und den Exponenten \(k\) ein – und Sie sehen sofort, wie viele Stellen eine riesige Potenz \(a^k\) wie \(2^{100}\) hat
- Sie erhalten zwei Antworten: von Hand mit einem vorgegebenen Näherungswert wie \(\log_{10} 2 \approx 0{,}3010\) (der Lösungsweg aus dem Schulbuch) und die exakte Stellenanzahl aus dem vollständig berechneten Wert. Der Rechenweg folgt der Reihenfolge einer schriftlichen Lösung
- Eine weitere Einstellung ermittelt die erste Ziffer (die Ziffer ganz links) aus dem Nachkommaanteil des Zehnerlogarithmus
- Bei einer Potenz einer Dezimalzahl kleiner als 1, etwa \(0{,}5^{100}\), wird die Nachkommastelle bestimmt, an der die erste Ziffer ungleich 0 steht
- Außerdem auf dieser Seite: eine leicht verständliche Erklärung der Formeln und Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python
Möglich sind Potenzen ganzer Zahlen (Stellenanzahl und erste Ziffer) und Potenzen abbrechender Dezimalzahlen kleiner als 1 (erste Nachkommastelle ungleich 0).
Wofür braucht man diese Berechnung?
Die Größe eines Kryptoschlüssels in Stellen abschätzen (IT-Sicherheit)
Bei der RSA-Verschlüsselung, die Verbindungen im Internet schützt, spricht man von „2048-Bit-Schlüsseln“. Eine 2048-Bit-Zahl ist ungefähr so groß wie \(2^{2048}\); aus \(2048 \times \log_{10} 2 \approx 616{,}5\) folgt, dass sie 617 Dezimalstellen hat.
Die Umrechnung „Anzahl der Bits × 0,3010 ≈ Anzahl der Dezimalstellen“ ist genau die Rechnung dieser Seite. Mit dieser Abschätzung sieht man, wie aussichtslos es ist, einen solchen Schlüssel durch Ausprobieren aller Möglichkeiten zu knacken.
Bakterienwachstum und Schutz vor Lebensmittelvergiftung
Manche Bakterien teilen sich unter guten Bedingungen etwa alle 20 Minuten. Hielte dieses Tempo 24 Stunden an, wären das 72 Teilungen – aus 1 Bakterium würden \(2^{72}\). Aus \(72 \times 0{,}3010 \approx 21{,}7\) folgt: eine 22-stellige Zahl (rund 4,7 Trilliarden, also \(4{,}7 \times 10^{21}\)).
In Wirklichkeit begrenzen Nahrung und Platz das Wachstum irgendwann. Trotzdem zeigt eine einzige Multiplikation mit dem Zehnerlogarithmus, dass sich Bakterien um viele Zehnerpotenzen vermehren, wenn man Lebensmittel stehen lässt. Deshalb gilt: Lebensmittel schnell kühlen.
Reicht gefaltetes Papier bis zum Mond? (ein Gefühl für exponentielles Wachstum)
Jedes Mal, wenn man ein 0,1 mm dickes Blatt Papier faltet, verdoppelt sich seine Dicke. Könnte man es 42-mal falten, wäre es \(0{,}1 \times 2^{42}\) mm \(\approx\) 440.000 km dick – mehr als die Entfernung zum Mond (rund 384.000 km).
In Wirklichkeit lässt sich Papier nur etwa 7- bis 8-mal falten, es ist also ein Gedankenexperiment. Wie schnell die Stellen beim ständigen Verdoppeln wachsen, sagt die einfache Formel \(k \times \log_{10} 2\) aber genau voraus – so überprüfen Sie Ihr Gefühl mit Zahlen.
Betrug in Buchhaltungsdaten aufdecken (benfordsches Gesetz)
In natürlich entstandenen Geldbeträgen ist die erste Ziffer in etwa 30,1 % der Fälle eine 1 (genau \(\log_{10} 2\)), in etwa 17,6 % eine 2 und so weiter. Diese ungleiche Verteilung heißt benfordsches Gesetz.
Erfundene Zahlen weichen oft davon ab, deshalb nutzen Wirtschaftsprüfer und Steuerfahnder das Gesetz als Prüfung. Die Grundlage ist die Idee dieser Seite: „Die erste Ziffer wird vom Nachkommaanteil des Zehnerlogarithmus bestimmt.“
Die Sprache der Zehnerpotenzen in der Naturwissenschaft (Physik, Chemie, Astronomie)
In der Naturwissenschaft schreibt man sehr große und sehr kleine Zahlen mit Zehnerpotenzen (wissenschaftliche Schreibweise), etwa die Entfernung zur Sonne, rund 1,496 · 10⁸ km, oder die Größe eines Wasserstoffatoms, rund 1 · 10⁻¹⁰ m.
Der Exponent der Zehnerpotenz ist genau der ganzzahlige Anteil des Zehnerlogarithmus – ein direktes Gefühl für die Stellenanzahl. Astronomie und Chemie (die Avogadro-Konstante ist rund 6 · 10²³) sind ideale Übungsfelder, um in Zehnerpotenzen zu denken.
Formeln und Abbildung
Zehnerlogarithmus einer Potenz (Exponent nach vorn)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(\log_{10} a^{k}\)
\(=\)
\(k\)
\(\times\)
\(\log_{10} a\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(\log_{10} a^k\): Zehnerlogarithmus der Potenz
\(=\)
①
\(k\): Exponent
\(\times\)
②
\(\log_{10} a\): Zehnerlogarithmus der Basis
Die Formel in Worten
①
Multipliziert man den
\(k\): Exponenten
②
mit dem
\(\log_{10} a\): Zehnerlogarithmus der Basis \(a\)
,
③
erhält man den
\(\log_{10} a^k\): Zehnerlogarithmus der Potenz \(a^k\)
.
Einfaches Beispiel
Mit \(\log_{10} 2 \approx 0{,}3010\) ist der Zehnerlogarithmus von \(2^{100}\)
Zehnerlogarithmus von \(2^{100}\)
\(=\)
Exponent 100
\(\times\)
Zehnerlogarithmus von 2 (etwa 0,3010)
\(\log_{10} 2^{100} = 100 \times \log_{10} 2 \approx 100 \times 0{,}3010 = 30{,}10\)
Der Grundgedanke
Um \(2^{100}\) wirklich auszurechnen, braucht man 99 Multiplikationen. Mit dem Zehnerlogarithmus (dem Logarithmus zur Basis 10) genügt eine einzige Multiplikation, „Exponent × \(\log_{10} 2\)“, um die ungefähre Größe der Zahl zu kennen (10 hoch wie viel). Der Logarithmus nimmt Ihnen das wiederholte Multiplizieren ab – das kann er am besten.
\(\log_{10} 2 = 0{,}30102\ldots\) hat unendlich viele Nachkommastellen, deshalb rechnet man von Hand mit einem Näherungswert auf 4 Nachkommastellen wie 0,3010. In Schulbuchaufgaben ist er meist vorgegeben, etwa „Verwenden Sie \(\lg 2 \approx 0{,}3010\)“.
Stellenanzahl (\(10^{n-1} \le N < 10^n\) ⇔ \(n\)-stellig)
Abbildung (Zahlenstrahl mit Zehnerpotenzen)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(10^{n-1}\)
\(\le\)
\(N\)
\(<\)
\(10^{n}\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
②
\(10^{n-1}\): kleinste \(n\)-stellige Zahl
\(\le\)
①
\(N\): untersuchte Zahl
\(<\)
③
\(10^{n}\): kleinste \((n+1)\)-stellige Zahl
Die Formel in Worten
①
Ist die ganze Zahl
\(N\): untersuchte Zahl
mindestens so groß wie die
②
\(10^{n-1}\): kleinste \(n\)-stellige Zahl (eine 1 und \(n-1\) Nullen)
und kleiner als die
③
\(10^{n}\): kleinste \((n+1)\)-stellige Zahl
, dann ist \(N\) genau \(n\)-stellig.
Einfaches Beispiel
Aus \(\log_{10} 2^{100} \approx 30{,}10\) folgt \(2^{100} \approx 10^{30{,}10}\), also
kleinste 31-stellige Zahl \(10^{30}\)
\(\le\)
untersuchte Zahl \(2^{100}\)
\(<\)
kleinste 32-stellige Zahl \(10^{31}\)
\(30 \le 30{,}10 < 31\)
\(10^{30} \le 2^{100} < 10^{31}\)
Der Grundgedanke
Einstellige Zahlen sind 1 bis 9 (\(10^0 \le N < 10^1\)), zweistellige 10 bis 99 (\(10^1 \le N < 10^2\)) und so weiter. Mit jeder Stelle mehr wächst der Exponent der Zehnerpotenz um 1. Liegt \(N\) also zwischen \(10^{n-1}\) und \(10^n\), ist es \(n\)-stellig.
In der Sprache der Zehnerlogarithmen heißt das: „Die Stellenanzahl \(n\) ist der ganzzahlige Anteil von \(\log_{10} N\) plus 1.“ Der ganzzahlige Anteil von \(\log_{10} 2^{100} \approx 30{,}10\) ist 30, also ist \(2^{100}\) 31-stellig.
Erste Ziffer (aus dem Nachkommaanteil des Zehnerlogarithmus)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(\log_{10} d\)
\(\le\)
\(f\)
\(<\)
\(\log_{10} (d+1)\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
②
\(\log_{10} d\): Zehnerlogarithmus der ersten Ziffer
\(\le\)
①
\(f\): Nachkommaanteil von \(\log_{10} a^k\)
\(<\)
③
\(\log_{10} (d+1)\): Zehnerlogarithmus der nächsten Ziffer
Die Formel in Worten
①
Ist der
\(f\): Nachkommaanteil des Zehnerlogarithmus
mindestens so groß wie der
②
\(\log_{10} d\): Zehnerlogarithmus der ersten Ziffer \(d\)
und kleiner als der
③
\(\log_{10} (d+1)\): Zehnerlogarithmus der nächsten Ziffer \(d+1\)
, dann ist die erste Ziffer \(d\).
Einfaches Beispiel
Der Nachkommaanteil von \(\log_{10} 2^{100} \approx 30{,}10\) ist \(0{,}10\). Er liegt zwischen \(\log_{10} 1 = 0\) und \(\log_{10} 2 \approx 0{,}3010\), also
Zehnerlogarithmus von 1 (0)
\(\le\)
Nachkommaanteil 0,10
\(<\)
Zehnerlogarithmus von 2 (etwa 0,3010)
\(0 \le 0{,}10 < 0{,}3010\)
\(1 \le 10^{0{,}10} < 2\)
Der Grundgedanke
Man zerlegt \(2^{100} \approx 10^{30{,}10} = 10^{30} \times 10^{0{,}10}\). Der ganzzahlige Anteil, \(10^{30}\), legt nur fest, wie viele Nullen folgen (wo die Ziffern stehen) – die Ziffernfolge selbst ändert er nicht. Die erste Ziffer bestimmt der Nachkommaanteil, \(10^{0{,}10}\).
Wegen \(1 \le 10^{0{,}10} < 2\) hat \(2^{100}\) die Form \(1{,}\ldots \times 10^{30}\), die erste Ziffer ist also 1. Zum Entscheiden vergleicht man den Nachkommaanteil mit der „Skala der Zehnerlogarithmen von 1 bis 9“: \(\log_{10} 1 = 0\), \(\log_{10} 2 \approx 0{,}3010\), \(\log_{10} 3 \approx 0{,}4771\) und so weiter.
Dezimalzahlen kleiner als 1 (\(10^{-m} \le N < 10^{-m+1}\) ⇔ \(m\)-te Nachkommastelle)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(10^{-m}\)
\(\le\)
\(N\)
\(<\)
\(10^{-m+1}\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
②
\(10^{-m}\): erste 1 an der \(m\)-ten Nachkommastelle
\(\le\)
①
\(N\): untersuchte Zahl
\(<\)
③
\(10^{-m+1}\): das Zehnfache davon
Die Formel in Worten
①
Ist die Zahl kleiner als 1, also die
\(N\): untersuchte Zahl
, mindestens so groß wie die
②
\(10^{-m}\): Zahl mit der ersten 1 an der \(m\)-ten Nachkommastelle (0,00…01)
und kleiner als
③
\(10^{-m+1}\): das Zehnfache davon
, dann steht die erste Ziffer ungleich 0 von \(N\) an der \(m\)-ten Nachkommastelle.
Einfaches Beispiel
Wegen \(\log_{10} 0{,}5^{100} \approx 100 \times (-0{,}3010) = -30{,}10\) gilt
erste 1 an der 31. Nachkommastelle \(10^{-31}\)
\(\le\)
untersuchte Zahl \(0{,}5^{100}\)
\(<\)
das Zehnfache \(10^{-30}\)
\(-31 \le -30{,}10 < -30\)
\(10^{-31} \le 0{,}5^{100} < 10^{-30}\)
Der Grundgedanke
Bei Zahlen kleiner als 1 ist der Zehnerlogarithmus negativ (\(\log_{10} 0{,}1 = -1\), \(\log_{10} 0{,}01 = -2\) und so weiter). Die Idee ist dieselbe wie bei der Stellenanzahl: \(N\) zwischen zwei Zehnerpotenzen einschließen.
Vorsicht beim „ganzzahligen Anteil einer negativen Zahl“. Gemeint ist hier die Gaußklammer, also die nächste ganze Zahl links auf dem Zahlenstrahl: Der ganzzahlige Anteil von \(-30{,}10\) ist \(-31\), nicht \(-30\). Wer sich hier vertut, liegt mit der Antwort um 1 daneben. Im Beispiel gilt \(-31 \le -30{,}10 < -30\), also steht bei \(0{,}5^{100}\) die erste Ziffer ungleich 0 an der 31. Nachkommastelle.
Eine ganze Zahl \(N\) ist \(n\)-stellig, wenn \(10^{n-1} \le N < 10^n\) gilt. Die Stellenanzahl von \(a^k\) ist deshalb einfach der ganzzahlige Anteil des Zehnerlogarithmus \(\log_{10} a^k = k \log_{10} a\) plus 1. Der Nachkommaanteil liefert die erste Ziffer, und bei Zahlen kleiner als 1 zeigt dieselbe Idee, an welcher Nachkommastelle die erste Ziffer ungleich 0 steht.
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(\log_{10} N\) | Zehnerlogarithmus von N (lg N) | Der Zehnerlogarithmus von \(N\) (Logarithmus zur Basis 10). Er gibt an, „10 hoch wie viel ergibt \(N\)“. In deutschen Schulbüchern schreibt man oft \(\lg N\), log ist die Abkürzung von Logarithmus. |
| \(N\) | N | Die Zahl, deren Stellenanzahl usw. untersucht wird (vom englischen „number“). Auf dieser Seite ist das die Potenz \(a^k\). |
| \(a\) | a | Die Basis (die Zahl, die multipliziert wird). Für feste Zahlen nimmt man üblicherweise Buchstaben vom Anfang des Alphabets. |
| \(k\) | k | Der Exponent (wie oft multipliziert wird). In \(2^{100}\) ist das 100. |
| \(n\) | n (klein) | Die Stellenanzahl. Der Buchstabe n wird oft für Anzahlen verwendet. |
| \(10^n\) | 10 hoch n | \(n\)-mal 10 als Faktor – eine 1 mit \(n\) Nullen dahinter (\(10^3 = 1000\)). Die kleinste \((n+1)\)-stellige Zahl. |
| \(f\) | f | Der Nachkommaanteil des Zehnerlogarithmus (vom englischen „fractional part“). Die erste Ziffer hängt nur von diesem \(f\) ab. |
| \(d\) | d | Die erste Ziffer (die Ziffer ganz links), vom englischen „digit“. |
| \(m\) | m | Die Nachkommastelle, an der die erste Ziffer ungleich 0 steht. Sie zeigt, „wie klein“ eine Zahl kleiner als 1 ist. |
| \(\lfloor x \rfloor\) | Gaußklammer von x (x abgerundet) | Die Gaußklammer – die größte ganze Zahl, die nicht größer als \(x\) ist (der ganzzahlige Anteil). Vorsicht bei negativen Zahlen: \(\lfloor -30{,}10 \rfloor = -31\). |
Begriffe
| Zehnerlogarithmus (dekadischer Logarithmus, lg) | Der Logarithmus zur Basis 10, \(\log_{10} x\) oder \(\lg x\). Er gibt an, „10 hoch wie viel ergibt \(x\)“, und hängt direkt mit der Stellenanzahl im Zehnersystem zusammen. Er kommt in Klasse 10 (15–16 Jahre) dran. |
| Logarithmus | Die Zahl, die angibt, mit welcher Hochzahl man die Basis potenzieren muss, um den Numerus zu erhalten – genau die Umkehrung des Potenzierens. |
| Numerus | Die Zahl, von der der Logarithmus genommen wird, das \(N\) in \(\log_{10} N\). Nur Zahlen größer als 0 sind erlaubt. |
| Basis | Die Zahl \(a\), auf der eine Potenz \(a^k\) oder ein Logarithmus \(\log_{a} x\) aufbaut – auf dieser Seite das Feld „Basis a“. Der Zehnerlogarithmus hat die Basis 10. |
| Stellenanzahl (Anzahl der Stellen) | Wie viele Ziffern eine ganze Zahl hat. 1024 ist vierstellig. Mathematisch ausgedrückt: „Eine ganze Zahl, die mindestens \(10^{n-1}\) und kleiner als \(10^n\) ist, ist \(n\)-stellig.“ |
| erste Ziffer (führende Ziffer) | Die Ziffer ganz links, an der höchsten Stelle. Die erste Ziffer von 1024 ist 1. Sie lässt sich aus dem Nachkommaanteil des Zehnerlogarithmus bestimmen. |
| Potenz | Ein Produkt aus lauter gleichen Faktoren. Wie in \(2^{3} = 2 \times 2 \times 2\) gibt der kleine Exponent rechts oben an, wie oft multipliziert wird. |
| Exponent (Hochzahl) | Die kleine Zahl rechts oben an einer Potenz, die angibt, wie oft multipliziert wird. In \(2^{100}\) ist 100 der Exponent. |
| ganzzahliger Anteil (Kennzahl) | Zerlegt man eine Zahl in „die größte ganze Zahl, die nicht größer ist“ (Gaußklammer) und „den Rest“, ist das die ganze Zahl. Bei 30,10 ist es 30. Achtung: Bei \(-30{,}10\) ist es \(-31\), weil der Nachkommaanteil immer mindestens 0 und kleiner als 1 ist. Beim Zehnerlogarithmus heißt er klassisch auch Kennzahl. |
| Nachkommaanteil (Mantisse) | Zerlegt man eine Zahl in „die größte ganze Zahl, die nicht größer ist“ und „den Rest“, ist das der Rest. Bei 30,10 ist es 0,10. Er ist immer mindestens 0 und kleiner als 1 – bei \(-30{,}10\) ist er deshalb \(0{,}90\). Beim Zehnerlogarithmus heißt er klassisch auch Mantisse. |
| Näherungswert | Ein gerundeter, handlicher Wert nahe am wahren Wert, etwa 0,3010 statt \(\log_{10} 2 = 0{,}30102\ldots\). Durch das Runden entsteht ein Fehler, und Multiplikationen vergrößern ihn (siehe geltende Ziffern). |
| geltende Ziffern (signifikante Stellen) | Die Ziffern eines Messwerts oder Näherungswerts, auf die man sich verlassen kann. 0,3010 ist nur auf 4 Nachkommastellen genau, deshalb sind die Feinheiten des 10.000-Fachen davon nicht verlässlich. Das erklärt, warum die Antwort von Hand auf dieser Seite von der exakten abweichen kann. |
Das sollten Sie vorher wissen
Damit Sie die Berechnung auf dieser Seite nicht nur per Knopfdruck, sondern mit echtem Verständnis nutzen, ist hier zusammengestellt, was Sie vorher wissen sollten.
Wenn Sie nicht weiterkommen, wiederholen Sie am besten diese Themen.
| Potenzen und Exponenten (Klasse 5–6, 10–12 Jahre) |
|
| Erweiterte Exponenten (Klasse 9–10, 14–16 Jahre) |
|
| Definition des Logarithmus (Klasse 10, 15–16 Jahre) |
|
| Logarithmengesetze (Klasse 10, 15–16 Jahre) |
|
| Ungleichungen lesen und schreiben (Klasse 7–9, 12–15 Jahre) |
|
| Stellenwerte und Stellen (ab Klasse 3–4, 8–10 Jahre) |
|
So berechnen Sie es in Excel
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle für die Stellenanzahl von a^k
| Basis a | 2 |
| Exponent k | 100 |
| Zehnerlogarithmus k×log10(a) | =B2*LOG10(B1) |
| Stellenanzahl (ganzzahliger Anteil + 1) | =GANZZAHL(B3)+1 |
Tabelle für die erste Ziffer
| Basis a | 2 |
| Exponent k | 100 |
| Zehnerlogarithmus k×log10(a) | =B2*LOG10(B1) |
| Nachkommaanteil des Zehnerlogarithmus | =B3-GANZZAHL(B3) |
| Erste Ziffer | =GANZZAHL(10^B4) |
Tabelle für die erste Nachkommastelle ungleich 0 von a^k (a < 1)
| Basis a (Dezimalzahl kleiner als 1) | 0,5 |
| Exponent k | 100 |
| Zehnerlogarithmus k×log10(a) | =B2*LOG10(B1) |
| Nachkommastelle der ersten Ziffer ungleich 0 | =-GANZZAHL(B3) |
Nach dem Einfügen sind die oberen Zeilen (Basis und Exponent) Ihre Eingaben, die unteren Zeilen zeigen die automatisch berechneten Ergebnisse.
LOG10 ist der Zehnerlogarithmus, GANZZAHL liefert die größte ganze Zahl, die nicht größer als die Zahl ist (ganzzahliger Anteil, Gaußklammer). GANZZAHL rundet auch bei negativen Zahlen ab (GANZZAHL(-30,1) ist -31), deshalb liefert „=-GANZZAHL(B3)“ in der dritten Tabelle direkt die Nachkommastelle.
Mit den Beispielzahlen zeigt die erste Tabelle 31 (Stellen), die zweite 1 (die erste Ziffer) und die dritte 31 (die 31. Nachkommastelle).
Excel rechnet auf etwa 15 Stellen genau. Bei sehr großem Exponenten kann die Antwort nahe an einer Zehnerpotenz deshalb um 1 abweichen.
LOG10 ist der Zehnerlogarithmus, GANZZAHL liefert die größte ganze Zahl, die nicht größer als die Zahl ist (ganzzahliger Anteil, Gaußklammer). GANZZAHL rundet auch bei negativen Zahlen ab (GANZZAHL(-30,1) ist -31), deshalb liefert „=-GANZZAHL(B3)“ in der dritten Tabelle direkt die Nachkommastelle.
Mit den Beispielzahlen zeigt die erste Tabelle 31 (Stellen), die zweite 1 (die erste Ziffer) und die dritte 31 (die 31. Nachkommastelle).
Excel rechnet auf etwa 15 Stellen genau. Bei sehr großem Exponenten kann die Antwort nahe an einer Zehnerpotenz deshalb um 1 abweichen.
So berechnen Sie es in Google Tabellen
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle für die Stellenanzahl von a^k
| Basis a | 2 |
| Exponent k | 100 |
| Zehnerlogarithmus k×log10(a) | =B2*LOG10(B1) |
| Stellenanzahl (ganzzahliger Anteil + 1) | =GANZZAHL(B3)+1 |
Tabelle für die erste Ziffer
| Basis a | 2 |
| Exponent k | 100 |
| Zehnerlogarithmus k×log10(a) | =B2*LOG10(B1) |
| Nachkommaanteil des Zehnerlogarithmus | =B3-GANZZAHL(B3) |
| Erste Ziffer | =GANZZAHL(10^B4) |
Tabelle für die erste Nachkommastelle ungleich 0 von a^k (a < 1)
| Basis a (Dezimalzahl kleiner als 1) | 0,5 |
| Exponent k | 100 |
| Zehnerlogarithmus k×log10(a) | =B2*LOG10(B1) |
| Nachkommastelle der ersten Ziffer ungleich 0 | =-GANZZAHL(B3) |
Google Tabellen hat dieselben Funktionen LOG10 und GANZZAHL wie Excel, die Formeln funktionieren also genauso.
Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie Basis und Exponent durch Ihre eigenen Zahlen.
Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie Basis und Exponent durch Ihre eigenen Zahlen.
So berechnen Sie es in Python
import math
a = 2 # Basis (eine ganze Zahl ab 2)
k = 100 # Exponent (hoch wie viel)
# Mit dem Zehnerlogarithmus (wie bei der Rechnung von Hand)
log_value = k * math.log10(a)
digit_count = math.floor(log_value) + 1 # ganzzahliger Anteil + 1 = Stellenanzahl
fractional = log_value - math.floor(log_value)
leading_digit = math.floor(10 ** fractional) # erste Ziffer aus dem Nachkommaanteil
print(f"Zehnerlogarithmus: {log_value}")
print(f"Stellenanzahl: {digit_count}, erste Ziffer: {leading_digit}")
# Exakte Rechnung (ganze Zahlen haben in Python keine Stellengrenze, daher lässt sich der volle Wert prüfen)
actual = a ** k
print(f"Tatsächliche Stellenanzahl: {len(str(actual))}, tatsächliche erste Ziffer: {str(actual)[0]}")
# Bei Dezimalzahlen kleiner als 1 (welche Nachkommastelle bei 0,5 hoch 100) ist der Zehnerlogarithmus negativ
position = -math.floor(100 * math.log10(0.5))
print(f"Bei 0,5 hoch 100 steht die erste Ziffer ungleich 0 an der {position}. Nachkommastelle")
Läuft nur mit dem Modul math der Standardbibliothek. Wichtig ist, für den ganzzahligen Anteil math.floor() statt int() zu verwenden (int() rundet in Richtung 0, bei einem negativen Logarithmus läge die Antwort dann um 1 daneben). Ersetzen Sie a und k oben durch Ihre eigenen Zahlen und führen Sie den Code aus.
So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
Zehnerlogarithmus einer Potenz (Exponent nach vorn)
log₁₀(aᵏ) = k log₁₀ a
\log_{10} a^{k} = k \log_{10} a
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>log</mi><mn>10</mn></msub>
<msup><mi>a</mi><mi>k</mi></msup>
<mo>=</mo>
<mi>k</mi>
<msub><mi>log</mi><mn>10</mn></msub>
<mi>a</mi>
</mrow>
</math>
log_10 (a^k) = k log_10 a
Log10[a^k] == k*Log10[a]
log10(a^k) = k*log10(a);
log10(a^k) == k*log10(a)
log_10(a^k) = k log_10(a)
Stellenanzahl (\(10^{n-1} \le N < 10^n\) ⇔ \(n\)-stellig)
10ⁿ⁻¹ ≤ N < 10ⁿ
10^{n-1} \le N < 10^{n}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup><mn>10</mn><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup>
<mo>≤</mo>
<mi>N</mi>
<mo><</mo>
<msup><mn>10</mn><mi>n</mi></msup>
</mrow>
</math>
10^(n-1) <= N < 10^n
IntegerLength[a^k]
length(a^k);
floor(log10(a^k)) + 1
10^(n-1) ≤ N < 10^n
Erste Ziffer (aus dem Nachkommaanteil des Zehnerlogarithmus)
log₁₀ d ≤ f < log₁₀(d+1)
\log_{10} d \le f < \log_{10} (d+1)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>log</mi><mn>10</mn></msub>
<mi>d</mi>
<mo>≤</mo>
<mi>f</mi>
<mo><</mo>
<msub><mi>log</mi><mn>10</mn></msub>
<mo>(</mo><mi>d</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo>
</mrow>
</math>
log_10 d <= f < log_10 (d+1)
First[IntegerDigits[a^k]]
trunc(10^frac(k*log10(a)));
floor(10^(mod(k*log10(a), 1)))
log_10(d) ≤ f < log_10(d+1)
Dezimalzahlen kleiner als 1 (\(10^{-m} \le N < 10^{-m+1}\) ⇔ \(m\)-te Nachkommastelle)
10⁻ᵐ ≤ N < 10⁻ᵐ⁺¹
10^{-m} \le N < 10^{-m+1}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup><mn>10</mn><mrow><mo>−</mo><mi>m</mi></mrow></msup>
<mo>≤</mo>
<mi>N</mi>
<mo><</mo>
<msup><mn>10</mn><mrow><mo>−</mo><mi>m</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup>
</mrow>
</math>
10^(-m) <= N < 10^(-m+1)
-Floor[Log10[a^k]]
-floor(log10(a^k));
-floor(log10(a^k))
10^(-m) ≤ N < 10^(-m+1)
So lassen Sie ChatGPT rechnen
Sie sind ein Rechenassistent für Zehnerlogarithmen und Stellenanzahlen. Führen Sie die folgenden Berechnungen aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort ausschließlich auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (nicht im Kopf rechnen und nicht schätzen). 1. Wie viele Stellen hat 2 hoch 100? Bestimmen Sie die Anzahl sowohl über den ganzzahligen Anteil von k × log10(a) plus 1 als auch durch direktes Zählen mit len(str(2**100)), und prüfen Sie, ob beides übereinstimmt. 2. Bestimmen Sie die erste Ziffer (die Ziffer ganz links) von 2 hoch 100 aus dem Nachkommaanteil des Zehnerlogarithmus und vergleichen Sie sie mit dem tatsächlichen Wert. 3. An welcher Nachkommastelle steht bei 0,5 hoch 100 die erste Ziffer ungleich 0? Berechnen Sie sie mit -floor(100 × log10 0,5). Geben Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis an.
Anleitung
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1Werte eingebenTragen Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
-
2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
-
3Ergebnis ansehenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
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