Komplexe Zahl in Polarform umrechnen (Betrag, Argument und Quadrantenkorrektur mit Grafik in der komplexen Ebene)

Wählen Sie die Richtung der Umrechnung und geben Sie die Zahlen ein. Für kartesisch in Polarform geben Sie den Realteil a und den Imaginärteil b ein. Für Polarform in kartesisch geben Sie den Betrag r und das Argument θ ein (und wählen dessen Einheit).

Umrechnung

Realteil a

Imaginärteil b

Betrag r

Argument θ

Einheit des Arguments

Dezimalzahlen, negative Zahlen und Brüche wie 3/4 sind möglich. Ein leerer Real- oder Imaginärteil wird als 0 behandelt.

Ergebnis und Figur

Geben Sie links die Zahlen ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis und eine Grafik in der komplexen Ebene erscheinen hier.

Inhaltsverzeichnis

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Was Sie auf dieser Seite tun können
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
Anleitung
Formeln und Abbildungen
Symbole und Begriffe
- Symbole
- Begriffe
Was Sie vorab wissen sollten
Mit Excel berechnen
Mit Google Tabellen berechnen
Mit Python berechnen
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
Die Vorteile von DataChef
Verwandte Funktionen
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Was Sie auf dieser Seite tun können

Wandeln Sie eine komplexe Zahl \(z = a + bi\) (kartesische Form) sofort in die Polarform \(r(\cos\theta + i\sin\theta)\) um, mit dem Betrag \(r\) und dem Argument \(\theta\). Der Betrag wird als exakter Wert mit vereinfachter Wurzel angegeben, etwa \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\), und für besondere Winkel ist das Argument ein exakter Bruchteil von π
Das Argument \(\theta\) wird hauptsächlich im Bereich \(0 \le \theta < 2\pi\) angegeben, zusätzlich der Wert im Bereich \(-\pi < \theta \le \pi\) (der Hauptwert des Arguments), sodass Sie Ihre Antwort mit der Schreibweise Ihres Schulbuchs vergleichen können
Auch die Umkehrung ist möglich (Polarform in kartesische Form). Geben Sie den Betrag \(r\) und das Argument \(\theta\) ein (in Grad, als Bruchteil von π oder als Dezimalzahl im Bogenmaß), und \(a + bi\) wird als exakter Wert angezeigt, etwa \(1 + \sqrt{3}i\)
Die Schritte zeigen nacheinander, wie das Argument aus \(\tan\theta = \dfrac{b}{a}\) und dem Quadranten des Punktes bestimmt wird (die Quadrantenkorrektur)
Das Ergebnis lässt sich auch in der komplexen Ebene ansehen, die auf einen Blick zeigt, wo der Betrag \(r\) (der Abstand vom Ursprung) und das Argument \(\theta\) (der Drehwinkel von der reellen Achse aus) liegen

Diese Seite behandelt die Polarform komplexer Zahlen, wie sie in der Oberstufe und im Studium behandelt wird. Real- und Imaginärteil dürfen Brüche oder Dezimalzahlen (rationale Zahlen) sein, irrationale Zahlen wie √3 lassen sich nicht direkt eingeben. Das Argument ergibt sich daher nur dann als exakter Bruchteil von π, wenn der Punkt auf einer Achse liegt oder der Winkel ein Vielfaches von 45° ist (bei Winkeln auf Basis von 30° und 60° ist tan θ eine irrationale Zahl wie 1/√3, die sich aus rationalem Real- und Imaginärteil nicht ergeben kann). In der Gegenrichtung, von der Polarform in die kartesische Form, werden alle besonderen Winkel, die Vielfache von 30° oder 45° sind, exakt berechnet.

Wofür ist diese Berechnung nützlich?

Wechselstromrechnung (Elektrotechnik und Elektronik)

Bei der Wechselspannung aus der Steckdose schwingen Spannung und Strom wie Wellen und tragen zwei Informationen: die Größe der Welle und die Verschiebung ihres Zeitpunkts (die Phase). In der Elektrotechnik werden beide in einer komplexen Zahl festgehalten (Betrag = Größe der Welle, Argument = Phase), und die Standardmethode ist, in der Polarform zu multiplizieren und zu dividieren, um die Schaltung zu lösen. Man nennt das Zeigerdarstellung.
Der Entwurf des Stromnetzes vom Kraftwerk bis nach Hause und der Schaltung im Handyladegerät beruht auf diesen Rechnungen mit „Betrag und Argument“. Es ist die häufigste alltägliche Anwendung von komplexen Zahlen in der Technik und gehört zu jedem Elektrotechnik-Studium.

Schall und Funkwellen analysieren (Fourier-Transformation und Signalverarbeitung)

Wenn ein Computer Schall oder Funkwellen verarbeitet, zerlegt er sie mit einer Rechnung, die Fourier-Transformation heißt, darin, „wie viel von jeder Tonhöhe enthalten ist“. Das Ergebnis ist eine Liste von komplexen Zahlen: Der Betrag jeder einzelnen ist die Stärke dieser Welle (die Amplitude), und das Argument ist ihre Verschiebung (die Phase).
Viele Techniken, die Schall und Funkwellen verarbeiten, etwa Equalizer in Musik-Apps, Geräuschunterdrückung bei Ohrhörern und Spracherkennung, beruhen auf diesem Gedanken, eine komplexe Zahl an ihrem Betrag und Argument abzulesen.

Formen drehen (Spiele und Computergrafik)

Die Regel der Polarform „die Beträge multiplizieren, die Argumente addieren“ ist geometrisch einfach „Skalieren und Drehen“. Das Multiplizieren mit \(i\) (Betrag 1, Argument 90°) dreht einen Punkt zum Beispiel genau um 90° um den Ursprung. In 2D-Spielen lässt sich die Mathematik zum Drehen einer Figur oder eines Geschosses als komplexe Multiplikation schreiben.
Quaternionen, die in der 3D-Grafik und der Robotersteuerung verwendet werden, erweitern diesen Gedanken der „Drehung durch komplexe Zahlen“ auf drei Dimensionen.

„Entfernung und Peilung“ bei Radar und Sonar (Luft- und Schifffahrt)

Flughafenradar und Schiffssonar orten ein Ziel durch ein Paar: „wie weit es entfernt ist“ und „in welcher Richtung“. Das ist derselbe Gedanke wie bei der Polarform (den Polarkoordinaten), die einen Punkt durch \(r\) und \(\theta\) beschreibt. Dieselbe Art der Umrechnung wie auf dieser Seite wird ausgeführt, um daraus die auf dem Bildschirm gezeigte Position (waagerechte und senkrechte Koordinate) zu machen.
Immer wenn „Entfernung und Richtung“ die natürliche Art ist, eine Position zu beschreiben, taucht diese Umrechnung von und in kartesische Koordinaten auf.

Formeln und Abbildungen

Polarform (eine weitere Art, eine komplexe Zahl zu schreiben)

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(z\) \(=\) \(r\) \(\left(\cos\theta + i\sin\theta\right)\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

③ komplexe Zahl \(z\) \(=\) ① Betrag \(r\) (Abstand vom Ursprung) ② Richtung, die das Argument \(\theta\) angibt

Die Formel in Worten

① Nehmen Sie den Betrag \(r\) (den Abstand vom Ursprung zum Punkt)

② multiplizieren Sie ihn mit dem Richtungsteil \(\cos\theta + i\sin\theta\) für das Argument \(\theta\)

③ so erhalten Sie die komplexe Zahl \(z\)

Einfaches Beispiel

Schreibt man \(z = 1 + \sqrt{3}i\) in Polarform (der Betrag ist \(r = 2\) und das Argument ist \(\theta = \dfrac{\pi}{3}\), also 60°), ergibt sich:

komplexe Zahl \(1 + \sqrt{3}i\) \(=\) Betrag \(2\) \(\cos\dfrac{\pi}{3} + i\sin\dfrac{\pi}{3}\)

\(r = \sqrt{1^{2} + \left(\sqrt{3}\right)^{2}} = \sqrt{4} = 2\)

\(1 + \sqrt{3}i = 2\left(\cos\dfrac{\pi}{3} + i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)\)

Der Kerngedanke

Es gibt zwei Arten, dieselbe komplexe Zahl zu schreiben. Liest man sie als „den Punkt \(a\) nach rechts und \(b\) nach oben“, erhält man die kartesische Form \(a + bi\). Liest man sie als „den Punkt im Abstand \(r\) vom Ursprung, in der Richtung des Winkels \(\theta\) von der reellen Achse aus“, erhält man die Polarform. Es ist wie bei einer Wegbeschreibung: Die kartesische Form sagt „1 nach Osten und √3 nach Norden“, die Polarform sagt „von Osten 60° nach Norden drehen und 2 weit gehen“. Addition und Subtraktion sind in der kartesischen Form leichter, Multiplikation, Division und Potenzen dagegen in der Polarform (die Formel für das Multiplizieren in Polarform unten zeigt, warum).

Betrag \(r\) (Abstand vom Ursprung)

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

\(r\) \(=\) \(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\)

② Betrag \(r\) \(=\) ① Wurzel aus der Summe der Quadrate von Realteil \(a\) und Imaginärteil \(b\)

Die Formel in Worten

① Die Wurzel aus dem Realteil \(a\) zum Quadrat plus dem Imaginärteil \(b\) zum Quadrat, \(\sqrt{a^2 + b^2}\)

② ist gleich dem Betrag \(r\)

Einfaches Beispiel

Der Betrag von \(z = 3 + 4i\) ist

Betrag \(r\) \(=\) \(\sqrt{3^2 + 4^2}\)

\(r = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5\)

Der Kerngedanke

Das ist einfach der Satz des Pythagoras aus Klasse 8 (13–14 Jahre). In der komplexen Ebene liegt der Punkt \(z = a + bi\) \(a\) nach rechts und \(b\) nach oben. Verbindet man den Ursprung, den Punkt \((a|0)\) und \(z\), entsteht ein rechtwinkliges Dreieck, und der Abstand vom Ursprung zu \(z\) (die Hypotenuse) ist \(\sqrt{a^2 + b^2}\). Üblicherweise schreibt man eine Wurzel in der Antwort in der einfachsten Form, mit herausgezogenen Quadratfaktoren, wie in \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\) (auch dieser Rechner zeigt sie in dieser Form).

Argument \(\theta\) (bestimmt aus tan θ und dem Quadranten)

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

\(\tan\theta\) \(=\) \(\dfrac{b}{a}\)

② Tangens des Arguments \(\theta\) \(=\) ① Imaginärteil \(b\) geteilt durch Realteil \(a\)

Die Formel in Worten

① Der Imaginärteil \(b\) geteilt durch den Realteil \(a\)

② ist gleich dem Tangens des Arguments, \(\tan\theta\) (diese Formel allein legt nicht einen einzigen Winkel \(\theta\) fest, deshalb wählt man mit dem Quadranten des Punktes \(z\) den richtigen aus)

Einfaches Beispiel

Das Argument von \(z = -1 + i\) (der Realteil ist negativ und der Imaginärteil positiv, der Punkt liegt also im 2. Quadranten):

Tangens \(\tan\theta\) \(=\) \(\dfrac{1}{-1} = -1\)

\(\tan\theta = \dfrac{1}{-1} = -1\)

\(\theta = \dfrac{3}{4}\pi \quad \left(a < 0,\ b > 0\right)\)

Der Kerngedanke

Im Bereich \(0 \le \theta < 2\pi\) gibt es zwei Winkel mit \(\tan\theta = -1\): \(\dfrac{3}{4}\pi\) (135°) und \(\dfrac{7}{4}\pi\) (315°). Welcher richtig ist, hängt vom Quadranten des Punktes \(z\) ab. Bei \(z = -1 + i\) ist der Realteil negativ und der Imaginärteil positiv, das ist der 2. Quadrant (oben links), also wählen wir \(\theta = \dfrac{3}{4}\pi\). Das ist die Quadrantenkorrektur. Die Taste \(\arctan\) (Arkustangens) eines Taschenrechners oder einer Tabellenkalkulation liefert nur Winkel zwischen \(-\dfrac{\pi}{2}\) und \(\dfrac{\pi}{2}\), bei Punkten im 2. und 3. Quadranten ist ihre Antwort also nicht ohne Weiteres das Argument. Den mit \(\arctan\) erhaltenen spitzen Winkel müssen Sie je nach Quadrant korrigieren, zum Beispiel durch Addieren von \(\pi\) (dieser Rechner zeigt die Korrektur in den Schritten).

Multiplizieren in Polarform (die Beträge multiplizieren, die Argumente addieren)

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(z_{1} z_{2}\) \(=\) \(r_{1} r_{2}\) \(\left\{\cos\left(\theta_{1} + \theta_{2}\right) + i\sin\left(\theta_{1} + \theta_{2}\right)\right\}\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

③ Produkt der beiden komplexen Zahlen \(=\) ① Produkt der Beträge ② Richtung, die die Summe der Argumente angibt

Die Formel in Worten

① Nehmen Sie das Produkt der Beträge, \(r_1 r_2\)

② multiplizieren Sie es mit dem Richtungsteil für die Summe der Argumente, \(\theta_1 + \theta_2\)

③ so erhalten Sie das Produkt der beiden komplexen Zahlen, \(z_1 z_2\) (das Multiplizieren mit \(z_2\) streckt die Länge um den Faktor \(r_2\) und dreht die Richtung um \(\theta_2\))

Einfaches Beispiel

Das Produkt von \(z_1 = 2\left(\cos\dfrac{\pi}{6} + i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)\) und \(z_2 = 3\left(\cos\dfrac{\pi}{3} + i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)\) ist

Produkt \(z_1 z_2\) \(=\) Beträge multipliziert, \(2 \times 3\) \(\cos\dfrac{\pi}{2} + i\sin\dfrac{\pi}{2}\)

\(z_1 z_2 = 2 \times 3\left\{\cos\left(\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi}{3}\right)\right\}\)

\(z_1 z_2 = 6\left(\cos\dfrac{\pi}{2} + i\sin\dfrac{\pi}{2}\right) = 6i\)

Der Kerngedanke

Das ist der größte Vorteil der Polarform. Das Multiplizieren in der kartesischen Form braucht das Distributivgesetz, um vier Terme auszumultiplizieren, in der Polarform dagegen „multipliziert man die Beträge und addiert die Argumente“. Geometrisch ist das Multiplizieren mit \(z_2\) ein „Drehen um \(\theta_2\) um den Ursprung und Strecken um den Faktor \(r_2\)“. Das Multiplizieren mit \(i\) (Betrag 1, Argument 90°) dreht einen Punkt zum Beispiel genau um 90° um den Ursprung. Wendet man diese Regel an, um dieselbe Zahl \(n\)-mal zu multiplizieren, erhält man den Satz von de Moivre, \(\left(\cos\theta + i\sin\theta\right)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta\), der zu \(n\)-ten Potenzen und \(n\)-ten Wurzeln von komplexen Zahlen weiterführt.

Eine komplexe Zahl \(z = a + bi\) lässt sich auch in Polarform \(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\) schreiben, mit dem Betrag \(r = \sqrt{a^2 + b^2}\) (dem Abstand vom Ursprung) und dem Argument \(\theta\) (dem Winkel, gemessen gegen den Uhrzeigersinn von der positiven reellen Achse aus). Das Argument ergibt sich aus \(\tan\theta = \dfrac{b}{a}\) und dem Quadranten des Punktes. In Polarform wird das Multiplizieren komplexer Zahlen zu einer einfachen Regel: die Beträge multiplizieren und die Argumente addieren.

Symbole und Begriffe

Symbole

\(i\)	i	Die imaginäre Einheit, die Zahl, deren Quadrat \(-1\) ist (\(i^2 = -1\)). Der Buchstabe stammt von „imaginär“.
\(z\)	z	Der Buchstabe, der üblicherweise für eine komplexe Zahl steht. Üblicherweise verwendet man \(z\) und \(w\) für komplexe Zahlen, um sie von den reellen Variablen \(x,\ y\) zu unterscheiden.
\(a,\ b\)	a, b	Der Realteil (\(a\)) und der Imaginärteil (\(b\)) von \(z = a + bi\). Beide sind reelle Zahlen. In der komplexen Ebene ist \(a\) die Position nach rechts (entlang der reellen Achse) und \(b\) die Position nach oben (entlang der imaginären Achse).
\(r\)	r	Der Buchstabe für den Betrag (den Abstand vom Ursprung zum Punkt \(z\)). Er stammt von „Radius“. In der Polarform ist er eine reelle Zahl größer oder gleich 0.
\(\|z\|\)	Betrag von z	Das Symbol für den Betrag (Modul) von \(z\). Es wird wie bei einer reellen Zahl mit zwei senkrechten Strichen geschrieben, und \(\|a + bi\| = \sqrt{a^2 + b^2}\).
\(\theta\)	Theta	Der griechische Buchstabe für das Argument. In der Mathematik ist er ein üblicher Buchstabe für einen Winkel (häufig wird auch φ verwendet).
\(\arg z\)	arg z	Das Symbol für das Argument von \(z\), gebildet aus den ersten drei Buchstaben von „Argument“. Man verwendet es wie in \(\arg z = \theta\).
\(\cos\theta,\ \sin\theta\)	Kosinus Theta, Sinus Theta	Winkelfunktionen. Auf dem Kreis mit Radius 1 (dem Einheitskreis) hat der Punkt in Richtung des Winkels \(\theta\) die waagerechte Position \(\cos\theta\) und die senkrechte Position \(\sin\theta\). In der Polarform bilden sie den Teil, der die Richtung angibt.
\(\tan\theta\)	Tangens Theta	Eine Winkelfunktion, definiert durch \(\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\). In der komplexen Ebene ist \(\tan\theta = \dfrac{b}{a}\) (Anstieg, also die Steigung), was der Schlüssel zur Bestimmung des Arguments ist.
\(\arctan\)	Arkustangens	Die Umkehrung des Tangens (auch \(\tan^{-1}\) geschrieben). Sie liefert „den Winkel \(\theta\) mit \(\tan\theta = x\)“. Der gelieferte Winkel liegt immer zwischen \(-\dfrac{\pi}{2}\) und \(\dfrac{\pi}{2}\), deshalb ist für Argumente im 2. und 3. Quadranten die Quadrantenkorrektur nötig.
\(\pi\)	Pi	Das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser (etwa 3,14159). Im Bogenmaß ist eine halbe Umdrehung, \(180^{\circ}\), genau \(\pi\). Der griechische Buchstabe \(\pi\) soll vom ersten Buchstaben des griechischen Wortes für „Umfang“ stammen.

Begriffe

komplexe Zahl	Eine Zahl der Form \(a + bi\), wobei \(a\) und \(b\) reelle Zahlen sind. Sie bilden einen Zahlbereich, der die reellen und die imaginären Zahlen zusammenfasst und in der Oberstufe und im Studium behandelt wird.
imaginäre Einheit	Die Zahl \(i\), deren Quadrat \(-1\) ist. Keine reelle Zahl hat ein negatives Quadrat, deshalb wurde sie als neue Zahl eingeführt.
Realteil	Das \(a\) in der komplexen Zahl \(z = a + bi\). In der komplexen Ebene ist es die waagerechte Koordinate.
Imaginärteil	Das \(b\) in der komplexen Zahl \(z = a + bi\). Es ist die reelle Zahl vor dem \(i\), ohne das \(i\) selbst (der Imaginärteil von \(1 + 2i\) ist \(2\), nicht \(2i\)).
komplexe Ebene (Gaußsche Zahlenebene)	Die Ebene, in der \(a + bi\) als Punkt \((a\|b)\) dargestellt wird. Die waagerechte Achse ist die reelle Achse, die senkrechte Achse die imaginäre Achse. Sie wird in der Oberstufe und im Studium behandelt.
kartesische Form (Normalform)	Eine komplexe Zahl als \(a + bi\) schreiben (die Koordinaten \(a\) nach rechts und \(b\) nach oben). Auch Normalform genannt. Addition und Subtraktion sind in dieser Form am einfachsten.
Polarform (trigonometrische Form)	Eine komplexe Zahl mit ihrem Abstand \(r\) vom Ursprung und ihrem Drehwinkel \(\theta\) von der reellen Achse aus schreiben, als \(r(\cos\theta + i\sin\theta)\). Auch trigonometrische Form genannt. Multiplikation, Division und Potenzen sind in dieser Form am einfachsten.
Betrag (Modul)	Der Abstand vom Ursprung zum Punkt \(z\), berechnet als \(\|z\| = \sqrt{a^2 + b^2}\). Er erweitert den Betrag einer reellen Zahl (ihren Abstand von 0 auf der Zahlengeraden) auf die Ebene.
Argument	Der Winkel der Richtung vom Ursprung zum Punkt \(z\), gemessen gegen den Uhrzeigersinn von der positiven reellen Achse aus. Das Symbol ist \(\arg z\). Addiert man eine volle Umdrehung (\(2\pi\)), erhält man dieselbe Richtung, deshalb gibt man die Antwort üblicherweise in einem festen Bereich wie \(0 \le \theta < 2\pi\) oder \(-\pi < \theta \le \pi\) an (der Hauptwert des Arguments).
Quadrant	Eines der vier Gebiete, in die die beiden Achsen das Koordinatensystem teilen. Oben rechts liegt der 1. Quadrant (auch I geschrieben), und gegen den Uhrzeigersinn folgen der 2., 3. und 4. Quadrant. In welchem Quadranten ein Punkt liegt, ist der Schlüssel zur Bestimmung seines Arguments.
Bogenmaß (Radiant)	Einen Winkel durch die Länge des Kreisbogens messen, den er auf einem Kreis mit Radius 1 abschneidet. \(180^{\circ} = \pi\) Radiant. Ab den Winkelfunktionen der Oberstufe ist das Bogenmaß statt des Gradmaßes die übliche Einheit.
besonderer Winkel (Sonderwinkel)	\(30^{\circ}\), \(45^{\circ}\), \(60^{\circ}\) und verwandte Winkel (diese plus Vielfache von \(90^{\circ}\)). Ihre Werte der Winkelfunktionen lassen sich exakt schreiben, als \(\dfrac{1}{2}\), \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) und \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), und die meisten Aufgaben in Schulbüchern und Prüfungen verwenden diese Winkel.
Quadrantenkorrektur	Innerhalb einer vollen Umdrehung gibt es zwei Winkel mit \(\tan\theta = \dfrac{b}{a}\), deshalb wählt man den, der zum Quadranten des Punktes passt (zum Beispiel durch Addieren von \(\pi\) zum spitzen Winkel aus \(\arctan\)).
Satz von de Moivre	Der Satz \(\left(\cos\theta + i\sin\theta\right)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta\). Er ist das Ergebnis davon, \(n\)-mal „Multiplizieren addiert die Argumente“ zu wiederholen, und dient dazu, \(n\)-te Potenzen und \(n\)-te Wurzeln von komplexen Zahlen zu bestimmen.

Was Sie vorab wissen sollten

Hier steht, was Ihnen hilft, die Rechnung dieser Seite wirklich zu verstehen und nicht nur den Knopf zu drücken.
Wenn Sie nicht weiterkommen, ist es der schnellste Weg, zu diesen Themen zurückzugehen.

Quadratwurzeln und Wurzelterme (Klasse 9, 14–15 Jahre)	Wissen, dass \(\sqrt{2}\) „die positive Zahl ist, deren Quadrat 2 ist“ Eine Wurzel vereinfachen können, indem man Quadratfaktoren herauszieht, wie in \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\)
Der Satz des Pythagoras (Klasse 8, 13–14 Jahre)	Wissen, dass die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks \(\sqrt{a^2 + b^2}\) lang ist, wenn die beiden anderen Seiten \(a\) und \(b\) sind Den Abstand zweier Punkte im Koordinatensystem mit dem Satz des Pythagoras bestimmen können
Komplexe Zahlen (Oberstufe und Studium)	Wissen, dass die imaginäre Einheit \(i\) die Zahl mit \(i^2 = -1\) ist Aus \(a + bi\) den Realteil \(a\) und den Imaginärteil \(b\) ablesen können
Trigonometrie und Einheitskreis (Klasse 9–11, 14–17 Jahre)	Wissen, dass \(\sin\), \(\cos\) und \(\tan\) für einen Punkt auf dem Einheitskreis die Höhe, die waagerechte Position und die Steigung sind Die Werte der Winkelfunktionen von \(30^{\circ}\), \(45^{\circ}\) und \(60^{\circ}\) kennen (\(\dfrac{1}{2}\), \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) und \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)) Die Werte der Winkelfunktionen von Winkeln über \(90^{\circ}\) am Einheitskreis bestimmen können (Beispiel: \(\cos 135^{\circ} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\))
Bogenmaß (Klasse 10–11, 15–17 Jahre)	Zwischen Grad und Bogenmaß mit \(180^{\circ} = \pi\) Radiant umrechnen können (Beispiel: \(60^{\circ} = \dfrac{\pi}{3}\))
Die komplexe Ebene (Oberstufe und Studium)	Eine komplexe Zahl \(a + bi\) als Punkt \((a\|b)\) in der Ebene darstellen können Wissen, dass die waagerechte Achse reelle Achse und die senkrechte Achse imaginäre Achse heißt

Mit Excel berechnen

Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein. Sie funktioniert unverändert.

Tabelle für kartesische Form in Polarform

Realteil a	3
Imaginärteil b	4
Betrag r	=WURZEL(B1^2+B2^2)
Argument θ (Bogenmaß, 0 ≤ θ < 2π)	=REST(ARCTAN2(B1;B2);2*PI())
Argument θ (Grad)	=GRAD(REST(ARCTAN2(B1;B2);2*PI()))

Tabelle für Polarform in kartesische Form

Betrag r	2
Argument θ (Grad)	60
Realteil a = r cos θ	=B1*COS(BOGENMASS(B2))
Imaginärteil b = r sin θ	=B1*SIN(BOGENMASS(B2))

Nach dem Einfügen sind die oberen Zeilen Ihre Eingaben, und die unteren Zeilen werden automatisch berechnet.
In der ersten Tabelle liefert ARCTAN2(x-Koordinate; y-Koordinate) das Argument mit bereits ausgeführter Quadrantenkorrektur (größer als −π und bis π). Mit REST durch 2π wird daraus ein Argument von 0 bis (ausschließlich) 2π. Für das Beispiel z = 3 + 4i ergibt sich r = 5 und θ ≈ 0,9273 (etwa 53,13 Grad).
In der zweiten Tabelle rechnet BOGENMASS Grad in Bogenmaß um. Für das Beispiel r = 2 und θ = 60 Grad ergibt sich a = 1 und b ≈ 1,7320508 (= √3). Excel liefert Dezimalzahlen, wenn Sie exakte Werte wie √2 oder Bruchteile von π möchten, nutzen Sie den Rechner auf dieser Seite.

Mit Google Tabellen berechnen

Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein. Sie funktioniert unverändert.

Tabelle für kartesische Form in Polarform

Realteil a	3
Imaginärteil b	4
Betrag r	=WURZEL(B1^2+B2^2)
Argument θ (Bogenmaß, 0 ≤ θ < 2π)	=REST(ARCTAN2(B1;B2);2*PI())
Argument θ (Grad)	=GRAD(REST(ARCTAN2(B1;B2);2*PI()))

Tabelle für Polarform in kartesische Form

Betrag r	2
Argument θ (Grad)	60
Realteil a = r cos θ	=B1*COS(BOGENMASS(B2))
Imaginärteil b = r sin θ	=B1*SIN(BOGENMASS(B2))

Dieselben Formeln wie in Excel funktionieren unverändert (auch ARCTAN2 erwartet seine Eingaben in derselben Reihenfolge, „x-Koordinate; y-Koordinate“). Kopieren Sie die gesamte Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Zahlen durch Ihre eigenen.

Mit Python berechnen

import math

# Kartesische Form -> Polarform
real_part = 3        # Realteil a
imaginary_part = 4   # Imaginärteil b
absolute_value = math.sqrt(real_part ** 2 + imaginary_part ** 2)
argument = math.atan2(imaginary_part, real_part)   # enthält die Quadrantenkorrektur (-π < θ ≤ π)
if argument < 0:
    argument += 2 * math.pi                        # in den Bereich 0 ≤ θ < 2π bringen
print(f"Betrag r = {absolute_value}")
print(f"Argument θ = {argument} rad ({math.degrees(argument)} Grad)")

# Polarform -> kartesische Form
r = 2
theta_degree = 60
theta = math.radians(theta_degree)
print(f"Realteil a = {r * math.cos(theta)}")
print(f"Imaginärteil b = {r * math.sin(theta)}")

math.atan2(y, x) liefert den Winkel mit bereits ausgeführter Quadrantenkorrektur, gibt also anders als arctan auch für Punkte im 2. und 3. Quadranten die richtige Richtung. Die erste Hälfte dieses Beispiels wandelt z = 3 + 4i um, und beim Ausführen erscheinen r = 5,0 und θ ≈ 0,9272952180016122 rad (etwa 53,13 Grad). Die zweite Hälfte wandelt aus r = 2 und θ = 60° zurück und liefert a ≈ 1,0000000000000002 und b ≈ 1,7320508075688772 (= √3). Der Wert von a ist wegen Rundungsfehlern bei Dezimalzahlen (Gleitkommazahlen) nicht genau 1, für exakte Werte müssen Sie mit Symbolen rechnen, wie es der Rechner auf dieser Seite tut. Den Betrag und den Winkel (−π < θ ≤ π) erhalten Sie auch auf einmal mit cmath.polar(complex(3, 4)) aus dem Standardmodul cmath.

Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)

Polarform (eine weitere Art, eine komplexe Zahl zu schreiben)

z = r(cosθ + i sinθ)

z = r(\cos\theta + i\sin\theta)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>z</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>r</mi>
    <mo>(</mo>
    <mi>cos</mi><mi>&#x3B8;</mi>
    <mo>+</mo>
    <mi>i</mi><mi>sin</mi><mi>&#x3B8;</mi>
    <mo>)</mo>
  </mrow>
</math>

z = r(cos theta + i sin theta)

z == r (Cos[theta] + I Sin[theta])

z := r*(cos(theta) + I*sin(theta));

z = r*(cos(theta) + 1i*sin(theta));

z = r(cos θ + i sin θ)

Betrag \(r\) (Abstand vom Ursprung)

r = |z| = √(a² + b²)

r = |z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>r</mi>
    <mo>=</mo>
    <mo>|</mo><mi>z</mi><mo>|</mo>
    <mo>=</mo>
    <msqrt>
      <mrow>
        <msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
        <mo>+</mo>
        <msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
      </mrow>
    </msqrt>
  </mrow>
</math>

r = |z| = sqrt(a^2 + b^2)

Abs[a + b I]

r := abs(a + b*I);

r = abs(a + b*1i);

r = √(a^2 + b^2)

Argument \(\theta\) (bestimmt aus tan θ und dem Quadranten)

tanθ = b/a

\tan\theta = \dfrac{b}{a}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>tan</mi><mi>&#x3B8;</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><mi>b</mi><mi>a</mi></mfrac>
  </mrow>
</math>

tan theta = b/a

theta = Arg[a + b I]

theta := argument(a + b*I);

theta = angle(a + b*1i);

tan θ = b/a

Multiplizieren in Polarform (die Beträge multiplizieren, die Argumente addieren)

z₁z₂ = r₁r₂{cos(θ₁+θ₂) + i sin(θ₁+θ₂)}

z_{1}z_{2} = r_{1}r_{2}\{\cos(\theta_{1}+\theta_{2}) + i\sin(\theta_{1}+\theta_{2})\}

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    <mo>}</mo>
  </mrow>
</math>

z_1 z_2 = r_1 r_2 (cos(theta_1 + theta_2) + i sin(theta_1 + theta_2))

r1 r2 (Cos[theta1 + theta2] + I Sin[theta1 + theta2])

z1z2 := r1*r2*(cos(theta1 + theta2) + I*sin(theta1 + theta2));

z12 = r1*r2*(cos(t1 + t2) + 1i*sin(t1 + t2));

z_1 z_2 = r_1 r_2 (cos(θ_1+θ_2) + i sin(θ_1+θ_2))

Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen

Sie sind ein Rechenassistent für die komplexe Ebene. Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort ausschließlich auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (nicht im Kopf rechnen und nicht schätzen).

1. Wandeln Sie die komplexe Zahl z = 3 + 4i in die Polarform r(cos θ + i sin θ) um. Geben Sie den Betrag r und das Argument θ an (im Bereich 0 ≤ θ < 2π, sowohl im Bogenmaß als auch in Grad).
2. Wandeln Sie die komplexe Zahl mit dem Betrag r = 2 und dem Argument θ = 60° in die kartesische Form a + bi um. Geben Sie a und b als Dezimalzahlen an und, wenn möglich, auch als exakte Werte mit Wurzeln.

Verwenden Sie in Python math.atan2 und math.sqrt und nennen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis.

Anleitung

1

Zahlen eingeben

Geben Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
2

Berechnen

Klicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
3

Ergebnis ablesen

Das Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel