Volumen eines Quaders berechnen (Länge × Breite × Höhe)

Geben Sie Länge, Breite und Höhe des Quaders ein. Sie erhalten das Volumen (Länge × Breite × Höhe) und die Umrechnung in Liter (L), m³ und weitere Einheiten.

Einheiten

Länge

Breite

Höhe

Verwenden Sie für alle drei dieselbe Einheit und geben Sie nur Zahlen größer als 0 ein (nur Zahlen, keine Einheiten; bei 30 cm geben Sie „30“ ein).

Ergebnis und Figur

Geben Sie Länge, Breite und Höhe in die Felder links ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis erscheint hier.

Inhaltsverzeichnis

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Was Sie auf dieser Seite tun können
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
Anleitung
Formeln und Zeichnungen
Symbole und Begriffe
- Symbole
- Begriffe
Was Sie vorab wissen sollten
Mit Excel berechnen
Mit Google Tabellen berechnen
Mit Python berechnen
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
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Was Sie auf dieser Seite tun können

Geben Sie die drei Längen (Länge, Breite und Höhe) ein, und das Volumen des Quaders (Volumen = Länge × Breite × Höhe) wird sofort berechnet
Das Volumen wird auch in anderen Einheiten angezeigt (bei Eingabe in cm in Litern und m³, bei Eingabe in m in cm³)
Das Ergebnis wird auch als 3D-Körper gezeichnet. Ziehen Sie ihn mit der Maus, um ihn zu drehen und Form und Größe zu prüfen
Eine leicht verständliche Erklärung der Formeln sowie Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python finden Sie ebenfalls auf dieser Seite

Geben Sie Länge, Breite und Höhe in derselben Einheit ein (alle in cm oder alle in m). Welche Seite Sie Länge und welche Breite nennen, ändert das Ergebnis nicht. Das Volumen anderer Körper wie Würfel, Zylinder und Kugel hat jeweils eine eigene Seite.

Wofür ist diese Berechnung nützlich?

Wissen, wie viel Wasser in ein Aquarium passt (Fische und Haustiere)

Das gängige „60-cm-Aquarium“ ist 60 cm lang, 30 cm tief und 36 cm hoch. Sein Volumen beträgt \(60 \times 30 \times 36 = 64.800\,\mathrm{cm^3}\), also \(64.800 \div 1.000 = 64{,}8\) Liter (in der Praxis füllt man es nicht bis zum Rand, es enthält also etwas weniger Wasser).
Heizerleistung, Filterleistung und die Zahl der Fische, die Sie halten können, werden alle „pro Liter Wasser“ angegeben, deshalb beginnt die Wahl eines Aquariums mit dieser Rechnung.

Wassermenge und Wasserkosten einer Badewanne abschätzen (Alltag und Sparen)

Ist eine Badewanne innen 140 cm lang und 60 cm breit und füllen Sie sie 25 cm hoch, beträgt das Wasser \(140 \times 60 \times 25 = 210.000\,\mathrm{cm^3}\), also 210 Liter (echte Wannen haben schräge Wände, und Ihr Körper verdrängt Wasser, es ist also etwas weniger).
Trinkwasser kostet in Deutschland im Bundesdurchschnitt etwa 2,18 € pro m³ (dazu kommen die Abwassergebühren). Für 0,21 m³ Wasser sind das rund 0,46 € allein für das Trinkwasser. Ob Sie ein Bad oder eine Dusche vergleichen, wie bei vielen Sparideen beim Wasser beginnt alles mit einer Volumenrechnung.

Das Volumengewicht eines Pakets berechnen (Logistik und Versandhandel)

Bei internationalen Expresssendungen wird nicht nur nach dem tatsächlichen Gewicht, sondern auch nach dem „Volumengewicht“ abgerechnet. Eine übliche Formel lautet „Länge (cm) × Breite (cm) × Höhe (cm) ÷ 5.000“ (der Teiler ist je nach Anbieter unterschiedlich). Ein Karton mit 60 cm mal 40 cm mal 30 cm hat ein Volumen von \(60 \times 40 \times 30 = 72.000\,\mathrm{cm^3}\), sein Volumengewicht ist also \(72.000 \div 5.000 = 14{,}4\) kg.
Je leichter und sperriger ein Paket ist, desto mehr zählt sein Volumen, deshalb wird diese Rechnung in der Logistik jeden Tag verwendet.

Die Erdmenge für ein Hochbeet oder einen Pflanzkasten abschätzen (Garten)

Um ein Beet mit 40 cm Länge, 100 cm Breite und 30 cm Tiefe mit Erde zu füllen, brauchen Sie \(40 \times 100 \times 30 = 120.000\,\mathrm{cm^3}\) Erde, also 120 Liter.
Blumenerde wird nach dem Volumen verkauft, etwa in Säcken zu 50 Litern, also \(120 \div 50 = 2{,}4\), und mit 3 Säcken kommen Sie aus (immer aufrunden). So kaufen Sie weder zu viel noch zu wenig.

Mit dem Volumen eines Raums Lüfter und Luftreiniger auswählen (Wohnen und Geräte)

Ein Raum mit 3,6 m Länge, 2,7 m Breite und 2,4 m Deckenhöhe enthält \(3{,}6 \times 2{,}7 \times 2{,}4 \approx 23{,}3\,\mathrm{m^3}\) Luft.
Die Leistung von Lüftern (m³ pro Stunde) und der empfohlene Einsatzbereich von Luftbefeuchtern und Luftreinigern gehen von der Luftmenge im Raum aus. Ein Lüfter mit 100 m³/h braucht \(23{,}3 \div 100 \approx 0{,}23\) Stunden, also etwa 14 Minuten, um eine Luftmenge zu bewegen, die dem ganzen Raum entspricht. Kennen Sie das Raumvolumen, können Sie solche Angaben also einordnen.

Formeln und Zeichnungen

Volumen eines Quaders

Zeichnung

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(V\) \(=\) \(l\) \(\times\) \(w\) \(\times\) \(h\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

④ \(V\): Volumen \(=\) ① \(l\): Länge \(\times\) ② \(w\): Breite \(\times\) ③ \(h\): Höhe

Die Formel in Worten

① Nehmen Sie die \(l\): Länge

② multiplizieren Sie sie mit der \(w\): Breite

③ multiplizieren Sie das mit der \(h\): Höhe

④ und Sie erhalten das \(V\): Volumen

Einfaches Beispiel

Das Volumen eines Quaders, der 5 cm lang, 8 cm breit und 4 cm hoch ist, beträgt

\(V\): Volumen \(=\) Länge (5 cm) \(\times\) Breite (8 cm) \(\times\) Höhe (4 cm)

\(5 \times 8 \times 4 = 160\,\mathrm{cm^3}\)

Der Kerngedanke

Warum ergeben drei Multiplikationen das Volumen? Das Volumen zählt, wie viele Einheitswürfel hineinpassen, hier Würfel mit 1 cm Kantenlänge (1 cm³). In einen Quader, der 5 cm lang, 8 cm breit und 4 cm hoch ist, passen in die unterste Schicht \(5 \times 8 = 40\) dieser Würfel, und es liegen 4 Schichten übereinander, also sind es insgesamt \(40 \times 4 = 160\) Würfel. Das sind 160 cm³. Verwenden Sie für Länge, Breite und Höhe immer dieselbe Einheit. Rechnen Sie alle in cm, ergibt sich das Ergebnis in Kubikzentimetern (cm³); rechnen Sie alle in m, in Kubikmetern (m³).

Grundfläche × Höhe (Volumen eines Prismas)

Zeichnung

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(V\) \(=\) \(S\) \(\times\) \(h\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(V\): Volumen \(=\) ① \(S\): Grundfläche \(\times\) ② \(h\): Höhe

Die Formel in Worten

① Nehmen Sie die \(S\): Grundfläche

② multiplizieren Sie sie mit der \(h\): Höhe

③ und Sie erhalten das \(V\): Volumen

Einfaches Beispiel

Das Volumen eines Quaders, der 5 cm lang und 8 cm breit (Grundfläche 40 cm²) und 4 cm hoch ist, beträgt

\(V\): Volumen \(=\) Grundfläche (40 cm²) \(\times\) Höhe (4 cm)

\(5 \times 8 = 40\,\mathrm{cm^2}\)

\(40 \times 4 = 160\,\mathrm{cm^3}\)

Der Kerngedanke

Der Teil „Länge × Breite“ ist genau der Flächeninhalt des Rechtecks am Boden (die Grundfläche). Das Volumen eines Quaders lässt sich also auch als „Grundfläche × Höhe“ lesen. Deutsche Schulbücher schreiben das als \(V = G \cdot h\), mit \(G\) für die Grundfläche. Das Schöne an dieser Sichtweise ist, dass sie auch dann gilt, wenn die Grundfläche kein Rechteck ist. Ob die Grundfläche ein Dreieck oder ein Kreis ist, das Volumen jedes Prismas oder Zylinders ist „Grundfläche × Höhe“. Die Quaderformel ist der einfachste Fall dieser Regel.

Umrechnung von Volumeneinheiten (cm³ in L)

Zeichnung

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(V_{\mathrm{L}}\) \(=\) \(V_{\mathrm{cm^3}}\) \(\div\) \(1000\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(V_{\mathrm{L}}\): Volumen in Litern \(=\) ① \(V_{\mathrm{cm^3}}\): Volumen in cm³ \(\div\) ② \(1.000\): cm³ in 1 Liter

Die Formel in Worten

① Nehmen Sie das \(V_{\mathrm{cm^3}}\): Volumen in cm³

② teilen Sie es durch \(1.000\): cm³ in 1 Liter

③ und Sie erhalten das \(V_{\mathrm{L}}\): Volumen in Litern

Einfaches Beispiel

Das Volumen eines Aquariums mit 30 cm mal 60 cm Grundfläche und 36 cm Höhe, 64.800 cm³, in Litern beträgt

Volumen in Litern \(=\) Volumen in cm³ (64.800) \(\div\) cm³ in 1 Liter (1.000)

\(64.800 \div 1.000 = 64{,}8\,\mathrm{L}\)

Der Kerngedanke

\(1\,\mathrm{L}\) ist die Menge, die in einen Würfel mit 10 cm Kantenlänge passt: \(10 \times 10 \times 10 = 1.000\,\mathrm{cm^3}\). Deshalb teilen Sie cm³ durch 1.000, um Liter zu erhalten (1 mL ist genau 1 cm³). Die Umrechnung in m³ ist die dritte Potenz des Längenfaktors: Wegen 1 m = 100 cm gilt \(1\,\mathrm{m^3} = 100 \times 100 \times 100 = 1.000.000\,\mathrm{cm^3}\). Dass es das 1.000.000-Fache ist, ist ein häufiger Stolperstein.

Das Volumen eines Quaders ist Länge × Breite × Höhe. Da Länge × Breite die Grundfläche ist, lässt es sich auch als „Grundfläche × Höhe“ lesen, eine Sichtweise, die für jedes Prisma und jeden Zylinder gilt. Zum Umrechnen von cm³ in Liter teilen Sie einfach durch 1.000.

Symbole und Begriffe

Symbole

\(V\)	Vau	Der übliche Buchstabe für das Volumen, nach dem Anfangsbuchstaben von „Volumen“.
\(l\)	El	Die Länge des Quaders, nach dem Anfangsbuchstaben von „Länge“.
\(w\)	We	Die Breite des Quaders (von „width“). Deutsche Schulbücher schreiben dafür meist \(b\), also \(V = l \cdot b \cdot h\) oder \(V = a \cdot b \cdot c\).
\(h\)	Ha	Die Höhe des Quaders, nach dem Anfangsbuchstaben von „Höhe“.
\(S\)	Es	Die Grundfläche (der Flächeninhalt des Rechtecks am Boden). Auf dieser Seite gilt \(S = l \times w\). Deutsche Schulbücher schreiben dafür \(G\).
\(\mathrm{cm^3}\)	Kubikzentimeter	Eine Einheit für das Volumen. Ein Würfel mit 1 cm Kantenlänge hat ein Volumen von 1 cm³. Verwechseln Sie sie nicht mit cm² (Quadratzentimeter), einer Einheit für die Fläche.
\(\mathrm{m^3}\)	Kubikmeter	Eine Einheit für das Volumen. Ein Würfel mit 1 m Kantenlänge hat ein Volumen von 1 m³. Es gilt \(1\,\mathrm{m^3} = 1.000.000\,\mathrm{cm^3} = 1.000\,\mathrm{L}\).
\(\mathrm{L}\)	Liter	Eine Einheit, die man oft für Mengen wie Wasser verwendet. Es gilt \(1\,\mathrm{L} = 1.000\,\mathrm{cm^3}\) und \(1\,\mathrm{mL} = 1\,\mathrm{cm^3}\).

Begriffe

Quader	Eine Kistenform, deren 6 Flächen alle Rechtecke sind (einige dürfen Quadrate sein). Taschentuchboxen, Ziegel und Aquarien sind alle Quader, der häufigste Körper in unserer Umgebung.
Würfel	Ein Körper, dessen 6 Flächen alle gleich große Quadrate sind, die Form eines Spielwürfels. Er ist ein besonderer Quader, bei dem Länge, Breite und Höhe alle gleich sind.
Volumen	Die Größe eines Körpers (der Raum, den er einnimmt), angegeben als Zahl. Man misst es, indem man zählt, wie viele Einheitswürfel, etwa Würfel mit 1 cm Kantenlänge (1 cm³), hineinpassen. Man sagt auch Rauminhalt.
Grundfläche	Der Flächeninhalt der Bodenfläche eines Körpers. Bei einem Quader ist es der Flächeninhalt des Rechtecks am Boden (Länge × Breite). „Grundfläche × Höhe“ ist die Grundregel für das Volumen von Prismen und Zylindern.
Prisma	Ein Körper, der entsteht, wenn man ein Vieleck gerade nach oben stapelt, ohne seine Form zu ändern. Ein Quader ist ein Prisma, dessen Grundfläche ein Rechteck ist.
Einheitenumrechnung	Dieselbe Menge in einer anderen Einheit ausdrücken. Beim Volumen ist der Kernpunkt, dass der Volumenfaktor die dritte Potenz des Längenfaktors ist (1 m = 100 cm, also 1 m³ = 1.000.000 cm³).

Was Sie vorab wissen sollten

Hier steht, was hilfreich ist, damit Sie die Berechnung dieser Seite wirklich verstehen und nicht nur den Knopf drücken.

Multiplikation (Klasse 2–3, 7–9 Jahre)	Das kleine Einmaleins kennen und drei Zahlen der Reihe nach multiplizieren können, etwa 3 × 4 × 5
Quader und Würfel (Klasse 3–5, 8–11 Jahre)	Einen Quader (eine Kiste, deren 6 Flächen Rechtecke sind) von einem Würfel (einem Spielwürfel, dessen 6 Flächen Quadrate sind) unterscheiden können Auf einer Schrägbild-Zeichnung einer Kiste Länge, Breite und Höhe zeigen können
Was Volumen bedeutet, und seine Einheiten (Klasse 5, 10–11 Jahre)	Wissen, dass sich ein Volumen als die Zahl der Einheitswürfel mit 1 cm Kantenlänge (1 cm³) zählen lässt, die hineinpassen Einheiten wie cm³ und m³ lesen und schreiben können und wissen, dass \(1\,\mathrm{m^3} = 1.000.000\,\mathrm{cm^3}\) gilt Wissen, dass \(1\,\mathrm{L} = 1.000\,\mathrm{cm^3}\) und \(1\,\mathrm{mL} = 1\,\mathrm{cm^3}\) gilt
Multiplikation von Dezimalzahlen (Klasse 5–6, 10–12 Jahre)	Dezimalzahlen wie \(3{,}6 \times 2{,}7\) miteinander multiplizieren können (wichtig für in m gemessene Längen)

Mit Excel berechnen

Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein. Sie funktioniert unverändert.

Tabelle zur Berechnung des Volumens eines Quaders

Länge (cm)	30
Breite (cm)	60
Höhe (cm)	36
Volumen (cm³)	=B1B2B3

Tabelle zur Berechnung als „Grundfläche × Höhe“

Länge (cm)	30
Breite (cm)	60
Höhe (cm)	36
Grundfläche (cm²)	=B1*B2
Volumen (cm³)	=B4*B3

Tabelle zur Umrechnung von cm³ in Liter

Volumen in cm³	64800
Volumen in Litern	=B1/1000

Nach dem Einfügen enthält Spalte A die Bezeichnungen und Spalte B die Zahlen. Die oberen Zeilen sind Ihre Eingaben, und die Formeln in den unteren Zeilen rechnen daraus automatisch.
„B1“ und „B2“ in einer Formel bedeuten „die Zahl in dieser Zelle verwenden“, „*“ ist die Multiplikation und „/“ die Division.
In der ersten Tabelle zeigt B4 zum Beispiel 30 × 60 × 36 = 64800 (in cm³, weil Sie cm eingegeben haben). Die zweite Tabelle zeigt in B5 dieselben 64800, und die dritte zeigt in B2 den Wert 64,8 (L). Ersetzen Sie einfach die eingegebenen Zahlen durch Ihre eigenen Längen.

Mit Google Tabellen berechnen

Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein. Sie funktioniert unverändert.

Tabelle zur Berechnung des Volumens eines Quaders

Länge (cm)	30
Breite (cm)	60
Höhe (cm)	36
Volumen (cm³)	=B1B2B3

Tabelle zur Berechnung als „Grundfläche × Höhe“

Länge (cm)	30
Breite (cm)	60
Höhe (cm)	36
Grundfläche (cm²)	=B1*B2
Volumen (cm³)	=B4*B3

Tabelle zur Umrechnung von cm³ in Liter

Volumen in cm³	64800
Volumen in Litern	=B1/1000

Es funktionieren dieselben Formeln wie in Excel. Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die eingegebenen Zahlen durch Ihre eigenen Längen.

Mit Python berechnen

tate = 30     # Länge (in diesem Beispiel in cm)
yoko = 60     # Breite (dieselbe Einheit wie die Länge)
takasa = 36   # Höhe (dieselbe Einheit wie die Länge)

volume = tate * yoko * takasa   # Volumen des Quaders (eingegebene Einheit zur dritten Potenz; hier cm3)
volume_l = volume / 1000        # bei Eingabe in cm das Volumen in Litern

print(f"Volumen des Quaders: {volume} cm3")
print(f"In Litern: {volume_l} L")

Läuft nur mit der Standardbibliothek. „*“ ist das Malzeichen und „/“ die Division. Ändern Sie oben Länge, Breite und Höhe (im Code tate, yoko und takasa) und starten Sie den Code. Das Beispiel gilt für eine Eingabe in cm; bei einer Eingabe in m multiplizieren Sie mit 1000000, um cm³ zu erhalten.

Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)

Volumen eines Quaders

V = l × w × h

V = l \times w \times h

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>V</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>l</mi>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mi>w</mi>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mi>h</mi>
  </mrow>
</math>

V = l xx w xx h

l*w*h

V := l*w*h;

V = l*w*h;

V = l × w × h

Grundfläche × Höhe (Volumen eines Prismas)

V = S × h

V = S \times h

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>V</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>S</mi>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mi>h</mi>
  </mrow>
</math>

V = S xx h

s*h

V := S*h;

V = S*h;

V = S × h

Umrechnung von Volumeneinheiten (cm³ in L)

V[L] = V[cm³] ÷ 1000

V_{\mathrm{L}} = V_{\mathrm{cm^3}} \div 1000

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>V</mi><mi mathvariant="normal">L</mi></msub>
    <mo>=</mo>
    <msub><mi>V</mi><mrow><msup><mi mathvariant="normal">cm</mi><mn>3</mn></msup></mrow></msub>
    <mo>&#xF7;</mo>
    <mn>1000</mn>
  </mrow>
</math>

V_(L) = V_(cm^3) -: 1000

vCm3/1000

vL := vCm3/1000;

v_L = v_cm3/1000;

V(L) = V(cm³)/1000

Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen

Sie sind ein Assistent für Rechenaufgaben in der Mathematik. Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort ausschließlich auf die Zahlen aus dem Ergebnis der Ausführung (rechnen Sie nicht im Kopf und schätzen Sie nicht).

Ein quaderförmiges Aquarium ist 30 cm lang, 60 cm breit und 36 cm hoch.
Berechnen Sie:
1. Das Volumen des Aquariums in cm³
2. Dieses Volumen in Litern (1 L = 1.000 cm³)

Zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ergebnis der Ausführung.

Anleitung

1

Zahlen eingeben

Geben Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
2

Berechnen

Klicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
3

Ergebnis ablesen

Das Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel