Wählen Sie im Menü aus, was Sie bestimmen möchten, geben Sie die Basis a und den Exponenten k ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Die Antwort erscheint auf zwei Wegen, von Hand mit einem vorgegebenen Näherungswert (etwa log₁₀ 2 ≈ 0,3010) und exakt aus dem vollständigen Wert.
In den Modi „Stellenzahl“ und „Führende Ziffer“ ist a eine ganze Zahl von 2 bis 1.000.000. Im Modus „Nachkommastelle“ ist a eine Dezimalzahl größer als 0 und kleiner als 1 (bis zu 6 Nachkommastellen). Der Exponent k ist eine ganze Zahl von 1 bis 10.000.
Ergebnis und Diagramm
Geben Sie links die Basis und den Exponenten ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis und eine Zahlengerade der Zehnerpotenzen erscheinen hier.
Inhaltsverzeichnis
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Was Sie auf dieser Seite tun können
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Wofür ist diese Berechnung nützlich?
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Anleitung
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Formeln und Abbildungen
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Symbole und Begriffe
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Was Sie vorab wissen sollten
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Mit Excel berechnen
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Mit Google Tabellen berechnen
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Mit Python berechnen
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Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
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Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
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Die Vorteile von DataChef
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Verwandte Funktionen
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Alle NumberChef-Rechner
Was Sie auf dieser Seite tun können
- Geben Sie die Basis \(a\) und den Exponenten \(k\) ein und erfahren Sie sofort, wie viele Stellen eine riesige Potenz \(a^k\) wie \(2^{100}\) hat
- Sie erhalten zwei Antworten: eine von Hand mit einem vorgegebenen Näherungswert wie \(\log_{10} 2 \approx 0{,}3010\) (das Vorgehen der Schulbücher in Klasse 10 und 11) und die exakte Stellenzahl aus dem vollständig berechneten Wert. Die Rechenschritte folgen derselben Reihenfolge wie eine schriftliche Lösung
- Ein weiterer Modus bestimmt die führende Ziffer (die Ziffer ganz links) aus dem Nachkommaanteil des Zehnerlogarithmus
- Bei einer Potenz einer Dezimalzahl kleiner als 1, zum Beispiel \(0{,}5^{100}\), wird die Nachkommastelle bestimmt, an der die erste von 0 verschiedene Ziffer steht
- Eine leicht verständliche Erklärung der Formeln sowie Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python finden Sie ebenfalls auf dieser Seite
Diese Seite behandelt Potenzen ganzer Zahlen (Stellenzahl und führende Ziffer) und Potenzen endlicher Dezimalzahlen kleiner als 1 (Nachkommastelle der ersten von 0 verschiedenen Ziffer).
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
Die Größe eines Verschlüsselungsschlüssels in Stellen abschätzen (IT und Sicherheit)
Die RSA-Verschlüsselung, die die Kommunikation im Internet schützt, arbeitet mit Schlüsseln wie „2048 Bit“. Eine 2048-Bit-Zahl hat etwa die Größe \(2^{2048}\), und aus \(2048 \times \log_{10} 2 \approx 616{,}5\) folgt, dass sie 617 Dezimalstellen hat.
Die Umrechnung „Anzahl der Bits × 0,3010 ≈ Anzahl der Dezimalstellen“ ist genau die Rechnung dieser Seite. An dieser Schätzung sehen Sie, wie aussichtslos es ist, einen solchen Schlüssel durch Ausprobieren aller Möglichkeiten zu knacken.
Bakterienwachstum und Lebensmittelvergiftungen vorbeugen (Lebensmittelsicherheit)
Manche Bakterien teilen sich unter guten Bedingungen etwa alle 20 Minuten einmal. Hielte dieses Tempo 24 Stunden an, gäbe es 72 Teilungen, und aus 1 Bakterium würden \(2^{72}\). Aus \(72 \times 0{,}3010 \approx 21{,}7\) folgt, dass das eine 22-stellige Zahl ist (rund \(4{,}7 \times 10^{21}\), also etwa 4,7 Trilliarden).
In Wirklichkeit begrenzen Nahrung und Platz das Wachstum irgendwann. Trotzdem zeigt eine einzige Multiplikation mit dem Zehnerlogarithmus, dass sich Bakterien, die man gewähren lässt, um viele Potenzen von zehn vermehren. Deshalb gilt die Regel, Lebensmittel schnell zu kühlen.
Kann man mit gefaltetem Papier den Mond erreichen? (ein Gefühl für exponentielles Wachstum)
Jedes Mal, wenn Sie ein 0,1 mm dickes Blatt Papier falten, verdoppelt sich seine Dicke. Könnten Sie es 42-mal falten, wäre es \(0{,}1 \times 2^{42}\) mm \(\approx\) 440.000 km dick, weiter als der Mond (rund 384.000 km entfernt).
In Wirklichkeit lässt sich Papier nur etwa 7- bis 8-mal falten, es ist also ein Gedankenexperiment. Trotzdem lässt sich, wie schnell die Stellen beim ständigen Verdoppeln wachsen, mit der einfachen Formel \(k \times \log_{10} 2\) genau vorhersagen, und Sie können Ihre Intuition mit Zahlen überprüfen.
Betrug in Buchhaltungsdaten aufdecken (Benfordsches Gesetz)
In natürlich entstandenen Geldbeträgen ist die führende Ziffer in etwa 30,1 % der Fälle eine 1 (gleich \(\log_{10} 2\)), in etwa 17,6 % eine 2 und so weiter. Dieses einseitige Muster ist als Benfordsches Gesetz bekannt.
Erfundene Zahlen stören dieses Muster meist, deshalb nutzen Wirtschaftsprüfer und Betrugsermittler es als Prüfung. Der Gedanke dieser Seite, „die führende Ziffer wird vom Nachkommaanteil des Zehnerlogarithmus bestimmt“, ist die Grundlage des Gesetzes.
Die Sprache der Zehnerpotenzen in den Naturwissenschaften (Physik und Astronomie)
Die Naturwissenschaften schreiben zu große oder zu kleine Zahlen als Potenzen von 10 (wissenschaftliche Schreibweise), etwa die Entfernung zur Sonne, rund 1,496×10⁸ km, oder die Größe eines Wasserstoffatoms, rund 1×10⁻¹⁰ m.
Der Exponent von 10 ist genau der ganzzahlige Anteil des Zehnerlogarithmus, ein unmittelbares Gefühl für die Stellenzahl. Astronomie und Chemie (die Avogadro-Konstante beträgt etwa 6×10²³ pro Mol) eignen sich hervorragend, um das Denken in Zehnerpotenzen zu üben.
Formeln und Abbildungen
Zehnerlogarithmus einer Potenz (den Exponenten nach vorn ziehen)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(\log_{10} a^{k}\)
\(=\)
\(k\)
\(\times\)
\(\log_{10} a\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(\log_{10} a^k\): Zehnerlogarithmus der Potenz
\(=\)
①
\(k\): Exponent
\(\times\)
②
\(\log_{10} a\): Zehnerlogarithmus der Basis
Die Formel in Worten
①
Multipliziert man den
\(k\): Exponent
②
mit dem
\(\log_{10} a\): Zehnerlogarithmus der Basis \(a\)
③
so erhält man den
\(\log_{10} a^k\): Zehnerlogarithmus der Potenz \(a^k\)
Einfaches Beispiel
Mit \(\log_{10} 2 \approx 0{,}3010\) ergibt sich für den Zehnerlogarithmus von \(2^{100}\)
Zehnerlogarithmus von \(2^{100}\)
\(=\)
Exponent 100
\(\times\)
Zehnerlogarithmus von 2 (etwa 0,3010)
\(\log_{10} 2^{100} = 100 \times \log_{10} 2 \approx 100 \times 0{,}3010 = 30{,}10\)
Der Kerngedanke
Wollte man \(2^{100}\) durch tatsächliches Multiplizieren bestimmen, wären 99 Multiplikationen nötig. Mit dem Zehnerlogarithmus (dem Logarithmus zur Basis 10) genügt eine einzige Multiplikation, „Exponent × \(\log_{10} 2\)“, und Sie erfahren die ungefähre Größe der Zahl (etwa 10 hoch wie viel). Logarithmen nehmen Ihnen das wiederholte Multiplizieren ab. Genau darin liegt ihre Stärke.
\(\log_{10} 2 = 0{,}30102\ldots\) hört nie auf, also verwendet man von Hand einen Näherungswert auf 4 Nachkommastellen, etwa 0,3010. Aufgaben in Schulbüchern geben ihn meist vor, zum Beispiel „Verwenden Sie \(\log_{10} 2 \approx 0{,}3010\)“.
Stellenzahl (\(10^{n-1} \le N < 10^n\) ⇔ \(n\) Stellen)
Abbildung (Zahlengerade der Potenzen von 10)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(10^{n-1}\)
\(\le\)
\(N\)
\(<\)
\(10^{n}\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
②
\(10^{n-1}\): kleinste \(n\)-stellige Zahl
\(\le\)
①
\(N\): untersuchte Zahl
\(<\)
③
\(10^{n}\): kleinste \((n+1)\)-stellige Zahl
Die Formel in Worten
①
Ist die ganze Zahl
\(N\): untersuchte Zahl
mindestens so groß wie die
②
\(10^{n-1}\): kleinste \(n\)-stellige Zahl (1 mit \(n-1\) Nullen dahinter)
und kleiner als die
③
\(10^{n}\): kleinste \((n+1)\)-stellige Zahl
, so hat \(N\) genau \(n\) Stellen
Einfaches Beispiel
Aus \(\log_{10} 2^{100} \approx 30{,}10\) folgt \(2^{100} \approx 10^{30{,}10}\), also
kleinste 31-stellige Zahl \(10^{30}\)
\(\le\)
untersuchte Zahl \(2^{100}\)
\(<\)
kleinste 32-stellige Zahl \(10^{31}\)
\(30 \le 30{,}10 < 31\)
\(10^{30} \le 2^{100} < 10^{31}\)
Der Kerngedanke
Einstellige Zahlen sind 1 bis 9 (\(10^0 \le N < 10^1\)), zweistellige Zahlen sind 10 bis 99 (\(10^1 \le N < 10^2\)) und so weiter. Mit jeder weiteren Stelle wächst der Exponent von 10 um 1. Liegt \(N\) also zwischen \(10^{n-1}\) und \(10^n\), hat es \(n\) Stellen.
In der Sprache der Zehnerlogarithmen heißt das: „Die Stellenzahl \(n\) ist der ganzzahlige Anteil von \(\log_{10} N\) plus 1“. Der ganzzahlige Anteil von \(\log_{10} 2^{100} \approx 30{,}10\) ist 30, also hat \(2^{100}\) 31 Stellen.
Führende Ziffer (aus dem Nachkommaanteil des Zehnerlogarithmus)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(\log_{10} d\)
\(\le\)
\(f\)
\(<\)
\(\log_{10} (d+1)\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
②
\(\log_{10} d\): Zehnerlogarithmus der führenden Ziffer
\(\le\)
①
\(f\): Nachkommaanteil von \(\log_{10} a^k\)
\(<\)
③
\(\log_{10} (d+1)\): Zehnerlogarithmus der nächsten Ziffer
Die Formel in Worten
①
Ist der
\(f\): Nachkommaanteil des Zehnerlogarithmus
mindestens so groß wie der
②
\(\log_{10} d\): Zehnerlogarithmus der führenden Ziffer \(d\)
und kleiner als der
③
\(\log_{10} (d+1)\): Zehnerlogarithmus der nächsten Ziffer \(d+1\)
, so ist die führende Ziffer gleich \(d\)
Einfaches Beispiel
Der Nachkommaanteil von \(\log_{10} 2^{100} \approx 30{,}10\) ist \(0{,}10\). Er liegt zwischen \(\log_{10} 1 = 0\) und \(\log_{10} 2 \approx 0{,}3010\), also
Zehnerlogarithmus von 1 (0)
\(\le\)
Nachkommaanteil 0,10
\(<\)
Zehnerlogarithmus von 2 (etwa 0,3010)
\(0 \le 0{,}10 < 0{,}3010\)
\(1 \le 10^{0{,}10} < 2\)
Der Kerngedanke
Zerlegen Sie \(2^{100} \approx 10^{30{,}10} = 10^{30} \times 10^{0{,}10}\). Der ganzzahlige Anteil, \(10^{30}\), legt nur fest, wie viele Nullen folgen (wo die Ziffern stehen). Die Ziffern selbst ändert er nicht. Die erste Ziffer bestimmt der Nachkommaanteil, \(10^{0{,}10}\).
Wegen \(1 \le 10^{0{,}10} < 2\) hat \(2^{100}\) die Form \(1{,}\ldots \times 10^{30}\), die führende Ziffer ist also 1. Zum Entscheiden vergleichen Sie den Nachkommaanteil mit der „Skala der Zehnerlogarithmen von 1 bis 9“: \(\log_{10} 1 = 0\), \(\log_{10} 2 \approx 0{,}3010\), \(\log_{10} 3 \approx 0{,}4771\) und so weiter.
Dezimalzahlen kleiner als 1 (\(10^{-m} \le N < 10^{-m+1}\) ⇔ Nachkommastelle \(m\))
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(10^{-m}\)
\(\le\)
\(N\)
\(<\)
\(10^{-m+1}\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
②
\(10^{-m}\): erste 1 an der Nachkommastelle \(m\)
\(\le\)
①
\(N\): untersuchte Zahl
\(<\)
③
\(10^{-m+1}\): das Zehnfache dieser Zahl
Die Formel in Worten
①
Ist bei einer Zahl kleiner als 1 die
\(N\): untersuchte Zahl
mindestens so groß wie die
②
\(10^{-m}\): Zahl mit der ersten 1 an der Nachkommastelle \(m\) (in der Form 0,00…01)
und kleiner als
③
\(10^{-m+1}\): das Zehnfache dieser Zahl
, so steht die erste von 0 verschiedene Ziffer von \(N\) an der \(m\)-ten Nachkommastelle
Einfaches Beispiel
Wegen \(\log_{10} 0{,}5^{100} \approx 100 \times (-0{,}3010) = -30{,}10\) gilt
erste 1 an der 31. Nachkommastelle \(10^{-31}\)
\(\le\)
untersuchte Zahl \(0{,}5^{100}\)
\(<\)
das Zehnfache davon \(10^{-30}\)
\(-31 \le -30{,}10 < -30\)
\(10^{-31} \le 0{,}5^{100} < 10^{-30}\)
Der Kerngedanke
Bei Zahlen kleiner als 1 ist der Zehnerlogarithmus negativ (\(\log_{10} 0{,}1 = -1\), \(\log_{10} 0{,}01 = -2\) und so weiter). Der Gedanke ist derselbe wie bei der Stellenzahl: Man schließt \(N\) einfach zwischen zwei Potenzen von 10 ein.
Vorsicht beim „ganzzahligen Anteil einer negativen Zahl“. Hier ist der ganzzahlige Anteil die Gaußklammer, also die nächste ganze Zahl links auf der Zahlengeraden. Der ganzzahlige Anteil von \(-30{,}10\) ist daher \(-31\) und nicht \(-30\). Wer das verwechselt, liegt beim Ergebnis um 1 daneben. In diesem Beispiel gilt \(-31 \le -30{,}10 < -30\), also steht die erste von 0 verschiedene Ziffer von \(0{,}5^{100}\) an der 31. Nachkommastelle.
Eine ganze Zahl \(N\) hat \(n\) Stellen, wenn \(10^{n-1} \le N < 10^n\) gilt. Die Stellenzahl von \(a^k\) ist also einfach der ganzzahlige Anteil des Zehnerlogarithmus \(\log_{10} a^k = k \log_{10} a\) plus 1. Der Nachkommaanteil liefert die führende Ziffer, und bei einer Zahl kleiner als 1 verrät derselbe Gedanke die Nachkommastelle, an der die erste von 0 verschiedene Ziffer steht.
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(\log_{10} N\) | Logarithmus von N zur Basis 10 | Der Zehnerlogarithmus von \(N\) (der Logarithmus zur Basis 10). Er sagt, „10 hoch wie viel ergibt \(N\)“. log steht für Logarithmus. |
| \(N\) | N | Die Zahl, die Sie untersuchen, zum Beispiel auf ihre Stellenzahl. Auf dieser Seite ist das die Potenz \(a^k\). |
| \(a\) | a | Die Basis (die Zahl, die multipliziert wird). Für feste Zahlen nimmt man üblicherweise Buchstaben vom Anfang des Alphabets. |
| \(k\) | k | Der Exponent (wie oft multipliziert wird). Bei \(2^{100}\) ist es die 100. |
| \(n\) | n (klein) | Die Stellenzahl. Der Buchstabe n steht in der Mathematik häufig für eine Anzahl. |
| \(10^n\) | 10 hoch n | 10, \(n\)-mal mit sich selbst multipliziert: eine 1 mit \(n\) Nullen dahinter (\(10^3 = 1000\)). Es ist die kleinste \((n+1)\)-stellige Zahl. |
| \(f\) | f | Der Nachkommaanteil des Zehnerlogarithmus. Die führende Ziffer hängt nur von diesem \(f\) ab. |
| \(d\) | d | Die führende Ziffer (die Ziffer ganz links). Der Buchstabe d steht für „Digit“ (englisch für Ziffer). |
| \(m\) | m | Die Nachkommastelle, an der die erste von 0 verschiedene Ziffer steht. Sie zeigt, „wie klein“ eine Zahl kleiner als 1 ist. |
| \(\lfloor x \rfloor\) | Gaußklammer von x | Die Gaußklammer (Abrundungsfunktion): die größte ganze Zahl, die nicht größer als \(x\) ist (der ganzzahlige Anteil). Vorsicht bei negativen Zahlen: \(\lfloor -30{,}10 \rfloor = -31\). |
Begriffe
| Zehnerlogarithmus (dekadischer Logarithmus) | Der Logarithmus zur Basis 10, \(\log_{10} x\). Er sagt, „10 hoch wie viel ergibt \(x\)“, und hängt bei der Basis 10 direkt mit der Stellenzahl zusammen. Er wird in der Sekundarstufe II behandelt. |
| Logarithmus | Die Zahl, die angibt, mit welcher Hochzahl die Basis den Numerus ergibt. Er ist genau die Umkehrung einer Potenz. |
| Numerus (Argument) | Die Zahl im Innern eines Logarithmus, das \(N\) in \(\log_{10} N\). Nur Zahlen größer als 0 sind erlaubt. |
| Basis | Die Zahl \(a\), auf der eine Potenz \(a^k\) oder ein Logarithmus \(\log_{a} x\) aufbaut. Auf dieser Seite ist es das Feld „Basis a“. Der Zehnerlogarithmus hat die Basis 10. |
| Stellenzahl (Anzahl der Stellen) | Wie viele Ziffern beim Schreiben einer ganzen Zahl erscheinen. 1024 hat 4 Stellen. Mathematisch heißt das: „Eine ganze Zahl, die mindestens \(10^{n-1}\) und kleiner als \(10^n\) ist, hat \(n\) Stellen“. |
| führende Ziffer | Die Ziffer ganz links einer Zahl. Die führende Ziffer von 1024 ist 1. Sie lässt sich aus dem Nachkommaanteil des Zehnerlogarithmus bestimmen. |
| Potenz | Das wiederholte Multiplizieren derselben Zahl mit sich selbst. Wie in \(2^{3} = 2 \times 2 \times 2\) gibt der kleine Exponent oben rechts an, wie oft multipliziert wird. |
| Exponent | Die kleine Zahl oben rechts an einer Potenz, die angibt, wie oft multipliziert wird. Bei \(2^{100}\) ist der Exponent 100. |
| ganzzahliger Anteil (Kennzahl) | Zerlegt man eine Zahl in „die größte ganze Zahl, die nicht größer ist“ (die Gaußklammer) und „den Rest“, ist dies die ganze Zahl. Bei 30,10 ist es 30. Bei \(-30{,}10\) ist es \(-31\), weil der Nachkommaanteil immer mindestens 0 und kleiner als 1 gewählt wird. Beim Zehnerlogarithmus spricht man auch von der Kennzahl. |
| Nachkommaanteil (Mantisse) | Zerlegt man eine Zahl in „die größte ganze Zahl, die nicht größer ist“ und „den Rest“, ist dies der Rest. Bei 30,10 ist es 0,10. Der Nachkommaanteil ist immer mindestens 0 und kleiner als 1, bei \(-30{,}10\) also \(0{,}90\). Beim Zehnerlogarithmus spricht man auch von der Mantisse. |
| Näherungswert | Ein gerundeter Wert nahe dem wahren Wert, mit dem sich leichter rechnen lässt, etwa 0,3010 für \(\log_{10} 2 = 0{,}30102\ldots\). Das Runden hinterlässt einen Fehler, und das Multiplizieren vergrößert ihn. |
| gültige Ziffer | Die Ziffern eines Messwerts oder Näherungswerts, denen man vertrauen kann. 0,3010 ist nur auf 4 Nachkommastellen genau, deshalb sind die feinen Einzelheiten des 10000-Fachen nicht verlässlich. So erklärt sich, warum die Handrechnung auf dieser Seite vom exakten Ergebnis abweichen kann. |
Was Sie vorab wissen sollten
Hier steht, was Ihnen hilft, die Rechnung dieser Seite wirklich zu verstehen und nicht nur den Knopf zu drücken.
Wenn Sie nicht weiterkommen, ist es der schnellste Weg, zu diesen Themen zurückzugehen.
| Potenzen und Exponenten (Klasse 5–6, 10–12 Jahre) |
|
| Erweiterung der Exponenten (Potenzgesetze, Klasse 9–10, 14–16 Jahre) |
|
| Definition des Logarithmus (Klasse 10–11, 15–17 Jahre) |
|
| Logarithmengesetze (Klasse 10–11, 15–17 Jahre) |
|
| Ungleichungen lesen und schreiben (Klasse 7–8, 12–14 Jahre) |
|
| Stellenwerte und Stellen (Klasse 3–4, 8–10 Jahre) |
|
Mit Excel berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle zur Bestimmung der Stellenzahl von a^k
| Basis a | 2 |
| Exponent k | 100 |
| Zehnerlogarithmus k×log10(a) | =B2*LOG10(B1) |
| Stellenzahl (ganzzahliger Anteil + 1) | =GANZZAHL(B3)+1 |
Tabelle zur Bestimmung der führenden Ziffer
| Basis a | 2 |
| Exponent k | 100 |
| Zehnerlogarithmus k×log10(a) | =B2*LOG10(B1) |
| Nachkommaanteil des Zehnerlogarithmus | =B3-GANZZAHL(B3) |
| Führende Ziffer | =GANZZAHL(10^B4) |
Tabelle zur Bestimmung der ersten von 0 verschiedenen Nachkommastelle von a^k (a < 1)
| Basis a (eine Dezimalzahl kleiner als 1) | 0,5 |
| Exponent k | 100 |
| Zehnerlogarithmus k×log10(a) | =B2*LOG10(B1) |
| Nachkommastelle der ersten von 0 verschiedenen Ziffer | =-GANZZAHL(B3) |
Nach dem Einfügen sind die oberen Zeilen (Basis und Exponent) Ihre Eingaben, und die unteren Zeilen zeigen die automatisch berechneten Ergebnisse.
LOG10 ist der Zehnerlogarithmus, und GANZZAHL liefert die größte ganze Zahl, die nicht größer als die Zahl ist (den ganzzahligen Anteil, also die Gaußklammer). GANZZAHL rundet auch bei negativen Zahlen ab (GANZZAHL(-30,1) ergibt -31), daher liefert „=-GANZZAHL(B3)“ in der dritten Tabelle direkt die Nachkommastelle.
Mit den Beispielzahlen zeigt die erste Tabelle 31 (Stellen), die zweite 1 (die führende Ziffer) und die dritte 31 (die 31. Nachkommastelle).
Excel rechnet mit etwa 15 Stellen Genauigkeit. Bei einem sehr großen Exponenten kann die Antwort deshalb in der Nähe einer Potenz von 10 um 1 danebenliegen.
LOG10 ist der Zehnerlogarithmus, und GANZZAHL liefert die größte ganze Zahl, die nicht größer als die Zahl ist (den ganzzahligen Anteil, also die Gaußklammer). GANZZAHL rundet auch bei negativen Zahlen ab (GANZZAHL(-30,1) ergibt -31), daher liefert „=-GANZZAHL(B3)“ in der dritten Tabelle direkt die Nachkommastelle.
Mit den Beispielzahlen zeigt die erste Tabelle 31 (Stellen), die zweite 1 (die führende Ziffer) und die dritte 31 (die 31. Nachkommastelle).
Excel rechnet mit etwa 15 Stellen Genauigkeit. Bei einem sehr großen Exponenten kann die Antwort deshalb in der Nähe einer Potenz von 10 um 1 danebenliegen.
Mit Google Tabellen berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle zur Bestimmung der Stellenzahl von a^k
| Basis a | 2 |
| Exponent k | 100 |
| Zehnerlogarithmus k×log10(a) | =B2*LOG10(B1) |
| Stellenzahl (ganzzahliger Anteil + 1) | =GANZZAHL(B3)+1 |
Tabelle zur Bestimmung der führenden Ziffer
| Basis a | 2 |
| Exponent k | 100 |
| Zehnerlogarithmus k×log10(a) | =B2*LOG10(B1) |
| Nachkommaanteil des Zehnerlogarithmus | =B3-GANZZAHL(B3) |
| Führende Ziffer | =GANZZAHL(10^B4) |
Tabelle zur Bestimmung der ersten von 0 verschiedenen Nachkommastelle von a^k (a < 1)
| Basis a (eine Dezimalzahl kleiner als 1) | 0,5 |
| Exponent k | 100 |
| Zehnerlogarithmus k×log10(a) | =B2*LOG10(B1) |
| Nachkommastelle der ersten von 0 verschiedenen Ziffer | =-GANZZAHL(B3) |
Google Tabellen hat dieselben Funktionen LOG10 und GANZZAHL wie Excel, daher funktionieren genau dieselben Formeln.
Kopieren Sie die gesamte Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Basis und den Exponenten durch Ihre eigenen Zahlen.
Kopieren Sie die gesamte Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Basis und den Exponenten durch Ihre eigenen Zahlen.
Mit Python berechnen
import math
a = 2 # Basis (eine ganze Zahl ab 2)
k = 100 # Exponent (die Potenz)
# Mit dem Zehnerlogarithmus (derselbe Gedanke wie bei der Handrechnung)
log_value = k * math.log10(a)
digit_count = math.floor(log_value) + 1 # ganzzahliger Anteil + 1 = Stellenzahl
fractional = log_value - math.floor(log_value)
leading_digit = math.floor(10 ** fractional) # führende Ziffer aus dem Nachkommaanteil
print(f"Zehnerlogarithmus: {log_value}")
print(f"Stellenzahl: {digit_count}, führende Ziffer: {leading_digit}")
# Exakte Berechnung (Python-Ganzzahlen haben keine Stellengrenze, also lässt sich der vollständige Wert prüfen)
actual = a ** k
print(f"Tatsächliche Stellenzahl: {len(str(actual))}, tatsächliche führende Ziffer: {str(actual)[0]}")
# Bei einer Dezimalzahl kleiner als 1 (welche Nachkommastelle bei 0,5 hoch 100) ist der Zehnerlogarithmus negativ
position = -math.floor(100 * math.log10(0.5))
print(f"Die erste von 0 verschiedene Ziffer von 0,5 hoch 100 steht an der Nachkommastelle {position}")
Läuft nur mit dem Modul math aus der Standardbibliothek. Der entscheidende Punkt ist, für den ganzzahligen Anteil math.floor() statt int() zu verwenden (int() rundet in Richtung 0, daher läge das Ergebnis bei einem negativen Logarithmus um 1 daneben). Ändern Sie a und k oben auf Ihre eigenen Zahlen und führen Sie den Code aus.
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
Zehnerlogarithmus einer Potenz (den Exponenten nach vorn ziehen)
log₁₀(aᵏ) = k log₁₀ a
\log_{10} a^{k} = k \log_{10} a
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>log</mi><mn>10</mn></msub>
<msup><mi>a</mi><mi>k</mi></msup>
<mo>=</mo>
<mi>k</mi>
<msub><mi>log</mi><mn>10</mn></msub>
<mi>a</mi>
</mrow>
</math>
log_10 (a^k) = k log_10 a
Log10[a^k] == k*Log10[a]
log10(a^k) = k*log10(a);
log10(a^k) == k*log10(a)
log_10(a^k) = k log_10(a)
Stellenzahl (\(10^{n-1} \le N < 10^n\) ⇔ \(n\) Stellen)
10ⁿ⁻¹ ≤ N < 10ⁿ
10^{n-1} \le N < 10^{n}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup><mn>10</mn><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup>
<mo>≤</mo>
<mi>N</mi>
<mo><</mo>
<msup><mn>10</mn><mi>n</mi></msup>
</mrow>
</math>
10^(n-1) <= N < 10^n
IntegerLength[a^k]
length(a^k);
floor(log10(a^k)) + 1
10^(n-1) ≤ N < 10^n
Führende Ziffer (aus dem Nachkommaanteil des Zehnerlogarithmus)
log₁₀ d ≤ f < log₁₀(d+1)
\log_{10} d \le f < \log_{10} (d+1)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>log</mi><mn>10</mn></msub>
<mi>d</mi>
<mo>≤</mo>
<mi>f</mi>
<mo><</mo>
<msub><mi>log</mi><mn>10</mn></msub>
<mo>(</mo><mi>d</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo>
</mrow>
</math>
log_10 d <= f < log_10 (d+1)
First[IntegerDigits[a^k]]
trunc(10^frac(k*log10(a)));
floor(10^(mod(k*log10(a), 1)))
log_10(d) ≤ f < log_10(d+1)
Dezimalzahlen kleiner als 1 (\(10^{-m} \le N < 10^{-m+1}\) ⇔ Nachkommastelle \(m\))
10⁻ᵐ ≤ N < 10⁻ᵐ⁺¹
10^{-m} \le N < 10^{-m+1}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup><mn>10</mn><mrow><mo>−</mo><mi>m</mi></mrow></msup>
<mo>≤</mo>
<mi>N</mi>
<mo><</mo>
<msup><mn>10</mn><mrow><mo>−</mo><mi>m</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup>
</mrow>
</math>
10^(-m) <= N < 10^(-m+1)
-Floor[Log10[a^k]]
-floor(log10(a^k));
-floor(log10(a^k))
10^(-m) ≤ N < 10^(-m+1)
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
Sie sind ein Rechenassistent für Zehnerlogarithmen und Stellenzahlen. Führen Sie die folgenden Berechnungen aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort ausschließlich auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (nicht im Kopf rechnen und nicht schätzen). 1. Wie viele Stellen hat 2 hoch 100? Bestimmen Sie sie sowohl, indem Sie zum ganzzahligen Anteil von k × log10(a) die Zahl 1 addieren, als auch durch direktes Zählen mit len(str(2**100)), und prüfen Sie, ob beide Ergebnisse übereinstimmen. 2. Bestimmen Sie die führende Ziffer (die Ziffer ganz links) von 2 hoch 100 aus dem Nachkommaanteil des Zehnerlogarithmus und vergleichen Sie sie mit dem tatsächlichen Wert. 3. An welcher Nachkommastelle steht die erste von 0 verschiedene Ziffer von 0,5 hoch 100? Bestimmen Sie sie mit -floor(100 × log10(0,5)). Nennen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis.
Anleitung
-
1Zahlen eingebenGeben Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
-
2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
-
3Ergebnis ablesenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
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