Wählen Sie, was berechnet werden soll, und geben Sie den Realteil a und den Imaginärteil b von z = a + bi sowie die ganze Zahl n ein. Der Term darunter ist mit den Eingabefeldern verbunden – Sie können die Zahlen auch direkt darin ändern.
Für Real- und Imaginärteil sind Dezimalzahlen, negative Zahlen und Brüche wie 3/4 möglich (leer zählt als 0). n ist eine ganze Zahl, für Potenzen von 1 bis 20 und für Wurzeln von 2 bis 12.
Ergebnis und Figur
Geben Sie links die Zahlen ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis und eine Zeichnung in der gaußschen Zahlenebene erscheinen dann hier.
Inhaltsverzeichnis
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Das können Sie auf dieser Seite
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Wofür braucht man diese Berechnung?
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Anleitung
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Formeln und Abbildungen
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Symbole und Begriffe
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Das sollten Sie vorher wissen
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So berechnen Sie es in Excel
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So berechnen Sie es in Google Tabellen
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So berechnen Sie es in Python
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So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
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So lassen Sie ChatGPT rechnen
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Die Vorteile von DataChef
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Verwandte Funktionen
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Alle Rechner von NumberChef
Das können Sie auf dieser Seite
- Sie berechnen die \(n\)-te Potenz \(z^n\) einer komplexen Zahl \(z = a + bi\) für eine ganze Zahl \(n\) (1 bis 20) direkt im Browser. Grundlage ist der Satz von de Moivre \(\left(\cos\theta + i\sin\theta\right)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta\); der Rechenweg zeigt Schritt für Schritt die Potenz des Betrags \(r^n\) und das \(n\)-Fache des Arguments \(n\theta\)
- Das Ergebnis \(z^n\) erscheint immer als exakter Wert mit ganzen Zahlen und Brüchen. Ist das Argument ein besonderer Winkel (auf einer Achse oder ein Vielfaches von 45°), rechnet auch der Rechenweg mit exakten Werten von Sinus und Kosinus
- Im Modus n-te Wurzeln listet der Rechner alle \(n\) komplexen Zahlen \(w\) mit \(w^n = z\) auf (die \(n\)-ten Wurzeln von \(z\)), von \(k = 0\) bis \(n-1\) (\(n\) von 2 bis 12). Wurzeln, die sich exakt schreiben lassen, erscheinen als exakte Werte wie \(-1 + \sqrt{3}i\)
- Eine Zeichnung in der gaußschen Zahlenebene zeigt das Ergebnis: Die \(n\)-ten Wurzeln liegen gleichmäßig verteilt als regelmäßiges n-Eck auf einem Kreis mit Radius \(\sqrt[n]{r}\), eine Potenz erscheint als die Punkte \(z\) und \(z^n\) mit Bögen für ihre Argumente
- Der Term über den Eingabefeldern (MathLive) ist mit ihnen verbunden – Sie können die Zahlen in \(\left(1 + i\right)^{4}\) auch direkt darin ändern
Diese Seite behandelt den Satz von de Moivre. Real- und Imaginärteil können Brüche oder Dezimalzahlen sein (rationale Zahlen); irrationale Zahlen wie √3 lassen sich nicht direkt eingeben. Deshalb ist das Argument nur dann ein exakter Bruchteil von π, wenn der Punkt auf einer Achse liegt oder der Winkel ein Vielfaches von 45° ist (bei Winkeln auf Basis von 30° und 60° ist das Verhältnis von Real- und Imaginärteil irrational, etwa √3, und kann nicht aus rationalen Eingaben entstehen). Andere Argumente werden mit Dezimalzahlen genähert, das Ergebnis der Potenz selbst ist aber der exakte Wert aus wiederholtem Multiplizieren.
Wofür braucht man diese Berechnung?
Doppel- und Dreifachwinkelformeln herleiten (Mathematik)
Setzt man im Satz von de Moivre \(n = 2\) oder \(3\), multipliziert die linke Seite aus und vergleicht Real- und Imaginärteil, erhält man auf einen Schlag die Doppel- und Dreifachwinkelformeln, etwa \(\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta\) und \(\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta\).
Der Vorteil: Statt die Formeln auswendig zu lernen, können Sie sie jederzeit selbst herleiten. „Leiten Sie mit dem Satz von de Moivre die Formel für \(\cos 3\theta\) her“ ist eine klassische Übungsaufgabe im ersten Semester. Der Satz verbindet zwei Themen, die man getrennt gelernt hat: Trigonometrie und komplexe Zahlen.
Digitale Verarbeitung von Musik und Bildern (diskrete Fourier-Transformation)
Wenn Sie auf dem Smartphone Musik hören oder ein Foto speichern, läuft im Hintergrund die diskrete Fourier-Transformation. Sie zerlegt ein Signal in „wie viel von welcher Tonhöhe darin steckt“. Kern dieser Rechnung sind die \(n\)-ten Einheitswurzeln: Jeder Messwert des Signals wird mit einer Potenz einer Einheitswurzel multipliziert, und die Ergebnisse werden addiert.
Audiokompression wie MP3, Bildkompression (die Transformationen in JPEG), Rauschentfernung, Spracherkennung und viele andere Techniken für digitalen Ton und digitale Bilder bauen auf den „komplexen Zahlen, die einen Kreis gleichmäßig teilen“, von dieser Seite auf.
Drehstrom (Stromerzeugung, Übertragung und Motoren)
Der Drehstrom (Dreiphasenwechselstrom), der vom Kraftwerk bis in Fabriken und – in Deutschland mit 400 V zwischen den Außenleitern – bis in jeden Hausanschluss geliefert wird, besteht aus drei Wellen, die zeitlich jeweils um 120° gegeneinander verschoben sind. Mit komplexen Zahlen geschrieben sind diese „120°-Verschiebungen“ genau die dritten Einheitswurzeln \(1,\ \omega,\ \omega^2\). Die drei Wellen addieren sich zu 0 (\(1 + \omega + \omega^2 = 0\)) – und genau diese Auslöschung ist der Grund, warum Drehstrom bei den Leitungen spart.
Die Auslegung des Stromnetzes und die Steuerung von Elektromotoren in der Industrie beruhen auf dieser Eigenschaft der dritten Einheitswurzeln.
Ecken eines regelmäßigen n-Ecks anordnen (Spiele, Computergrafik und Design)
In Spielen und Grafiken sind Aufgaben wie „Gegner gleichmäßig auf einem Kreis verteilen“, „die Ecken eines Netzdiagramms setzen“ oder „die Markierungen eines Zifferblatts zeichnen“ nichts anderes als die Koordinaten \(\left(\cos\dfrac{2k\pi}{n}\,\middle|\,\sin\dfrac{2k\pi}{n}\right)\) der Punkte zu bestimmen, die einen Kreis in \(n\) gleiche Teile teilen. Das ist genau die Lage der \(n\)-ten Einheitswurzeln.
Beim Programmieren genügt es, eine komplexe Zahl mit einer \(n\)-ten Einheitswurzel zu multiplizieren, um „einen Punkt zur nächsten Ecke zu drehen“ – ein einfaches Werkzeug zum Drehen und gleichmäßigen Verteilen.
Formeln und Abbildungen
Satz von de Moivre
Abbildung (auf dem Einheitskreis wächst das Argument mit jeder Multiplikation um θ)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(\left(\cos\theta + i\sin\theta\right)\)
\(n\)
\(=\)
\(\cos n\theta + i\sin n\theta\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
①
Richtung zum Argument \(\theta\)
②
ganze Zahl \(n\)
\(=\)
③
Richtung zum \(n\)-fachen Argument
Die Formel in Worten
①
Potenziert man den
Richtungsteil \(\cos\theta + i\sin\theta\) zum Argument \(\theta\)
②
mit der
ganzen Zahl \(n\)
,
③
erhält man den
Richtungsteil \(\cos n\theta + i\sin n\theta\) zum \(n\)-fachen Argument
.
Einfaches Beispiel
Hoch 3 genommen, verdreifacht sich das Argument \(\theta = \dfrac{\pi}{6}\) (30°) zu \(\dfrac{\pi}{2}\) (90°):
\(\cos\dfrac{\pi}{6} + i\sin\dfrac{\pi}{6}\)
3
\(=\)
\(\cos\dfrac{\pi}{2} + i\sin\dfrac{\pi}{2}\)
\(\left(\cos\dfrac{\pi}{6} + i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)^{3} = \cos\dfrac{\pi}{2} + i\sin\dfrac{\pi}{2}\)
\(\cos\dfrac{\pi}{2} + i\sin\dfrac{\pi}{2} = 0 + 1 \times i = i\)
Der Grundgedanke
Grundlage des Satzes ist die Regel für das Multiplizieren in Polarform: „Beträge multiplizieren, Argumente addieren“. Multipliziert man die komplexe Zahl \(\cos\theta + i\sin\theta\) mit dem Betrag 1 \(n\)-mal mit sich selbst, wird \(\theta\) \(n\)-mal addiert, und das Argument ist \(n\theta\). Mehr sagt der Satz nicht.
Eine schnelle Probe: Quadriert man \(i = \cos\dfrac{\pi}{2} + i\sin\dfrac{\pi}{2}\) (Richtung 90°), verdoppelt sich das Argument zu \(\pi\) (180°), und es ergibt sich \(\cos\pi + i\sin\pi = -1\) – genau \(i^2 = -1\). Die Vorstellung „Multiplizieren mit \(i\) ist eine Drehung um 90°“ in der gaußschen Zahlenebene überträgt dieser Satz auf beliebige Winkel.
Der Satz gilt auch für negative ganze Zahlen \(n\) (\(n = -1\) ist eine Drehung in die Gegenrichtung). Der Rechner auf dieser Seite arbeitet mit positiven ganzen Zahlen.
Die \(n\)-te Potenz einer komplexen Zahl
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(z^{n}\)
\(=\)
\(r^{n}\)
\(\left(\cos n\theta + i\sin n\theta\right)\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(n\)-te Potenz von \(z\)
\(=\)
①
\(n\)-te Potenz des Betrags \(r\)
②
Richtung zum \(n\)-fachen Argument
Die Formel in Worten
①
Multipliziert man die
\(n\)-te Potenz des Betrags \(r\)
(des Abstands vom Ursprung)
②
mit dem
Richtungsteil \(\cos n\theta + i\sin n\theta\) zum \(n\)-fachen Argument
,
③
erhält man die
\(n\)-te Potenz von \(z\), also \(z^n\)
.
Einfaches Beispiel
Die 4. Potenz von \(z = 1 + i\) (Betrag \(r = \sqrt{2}\), Argument \(\theta = \dfrac{\pi}{4}\), also 45°) ist
\(\left(1 + i\right)^{4}\)
\(=\)
\(\left(\sqrt{2}\right)^{4}\)
\(\cos\pi + i\sin\pi\)
\(r^{4} = \left(\sqrt{2}\right)^{4} = 4\)
\(4\theta = 4 \times \dfrac{\pi}{4} = \pi\)
\(z^{4} = 4\left(\cos\pi + i\sin\pi\right) = 4 \times \left(-1\right) = -4\)
Der Grundgedanke
„Betrag hoch \(n\), Argument mal \(n\).“ Rechnen Sie diese beiden Teile getrennt aus, und Sie haben die \(n\)-te Potenz in einem Schritt.
Rechnet man dasselbe \(\left(1 + i\right)^4\) in der Normalform, muss man immer wieder ausmultiplizieren: erst \(\left(1 + i\right)^2 = 2i\), dann das Ergebnis quadrieren. Eine 4. Potenz geht von Hand noch, bei einer 10. oder 20. Potenz ist Ausmultiplizieren kaum machbar. In Polarform rechnen Sie nur \(\left(\sqrt{2}\right)^{10}\) und \(10 \cdot 45^{\circ}\) – der Aufwand bleibt fast gleich, egal wie hoch die Potenz ist. Das ist der größte Vorteil des Satzes.
Die \(n\)-ten Wurzeln einer komplexen Zahl
Abbildung (dritte Wurzeln aus 8: ein gleichseitiges Dreieck, gleichmäßig verteilt auf einem Kreis mit Radius 2)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(w_{k}\)
\(=\)
\(\sqrt[n]{r}\)
\(\left(\cos\dfrac{\theta + 2k\pi}{n} + i\sin\dfrac{\theta + 2k\pi}{n}\right)\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(k\)-te der \(n\)-ten Wurzeln von \(z\)
\(=\)
①
\(n\)-te Wurzel aus dem Betrag \(r\) (Radius des Kreises)
②
Richtung: Argument plus \(k\) volle Umdrehungen, geteilt durch \(n\)
Die Formel in Worten
①
Multipliziert man die
\(n\)-te Wurzel aus dem Betrag, \(\sqrt[n]{r}\)
(den Radius des Kreises, auf dem alle Wurzeln liegen),
②
mit dem
Richtungsteil zum Argument \(\theta\) plus \(k\) volle Umdrehungen (je \(2\pi\)), geteilt durch \(n\)
,
③
erhält man die
\(k\)-te der \(n\)-ten Wurzeln von \(z\), \(w_k\)
(lässt man \(k\) die Werte \(0,\ 1,\ \ldots,\ n-1\) durchlaufen, erhält man alle \(n\) Wurzeln)
Einfaches Beispiel
Die dritten Wurzeln aus \(z = 8\) (Betrag \(r = 8\), Argument \(\theta = 0\)) mit dem Radius \(\sqrt[3]{8} = 2\) sind
dritte Wurzel \(w_k\)
\(=\)
Radius \(2\)
\(\cos\dfrac{2k\pi}{3} + i\sin\dfrac{2k\pi}{3}\)
\(w_{0} = 2\left(\cos 0 + i\sin 0\right) = 2\)
\(w_{1} = 2\left(\cos\dfrac{2}{3}\pi + i\sin\dfrac{2}{3}\pi\right) = -1 + \sqrt{3}i\)
\(w_{2} = 2\left(\cos\dfrac{4}{3}\pi + i\sin\dfrac{4}{3}\pi\right) = -1 - \sqrt{3}i\)
Der Grundgedanke
Warum gibt es gleich \(n\) Wurzeln? Der Schlüssel: Addiert man zu einem Argument eine volle Umdrehung (\(2\pi\)), zeigt es in dieselbe Richtung. Das Argument von \(z\) kann man als \(\theta\), als \(\theta + 2\pi\) oder als \(\theta + 4\pi\) schreiben. Für die \(n\)-ten Wurzeln teilt man das Argument durch \(n\) – und dabei werden aus diesen Schreibweisen verschiedene Richtungen: \(\dfrac{\theta}{n},\ \dfrac{\theta + 2\pi}{n},\ \dfrac{\theta + 4\pi}{n},\ \ldots\). Bei \(k = n\) hat man genau eine volle Umdrehung zurückgelegt und ist wieder beim Punkt für \(k = 0\). Es gibt also genau \(n\) verschiedene Punkte.
Die Argumente benachbarter Wurzeln unterscheiden sich immer um \(\dfrac{2\pi}{n}\) (eine Umdrehung in \(n\) gleiche Teile geteilt), daher liegen die \(n\) Wurzeln gleichmäßig verteilt auf demselben Kreis. Anders gesagt: Die \(n\)-ten Wurzeln sind die Ecken eines regelmäßigen n-Ecks. Deshalb erscheint in der Zeichnung dieses Rechners immer ein regelmäßiges Vieleck.
Die \(n\)-ten Einheitswurzeln
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(z_{k}\)
\(=\)
\(\cos\dfrac{2k\pi}{n} + i\sin\dfrac{2k\pi}{n}\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
②
\(k\)-te \(n\)-te Wurzel aus 1
\(=\)
①
\(k\)-te Richtung, wenn man eine Umdrehung in \(n\) gleiche Teile teilt
Die Formel in Worten
①
Teilt man eine volle Umdrehung des Kreises mit Radius 1 in \(n\) gleiche Teile, ist die
\(k\)-te Richtung \(\cos\dfrac{2k\pi}{n} + i\sin\dfrac{2k\pi}{n}\)
②
die
\(k\)-te \(n\)-te Wurzel aus 1, \(z_k\)
(es gibt \(n\) davon, für \(k = 0,\ 1,\ \ldots,\ n-1\))
Einfaches Beispiel
Die dritten Wurzeln aus 1 (die komplexen Zahlen mit \(z^3 = 1\)) teilen eine volle Umdrehung des Einheitskreises in 3 gleiche Teile:
dritte Wurzel \(z_k\)
\(=\)
\(\cos\dfrac{2k\pi}{3} + i\sin\dfrac{2k\pi}{3}\)
\(z_{0} = \cos 0 + i\sin 0 = 1\)
\(z_{1} = \cos\dfrac{2}{3}\pi + i\sin\dfrac{2}{3}\pi = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i\)
\(z_{2} = \cos\dfrac{4}{3}\pi + i\sin\dfrac{4}{3}\pi = -\dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}i\)
Der Grundgedanke
\(z = 1\) hat den Betrag \(1\) und das Argument \(0\); das ist also der Sonderfall \(r = 1,\ \theta = 0\) der Formel für die \(n\)-ten Wurzeln oben. Alle Wurzeln liegen auf dem Einheitskreis (dem Kreis mit Radius 1) und bilden ein regelmäßiges n-Eck, bei dem \(z_0 = 1\) eine Ecke ist.
Die nicht reelle dritte Wurzel aus 1 (\(z_1\) oben) heißt \(\omega\) (Omega) und ist ein beliebtes Thema in Übungen zur Algebra und in Mathematik-Wettbewerben. Für sie gilt \(\omega^3 = 1\) und \(\omega^2 + \omega + 1 = 0\), außerdem ist \(z_2 = \omega^2 = \overline{\omega}\).
Außerdem ergibt die Summe aller \(n\) Einheitswurzeln \(0\) (für \(n \ge 2\)). Geometrisch ist das einleuchtend: Die Ecken des regelmäßigen n-Ecks sind gleichmäßig um den Ursprung verteilt, ihr Schwerpunkt liegt also genau im Ursprung.
Der Satz von de Moivre \(\left(\cos\theta + i\sin\theta\right)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta\) entsteht, wenn man „Multiplizieren komplexer Zahlen heißt Argumente addieren“ \(n\)-mal wiederholt. Damit erhält man die \(n\)-te Potenz in einem Schritt: Betrag hoch \(n\), Argument mal \(n\). Rückwärts angewendet liefert er alle \(n\) \(n\)-ten Wurzeln: \(n\)-te Wurzel aus dem Betrag ziehen und das Argument (nach Addieren von \(k\) vollen Umdrehungen) durch \(n\) teilen. Besonders anschaulich: Die \(n\)-ten Wurzeln bilden ein regelmäßiges n-Eck auf einem Kreis.
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(i\) | i | Die imaginäre Einheit, die Zahl, deren Quadrat \(-1\) ist (\(i^2 = -1\)). Der Buchstabe kommt von „imaginär“. |
| \(z\) | z | Der übliche Buchstabe für eine komplexe Zahl. Für komplexe Zahlen nimmt man meist \(z\) und \(w\), um sie von reellen Variablen wie \(x,\ y\) zu unterscheiden. |
| \(w\) | w | Auf dieser Seite der Buchstabe für eine \(n\)-te Wurzel von \(z\) (eine komplexe Zahl mit \(w^n = z\)). Üblicherweise nimmt man für eine zweite komplexe Zahl \(w\), den Buchstaben vor \(z\) im Alphabet. |
| \(a,\ b\) | a, b | Realteil (\(a\)) und Imaginärteil (\(b\)) von \(z = a + bi\), beides reelle Zahlen. In der gaußschen Zahlenebene ist \(a\) die Lage nach rechts (auf der reellen Achse) und \(b\) die Lage nach oben (auf der imaginären Achse). |
| \(r\) | r | Der Buchstabe für den Betrag (den Abstand vom Ursprung bis zum Punkt \(z\)). Er kommt von „Radius“. In der Polarform ist \(r\) eine reelle Zahl, die 0 oder größer ist. |
| \(\theta\) | Theta | Der griechische Buchstabe für das Argument, in der Mathematik ein üblicher Buchstabe für Winkel. Viele deutsche Lehrbücher schreiben das Argument auch mit \(\varphi\) (Phi). |
| \(n\) | n | Auf dieser Seite die ganze Zahl, die Exponent einer Potenz (die wievielte Potenz) oder Wurzelexponent (die wievielte Wurzel) ist. Der Buchstabe kommt von „Nummer“ bzw. lateinisch „numerus“. |
| \(k\) | k | Der Buchstabe, der die \(n\)-ten Wurzeln durchnummeriert (von \(0\) bis \(n-1\)). Zum Zählen nimmt man oft \(i,\ j,\ k\), bei komplexen Zahlen verwechselt man \(i\) aber leicht mit der imaginären Einheit, deshalb ist \(k\) üblich. |
| \(\sqrt[n]{\ }\) | n-te Wurzel | Das Wurzelzeichen für die \(n\)-te Wurzel. \(\sqrt[3]{8} = 2\) bedeutet „die positive Zahl, deren dritte Potenz 8 ist, ist 2“. Die kleine Zahl links oben ist der Wurzelexponent; fehlt sie, ist die Quadratwurzel gemeint. |
| \(\cos\theta,\ \sin\theta\) | Kosinus Theta, Sinus Theta | Winkelfunktionen. Auf dem Kreis mit Radius 1 (dem Einheitskreis) hat der Punkt in Richtung des Winkels \(\theta\) die waagerechte Lage \(\cos\theta\) und die senkrechte Lage \(\sin\theta\). In der Polarform sind sie der Teil, der die Richtung angibt. |
| \(\pi\) | Pi | Die Kreiszahl (etwa 3,14159). Im Bogenmaß ist eine halbe Umdrehung, \(180^{\circ}\), genau \(\pi\) und eine volle Umdrehung \(2\pi\). Der Buchstabe \(\pi\) soll vom Anfangsbuchstaben des griechischen Wortes für „Umfang“ stammen. |
| \(\omega\) | Omega | Der übliche Buchstabe für die nicht reelle dritte Wurzel aus 1 (\(\omega = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i\)). Es gilt \(\omega^3 = 1\) und \(\omega^2 + \omega + 1 = 0\). Omega ist der letzte Buchstabe des griechischen Alphabets und wird häufig für Einheitswurzeln verwendet. |
Begriffe
| komplexe Zahl | Eine Zahl der Form \(a + bi\) mit reellen Zahlen \(a\) und \(b\). Ein Zahlbereich, der reelle und imaginäre Zahlen zusammenfasst. |
| imaginäre Einheit | Die Zahl \(i\), deren Quadrat \(-1\) ist. Keine reelle Zahl hat ein negatives Quadrat, deshalb wurde sie als neue Zahl eingeführt. |
| gaußsche Zahlenebene | Die Ebene, in der \(a + bi\) als Punkt \((a\,|\,b)\) dargestellt wird. Die waagerechte Achse heißt reelle Achse, die senkrechte imaginäre Achse. Auch komplexe Zahlenebene genannt. |
| Polarform (trigonometrische Form) | Die Schreibweise einer komplexen Zahl mit dem Abstand \(r\) vom Ursprung und dem Drehwinkel \(\theta\) ab der reellen Achse, also \(r(\cos\theta + i\sin\theta)\), kurz auch \(r\,e^{i\theta}\) (Exponentialform). Der Satz von de Moivre handelt von komplexen Zahlen in dieser Form. |
| Betrag (Absolutbetrag) | Der Abstand vom Ursprung bis zum Punkt \(z\), berechnet als \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\). Beim Potenzieren mit \(n\) wird auch der Betrag mit \(n\) potenziert (\(r^n\)). |
| Argument | Der Winkel der Richtung vom Ursprung zum Punkt \(z\), gemessen gegen den Uhrzeigersinn ab der positiven reellen Achse. Eine volle Umdrehung (\(2\pi\)) mehr ergibt dieselbe Richtung, deshalb gibt man es üblicherweise im Bereich \(0 \le \theta < 2\pi\) an. Beim Potenzieren mit \(n\) wird das Argument mit \(n\) multipliziert (\(n\theta\)). |
| Potenz | Das Ergebnis, wenn man eine Zahl wiederholt mit sich selbst multipliziert (Potenzieren). \(z^4\) ist \(z\) viermal mit sich selbst multipliziert. Die kleine hochgestellte Zahl ist der Exponent. |
| n-te Wurzel | Eine Zahl, deren \(n\)-te Potenz die gegebene Zahl ist. Bei den komplexen Zahlen hat jede Zahl ungleich 0 genau \(n\) \(n\)-te Wurzeln (bei den reellen Zahlen hat 8 nur eine dritte Wurzel, nämlich 2, bei den komplexen Zahlen sind es drei). |
| Einheitswurzeln | Die komplexen Zahlen mit \(z^n = 1\) (die \(n\)-ten Einheitswurzeln). Es sind die \(n\) Punkte, die den Einheitskreis in \(n\) gleiche Teile teilen; sie bilden ein regelmäßiges n-Eck mit der Ecke \(1\). |
| Satz von de Moivre (Moivre-Formel) | Der Satz \(\left(\cos\theta + i\sin\theta\right)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta\), benannt nach dem in Frankreich geborenen Mathematiker Abraham de Moivre. Er entsteht, wenn man „Multiplizieren heißt Argumente addieren“ \(n\)-mal wiederholt. |
| Einheitskreis | Der Kreis mit Radius 1 um den Ursprung. Jede komplexe Zahl mit dem Betrag 1 (eine Zahl der Form \(\cos\theta + i\sin\theta\)) liegt auf diesem Kreis. |
| regelmäßiges n-Eck | Ein Vieleck mit lauter gleich langen Seiten und gleich großen Winkeln (gleichseitiges Dreieck, Quadrat, regelmäßiges Fünfeck usw.). Die \(n\) Punkte der \(n\)-ten Wurzeln liegen gleichmäßig verteilt auf einem Kreis und sind deshalb die Ecken eines regelmäßigen n-Ecks. |
| besondere Winkel | \(30^{\circ}\), \(45^{\circ}\), \(60^{\circ}\) und verwandte Winkel (diese plus Vielfache von \(90^{\circ}\)). Ihre Werte für Sinus und Kosinus lassen sich exakt angeben, etwa \(\dfrac{1}{2}\), \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) und \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\); die meisten Aufgaben in Schulbüchern und Klausuren nutzen diese Winkel. |
| Bogenmaß (Radiant) | Ein Winkel wird über die Länge des Bogens gemessen, den er auf einem Kreis mit Radius 1 ausschneidet. \(180^{\circ} = \pi\), eine volle Umdrehung ist \(2\pi\) (Einheit rad). Bei den trigonometrischen Funktionen ist das Bogenmaß statt des Gradmaßes die übliche Einheit. |
Das sollten Sie vorher wissen
Hier steht, was Ihnen hilft, die Rechnungen auf dieser Seite wirklich zu verstehen – statt nur auf die Schaltfläche zu klicken.
Wenn Sie nicht weiterkommen, ist das Wiederholen dieser Themen der schnellste Weg.
| Quadratwurzeln (Klasse 8–9, 13–15 Jahre) |
|
| Potenzgesetze (Klasse 5–9, 10–15 Jahre) |
|
| Komplexe Zahlen (Oberstufe oder Studium, ab 16 Jahren) |
|
| Trigonometrie und Einheitskreis (Klasse 9–10, 14–16 Jahre) |
|
| Bogenmaß (Klasse 10–11, 15–17 Jahre) |
|
| Gaußsche Zahlenebene und Polarform (Oberstufe oder Studium, ab 16 Jahren) |
|
So berechnen Sie es in Excel
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle für die n-te Potenz einer komplexen Zahl
| Realteil a | 1 |
| Imaginärteil b | 1 |
| Exponent n | 4 |
| z hoch n | =IMAPOTENZ(KOMPLEXE(B1;B2);B3) |
| Betrag hoch n, r^n | =IMABS(KOMPLEXE(B1;B2))^B3 |
| n-faches Argument nθ (Bogenmaß) | =B3*IMARGUMENT(KOMPLEXE(B1;B2)) |
Tabelle für die k-te n-te Wurzel einer komplexen Zahl
| Realteil a | 8 |
| Imaginärteil b | 0 |
| Wurzelexponent n | 3 |
| Nummer der Wurzel k (0 bis n−1) | 1 |
| Radius des Wurzelkreises | =IMABS(KOMPLEXE(B1;B2))^(1/B3) |
| Argument der k-ten Wurzel (Bogenmaß) | =(REST(IMARGUMENT(KOMPLEXE(B1;B2));2*PI())+2*PI()*B4)/B3 |
| Realteil der k-ten Wurzel | =B5*COS(B6) |
| Imaginärteil der k-ten Wurzel | =B5*SIN(B6) |
Nach dem Einfügen sind die oberen Zeilen Ihre Eingaben, die unteren werden automatisch berechnet.
In der ersten Tabelle bildet KOMPLEXE(Realteil; Imaginärteil) eine komplexe Zahl, und IMAPOTENZ liefert ihre Potenz als Text wie „-4“. Für das Beispiel z = 1 + i und n = 4 ist z hoch n fast genau -4 (wegen Rundungsfehlern kann ein winziger Imaginärteil auftauchen), r^n = 4 und nθ = π ≈ 3,14159.
Die zweite Tabelle bestimmt eine einzelne, die k-te Wurzel. IMARGUMENT liefert das Argument (größer als −π und bis π); REST macht daraus zuerst einen Wert von 0 bis unter 2π, dann werden k volle Umdrehungen addiert und das Ergebnis durch n geteilt. Für das Beispiel z = 8, n = 3 und k = 1 ist der Radius 2 und das Argument 2π/3 ≈ 2,0944, also Realteil = −1 und Imaginärteil ≈ 1,7320508 (= √3). Setzen Sie k auf 0, 1 und 2, um alle drei Wurzeln zu erhalten.
Excel liefert Dezimalzahlen; für exakte Werte mit Wurzeln oder Brüchen nutzen Sie den Rechner auf dieser Seite.
In der ersten Tabelle bildet KOMPLEXE(Realteil; Imaginärteil) eine komplexe Zahl, und IMAPOTENZ liefert ihre Potenz als Text wie „-4“. Für das Beispiel z = 1 + i und n = 4 ist z hoch n fast genau -4 (wegen Rundungsfehlern kann ein winziger Imaginärteil auftauchen), r^n = 4 und nθ = π ≈ 3,14159.
Die zweite Tabelle bestimmt eine einzelne, die k-te Wurzel. IMARGUMENT liefert das Argument (größer als −π und bis π); REST macht daraus zuerst einen Wert von 0 bis unter 2π, dann werden k volle Umdrehungen addiert und das Ergebnis durch n geteilt. Für das Beispiel z = 8, n = 3 und k = 1 ist der Radius 2 und das Argument 2π/3 ≈ 2,0944, also Realteil = −1 und Imaginärteil ≈ 1,7320508 (= √3). Setzen Sie k auf 0, 1 und 2, um alle drei Wurzeln zu erhalten.
Excel liefert Dezimalzahlen; für exakte Werte mit Wurzeln oder Brüchen nutzen Sie den Rechner auf dieser Seite.
So berechnen Sie es in Google Tabellen
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle für die n-te Potenz einer komplexen Zahl
| Realteil a | 1 |
| Imaginärteil b | 1 |
| Exponent n | 4 |
| z hoch n | =IMAPOTENZ(KOMPLEXE(B1;B2);B3) |
| Betrag hoch n, r^n | =IMABS(KOMPLEXE(B1;B2))^B3 |
| n-faches Argument nθ (Bogenmaß) | =B3*IMARGUMENT(KOMPLEXE(B1;B2)) |
Tabelle für die k-te n-te Wurzel einer komplexen Zahl
| Realteil a | 8 |
| Imaginärteil b | 0 |
| Wurzelexponent n | 3 |
| Nummer der Wurzel k (0 bis n−1) | 1 |
| Radius des Wurzelkreises | =IMABS(KOMPLEXE(B1;B2))^(1/B3) |
| Argument der k-ten Wurzel (Bogenmaß) | =(REST(IMARGUMENT(KOMPLEXE(B1;B2));2*PI())+2*PI()*B4)/B3 |
| Realteil der k-ten Wurzel | =B5*COS(B6) |
| Imaginärteil der k-ten Wurzel | =B5*SIN(B6) |
Bei deutscher Spracheinstellung funktionieren dieselben Funktionen für komplexe Zahlen wie in Excel (KOMPLEXE, IMAPOTENZ, IMABS und IMARGUMENT). Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Zahlen durch Ihre eigenen.
So berechnen Sie es in Python
import cmath
import math
# n-te Potenz einer komplexen Zahl (dasselbe Ergebnis wie mit dem Satz von de Moivre)
z = complex(1, 1) # z = 1 + i
n = 4
z_power = z ** n
print(f"z hoch {n} = {z_power}")
# Bestandteile der Polarform (Betrag und Argument)
absolute_value, argument = cmath.polar(z) # r und θ (−π < θ ≤ π)
if argument < 0:
argument += 2 * math.pi # in den Bereich 0 ≤ θ < 2π verschieben
print(f"Betrag r = {absolute_value}")
print(f"Argument θ = {argument} rad")
# n-te Wurzeln einer komplexen Zahl (alle n auflisten, k = 0 bis n−1)
z = complex(8, 0) # z = 8
n = 3
radius = abs(z) ** (1 / n)
theta = cmath.phase(z) % (2 * math.pi)
for k in range(n):
angle = (theta + 2 * math.pi * k) / n
w = cmath.rect(radius, angle)
print(f"w_{k} = {w}")
Eine komplexe Zahl erzeugen Sie mit complex(Realteil, Imaginärteil) und potenzieren sie direkt mit **. Die erste Hälfte berechnet die 4. Potenz von z = 1 + i und gibt (-4+0j) aus, dazu den Betrag r ≈ 1,4142135623730951 (Näherung für √2) und das Argument θ ≈ 0,7853981633974483 rad (Näherung für π/4). Die zweite Hälfte bestimmt die dritten Wurzeln aus z = 8 und gibt drei Wurzeln aus: w_0 = (2+0j), w_1 ≈ (-1+1,7320508…j) und w_2 ≈ (-1-1,7320508…j), wobei 1,7320508… eine Näherung für √3 ist. Python selbst schreibt Dezimalzahlen mit Punkt statt Komma. cmath.polar liefert Betrag und Winkel (größer als −π und bis π); ist der Winkel negativ, wird 2π addiert, damit er im Bereich von 0 bis unter 2π liegt. cmath.rect(radius, angle) bildet eine komplexe Zahl aus der Polarform. Manche Werte weichen leicht ab, etwa -0,9999999999999996 statt -1 oder eine winzige Zahl wie 2,4e-16 statt 0 – das sind Rundungsfehler von Dezimalzahlen (Gleitkommazahlen). Für exakte Werte mit Wurzeln oder Brüchen nutzen Sie den Rechner auf dieser Seite.
So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
Satz von de Moivre
(cosθ + i sinθ)ⁿ = cos nθ + i sin nθ
(\cos\theta + i\sin\theta)^{n} = \cos n\theta + i\sin n\theta
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>cos</mi><mi>θ</mi>
<mo>+</mo>
<mi>i</mi><mi>sin</mi><mi>θ</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mi>n</mi>
</msup>
<mo>=</mo>
<mi>cos</mi><mi>n</mi><mi>θ</mi>
<mo>+</mo>
<mi>i</mi><mi>sin</mi><mi>n</mi><mi>θ</mi>
</mrow>
</math>
(cos theta + i sin theta)^n = cos(n theta) + i sin(n theta)
(Cos[theta] + I Sin[theta])^n == Cos[n theta] + I Sin[n theta]
(cos(theta) + I*sin(theta))^n = cos(n*theta) + I*sin(n*theta);
zn = (cos(t) + 1i*sin(t))^n;
(cos θ + i sin θ)^n = cos nθ + i sin nθ
Die \(n\)-te Potenz einer komplexen Zahl
zⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ)
z^{n} = r^{n}(\cos n\theta + i\sin n\theta)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup><mi>z</mi><mi>n</mi></msup>
<mo>=</mo>
<msup><mi>r</mi><mi>n</mi></msup>
<mo>(</mo>
<mi>cos</mi><mi>n</mi><mi>θ</mi>
<mo>+</mo>
<mi>i</mi><mi>sin</mi><mi>n</mi><mi>θ</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
</math>
z^n = r^n (cos(n theta) + i sin(n theta))
r^n (Cos[n theta] + I Sin[n theta])
zn := r^n*(cos(n*theta) + I*sin(n*theta));
zn = r^n*(cos(n*t) + 1i*sin(n*t));
z^n = r^n (cos nθ + i sin nθ)
Die \(n\)-ten Wurzeln einer komplexen Zahl
w_k = ⁿ√r (cos((θ + 2kπ)/n) + i sin((θ + 2kπ)/n)) (k = 0, 1, …, n−1)
w_{k} = \sqrt[n]{r}\left(\cos\dfrac{\theta + 2k\pi}{n} + i\sin\dfrac{\theta + 2k\pi}{n}\right) \quad (k = 0, 1, \ldots, n-1)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>w</mi><mi>k</mi></msub>
<mo>=</mo>
<mroot><mi>r</mi><mi>n</mi></mroot>
<mo>(</mo>
<mi>cos</mi>
<mfrac>
<mrow><mi>θ</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>k</mi><mi>π</mi></mrow>
<mi>n</mi>
</mfrac>
<mo>+</mo>
<mi>i</mi><mi>sin</mi>
<mfrac>
<mrow><mi>θ</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>k</mi><mi>π</mi></mrow>
<mi>n</mi>
</mfrac>
<mo>)</mo>
</mrow>
</math>
w_k = root(n)(r) (cos((theta + 2k pi)/n) + i sin((theta + 2k pi)/n))
Table[r^(1/n) (Cos[(theta + 2 k Pi)/n] + I Sin[(theta + 2 k Pi)/n]), {k, 0, n - 1}]
wk := r^(1/n)*(cos((theta + 2*k*Pi)/n) + I*sin((theta + 2*k*Pi)/n));
wk = r^(1/n)*(cos((t + 2*k*pi)/n) + 1i*sin((t + 2*k*pi)/n));
w_k = r^(1/n) (cos((θ + 2kπ)/n) + i sin((θ + 2kπ)/n))
Die \(n\)-ten Einheitswurzeln
z_k = cos(2kπ/n) + i sin(2kπ/n) (k = 0, 1, …, n−1)
z_{k} = \cos\dfrac{2k\pi}{n} + i\sin\dfrac{2k\pi}{n} \quad (k = 0, 1, \ldots, n-1)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>z</mi><mi>k</mi></msub>
<mo>=</mo>
<mi>cos</mi>
<mfrac>
<mrow><mn>2</mn><mi>k</mi><mi>π</mi></mrow>
<mi>n</mi>
</mfrac>
<mo>+</mo>
<mi>i</mi><mi>sin</mi>
<mfrac>
<mrow><mn>2</mn><mi>k</mi><mi>π</mi></mrow>
<mi>n</mi>
</mfrac>
</mrow>
</math>
z_k = cos((2k pi)/n) + i sin((2k pi)/n)
Table[Cos[2 k Pi/n] + I Sin[2 k Pi/n], {k, 0, n - 1}]
zk := cos(2*k*Pi/n) + I*sin(2*k*Pi/n);
zk = cos(2*k*pi/n) + 1i*sin(2*k*pi/n);
z_k = cos(2kπ/n) + i sin(2kπ/n)
So lassen Sie ChatGPT rechnen
Sie sind ein Rechenassistent für Mathematik (gaußsche Zahlenebene und Satz von de Moivre). Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (nicht im Kopf rechnen und nicht schätzen). 1. Berechnen Sie die 4. Potenz z^4 der komplexen Zahl z = 1 + i. Geben Sie außerdem den Betrag r und das Argument θ, die 4. Potenz des Betrags r^4 und das vierfache Argument 4θ an. 2. Bestimmen Sie alle drei dritten Wurzeln der komplexen Zahl z = 8 (die komplexen Zahlen, deren dritte Potenz 8 ist) für k = 0, 1, 2. Geben Sie sie, wenn möglich, auch als exakte Werte mit Wurzeln an. Verwenden Sie in Python den Typ complex, cmath.polar und cmath.rect und zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis.
Anleitung
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1Werte eingebenTragen Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
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2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
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3Ergebnis ansehenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
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