Geben Sie das Anfangsglied a₁ sowie den Koeffizienten p und die Konstante q der rekursiven Darstellung a(n+1) = p·a(n) + q ein. Die Formel unten ist mit den Eingabefeldern verknüpft, Sie können also auch direkt darin die Zahlen ändern.
Dezimalzahlen, negative Zahlen und Brüche wie 1/2 sind erlaubt. Bleibt „Nummer n des gesuchten Glieds“ leer, wird 10 verwendet.
Ergebnis und Diagramm
Geben Sie links das Anfangsglied und die Koeffizienten ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis und ein Diagramm erscheinen hier.
Inhaltsverzeichnis
[
Schließen X
Öffnen
]
-
Was Sie auf dieser Seite tun können
-
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
-
Anleitung
-
Formeln und Diagramme
-
Symbole und Begriffe
-
Was Sie vorab wissen sollten
-
Mit Excel berechnen
-
Mit Google Tabellen berechnen
-
Mit Python berechnen
-
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
-
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
-
Die Vorteile von DataChef
-
Verwandte Funktionen
-
Alle NumberChef-Rechner
Was Sie auf dieser Seite tun können
- Berechnet auf der Stelle die explizite Darstellung der Rekursion erster Ordnung \(a_{n+1} = p a_n + q\) (mit dem Anfangsglied \(a_1\)), mit einem Rechenweg, der über die Fixpunktgleichung eine geometrische Folge daraus macht
- Die Ergebnisse sind exakte, gekürzte Brüche wie \(\dfrac{381}{64}\). Die Sonderfälle \(p = 1\) (arithmetische Folge) und \(q = 0\) (geometrische Folge) werden automatisch berücksichtigt
- Angezeigt werden außerdem der Wert des Glieds mit der von Ihnen gewählten Nummer \(n\) (das \(n\)-te Glied) sowie eine Tabelle und ein Diagramm der Glieder 1 bis 10. Konvergiert die Folge, erfahren Sie auch den Wert, dem sie sich nähert (der Grenzwert, der zugleich der Fixpunkt ist)
- Das Anfangsglied und die Koeffizienten dürfen Dezimalzahlen, negative Zahlen oder Brüche wie 1/2 sein
- Der Rechner zeigt die rekursive Darstellung so, wie Sie sie von Hand schreiben würden, und Sie können die Zahlen direkt darin ändern
- Eine leicht verständliche Erklärung der Formeln sowie Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python finden Sie ebenfalls auf dieser Seite
Diese Seite behandelt die Rekursion erster Ordnung \(a_{n+1} = p a_n + q\) (\(p\) und \(q\) sind Konstanten). Formen, die \(n\) enthalten, etwa \(a_{n+1} = a_n + n\), sowie rekursive Darstellungen zweiter Ordnung mit \(a_{n+2}\) werden nicht unterstützt.
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
Verfolgen, wie sich der Kreditrestbetrag jeden Monat verringert (Geld und Lebensplanung)
Bei einem Kredit, der jeden Monat verzinst und mit einem festen Betrag zurückgezahlt wird, entwickelt sich der Restbetrag genau nach der Rekursion erster Ordnung „Restbetrag im nächsten Monat = (1 + Monatszinssatz) × Restbetrag in diesem Monat − Monatsrate“.
Bei einem Monatszinssatz von 0,25 % (etwa 3 % im Jahr) und einer Monatsrate von 750 € ist der Fixpunkt zum Beispiel 750 ÷ 0,0025 = 300.000 Euro. Das ist der Kreditbetrag, bei dem sich Zinsen und Rate genau die Waage halten und der Restbetrag sich nicht mehr bewegt. Liegt der Restbetrag darunter, sinkt er mit jeder Rate sicher weiter (dieser Gedanke ist die Grundlage der Tilgungsplanung).
Abschätzen, bei welchem Wert sich die Menge eines täglich eingenommenen Medikaments einpendelt (Medizin und Pharmazie)
Der Körper baut ein Medikament mit der Zeit gleichmäßig ab und scheidet es aus. In einem Modell, in dem „nach einem Tag noch 50 % des Medikaments im Körper sind und Sie jeden Tag 200 mg einnehmen“, folgt die Menge im Körper der rekursiven Darstellung \(a_{n+1} = 0{,}5a_n + 200\) und konvergiert gegen den Fixpunkt 200 ÷ (1 − 0,5) = 400 mg.
Diese Formel zeigt, dass sich das Medikament selbst bei täglicher Einnahme nicht unbegrenzt anhäuft, sondern sich bei einem gleichbleibenden Wert einpendelt. In der echten Arzneimittelentwicklung werden Dosis und Abstand mit pharmakokinetischen Modellen festgelegt, die solche Rechnungen noch genauer machen.
Wo die Mitgliederzahl eines Abonnements ein Plateau erreicht (Wirtschaft)
Bei einem Dienst, bei dem „90 % der Mitglieder jeden Monat bleiben und 1.000 neue Personen dazukommen“, folgt die Mitgliederzahl der rekursiven Darstellung \(a_{n+1} = 0{,}9a_n + 1000\) und konvergiert gegen den Fixpunkt 1000 ÷ (1 − 0,9) = 10.000 Personen.
Bleiben Neuanmeldungen und Kündigungsquote gleich, pendelt sich die Mitgliederzahl also bei etwa 10.000 ein. Das ist ein grundlegendes Modell der Unternehmensplanung, um die Obergrenze des Wachstums abzuschätzen und wie viel höher diese Obergrenze liegt, wenn Sie die Kündigungsquote senken (ein grober Anhaltspunkt unter der Annahme, dass Bleibequote und Neuanmeldungen konstant bleiben).
Wie sich ein Raum mit eingeschalteter Heizung erwärmt (Alltag und Physik)
Wenn Sie einen kalten Raum heizen, schrumpft der Abstand zwischen der Raumtemperatur und der am Thermostat eingestellten Temperatur jede Minute um einen festen Prozentsatz. Wenn zum Beispiel „der Abstand zwischen der Raumtemperatur und der Einstellung von 25 °C jede Minute um 10 % schrumpft“, folgt die Raumtemperatur der rekursiven Darstellung \(a_{n+1} = 0{,}9a_n + 2{,}5\) und konvergiert gegen den Fixpunkt 2,5 ÷ 0,1 = 25 °C, die Einstellung des Thermostats.
„Zuerst wird es schnell warm, dann immer langsamer, je näher es der Einstellung kommt“ ist genau das, wie Konvergenz bei dieser rekursiven Darstellung aussieht (in der Physik ist das eine Minutenversion des Newtonschen Abkühlungsgesetzes).
Das Wachstum eines Sparplans als Formel schreiben (Geld und Vermögensaufbau)
Das Guthaben eines Sparplans, bei dem „am Ende jedes Monats Zinsen gutgeschrieben werden und Sie außerdem jeden Monat einen festen Betrag einzahlen“, folgt derselben Art von rekursiver Darstellung: „Guthaben im nächsten Monat = (1 + Monatszinssatz) × Guthaben in diesem Monat + Einzahlung“. Hier ist der Faktor allerdings größer als 1, die Folge konvergiert also nicht, und das Guthaben wächst immer weiter (ein Beispiel für Divergenz).
Mit der expliziten Darstellung lässt sich „das Guthaben nach n Monaten“ in einem Schritt berechnen. Sie entspricht der Sparkassenformel für den Endwert regelmäßiger Einzahlungen. Schätzungen, wie viel Sie sparen werden, beruhen auf der expliziten Darstellung dieser rekursiven Darstellung.
Formeln und Diagramme
Rekursion erster Ordnung
Diagramm
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(a_{n+1}\)
\(=\)
\(p\)
\(\times\)
\(a_n\)
\(+\)
\(q\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
④
\(a_{n+1}\): nächstes Glied
\(=\)
②
\(p\): Faktor
\(\times\)
①
\(a_n\): aktuelles Glied
\(+\)
③
\(q\): Summand
Die Formel in Worten
①
Nehmen Sie das
\(a_n\): aktuelles Glied
, multiplizieren Sie es mit dem
②
\(p\): Faktor
, addieren Sie den
③
\(q\): Summand
,
④
und Sie erhalten das
\(a_{n+1}\): nächstes Glied
Einfaches Beispiel
Mit dem Anfangsglied \(a_1 = 1\) und der rekursiven Darstellung \(a_{n+1} = 2a_n + 3\) (das aktuelle Glied verdoppeln und 3 addieren) beginnt die Folge so
nächstes Glied
\(=\)
2
\(\times\)
aktuelles Glied
\(+\)
3
\(a_2 = 2 \times 1 + 3 = 5\)
\(a_3 = 2 \times 5 + 3 = 13\)
\(a_4 = 2 \times 13 + 3 = 29\)
Der Kerngedanke
Eine rekursive Darstellung ist eine Regel, die aus dem aktuellen Glied das nächste bildet. Mit dem Anfangsglied \(a_1\) und der Regel ergibt sich die ganze Folge \(a_2\), \(a_3\), … der Reihe nach.
Um auf diese Weise das 100. Glied zu erhalten, müssten Sie aber 99-mal rechnen. Deshalb möchte man die explizite Darstellung haben, eine Formel, die das \(n\)-te Glied direkt aus \(n\) liefert. Das Werkzeug dafür ist die Fixpunktgleichung, die als Nächstes erklärt wird.
Die Fixpunktgleichung und der Fixpunkt
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(c\)
\(=\)
\(q\)
\(\div\)
\(1 - p\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(c\): Fixpunkt
\(=\)
①
\(q\): Summand
\(\div\)
②
\(1 - p\): 1 minus Faktor \(p\)
Die Formel in Worten
①
Ersetzen Sie in der rekursiven Darstellung \(a_{n+1}\) und \(a_n\) beide durch \(x\) und lösen Sie die Gleichung \(x = px + q\) (die Fixpunktgleichung). Teilen Sie den
\(q\): Summand
durch
②
\(1 - p\): 1 minus Faktor \(p\)
,
③
und Sie erhalten den
\(c\): Fixpunkt
Einfaches Beispiel
Die Fixpunktgleichung der rekursiven Darstellung \(a_{n+1} = 2a_n + 3\) ist \(x = 2x + 3\). Lösen ergibt
\(c\): Fixpunkt
\(=\)
Summand (3)
\(\div\)
\(1 - 2\)
\(x = 2x + 3\)
\(x - 2x = 3\)
\(-x = 3\)
\(x = -3\)
\(c = \dfrac{3}{1-2} = -3\)
Der Kerngedanke
Die Lösung \(c\) der Fixpunktgleichung \(x = px + q\) ist ein besonderer Wert: Ist ein Glied einmal gleich diesem Wert, ist das nächste Glied genau derselbe Wert (denn \(c = pc + q\), die Folge bleibt also ab \(c\) bei \(c\) stehen). Deshalb heißt \(c\) der Fixpunkt der Folge, der „Punkt, der sich nicht bewegt“.
Sie können die Gleichung durch Umformen lösen oder einfach die Formel \(c = \dfrac{q}{1-p}\) verwenden. Weil im Nenner \(1 - p\) steht, funktioniert die Fixpunktgleichung nur für \(p = 1\) nicht (dieser Fall ist eine arithmetische Folge, die eine eigene Formelkarte weiter unten hat).
Umformung mit dem Fixpunkt (Aufbau einer geometrischen Folge)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(a_{n+1} - c\)
\(=\)
\(p\)
\(\times\)
\((a_n - c)\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(a_{n+1} - c\): Abstand des nächsten Glieds vom Fixpunkt
\(=\)
②
\(p\): Faktor
\(\times\)
①
\(a_n - c\): Abstand des aktuellen Glieds vom Fixpunkt
Die Formel in Worten
①
Multiplizieren Sie den
\(a_n - c\): Abstand des aktuellen Glieds vom Fixpunkt
mit dem
②
\(p\): Faktor
,
③
und Sie erhalten den
\(a_{n+1} - c\): Abstand des nächsten Glieds vom Fixpunkt
(betrachtet man nur die Abstände, bilden sie eine geometrische Folge mit dem Quotienten \(p\))
Einfaches Beispiel
Die rekursive Darstellung \(a_{n+1} = 2a_n + 3\) (Fixpunkt \(c = -3\)) lässt sich umformen zu
nächstes Glied \(+\,3\)
\(=\)
2
\(\times\)
aktuelles Glied \(+\,3\)
\(a_{n+1} + 3 = 2\left(a_n + 3\right)\)
\(a_1 + 3 = 4,\quad a_2 + 3 = 8,\quad a_3 + 3 = 16\)
Der Kerngedanke
Ziehen Sie die Fixpunktgleichung \(c = pc + q\) Seite für Seite von der rekursiven Darstellung \(a_{n+1} = p a_n + q\) ab (linke Seite minus linke Seite, rechte Seite minus rechte Seite). Der Summand \(q\) fällt weg, und es bleibt nur \(a_{n+1} - c = p(a_n - c)\) übrig.
Die Folge der Abstände \(\{a_n - c\}\), also jedes Glied minus dem Fixpunkt \(c\), ist damit eine geometrische Folge, die jedes Mal nur mit \(p\) multipliziert. Ziel dieser Umformung ist es, eine schwer zu handhabende rekursive Darstellung mit einer Addition in eine vertraute geometrische Folge zu verwandeln.
Im Beispiel ist \(c = -3\), der Abstand ist also \(a_n - (-3) = a_n + 3\), und er lautet \(4,\ 8,\ 16,\ \dots\), verdoppelt sich also jedes Mal, wie erwartet.
Explizite Darstellung (Fall der Fixpunktgleichung)
Diagramm
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(a_n\)
\(=\)
\((a_1 - c)\)
\(\times\)
\(p^{n-1}\)
\(+\)
\(c\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
④
\(a_n\): \(n\)-tes Glied (explizite Darstellung)
\(=\)
①
\(a_1 - c\): Abstand des Anfangsglieds vom Fixpunkt
\(\times\)
②
\(p^{n-1}\): der Faktor \(p\), \(n-1\)-mal multipliziert
\(+\)
③
\(c\): Fixpunkt
Die Formel in Worten
①
Multiplizieren Sie den
\(a_1 - c\): Abstand des Anfangsglieds vom Fixpunkt
mit
②
\(p^{n-1}\): der Faktor \(p\), \(n-1\)-mal multipliziert
, addieren Sie den
③
\(c\): Fixpunkt
wieder hinzu,
④
und Sie erhalten das
\(a_n\): \(n\)-tes Glied (explizite Darstellung)
Einfaches Beispiel
Mit dem Anfangsglied \(a_1 = 1\) und der rekursiven Darstellung \(a_{n+1} = 2a_n + 3\) (Fixpunkt \(c = -3\)) lautet die explizite Darstellung
\(n\)-tes Glied
\(=\)
Abstand \(1 - (-3) = 4\)
\(\times\)
\(2^{n-1}\)
\(+\)
Fixpunkt \(-3\)
\(a_n = \left(1 - (-3)\right) \times 2^{n-1} + (-3) = 4 \cdot 2^{n-1} - 3\)
\(a_1 = 4 \times 1 - 3 = 1,\quad a_2 = 4 \times 2 - 3 = 5,\quad a_3 = 4 \times 4 - 3 = 13\)
Der Kerngedanke
Die geometrische Folge \(\{a_n - c\}\) aus der Umformung hat das Anfangsglied \(a_1 - c\) und den Quotienten \(p\), nach der Formel für das \(n\)-te Glied einer geometrischen Folge gilt also \(a_n - c = (a_1 - c)p^{n-1}\). Addieren Sie zum Schluss das \(c\) wieder hinzu, das Sie abgezogen hatten (auf die andere Seite bringen), und Sie erhalten diese explizite Darstellung.
Ist \(|p| < 1\) (\(p\) liegt zwischen \(-1\) und \(1\)), kommt \(p^{n-1}\) mit wachsendem \(n\) immer näher an 0, also nähert sich \(a_n\) immer mehr dem Fixpunkt \(c\) (die Folge konvergiert). Wenn die Folge konvergiert, zeigt dieser Rechner \(c\) als Grenzwert an.
Der Fall \(p = 1\) (arithmetische Folge)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(a_n\)
\(=\)
\(a_1\)
\(+\)
\((n-1)q\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(a_n\): \(n\)-tes Glied (explizite Darstellung)
\(=\)
①
\(a_1\): Anfangsglied
\(+\)
②
\((n-1)q\): die Differenz \(q\), \(n-1\)-mal addiert
Die Formel in Worten
①
Für \(p = 1\) lautet die rekursive Darstellung \(a_{n+1} = a_n + q\) (es wird jedes Mal nur \(q\) addiert). Addieren Sie also zum
\(a_1\): Anfangsglied
die
②
\((n-1)q\): die Differenz \(q\), \(n-1\)-mal addiert
,
③
und Sie erhalten das
\(a_n\): \(n\)-tes Glied (explizite Darstellung)
Einfaches Beispiel
Mit dem Anfangsglied \(a_1 = 5\) und der rekursiven Darstellung \(a_{n+1} = a_n + 3\) (eine arithmetische Folge mit der Differenz 3) sind die explizite Darstellung und das 4. Glied
\(n\)-tes Glied
\(=\)
Anfangsglied (5)
\(+\)
\(3\), \(n-1\)-mal addiert
\(a_n = 5 + (n-1) \times 3 = 3n + 2\)
\(a_4 = 3 \times 4 + 2 = 14\)
Der Kerngedanke
Für \(p = 1\) wird der Nenner \(1 - p\) der Fixpunktgleichung gleich 0, der Fixpunkt lässt sich also nicht verwenden. Stattdessen addiert die rekursive Darstellung jedes Mal dieselbe Zahl \(q\), die Folge ist also einfach eine arithmetische Folge mit der Differenz \(q\).
Vom 1. bis zum \(n\)-ten Glied addieren Sie \(q\) so oft, wie es Lücken zwischen den Gliedern gibt, also \(n-1\)-mal (vom 1. zum 4. Glied sind es 3-mal; \(n\)-mal zu zählen ist ein häufiger Fehler).
Der Fall \(q = 0\) (geometrische Folge)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(a_n\)
\(=\)
\(a_1\)
\(\times\)
\(p^{n-1}\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(a_n\): \(n\)-tes Glied (explizite Darstellung)
\(=\)
①
\(a_1\): Anfangsglied
\(\times\)
②
\(p^{n-1}\): der Quotient \(p\), \(n-1\)-mal multipliziert
Die Formel in Worten
①
Für \(q = 0\) lautet die rekursive Darstellung \(a_{n+1} = p a_n\) (es wird jedes Mal nur mit \(p\) multipliziert). Multiplizieren Sie also das
\(a_1\): Anfangsglied
mit
②
\(p^{n-1}\): der Quotient \(p\), \(n-1\)-mal multipliziert
,
③
und Sie erhalten das
\(a_n\): \(n\)-tes Glied (explizite Darstellung)
Einfaches Beispiel
Mit dem Anfangsglied \(a_1 = 3\) und der rekursiven Darstellung \(a_{n+1} = 2a_n\) (eine geometrische Folge mit dem Quotienten 2) sind die explizite Darstellung und das 4. Glied
\(n\)-tes Glied
\(=\)
Anfangsglied (3)
\(\times\)
\(2^{n-1}\)
\(a_n = 3 \times 2^{n-1}\)
\(a_4 = 3 \times 2^{3} = 3 \times 8 = 24\)
Der Kerngedanke
Für \(q = 0\) multipliziert die rekursive Darstellung jedes Mal nur mit derselben Zahl \(p\), die Folge ist also einfach eine geometrische Folge mit dem Quotienten \(p\). Aus demselben Grund wie bei der arithmetischen Folge multiplizieren Sie \(n-1\)-mal.
Setzt man in der expliziten Darstellung für den Fall der Fixpunktgleichung \(q = 0\), ergibt sich der Fixpunkt \(c = 0\) und \(a_n = (a_1 - 0)p^{n-1} + 0 = a_1 p^{n-1}\). Diese Formel ist also ein Sonderfall jener Formel.
Bei der Rekursion erster Ordnung \(a_{n+1} = p a_n + q\) nutzen Sie die Lösung der Fixpunktgleichung \(x = px + q\) (den Fixpunkt \(c = \dfrac{q}{1-p}\)), um sie als \(a_{n+1} - c = p(a_n - c)\) umzuschreiben. Die Folge der Abstände \(\{a_n - c\}\) ist dann geometrisch mit dem Quotienten \(p\), woraus sich die explizite Darstellung \(a_n = (a_1 - c)p^{n-1} + c\) ergibt. Für \(p = 1\) ist es eine arithmetische Folge, für \(q = 0\) eine geometrische Folge.
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(a_n\) | a Index n | Das \(n\)-te Glied der Folge, vom Anfang aus gezählt. Für Folgen wird oft der Buchstabe \(a\) verwendet (angeblich, weil er der erste Buchstabe des Alphabets ist). Der kleine Index \(n\) unten rechts sagt, das wievielte Glied gemeint ist. |
| \(a_{n+1}\) | a Index n plus 1 | Das Glied direkt nach dem \(n\)-ten Glied, also das \((n+1)\)-te Glied. In einer rekursiven Darstellung spielt es die Rolle „das nächste Glied nach dem aktuellen Glied \(a_n\)“. |
| \(a_1\) | a Index 1 | Das Anfangsglied der Folge. Eine rekursive Darstellung ist eine Regel, die aus dem aktuellen Glied das nächste bildet, die Folge ist also erst festgelegt, wenn ihr Startpunkt, das Anfangsglied, gegeben ist. |
| \(n\) | n | Die Nummer eines Glieds (das wievielte vom Anfang). Üblich ist \(n\), von „Nummer“. Es nimmt die Werte 1, 2, 3, … (natürliche Zahlen) an. |
| \(p\) | p | Die Konstante, mit der das aktuelle Glied \(a_n\) multipliziert wird. Sie spielt die Rolle des Quotienten einer geometrischen Folge. Liegt sie zwischen \(-1\) und \(1\), konvergiert die Folge gegen den Fixpunkt. |
| \(q\) | q | Die Konstante, die nach dem Multiplizieren addiert wird. Sie spielt die Rolle der Differenz einer arithmetischen Folge. Üblich ist, \(q\) als den Buchstaben nach \(p\) zu verwenden. |
| \(c\) | c | Die Lösung der Fixpunktgleichung \(x = px + q\) (der Fixpunkt). Der Buchstabe \(c\) steht für „Konstante“. Es ist ein besonderer Wert: Ist ein Glied einmal gleich diesem Wert, bleibt das nächste Glied gleich. Er ist auch das Ziel einer konvergierenden Folge. |
| \(\{a_n\}\) | die Folge a Index n | Eine Schreibweise für die ganze Folge aus den Gliedern \(a_n\). Die geschweiften Klammern bedeuten „alle \(a_1, a_2, a_3, \dots\) zusammengenommen“. |
| \(p^{n-1}\) | p hoch n minus 1 | \(p\), \(n-1\)-mal mit sich selbst multipliziert (eine Potenz). Die kleine Zahl oben rechts (der Exponent) gibt an, wie oft multipliziert wird. Vom 1. bis zum \(n\)-ten Glied multiplizieren Sie \(n-1\)-mal mit dem Quotienten, deshalb erscheint diese Form in der expliziten Darstellung. |
| \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n\) | Limes von a Index n für n gegen unendlich | Der Wert, dem sich \(a_n\) nähert, wenn \(n\) über alle Grenzen wächst (der Grenzwert). \(\lim\) sind die ersten drei Buchstaben von „Limes“. Dieser Rechner zeigt den Grenzwert an, wenn die Folge konvergiert. |
Begriffe
| Zahlenfolge | Zahlen, die in einer festen Reihenfolge aufgelistet sind. Jede Zahl heißt Glied, und die Glieder werden nummeriert, etwa \(a_1, a_2, a_3, \dots\). Man sagt kurz auch „Folge“. |
| Glied | Jede einzelne Zahl in einer Zahlenfolge. Das Glied an der Stelle \(n\) vom Anfang heißt \(n\)-tes Glied. |
| Anfangsglied | Das erste Glied \(a_1\) einer Zahlenfolge. Es ist der Startpunkt, wenn eine rekursive Darstellung eine Folge festlegt. |
| rekursive Darstellung | Eine Formel für die Regel, die aus dem aktuellen Glied das nächste bildet, auch Rekursionsformel oder Rekursionsgleichung genannt. Zum Beispiel ist \(a_{n+1} = 2a_n + 3\) die Regel „das nächste Glied ist das aktuelle Glied verdoppelt plus 3“. Zusammen mit dem Anfangsglied legt sie die ganze Folge fest. |
| Rekursion erster Ordnung | Eine rekursive Darstellung, die nur mit zwei benachbarten Gliedern (\(a_n\) und \(a_{n+1}\)) geschrieben ist. Das \(a_{n+1} = p a_n + q\) auf dieser Seite ist die typische Form (eine lineare Rekursion erster Ordnung). Eine mit drei Gliedern \(a_n,\ a_{n+1},\ a_{n+2}\) heißt Rekursion zweiter Ordnung und wird anders gelöst. |
| explizite Darstellung | Das \(n\)-te Glied, direkt als Formel in \(n\) geschrieben (auch allgemeines Glied genannt). Haben Sie zum Beispiel \(a_n = 4 \cdot 2^{n-1} - 3\) gefunden, genügt selbst für das 100. Glied ein Schritt: einfach \(n = 100\) einsetzen. |
| arithmetische Folge | Eine Zahlenfolge, bei der die Differenz benachbarter Glieder immer gleich ist (es wird jedes Mal dieselbe Zahl addiert). \(5, 8, 11, 14, \dots\) ist eine arithmetische Folge mit der Differenz 3. In der rekursiven Darstellung ist das der Fall \(p = 1\). |
| konstante Differenz | Die feste Zahl, die eine arithmetische Folge jedes Mal addiert. In der rekursiven Darstellung auf dieser Seite übernimmt \(q\) diese Rolle, wenn \(p = 1\) ist. |
| geometrische Folge | Eine Zahlenfolge, bei der der Quotient benachbarter Glieder immer gleich ist (es wird jedes Mal mit derselben Zahl multipliziert). \(3, 6, 12, 24, \dots\) ist eine geometrische Folge mit dem Quotienten 2. In der rekursiven Darstellung ist das der Fall \(q = 0\). |
| konstanter Quotient | Die feste Zahl, mit der eine geometrische Folge jedes Mal multipliziert. In der rekursiven Darstellung auf dieser Seite übernimmt \(p\) diese Rolle. |
| Fixpunktgleichung | Die Gleichung \(x = px + q\), die Sie erhalten, wenn Sie in der rekursiven Darstellung \(a_{n+1}\) und \(a_n\) beide durch denselben Buchstaben \(x\) ersetzen. Mit ihrer Lösung (dem Fixpunkt) lässt sich die rekursive Darstellung in eine geometrische Folge umformen. |
| Fixpunkt | Die Lösung \(c = \dfrac{q}{1-p}\) der Fixpunktgleichung. Es ist der Punkt, an dem sich die Folge nicht mehr bewegt: Ist ein Glied einmal gleich diesem Wert, bleibt das nächste Glied gleich (\(c = pc + q\)). Konvergiert die Folge, ist er auch ihr Ziel (der Grenzwert). Allgemein nennt man einen Wert, der sich beim Anwenden der Regel nicht ändert, einen Fixpunkt; in der Hochschulmathematik werden Rekursionen und wiederholte Funktionen aus diesem Blickwinkel untersucht. |
| Konvergenz | Wenn \(n\) wächst, kommen die Glieder einem festen Wert immer näher (die Folge konvergiert). Diese rekursive Darstellung konvergiert gegen den Fixpunkt \(c\), wenn \(|p| < 1\) ist (\(p\) liegt zwischen \(-1\) und \(1\)). |
| Grenzwert | Der Wert, dem sich eine konvergierende Folge nähert. Er wird \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n\) geschrieben. Grenzwerte werden in der Analysis der Oberstufe ausführlich behandelt, hier reicht die Vorstellung „das Ziel, dem die Glieder immer näher kommen“. |
| Divergenz | Nicht zu konvergieren. Gemeint sind Glieder, die über alle Grenzen wachsen (oder fallen), und Glieder, die zwischen Werten hin- und herschwingen, ohne sich auf einen Wert einzupendeln. Diese rekursive Darstellung divergiert für \(|p| > 1\), außer sie beginnt genau beim Fixpunkt. |
Was Sie vorab wissen sollten
Hier finden Sie zusammengestellt, was Ihnen hilft, die Berechnung auf dieser Seite mit echtem Verständnis zu nutzen und nicht nur den Knopf zu drücken.
Wenn Sie nicht weiterkommen, ist es der schnellste Weg, diese Themen noch einmal zu wiederholen.
| Was eine Folge ist (Oberstufe, Klasse 10–11, 15–17 Jahre) |
|
| Arithmetische und geometrische Folgen (Oberstufe, Klasse 10–11, 15–17 Jahre) |
|
| Lineare Gleichungen lösen (Klasse 7–8, 12–14 Jahre) |
|
| Potenzen und Exponenten (Klasse 7–8, 12–14 Jahre) |
|
| Bruchrechnen (Klasse 5–6, 10–12 Jahre) |
|
Mit Excel berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle zur Berechnung des n-ten Glieds mit der expliziten Darstellung (Fall der Fixpunktgleichung)
| Anfangsglied a1 | 1 |
| Koeffizient p | 2 |
| Konstante q | 3 |
| Nummer n des gesuchten Glieds | 10 |
| Fixpunkt c = q/(1−p) | =B3/(1-B2) |
| Abstand zwischen Anfangsglied und c, a1−c | =B1-B5 |
| n-tes Glied (a1−c)×p^(n−1)+c | =B6*B2^(B4-1)+B5 |
Tabelle, die der rekursiven Darstellung Schritt für Schritt folgt (Glieder 1–10)
| Koeffizient p | 2 |
| Konstante q | 3 |
| 1. Glied, a1 | 1 |
| 2. Glied | =B1*B3+B2 |
| 3. Glied | =B1*B4+B2 |
| 4. Glied | =B1*B5+B2 |
| 5. Glied | =B1*B6+B2 |
| 6. Glied | =B1*B7+B2 |
| 7. Glied | =B1*B8+B2 |
| 8. Glied | =B1*B9+B2 |
| 9. Glied | =B1*B10+B2 |
| 10. Glied | =B1*B11+B2 |
Tabelle zur Berechnung des n-ten Glieds für p = 1 (arithmetische Folge)
| Anfangsglied a1 | 5 |
| Differenz q | 3 |
| Nummer n des gesuchten Glieds | 4 |
| n-tes Glied a1+(n−1)q | =B1+(B3-1)*B2 |
Tabelle zur Berechnung des n-ten Glieds für q = 0 (geometrische Folge)
| Anfangsglied a1 | 3 |
| Quotient p | 2 |
| Nummer n des gesuchten Glieds | 4 |
| n-tes Glied a1×p^(n−1) | =B1*B2^(B3-1) |
Nach dem Einfügen sind die oberen Zeilen (Anfangsglied und Koeffizienten) die Eingaben, und die unteren Zeilen zeigen die berechneten Ergebnisse. „^“ ist eine Potenz und „*“ die Multiplikation.
Die erste Tabelle berechnet mit der expliziten Darstellung das 10. Glied der Folge mit dem Anfangsglied 1 und der rekursiven Darstellung a(n+1) = 2a(n) + 3. Der Fixpunkt c ist −3, und das Ergebnis ist 2045. Die Formeln dieser Tabelle funktionieren für p = 1 nicht (1−p wird 0, Sie würden durch 0 teilen). Verwenden Sie dann die dritte Tabelle.
Die zweite Tabelle berechnet dieselbe Folge Schritt für Schritt, genau wie es die rekursive Darstellung sagt, sodass Sie prüfen können, dass das 10. Glied 2045 ist, genau wie in der ersten Tabelle.
Die dritte Tabelle ist ein Beispiel für den arithmetischen Fall (Anfangsglied 5, Differenz 3, 4. Glied = 14), die vierte für den geometrischen Fall (Anfangsglied 3, Quotient 2, 4. Glied = 24).
Die erste Tabelle berechnet mit der expliziten Darstellung das 10. Glied der Folge mit dem Anfangsglied 1 und der rekursiven Darstellung a(n+1) = 2a(n) + 3. Der Fixpunkt c ist −3, und das Ergebnis ist 2045. Die Formeln dieser Tabelle funktionieren für p = 1 nicht (1−p wird 0, Sie würden durch 0 teilen). Verwenden Sie dann die dritte Tabelle.
Die zweite Tabelle berechnet dieselbe Folge Schritt für Schritt, genau wie es die rekursive Darstellung sagt, sodass Sie prüfen können, dass das 10. Glied 2045 ist, genau wie in der ersten Tabelle.
Die dritte Tabelle ist ein Beispiel für den arithmetischen Fall (Anfangsglied 5, Differenz 3, 4. Glied = 14), die vierte für den geometrischen Fall (Anfangsglied 3, Quotient 2, 4. Glied = 24).
Mit Google Tabellen berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle zur Berechnung des n-ten Glieds mit der expliziten Darstellung (Fall der Fixpunktgleichung)
| Anfangsglied a1 | 1 |
| Koeffizient p | 2 |
| Konstante q | 3 |
| Nummer n des gesuchten Glieds | 10 |
| Fixpunkt c = q/(1−p) | =B3/(1-B2) |
| Abstand zwischen Anfangsglied und c, a1−c | =B1-B5 |
| n-tes Glied (a1−c)×p^(n−1)+c | =B6*B2^(B4-1)+B5 |
Tabelle, die der rekursiven Darstellung Schritt für Schritt folgt (Glieder 1–10)
| Koeffizient p | 2 |
| Konstante q | 3 |
| 1. Glied, a1 | 1 |
| 2. Glied | =B1*B3+B2 |
| 3. Glied | =B1*B4+B2 |
| 4. Glied | =B1*B5+B2 |
| 5. Glied | =B1*B6+B2 |
| 6. Glied | =B1*B7+B2 |
| 7. Glied | =B1*B8+B2 |
| 8. Glied | =B1*B9+B2 |
| 9. Glied | =B1*B10+B2 |
| 10. Glied | =B1*B11+B2 |
Tabelle zur Berechnung des n-ten Glieds für p = 1 (arithmetische Folge)
| Anfangsglied a1 | 5 |
| Differenz q | 3 |
| Nummer n des gesuchten Glieds | 4 |
| n-tes Glied a1+(n−1)q | =B1+(B3-1)*B2 |
Tabelle zur Berechnung des n-ten Glieds für q = 0 (geometrische Folge)
| Anfangsglied a1 | 3 |
| Quotient p | 2 |
| Nummer n des gesuchten Glieds | 4 |
| n-tes Glied a1×p^(n−1) | =B1*B2^(B3-1) |
Dieselben Formeln wie in Excel funktionieren unverändert. Kopieren Sie die gesamte Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie das Anfangsglied und die Koeffizienten durch Ihre eigenen Zahlen.
Mit Python berechnen
from fractions import Fraction
first_term = Fraction(1) # Anfangsglied a1 (Brüche gehen auch, z. B. Fraction(1, 2))
coefficient = Fraction(2) # Koeffizient p (multipliziert a_n)
constant = Fraction(3) # Konstante q (wird addiert)
term_number = 10 # Nummer n des gesuchten Glieds
# Die Glieder 1 bis 10 der Reihe nach berechnen, gemäß der rekursiven Darstellung
terms = [first_term]
for _ in range(9):
terms.append(coefficient * terms[-1] + constant)
print("Glieder 1-10:", ", ".join(str(t) for t in terms))
# n-tes Glied (die rekursive Darstellung n-1-mal anwenden)
nth_term = first_term
for _ in range(term_number - 1):
nth_term = coefficient * nth_term + constant
print(f"{term_number}. Glied: {nth_term} (als Dezimalzahl: {float(nth_term)})")
# Ist p nicht 1, liefert auch der Fixpunkt c = q/(1-p) die explizite Darstellung
if coefficient != 1:
fixed_point = constant / (1 - coefficient)
start_diff = first_term - fixed_point
print(f"Fixpunkt c: {fixed_point}")
print(f"Explizite Darstellung: a_n = ({start_diff})*({coefficient})^(n-1) + ({fixed_point})")
Mit dem Modul fractions der Standardbibliothek rechnen Sie mit exakten Brüchen und ohne Rundungsfehler. Dieses Beispiel ist die Folge mit dem Anfangsglied 1 und der rekursiven Darstellung a(n+1) = 2a(n) + 3. Beim Ausführen werden die Glieder 1 bis 10 (1, 5, 13, …, 2045), das 10. Glied = 2045, der Fixpunkt −3 und die explizite Darstellung a_n = (4)*(2)^(n-1) + (-3) ausgegeben (vereinfacht 4×2^(n−1) − 3). Ändern Sie das Anfangsglied und die Koeffizienten und führen Sie den Code aus.
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
Rekursion erster Ordnung
aₙ₊₁ = p·aₙ + q
a_{n+1} = p a_n + q
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>a</mi><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub>
<mo>=</mo>
<mi>p</mi>
<msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub>
<mo>+</mo>
<mi>q</mi>
</mrow>
</math>
a_(n+1) = p a_n + q
RSolve[{a[n + 1] == p a[n] + q, a[1] == a1}, a[n], n]
rsolve({a(n+1) = p*a(n) + q, a(1) = a1}, a(n));
a(n+1) = p*a(n) + q
a_(n+1) = p a_n + q
Die Fixpunktgleichung und der Fixpunkt
c = q/(1 − p)
c = \dfrac{q}{1-p}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>c</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mi>q</mi>
<mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><mi>p</mi></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
c = q/(1-p)
c = q/(1 - p)
c := q/(1 - p);
c = q/(1 - p);
c = q/(1 − p)
Umformung mit dem Fixpunkt (Aufbau einer geometrischen Folge)
aₙ₊₁ − c = p(aₙ − c)
a_{n+1} - c = p(a_n - c)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>a</mi><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub>
<mo>−</mo><mi>c</mi>
<mo>=</mo>
<mi>p</mi>
<mo>(</mo>
<msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub>
<mo>−</mo><mi>c</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
</math>
a_(n+1) - c = p(a_n - c)
a[n + 1] - c == p (a[n] - c)
a(n+1) - c = p*(a(n) - c);
a(n+1) - c = p*(a(n) - c)
a_(n+1) − c = p(a_n − c)
Explizite Darstellung (Fall der Fixpunktgleichung)
aₙ = (a₁ − c)·pⁿ⁻¹ + c
a_n = (a_1 - c)p^{n-1} + c
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub>
<mo>=</mo>
<mo>(</mo>
<msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>−</mo><mi>c</mi>
<mo>)</mo>
<msup><mi>p</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup>
<mo>+</mo>
<mi>c</mi>
</mrow>
</math>
a_n = (a_1 - c)p^(n-1) + c
a[n_] := (a1 - c) p^(n - 1) + c
a := n -> (a1 - c)*p^(n-1) + c;
a_n = (a1 - c)*p^(n-1) + c;
a_n = (a_1 − c)p^(n−1) + c
Der Fall \(p = 1\) (arithmetische Folge)
aₙ = a₁ + (n − 1)q
a_n = a_1 + (n-1)q
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub>
<mo>=</mo>
<msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>+</mo>
<mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo>
<mi>q</mi>
</mrow>
</math>
a_n = a_1 + (n-1)q
a[n_] := a1 + (n - 1) q
a := n -> a1 + (n-1)*q;
a_n = a1 + (n-1)*q;
a_n = a_1 + (n − 1)q
Der Fall \(q = 0\) (geometrische Folge)
aₙ = a₁·pⁿ⁻¹
a_n = a_1 p^{n-1}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub>
<mo>=</mo>
<msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub>
<msup><mi>p</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup>
</mrow>
</math>
a_n = a_1 p^(n-1)
a[n_] := a1 p^(n - 1)
a := n -> a1*p^(n-1);
a_n = a1*p^(n-1);
a_n = a_1 p^(n−1)
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
Sie sind ein Assistent für mathematische Berechnungen (Folgen und Rekursionen). Führen Sie die folgenden Berechnungen aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort ausschließlich auf die Zahlen aus dem Ergebnis der Ausführung (antworten Sie nicht durch Kopfrechnen oder Raten). Zeigen Sie für die Folge, die durch das Anfangsglied a_1 = 1 und die rekursive Darstellung a_(n+1) = 2·a_n + 3 definiert ist, Folgendes. 1. Die Lösung der Fixpunktgleichung x = 2x + 3 (den Fixpunkt c) 2. Die explizite Darstellung a_n (mit dem Rechenweg, der über c eine geometrische Folge daraus macht) 3. Die Werte der Glieder 1 bis 10 und den Wert des 10. Glieds 4. Konvergiert diese Folge? (Wenn ja, geben Sie auch den Grenzwert an.) Verwenden Sie in Python das Modul fractions der Standardbibliothek, um exakt zu rechnen, und zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ergebnis der Ausführung.
Anleitung
-
1Zahlen eingebenGeben Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
-
2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
-
3Ergebnis ablesenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
Die Vorteile von DataChef
Einfach und kostenlos
Kostenlose Umwandlung ohne Limit
Kein Fachwissen nötig – einfach und intuitiv
Kein Fachwissen nötig – einfach und intuitiv
Keine Anmeldung erforderlich
Sofort nach dem Öffnen der Seite nutzbar
Keine persönlichen Daten erforderlich
Keine persönlichen Daten erforderlich
Sicher und geschützt
Stark verschlüsselte Verbindung (SSL)
Die Datei wird nach dem Download automatisch gelöscht
Die Datei wird nach dem Download automatisch gelöscht
Schnell
Schnelle Anzeige und Umwandlung – ganz ohne Wartezeit
Keine Wasserzeichen
Kein Wasserzeichen
Keine Quellenangabe nötig
Keine Quellenangabe nötig
Kommerzielle Nutzung möglich
Kostenlos auch für die kommerzielle Nutzung
Keine vorherige Genehmigung erforderlich
Keine vorherige Genehmigung erforderlich
Verwandte Funktionen
Rechner für arithmetische Folgen (n-tes Glied und Summe)
Berechnet das n-te Glied und die Summe der ersten n Glieder aus Anfangsglied, Differenz und Anzahl der Glieder (eine Folge, die jedes Mal dieselbe Zahl addiert, der Fall p = 1 dieser Rekursion)
Rechner für geometrische Folgen (n-tes Glied und Summe)
Berechnet das n-te Glied und die Summe der ersten n Glieder aus Anfangsglied, Quotient und Anzahl der Glieder (eine Folge, die jedes Mal mit derselben Zahl multipliziert, der Fall q = 0 dieser Rekursion)
Ad 
