Wählen Sie die Matrixgröße (2×2 bis 4×4) und geben Sie die Einträge in das Gitter ein. Eine Inverse gibt es nur für eine quadratische Matrix (Zeilen = Spalten), und sie existiert nur, wenn die Determinante nicht 0 ist (ist sie 0, teilt der Rechner das mit).
Geben Sie die Einträge als Zahlen ein (Dezimalzahlen und negative Zahlen sind erlaubt).
Ergebnis
Wählen Sie links die Größe der Matrix, geben Sie die Einträge ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Die inverse Matrix und der Rechenweg erscheinen hier.
Inhaltsverzeichnis
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Was Sie auf dieser Seite tun können
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Wofür ist diese Berechnung nützlich?
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Anleitung
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Formel
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Symbole und Begriffe
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Was Sie vorab wissen sollten
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Mit Excel berechnen
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Mit Google Tabellen berechnen
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Mit Python berechnen
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Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
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Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
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Die Vorteile von DataChef
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Verwandte Funktionen
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Alle NumberChef-Rechner
Was Sie auf dieser Seite tun können
- Berechnen Sie die Inverse \(A^{-1}\) einer quadratischen Matrix der Größe 2×2, 3×3 oder 4×4 auf der Stelle
- Angezeigt werden auch die Determinante \(\det(A)\) und die Antwort, ob die Inverse existiert (ob die Matrix regulär ist)
- Der Rechenweg verwendet für 2×2 die Formel „\(A^{-1} = \dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\)“ und für 3×3 und 4×4 das Verfahren mit der Adjunkten
- Eine leicht verständliche Erklärung der Formeln sowie Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen (MINV) und Python finden Sie ebenfalls auf dieser Seite
Nur quadratische Matrizen (Zeilen = Spalten), deren Determinante nicht 0 ist, haben eine Inverse. Addition, Multiplikation und Transponieren von Matrizen finden Sie auf der Schwesterseite „Matrizenrechner“, den ausführlichen Rechenweg für Determinanten auf „Determinante berechnen“.
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
Ein lineares Gleichungssystem in einem Schritt lösen
Ein lineares Gleichungssystem mit ebenso vielen Gleichungen wie Unbekannten lässt sich mit der Koeffizientenmatrix \(A\) als \(A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}\) schreiben. Multipliziert man beide Seiten von links mit \(A^{-1}\), erhält man \(\boldsymbol{x} = A^{-1}\boldsymbol{b}\). Kennen Sie die Inverse, liefert also eine einzige Multiplikation die Lösung.
Besonders stark ist das, wenn Sie das System immer wieder lösen und sich nur die rechte Seite \(\boldsymbol{b}\) ändert (wie in der Statik oder bei der Analyse von Schaltungen). Existiert die Inverse nicht (die Determinante ist 0), ist das ein Zeichen dafür, dass das System nicht genau eine Lösung hat.
Koordinatentransformationen in Grafik und Robotik „rückgängig machen“
In der 3D-Grafik, in Spielen und bei der Robotersteuerung werden Transformationen wie Drehen, Skalieren und Verschieben durch Matrizenmultiplikation berechnet. Von den Koordinaten nach einer Transformation zu den Koordinaten davor zurückzukommen, geschieht mit der inversen Matrix.
Etwa das Umschalten zwischen den Koordinaten aus Sicht der Kamera und den Koordinaten der ganzen Welt (die View-Matrix) oder das Bestimmen, wo ein auf dem Bildschirm angeklickter Punkt im 3D-Raum liegt, verwendet inverse Matrizen fast in jedem Bild.
Eine Chiffre entschlüsseln, deren Schlüssel eine Matrix ist (Hill-Chiffre)
Verwandelt man Buchstaben in Zahlen und multipliziert mit einer Matrix, wird aus einer Nachricht eine verschlüsselte Nachricht (die Hill-Chiffre). Der Empfänger erhält die ursprüngliche Nachricht zurück, indem er mit der Inversen der Schlüsselmatrix multipliziert.
Das Paar „was eine Matrix tut, macht ihre Inverse rückgängig“ ist genau das Paar aus Verschlüsseln und Entschlüsseln, was dies zum direktesten Beispiel für den Gedanken der Inversen macht. (In der Praxis werden die Zahlen als Reste nach der Division durch 26 behandelt, der Schlüssel muss also eine Matrix sein, die in diesem Zahlensystem eine Inverse hat.)
Die Ausstrahlungseffekte in der Wirtschaft berechnen (Input-Output-Analyse)
Ausstrahlungseffekte zwischen Branchen, etwa „wenn die Autoproduktion wächst, wie viel mehr Stahl und Strom müssen erzeugt werden“, werden berechnet, indem man den Handel zwischen den Branchen in eine Matrix \(A\) schreibt und mit \((E - A)^{-1}\) (der Leontief-Inversen) multipliziert.
Es ist ein Standardverfahren, wenn Bund und Länder die wirtschaftlichen Auswirkungen von Bauprojekten oder Veranstaltungen wie Festen ermitteln, und ein führendes Beispiel dafür, dass inverse Matrizen öffentliche Entscheidungen stützen.
Die am besten passende Gerade für Daten finden (Regressionsanalyse, eine Grundlage der KI)
Die Regressionsanalyse (Methode der kleinsten Quadrate), die „die am besten passende Gerade“ durch Daten wie Werbeausgaben und Umsatz legt, schreibt ihre Lösung mit einer inversen Matrix auf: \(\hat{\boldsymbol{\beta}} = (X^{\mathsf{T}}X)^{-1}X^{\mathsf{T}}\boldsymbol{y}\) (die Lösung der Normalengleichungen).
Diese Formel steht in jedem Lehrbuch der Statistik und des maschinellen Lernens, und die inverse Matrix steht am Anfang davon, wie KI Trends aus Daten lernt.
Formel
Definition der Inversen (die Matrix, die die Einheitsmatrix ergibt)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(A\)
\(A^{-1}\)
\(=\)
\(E\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
①
\(A\): ursprüngliche Matrix
②
\(A^{-1}\): inverse Matrix
\(=\)
③
\(E\): Einheitsmatrix
Die Formel in Worten
①
Multiplizieren Sie die
\(A\): ursprüngliche Matrix
mit ihrer
②
\(A^{-1}\): inverse Matrix
, und Sie erhalten die
③
\(E\): Einheitsmatrix (Einsen auf der Diagonale von links oben nach rechts unten, überall sonst Nullen)
Einfaches Beispiel
Die Inverse von \(A = \begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}\) ist \(A^{-1} = \begin{pmatrix} 0{,}6 & -0{,}7 \\ -0{,}2 & 0{,}4 \end{pmatrix}\) (wie man sie findet, zeigt die nächste Formel). Zur Kontrolle multipliziert man beide:
\(A\): ursprüngliche Matrix
\(A^{-1}\): inverse Matrix
\(=\)
\(E\): Einheitsmatrix
\(\begin{pmatrix} 4 \times 0{,}6 + 7 \times (-0{,}2) & 4 \times (-0{,}7) + 7 \times 0{,}4 \\ 2 \times 0{,}6 + 6 \times (-0{,}2) & 2 \times (-0{,}7) + 6 \times 0{,}4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)
Der Kerngedanke
Die inverse Matrix ist „die Matrizenversion des Kehrwerts“. So wie bei Zahlen \(a \times \dfrac{1}{a} = 1\) gilt (3 mal \(\dfrac{1}{3}\) ergibt wieder 1), gilt bei Matrizen \(A A^{-1} = E\). Die Einheitsmatrix \(E\) ist „die Matrix, die nichts verändert, wenn man mit ihr multipliziert“, und übernimmt die Rolle der Zahl 1.
Auf die Reihenfolge der Multiplikation kommt es hier nicht an: \(A A^{-1} = A^{-1} A = E\). Und so wie die Zahl 0 keinen Kehrwert hat, haben manche Matrizen keine Inverse. Ob eine Matrix eine hat, entscheidet sich daran, ob ihre Determinante \(\det(A)\) gleich 0 ist. (Bücher und Programme im Ausland schreiben die Einheitsmatrix oft \(I\) statt \(E\).)
Formel für die Inverse einer 2×2-Matrix
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(A^{-1}\)
\(=\)
\(\dfrac{1}{ad - bc}\)
\(\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(A^{-1}\): inverse Matrix
\(=\)
②
\(\dfrac{1}{ad - bc}\): 1 durch die Determinante
①
Matrix mit umgestellten Einträgen
Die Formel in Worten
①
Mit \(A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\) multiplizieren Sie jeden Eintrag der
Matrix mit umgestellten Einträgen (\(a\) und \(d\) vertauscht, die Vorzeichen von \(b\) und \(c\) geändert)
mit
②
\(\dfrac{1}{ad - bc}\): 1 durch die Determinante
, und Sie erhalten die
③
\(A^{-1}\): inverse Matrix
Einfaches Beispiel
Die Inverse von \(A = \begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}\) ist
\(ad - bc = 4 \times 6 - 7 \times 2 = 24 - 14 = 10\)
\(A^{-1} = \dfrac{1}{10} \begin{pmatrix} 6 & -7 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}6 & -0{,}7 \\ -0{,}2 & 0{,}4 \end{pmatrix}\)
Der Kerngedanke
Merken Sie es sich in drei Schritten: „links oben und rechts unten (\(a\) und \(d\)) vertauschen, die Vorzeichen von rechts oben und links unten (\(b\) und \(c\)) ändern und durch die Determinante \(ad - bc\) teilen“.
Bei \(ad - bc = 0\) würde man durch 0 teilen, die Formel lässt sich also nicht verwenden. Eine Matrix, deren Determinante 0 ist, hat demnach keine Inverse (dieser Rechner meldet, dass die Inverse nicht existiert).
Mit der Adjunkten (die allgemeine Formel, auch für 3×3 und größer)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(A^{-1}\)
\(=\)
\(\dfrac{1}{\det(A)}\)
\(\operatorname{adj}(A)\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(A^{-1}\): inverse Matrix
\(=\)
②
\(\dfrac{1}{\det(A)}\): 1 durch die Determinante
①
\(\operatorname{adj}(A)\): Adjunkte
Die Formel in Worten
①
Multiplizieren Sie jeden Eintrag der
\(\operatorname{adj}(A)\): Adjunkte (die Kofaktoren aller Einträge, angeordnet und dann mit vertauschten Zeilen und Spalten)
mit
②
\(\dfrac{1}{\det(A)}\): 1 durch die Determinante
, und Sie erhalten die
③
\(A^{-1}\): inverse Matrix
Einfaches Beispiel
Für \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix}\) ergibt die Entwicklung nach Kofaktoren die Determinante und daraus die Inverse:
\(\det(A) = 1 \times (1 \times 0 - 4 \times 6) - 2 \times (0 \times 0 - 4 \times 5) + 3 \times (0 \times 6 - 1 \times 5)\)
\(= -24 + 40 - 15 = 1\)
\(A^{-1} = \dfrac{1}{1} \operatorname{adj}(A) = \begin{pmatrix} -24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1 \end{pmatrix}\)
Der Kerngedanke
Die Adjunkte \(\operatorname{adj}(A)\) entsteht so: Berechnen Sie für jede Position „die Unterdeterminante ohne Zeile \(i\) und Spalte \(j\), mit dem Vorzeichen \((-1)^{i+j}\)“ (den Kofaktor), ordnen Sie die Ergebnisse an und vertauschen Sie zum Schluss Zeilen und Spalten (transponieren). Die „Matrix mit umgestellten Einträgen“ in der 2×2-Formel ist tatsächlich genau diese Adjunkte.
Von Hand ist das Gauß-Jordan-Verfahren ein anderer Standardweg: Sie schreiben die Einheitsmatrix neben die Matrix und formen die Zeilen um. Beide Verfahren liefern dasselbe Ergebnis; dieser Rechner zeigt die Zwischenwerte des Verfahrens mit der Adjunkten.
Die Inverse \(A^{-1}\) ist „der Partner, der mit A multipliziert die Einheitsmatrix \(E\) ergibt“, die Matrizenversion des Kehrwerts. Sie existiert nur für quadratische Matrizen mit \(\det(A) \neq 0\). Für 2×2 verwenden Sie die Formel „vertauschen, Vorzeichen ändern, durch die Determinante teilen“, für 3×3 und größer die Adjunkte (oder das Gauß-Jordan-Verfahren). Inverse werden häufig verwendet, um lineare Gleichungssysteme zu lösen.
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(A\) | A | Der Name einer Matrix. Üblicherweise werden Matrizen mit Großbuchstaben benannt. |
| \(A^{-1}\) | A hoch minus 1 (Inverse von A) | Die Inverse der Matrix \(A\). Die \(-1\) oben rechts wird wie „hoch −1“ geschrieben, derselbe Gedanke wie beim Kehrwert einer Zahl, \(a^{-1} = \dfrac{1}{a}\) (eine Matrix schreibt man aber nie als Bruch \(\dfrac{1}{A}\)). |
| \(E\) | E (Einheitsmatrix) | Die Einheitsmatrix: eine quadratische Matrix mit Einsen auf der Diagonale von links oben nach rechts unten und Nullen überall sonst. Die Multiplikation mit ihr verändert keine Matrix, sie übernimmt also die Rolle der Zahl 1. Um die Größe anzugeben, schreibt man manchmal \(E_n\), und im Ausland wird oft \(I\) verwendet. |
| \(\det(A),\ |A|\) | Determinante von A | Die Determinante der Matrix \(A\). Ist sie nicht 0, existiert die Inverse; ist sie 0, existiert sie nicht. Auch die Schreibweise mit senkrechten Strichen \(|A|\) ist verbreitet. |
| \(\operatorname{adj}(A)\) | Adjunkte von A | Die Adjunkte von \(A\): die Kofaktoren aller Einträge, angeordnet und dann transponiert. Sie wird adj geschrieben, nach den ersten drei Buchstaben von „Adjunkte“ (englisch „adjugate“). |
| \(a_{ij}\) | a Index i j | Der Eintrag der Matrix \(A\) in Zeile \(i\), Spalte \(j\) (die Zahl in der \(i\)-ten Zeile von oben und der \(j\)-ten Spalte von links). Die kleinen Buchstaben unten rechts (die Indizes) geben seine Position an. |
Begriffe
| inverse Matrix | Die Matrix, die mit A multipliziert die Einheitsmatrix ergibt. Sie ist die Matrizenversion des Kehrwerts und wird \(A^{-1}\) geschrieben. Sie existiert nur für quadratische Matrizen, deren Determinante nicht 0 ist, und wird verwendet, um lineare Gleichungssysteme zu lösen und Abbildungen rückgängig zu machen. |
| Einheitsmatrix | Eine quadratische Matrix mit Einsen auf der Diagonale (von links oben nach rechts unten) und Nullen überall sonst. Die Multiplikation mit ihr verändert keine Matrix, sie entspricht also der Zahl 1. |
| quadratische Matrix | Eine Matrix mit gleich vielen Zeilen und Spalten (sie hat die Form eines Quadrats). Inverse und Determinanten gibt es nur für quadratische Matrizen. |
| Determinante | Eine einzelne Zahl, die sich aus einer quadratischen Matrix ergibt. Sie zeigt, dass eine Inverse existiert, wenn \(\det(A) \neq 0\) gilt. Wie man sie berechnet, wird auf der Schwesterseite „Determinante berechnen“ ausführlich erklärt. |
| reguläre Matrix | Eine quadratische Matrix, deren Determinante nicht 0 ist (auch invertierbar genannt). Sie hat eine Inverse. Eine Matrix mit der Determinante 0 heißt singulär und hat keine Inverse. |
| Kofaktor | Die Determinante der kleineren Matrix, die übrig bleibt, wenn man Zeile \(i\) und Spalte \(j\) streicht (die Unterdeterminante), multipliziert mit dem Vorzeichen \((-1)^{i+j}\). Kofaktoren sind die Bausteine der Adjunkten. |
| Adjunkte | Die Matrix der Kofaktoren aller Positionen, mit vertauschten Zeilen und Spalten (transponiert). Sie wird \(\operatorname{adj}(A)\) geschrieben, und teilt man sie durch die Determinante, erhält man die Inverse. Vorsicht: Die „adjungierte Matrix“ bedeutet in der weiterführenden Literatur oft etwas anderes (die konjugiert transponierte Matrix), „Adjunkte“ ist deshalb der sichere Name. |
| Gauß-Jordan-Verfahren | Ein Verfahren, bei dem Sie die Matrix \(A\) und die Einheitsmatrix \(E\) nebeneinander schreiben und so lange Zeilenumformungen wiederholen, bis die linke Hälfte \(E\) ist; die rechte Hälfte ist dann \(A^{-1}\). Bei großen Matrizen ist es das Hauptverfahren. |
| Lineare Algebra | Das Teilgebiet der Mathematik, das sich mit Matrizen und Vektoren befasst. Es ist oft ein Pflichtfach in den ersten Semestern des Studiums und die Grundlage von Computergrafik, Statistik, KI und mehr. |
Was Sie vorab wissen sollten
Hier finden Sie zusammengestellt, was Ihnen hilft, die Berechnung auf dieser Seite mit echtem Verständnis zu nutzen und nicht nur den Knopf zu drücken.
| Grundrechenarten mit negativen Zahlen (Klasse 6–7, 11–13 Jahre) |
|
| Kehrwerte (Klasse 6–7, 11–13 Jahre) |
|
| Grundlagen der Matrizen und Multiplikation (Lineare Algebra) |
|
| Determinanten (Lineare Algebra) |
|
Mit Excel berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle zur Berechnung der Inversen einer 2×2-Matrix
| Zeile 1 der Matrix A | 4 | 7 |
| Zeile 2 der Matrix A | 2 | 6 |
| Inverse A⁻¹ | =MINV(B1:C2) |
Tabelle zur Berechnung der Inversen einer 3×3-Matrix
| Zeile 1 der Matrix A | 1 | 2 | 3 |
| Zeile 2 der Matrix A | 0 | 1 | 4 |
| Zeile 3 der Matrix A | 5 | 6 | 0 |
| Inverse A⁻¹ | =MINV(B1:D3) |
Die Funktion MINV allein liefert die Inverse. Geben Sie ihr den Bereich der quadratischen Matrix an (B1:C2 in der ersten Tabelle), und das Ergebnis erscheint als Matrix derselben Größe, die sich von der Zelle mit der Formel automatisch nach rechts und unten ausbreitet (die Überlauf-Funktion; in älteren Excel-Versionen markieren Sie zuerst einen Bereich in der Größe des Ergebnisses und geben die Formel mit Strg+Umschalt+Eingabe ein).
In der ersten Tabelle lautet Zeile 1 0,6 und -0,7 und Zeile 2 -0,2 und 0,4. In der zweiten Tabelle lautet Zeile 1 -24, 18, 5, Zeile 2 20, -15, -4 und Zeile 3 -5, 4, 1.
Geben Sie MINV eine Matrix, deren Determinante 0 ist (also eine ohne Inverse), gibt sie den Fehler #ZAHL! zurück. Die Determinante selbst können Sie mit der Funktion MDET prüfen.
In der ersten Tabelle lautet Zeile 1 0,6 und -0,7 und Zeile 2 -0,2 und 0,4. In der zweiten Tabelle lautet Zeile 1 -24, 18, 5, Zeile 2 20, -15, -4 und Zeile 3 -5, 4, 1.
Geben Sie MINV eine Matrix, deren Determinante 0 ist (also eine ohne Inverse), gibt sie den Fehler #ZAHL! zurück. Die Determinante selbst können Sie mit der Funktion MDET prüfen.
Mit Google Tabellen berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle zur Berechnung der Inversen einer 2×2-Matrix
| Zeile 1 der Matrix A | 4 | 7 |
| Zeile 2 der Matrix A | 2 | 6 |
| Inverse A⁻¹ | =MINV(B1:C2) |
Tabelle zur Berechnung der Inversen einer 3×3-Matrix
| Zeile 1 der Matrix A | 1 | 2 | 3 |
| Zeile 2 der Matrix A | 0 | 1 | 4 |
| Zeile 3 der Matrix A | 5 | 6 | 0 |
| Inverse A⁻¹ | =MINV(B1:D3) |
Dieselbe Funktion MINV wie in Excel funktioniert unverändert. Kopieren Sie die gesamte Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 ein. Das Ergebnis breitet sich von der Zelle mit der Formel automatisch nach rechts und unten aus.
In der ersten Tabelle lautet Zeile 1 0,6 und -0,7 und Zeile 2 -0,2 und 0,4; in der zweiten Tabelle lautet Zeile 1 -24, 18, 5, Zeile 2 20, -15, -4 und Zeile 3 -5, 4, 1.
In der ersten Tabelle lautet Zeile 1 0,6 und -0,7 und Zeile 2 -0,2 und 0,4; in der zweiten Tabelle lautet Zeile 1 -24, 18, 5, Zeile 2 20, -15, -4 und Zeile 3 -5, 4, 1.
Mit Python berechnen
from fractions import Fraction
A = [[4, 7], [2, 6]]
def determinant(matrix): # Determinante (Laplace-Entwicklung nach Zeile 1, rekursiv berechnet)
n = len(matrix)
if n == 1:
return matrix[0][0]
total = 0
for j in range(n):
minor = [row[:j] + row[j + 1:] for row in matrix[1:]] # Teilmatrix ohne Zeile 1 und Spalte j
total += (-1) ** j * matrix[0][j] * determinant(minor)
return total
def inverse(matrix): # Inverse (Adjunkte geteilt durch die Determinante)
n = len(matrix)
det = Fraction(determinant(matrix))
if det == 0:
return None # ist die Determinante 0, gibt es keine Inverse
inverse_rows = []
for i in range(n):
row = []
for j in range(n):
# Eintrag (i, j) = Unterdeterminante ohne Zeile j und Spalte i x Vorzeichen / Determinante (enthält das Transponieren)
minor = [r[:i] + r[i + 1:] for k, r in enumerate(matrix) if k != j]
row.append((-1) ** (i + j) * determinant(minor) / det)
inverse_rows.append(row)
return inverse_rows
inverse_matrix = inverse(A)
if inverse_matrix is None:
print("Die Inverse existiert nicht (det(A) = 0)")
else:
for row in inverse_matrix:
print([float(x) for x in row])
Der Code läuft nur mit der Standardbibliothek. Er verwendet fractions, das Zahlen als exakte Brüche behält, sodass selbst die Division keinen Fehler erzeugt. Ersetzen Sie A am Anfang durch Ihre eigene Matrix (jede quadratische Matrix, auch 4×4 oder größer) und führen Sie ihn aus. Dieses Beispiel gibt für Zeile 1 eine Liste mit den Werten 0,6 und -0,7 und für Zeile 2 eine Liste mit -0,2 und 0,4 aus (Python schreibt Dezimalzahlen mit Punkt). Für ernsthafte numerische Arbeit verwendet man üblicherweise NumPy, eine Bibliothek für Matrizen (numpy.linalg.inv(A)).
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
Definition der Inversen (die Matrix, die die Einheitsmatrix ergibt)
AA⁻¹ = A⁻¹A = E
A A^{-1} = A^{-1} A = E
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>A</mi>
<msup><mi>A</mi><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup>
<mo>=</mo>
<msup><mi>A</mi><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup>
<mi>A</mi>
<mo>=</mo>
<mi>E</mi>
</mrow>
</math>
A A^-1 = A^-1 A = E
A . Inverse[A]
A . LinearAlgebra:-MatrixInverse(A);
I = A * inv(A);
AA^(-1) = A^(-1)A = E
Formel für die Inverse einer 2×2-Matrix
A⁻¹ = 1/(ad − bc) × [d, −b; −c, a]
A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup><mi>A</mi><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mn>1</mn>
<mrow><mi>a</mi><mi>d</mi><mo>-</mo><mi>b</mi><mi>c</mi></mrow>
</mfrac>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mtable>
<mtr><mtd><mi>d</mi></mtd><mtd><mrow><mo>-</mo><mi>b</mi></mrow></mtd></mtr>
<mtr><mtd><mrow><mo>-</mo><mi>c</mi></mrow></mtd><mtd><mi>a</mi></mtd></mtr>
</mtable>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
</math>
A^-1 = 1/(ad - bc) [[d, -b], [-c, a]]
Inverse[{{a, b}, {c, d}}]
LinearAlgebra:-MatrixInverse(Matrix([[a, b], [c, d]]));
B = inv(A);
A^(-1) = 1/(ad − bc) (■(d&−b@−c&a))
Mit der Adjunkten (die allgemeine Formel, auch für 3×3 und größer)
A⁻¹ = adj(A)/det(A)
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \operatorname{adj}(A)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup><mi>A</mi><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mn>1</mn>
<mrow><mi>det</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo></mrow></mrow>
</mfrac>
<mi>adj</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo></mrow>
</mrow>
</math>
A^-1 = 1/(det(A)) "adj"(A)
Inverse[A]
LinearAlgebra:-MatrixInverse(A);
B = inv(A);
A^(-1) = adj(A)/det(A)
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
Sie sind ein Assistent für Matrizenrechnung. Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort ausschließlich auf die Zahlen aus dem Ergebnis der Ausführung (antworten Sie nicht durch Kopfrechnen oder Raten). Bestimmen Sie die Inverse jeder der folgenden beiden quadratischen Matrizen. 1. A = [[4, 7], [2, 6]] 2. B = [[1, 2], [2, 4]] Geben Sie zu jeder zuerst den Wert der Determinante an und ob die Inverse existiert; wenn sie existiert, geben Sie die Einträge der Inversen an. Führen Sie zum Schluss auch eine Prüfung durch, dass das Produkt aus der ursprünglichen Matrix und ihrer Inversen die Einheitsmatrix ist.
Anleitung
-
1Zahlen eingebenGeben Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
-
2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
-
3Ergebnis ablesenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
Die Vorteile von DataChef
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Verwandte Funktionen
Matrizenrechner (addieren, subtrahieren, multiplizieren, transponieren, Potenz)
Hier rechnen Sie mit Matrizen selbst. Auch die Grundlagen der Matrizen wie Zeilen, Spalten und Einträge werden dort erklärt
Determinante berechnen (2×2, 3×3, 4×4)
Die Determinante det(A) entscheidet, ob eine Inverse existiert. Den ausführlichen Rechenweg für die Regel von Sarrus und die Laplace-Entwicklung finden Sie dort
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Das „hoch −1“ in A⁻¹ ist derselbe Gedanke wie der Kehrwert einer Zahl (ein negativer Exponent). Hier berechnen Sie Potenzen selbst
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