Wählen Sie, was Sie prüfen möchten, und geben Sie die Maße des Möbelstücks und von Tür, Flur oder Aufzug (cm) ein. Der Spielraum für Verpackung, Griffe und Schutzabdeckung wird von den Maßen der Öffnung oder des Flurs abgezogen (Standard 3 cm; bei einem leeren Feld wird mit 3 cm gerechnet, für 0 geben Sie 0 ein).
Maße des Möbelstücks oder Geräts (cm)
cm
cm
cm
Messen Sie die Tür von Rahmen zu Rahmen innen (lichtes Maß); die Angabe „Türblatt“ auf dem Datenblatt ist nicht die lichte Durchgangsbreite. Können Sie die Tür aushängen, geben Sie die nutzbare Breite im ausgehängten Zustand ein; das Ergebnis kann sich ändern.
Ergebnis und Figur
Geben Sie links die drei Maße des Möbelstücks und die Maße von Tür (Flur, Aufzug) ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Hier erscheinen das Ergebnis und eine Skizze, in der die Fläche des Möbelstücks über die Öffnung gelegt ist.
Inhaltsverzeichnis
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Was Sie auf dieser Seite tun können
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Wofür ist diese Berechnung nützlich?
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Anleitung
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Formeln und Abbildungen
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Bedingung für das Durchpassen durch Tür oder Öffnung (nutzbare Öffnung und wann eine Möbelfläche hindurchpasst)
-
Bedingung für das schräge Durchpassen (Breite und Höhe des umschließenden Rechtecks der geneigten Fläche)
-
Größte Länge, die um eine L-förmige Flurecke passt
-
Diagonalen der Aufzugkabine (Obergrenze für stabförmige Gegenstände)
-
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Symbole und Begriffe
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Was Sie vorab wissen sollten
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Mit Excel berechnen
-
Mit Google Tabellen berechnen
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Mit Python berechnen
-
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
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Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
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Die Vorteile von DataChef
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Verwandte Funktionen
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Was Sie auf dieser Seite tun können
- Geben Sie Breite, Tiefe und Höhe des Möbelstücks sowie Breite und Höhe einer Öffnung wie Tür oder Fenster ein, und Sie erhalten eine Einschätzung in drei Stufen: „passt voraussichtlich“, „passt voraussichtlich schräg“ oder „passt voraussichtlich nicht“
- Sie sehen, mit welcher der drei Flächen des Möbelstücks (Vorderseite, Seitenfläche, Oberseite) voran es durch die Öffnung passt (aufrecht, gedreht oder liegend) und wie viel Spielraum dabei in cm bleibt
- Bei hohen, dünnen Möbeln zeigt der Rechner auch, „um wie viel Grad aus der Senkrechten geneigt“ sie durch passen, und bei Möbeln, die nicht passen, „wie viel cm fehlen“
- Für eine L-förmige Flurecke ermittelt der Rechner unter Berücksichtigung der Möbelbreite die größte Länge, die um die Ecke passt, und den ungünstigsten Winkel
- Aus dem Innenmaß der Aufzugkabine berechnet er, ob das Möbelstück so hineinpasst oder nur schräg, sowie die Diagonale des Bodens und die Raumdiagonale (die Obergrenze für stabförmige Gegenstände)
Die Einschätzung ist eine geometrische Rechnung, bei der die Öffnung als Rechteck und das Möbelstück als Quader gelten; Verpackung, Griffe, Türklinken und Schutzabdeckung ziehen Sie über das Feld „Spielraum“ ab. Beim Transport brauchen die Träger auch Platz für Hände und Griffe; bleiben nur wenige cm Spielraum, fragen Sie vorher beim Umzugsunternehmen oder im Möbelhaus nach.
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
Vor dem Umzug selbst prüfen, ob große Möbel in die neue Wohnung passen (Umzug)
Ein Sofa mit 180 cm Breite, 90 cm Tiefe und 75 cm Höhe geht durch eine Tür mit 80 cm Breite und 200 cm Höhe (Spielraum 3 cm) voraussichtlich mit 2 cm Spielraum in Breitenrichtung, wenn Sie die Seitenfläche (Tiefe 90 × Höhe 75) zur Öffnung wenden und es mit der Rückenlehne nach unten vom Ende her tragen (Höhe 75 cm in Breitenrichtung, Tiefe 90 cm in Höhenrichtung). Bevor Sie es entsorgen, weil „180 cm Breite nie durch eine 80-cm-Tür passt“, können Sie mit Zahlen prüfen, ob es mit der richtigen Fläche doch hindurchgeht.
Da nur 2 cm Spielraum bleiben, wird es mit vorstehender Türklinke, Scharnieren und der Dicke der Schutzabdeckung in Wirklichkeit knapp. Bei knappen Möbeln nennen Sie dem Umzugsunternehmen bei der Besichtigung die Maße und besprechen, ob die Tür ausgehängt oder die Füße abgenommen werden.
Vor dem Kauf von Kühlschrank, Waschmaschine oder Trockner Wohnungstür und Badtür prüfen (Gerätekauf)
Eine Waschmaschine mit 60 cm Breite, 60 cm Tiefe und 85 cm Höhe passt voraussichtlich nicht durch eine Badtür mit 58 cm Breite (Spielraum 3 cm, also nutzbare Breite 55 cm): Bei jeder Fläche ist die kürzere Kante 60 cm, und es fehlen 5 cm Breite. Bei Geräten wie Kühlschränken und Waschmaschinen, deren Flächen alle breit sind, lässt sich der Mangel an Breite weder durch eine andere Fläche noch durch Schrägstellen beheben; nötig sind dann das Aushängen der Tür, ein anderer Transportweg oder ein etwas kleineres Gerät.
Elektromärkte und Hersteller nennen in ihren Lieferhinweisen oft den nötigen Durchgang in der Form „Gerätebreite + x cm“. Tragen Sie dieses x in das Feld „Spielraum“ dieses Rechners ein, dann prüfen Sie nach demselben Prinzip wie die Hinweise. Andere Fragen wie Wasseranschluss und Höhe des Wasserhahns finden Sie in der Aufbauanleitung des Geräts.
Hohen Schrank, Kleiderschrank oder Standspiegel in ein Zimmer bringen, ohne ihn zu legen (Möbelkauf, Umgestalten)
Ein dünnes Paneel mit 202 cm Höhe und 10 cm Dicke (Standspiegel oder Rückwand vor dem Aufbau) ist in einer Tür mit 200 cm Höhe bei aufrechter Stellung 2 cm zu hoch; neigt man es um etwa 20° aus der Senkrechten, passen die benötigte Höhe von etwa 193 cm und die benötigte Breite von etwa 79 cm, und es geht voraussichtlich durch eine Tür mit 90 cm Breite. „Ein wenig neigen genügt“ gilt nur für so dünne Möbel, denen nur wenig Höhe fehlt.
Dicke Bücherregale und Kleiderschränke brauchen beim Neigen schnell mehr Breite; man trägt sie deshalb normalerweise liegend (mit der Oberseite oder der Seitenfläche zur Öffnung). Möbel zum Selbstaufbauen bauen Sie im Zimmer zusammen, dann zählen die Maße der Einzelteile, und die Maße des fertigen Möbelstücks brauchen Sie nicht zu beachten.
Prüfen, ob ein langes Sofa oder Bett um eine L-förmige Flurecke oder Treppenwendung kommt (Mietwohnung, Mehrfamilienhaus)
An einer rechtwinkligen Ecke zwischen Fluren von 85 cm und 110 cm Breite (Spielraum 3 cm) kommt ein Stab ohne Breite etwa 267 cm um die Ecke, ein Sofa von 60 cm Tiefe (Breite 230 cm) dagegen nur etwa 145 cm, es kommt also quer nicht um die Ecke. Bei breiten Möbeln kann man sich mit der „Formel für den Stab“ gewaltig verschätzen; man muss die Formel mit der Korrektur um die Breite verwenden.
In solchen Fällen geht es hochkant getragen oft doch hindurch (tragen Sie die Höhe in das Feld für die Länge und die Tiefe in das Feld für die Breite ein). Eine Treppe mit Wendung lässt sich, indem Sie Treppenbreite und Tiefe des Podests als Flurbreiten \(a\) und \(b\) ansetzen und „zwei rechtwinklige Ecken nacheinander“ annehmen, mit derselben Formel abschätzen (Handläufe und Leuchten ziehen Sie über den Spielraum ab).
Entscheiden, ob ein Möbelstück, das nicht in den Aufzug passt, die Treppe hinauf getragen oder mit einem Möbellift hochgezogen wird (Umzug im Mehrfamilienhaus)
In eine Kabine mit 140 cm Breite, 110 cm Tiefe und 230 cm Höhe passt eine zusammengerollte Teppichrolle von 235 cm Länge (20 cm Durchmesser) trotz der Deckenhöhe von 230 cm voraussichtlich, wenn man ihre lange Kante in der Fläche Breite × Höhe um etwa 62° zum Boden aufrichtet. Ein Regalboden derselben Länge mit 40 cm Dicke passt dagegen auch schräg nicht hinein; obwohl die Raumdiagonale (etwa 286 cm) noch Reserve hat, bleibt er wegen der Dicke hängen.
Steht fest, dass er nicht in den Aufzug passt, können Sie vor dem Angebot überlegen, ob Sie ihn die Treppe hinauftragen (mit der Formel der Flurecke prüfen) oder mit einem Möbellift (Umzugslift) hochziehen lassen (oft gegen Aufpreis). Innenmaß der Kabine und Maße der Tür erfahren Sie von der Hausverwaltung oder aus dem Datenblatt des Herstellers; die Tür ist oft schmaler, geben Sie ihre Maße also mit ein.
Sinus und Kosinus und das „Minimum“ im Alltag (Mathematik in der Oberstufe)
Die benötigte Breite \(p\cos\theta + q\sin\theta\) und die benötigte Höhe \(p\sin\theta + q\cos\theta\) der geneigten Fläche sind nur die Summen der waagerechten und senkrechten Komponenten (\(p\cos\theta\), \(p\sin\theta\)) einer um den Winkel \(\theta\) geneigten Kante der Länge \(p\); es ist die grundlegendste Anwendung von Sinus und Kosinus. Die größte Länge, die um eine Flurecke passt, ist „das Minimum von \(L(\theta) = \dfrac{a}{\sin\theta} + \dfrac{b}{\cos\theta}\)“; das ist eine klassische Extremwertaufgabe der Differenzialrechnung in der Oberstufe („Leiter um die Ecke“).
Fragt man, „warum das Minimum die größte Länge ist“ (weil man beim Gang um die Ecke alle Winkel durchläuft), lässt sich die Bedeutung der Formel beim Transport wirklich vorstellen.
Formeln und Abbildungen
Bedingung für das Durchpassen durch Tür oder Öffnung (nutzbare Öffnung und wann eine Möbelfläche hindurchpasst)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(w'\)
\(=\)
\(w\)
\(-\)
\(c\)
\(h'\)
\(=\)
\(h\)
\(-\)
\(c\)
\(p\)
\(\le\)
\(w'\)
\(\quad\text{und}\)
\(q\)
\(\le\)
\(h'\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
③
nutzbare Breite \(w'\)
\(=\)
①
Breite der Öffnung \(w\) (lichtes Maß)
\(-\)
②
Spielraum \(c\)
④
nutzbare Höhe \(h'\)
\(=\)
Höhe der Öffnung \(h\) (lichtes Maß)
\(-\)
Spielraum \(c\)
⑤
Kante der Fläche in Breitenrichtung \(p\)
\(\le\)
nutzbare Breite \(w'\)
\(\quad\text{und}\)
⑥
Kante der Fläche in Höhenrichtung \(q\)
\(\le\)
nutzbare Höhe \(h'\)
Die Formel in Worten
①
Ziehen Sie von der
Breite der Öffnung \(w\)
den
②
Spielraum \(c\)
(für Verpackung, Griffe und Schutzabdeckung) ab, dann erhalten Sie die
③
nutzbare Breite \(w'\)
④
Ebenso ziehen Sie von der Höhe der Öffnung \(h\) den Spielraum \(c\) ab und erhalten die
nutzbare Höhe \(h'\)
⑤
Für jede der drei Flächen des Möbelstücks (Vorderseite \(W \times H\), Seitenfläche \(D \times H\), Oberseite \(W \times D\)) gilt: Ist bei zur Öffnung gewandter Fläche die
Kante in Breitenrichtung \(p\)
nicht größer als die nutzbare Breite \(w'\) und zugleich die
⑥
Kante in Höhenrichtung \(q\)
nicht größer als die nutzbare Höhe \(h'\), passt die Fläche durch die Öffnung (die Fläche darf auch um 90° gedreht werden, sodass \(p\) und \(q\) vertauscht sind)
Einfaches Beispiel
Passt ein Sofa mit 180 cm Breite, 90 cm Tiefe und 75 cm Höhe durch eine Tür mit 80 cm Breite und 200 cm Höhe (Spielraum 3 cm), wenn Sie die Seitenfläche (Tiefe 90 × Höhe 75) zur Öffnung wenden, mit der Höhe von 75 cm in Breitenrichtung und der Tiefe von 90 cm in Höhenrichtung (Rückenlehne nach unten, vom Ende her)?
Nutzbare Breite \(w'\)
\(=\)
Breite der Öffnung (80 cm)
\(-\)
Spielraum (3 cm)
Kante in Breitenrichtung (75 cm)
\(\le\)
Nutzbare Breite (77 cm)
\(\quad\text{und}\)
Kante in Höhenrichtung (90 cm)
\(\le\)
Nutzbare Höhe (197 cm)
\(w' = 80 - 3 = 77\ (\mathrm{cm}),\quad h' = 200 - 3 = 197\ (\mathrm{cm})\)
\(75 \le 77,\quad 90 \le 197\)
Der Kerngedanke
Ein quaderförmiges Möbelstück hat drei verschiedene Flächen, die zur Öffnung zeigen können: die Vorderseite (Breite \(W\) × Höhe \(H\)), mit der es in Richtung der Tiefe hindurchgeschoben wird, die Seitenfläche (Tiefe \(D\) × Höhe \(H\)), mit der es in Richtung der Breite hindurchgeht, und die Oberseite (Breite \(W\) × Tiefe \(D\)), mit der es in Richtung der Höhe hindurchgeht (hochkant oder liegend getragen). Jede Fläche kann außerdem um 90° gedreht (gekippt) werden, es gibt also insgesamt sechs Lagen. Auch wenn Sie denken „ein Sofa mit 180 cm Breite passt nicht durch eine Tür mit 80 cm“, geht es mit der Seitenfläche 90 × 75 hindurch; das liegt an dieser Wahl der Fläche.
Der Spielraum \(c\) berücksichtigt die Verpackung (Karton, Styropor), vorstehende Griffe, Türklinken und Scharniere sowie die Schutzabdeckung auf Boden und Rahmen; üblich sind etwa 2 bis 5 cm. Beurteilt wird mit der „nutzbaren Öffnung“, also Breite und Höhe der Öffnung abzüglich dieses Werts; das Ergebnis hängt daher davon ab, wie viel Spielraum Sie ansetzen. Wird es knapp, kommen das Aushängen der Tür (die nutzbare Breite wächst) oder das Abnehmen von Füßen und Griffen (das Maß schrumpft) in Frage.
Diese Bedingung gilt allerdings nur, wenn die Öffnung ein rechteckiges Loch in einer dünnen Platte ist und das Möbelstück gerade hindurchgeschoben wird. Ist der Flur so schmal, dass Sie das Möbelstück nicht vor der Vorderseite der Öffnung ansetzen können, oder liegt vor der Tür eine Stufe, prüfen Sie zusätzlich die Überlegung zur „Flurecke“ weiter unten.
Bedingung für das schräge Durchpassen (Breite und Höhe des umschließenden Rechtecks der geneigten Fläche)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(W_{\theta}\)
\(=\)
\(p\)
\(\cos\theta\)
\(+\)
\(q\)
\(\sin\theta\)
\(H_{\theta}\)
\(=\)
\(p\)
\(\sin\theta\)
\(+\)
\(q\)
\(\cos\theta\)
\(W_{\theta}\)
\(\le\)
\(w'\)
\(\quad\text{und}\)
\(H_{\theta}\)
\(\le\)
\(h'\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
④
Benötigte Breite \(W_{\theta}\)
\(=\)
①
Lange Kante der Fläche \(p\)
③
Kosinus des Winkels \(\theta\), \(\cos\theta\)
\(+\)
②
Kurze Kante der Fläche \(q\)
Sinus des Winkels \(\theta\), \(\sin\theta\)
⑤
Benötigte Höhe \(H_{\theta}\)
\(=\)
Lange Kante der Fläche \(p\)
Sinus des Winkels \(\theta\), \(\sin\theta\)
\(+\)
Kurze Kante der Fläche \(q\)
Kosinus des Winkels \(\theta\), \(\cos\theta\)
Benötigte Breite \(W_{\theta}\)
\(\le\)
⑥
Nutzbare Breite \(w'\)
\(\quad\text{und}\)
Benötigte Höhe \(H_{\theta}\)
\(\le\)
Nutzbare Höhe \(h'\)
Die Formel in Worten
①
Neigen Sie eine Fläche mit der
langen Kante \(p\)
und der
②
kurzen Kante \(q\)
so, dass die lange Kante den Winkel \(\theta\) mit dem Boden bildet.
③
Die waagerechte Komponente der langen Kante ist \(p\) mal dem
Kosinus des Winkels \(\theta\), \(\cos\theta\)
und die der kurzen Kante \(q\) mal \(\sin\theta\); addiert ergeben sie die
④
benötigte Breite \(W_{\theta}\)
(die Breite des Rechtecks, das die geneigte Fläche ganz umschließt).
⑤
Addiert man ebenso die senkrechten Komponenten, erhält man die
benötigte Höhe \(H_{\theta}\)
\(= p\sin\theta + q\cos\theta\).
⑥
Sind bei irgendeinem Winkel zwischen 0° und 90° die benötigte Breite und die benötigte Höhe beide nicht größer als die
nutzbare Breite \(w'\) und Höhe \(h'\)
passt die Fläche bei diesem Winkel durch die Öffnung
Einfaches Beispiel
Ein dünnes Paneel mit 202 cm Höhe und 10 cm Dicke (Fläche 202 × 10) ist bei aufrechter Stellung in einer Tür mit 90 cm Breite und 200 cm Höhe (Spielraum 0) 2 cm zu hoch. Neigt man die lange Kante auf 70° zum Boden (20° aus der Senkrechten; \(\cos 70^\circ \approx 0{,}3420\), \(\sin 70^\circ \approx 0{,}9397\)), ergibt sich
Benötigte Breite \(W_{\theta}\)
\(=\)
Lange Kante (202 cm)
Kosinus \(\cos 70^\circ\) (≈ 0,3420)
\(+\)
Kurze Kante (10 cm)
Sinus \(\sin 70^\circ\) (≈ 0,9397)
Benötigte Höhe \(H_{\theta}\)
\(=\)
Lange Kante (202 cm)
Sinus \(\sin 70^\circ\) (≈ 0,9397)
\(+\)
Kurze Kante (10 cm)
Kosinus \(\cos 70^\circ\) (≈ 0,3420)
\(W_{\theta} = 202 \times 0{,}3420 + 10 \times 0{,}9397 \approx 69{,}1 + 9{,}4 = 78{,}5\ (\mathrm{cm}) \le 90\)
\(H_{\theta} = 202 \times 0{,}9397 + 10 \times 0{,}3420 \approx 189{,}8 + 3{,}4 = 193{,}2\ (\mathrm{cm}) \le 200\)
Der Kerngedanke
Neigt man eine Fläche, sind die benötigte Breite und Höhe an der Öffnung Breite und Höhe des „umschließenden Rechtecks des geneigten Rechtecks“. Richtet man die lange Kante \(p\) um den Winkel \(\theta\) vom Boden auf, ist ihre waagerechte Komponente \(p\cos\theta\) und ihre senkrechte \(p\sin\theta\). Die kurze Kante \(q\) steht senkrecht auf der langen; ihre waagerechte Komponente ist \(q\sin\theta\) und ihre senkrechte \(q\cos\theta\). Die Summen sind die benötigte Breite und Höhe (die einfachste Anwendung von Sinus und Kosinus).
Diese Formel zeigt zwei wichtige Dinge. Erstens wird die benötigte Breite \(p\cos\theta + q\sin\theta\) bei keinem Winkel kleiner als die kurze Kante \(q\) (bei \(\theta = 90^\circ\) ist sie mit \(q\) am kleinsten); Neigen kann einen Mangel an Breite also nicht beheben. Bei einer quadratischen Fläche (\(p = q\)) wird das umschließende Rechteck beim Neigen nur größer, Schrägstellen bringt also nichts. Zweitens hilft Schrägstellen nur bei dünnen Möbeln, deren kurze Kante in die Breite der Öffnung passt und deren lange Kante nur knapp länger ist als die Höhe der Öffnung. Fehlen wie bei dem Paneel von 202 cm im Beispiel nur wenige cm an Höhe, schrumpft die benötigte Höhe beim leichten Neigen auf etwa \(p\sin\theta\), dafür wächst die benötigte Breite um \(p\cos\theta\). Bei dicken Möbeln übersteigt die größere Breite schnell die Breite der Öffnung.
„Passt es bei irgendeinem Winkel?“ prüft der Rechner, indem er 0 bis 90° fein abtastet. In der Mathematik ist auch eine analytische Bedingung dafür bekannt, wann ein Rechteck in ein anderes passt; in der Praxis genügt es, mit dieser Formel Winkel für Winkel zu prüfen. Ist außerdem die Diagonale \(\sqrt{p^{2}+q^{2}}\) der Möbelfläche länger als die Diagonale \(\sqrt{w'^{2}+h'^{2}}\) der nutzbaren Öffnung, passt sie bei keiner Neigung (das ist eine notwendige Bedingung dafür, dass sie geneigt hindurchpasst; passt die Diagonale, heißt das umgekehrt noch nicht, dass die Fläche hindurchgeht).
Größte Länge, die um eine L-förmige Flurecke passt
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(L_{\max}\)
\(=\)
\(\bigl(\)
\(a\)
\(\frac{2}{3}\)
\(+\)
\(b\)
\(\frac{2}{3}\)
\(\bigr)^{\frac{3}{2}}\)
\(L(\theta)\)
\(=\)
\(\dfrac{a}{\sin\theta}\)
\(+\)
\(\dfrac{b}{\cos\theta}\)
\(-\)
\(\dfrac{d}{\sin\theta\cos\theta}\)
\(L_{\max}\)
\(=\)
\(\min_{\theta}\)
\(L(\theta)\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
③
Größte Länge eines Stabs \(L_{\max}\)
\(=\)
\(\bigl(\)
①
Flurbreite \(a\)
hoch \(\dfrac{2}{3}\)
\(+\)
②
Flurbreite \(b\)
hoch \(\dfrac{2}{3}\)
\(\bigr)^{\frac{3}{2}}\)
⑥
Passende Länge \(L(\theta)\)
\(=\)
④
\(\dfrac{\text{Flurbreite vor der Ecke } a}{\text{Sinus des Winkels } \theta \text{ } \sin\theta}\)
\(+\)
\(\dfrac{\text{Flurbreite nach der Ecke } b}{\text{Kosinus des Winkels } \theta \text{ } \cos\theta}\)
\(-\)
⑤
\(\dfrac{\text{Möbelbreite } d}{\text{Produkt aus Sinus und Kosinus } \sin\theta\cos\theta}\)
⑦
Größte Länge des Möbelstücks \(L_{\max}\)
\(=\)
\(\min_{\theta}\)
Passende Länge \(L(\theta)\)
Die Formel in Worten
①
Potenzieren Sie die
Flurbreite vor der Ecke \(a\)
mit \(\dfrac{2}{3}\) und die
②
Flurbreite nach der Ecke \(b\)
ebenfalls mit \(\dfrac{2}{3}\), addieren Sie die beiden Ergebnisse und potenzieren Sie die Summe mit \(\dfrac{3}{2}\); so erhalten Sie die
③
größte Länge eines Stabs ohne Breite, der um die Ecke passt \(L_{\max}\)
④
Hat das Möbelstück eine Breite \(d\), denken Sie sich die Lage, in der seine Innenkante die Innenecke des Flurs berührt und seine Außenkante beide Wände. Bildet das Möbelstück den Winkel \(\theta\) mit dem Flur vor der Ecke, addieren Sie
\(\dfrac{\text{Flurbreite vor der Ecke } a}{\text{Sinus des Winkels } \theta \text{ } \sin\theta}\) und \(\dfrac{\text{Flurbreite nach der Ecke } b}{\text{Kosinus des Winkels } \theta \text{ } \cos\theta}\)
und ziehen
⑤
\(\dfrac{\text{Möbelbreite } d}{\text{Produkt aus Sinus und Kosinus } \sin\theta\cos\theta}\)
ab; das ergibt die
⑥
passende Länge \(L(\theta)\)
⑦
Beim Gang um die Ecke ändert sich der Winkel von 0° bis 90°, und das Möbelstück muss bei allen Winkeln passen; das Minimum von \(L(\theta)\) ist die
größte Länge \(L_{\max}\), die ein Möbelstück der Breite \(d\) um die Ecke bringt
Einfaches Beispiel
An einer rechtwinkligen Ecke zwischen zwei Fluren von 90 cm Breite ist die größte Länge, die eine Kiste von 50 cm Breite um die Ecke bringt (bei gleicher Flurbreite ist der ungünstigste Winkel 45°, \(\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \approx 0{,}7071\))
Größte Länge eines Stabs \(L_{\max}\)
\(=\)
\(\bigl(\)
\(90^{\frac{2}{3}}\)
\(+\)
\(90^{\frac{2}{3}}\)
\(\bigr)^{\frac{3}{2}}\)
Größte Länge einer Kiste von 50 cm Breite \(L(45^\circ)\)
\(=\)
\(\dfrac{90}{\sin 45^\circ}\)
\(+\)
\(\dfrac{90}{\cos 45^\circ}\)
\(-\)
\(\dfrac{50}{\sin 45^\circ \cos 45^\circ}\)
\(L_{\max} = \bigl(2 \times 90^{\frac{2}{3}}\bigr)^{\frac{3}{2}} = 2^{\frac{3}{2}} \times 90 = 180\sqrt{2} \approx 254{,}6\ (\mathrm{cm})\)
\(L(45^\circ) = \dfrac{90}{0{,}7071} + \dfrac{90}{0{,}7071} - \dfrac{50}{0{,}5} \approx 127{,}3 + 127{,}3 - 100 = 154{,}6\ (\mathrm{cm})\)
Der Kerngedanke
Die größte Länge, die ein Stab ohne Breite (ein dünnes Rohr oder eine Gardinenstange) um eine rechtwinklige Ecke bringt, ist das Minimum der Länge \(\dfrac{a}{\sin\theta} + \dfrac{b}{\cos\theta}\), bei der der Stab die Innenecke des Flurs berührt und mit beiden Enden an die Außenwände stößt, wenn Sie den Winkel \(\theta\) verändern. Beim Gang um die Ecke ändert sich der Winkel stetig von 0° bis 90°; eine Länge, die nicht bei jedem Zwischenwinkel passt, bleibt hängen. Dieses Minimum hat die schöne Form \(\bigl(a^{2/3} + b^{2/3}\bigr)^{3/2}\) (der günstigste Winkel erfüllt \(\tan\theta = \left(\dfrac{a}{b}\right)^{1/3}\)) und ist in der Mathematik als Aufgabe „Leiter um die Ecke“ bekannt.
Ein Möbelstück hat die Breite \(d\) und bleibt daher bei einer viel kürzeren Länge als ein Stab hängen. Der letzte Term \(\dfrac{d}{\sin\theta\cos\theta}\) der Formel ist dieser Verlust: In dem Flur von 90 cm im Beispiel kommt ein Stab etwa 255 cm um die Ecke, eine Kiste von 50 cm Breite aber nur etwa 155 cm. Ein Möbelstück, dessen Breite halb so groß ist wie der Flur, berührt leicht gleichzeitig Innen- und Außenseite der Ecke, sodass kaum Spielraum für die Länge bleibt. Geprüft wird in zwei Schritten: Die Möbelbreite \(d\) darf nicht größer sein als die nutzbare Breite beider Flure, und die Länge \(L\) darf nicht größer sein als \(L_{\max}\).
Ist die Länge des Möbelstücks nicht größer als die Breite des Flurs nach der Ecke (\(L \le b\) und \(d \le a\), oder umgekehrt), kann es ohne Drehen die Richtung wechseln und kommt auch ohne Vergleich mit \(L_{\max}\) durch. Übersteigt es \(L_{\max}\), geht es hochkant getragen oft doch hindurch (die Länge im Grundriss wird zur „Höhe“, die Breite zur „Tiefe“). Tragen Sie dafür die Höhe in das Feld für die Länge und die Tiefe in das Feld für die Breite ein (dann muss auch die Deckenhöhe des Flurs mindestens der Möbelbreite entsprechen). Auch bei einem Podest einer Treppe mit Wendung lässt sich mit der Treppenbreite und der Tiefe des Podests als \(a\) und \(b\) („zwei rechtwinklige Ecken nacheinander“) mit dieser Formel ein Richtwert ermitteln.
Diagonalen der Aufzugkabine (Obergrenze für stabförmige Gegenstände)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(D_{\text{Boden}}\)
\(=\)
\(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\)
\(D_{\text{hoch}}\)
\(=\)
\(\sqrt{b^{2} + h^{2}}\)
\(D_{\text{Raum}}\)
\(=\)
\(\sqrt{a^{2} + b^{2} + h^{2}}\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
③
Diagonale des Bodens \(D_{\text{Boden}}\)
\(=\)
①
Wurzel aus dem Quadrat der Kabinenbreite \(a\) plus dem Quadrat der Tiefe \(b\)
④
Diagonale bei aufrecht schräg gestelltem Möbelstück \(D_{\text{hoch}}\)
\(=\)
②
Wurzel aus dem Quadrat der Tiefe \(b\) plus dem Quadrat der Höhe \(h\)
⑤
Raumdiagonale \(D_{\text{Raum}}\)
\(=\)
Wurzel aus der Summe der Quadrate von Breite \(a\), Tiefe \(b\) und Höhe \(h\)
Die Formel in Worten
①
Addieren Sie das Quadrat der
Kabinenbreite \(a\) und das Quadrat der Tiefe \(b\)
und ziehen Sie die Wurzel (Satz des Pythagoras), dann erhalten Sie die
③
Diagonale des Bodens \(D_{\text{Boden}}\)
(die Obergrenze für die Länge, die liegend schräg hineinpasst)
②
Quadrat der Tiefe \(b\) und Quadrat der Höhe \(h\)
addieren und die Wurzel ziehen, das ergibt die
④
Diagonale bei aufrecht schräg gestelltem Möbelstück \(D_{\text{hoch}}\)
(für die Fläche aus Breite \(a\) und Höhe \(h\) genauso; nehmen Sie die größere)
⑤
Addiert man die Quadrate aller drei Kanten und zieht die Wurzel, erhält man die
Raumdiagonale \(D_{\text{Raum}}\)
und das ist die längste gerade Strecke in der Kabine (die Obergrenze für einen dünnen Stab)
Einfaches Beispiel
Für eine Kabine mit 90 cm Breite, 120 cm Tiefe und 200 cm Höhe (Spielraum 0) sind die drei Diagonalen
Diagonale des Bodens \(D_{\text{Boden}}\)
\(=\)
\(\sqrt{90^{2} + 120^{2}}\)
Diagonale aufrecht schräg \(D_{\text{hoch}}\)
\(=\)
\(\sqrt{120^{2} + 200^{2}}\)
Raumdiagonale \(D_{\text{Raum}}\)
\(=\)
\(\sqrt{90^{2} + 120^{2} + 200^{2}}\)
\(D_{\text{Boden}} = \sqrt{8100 + 14400} = \sqrt{22500} = 150\ (\mathrm{cm})\)
\(D_{\text{hoch}} = \sqrt{14400 + 40000} = \sqrt{54400} \approx 233{,}2\ (\mathrm{cm})\)
\(D_{\text{Raum}} = \sqrt{8100 + 14400 + 40000} = \sqrt{62500} = 250\ (\mathrm{cm})\)
Der Kerngedanke
Eine Aufzugkabine ist ein Quader aus „Breite × Tiefe × Höhe“. Ob ein Möbelstück unverändert hineinpasst, hängt davon ab, ob es eine Anordnung der drei Kanten gibt, bei der sie (in beliebiger Reihenfolge) nicht größer sind als die drei Kanten der Kabine (das nutzbare Innenmaß nach Abzug des Spielraums); es gibt sechs Anordnungen. Auch ein Möbelstück, das länger ist als die Deckenhöhe, passt manchmal schräg in einer Fläche der Kabine hinein, und die Obergrenze dafür ist die Diagonale. Die Diagonale des Bodens gilt für liegend schräges Einlegen, die Diagonale der Fläche Tiefe × Höhe (oder Breite × Höhe) für das aufrechte schräge Anlehnen an die Wand, und die Raumdiagonale für das schräge Einlegen von einer Ecke der Kabine zur gegenüberliegenden; alle ergeben sich aus dem Satz des Pythagoras (Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks).
Die Diagonale ist aber nur die Obergrenze für einen „Stab ohne Dicke“; dicke Möbelstücke passen schon bei einer deutlich kürzeren Länge nicht mehr. Ob ein dickes Möbelstück schräg hineinpasst, prüft der Rechner mit derselben Formel wie oben bei „Bedingung für das schräge Durchpassen“ (passt das umschließende Rechteck beim Drehen der Fläche in die Kabinenfläche?). Für jede der drei Flächen der Kabine richtet er eine Kante des Möbelstücks senkrecht zur Fläche aus und prüft, ob das Rechteck aus den beiden übrigen Kanten sich in der Fläche drehen lässt und dort passt.
Bei Aufzügen ist die „Breite und Höhe der Tür“ oft kleiner als „Breite und Deckenhöhe der Kabine“, sodass manche Geräte in die Kabine passen, aber an der Tür hängen bleiben. Geben Sie die Maße der Tür ein, prüft der Rechner auch für die Tür dasselbe wie bei einer Tür (passt eine der drei Flächen in die nutzbare Öffnung der Tür?). Innenmaß der Kabine und Maße der Tür erfahren Sie aus dem Datenblatt des Herstellers oder von der Hausverwaltung; durch Deckenleuchte, Handlauf und Spiegel ist das tatsächliche Innenmaß kleiner.
Ob etwas durchpasst, beurteilt man an der „nutzbaren Größe von Öffnung, Flur oder Kabine nach Abzug des Spielraums \(c\)“: Passt eine der drei Flächen des Möbelstücks (\(p \le w'\) und \(q \le h'\))? Ein dünnes Möbelstück, das nicht passt, geht schräg durch, wenn es einen Neigungswinkel gibt, bei dem Breite \(p\cos\theta + q\sin\theta\) und Höhe \(p\sin\theta + q\cos\theta\) des umschließenden Rechtecks in die nutzbare Öffnung passen. An einer Flurecke ist das Minimum von \(L(\theta) = \dfrac{a}{\sin\theta} + \dfrac{b}{\cos\theta} - \dfrac{d}{\sin\theta\cos\theta}\) die größte Länge, die um die Ecke passt (bei einem Stab \((a^{2/3}+b^{2/3})^{3/2}\)), und beim Aufzug ist die Diagonale \(\sqrt{a^{2}+b^{2}+h^{2}}\) die Obergrenze für stabförmige Gegenstände.
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(W,\ D,\ H\) | Breite (engl. width), Tiefe (depth) und Höhe (height) des Möbelstücks. Die Reihenfolge entspricht „Breite × Tiefe × Höhe“ im Katalog, die Einheit ist cm; die Buchstaben W, D, H sind die in der Formel üblichen Symbole. |
| \(w,\ h\) | Breite und Höhe der Öffnung (Tür, Fenster, Aufzugtür) (lichtes Maß). Sie sind klein geschrieben, um sie von \(W\) und \(H\) des Möbelstücks zu unterscheiden. In der Formel für den „Aufzug“ ist \(h\) die Höhe der Kabine (nutzbares Innenmaß). |
| \(c\) | Spielraum (engl. clearance). Die Länge (cm), die für Verpackung, Griffe und Schutzabdeckung von den Maßen von Öffnung, Flur oder Kabine abgezogen wird. |
| \(w',\ h'\) | Breite und Höhe der nutzbaren Öffnung. Es gilt \(w' = w - c\) und \(h' = h - c\); der Strich oben rechts kennzeichnet den Wert nach Abzug des Spielraums. |
| \(p,\ q\) | Die beiden Kanten der zur Öffnung gewandten Fläche. Bei „wann eine Fläche hindurchpasst“ sind es die Kante in Breitenrichtung und die Kante in Höhenrichtung, bei „Bedingung für das schräge Durchpassen“ die lange Kante \(p\) und die kurze Kante \(q\). Es sind zwei der Maße \(W\), \(D\), \(H\) des Möbelstücks. |
| \(\theta\) | Ein Winkel. Der griechische Buchstabe Theta wird häufig als Zeichen für einen Winkel verwendet. Bei „Bedingung für das schräge Durchpassen“ ist es der Winkel der langen Kante der Fläche zum Boden, bei der „Flurecke“ der Winkel, den das Möbelstück mit dem Flur vor der Ecke bildet. |
| \(W_{\theta},\ H_{\theta}\) | Die benötigte Breite und Höhe, wenn die Fläche um den Winkel \(\theta\) geneigt wird (Breite und Höhe des umschließenden Rechtecks der geneigten Fläche). Das \(\theta\) unten rechts kennzeichnet eine Größe, die vom Winkel abhängt. |
| \(a,\ b\) | Bei der „Flurecke“ die Breite des Flurs vor der Ecke \(a\) und die Breite des Flurs nach der Ecke \(b\), beim „Aufzug“ die Breite \(a\) und die Tiefe \(b\) der Kabine (beide als nutzbare Maße nach Abzug des Spielraums). |
| \(L,\ d\) | Länge \(L\) (engl. length) und Breite \(d\) des Möbelstücks, das um die Ecke gedreht wird. Gemeint sind die lange und die kurze Kante im Grundriss (von oben gesehen); bei \(d = 0\) wird wie für einen Stab ohne Dicke gerechnet. |
| \(L_{\max}\) | Die größte Länge, die um die Flurecke passt. max steht für Maximum. Bei einem Stab ist es \(\bigl(a^{2/3}+b^{2/3}\bigr)^{3/2}\), bei einem Möbelstück der Breite \(d\) das Minimum von \(L(\theta)\). |
| \(\min_{\theta}\) | Das Zeichen für „das Minimum, wenn der Winkel \(\theta\) variiert“. min steht für Minimum. Beim Gang um die Ecke durchläuft man alle Winkel, also begrenzt die Länge beim ungünstigsten Winkel. |
| \(\sin\theta,\ \cos\theta\) | Sinus und Kosinus. Im rechtwinkligen Dreieck ist \(\sin\theta\) das Verhältnis der Gegenkathete zur Hypotenuse und \(\cos\theta\) das Verhältnis der Ankathete zur Hypotenuse. Wird eine Kante der Länge \(p\) um den Winkel \(\theta\) geneigt, ist die senkrechte Komponente \(p\sin\theta\) und die waagerechte \(p\cos\theta\). |
| \(D_{\text{Boden}},\ D_{\text{hoch}},\ D_{\text{Raum}}\) | Die Diagonale des Kabinenbodens, die Diagonale der Fläche bei aufrecht schräg gestelltem Möbelstück und die Raumdiagonale. \(D\) steht für „Diagonale“. |
| \(\sqrt{\ }\) | Die Quadratwurzel. Sie steht für „die positive Zahl, deren Quadrat diese Zahl ist“ und wird beim Berechnen der Länge von Diagonalen mit dem Satz des Pythagoras verwendet (Beispiel: \(\sqrt{90^{2}+120^{2}} = \sqrt{22500} = 150\)). |
| \(\le\) | Das Ungleichheitszeichen für „der linke Wert ist kleiner oder gleich dem rechten“. \(p \le w'\) heißt „die Kante \(p\) des Möbelstücks ist nicht größer als die Breite \(w'\) der nutzbaren Öffnung“, es passt also auch bei genau gleichem Wert. |
| \(a^{2/3}\) | \(a\) hoch \(\dfrac{2}{3}\). „\(a\) quadrieren und dann die dritte Wurzel ziehen“, dasselbe wie \(\sqrt[3]{a^{2}}\). Zum Beispiel ist \(8^{2/3} = \sqrt[3]{64} = 4\). Es kommt in der Formel für die größte Länge eines Stabs um die Ecke vor. |
| \(\approx\) | Das Zeichen für „ungefähr gleich“. Es wird verwendet, wenn eine Zahl, die nicht aufgeht, wie bei Werten von Sinus und Kosinus oder Wurzeln als gerundete Dezimalzahl geschrieben wird. |
Begriffe
| lichtes Maß | Die Maße von Innenseite zu Innenseite eines Tür- oder Fensterrahmens. Kleiner als das außen gemessene Maß, und nur so viel geht wirklich hindurch. Lässt sich die Tür nicht aushängen, messen Sie im um 90° geöffneten Zustand, denn die Dicke der geöffneten Tür macht die Öffnung noch schmaler. |
| nutzbare Öffnung | Das lichte Maß einer Öffnung nach Abzug von Spielraum für Verpackung, Griffe, Türklinken und Schutzabdeckung, also die Größe, die für das Möbelstück tatsächlich zur Verfügung steht. Alle Einschätzungen dieser Seite beruhen auf diesem Maß, das auch im Ergebnis steht. |
| Spielraum | Die Lücke, die zwischen Möbelstück und Öffnung nötig ist. Sie ergibt sich aus der Dicke der Verpackung, vorstehenden Griffen und Scharnieren, den Brettern der Schutzabdeckung und dem Platz für die Hände der Träger; üblich sind etwa 2 bis 5 cm. Der Wert hängt vom Möbelstück und von der Art des Transports ab und lässt sich im Eingabefeld ändern. |
| Schutzabdeckung | Schutzmaterial (Bretter, Folie, Pappe), das beim Transport auf Boden, Wände und Türrahmen gelegt wird, damit sie nicht beschädigt werden. Umzugsunternehmen erledigen das; um die Dicke wird die Öffnung schmaler, deshalb gehört sie zum Spielraum. |
| Vorderseite | Die Fläche aus Breite × Höhe des Möbelstücks. Wird sie zur Öffnung gewandt, geht das Möbelstück in Richtung der Tiefe voran. Bei einem Sofa ist es die Fläche, die man von der Sitzseite aus sieht. |
| Seitenfläche | Die Fläche aus Tiefe × Höhe des Möbelstücks. Wird sie zur Öffnung gewandt, geht das Möbelstück in Richtung der Breite voran. Breite Sofas und Betten trägt man grundsätzlich mit dieser Fläche voran. |
| Oberseite | Die Fläche aus Breite × Tiefe des Möbelstücks. Wird sie zur Öffnung gewandt, geht das Möbelstück in Richtung der Höhe voran. Bei einem hohen Bücherregal oder Kühlschrank bedeutet das, ihn „von oben“ voran hindurchzubringen, ohne ihn nach vorn zu kippen; bei hohen Möbeln heißt das, sie liegend zu tragen. |
| umschließendes Rechteck | Das kleinste Rechteck mit waagerechten und senkrechten Seiten, das eine geneigte Figur ganz umschließt. Ob eine geneigte Möbelfläche durch die Öffnung passt, hängt davon ab, ob Breite und Höhe dieses Rechtecks in die nutzbare Öffnung passen. |
| Diagonale | Die Verbindungslinie gegenüberliegender Ecken eines Rechtecks (und ihre Länge). Bei einem Rechteck mit den Seiten \(x\) und \(y\) ist sie \(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\). Ist die Diagonale der Möbelfläche länger als die Diagonale der Öffnung, geht sie bei keiner Neigung hindurch. |
| Raumdiagonale | Die Linie, die gegenüberliegende Ecken eines Quaders verbindet. Bei den drei Kanten \(a\), \(b\), \(h\) ist sie \(\sqrt{a^{2}+b^{2}+h^{2}}\) und die längste gerade Strecke in der Kabine. Ein dünner Stab passt bis zu dieser Länge hinein. |
| Satz des Pythagoras | Der Satz, dass im rechtwinkligen Dreieck „Quadrat der einen Kathete + Quadrat der anderen Kathete = Quadrat der Hypotenuse“ gilt. Alle Diagonalen werden mit diesem Satz berechnet. |
| Sinus und Kosinus | Die Seitenverhältnisse \(\sin\), \(\cos\) und \(\tan\) im rechtwinkligen Dreieck. Sie dienen dazu, aus einem bekannten Winkel Seitenlängen zu berechnen, und werden für „Breite und Höhe der geneigten Fläche“ und für die „Formel der Flurecke“ gebraucht. |
| Minimum | Der kleinste Wert, den eine Funktion annimmt, wenn der Winkel variiert. An einer Flurecke durchläuft man beim Gang um die Ecke alle Winkel, also ist „die Länge, die beim ungünstigsten Winkel passt“, das Minimum, die größte Länge, die um die Ecke passt. |
| Innenmaß | Das Maß, das innen in einer Kiste oder Kabine gemessen wird. Kleiner als das Außenmaß (außen gemessen), und zwar um die Wanddicke; im Datenblatt eines Aufzugs steht es als „Kabinenmaße“. |
| Podest | Der ebene Teil mitten in einer Treppe. Bei einer Treppe mit Wendung dreht man das Möbelstück hier um 180°; setzt man Treppenbreite und Tiefe des Podests als Flurbreiten \(a\) und \(b\) an, lässt sich mit der Formel der Flurecke ein Richtwert ermitteln. |
Was Sie vorab wissen sollten
Hier finden Sie zusammengefasst, was Sie vorab verstehen sollten, um die Berechnungen dieser Seite wirklich zu verstehen und sicher anzuwenden.
Wenn Sie an einer Stelle hängen bleiben, ist das Zurückgehen zu den Inhalten dieser Tabelle der kürzeste Weg.
| Längeneinheiten und Messen (Klasse 3–4, 8–10 Jahre) |
|
| Größenvergleich und Ungleichungen (Klasse 3–7, 8–13 Jahre) |
|
| Quader, Flächen und Netze (Klasse 4–5, 9–11 Jahre) |
|
| Satz des Pythagoras (Klasse 8–9, 13–15 Jahre) |
|
| Sinus und Kosinus (Klasse 9–10, 14–16 Jahre) |
|
| Potenzen mit gebrochenen Exponenten und das Minimum von Funktionen (Oberstufe, Klasse 11–12, 16–18 Jahre) |
|
Mit Excel berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle zur Berechnung von „Passt es durch Tür oder Öffnung?“ (wann eine Fläche hindurchpasst)
| Breite W des Möbelstücks (cm) | 180 |
| Tiefe D des Möbelstücks (cm) | 90 |
| Höhe H des Möbelstücks (cm) | 75 |
| Breite w der Öffnung (cm) | 80 |
| Höhe h der Öffnung (cm) | 200 |
| Spielraum c (cm) | 3 |
| Nutzbare Breite w' (cm) | =B4-B6 |
| Nutzbare Höhe h' (cm) | =B5-B6 |
| Passt es mit der Vorderseite (W×H) voran? | =WENN(ODER(UND(B1<=B7;B3<=B8);UND(B3<=B7;B1<=B8));"passt";"passt nicht") |
| Passt es mit der Seitenfläche (D×H) voran? | =WENN(ODER(UND(B2<=B7;B3<=B8);UND(B3<=B7;B2<=B8));"passt";"passt nicht") |
| Passt es mit der Oberseite (W×D) voran? | =WENN(ODER(UND(B1<=B7;B2<=B8);UND(B2<=B7;B1<=B8));"passt";"passt nicht") |
Tabelle zur Berechnung von „Schräges Durchpassen“ (Breite und Höhe der geneigten Fläche)
| Lange Kante p der Fläche (cm) | 202 |
| Kurze Kante q der Fläche (cm) | 10 |
| Winkel θ der langen Kante zum Boden (Grad) | 70 |
| Benötigte Breite Wθ (cm) | =B1*COS(BOGENMASS(B3))+B2*SIN(BOGENMASS(B3)) |
| Benötigte Höhe Hθ (cm) | =B1*SIN(BOGENMASS(B3))+B2*COS(BOGENMASS(B3)) |
Tabelle zur Berechnung der größten Länge, die um die Flurecke passt
| Flurbreite vor der Ecke a (cm) | 90 |
| Flurbreite nach der Ecke b (cm) | 90 |
| Breite d des Möbelstücks (cm) | 50 |
| Winkel θ (Grad) | 45 |
| Größte Länge eines Stabs um die Ecke (cm) | =(B1^(2/3)+B2^(2/3))^(3/2) |
| Passende Länge L(θ) beim Winkel θ (cm) | =B1/SIN(BOGENMASS(B4))+B2/COS(BOGENMASS(B4))-B3/(SIN(BOGENMASS(B4))*COS(BOGENMASS(B4))) |
Tabelle zur Berechnung der Diagonalen der Aufzugkabine
| Breite a der Kabine (cm) | 90 |
| Tiefe b der Kabine (cm) | 120 |
| Höhe h der Kabine (cm) | 200 |
| Diagonale des Bodens (cm) | =WURZEL(B1^2+B2^2) |
| Diagonale bei aufrecht schräg gestelltem Möbelstück (cm) | =WURZEL(B2^2+B3^2) |
| Raumdiagonale (cm) | =WURZEL(B1^2+B2^2+B3^2) |
Nach dem Einfügen ist die obere Zeile der Spalte B jeweils ein Eingabefeld, und die unteren Zeilen werden automatisch berechnet.
Die 1. Tabelle enthält ein Sofa mit 180 Breite, 90 Tiefe und 75 Höhe und eine Tür von 80 × 200 (Spielraum 3): B7 ist 77 und B8 ist 197, B9 (Vorderseite) und B10 (Seitenfläche) zeigen „passt“ und B11 (Oberseite) „passt nicht“. „WENN“ wechselt die Anzeige nach einer Bedingung, „UND“ heißt „beide erfüllt“, „ODER“ heißt „eine von beiden erfüllt“; mit ODER werden die zwei Fälle „Fläche unverändert“ und „um 90° gedreht“ zusammengefasst.
Die 2. Tabelle ist das Beispiel einer um 70° geneigten Fläche 202 × 10: B4 ist etwa 78,5 und B5 etwa 193,2. „BOGENMASS“ rechnet Grad in das Bogenmaß um (die Einheit, die COS und SIN verwenden). Die 3. Tabelle betrifft die Ecke zwischen Fluren von 90 Breite: B5 (Stab) ist etwa 254,6 und B6 (Breite 50, 45°) etwa 154,6. Die größte Länge eines Möbelstücks mit Breite finden Sie, indem Sie den Winkel in B4 in 1°-Schritten ändern und den kleinsten Wert von B6 suchen (bei gleich breiten Fluren ist 45° das Minimum). Die 4. Tabelle ist eine Kabine von 90 × 120 × 200: B4 ist 150, B5 etwa 233,2 und B6 250.
Die 1. Tabelle enthält ein Sofa mit 180 Breite, 90 Tiefe und 75 Höhe und eine Tür von 80 × 200 (Spielraum 3): B7 ist 77 und B8 ist 197, B9 (Vorderseite) und B10 (Seitenfläche) zeigen „passt“ und B11 (Oberseite) „passt nicht“. „WENN“ wechselt die Anzeige nach einer Bedingung, „UND“ heißt „beide erfüllt“, „ODER“ heißt „eine von beiden erfüllt“; mit ODER werden die zwei Fälle „Fläche unverändert“ und „um 90° gedreht“ zusammengefasst.
Die 2. Tabelle ist das Beispiel einer um 70° geneigten Fläche 202 × 10: B4 ist etwa 78,5 und B5 etwa 193,2. „BOGENMASS“ rechnet Grad in das Bogenmaß um (die Einheit, die COS und SIN verwenden). Die 3. Tabelle betrifft die Ecke zwischen Fluren von 90 Breite: B5 (Stab) ist etwa 254,6 und B6 (Breite 50, 45°) etwa 154,6. Die größte Länge eines Möbelstücks mit Breite finden Sie, indem Sie den Winkel in B4 in 1°-Schritten ändern und den kleinsten Wert von B6 suchen (bei gleich breiten Fluren ist 45° das Minimum). Die 4. Tabelle ist eine Kabine von 90 × 120 × 200: B4 ist 150, B5 etwa 233,2 und B6 250.
Mit Google Tabellen berechnen
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Tabelle zur Berechnung von „Passt es durch Tür oder Öffnung?“ (wann eine Fläche hindurchpasst)
| Breite W des Möbelstücks (cm) | 180 |
| Tiefe D des Möbelstücks (cm) | 90 |
| Höhe H des Möbelstücks (cm) | 75 |
| Breite w der Öffnung (cm) | 80 |
| Höhe h der Öffnung (cm) | 200 |
| Spielraum c (cm) | 3 |
| Nutzbare Breite w' (cm) | =B4-B6 |
| Nutzbare Höhe h' (cm) | =B5-B6 |
| Passt es mit der Vorderseite (W×H) voran? | =WENN(ODER(UND(B1<=B7;B3<=B8);UND(B3<=B7;B1<=B8));"passt";"passt nicht") |
| Passt es mit der Seitenfläche (D×H) voran? | =WENN(ODER(UND(B2<=B7;B3<=B8);UND(B3<=B7;B2<=B8));"passt";"passt nicht") |
| Passt es mit der Oberseite (W×D) voran? | =WENN(ODER(UND(B1<=B7;B2<=B8);UND(B2<=B7;B1<=B8));"passt";"passt nicht") |
Tabelle zur Berechnung von „Schräges Durchpassen“ (Breite und Höhe der geneigten Fläche)
| Lange Kante p der Fläche (cm) | 202 |
| Kurze Kante q der Fläche (cm) | 10 |
| Winkel θ der langen Kante zum Boden (Grad) | 70 |
| Benötigte Breite Wθ (cm) | =B1*COS(BOGENMASS(B3))+B2*SIN(BOGENMASS(B3)) |
| Benötigte Höhe Hθ (cm) | =B1*SIN(BOGENMASS(B3))+B2*COS(BOGENMASS(B3)) |
Tabelle zur Berechnung der größten Länge, die um die Flurecke passt
| Flurbreite vor der Ecke a (cm) | 90 |
| Flurbreite nach der Ecke b (cm) | 90 |
| Breite d des Möbelstücks (cm) | 50 |
| Winkel θ (Grad) | 45 |
| Größte Länge eines Stabs um die Ecke (cm) | =(B1^(2/3)+B2^(2/3))^(3/2) |
| Passende Länge L(θ) beim Winkel θ (cm) | =B1/SIN(BOGENMASS(B4))+B2/COS(BOGENMASS(B4))-B3/(SIN(BOGENMASS(B4))*COS(BOGENMASS(B4))) |
Tabelle zur Berechnung der Diagonalen der Aufzugkabine
| Breite a der Kabine (cm) | 90 |
| Tiefe b der Kabine (cm) | 120 |
| Höhe h der Kabine (cm) | 200 |
| Diagonale des Bodens (cm) | =WURZEL(B1^2+B2^2) |
| Diagonale bei aufrecht schräg gestelltem Möbelstück (cm) | =WURZEL(B2^2+B3^2) |
| Raumdiagonale (cm) | =WURZEL(B1^2+B2^2+B3^2) |
Die Formeln funktionieren wie in Excel (WENN, UND, ODER, SIN, COS, BOGENMASS und WURZEL heißen auch in Google Tabellen so). Kopieren Sie die Tabelle als Ganzes, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Spalte B durch Ihre eigenen Zahlen.
Mit Python berechnen
import math
# ---- Tür oder Öffnung: Passt das Möbelstück W×D×H durch die Öffnung w×h (Spielraum c)? ----
W, D, H = 180, 90, 75 # Breite, Tiefe und Höhe des Möbelstücks (cm)
w, h, c = 80, 200, 3 # Breite und Höhe der Öffnung (lichtes Maß) und Spielraum (cm)
w_eff, h_eff = w - c, h - c
faces = {"Vorderseite (W×H)": (W, H), "Seitenfläche (D×H)": (D, H), "Oberseite (W×D)": (W, D)}
def fits_upright(p, q, width, height):
"""Passt die Fläche p×q unverändert (auch um 90° gedreht) hinein?"""
return (p <= width and q <= height) or (q <= width and p <= height)
def fits_tilted(p, q, width, height):
"""Gibt es bei einer Neigung von 0 bis 90° einen Winkel, bei dem das umschließende Rechteck der Fläche p×q hineinpasst? (Winkel in Schritten von 0,01°)"""
p, q = max(p, q), min(p, q)
for i in range(9001):
t = math.radians(i / 100)
need_w = p * math.cos(t) + q * math.sin(t)
need_h = p * math.sin(t) + q * math.cos(t)
if need_w <= width and need_h <= height:
return i / 100
return None
print(f"Nutzbare Öffnung: {w_eff} × {h_eff} cm")
for name, (p, q) in faces.items():
if fits_upright(p, q, w_eff, h_eff):
print(f"{name}: passt voraussichtlich, wenn diese Fläche zur Öffnung zeigt")
else:
angle = fits_tilted(p, q, w_eff, h_eff)
print(f"{name}: " + (f"passt voraussichtlich, wenn die lange Kante auf {angle}° zum Boden geneigt wird" if angle is not None else "passt voraussichtlich nicht"))
# ---- Flurecke: Kommt ein Möbelstück der Länge L und Breite d um die rechtwinklige Ecke zwischen Fluren der Breite a und b? ----
a, b, L, d = 90, 90, 150, 50
rod_max = (a ** (2 / 3) + b ** (2 / 3)) ** 1.5
lengths = []
for i in range(1, 9000):
t = math.radians(i / 100)
lengths.append((a * math.cos(t) + b * math.sin(t) - d) / (math.sin(t) * math.cos(t)))
L_max = min(lengths)
print(f"Größte Länge eines Stabs um die Ecke: {rod_max:.1f} cm, Möbelstück mit {d} cm Breite: {L_max:.1f} cm -> "
+ ("kommt voraussichtlich um die Ecke" if L <= L_max else "kommt voraussichtlich nicht um die Ecke"))
# ---- Aufzug: Diagonalen der Kabine a×b×h ----
ea, eb, eh = 90, 120, 200
print(f"Diagonale des Bodens {math.hypot(ea, eb):.1f} cm, aufrecht schräg {math.hypot(eb, eh):.1f} cm, "
f"Raumdiagonale {math.sqrt(ea**2 + eb**2 + eh**2):.1f} cm")
Das Programm kommt mit der Standardbibliothek aus. fits_upright() prüft, ob die Fläche unverändert hineinpasst, und fits_tilted() in Schritten von 0,01°, ob es einen Neigungswinkel gibt, bei dem sie hineinpasst. Bei der Flurecke wird der Winkel jeweils um 0,01° verändert und das Minimum der passenden Länge genommen; math.hypot() liefert aus zwei Seiten die Hypotenuse (Diagonale). Ersetzen Sie zu Beginn die Maße durch Ihre eigenen Zahlen und führen Sie das Programm aus.
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
Bedingung für das Durchpassen durch Tür oder Öffnung (nutzbare Öffnung und wann eine Möbelfläche hindurchpasst)
w' = w − c, h' = h − c, p ≤ w' und q ≤ h'
w' = w - c,\quad h' = h - c,\quad p \le w' \ \text{und}\ q \le h'
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup><mi>w</mi><mo>′</mo></msup><mo>=</mo><mi>w</mi><mo>−</mo><mi>c</mi>
<mo>,</mo>
<msup><mi>h</mi><mo>′</mo></msup><mo>=</mo><mi>h</mi><mo>−</mo><mi>c</mi>
<mo>,</mo>
<mi>p</mi><mo>≤</mo><msup><mi>w</mi><mo>′</mo></msup>
<mo>∧</mo>
<mi>q</mi><mo>≤</mo><msup><mi>h</mi><mo>′</mo></msup>
</mrow>
</math>
w' = w - c, h' = h - c, p <= w' and q <= h'
weff = w - c; heff = h - c; fits = (p <= weff && q <= heff) || (q <= weff && p <= heff)
weff := w - c; heff := h - c; fits := (p <= weff and q <= heff) or (q <= weff and p <= heff);
weff = w - c; heff = h - c; fits = (p <= weff && q <= heff) || (q <= weff && p <= heff); % p, q sind die zwei Kanten der zur Öffnung gewandten Fläche
w' = w − c, h' = h − c, p ≤ w' ∧ q ≤ h'
Bedingung für das schräge Durchpassen (Breite und Höhe des umschließenden Rechtecks der geneigten Fläche)
W_θ = p cos θ + q sin θ, H_θ = p sin θ + q cos θ, W_θ ≤ w' und H_θ ≤ h'
W_{\theta} = p\cos\theta + q\sin\theta,\quad H_{\theta} = p\sin\theta + q\cos\theta,\quad W_{\theta} \le w' \ \text{und}\ H_{\theta} \le h'
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>W</mi><mi>θ</mi></msub><mo>=</mo>
<mi>p</mi><mo>⁢</mo><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi>
<mo>+</mo>
<mi>q</mi><mo>⁢</mo><mi>sin</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi>
<mo>,</mo>
<msub><mi>H</mi><mi>θ</mi></msub><mo>=</mo>
<mi>p</mi><mo>⁢</mo><mi>sin</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi>
<mo>+</mo>
<mi>q</mi><mo>⁢</mo><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi>
</mrow>
</math>
W_theta = p cos theta + q sin theta, H_theta = p sin theta + q cos theta
{p*Cos[theta] + q*Sin[theta], p*Sin[theta] + q*Cos[theta]} (* theta im Bogenmaß. In Grad: theta Degree *)
Wt := p*cos(theta) + q*sin(theta); Ht := p*sin(theta) + q*cos(theta);
Wt = p*cosd(theta) + q*sind(theta); Ht = p*sind(theta) + q*cosd(theta); % theta in Grad
W_θ = p cos θ + q sin θ, H_θ = p sin θ + q cos θ
Größte Länge, die um eine L-förmige Flurecke passt
L_max = (a^(2/3) + b^(2/3))^(3/2) (Stab), L(θ) = a/sin θ + b/cos θ − d/(sin θ cos θ), L_max = min L(θ)
L_{\max} = \left(a^{2/3} + b^{2/3}\right)^{3/2},\quad L(\theta) = \frac{a}{\sin\theta} + \frac{b}{\cos\theta} - \frac{d}{\sin\theta\cos\theta},\quad L_{\max} = \min_{0 < \theta < 90^\circ} L(\theta)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>L</mi><mi>max</mi></msub><mo>=</mo>
<msup>
<mrow><mo>(</mo><msup><mi>a</mi><mrow><mn>2</mn><mo>/</mo><mn>3</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mrow><mn>2</mn><mo>/</mo><mn>3</mn></mrow></msup><mo>)</mo></mrow>
<mrow><mn>3</mn><mo>/</mo><mn>2</mn></mrow>
</msup>
<mo>,</mo>
<mi>L</mi><mo>(</mo><mi>θ</mi><mo>)</mo><mo>=</mo>
<mfrac><mi>a</mi><mrow><mi>sin</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi></mrow></mfrac>
<mo>+</mo>
<mfrac><mi>b</mi><mrow><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi></mrow></mfrac>
<mo>−</mo>
<mfrac><mi>d</mi><mrow><mi>sin</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi><mo>⁢</mo><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi></mrow></mfrac>
</mrow>
</math>
L_max = (a^(2/3) + b^(2/3))^(3/2), L(theta) = a/sin theta + b/cos theta - d/(sin theta cos theta)
lrod = (a^(2/3) + b^(2/3))^(3/2); NMinimize[{a/Sin[t] + b/Cos[t] - d/(Sin[t]*Cos[t]), 0.01 < t < Pi/2 - 0.01}, t]
lrod := (a^(2/3) + b^(2/3))^(3/2); L := theta -> a/sin(theta) + b/cos(theta) - d/(sin(theta)*cos(theta)); Lmax := minimize(L(theta), theta = 0.01 .. Pi/2 - 0.01);
lrod = (a^(2/3) + b^(2/3))^(3/2); L = @(t) a./sin(t) + b./cos(t) - d./(sin(t).*cos(t)); [t0, Lmax] = fminbnd(L, 0.01, pi/2 - 0.01); % t im Bogenmaß
L_max = (a^(2/3) + b^(2/3))^(3/2), L(θ) = a/sin θ + b/cos θ − d/(sin θ cos θ)
Diagonalen der Aufzugkabine (Obergrenze für stabförmige Gegenstände)
D_Boden = √(a² + b²), D_hoch = √(b² + h²), D_Raum = √(a² + b² + h²)
D_{\text{Boden}} = \sqrt{a^{2}+b^{2}},\quad D_{\text{hoch}} = \sqrt{b^{2}+h^{2}},\quad D_{\text{Raum}} = \sqrt{a^{2}+b^{2}+h^{2}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>D</mi><mtext>Boden</mtext></msub><mo>=</mo>
<msqrt><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup></msqrt>
<mo>,</mo>
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<mo>,</mo>
<msub><mi>D</mi><mtext>Raum</mtext></msub><mo>=</mo>
<msqrt><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup></msqrt>
</mrow>
</math>
D_floor = sqrt(a^2 + b^2), D_side = sqrt(b^2 + h^2), D_space = sqrt(a^2 + b^2 + h^2)
{Sqrt[a^2 + b^2], Sqrt[b^2 + h^2], Sqrt[a^2 + b^2 + h^2]}
Dfloor := sqrt(a^2 + b^2); Dside := sqrt(b^2 + h^2); Dspace := sqrt(a^2 + b^2 + h^2);
Dfloor = sqrt(a^2 + b^2); Dside = sqrt(b^2 + h^2); Dspace = sqrt(a^2 + b^2 + h^2); % a, b, h sind die nutzbaren Innenmaße der Kabine
D_Boden = √(a^2 + b^2), D_hoch = √(b^2 + h^2), D_Raum = √(a^2 + b^2 + h^2)
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
Sie sind ein Assistent für die Prüfung, ob Möbel durch Türen passen. Führen Sie die folgende Berechnung unbedingt mit tatsächlich ausgeführtem Python-Code durch und antworten Sie ausschließlich auf Grundlage der Zahlen aus dem Ergebnis der Ausführung (nicht im Kopf und nicht geschätzt). Ein Sofa mit 180 cm Breite, 90 cm Tiefe und 75 cm Höhe soll durch eine Tür (lichtes Maß) mit 80 cm Breite und 200 cm Höhe. Als Spielraum für Verpackung und Schutzabdeckung werden 3 cm angesetzt. Berechnen Sie folgende Werte. 1. Nutzbare Breite und Höhe der Öffnung (von Breite und Höhe der Öffnung jeweils 3 cm Spielraum abziehen) 2. Für die drei Flächen des Möbelstücks (Breite×Höhe, Tiefe×Höhe, Breite×Tiefe): Passt die Fläche unverändert in die nutzbare Öffnung? (die zwei Kanten p, q der Fläche mit p ≤ nutzbare Breite und q ≤ nutzbare Höhe; p und q dürfen vertauscht werden) 3. Wenn keine Fläche passt: Ob bei einem Winkel zwischen 0 und 90° die benötigte Breite p cosθ + q sinθ und die benötigte Höhe p sinθ + q cosθ beide passen, wenn die lange Kante der Fläche um θ Grad zum Boden geneigt wird 4. Die größte Länge, die eine Kiste von 50 cm Breite um die rechtwinklige Ecke zwischen zwei Fluren von 90 cm Breite bringt (das Minimum von L(θ) = a/sinθ + b/cosθ − d/(sinθ cosθ) zwischen 0 und 90°) Nennen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ergebnis der Ausführung.
Anleitung
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1Zahlen eingebenGeben Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
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2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
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3Ergebnis ablesenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
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