Geben Sie das Anfangsglied a₁ sowie den Faktor p und die Konstante q der Rekursionsformel a(n+1) = p·a(n) + q ein. Die Formel unten ist mit den Eingabefeldern verknüpft – Sie können die Zahlen auch direkt darin ändern.
Geben Sie nur Zahlen ein. Dezimalzahlen, negative Zahlen und Brüche wie 1/2 sind erlaubt. Bleibt „Stelle n“ leer, wird mit 10 gerechnet.
Ergebnis und Graph
Geben Sie links das Anfangsglied und die Koeffizienten ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis und ein Graph erscheinen dann hier.
Inhaltsverzeichnis
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Das können Sie auf dieser Seite
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Wofür braucht man diese Berechnung?
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Anleitung
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Formeln und Graphen
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Symbole und Begriffe
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Das sollten Sie vorher wissen
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So berechnen Sie es in Excel
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So berechnen Sie es in Google Tabellen
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So berechnen Sie es in Python
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So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
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So lassen Sie ChatGPT rechnen
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Die Vorteile von DataChef
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Das können Sie auf dieser Seite
- Bestimmt zur linearen Rekursion erster Ordnung \(a_{n+1} = p a_n + q\) (mit dem Anfangsglied \(a_1\)) sofort die explizite Darstellung – mit einem Rechenweg, der die Folge über den Fixpunkt in eine geometrische Folge umformt
- Die Ergebnisse sind exakte, vollständig gekürzte Brüche wie \(\dfrac{381}{64}\). Die Sonderfälle \(p = 1\) (arithmetische Folge) und \(q = 0\) (geometrische Folge) werden automatisch erkannt
- Außerdem sehen Sie den Wert an der gewählten Stelle \(n\) (das \(n\)-te Glied) sowie eine Wertetabelle und einen Graphen vom 1. bis zum 10. Glied. Konvergiert die Folge, erfahren Sie auch, welchem Wert sie sich nähert (den Grenzwert, der gleich dem Fixpunkt ist)
- Anfangsglied und Koeffizienten dürfen Dezimalzahlen, negative Zahlen oder Brüche wie 1/2 sein
- Der Rechner zeigt die Rekursionsformel so, wie Sie sie von Hand schreiben würden, und Sie können die Zahlen direkt darin ändern
- Dazu finden Sie eine leicht verständliche Erklärung der Formeln sowie Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python
Behandelt wird die lineare Rekursion erster Ordnung \(a_{n+1} = p a_n + q\) (\(p\) und \(q\) sind Konstanten). Formen, in denen \(n\) selbst vorkommt (etwa \(a_{n+1} = a_n + n\)), und Rekursionen zweiter Ordnung mit \(a_{n+2}\) werden nicht unterstützt.
Wofür braucht man diese Berechnung?
Wie die Restschuld eines Kredits Monat für Monat sinkt (Geld und Finanzplanung)
Bei einem Darlehen, für das jeden Monat Zinsen anfallen und das jeden Monat mit einer festen Rate getilgt wird, entwickelt sich die Restschuld genau nach der linearen Rekursion erster Ordnung „Restschuld im nächsten Monat = (1 + Monatszins) × Restschuld in diesem Monat − Monatsrate“.
Bei einem Sollzins von 0,3 % pro Monat (3,6 % pro Jahr) und einer Monatsrate von 1.500 € liegt der Fixpunkt bei 1.500 ÷ 0,003 = 500.000 €. Bei dieser Darlehenssumme gleichen sich Zinsen und Rate genau aus, und die Restschuld bewegt sich nicht. Liegt die Restschuld darunter, sinkt sie mit jeder Rate sicher (dieser Ausgleich ist die Grundidee jedes Tilgungsplans).
Wo sich der Spiegel eines täglich eingenommenen Medikaments einpendelt (Medizin und Pharmazie)
Der Körper baut ein Medikament mit der Zeit gleichmäßig ab. Im Modell „nach einem Tag ist noch 50 % des Wirkstoffs im Körper, und Sie nehmen jeden Tag 200 mg ein“ folgt die Menge im Körper der Rekursionsformel \(a_{n+1} = 0{,}5a_n + 200\) und konvergiert gegen den Fixpunkt (hier ein Gleichgewichtswert) 200 ÷ (1 − 0,5) = 400 mg.
Die Formel zeigt: Selbst bei täglicher Einnahme steigt die Menge nicht endlos, sondern pendelt sich auf einem festen Niveau ein. In der Praxis legt man Dosis und Abstände mit pharmakokinetischen Modellen fest, die diese Rechnung genauer machen.
Wo die Mitgliederzahl eines Abos stagniert (Wirtschaft)
Bei einem Dienst, bei dem „jeden Monat 90 % der Mitglieder bleiben und 1.000 neue dazukommen“, folgt die Mitgliederzahl der Rekursionsformel \(a_{n+1} = 0{,}9a_n + 1000\) und konvergiert gegen den Fixpunkt 1.000 ÷ (1 − 0,9) = 10.000 Mitglieder.
Bleiben Neuanmeldungen und Kündigungsquote gleich, stagniert die Zahl also bei etwa 10.000. Ein einfaches Planungsmodell, um die Obergrenze des Wachstums abzuschätzen – und wie weit sie steigt, wenn die Kündigungsquote sinkt (eine grobe Orientierung, die konstante Bleibequote und Neuanmeldungen voraussetzt).
Wie sich ein Raum beim Heizen erwärmt (Alltag und Physik)
Heizen Sie einen kalten Raum, schrumpft der Unterschied zwischen Raumtemperatur und eingestellter Temperatur jede Minute um einen festen Prozentsatz. Gilt etwa „jede Minute verringert sich der Abstand zur Einstellung 20 °C um 10 %“, folgt die Raumtemperatur der Rekursionsformel \(a_{n+1} = 0{,}9a_n + 2\) und konvergiert gegen den Fixpunkt 2 ÷ 0,1 = 20 °C, die eingestellte Temperatur.
„Erst wird es schnell warm, dann immer langsamer, je näher man der Einstellung kommt“ – genau so sieht Konvergenz bei dieser Rekursion aus (in der Physik ist es eine minutenweise Fassung des newtonschen Abkühlungsgesetzes; im Unterricht heißt dieses Muster beschränktes Wachstum).
Das Wachstum eines Sparplans als Formel (Geld und Vermögensaufbau)
Das Guthaben eines Sparplans, bei dem „am Ende jedes Monats Zinsen gutgeschrieben werden und Sie zusätzlich jeden Monat einen festen Betrag einzahlen“, folgt derselben Art von Rekursionsformel: „Guthaben im nächsten Monat = (1 + Monatszins) × Guthaben in diesem Monat + Sparrate“. Hier ist der Faktor aber größer als 1, die Folge konvergiert also nicht, und das Guthaben wächst immer weiter (ein Beispiel, das divergiert).
Mit der expliziten Darstellung berechnen Sie „das Guthaben nach n Monaten“ in einem Schritt. Sie entspricht der Rentenendwertformel der Finanzmathematik – Sparrechner arbeiten mit genau dieser Formel.
Formeln und Graphen
Lineare Rekursion erster Ordnung
Graph
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(a_{n+1}\)
\(=\)
\(p\)
\(\times\)
\(a_n\)
\(+\)
\(q\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
④
\(a_{n+1}\): nächstes Glied
\(=\)
②
\(p\): Faktor
\(\times\)
①
\(a_n\): aktuelles Glied
\(+\)
③
\(q\): addierte Zahl
Die Formel in Worten
①
Multipliziert man das
\(a_n\): aktuelles Glied
mit dem
②
\(p\): Faktor
und addiert die
③
\(q\): addierte Zahl
,
④
erhält man das
\(a_{n+1}\): nächstes Glied
.
Einfaches Beispiel
Mit dem Anfangsglied \(a_1 = 1\) und der Rekursionsformel \(a_{n+1} = 2a_n + 3\) (aktuelles Glied verdoppeln und 3 addieren) beginnt die Folge so
nächstes Glied
\(=\)
2
\(\times\)
aktuelles Glied
\(+\)
3
\(a_2 = 2 \times 1 + 3 = 5\)
\(a_3 = 2 \times 5 + 3 = 13\)
\(a_4 = 2 \times 13 + 3 = 29\)
Der Grundgedanke
Eine Rekursionsformel ist eine Regel, die aus dem aktuellen Glied das nächste macht. Mit dem Anfangsglied \(a_1\) und der Regel ergibt sich die ganze Folge \(a_2\), \(a_3\), … der Reihe nach.
Um so das 100. Glied zu finden, müssten Sie aber 99-mal rechnen. Deshalb sucht man die explizite Darstellung, eine Formel, die das \(n\)-te Glied direkt aus \(n\) liefert. Das Werkzeug dafür ist der Fixpunkt, der als Nächstes erklärt wird.
Die Fixpunktgleichung und der Fixpunkt
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(c\)
\(=\)
\(q\)
\(\div\)
\(1 - p\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(c\): Fixpunkt
\(=\)
①
\(q\): addierte Zahl
\(\div\)
②
\(1 - p\): 1 minus Faktor \(p\)
Die Formel in Worten
①
Ersetzt man in der Rekursionsformel \(a_{n+1}\) und \(a_n\) beide durch \(x\) und löst die Gleichung \(x = px + q\) (die Fixpunktgleichung), so teilt man die
\(q\): addierte Zahl
durch
②
\(1 - p\): 1 minus Faktor \(p\)
und erhält den
③
\(c\): Fixpunkt
.
Einfaches Beispiel
Die Fixpunktgleichung der Rekursionsformel \(a_{n+1} = 2a_n + 3\) lautet \(x = 2x + 3\). Lösen ergibt
\(c\): Fixpunkt
\(=\)
addierte Zahl (3)
\(\div\)
\(1 - 2\)
\(x = 2x + 3\)
\(x - 2x = 3\)
\(-x = 3\)
\(x = -3\)
\(c = \dfrac{3}{1-2} = -3\)
Der Grundgedanke
Die Lösung \(c\) der Fixpunktgleichung \(x = px + q\) ist ein besonderer Wert: Hat ein Glied einmal diesen Wert, hat auch das nächste genau denselben Wert (denn \(c = pc + q\), die Folge bleibt also ab \(c\) bei \(c\)). Daher heißt er Fixpunkt der Folge – der Punkt, an dem sie stillsteht. In der Hochschulmathematik nennt man die Gleichung auch charakteristische Gleichung.
Sie können die Gleichung durch Umformen lösen oder direkt die Formel \(c = \dfrac{q}{1-p}\) verwenden. Weil im Nenner \(1 - p\) steht, versagt die Formel nur bei \(p = 1\) (das ist eine arithmetische Folge, siehe die eigene Formelkarte weiter unten).
Umformen mit dem Fixpunkt (eine geometrische Folge erzeugen)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(a_{n+1} - c\)
\(=\)
\(p\)
\(\times\)
\((a_n - c)\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(a_{n+1} - c\): Abstand des nächsten Glieds zum Fixpunkt
\(=\)
②
\(p\): Faktor
\(\times\)
①
\(a_n - c\): Abstand des aktuellen Glieds zum Fixpunkt
Die Formel in Worten
①
Multipliziert man den
\(a_n - c\): Abstand des aktuellen Glieds zum Fixpunkt
mit dem
②
\(p\): Faktor
,
③
erhält man den
\(a_{n+1} - c\): Abstand des nächsten Glieds zum Fixpunkt
(die Abstände allein bilden also eine geometrische Folge mit dem Quotienten \(p\))
Einfaches Beispiel
Umformen der Rekursionsformel \(a_{n+1} = 2a_n + 3\) (Fixpunkt \(c = -3\)) ergibt
nächstes Glied \(+\,3\)
\(=\)
2
\(\times\)
aktuelles Glied \(+\,3\)
\(a_{n+1} + 3 = 2\left(a_n + 3\right)\)
\(a_1 + 3 = 4,\quad a_2 + 3 = 8,\quad a_3 + 3 = 16\)
Der Grundgedanke
Ziehen Sie die Fixpunktgleichung \(c = pc + q\) seitenweise von der Rekursionsformel \(a_{n+1} = p a_n + q\) ab (linke Seite minus linke Seite, rechte Seite minus rechte Seite). Die addierte Zahl \(q\) fällt weg, übrig bleibt nur \(a_{n+1} - c = p(a_n - c)\).
Die Folge der Abstände \(\{a_n - c\}\) – jedes Glied minus den Fixpunkt \(c\) – ist also eine geometrische Folge, die jedes Mal nur mit \(p\) multipliziert. Ziel der Umformung ist, eine schwer handhabbare Rekursion mit zusätzlicher Addition in eine vertraute geometrische Folge zu verwandeln.
Im Beispiel ist \(c = -3\), der Abstand also \(a_n - (-3) = a_n + 3\). Er verläuft wie \(4 ; 8 ; 16 ; \ldots\) und verdoppelt sich wie erwartet jedes Mal.
Explizite Darstellung (Lösung über den Fixpunkt)
Graph
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(a_n\)
\(=\)
\((a_1 - c)\)
\(\times\)
\(p^{n-1}\)
\(+\)
\(c\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
④
\(a_n\): \(n\)-tes Glied (explizit)
\(=\)
①
\(a_1 - c\): Abstand des Anfangsglieds zum Fixpunkt
\(\times\)
②
\(p^{n-1}\): Faktor \(p\), \((n-1)\)-mal multipliziert
\(+\)
③
\(c\): Fixpunkt
Die Formel in Worten
①
Multipliziert man den
\(a_1 - c\): Abstand des Anfangsglieds zum Fixpunkt
mit
②
\(p^{n-1}\): Faktor \(p\), \((n-1)\)-mal multipliziert
und addiert den
③
\(c\): Fixpunkt
wieder,
④
erhält man das
\(a_n\): \(n\)-tes Glied (explizit)
.
Einfaches Beispiel
Mit dem Anfangsglied \(a_1 = 1\) und der Rekursionsformel \(a_{n+1} = 2a_n + 3\) (Fixpunkt \(c = -3\)) lautet die explizite Darstellung
\(n\)-tes Glied
\(=\)
Abstand \(1 - (-3) = 4\)
\(\times\)
\(2^{n-1}\)
\(+\)
Fixpunkt \(-3\)
\(a_n = \left(1 - (-3)\right) \times 2^{n-1} + (-3) = 4 \cdot 2^{n-1} - 3\)
\(a_1 = 4 \times 1 - 3 = 1,\quad a_2 = 4 \times 2 - 3 = 5,\quad a_3 = 4 \times 4 - 3 = 13\)
Der Grundgedanke
Die durch die Umformung entstandene geometrische Folge \(\{a_n - c\}\) hat das Anfangsglied \(a_1 - c\) und den Quotienten \(p\). Nach der expliziten Formel für geometrische Folgen gilt also \(a_n - c = (a_1 - c)p^{n-1}\). Addieren Sie zum Schluss das abgezogene \(c\) wieder (auf die andere Seite bringen), erhalten Sie diese explizite Darstellung.
Ist \(|p| < 1\) (\(p\) liegt zwischen \(-1\) und \(1\)), geht \(p^{n-1}\) für wachsendes \(n\) gegen 0, und \(a_n\) nähert sich immer mehr dem Fixpunkt \(c\) (die Folge konvergiert). In diesem Fall zeigt der Rechner \(c\) als Grenzwert an.
Der Fall \(p = 1\) (arithmetische Folge)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(a_n\)
\(=\)
\(a_1\)
\(+\)
\((n-1)q\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(a_n\): \(n\)-tes Glied (explizit)
\(=\)
①
\(a_1\): Anfangsglied
\(+\)
②
\((n-1)q\): Differenz \(q\), \((n-1)\)-mal addiert
Die Formel in Worten
①
Bei \(p = 1\) lautet die Rekursionsformel \(a_{n+1} = a_n + q\) (es wird jedes Mal nur \(q\) addiert). Addiert man also zum
\(a_1\): Anfangsglied
die
②
\((n-1)q\): Differenz \(q\), \((n-1)\)-mal addiert
,
③
erhält man das
\(a_n\): \(n\)-tes Glied (explizit)
.
Einfaches Beispiel
Mit dem Anfangsglied \(a_1 = 5\) und der Rekursionsformel \(a_{n+1} = a_n + 3\) (eine arithmetische Folge mit der Differenz 3) lauten die explizite Darstellung und das 4. Glied
\(n\)-tes Glied
\(=\)
Anfangsglied (5)
\(+\)
\(3\), \((n-1)\)-mal
\(a_n = 5 + (n-1) \times 3 = 3n + 2\)
\(a_4 = 3 \times 4 + 2 = 14\)
Der Grundgedanke
Bei \(p = 1\) wird der Nenner \(1 - p\) der Fixpunktformel 0, die Formel für den Fixpunkt lässt sich also nicht anwenden. Dafür addiert die Rekursionsformel jedes Mal nur dieselbe Zahl \(q\), die Folge ist also einfach eine arithmetische Folge mit der Differenz \(q\).
Vom 1. bis zum \(n\)-ten Glied addieren Sie \(q\) so oft, wie es Lücken zwischen den Gliedern gibt: \((n-1)\)-mal (vom 1. bis zum 4. Glied sind es 3-mal; \(n\)-mal zu zählen ist ein häufiger Fehler).
Der Fall \(q = 0\) (geometrische Folge)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(a_n\)
\(=\)
\(a_1\)
\(\times\)
\(p^{n-1}\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(a_n\): \(n\)-tes Glied (explizit)
\(=\)
①
\(a_1\): Anfangsglied
\(\times\)
②
\(p^{n-1}\): Quotient \(p\), \((n-1)\)-mal multipliziert
Die Formel in Worten
①
Bei \(q = 0\) lautet die Rekursionsformel \(a_{n+1} = p a_n\) (es wird jedes Mal nur mit \(p\) multipliziert). Multipliziert man also das
\(a_1\): Anfangsglied
mit
②
\(p^{n-1}\): Quotient \(p\), \((n-1)\)-mal multipliziert
,
③
erhält man das
\(a_n\): \(n\)-tes Glied (explizit)
.
Einfaches Beispiel
Mit dem Anfangsglied \(a_1 = 3\) und der Rekursionsformel \(a_{n+1} = 2a_n\) (eine geometrische Folge mit dem Quotienten 2) lauten die explizite Darstellung und das 4. Glied
\(n\)-tes Glied
\(=\)
Anfangsglied (3)
\(\times\)
\(2^{n-1}\)
\(a_n = 3 \times 2^{n-1}\)
\(a_4 = 3 \times 2^{3} = 3 \times 8 = 24\)
Der Grundgedanke
Bei \(q = 0\) multipliziert die Rekursionsformel jedes Mal nur mit derselben Zahl \(p\), die Folge ist also einfach eine geometrische Folge mit dem Quotienten \(p\). Aus demselben Grund wie im arithmetischen Fall wird \((n-1)\)-mal multipliziert.
Setzt man übrigens in der expliziten Darstellung über den Fixpunkt \(q = 0\), ist der Fixpunkt \(c = 0\) und \(a_n = (a_1 - 0)p^{n-1} + 0 = a_1 p^{n-1}\). Diese Formel ist also ein Sonderfall der allgemeinen.
Die lineare Rekursion erster Ordnung \(a_{n+1} = p a_n + q\) formt man mit der Lösung der Fixpunktgleichung \(x = px + q\) (dem Fixpunkt \(c = \dfrac{q}{1-p}\)) zu \(a_{n+1} - c = p(a_n - c)\) um. Die Folge der Abstände \(\{a_n - c\}\) ist dann geometrisch mit dem Quotienten \(p\), und es ergibt sich die explizite Darstellung \(a_n = (a_1 - c)p^{n-1} + c\). Bei \(p = 1\) ist es eine arithmetische Folge, bei \(q = 0\) eine geometrische Folge.
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(a_n\) | a n | Das \(n\)-te Glied der Folge, von vorn gezählt. Für Folgen nimmt man oft den Buchstaben \(a\) (angeblich, weil er der erste des Alphabets ist). Der kleine Index \(n\) rechts unten gibt die Stelle an. |
| \(a_{n+1}\) | a n plus eins | Das Glied direkt nach dem \(n\)-ten, also das \((n+1)\)-te Glied. In einer Rekursionsformel ist es „das nächste Glied nach dem aktuellen Glied \(a_n\)“. |
| \(a_1\) | a eins | Das erste Glied der Folge (das Anfangsglied). Eine Rekursionsformel macht aus dem aktuellen Glied das nächste – ohne festgelegten Startpunkt, das Anfangsglied, ist die Folge also nicht bestimmt. |
| \(n\) | n | Die Stelle eines Glieds (das Wievielte von vorn). Üblich ist \(n\) wie „Nummer“. Es nimmt die Werte 1 ; 2 ; 3 ; … an (natürliche Zahlen). |
| \(p\) | p | Der konstante Faktor, mit dem das aktuelle Glied \(a_n\) multipliziert wird. Er spielt die Rolle des Quotienten einer geometrischen Folge. Liegt er zwischen \(-1\) und \(1\), konvergiert die Folge gegen den Fixpunkt. |
| \(q\) | q | Die Konstante, die nach dem Multiplizieren addiert wird. Sie spielt die Rolle der Differenz einer arithmetischen Folge. \(q\) ist einfach der Buchstabe nach \(p\). Vorsicht: In vielen Schulbüchern heißt der Quotient einer geometrischen Folge \(q\) – auf dieser Seite ist \(q\) dagegen die addierte Zahl. |
| \(c\) | c | Die Lösung der Fixpunktgleichung \(x = px + q\) (der Fixpunkt). \(c\) steht für „Konstante“. Ein besonderer Wert: Hat ein Glied ihn erreicht, bleibt auch das nächste dabei. Zugleich ist er das Ziel einer konvergierenden Folge. |
| \(\{a_n\}\) | Folge a n | Schreibweise für die ganze Folge aus den Gliedern \(a_n\). Die geschweiften Klammern bedeuten „alle \(a_1 ; a_2 ; a_3 ; \ldots\) zusammengenommen“ (oft auch \((a_n)\) geschrieben). |
| \(p^{n-1}\) | p hoch n minus eins | \(p\), \((n-1)\)-mal mit sich selbst multipliziert (eine Potenz). Die kleine Zahl rechts oben (der Exponent) gibt an, wie oft multipliziert wird. Vom 1. bis zum \(n\)-ten Glied multipliziert man \((n-1)\)-mal mit dem Quotienten, deshalb taucht diese Form in der expliziten Darstellung auf. |
| \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n\) | Limes von a n für n gegen unendlich | Der Wert, dem sich \(a_n\) nähert, wenn \(n\) unbegrenzt wächst (der Grenzwert). \(\lim\) kommt vom lateinischen „limes“ (Grenze). Dieser Rechner zeigt den Grenzwert an, wenn die Folge konvergiert. |
Begriffe
| Folge | Zahlen in einer festen Reihenfolge (Zahlenfolge). Jede Zahl heißt Glied, und die Glieder werden durchnummeriert: \(a_1 ; a_2 ; a_3 ; \ldots\) |
| Glied | Jede einzelne Zahl einer Folge (Folgenglied). Das an der Stelle \(n\) heißt \(n\)-tes Glied. |
| Anfangsglied | Das erste Glied \(a_1\) einer Folge. Es ist der Startpunkt, wenn eine Rekursionsformel die Folge festlegt. |
| Rekursionsformel (rekursive Darstellung) | Eine Formel für die Regel, die aus dem aktuellen Glied das nächste macht. \(a_{n+1} = 2a_n + 3\) bedeutet z. B. „das nächste Glied ist das aktuelle Glied verdoppelt plus 3“. Zusammen mit dem Anfangsglied legt sie die ganze Folge fest. |
| lineare Rekursion erster Ordnung | Eine Rekursionsformel, in der nur zwei benachbarte Glieder vorkommen (\(a_n\) und \(a_{n+1}\)). Das \(a_{n+1} = p a_n + q\) auf dieser Seite ist die typische Form. Kommen drei Glieder \(a_n\), \(a_{n+1}\), \(a_{n+2}\) vor, spricht man von einer Rekursion zweiter Ordnung; sie wird anders gelöst. |
| explizite Darstellung (explizite Formel) | Das \(n\)-te Glied direkt als Formel in \(n\). Kennt man z. B. \(a_n = 4 \cdot 2^{n-1} - 3\), ist selbst das 100. Glied mit einem Schritt berechnet: einfach \(n = 100\) einsetzen. |
| arithmetische Folge | Eine Folge, bei der die Differenz benachbarter Glieder immer gleich ist (es wird jedes Mal dieselbe Zahl addiert). \(5 ; 8 ; 11 ; 14 ; \ldots\) ist eine arithmetische Folge mit der Differenz 3. Bei dieser Rekursion ist es der Fall \(p = 1\). |
| Differenz | Die feste Zahl, die eine arithmetische Folge jedes Mal addiert (in Schulbüchern meist \(d\)). In der Rekursionsformel dieser Seite übernimmt \(q\) diese Rolle, wenn \(p = 1\) ist. |
| geometrische Folge | Eine Folge, bei der der Quotient benachbarter Glieder immer gleich ist (es wird jedes Mal mit derselben Zahl multipliziert). \(3 ; 6 ; 12 ; 24 ; \ldots\) ist eine geometrische Folge mit dem Quotienten 2. Bei dieser Rekursion ist es der Fall \(q = 0\). |
| Quotient | Die feste Zahl, mit der eine geometrische Folge jedes Mal multipliziert. In der Rekursionsformel dieser Seite übernimmt \(p\) diese Rolle. |
| Fixpunktgleichung (charakteristische Gleichung) | Die Gleichung \(x = px + q\), die entsteht, wenn man in der Rekursionsformel \(a_{n+1}\) und \(a_n\) durch denselben Buchstaben \(x\) ersetzt. Mit ihrer Lösung (dem Fixpunkt) lässt sich die Rekursion in eine geometrische Folge umformen. |
| Fixpunkt | Die Lösung \(c = \dfrac{q}{1-p}\) der Fixpunktgleichung. Der Punkt, an dem die Folge stillsteht: Hat ein Glied diesen Wert, bleibt auch das nächste dabei. Konvergiert die Folge, ist er zugleich ihr Ziel (der Grenzwert). |
| Gleichgewichtswert | In Anwendungen heißt der Fixpunkt oft Gleichgewichtswert, Sättigungsgrenze oder Grenzbestand – ein Wert, der sich beim Anwenden der Regel nicht mehr ändert (\(c = pc + q\)). In der Schule begegnet er Ihnen beim beschränkten Wachstum, im Studium bei der Untersuchung wiederholt angewandter Funktionen. |
| konvergieren | Mit wachsendem \(n\) kommen die Glieder einem festen Wert immer näher. Diese Rekursion konvergiert gegen den Fixpunkt \(c\), wenn \(|p| < 1\) ist (\(p\) liegt zwischen \(-1\) und \(1\)). |
| Grenzwert | Der Wert, dem sich eine konvergierende Folge nähert. Man schreibt \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n\). Ausführlich behandelt wird er in der Analysis der Oberstufe, hier genügt die Vorstellung „das Ziel, dem die Glieder immer näher kommen“. |
| divergieren | Nicht konvergieren. Dazu gehören Glieder, die über alle Grenzen wachsen (oder fallen), und Glieder, die hin und her springen, ohne sich auf einen Wert einzupendeln. Diese Rekursion divergiert bei \(|p| > 1\), außer sie startet genau im Fixpunkt. |
Das sollten Sie vorher wissen
Hier steht, was Ihnen hilft, die Berechnung auf dieser Seite wirklich zu verstehen – nicht nur auf den Knopf zu drücken.
Wenn Sie hängen bleiben, ist eine Wiederholung dieser Themen der schnellste Weg weiter.
| Was eine Folge ist (Klasse 10–11, 15–17 Jahre) |
|
| Arithmetische und geometrische Folgen (Klasse 10–11, 15–17 Jahre) |
|
| Lineare Gleichungen lösen (Klasse 7–8, 12–14 Jahre) |
|
| Potenzen und Exponenten (Klasse 5–10, 10–16 Jahre) |
|
| Bruchrechnung (Klasse 5–7, 10–13 Jahre) |
|
So berechnen Sie es in Excel
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle für das n-te Glied über die explizite Darstellung (Lösung über den Fixpunkt)
| Anfangsglied a1 | 1 |
| Faktor p | 2 |
| Konstante q | 3 |
| Stelle n | 10 |
| Fixpunkt c = q/(1−p) | =B3/(1-B2) |
| Abstand Anfangsglied – Fixpunkt a1−c | =B1-B5 |
| n-tes Glied (a1−c)×p^(n−1)+c | =B6*B2^(B4-1)+B5 |
Tabelle, die die Rekursionsformel Schritt für Schritt anwendet (1. bis 10. Glied)
| Faktor p | 2 |
| Konstante q | 3 |
| 1. Glied a1 | 1 |
| 2. Glied | =B1*B3+B2 |
| 3. Glied | =B1*B4+B2 |
| 4. Glied | =B1*B5+B2 |
| 5. Glied | =B1*B6+B2 |
| 6. Glied | =B1*B7+B2 |
| 7. Glied | =B1*B8+B2 |
| 8. Glied | =B1*B9+B2 |
| 9. Glied | =B1*B10+B2 |
| 10. Glied | =B1*B11+B2 |
Tabelle für das n-te Glied im Fall p = 1 (arithmetische Folge)
| Anfangsglied a1 | 5 |
| Differenz q | 3 |
| Stelle n | 4 |
| n-tes Glied a1+(n−1)q | =B1+(B3-1)*B2 |
Tabelle für das n-te Glied im Fall q = 0 (geometrische Folge)
| Anfangsglied a1 | 3 |
| Quotient p | 2 |
| Stelle n | 4 |
| n-tes Glied a1×p^(n−1) | =B1*B2^(B3-1) |
Nach dem Einfügen sind die oberen Zeilen (Anfangsglied und Koeffizienten) die Eingaben, die unteren Zeilen zeigen die berechneten Ergebnisse. „^“ steht für eine Potenz, „*“ für die Multiplikation.
Die erste Tabelle berechnet mit der expliziten Darstellung das 10. Glied der Folge mit dem Anfangsglied 1 und der Rekursionsformel a(n+1) = 2a(n) + 3. Der Fixpunkt c ist −3, das Ergebnis 2045. Bei p = 1 funktionieren die Formeln dieser Tabelle nicht (1−p wird 0, man würde durch 0 teilen) – nehmen Sie dann die dritte Tabelle.
Die zweite Tabelle berechnet dieselbe Folge Schritt für Schritt genau so, wie es die Rekursionsformel vorgibt. So können Sie prüfen, dass das 10. Glied wie in der ersten Tabelle 2045 ist.
Die dritte Tabelle ist ein Beispiel für den arithmetischen Fall (Anfangsglied 5, Differenz 3, 4. Glied = 14), die vierte eines für den geometrischen Fall (Anfangsglied 3, Quotient 2, 4. Glied = 24).
Die erste Tabelle berechnet mit der expliziten Darstellung das 10. Glied der Folge mit dem Anfangsglied 1 und der Rekursionsformel a(n+1) = 2a(n) + 3. Der Fixpunkt c ist −3, das Ergebnis 2045. Bei p = 1 funktionieren die Formeln dieser Tabelle nicht (1−p wird 0, man würde durch 0 teilen) – nehmen Sie dann die dritte Tabelle.
Die zweite Tabelle berechnet dieselbe Folge Schritt für Schritt genau so, wie es die Rekursionsformel vorgibt. So können Sie prüfen, dass das 10. Glied wie in der ersten Tabelle 2045 ist.
Die dritte Tabelle ist ein Beispiel für den arithmetischen Fall (Anfangsglied 5, Differenz 3, 4. Glied = 14), die vierte eines für den geometrischen Fall (Anfangsglied 3, Quotient 2, 4. Glied = 24).
So berechnen Sie es in Google Tabellen
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle für das n-te Glied über die explizite Darstellung (Lösung über den Fixpunkt)
| Anfangsglied a1 | 1 |
| Faktor p | 2 |
| Konstante q | 3 |
| Stelle n | 10 |
| Fixpunkt c = q/(1−p) | =B3/(1-B2) |
| Abstand Anfangsglied – Fixpunkt a1−c | =B1-B5 |
| n-tes Glied (a1−c)×p^(n−1)+c | =B6*B2^(B4-1)+B5 |
Tabelle, die die Rekursionsformel Schritt für Schritt anwendet (1. bis 10. Glied)
| Faktor p | 2 |
| Konstante q | 3 |
| 1. Glied a1 | 1 |
| 2. Glied | =B1*B3+B2 |
| 3. Glied | =B1*B4+B2 |
| 4. Glied | =B1*B5+B2 |
| 5. Glied | =B1*B6+B2 |
| 6. Glied | =B1*B7+B2 |
| 7. Glied | =B1*B8+B2 |
| 8. Glied | =B1*B9+B2 |
| 9. Glied | =B1*B10+B2 |
| 10. Glied | =B1*B11+B2 |
Tabelle für das n-te Glied im Fall p = 1 (arithmetische Folge)
| Anfangsglied a1 | 5 |
| Differenz q | 3 |
| Stelle n | 4 |
| n-tes Glied a1+(n−1)q | =B1+(B3-1)*B2 |
Tabelle für das n-te Glied im Fall q = 0 (geometrische Folge)
| Anfangsglied a1 | 3 |
| Quotient p | 2 |
| Stelle n | 4 |
| n-tes Glied a1×p^(n−1) | =B1*B2^(B3-1) |
Dieselben Formeln wie in Excel funktionieren unverändert. Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie Anfangsglied und Koeffizienten durch Ihre eigenen Zahlen.
So berechnen Sie es in Python
from fractions import Fraction
first_term = Fraction(1) # Anfangsglied a1 (auch Brüche möglich, z. B. Fraction(1, 2))
coefficient = Fraction(2) # Faktor p (mal a_n)
constant = Fraction(3) # Konstante q (addiert)
term_number = 10 # Stelle n des gesuchten Glieds
# 1. bis 10. Glied der Reihe nach mit der Rekursionsformel berechnen
terms = [first_term]
for _ in range(9):
terms.append(coefficient * terms[-1] + constant)
print("1. bis 10. Glied:", ", ".join(str(t) for t in terms))
# n-tes Glied (Rekursionsformel (n-1)-mal anwenden)
nth_term = first_term
for _ in range(term_number - 1):
nth_term = coefficient * nth_term + constant
print(f"{term_number}. Glied: {nth_term} (als Dezimalzahl: {float(nth_term)})")
# Ist p nicht 1, liefert auch der Fixpunkt c = q/(1-p) die explizite Darstellung
if coefficient != 1:
fixed_point = constant / (1 - coefficient)
start_diff = first_term - fixed_point
print(f"Fixpunkt c: {fixed_point}")
print(f"Explizite Darstellung: a_n = ({start_diff})*({coefficient})^(n-1) + ({fixed_point})")
Mit dem Modul fractions aus der Standardbibliothek rechnen Sie mit exakten Brüchen, ganz ohne Rundungsfehler. Das Beispiel ist die Folge mit dem Anfangsglied 1 und der Rekursionsformel a(n+1) = 2a(n) + 3. Die Ausgabe zeigt das 1. bis 10. Glied (1, 5, 13, …, 2045), das 10. Glied = 2045, den Fixpunkt −3 und die explizite Darstellung a_n = (4)*(2)^(n-1) + (-3) (vereinfacht 4·2^(n−1) − 3). Ändern Sie Anfangsglied und Koeffizienten und führen Sie den Code erneut aus.
So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
Lineare Rekursion erster Ordnung
aₙ₊₁ = p·aₙ + q
a_{n+1} = p a_n + q
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>a</mi><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub>
<mo>=</mo>
<mi>p</mi>
<msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub>
<mo>+</mo>
<mi>q</mi>
</mrow>
</math>
a_(n+1) = p a_n + q
RSolve[{a[n + 1] == p a[n] + q, a[1] == a1}, a[n], n]
rsolve({a(n+1) = p*a(n) + q, a(1) = a1}, a(n));
a(n+1) = p*a(n) + q
a_(n+1) = p a_n + q
Die Fixpunktgleichung und der Fixpunkt
c = q/(1 − p)
c = \dfrac{q}{1-p}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>c</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mi>q</mi>
<mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><mi>p</mi></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
c = q/(1-p)
c = q/(1 - p)
c := q/(1 - p);
c = q/(1 - p);
c = q/(1 − p)
Umformen mit dem Fixpunkt (eine geometrische Folge erzeugen)
aₙ₊₁ − c = p(aₙ − c)
a_{n+1} - c = p(a_n - c)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>a</mi><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub>
<mo>−</mo><mi>c</mi>
<mo>=</mo>
<mi>p</mi>
<mo>(</mo>
<msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub>
<mo>−</mo><mi>c</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
</math>
a_(n+1) - c = p(a_n - c)
a[n + 1] - c == p (a[n] - c)
a(n+1) - c = p*(a(n) - c);
a(n+1) - c = p*(a(n) - c)
a_(n+1) − c = p(a_n − c)
Explizite Darstellung (Lösung über den Fixpunkt)
aₙ = (a₁ − c)·pⁿ⁻¹ + c
a_n = (a_1 - c)p^{n-1} + c
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub>
<mo>=</mo>
<mo>(</mo>
<msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>−</mo><mi>c</mi>
<mo>)</mo>
<msup><mi>p</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup>
<mo>+</mo>
<mi>c</mi>
</mrow>
</math>
a_n = (a_1 - c)p^(n-1) + c
a[n_] := (a1 - c) p^(n - 1) + c
a := n -> (a1 - c)*p^(n-1) + c;
a_n = (a1 - c)*p^(n-1) + c;
a_n = (a_1 − c)p^(n−1) + c
Der Fall \(p = 1\) (arithmetische Folge)
aₙ = a₁ + (n − 1)q
a_n = a_1 + (n-1)q
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub>
<mo>=</mo>
<msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>+</mo>
<mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo>
<mi>q</mi>
</mrow>
</math>
a_n = a_1 + (n-1)q
a[n_] := a1 + (n - 1) q
a := n -> a1 + (n-1)*q;
a_n = a1 + (n-1)*q;
a_n = a_1 + (n − 1)q
Der Fall \(q = 0\) (geometrische Folge)
aₙ = a₁·pⁿ⁻¹
a_n = a_1 p^{n-1}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub>
<mo>=</mo>
<msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub>
<msup><mi>p</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup>
</mrow>
</math>
a_n = a_1 p^(n-1)
a[n_] := a1 p^(n - 1)
a := n -> a1*p^(n-1);
a_n = a1*p^(n-1);
a_n = a_1 p^(n−1)
So lassen Sie ChatGPT rechnen
Sie sind ein Rechenassistent für Mathematik (Folgen und Rekursionsformeln). Führen Sie die folgenden Berechnungen aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (nicht im Kopf rechnen und nicht schätzen). Geben Sie für die Folge mit dem Anfangsglied a_1 = 1 und der Rekursionsformel a_(n+1) = 2·a_n + 3 Folgendes an. 1. Die Lösung der Fixpunktgleichung x = 2x + 3 (den Fixpunkt c) 2. Die explizite Darstellung a_n (mit dem Rechenweg, der die Folge mithilfe von c in eine geometrische Folge umformt) 3. Die Werte des 1. bis 10. Glieds und den Wert des 10. Glieds 4. Konvergiert diese Folge? (Falls ja, geben Sie auch den Grenzwert an.) Rechnen Sie in Python mit dem Modul fractions aus der Standardbibliothek exakt und geben Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis an. Antworten Sie auf Deutsch.
Anleitung
-
1Werte eingebenTragen Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
-
2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
-
3Ergebnis ansehenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
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Keine vorherige Genehmigung erforderlich
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Verwandte Funktionen
Arithmetische Folge berechnen – n-tes Glied und Summe (arithmetische Reihe)
Berechnet aus Anfangsglied, Differenz und Anzahl der Glieder das n-te Glied und die Summe der ersten n Glieder (eine Folge, die jedes Mal dieselbe Zahl addiert – der Fall p = 1 dieser Rekursion)
Geometrische Folge berechnen – n-tes Glied, Summe und unendliche geometrische Reihe
Berechnet aus Anfangsglied, Quotient und Anzahl der Glieder das n-te Glied und die Summe der ersten n Glieder (eine Folge, die jedes Mal mit derselben Zahl multipliziert – der Fall q = 0 dieser Rekursion)
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