Wählen Sie die Größe der Matrix (2×2 bis 4×4) und tragen Sie die Einträge in das Raster ein. Eine Inverse gibt es nur bei einer quadratischen Matrix (Zeilenzahl = Spaltenzahl) und nur dann, wenn die Determinante nicht 0 ist (sonst meldet der Rechner, dass es keine Inverse gibt).
Geben Sie die Einträge als Zahlen ein (Dezimalzahlen und negative Zahlen sind möglich).
Ergebnis
Wählen Sie links die Größe der Matrix, tragen Sie die Einträge ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Die inverse Matrix und der Rechenweg erscheinen dann hier.
Inhaltsverzeichnis
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Das können Sie auf dieser Seite
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Wofür braucht man diese Berechnung?
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Anleitung
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Formel
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Symbole und Begriffe
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Das sollten Sie vorher wissen
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So berechnen Sie es in Excel
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So berechnen Sie es in Google Tabellen
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So berechnen Sie es in Python
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So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
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So lassen Sie ChatGPT rechnen
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Die Vorteile von DataChef
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Verwandte Funktionen
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Alle Rechner von NumberChef
Das können Sie auf dieser Seite
- Die inverse Matrix \(A^{-1}\) einer quadratischen Matrix (2×2, 3×3 oder 4×4) sofort berechnen
- Zusätzlich sehen Sie die Determinante \(\det(A)\) und ob die Matrix invertierbar ist, also ob es eine Inverse gibt
- Rechenweg bei 2×2 mit der Formel „\(A^{-1} = \dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\)“, bei 3×3 und 4×4 über die Adjunkte
- Außerdem: verständliche Erklärung der Formeln und Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen (MINV) und Python
Eine inverse Matrix gibt es nur bei quadratischen Matrizen (Zeilenzahl = Spaltenzahl), deren Determinante nicht 0 ist. Addition, Multiplikation und Transponieren von Matrizen finden Sie auf der Schwesterseite „Matrizen berechnen“, den ausführlichen Rechenweg der Determinante auf „Determinante berechnen“.
Wofür braucht man diese Berechnung?
Lineare Gleichungssysteme in einem Schritt lösen
Ein lineares Gleichungssystem mit gleich vielen Gleichungen wie Unbekannten lässt sich mit der Koeffizientenmatrix \(A\) als \(A\vec{x} = \vec{b}\) schreiben. Multipliziert man beide Seiten von links mit \(A^{-1}\), erhält man \(\vec{x} = A^{-1}\vec{b}\). Hat man die Inverse einmal, liefert also eine einzige Multiplikation die Lösung.
Besonders praktisch ist das, wenn man dasselbe System immer wieder mit anderer rechter Seite \(\vec{b}\) löst (etwa in der Statik oder bei der Berechnung elektrischer Netzwerke). Gibt es keine Inverse (Determinante 0), ist das ein Zeichen, dass das System nicht genau eine Lösung hat.
Koordinatentransformationen in Grafik und Robotik rückgängig machen
In 3D-Grafik, Spielen und Robotersteuerung werden Drehen, Skalieren und Verschieben durch Matrixmultiplikation berechnet. Um von den Koordinaten nach der Transformation zu denen davor zurückzukommen, braucht man die inverse Matrix.
Etwa beim Wechsel zwischen Kamerakoordinaten und Weltkoordinaten (View-Matrix) oder wenn bestimmt wird, wo ein angeklickter Bildschirmpunkt im 3D-Raum liegt, werden fast in jedem Bild inverse Matrizen berechnet.
Eine Verschlüsselung mit einer Matrix als Schlüssel entschlüsseln (Hill-Chiffre)
Wandelt man Buchstaben in Zahlen um und multipliziert sie mit einer Matrix, wird aus einer Nachricht ein Geheimtext (Hill-Chiffre). Beim Empfang erhält man die ursprüngliche Nachricht zurück, indem man mit der Inversen der Schlüsselmatrix multipliziert.
Das Paar „was eine Matrix tut, macht ihre Inverse rückgängig“ ist genau das Paar aus Verschlüsseln und Entschlüsseln – das anschaulichste Beispiel für die Idee der Inversen. (In der Praxis rechnet man mit Resten bei Division durch 26, daher muss der Schlüssel eine Matrix sein, die in diesem Zahlensystem eine Inverse hat.)
Wirtschaftliche Folgeeffekte berechnen (Input-Output-Analyse)
Folgeeffekte zwischen Branchen – etwa „wenn mehr Autos gebaut werden, wie viel mehr Stahl und Strom muss dann produziert werden?“ – berechnet man, indem man die Verflechtungen zwischen den Branchen in eine Matrix \(A\) schreibt und mit \((E - A)^{-1}\) multipliziert (Leontief-Inverse).
Das Statistische Bundesamt veröffentlicht dafür Input-Output-Tabellen, und Bund, Länder und Forschungsinstitute schätzen so die wirtschaftlichen Effekte öffentlicher Investitionen oder großer Veranstaltungen – ein Paradebeispiel dafür, wie inverse Matrizen öffentliche Entscheidungen stützen.
Die beste Ausgleichsgerade zu Daten finden (Regression, eine Grundlage der KI)
Die Regressionsanalyse (Methode der kleinsten Quadrate), die durch Daten wie Werbeausgaben und Umsatz „die am besten passende Gerade“ legt, schreibt ihre Lösung mit einer inversen Matrix: \(\hat{\vec{\beta}} = (X^{\mathsf{T}}X)^{-1}X^{\mathsf{T}}\vec{y}\) (die Lösung der Normalgleichungen).
Diese Formel steht in jedem Lehrbuch für Statistik und maschinelles Lernen – die inverse Matrix steht am Anfang dessen, wie KI Zusammenhänge aus Daten lernt.
Formel
Definition der inversen Matrix (das Produkt ist die Einheitsmatrix)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(A\)
\(A^{-1}\)
\(=\)
\(E\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
①
Ausgangsmatrix \(A\)
②
inverse Matrix \(A^{-1}\)
\(=\)
③
Einheitsmatrix \(E\)
Die Formel in Worten
①
Multipliziert man die
Ausgangsmatrix \(A\)
mit ihrer
②
inversen Matrix \(A^{-1}\)
, so erhält man die
③
Einheitsmatrix \(E\) (auf der Diagonale von oben links nach unten rechts lauter Einsen, sonst überall 0)
.
Einfaches Beispiel
Die Inverse von \(A = \begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}\) ist \(A^{-1} = \begin{pmatrix} 0{,}6 & -0{,}7 \\ -0{,}2 & 0{,}4 \end{pmatrix}\) (wie man sie findet, zeigt die nächste Formel). Die Probe durch Multiplizieren:
Ausgangsmatrix \(A\)
inverse Matrix \(A^{-1}\)
\(=\)
Einheitsmatrix \(E\)
\(\begin{pmatrix} 4 \cdot 0{,}6 + 7 \cdot (-0{,}2) & 4 \cdot (-0{,}7) + 7 \cdot 0{,}4 \\ 2 \cdot 0{,}6 + 6 \cdot (-0{,}2) & 2 \cdot (-0{,}7) + 6 \cdot 0{,}4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)
Der Grundgedanke
Die inverse Matrix ist „der Kehrwert für Matrizen“. So wie bei Zahlen \(a \cdot \dfrac{1}{a} = 1\) gilt (3 mal \(\dfrac{1}{3}\) ergibt wieder 1), gilt bei Matrizen \(A A^{-1} = E\). Die Einheitsmatrix \(E\) ist „die Matrix, die beim Multiplizieren nichts verändert“ – sie spielt die Rolle der Zahl 1.
Die Reihenfolge spielt hier keine Rolle: \(A A^{-1} = A^{-1} A = E\). Und so wie die Zahl 0 keinen Kehrwert hat, haben manche Matrizen keine Inverse. Ob es eine gibt, entscheidet die Determinante \(\det(A)\): Sie darf nicht 0 sein. (In englischsprachigen Büchern und Programmen heißt die Einheitsmatrix meist \(I\) statt \(E\).)
Formel für die Inverse einer 2×2-Matrix
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(A^{-1}\)
\(=\)
\(\dfrac{1}{ad - bc}\)
\(\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
③
inverse Matrix \(A^{-1}\)
\(=\)
②
Kehrwert der Determinante \(\dfrac{1}{ad - bc}\)
①
Matrix mit umgestellten Einträgen
Die Formel in Worten
①
Mit \(A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\) multipliziert man jeden Eintrag der
Matrix mit umgestellten Einträgen (\(a\) und \(d\) vertauscht, Vorzeichen von \(b\) und \(c\) geändert)
mit dem
②
Kehrwert der Determinante \(\dfrac{1}{ad - bc}\)
und erhält die
③
inverse Matrix \(A^{-1}\)
.
Einfaches Beispiel
Die Inverse von \(A = \begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}\):
\(ad - bc = 4 \cdot 6 - 7 \cdot 2 = 24 - 14 = 10\)
\(A^{-1} = \dfrac{1}{10} \begin{pmatrix} 6 & -7 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}6 & -0{,}7 \\ -0{,}2 & 0{,}4 \end{pmatrix}\)
Der Grundgedanke
Merken Sie sich drei Schritte: „oben links und unten rechts (\(a\) und \(d\)) vertauschen, bei oben rechts und unten links (\(b\) und \(c\)) das Vorzeichen ändern, durch die Determinante \(ad - bc\) teilen“.
Ist \(ad - bc = 0\), müsste man durch 0 teilen – dann funktioniert die Formel nicht. Eine Matrix mit der Determinante 0 hat also keine Inverse (der Rechner meldet in diesem Fall, dass es keine gibt).
Berechnung mit der Adjunkte (allgemeine Formel, auch für 3×3 und größer)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(A^{-1}\)
\(=\)
\(\dfrac{1}{\det(A)}\)
\(\operatorname{adj}(A)\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
③
inverse Matrix \(A^{-1}\)
\(=\)
②
Kehrwert der Determinante \(\dfrac{1}{\det(A)}\)
①
Adjunkte \(\operatorname{adj}(A)\)
Die Formel in Worten
①
Man multipliziert jeden Eintrag der
Adjunkte \(\operatorname{adj}(A)\) (die Kofaktoren aller Einträge, angeordnet und dann Zeilen und Spalten vertauscht)
mit dem
②
Kehrwert der Determinante \(\dfrac{1}{\det(A)}\)
und erhält die
③
inverse Matrix \(A^{-1}\)
.
Einfaches Beispiel
Für \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix}\) liefert die Entwicklung nach der 1. Zeile die Determinante und damit die Inverse:
\(\det(A) = 1 \cdot (1 \cdot 0 - 4 \cdot 6) - 2 \cdot (0 \cdot 0 - 4 \cdot 5) + 3 \cdot (0 \cdot 6 - 1 \cdot 5)\)
\(= -24 + 40 - 15 = 1\)
\(A^{-1} = \dfrac{1}{1} \operatorname{adj}(A) = \begin{pmatrix} -24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1 \end{pmatrix}\)
Der Grundgedanke
Die Adjunkte \(\operatorname{adj}(A)\) entsteht so: Für jede Position berechnet man „die Unterdeterminante ohne Zeile \(i\) und Spalte \(j\), versehen mit dem Vorzeichen \((-1)^{i+j}\)“ (den Kofaktor), ordnet alle an und vertauscht zum Schluss Zeilen und Spalten (Transponieren). Die „umgestellte Matrix“ in der 2×2-Formel ist übrigens genau diese Adjunkte.
Von Hand ist auch das Gauß-Jordan-Verfahren üblich: Man schreibt die Einheitsmatrix neben die Matrix und formt die Zeilen um. Beide Wege führen zum selben Ergebnis; der Rechner zeigt die Zwischenwerte des Wegs über die Adjunkte.
Die inverse Matrix \(A^{-1}\) ist „der Partner, mit dem das Produkt die Einheitsmatrix \(E\) ergibt“ – der Kehrwert für Matrizen. Es gibt sie nur bei quadratischen Matrizen mit \(\det(A) \neq 0\). Bei 2×2 hilft die Formel „vertauschen, Vorzeichen ändern, durch die Determinante teilen“, ab 3×3 die Adjunkte (oder das Gauß-Jordan-Verfahren). Inverse Matrizen sind ein wichtiges Werkzeug zum Lösen linearer Gleichungssysteme.
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(A\) | A | Der Name einer Matrix. Matrizen werden üblicherweise mit Großbuchstaben bezeichnet. |
| \(A^{-1}\) | A hoch minus eins / Inverse von A | Die Inverse der Matrix \(A\). Das \(-1\) oben rechts ist die Schreibweise „hoch minus eins“ – dieselbe Idee wie beim Kehrwert einer Zahl, \(a^{-1} = \dfrac{1}{a}\) (eine Matrix schreibt man aber nie als Bruch \(\dfrac{1}{A}\)). |
| \(E\) | E (Einheitsmatrix) | Die Einheitsmatrix: eine quadratische Matrix mit Einsen auf der Diagonale von oben links nach unten rechts und sonst lauter Nullen. Sie verändert beim Multiplizieren keine Matrix und spielt die Rolle der Zahl 1. Die Größe zeigt man manchmal mit \(E_n\); in englischsprachiger Literatur heißt sie meist \(I\). |
| \(\det(A),\ |A|\) | Determinante von A | Die Determinante der Matrix \(A\). Ist sie nicht 0, gibt es eine Inverse; ist sie 0, gibt es keine. Auch die Schreibweise mit senkrechten Strichen \(|A|\) ist verbreitet. |
| \(\operatorname{adj}(A)\) | Adjunkte von A | Die Adjunkte der Matrix \(A\): die Kofaktoren aller Einträge, angeordnet und transponiert. Das Kürzel adj kommt von „Adjunkte“ (englisch adjugate). |
| \(a_{ij}\) | a i j | Der Eintrag der Matrix \(A\) in Zeile \(i\) und Spalte \(j\) (die Zahl in der \(i\)-ten Zeile von oben und der \(j\)-ten Spalte von links). Die kleinen Buchstaben unten rechts (die Indizes) geben die Position an. |
Begriffe
| inverse Matrix | Die Matrix, mit der das Produkt die Einheitsmatrix ergibt – der Kehrwert für Matrizen, geschrieben \(A^{-1}\) (seltener: Kehrmatrix). Es gibt sie nur bei quadratischen Matrizen, deren Determinante nicht 0 ist. Man braucht sie zum Lösen linearer Gleichungssysteme und um Abbildungen rückgängig zu machen. |
| Einheitsmatrix | Eine quadratische Matrix mit Einsen auf der Diagonale (von oben links nach unten rechts) und sonst lauter Nullen. Sie verändert beim Multiplizieren keine Matrix und entspricht damit der Zahl 1. |
| quadratische Matrix | Eine Matrix mit gleich vielen Zeilen und Spalten (sie hat die Form eines Quadrats). Inverse und Determinanten gibt es nur bei quadratischen Matrizen. |
| Determinante | Eine einzelne Zahl, die zu einer quadratischen Matrix gehört. Ist \(\det(A) \neq 0\), gibt es eine Inverse. Wie man sie berechnet, erklärt die Schwesterseite „Determinante berechnen“ ausführlich. |
| invertierbare Matrix | Eine quadratische Matrix, deren Determinante nicht 0 ist; sie heißt auch regulär und hat eine Inverse. Eine Matrix mit der Determinante 0 heißt singulär und hat keine Inverse. |
| Kofaktor | Die Determinante der kleineren Matrix, die nach Streichen von Zeile \(i\) und Spalte \(j\) übrig bleibt (die Unterdeterminante), multipliziert mit dem Vorzeichen \((-1)^{i+j}\). Die Kofaktoren sind die Bausteine der Adjunkte. |
| Adjunkte | Die Matrix der Kofaktoren aller Positionen, mit vertauschten Zeilen und Spalten (transponiert), geschrieben \(\operatorname{adj}(A)\). Teilt man sie durch die Determinante, erhält man die Inverse. Vorsicht: Der ähnliche Name „adjungierte Matrix“ bezeichnet in vielen Büchern etwas anderes (die komplex konjugierte, transponierte Matrix), daher ist „Adjunkte“ die eindeutigere Bezeichnung. |
| Gauß-Jordan-Verfahren | Man schreibt die Matrix \(A\) und die Einheitsmatrix \(E\) nebeneinander und formt die Zeilen so lange um, bis links \(E\) steht; rechts steht dann \(A^{-1}\). Bei großen Matrizen ist das der übliche Weg. |
| lineare Algebra | Das Teilgebiet der Mathematik, das sich mit Matrizen und Vektoren beschäftigt. Es ist meist Pflichtfach im ersten Studienjahr und die Grundlage für Computergrafik, Statistik, KI und vieles mehr. |
Das sollten Sie vorher wissen
Hier steht, was Ihnen hilft, die Rechnung auf dieser Seite wirklich zu verstehen – statt nur auf die Schaltfläche zu klicken.
| Rechnen mit negativen Zahlen (Klasse 6–7, 11–13 Jahre) |
|
| Kehrwert (Klasse 6, 11–12 Jahre) |
|
| Grundlagen und Multiplikation von Matrizen (Oberstufe im Leistungskurs, 16–18 Jahre, oder lineare Algebra im Studium) |
|
| Determinanten (lineare Algebra) |
|
So berechnen Sie es in Excel
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle für die Inverse einer 2×2-Matrix
| Zeile 1 der Matrix A | 4 | 7 |
| Zeile 2 der Matrix A | 2 | 6 |
| Inverse A⁻¹ | =MINV(B1:C2) |
Tabelle für die Inverse einer 3×3-Matrix
| Zeile 1 der Matrix A | 1 | 2 | 3 |
| Zeile 2 der Matrix A | 0 | 1 | 4 |
| Zeile 3 der Matrix A | 5 | 6 | 0 |
| Inverse A⁻¹ | =MINV(B1:D3) |
Die Inverse liefert allein die Funktion MINV. Übergeben Sie ihr den Bereich der quadratischen Matrix (in der ersten Tabelle B1:C2). Das Ergebnis erscheint als Matrix derselben Größe und läuft von der Formelzelle aus automatisch nach rechts und unten über (Überlauf-Funktion; in älteren Excel-Versionen markieren Sie vorher einen Bereich in Größe des Ergebnisses und bestätigen die Formel mit Strg+Umschalt+Eingabe).
In der ersten Tabelle lautet Zeile 1 0,6 und -0,7, Zeile 2 -0,2 und 0,4. In der zweiten Tabelle lautet Zeile 1 -24, 18, 5, Zeile 2 20, -15, -4 und Zeile 3 -5, 4, 1.
Geben Sie MINV eine Matrix mit der Determinante 0 (also ohne Inverse), erscheint der Fehler #ZAHL!. Die Determinante selbst prüfen Sie mit der Funktion MDET.
In der ersten Tabelle lautet Zeile 1 0,6 und -0,7, Zeile 2 -0,2 und 0,4. In der zweiten Tabelle lautet Zeile 1 -24, 18, 5, Zeile 2 20, -15, -4 und Zeile 3 -5, 4, 1.
Geben Sie MINV eine Matrix mit der Determinante 0 (also ohne Inverse), erscheint der Fehler #ZAHL!. Die Determinante selbst prüfen Sie mit der Funktion MDET.
So berechnen Sie es in Google Tabellen
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle für die Inverse einer 2×2-Matrix
| Zeile 1 der Matrix A | 4 | 7 |
| Zeile 2 der Matrix A | 2 | 6 |
| Inverse A⁻¹ | =MINV(B1:C2) |
Tabelle für die Inverse einer 3×3-Matrix
| Zeile 1 der Matrix A | 1 | 2 | 3 |
| Zeile 2 der Matrix A | 0 | 1 | 4 |
| Zeile 3 der Matrix A | 5 | 6 | 0 |
| Inverse A⁻¹ | =MINV(B1:D3) |
Dieselbe Funktion MINV wie in Excel funktioniert unverändert. Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 ein. Das Ergebnis breitet sich von der Formelzelle aus automatisch nach rechts und unten aus.
In der ersten Tabelle lautet Zeile 1 0,6 und -0,7, Zeile 2 -0,2 und 0,4; in der zweiten Tabelle lautet Zeile 1 -24, 18, 5, Zeile 2 20, -15, -4 und Zeile 3 -5, 4, 1.
In der ersten Tabelle lautet Zeile 1 0,6 und -0,7, Zeile 2 -0,2 und 0,4; in der zweiten Tabelle lautet Zeile 1 -24, 18, 5, Zeile 2 20, -15, -4 und Zeile 3 -5, 4, 1.
So berechnen Sie es in Python
from fractions import Fraction
A = [[4, 7], [2, 6]]
def determinant(matrix): # Determinante (Entwicklung nach der 1. Zeile, rekursiv berechnet)
n = len(matrix)
if n == 1:
return matrix[0][0]
total = 0
for j in range(n):
minor = [row[:j] + row[j + 1:] for row in matrix[1:]] # Untermatrix ohne Zeile 1 und Spalte j
total += (-1) ** j * matrix[0][j] * determinant(minor)
return total
def inverse(matrix): # inverse Matrix (Adjunkte geteilt durch die Determinante)
n = len(matrix)
det = Fraction(determinant(matrix))
if det == 0:
return None # ist die Determinante 0, gibt es keine Inverse
inverse_rows = []
for i in range(n):
row = []
for j in range(n):
# Eintrag (i, j) = Unterdeterminante ohne Zeile j und Spalte i x Vorzeichen / Determinante (enthält das Transponieren)
minor = [r[:i] + r[i + 1:] for k, r in enumerate(matrix) if k != j]
row.append((-1) ** (i + j) * determinant(minor) / det)
inverse_rows.append(row)
return inverse_rows
inverse_matrix = inverse(A)
if inverse_matrix is None:
print("Es gibt keine inverse Matrix (det(A) = 0)")
else:
for row in inverse_matrix:
print([float(x) for x in row])
Läuft nur mit der Standardbibliothek. Weil fractions mit exakten Brüchen rechnet, entstehen auch beim Teilen keine Rundungsfehler. Ersetzen Sie A oben durch Ihre eigene Matrix (jede quadratische Matrix, auch 4×4 oder größer) und führen Sie den Code aus. Dieses Beispiel gibt für Zeile 1 die Werte 0,6 und -0,7 aus, für Zeile 2 -0,2 und 0,4 (Python schreibt die Dezimalzahlen dabei mit Punkt). Für umfangreiche numerische Rechnungen nimmt man üblicherweise NumPy, eine Bibliothek speziell für Matrizen (numpy.linalg.inv(A)).
So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
Definition der inversen Matrix (das Produkt ist die Einheitsmatrix)
AA⁻¹ = A⁻¹A = E
A A^{-1} = A^{-1} A = E
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>A</mi>
<msup><mi>A</mi><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup>
<mo>=</mo>
<msup><mi>A</mi><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup>
<mi>A</mi>
<mo>=</mo>
<mi>E</mi>
</mrow>
</math>
A A^-1 = A^-1 A = E
A . Inverse[A]
A . LinearAlgebra:-MatrixInverse(A);
E = A * inv(A);
AA^(-1) = A^(-1)A = E
Formel für die Inverse einer 2×2-Matrix
A⁻¹ = 1/(ad − bc) × [d, −b; −c, a]
A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup><mi>A</mi><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mn>1</mn>
<mrow><mi>a</mi><mi>d</mi><mo>-</mo><mi>b</mi><mi>c</mi></mrow>
</mfrac>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mtable>
<mtr><mtd><mi>d</mi></mtd><mtd><mrow><mo>-</mo><mi>b</mi></mrow></mtd></mtr>
<mtr><mtd><mrow><mo>-</mo><mi>c</mi></mrow></mtd><mtd><mi>a</mi></mtd></mtr>
</mtable>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
</math>
A^-1 = 1/(ad - bc) [[d, -b], [-c, a]]
Inverse[{{a, b}, {c, d}}]
LinearAlgebra:-MatrixInverse(Matrix([[a, b], [c, d]]));
B = inv(A);
A^(-1) = 1/(ad − bc) (■(d&−b@−c&a))
Berechnung mit der Adjunkte (allgemeine Formel, auch für 3×3 und größer)
A⁻¹ = adj(A)/det(A)
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \operatorname{adj}(A)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup><mi>A</mi><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mn>1</mn>
<mrow><mi>det</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo></mrow></mrow>
</mfrac>
<mi>adj</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo></mrow>
</mrow>
</math>
A^-1 = 1/(det(A)) "adj"(A)
Inverse[A]
LinearAlgebra:-MatrixInverse(A);
B = inv(A);
A^(-1) = adj(A)/det(A)
So lassen Sie ChatGPT rechnen
Sie sind ein Rechenassistent für Matrizen. Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (antworten Sie nicht durch Kopfrechnen oder Schätzen). Berechnen Sie die inverse Matrix der folgenden zwei quadratischen Matrizen. 1. A = [[4, 7], [2, 6]] 2. B = [[1, 2], [2, 4]] Geben Sie für jede Matrix zuerst den Wert der Determinante an und ob es eine Inverse gibt; wenn ja, geben Sie die Einträge der Inversen an. Prüfen Sie zum Schluss auch durch Ausführen, dass das Produkt aus der Ausgangsmatrix und ihrer Inversen die Einheitsmatrix ist.
Anleitung
-
1Werte eingebenTragen Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
-
2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
-
3Ergebnis ansehenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
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