Komplexe Zahl in Polarform umrechnen – Rechner für Betrag und Argument mit Rechenweg und Zahlenebene

Wählen Sie die Richtung der Umrechnung und geben Sie die Zahlen ein. Für Normalform in Polarform geben Sie den Realteil a und den Imaginärteil b ein, für Polarform in Normalform den Betrag r und das Argument θ (mit Einheit).

Umrechnung

Realteil a

Imaginärteil b

Betrag r

Argument θ

Einheit des Arguments

Möglich sind Dezimalzahlen, negative Zahlen und Brüche wie 3/4. Ein leerer Real- oder Imaginärteil zählt als 0.

Ergebnis und Figur

Geben Sie links die Zahlen ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis und eine Zeichnung in der gaußschen Zahlenebene erscheinen dann hier.

Inhaltsverzeichnis

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Das können Sie auf dieser Seite
Wofür braucht man diese Berechnung?
Anleitung
Formeln und Abbildungen
Symbole und Begriffe
- Symbole
- Begriffe
Das sollten Sie vorher wissen
So berechnen Sie es in Excel
So berechnen Sie es in Google Tabellen
So berechnen Sie es in Python
So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
So lassen Sie ChatGPT rechnen
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Das können Sie auf dieser Seite

Sie rechnen eine komplexe Zahl \(z = a + bi\) (Normalform) direkt in die Polarform \(r(\cos\theta + i\sin\theta)\) mit dem Betrag \(r\) und dem Argument \(\theta\) um. Der Betrag erscheint als exakter Wert mit vereinfachter Wurzel, etwa \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\), und bei besonderen Winkeln ist das Argument ein exakter Bruchteil von π
Das Argument \(\theta\) wird vor allem im Bereich \(0 \le \theta < 2\pi\) angegeben, zusätzlich auch im Bereich \(-\pi < \theta \le \pi\) (der Hauptwert). So können Sie Ihr Ergebnis vergleichen, egal welche Konvention Ihr Lehrbuch nutzt
Auch die Gegenrichtung ist möglich (Polarform in Normalform). Geben Sie den Betrag \(r\) und das Argument \(\theta\) ein (in Grad, als Bruchteil von π oder als Dezimalzahl im Bogenmaß), und \(a + bi\) erscheint als exakter Wert wie \(1 + \sqrt{3}i\)
Der Rechenweg zeigt Schritt für Schritt, wie man das Argument aus \(\tan\theta = \dfrac{b}{a}\) und dem Quadranten des Punktes bestimmt (die Quadrantenkorrektur)
Eine Zeichnung in der gaußschen Zahlenebene zeigt auf einen Blick, wo der Betrag \(r\) (der Abstand vom Ursprung) und das Argument \(\theta\) (der Drehwinkel ab der reellen Achse) liegen

Diese Seite behandelt die Polarform komplexer Zahlen. Real- und Imaginärteil können Brüche oder Dezimalzahlen sein (rationale Zahlen); irrationale Zahlen wie √3 lassen sich nicht direkt eingeben. Deshalb ist das Argument nur dann ein exakter Bruchteil von π, wenn der Punkt auf einer Achse liegt oder der Winkel ein Vielfaches von 45° ist (bei Winkeln auf Basis von 30° und 60° ist tan θ irrational, etwa 1/√3, und kann nicht aus rationalen Real- und Imaginärteilen entstehen). In der Gegenrichtung, von der Polarform in die Normalform, werden alle besonderen Winkel (Vielfache von 30° oder 45°) exakt berechnet.

Wofür braucht man diese Berechnung?

Wechselstromrechnung (Elektrotechnik und Elektronik)

Beim Wechselstrom aus der Steckdose (in Deutschland 230 V bei 50 Hz) schwingen Spannung und Strom wie Wellen. Dabei zählen zwei Angaben: die Größe der Schwingung und ihre zeitliche Verschiebung (die Phase). In der Elektrotechnik steckt man beides in eine komplexe Zahl (Betrag = Größe, Argument = Phase) und rechnet die Schaltung durch Multiplizieren und Dividieren in Polarform aus. Gezeichnet wird das als Zeigerdiagramm.
Vom Stromnetz zwischen Kraftwerk und Haushalt bis zur Schaltung in einem Handy-Ladegerät beruht die Auslegung auf solchen Rechnungen mit Betrag und Argument. Die komplexe Wechselstromrechnung ist der häufigste praktische Einsatz komplexer Zahlen in der Technik und gehört zum Grundstoff jedes Elektrotechnik-Studiums.

Schall und Funkwellen analysieren (Fourier-Transformation und Signalverarbeitung)

Wenn ein Computer Schall oder Funkwellen verarbeitet, zerlegt er sie mit der Fourier-Transformation in „wie viel von welcher Tonhöhe darin steckt“. Das Ergebnis ist eine Liste komplexer Zahlen: Der Betrag jeder Zahl ist die Stärke der jeweiligen Welle (die Amplitude), das Argument ihre Verschiebung (die Phase).
Viele Techniken rund um Schall und Funk – der Equalizer in der Musik-App, die Geräuschunterdrückung in Kopfhörern, die Spracherkennung – beruhen darauf, komplexe Zahlen nach Betrag und Argument zu lesen.

Figuren drehen (Spiele und Computergrafik)

Die Regel der Polarform „Beträge multiplizieren, Argumente addieren“ bedeutet geometrisch einfach „strecken und drehen“. Multiplizieren mit \(i\) (Betrag 1, Argument 90°) dreht einen Punkt zum Beispiel genau um 90° um den Ursprung. In 2D-Spielen lässt sich das Drehen von Figuren oder Geschossen als komplexe Multiplikation schreiben.
Quaternionen, die in der 3D-Grafik und in der Robotersteuerung eingesetzt werden, übertragen diese Idee der „Drehung durch komplexe Zahlen“ in drei Dimensionen.

„Entfernung und Richtung“ bei Radar und Sonar (Luft- und Schifffahrt)

Das Radar der Flugsicherung und das Sonar eines Schiffs orten ein Ziel durch ein Paar von Angaben: „wie weit entfernt“ und „in welcher Richtung“. Das ist dieselbe Idee wie die Polarform (Polarkoordinaten), die einen Punkt durch \(r\) und \(\theta\) beschreibt. Für die Anzeige auf dem Bildschirm (waagerechte und senkrechte Koordinate) wird genau so umgerechnet wie auf dieser Seite.
Überall, wo „Entfernung und Richtung“ die natürliche Beschreibung einer Lage ist, taucht diese Umrechnung zwischen Polar- und kartesischen Koordinaten auf.

Formeln und Abbildungen

Polarform (die zweite Schreibweise einer komplexen Zahl)

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(z\) \(=\) \(r\) \(\left(\cos\theta + i\sin\theta\right)\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

③ komplexe Zahl \(z\) \(=\) ① Betrag \(r\) (Abstand vom Ursprung) ② Richtung, gegeben durch das Argument \(\theta\)

Die Formel in Worten

① Multipliziert man den Betrag \(r\) (den Abstand vom Ursprung zum Punkt)

② mit dem Richtungsteil \(\cos\theta + i\sin\theta\) zum Argument \(\theta\) ,

③ erhält man die komplexe Zahl \(z\) .

Einfaches Beispiel

\(z = 1 + \sqrt{3}i\) in Polarform (der Betrag ist \(r = 2\), das Argument \(\theta = \dfrac{\pi}{3}\), also 60°):

komplexe Zahl \(1 + \sqrt{3}i\) \(=\) Betrag \(2\) \(\cos\dfrac{\pi}{3} + i\sin\dfrac{\pi}{3}\)

\(r = \sqrt{1^{2} + \left(\sqrt{3}\right)^{2}} = \sqrt{4} = 2\)

\(1 + \sqrt{3}i = 2\left(\cos\dfrac{\pi}{3} + i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)\)

Der Grundgedanke

Dieselbe komplexe Zahl lässt sich auf zwei Arten schreiben. Liest man sie als „Punkt \(a\) nach rechts und \(b\) nach oben“, erhält man die Normalform \(a + bi\). Liest man sie als „Punkt im Abstand \(r\) vom Ursprung, in der Richtung mit dem Winkel \(\theta\) zur reellen Achse“, erhält man die Polarform. Das ist wie bei einer Wegbeschreibung: Die Normalform sagt „1 nach Osten und √3 nach Norden“, die Polarform „um 60° von Osten nach Norden drehen und 2 gehen“. Addieren und Subtrahieren geht in der Normalform leichter, Multiplizieren, Dividieren und Potenzieren in der Polarform (warum, zeigt unten die Formel für das Multiplizieren in Polarform).

Betrag \(r\) (Abstand vom Ursprung)

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

\(r\) \(=\) \(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\)

② Betrag \(r\) \(=\) ① Wurzel aus der Summe der Quadrate von Realteil \(a\) und Imaginärteil \(b\)

Die Formel in Worten

① Die Wurzel aus Realteil \(a\) zum Quadrat plus Imaginärteil \(b\) zum Quadrat, \(\sqrt{a^2 + b^2}\),

② ist der Betrag \(r\) .

Einfaches Beispiel

Der Betrag von \(z = 3 + 4i\) ist

Betrag \(r\) \(=\) \(\sqrt{3^2 + 4^2}\)

\(r = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5\)

Der Grundgedanke

Das ist einfach der Satz des Pythagoras aus Klasse 8–9 (13–15 Jahre). In der gaußschen Zahlenebene liegt der Punkt \(z = a + bi\) um \(a\) nach rechts und \(b\) nach oben. Ursprung, der Punkt \((a\,|\,0)\) und \(z\) bilden ein rechtwinkliges Dreieck, und der Abstand vom Ursprung bis \(z\) (die Hypotenuse) ist \(\sqrt{a^2 + b^2}\). Üblicherweise schreibt man eine Wurzel im Ergebnis so weit wie möglich vereinfacht, also mit herausgezogenen Quadratzahlen wie \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\) (so zeigt es auch dieser Rechner).

Argument \(\theta\) (aus tan θ und dem Quadranten)

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

\(\tan\theta\) \(=\) \(\dfrac{b}{a}\)

② Tangens des Arguments \(\theta\) \(=\) ① Imaginärteil \(b\) geteilt durch Realteil \(a\)

Die Formel in Worten

① Der Imaginärteil \(b\) geteilt durch den Realteil \(a\)

② ist der Tangens des Arguments, \(\tan\theta\) (diese Formel allein legt \(\theta\) noch nicht eindeutig fest – erst der Quadrant des Punktes \(z\) entscheidet)

Einfaches Beispiel

Das Argument von \(z = -1 + i\) (der Realteil ist negativ, der Imaginärteil positiv – der Punkt liegt also im 2. Quadranten):

Tangens \(\tan\theta\) \(=\) \(\dfrac{1}{-1} = -1\)

\(\tan\theta = \dfrac{1}{-1} = -1\)

\(\theta = \dfrac{3}{4}\pi \quad \left(a < 0,\ b > 0\right)\)

Der Grundgedanke

Im Bereich \(0 \le \theta < 2\pi\) gibt es zwei Winkel mit \(\tan\theta = -1\): \(\dfrac{3}{4}\pi\) (135°) und \(\dfrac{7}{4}\pi\) (315°). Welcher richtig ist, hängt vom Quadranten des Punktes \(z\) ab. Bei \(z = -1 + i\) ist der Realteil negativ und der Imaginärteil positiv, das ist der 2. Quadrant (oben links), also gilt \(\theta = \dfrac{3}{4}\pi\). Das ist die Quadrantenkorrektur. Die Taste \(\arctan\) (bzw. \(\tan^{-1}\)) am Taschenrechner und die entsprechende Funktion in Tabellenprogrammen liefern nur Winkel zwischen \(-\dfrac{\pi}{2}\) und \(\dfrac{\pi}{2}\). Für Punkte im 2. und 3. Quadranten ist ihr Ergebnis daher nicht direkt das Argument. Je nach Quadrant muss man den Winkel aus \(\arctan\) noch anpassen, etwa \(\pi\) addieren (dieser Rechner zeigt die Korrektur im Rechenweg).

Multiplizieren in Polarform (Beträge multiplizieren, Argumente addieren)

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(z_{1} z_{2}\) \(=\) \(r_{1} r_{2}\) \(\left\{\cos\left(\theta_{1} + \theta_{2}\right) + i\sin\left(\theta_{1} + \theta_{2}\right)\right\}\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

③ Produkt der beiden komplexen Zahlen \(=\) ① Produkt der Beträge ② Richtung, gegeben durch die Summe der Argumente

Die Formel in Worten

① Multipliziert man das Produkt der Beträge \(r_1 r_2\)

② mit dem Richtungsteil zur Summe der Argumente \(\theta_1 + \theta_2\) ,

③ erhält man das Produkt der beiden komplexen Zahlen \(z_1 z_2\) (das Multiplizieren mit \(z_2\) streckt die Länge um den Faktor \(r_2\) und dreht die Richtung um \(\theta_2\))

Einfaches Beispiel

Das Produkt von \(z_1 = 2\left(\cos\dfrac{\pi}{6} + i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)\) und \(z_2 = 3\left(\cos\dfrac{\pi}{3} + i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)\) ist

Produkt \(z_1 z_2\) \(=\) Beträge multipliziert, \(2 \cdot 3\) \(\cos\dfrac{\pi}{2} + i\sin\dfrac{\pi}{2}\)

\(z_1 z_2 = 2 \times 3\left\{\cos\left(\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi}{3}\right)\right\}\)

\(z_1 z_2 = 6\left(\cos\dfrac{\pi}{2} + i\sin\dfrac{\pi}{2}\right) = 6i\)

Der Grundgedanke

Das ist der größte Vorteil der Polarform. In der Normalform muss man beim Multiplizieren vier Terme ausmultiplizieren, in der Polarform heißt es nur: „Beträge multiplizieren, Argumente addieren“. Geometrisch bedeutet das Multiplizieren mit \(z_2\): „um \(\theta_2\) um den Ursprung drehen und mit dem Faktor \(r_2\) strecken“. Das Multiplizieren mit \(i\) (Betrag 1, Argument 90°) dreht einen Punkt zum Beispiel genau um 90° um den Ursprung. Wendet man diese Regel \(n\)-mal auf dieselbe Zahl an, erhält man den Satz von de Moivre \(\left(\cos\theta + i\sin\theta\right)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta\), mit dem man \(n\)-te Potenzen und \(n\)-te Wurzeln komplexer Zahlen berechnet.

Eine komplexe Zahl \(z = a + bi\) lässt sich mit dem Betrag \(r = \sqrt{a^2 + b^2}\) (dem Abstand vom Ursprung) und dem Argument \(\theta\) (dem Winkel gegen den Uhrzeigersinn ab der positiven reellen Achse) auch in Polarform \(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\) schreiben. Das Argument bestimmt man aus \(\tan\theta = \dfrac{b}{a}\) und dem Quadranten des Punktes. In Polarform wird das Multiplizieren einfach: Beträge multiplizieren, Argumente addieren.

Symbole und Begriffe

Symbole

\(i\)	i	Die imaginäre Einheit, die Zahl, deren Quadrat \(-1\) ist (\(i^2 = -1\)). Der Buchstabe kommt von „imaginär“ (in der Elektrotechnik schreibt man \(j\)).
\(z\)	z	Der übliche Buchstabe für eine komplexe Zahl. Für komplexe Zahlen nimmt man meist \(z\) und \(w\), um sie von reellen Variablen wie \(x,\ y\) zu unterscheiden.
\(a,\ b\)	a, b	Realteil (\(a\)) und Imaginärteil (\(b\)) von \(z = a + bi\), beides reelle Zahlen. In der gaußschen Zahlenebene ist \(a\) die Lage nach rechts (auf der reellen Achse) und \(b\) die Lage nach oben (auf der imaginären Achse).
\(r\)	r	Der Buchstabe für den Betrag (den Abstand vom Ursprung bis zum Punkt \(z\)). Er kommt von „Radius“. In der Polarform ist \(r\) eine reelle Zahl, die 0 oder größer ist.
\(\|z\|\)	Betrag von z	Das Zeichen für den Betrag von \(z\). Man schreibt es mit zwei senkrechten Strichen wie bei reellen Zahlen, und es gilt \(\|a + bi\| = \sqrt{a^2 + b^2}\).
\(\theta\)	Theta	Der griechische Buchstabe für das Argument, in der Mathematik ein üblicher Buchstabe für Winkel. Viele deutsche Lehrbücher schreiben das Argument auch mit \(\varphi\) (Phi).
\(\arg z\)	arg z	Das Zeichen für das Argument von \(z\), aus den ersten drei Buchstaben von „Argument“. Man schreibt etwa \(\arg z = \theta\).
\(\cos\theta,\ \sin\theta\)	Kosinus Theta, Sinus Theta	Winkelfunktionen. Auf dem Kreis mit Radius 1 (dem Einheitskreis) hat der Punkt in Richtung des Winkels \(\theta\) die waagerechte Lage \(\cos\theta\) und die senkrechte Lage \(\sin\theta\). In der Polarform sind sie der Teil, der die Richtung angibt.
\(\tan\theta\)	Tangens Theta	Eine Winkelfunktion mit \(\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\). In der gaußschen Zahlenebene ist \(\tan\theta = \dfrac{b}{a}\) (Höhe durch Breite, also die Steigung) – der Schlüssel zum Argument.
\(\arctan\)	Arkustangens	Die Umkehrung des Tangens (auch \(\tan^{-1}\)). Sie liefert „den Winkel \(\theta\) mit \(\tan\theta = x\)“, und zwar immer zwischen \(-\dfrac{\pi}{2}\) und \(\dfrac{\pi}{2}\). Für Argumente im 2. und 3. Quadranten braucht man deshalb die Quadrantenkorrektur.
\(\pi\)	Pi	Die Kreiszahl (etwa 3,14159). Im Bogenmaß ist eine halbe Umdrehung, \(180^{\circ}\), genau \(\pi\). Der Buchstabe \(\pi\) soll vom Anfangsbuchstaben des griechischen Wortes für „Umfang“ stammen.

Begriffe

komplexe Zahl	Eine Zahl der Form \(a + bi\) mit reellen Zahlen \(a\) und \(b\). Ein Zahlbereich, der reelle und imaginäre Zahlen zusammenfasst.
imaginäre Einheit	Die Zahl \(i\), deren Quadrat \(-1\) ist. Keine reelle Zahl hat ein negatives Quadrat, deshalb wurde sie als neue Zahl eingeführt.
Realteil	Das \(a\) in der komplexen Zahl \(z = a + bi\). In der gaußschen Zahlenebene die waagerechte Koordinate.
Imaginärteil	Das \(b\) in der komplexen Zahl \(z = a + bi\): die reelle Zahl vor \(i\), ohne das \(i\) selbst (der Imaginärteil von \(1 + 2i\) ist \(2\), nicht \(2i\)).
gaußsche Zahlenebene	Die Ebene, in der \(a + bi\) als Punkt \((a\,\|\,b)\) dargestellt wird. Die waagerechte Achse heißt reelle Achse, die senkrechte imaginäre Achse. Auch komplexe Zahlenebene genannt.
Normalform (kartesische Form)	Die Schreibweise einer komplexen Zahl als \(a + bi\) (Koordinaten \(a\) nach rechts und \(b\) nach oben). Auch algebraische Form genannt. Addieren und Subtrahieren geht in dieser Form am leichtesten.
Polarform (trigonometrische Form)	Die Schreibweise einer komplexen Zahl mit dem Abstand \(r\) vom Ursprung und dem Drehwinkel \(\theta\) ab der reellen Achse, also \(r(\cos\theta + i\sin\theta)\). Kurz schreibt man auch \(r\,e^{i\theta}\) (Exponentialform). Multiplizieren, Dividieren und Potenzieren gehen in dieser Form am leichtesten.
Betrag (Absolutbetrag)	Der Abstand vom Ursprung bis zum Punkt \(z\), berechnet als \(\|z\| = \sqrt{a^2 + b^2}\). Er überträgt den Betrag einer reellen Zahl (ihren Abstand von 0 auf der Zahlengeraden) auf die Ebene.
Argument	Der Winkel der Richtung vom Ursprung zum Punkt \(z\), gemessen gegen den Uhrzeigersinn ab der positiven reellen Achse. Zeichen: \(\arg z\). Eine volle Umdrehung (\(2\pi\)) mehr ergibt dieselbe Richtung, deshalb gibt man das Argument üblicherweise in einem festen Bereich an, etwa \(0 \le \theta < 2\pi\) oder \(-\pi < \theta \le \pi\) (der Hauptwert).
Quadrant	Einer der vier Bereiche, in die die beiden Achsen das Koordinatensystem teilen. Oben rechts liegt der 1. Quadrant (oft I geschrieben), gegen den Uhrzeigersinn folgen der 2., 3. und 4. In welchem Quadranten ein Punkt liegt, ist der Schlüssel zu seinem Argument.
Bogenmaß (Radiant)	Ein Winkel wird über die Länge des Bogens gemessen, den er auf einem Kreis mit Radius 1 ausschneidet. \(180^{\circ} = \pi\) (Einheit rad). Bei den trigonometrischen Funktionen ist das Bogenmaß statt des Gradmaßes die übliche Einheit.
besondere Winkel	\(30^{\circ}\), \(45^{\circ}\), \(60^{\circ}\) und verwandte Winkel (diese plus Vielfache von \(90^{\circ}\)). Ihre Werte für Sinus und Kosinus lassen sich exakt angeben, etwa \(\dfrac{1}{2}\), \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) und \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\); die meisten Aufgaben in Schulbüchern und Klausuren nutzen diese Winkel.
Quadrantenkorrektur	Innerhalb einer vollen Umdrehung gibt es zwei Winkel mit \(\tan\theta = \dfrac{b}{a}\). Man wählt den, der zum Quadranten des Punktes passt (zum Beispiel, indem man zum Winkel aus \(\arctan\) noch \(\pi\) addiert).
Satz von de Moivre	Der Satz \(\left(\cos\theta + i\sin\theta\right)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta\). Er entsteht, wenn man „Multiplizieren heißt Argumente addieren“ \(n\)-mal wiederholt, und man berechnet damit \(n\)-te Potenzen und \(n\)-te Wurzeln komplexer Zahlen.

Das sollten Sie vorher wissen

Hier steht, was Ihnen hilft, die Rechnungen auf dieser Seite wirklich zu verstehen – statt nur auf die Schaltfläche zu klicken.
Wenn Sie nicht weiterkommen, ist das Wiederholen dieser Themen der schnellste Weg.

Quadratwurzeln (Klasse 8–9, 13–15 Jahre)	Wissen, dass \(\sqrt{2}\) „die positive Zahl ist, deren Quadrat 2 ergibt“ Teilweise die Wurzel ziehen können, also Quadratzahlen herausziehen, etwa \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\)
Satz des Pythagoras (Klasse 8–9, 13–15 Jahre)	Wissen, dass die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten \(a\) und \(b\) die Länge \(\sqrt{a^2 + b^2}\) hat Den Abstand zweier Punkte im Koordinatensystem mit dem Satz des Pythagoras berechnen können
Komplexe Zahlen (Oberstufe oder Studium, ab 16 Jahren)	Wissen, dass die imaginäre Einheit \(i\) die Zahl mit \(i^2 = -1\) ist Aus \(a + bi\) den Realteil \(a\) und den Imaginärteil \(b\) ablesen können
Trigonometrie und Einheitskreis (Klasse 9–10, 14–16 Jahre)	Wissen, dass \(\sin\), \(\cos\) und \(\tan\) für einen Punkt auf dem Einheitskreis die Höhe, die waagerechte Lage und die Steigung angeben Die Werte von Sinus und Kosinus für \(30^{\circ}\), \(45^{\circ}\) und \(60^{\circ}\) kennen (\(\dfrac{1}{2}\), \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) und \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)) Winkelfunktionen für Winkel über \(90^{\circ}\) am Einheitskreis bestimmen können (Beispiel: \(\cos 135^{\circ} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\))
Bogenmaß (Klasse 10–11, 15–17 Jahre)	Mit \(180^{\circ} = \pi\) zwischen Gradmaß und Bogenmaß umrechnen können (Beispiel: \(60^{\circ} = \dfrac{\pi}{3}\))
Die gaußsche Zahlenebene (Oberstufe oder Studium, ab 16 Jahren)	Eine komplexe Zahl \(a + bi\) als Punkt \((a\,\|\,b)\) in der Ebene darstellen können Wissen, dass die waagerechte Achse reelle Achse und die senkrechte imaginäre Achse heißt

So berechnen Sie es in Excel

Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein – dann funktioniert sie direkt.

Tabelle für Normalform in Polarform

Realteil a	3
Imaginärteil b	4
Betrag r	=WURZEL(B1^2+B2^2)
Argument θ (Bogenmaß, 0 ≤ θ < 2π)	=REST(ARCTAN2(B1;B2);2*PI())
Argument θ (Grad)	=GRAD(REST(ARCTAN2(B1;B2);2*PI()))

Tabelle für Polarform in Normalform

Betrag r	2
Argument θ (Grad)	60
Realteil a = r cos θ	=B1*COS(BOGENMASS(B2))
Imaginärteil b = r sin θ	=B1*SIN(BOGENMASS(B2))

Nach dem Einfügen sind die oberen Zeilen Ihre Eingaben, die unteren werden automatisch berechnet.
In der ersten Tabelle liefert ARCTAN2(x-Koordinate; y-Koordinate) das Argument mit bereits erledigter Quadrantenkorrektur (größer als −π und bis π). Mit REST(…; 2*PI()) wird daraus ein Argument von 0 bis unter 2π. Für das Beispiel z = 3 + 4i ergibt sich r = 5 und θ ≈ 0,9273 (etwa 53,13 Grad).
In der zweiten Tabelle rechnet BOGENMASS Grad in Bogenmaß um. Für das Beispiel r = 2 und θ = 60 Grad ergibt sich a = 1 und b ≈ 1,7320508 (= √3). Excel liefert Dezimalzahlen; für exakte Werte wie √2 oder Bruchteile von π nutzen Sie den Rechner auf dieser Seite.

So berechnen Sie es in Google Tabellen

Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein – dann funktioniert sie direkt.

Tabelle für Normalform in Polarform

Realteil a	3
Imaginärteil b	4
Betrag r	=WURZEL(B1^2+B2^2)
Argument θ (Bogenmaß, 0 ≤ θ < 2π)	=REST(ARCTAN2(B1;B2);2*PI())
Argument θ (Grad)	=GRAD(REST(ARCTAN2(B1;B2);2*PI()))

Tabelle für Polarform in Normalform

Betrag r	2
Argument θ (Grad)	60
Realteil a = r cos θ	=B1*COS(BOGENMASS(B2))
Imaginärteil b = r sin θ	=B1*SIN(BOGENMASS(B2))

Bei deutscher Spracheinstellung funktionieren dieselben Formeln wie in Excel (auch ARCTAN2 erwartet die Werte in derselben Reihenfolge „x-Koordinate; y-Koordinate“). Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Zahlen durch Ihre eigenen.

So berechnen Sie es in Python

import math

# Normalform -> Polarform
real_part = 3        # Realteil a
imaginary_part = 4   # Imaginärteil b
absolute_value = math.sqrt(real_part ** 2 + imaginary_part ** 2)
argument = math.atan2(imaginary_part, real_part)   # mit Quadrantenkorrektur (-π < θ ≤ π)
if argument < 0:
    argument += 2 * math.pi                        # in den Bereich 0 ≤ θ < 2π verschieben
print(f"Betrag r = {absolute_value}")
print(f"Argument θ = {argument} rad ({math.degrees(argument)} Grad)")

# Polarform -> Normalform
r = 2
theta_degree = 60
theta = math.radians(theta_degree)
print(f"Realteil a = {r * math.cos(theta)}")
print(f"Imaginärteil b = {r * math.sin(theta)}")

math.atan2(y, x) liefert den Winkel mit bereits erledigter Quadrantenkorrektur und gibt daher anders als arctan auch für Punkte im 2. und 3. Quadranten die richtige Richtung. Die erste Hälfte rechnet z = 3 + 4i um und gibt r = 5,0 und θ ≈ 0,9272952180016122 rad (etwa 53,13 Grad) aus. Die zweite Hälfte rechnet r = 2 und θ = 60° zurück und liefert a ≈ 1,0000000000000002 und b ≈ 1,7320508075688772 (= √3); Python selbst schreibt Dezimalzahlen mit Punkt statt Komma. Dass a nicht genau 1 ist, liegt an Rundungsfehlern von Dezimalzahlen (Gleitkommazahlen); exakte Werte erhält man nur mit symbolischem Rechnen wie im Rechner auf dieser Seite. Betrag und Winkel (−π < θ ≤ π) bekommen Sie auch auf einmal mit cmath.polar(complex(3, 4)) aus dem Standardmodul cmath.

So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)

Polarform (die zweite Schreibweise einer komplexen Zahl)

z = r(cosθ + i sinθ)

z = r(\cos\theta + i\sin\theta)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>z</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>r</mi>
    <mo>(</mo>
    <mi>cos</mi><mi>&#x3B8;</mi>
    <mo>+</mo>
    <mi>i</mi><mi>sin</mi><mi>&#x3B8;</mi>
    <mo>)</mo>
  </mrow>
</math>

z = r(cos theta + i sin theta)

z == r (Cos[theta] + I Sin[theta])

z := r*(cos(theta) + I*sin(theta));

z = r*(cos(theta) + 1i*sin(theta));

z = r(cos θ + i sin θ)

Betrag \(r\) (Abstand vom Ursprung)

r = |z| = √(a² + b²)

r = |z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>r</mi>
    <mo>=</mo>
    <mo>|</mo><mi>z</mi><mo>|</mo>
    <mo>=</mo>
    <msqrt>
      <mrow>
        <msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
        <mo>+</mo>
        <msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
      </mrow>
    </msqrt>
  </mrow>
</math>

r = |z| = sqrt(a^2 + b^2)

Abs[a + b I]

r := abs(a + b*I);

r = abs(a + b*1i);

r = √(a^2 + b^2)

Argument \(\theta\) (aus tan θ und dem Quadranten)

tanθ = b/a

\tan\theta = \dfrac{b}{a}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>tan</mi><mi>&#x3B8;</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><mi>b</mi><mi>a</mi></mfrac>
  </mrow>
</math>

tan theta = b/a

theta = Arg[a + b I]

theta := argument(a + b*I);

theta = angle(a + b*1i);

tan θ = b/a

Multiplizieren in Polarform (Beträge multiplizieren, Argumente addieren)

z₁z₂ = r₁r₂{cos(θ₁+θ₂) + i sin(θ₁+θ₂)}

z_{1}z_{2} = r_{1}r_{2}\{\cos(\theta_{1}+\theta_{2}) + i\sin(\theta_{1}+\theta_{2})\}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>z</mi><mn>1</mn></msub>
    <msub><mi>z</mi><mn>2</mn></msub>
    <mo>=</mo>
    <msub><mi>r</mi><mn>1</mn></msub>
    <msub><mi>r</mi><mn>2</mn></msub>
    <mo>{</mo>
    <mi>cos</mi>
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    <mo>}</mo>
  </mrow>
</math>

z_1 z_2 = r_1 r_2 (cos(theta_1 + theta_2) + i sin(theta_1 + theta_2))

r1 r2 (Cos[theta1 + theta2] + I Sin[theta1 + theta2])

z1z2 := r1*r2*(cos(theta1 + theta2) + I*sin(theta1 + theta2));

z12 = r1*r2*(cos(t1 + t2) + 1i*sin(t1 + t2));

z_1 z_2 = r_1 r_2 (cos(θ_1+θ_2) + i sin(θ_1+θ_2))

So lassen Sie ChatGPT rechnen

Sie sind ein Rechenassistent für Mathematik (gaußsche Zahlenebene). Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (nicht im Kopf rechnen und nicht schätzen).

1. Rechnen Sie die komplexe Zahl z = 3 + 4i in die Polarform r(cos θ + i sin θ) um. Geben Sie den Betrag r und das Argument θ an (im Bereich 0 ≤ θ < 2π, im Bogenmaß und in Grad).
2. Rechnen Sie die komplexe Zahl mit dem Betrag r = 2 und dem Argument θ = 60° in die Normalform a + bi um. Geben Sie a und b als Dezimalzahlen und, wenn möglich, auch als exakte Werte mit Wurzeln an.

Verwenden Sie in Python math.atan2 und math.sqrt und zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis.

Anleitung

1

Werte eingeben

Tragen Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
2

Berechnen

Klicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
3

Ergebnis ansehen

Das Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel