Wählen Sie, was bestimmt werden soll, und geben Sie den Realteil a und den Imaginärteil b von z = a + bi sowie die ganze Zahl n ein. Der Ausdruck unten ist mit den Eingabefeldern verknüpft, Sie können die Zahlen also auch direkt darin ändern.
Real- und Imaginärteil dürfen Dezimalzahlen, negative Zahlen oder Brüche wie 3/4 sein (ein leeres Feld wird als 0 behandelt). n ist eine ganze Zahl von 1 bis 20 bei Potenzen und von 2 bis 12 bei Wurzeln.
Ergebnis und Figur
Geben Sie links die Zahlen ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis und eine Grafik in der komplexen Ebene erscheinen hier.
Inhaltsverzeichnis
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Was Sie auf dieser Seite tun können
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Wofür ist diese Berechnung nützlich?
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Anleitung
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Formeln und Abbildungen
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Symbole und Begriffe
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Was Sie vorab wissen sollten
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Mit Excel berechnen
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Mit Google Tabellen berechnen
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Mit Python berechnen
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Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
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Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
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Die Vorteile von DataChef
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Verwandte Funktionen
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Alle NumberChef-Rechner
Was Sie auf dieser Seite tun können
- Bestimmen Sie die \(n\)-te Potenz \(z^n\) einer komplexen Zahl \(z = a + bi\) für eine ganze Zahl \(n\) (1 bis 20) sofort. Aufbauend auf dem Satz von de Moivre \(\left(\cos\theta + i\sin\theta\right)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta\) zeigen die Schritte nacheinander den Betrag hoch \(n\), \(r^n\), und das mit \(n\) multiplizierte Argument, \(n\theta\)
- Die Antwort \(z^n\) wird immer als exakter Wert mit ganzen Zahlen und Brüchen angezeigt. Ist das Argument ein besonderer Winkel (auf einer Achse oder ein Vielfaches von 45°), verwenden die Schritte auch exakte Werte der Winkelfunktionen
- Im Modus „n-te Wurzeln“ werden alle \(n\) komplexen Zahlen \(w\) mit \(w^n = z\) (die \(n\)-ten Wurzeln von \(z\)) von \(k = 0\) bis \(n-1\) aufgelistet (\(n\) von 2 bis 12). Wurzeln, die sich exakt schreiben lassen, werden als exakte Werte angegeben, etwa \(-1 + \sqrt{3}i\)
- Das Ergebnis lässt sich auch in der komplexen Ebene ansehen. Die \(n\)-ten Wurzeln erscheinen als regelmäßiges Vieleck mit \(n\) Ecken, gleichmäßig verteilt auf einem Kreis mit dem Radius \(\sqrt[n]{r}\), und eine Potenz als die Punkte \(z\) und \(z^n\) mit Bögen für ihre Argumente
- Der Ausdruck über den Eingabefeldern (MathLive) ist mit ihnen verknüpft, Sie können die Zahlen in \(\left(1 + i\right)^{4}\) also auch direkt ändern
Diese Seite behandelt den Satz von de Moivre, wie er in der Oberstufe und im Studium behandelt wird. Real- und Imaginärteil dürfen Brüche oder Dezimalzahlen (rationale Zahlen) sein, irrationale Zahlen wie √3 lassen sich nicht direkt eingeben. Das Argument ist daher nur dann ein exakter Bruchteil von π, wenn der Punkt auf einer Achse liegt oder der Winkel ein Vielfaches von 45° ist (bei Winkeln auf Basis von 30° und 60° ist das Verhältnis von Real- und Imaginärteil eine irrationale Zahl wie √3, die sich aus rationalen Eingaben nicht ergeben kann). Andere Argumente werden mit Dezimalzahlen angenähert, aber die Antwort der Potenz selbst ist der exakte Wert, der durch wiederholtes Multiplizieren gefunden wird.
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
Die Formeln für den doppelten und dreifachen Winkel herleiten (Oberstufe)
Setzen Sie im Satz von de Moivre \(n = 2\) oder \(3\), multiplizieren Sie die linke Seite aus und vergleichen Sie Real- und Imaginärteil. So erhalten Sie die Formeln für den doppelten und den dreifachen Winkel in einem Zug, etwa \(\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta\) und \(\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta\).
Die Stärke liegt darin, dass Sie die Formeln aus diesem Satz selbst wieder aufbauen können, statt sie auswendig zu lernen, und „Leiten Sie mit dem Satz von de Moivre die Formel für den dreifachen Winkel her“ ist eine klassische Aufgabe der Oberstufe. Es ist ein Satz mit großer Aussicht, der Trigonometrie und komplexe Zahlen verbindet, zwei Themen, die Sie getrennt gelernt haben.
Digitale Verarbeitung von Musik und Bildern (diskrete Fourier-Transformation)
Hinter dem Musikhören oder dem Speichern eines Fotos auf dem Smartphone läuft eine Rechnung namens diskrete Fourier-Transformation, die ein Signal darin zerlegt, „wie viel von jeder Tonhöhe enthalten ist“. Das Herz dieser Rechnung sind die \(n\)-ten Einheitswurzeln: Jeder Datenwert des Signals wird mit einer Potenz einer \(n\)-ten Einheitswurzel multipliziert, und die Ergebnisse werden addiert.
Audiokomprimierung, Bildkomprimierung (die bei JPEG verwendeten Transformationen), Rauschunterdrückung, Spracherkennung und andere Techniken für digitalen Ton und digitale Bilder beruhen alle auf den „komplexen Zahlen, die einen Kreis gleichmäßig teilen“ dieser Seite.
Drehstrom (Erzeugung, Übertragung und Motoren)
Der Drehstrom (Dreiphasenwechselstrom), der von Kraftwerken zu Fabriken und großen Gebäuden geleitet wird, besteht aus drei Wellen, deren Zeitpunkt um 120° gegeneinander verschoben ist. Mit komplexen Zahlen geschrieben, sind diese „120°-Verschiebungen“ genau die dritten Einheitswurzeln \(1,\ \omega,\ \omega^2\). Die drei Wellen addieren sich zu 0 (\(1 + \omega + \omega^2 = 0\)), und genau diese Auslöschung ist der Grund, warum Drehstrom Übertragungsleitungen spart.
Der Entwurf des Stromnetzes und die Steuerung von Fabrikmotoren beruhen auf dieser Eigenschaft der dritten Einheitswurzeln.
Die Ecken eines regelmäßigen Vielecks platzieren (Spiele, Computergrafik und Design)
In Spielen und in der Grafik sind Aufgaben wie „Gegner gleichmäßig um einen Kreis platzieren“, „die Ecken eines Netzdiagramms platzieren“ oder „die Striche auf einem Zifferblatt zeichnen“ nichts anderes, als die Koordinaten \(\left(\cos\dfrac{2k\pi}{n}|\sin\dfrac{2k\pi}{n}\right)\) der Punkte zu bestimmen, die einen Kreis in \(n\) gleiche Teile teilen. Das ist genau die Anordnung der \(n\)-ten Einheitswurzeln.
In der Programmierung genügt es, eine komplexe Zahl mit einer \(n\)-ten Einheitswurzel zu multiplizieren, um „einen Punkt zur nächsten Ecke zu drehen“, deshalb wird das als einfaches Werkzeug zum Drehen und gleichmäßigen Verteilen verwendet.
Formeln und Abbildungen
Satz von de Moivre
Abbildung (auf dem Einheitskreis vergrößert jede Multiplikation das Argument um θ)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(\left(\cos\theta + i\sin\theta\right)\)
\(n\)
\(=\)
\(\cos n\theta + i\sin n\theta\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
①
Richtung, die das Argument \(\theta\) angibt
②
ganze Zahl \(n\)
\(=\)
③
Richtung, die das mit \(n\) multiplizierte Argument angibt
Die Formel in Worten
①
Potenzieren Sie den
Richtungsteil für das Argument \(\theta\), \(\cos\theta + i\sin\theta\)
②
mit der
ganzen Zahl \(n\)
③
so erhalten Sie den
Richtungsteil für das mit \(n\) multiplizierte Argument, \(\cos n\theta + i\sin n\theta\)
Einfaches Beispiel
Nimmt man die Richtung für \(\theta = \dfrac{\pi}{6}\) (30°) hoch 3, verdreifacht sich das Argument auf \(\dfrac{\pi}{2}\) (90°):
\(\cos\dfrac{\pi}{6} + i\sin\dfrac{\pi}{6}\)
3
\(=\)
\(\cos\dfrac{\pi}{2} + i\sin\dfrac{\pi}{2}\)
\(\left(\cos\dfrac{\pi}{6} + i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)^{3} = \cos\dfrac{\pi}{2} + i\sin\dfrac{\pi}{2}\)
\(\cos\dfrac{\pi}{2} + i\sin\dfrac{\pi}{2} = 0 + 1 \times i = i\)
Der Kerngedanke
Dieser Satz beruht auf der Regel für das Multiplizieren in Polarform: „die Beträge multiplizieren, die Argumente addieren“. Multipliziert man die komplexe Zahl \(\cos\theta + i\sin\theta\), deren Betrag 1 ist, \(n\)-mal mit sich selbst, wird \(\theta\) \(n\)-mal addiert, und man erhält das Argument \(n\theta\). Mehr sagt der Satz nicht.
Zur schnellen Kontrolle: Quadriert man \(i = \cos\dfrac{\pi}{2} + i\sin\dfrac{\pi}{2}\) (die Richtung von 90°), verdoppelt sich das Argument auf \(\pi\) (180°), und es ergibt sich \(\cos\pi + i\sin\pi = -1\). Das ist genau \(i^2 = -1\). Der Gedanke „das Multiplizieren mit \(i\) ist eine Drehung um 90°“ in der komplexen Ebene wird durch diesen Satz auf jeden Winkel erweitert.
Der Satz gilt auch, wenn \(n\) eine negative ganze Zahl ist (\(n = -1\) ist eine Drehung in die Gegenrichtung). Der Rechner auf dieser Seite arbeitet mit positiven ganzen Zahlen.
Die \(n\)-te Potenz einer komplexen Zahl
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(z^{n}\)
\(=\)
\(r^{n}\)
\(\left(\cos n\theta + i\sin n\theta\right)\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(z\) hoch \(n\)
\(=\)
①
Betrag \(r\) hoch \(n\)
②
Richtung, die das mit \(n\) multiplizierte Argument angibt
Die Formel in Worten
①
Nehmen Sie den
Betrag \(r\) hoch \(n\)
(den Abstand vom Ursprung)
②
multiplizieren Sie ihn mit dem
Richtungsteil für das mit \(n\) multiplizierte Argument, \(\cos n\theta + i\sin n\theta\)
③
so erhalten Sie die
\(n\)-te Potenz von \(z\), \(z^n\)
Einfaches Beispiel
Die 4. Potenz von \(z = 1 + i\) (Betrag \(r = \sqrt{2}\), Argument \(\theta = \dfrac{\pi}{4}\), also 45°) ist
\(\left(1 + i\right)^{4}\)
\(=\)
\(\left(\sqrt{2}\right)^{4}\)
\(\cos\pi + i\sin\pi\)
\(r^{4} = \left(\sqrt{2}\right)^{4} = 4\)
\(4\theta = 4 \times \dfrac{\pi}{4} = \pi\)
\(z^{4} = 4\left(\cos\pi + i\sin\pi\right) = 4 \times \left(-1\right) = -4\)
Der Kerngedanke
„Den Betrag hoch \(n\) nehmen, das Argument mit \(n\) multiplizieren.“ Rechnet man diese beiden Dinge getrennt aus, erhält man die \(n\)-te Potenz in einem Zug.
Berechnet man dasselbe \(\left(1 + i\right)^4\) in kartesischer Form, muss man immer wieder ausmultiplizieren: zuerst \(\left(1 + i\right)^2 = 2i\), dann das quadrieren. Eine 4. Potenz ist noch von Hand machbar, aber bei einer 10. oder 20. Potenz ist das Ausmultiplizieren fast unmöglich. In der Polarform berechnen Sie nur \(\left(\sqrt{2}\right)^{10}\) und \(10 \times 45^{\circ}\), und der Aufwand ändert sich bei jeder Potenz kaum. Das ist der größte Vorteil dieses Satzes.
Die \(n\)-ten Wurzeln einer komplexen Zahl
Abbildung (dritte Wurzeln aus 8: ein gleichseitiges Dreieck, gleichmäßig verteilt auf einem Kreis mit dem Radius 2)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(w_{k}\)
\(=\)
\(\sqrt[n]{r}\)
\(\left(\cos\dfrac{\theta + 2k\pi}{n} + i\sin\dfrac{\theta + 2k\pi}{n}\right)\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
③
die \(k\)-te der \(n\)-ten Wurzeln von \(z\)
\(=\)
①
\(n\)-te Wurzel aus dem Betrag \(r\) (Radius des Kreises)
②
Richtung: Argument plus \(k\) volle Umdrehungen, geteilt durch \(n\)
Die Formel in Worten
①
Nehmen Sie die
\(n\)-te Wurzel aus dem Betrag, \(\sqrt[n]{r}\)
(den Radius des Kreises, auf dem alle Wurzeln liegen)
②
multiplizieren Sie sie mit dem
Richtungsteil für das Argument \(\theta\) plus \(k\) volle Umdrehungen (je \(2\pi\)), geteilt durch \(n\)
③
so erhalten Sie die
\(k\)-te der \(n\)-ten Wurzeln von \(z\), \(w_k\)
(lässt man \(k\) die Werte \(0,\ 1,\ \ldots,\ n-1\) durchlaufen, erhält man alle \(n\) Wurzeln)
Einfaches Beispiel
Die dritten Wurzeln von \(z = 8\) (Betrag \(r = 8\), Argument \(\theta = 0\)) mit dem Radius \(\sqrt[3]{8} = 2\) sind
dritte Wurzel \(w_k\)
\(=\)
Radius \(2\)
\(\cos\dfrac{2k\pi}{3} + i\sin\dfrac{2k\pi}{3}\)
\(w_{0} = 2\left(\cos 0 + i\sin 0\right) = 2\)
\(w_{1} = 2\left(\cos\dfrac{2}{3}\pi + i\sin\dfrac{2}{3}\pi\right) = -1 + \sqrt{3}i\)
\(w_{2} = 2\left(\cos\dfrac{4}{3}\pi + i\sin\dfrac{4}{3}\pi\right) = -1 - \sqrt{3}i\)
Der Kerngedanke
Warum gibt es gleich \(n\) Wurzeln? Der Schlüssel ist, dass das Addieren einer vollen Umdrehung (\(2\pi\)) zu einem Argument dieselbe Richtung ergibt. Das Argument von \(z\) lässt sich als \(\theta\), als \(\theta + 2\pi\) oder als \(\theta + 4\pi\) schreiben. Für die \(n\)-ten Wurzeln teilt man das Argument durch \(n\), und diese verschiedenen Schreibweisen werden zu verschiedenen Richtungen: \(\dfrac{\theta}{n},\ \dfrac{\theta + 2\pi}{n},\ \dfrac{\theta + 4\pi}{n},\ \ldots\). Erreicht \(k\) den Wert \(n\), ist man genau eine volle Umdrehung weitergegangen und wieder am selben Punkt wie bei \(k = 0\), also gibt es genau \(n\) verschiedene Punkte.
Benachbarte Wurzeln unterscheiden sich im Argument immer um \(\dfrac{2\pi}{n}\) (eine volle Umdrehung in \(n\) gleiche Teile geteilt), die \(n\) Wurzeln liegen also gleichmäßig verteilt auf demselben Kreis. Mit anderen Worten: Die \(n\)-ten Wurzeln sind die Ecken eines regelmäßigen Vielecks mit \(n\) Ecken. Deshalb erscheint in der Grafik dieses Rechners immer ein regelmäßiges Vieleck.
Die \(n\)-ten Einheitswurzeln
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(z_{k}\)
\(=\)
\(\cos\dfrac{2k\pi}{n} + i\sin\dfrac{2k\pi}{n}\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
②
die \(k\)-te der \(n\)-ten Wurzeln aus 1
\(=\)
①
die \(k\)-te Richtung, wenn eine volle Umdrehung in \(n\) gleiche Teile geteilt wird
Die Formel in Worten
①
Teilen Sie eine volle Umdrehung des Kreises mit dem Radius 1 in \(n\) gleiche Teile. Die
\(k\)-te Richtung, \(\cos\dfrac{2k\pi}{n} + i\sin\dfrac{2k\pi}{n}\)
②
ist die
\(k\)-te der \(n\)-ten Wurzeln aus 1, \(z_k\)
(es gibt \(n\) davon, für \(k = 0,\ 1,\ \ldots,\ n-1\))
Einfaches Beispiel
Die dritten Wurzeln aus 1 (die komplexen Zahlen mit \(z^3 = 1\)) teilen eine volle Umdrehung des Einheitskreises in 3 gleiche Teile:
dritte Wurzel \(z_k\)
\(=\)
\(\cos\dfrac{2k\pi}{3} + i\sin\dfrac{2k\pi}{3}\)
\(z_{0} = \cos 0 + i\sin 0 = 1\)
\(z_{1} = \cos\dfrac{2}{3}\pi + i\sin\dfrac{2}{3}\pi = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i\)
\(z_{2} = \cos\dfrac{4}{3}\pi + i\sin\dfrac{4}{3}\pi = -\dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}i\)
Der Kerngedanke
\(z = 1\) hat den Betrag \(1\) und das Argument \(0\), das ist also der Sonderfall \(r = 1,\ \theta = 0\) der Formel für die \(n\)-ten Wurzeln oben. Alle Wurzeln liegen auf dem Einheitskreis (dem Kreis mit dem Radius 1) und bilden ein regelmäßiges Vieleck mit \(n\) Ecken, das \(z_0 = 1\) als eine Ecke hat.
Die nicht reelle dritte Wurzel aus 1 (\(z_1\) oben) heißt \(\omega\) (Omega), ein Lieblingsthema in Leistungskursen und Mathematikwettbewerben. Sie erfüllt \(\omega^3 = 1\) und \(\omega^2 + \omega + 1 = 0\), und es gilt \(z_2 = \omega^2 = \overline{\omega}\).
Außerdem ist die Summe aller \(n\) der \(n\)-ten Wurzeln aus 1 gleich \(0\) (für \(n \ge 2\)). Das ist geometrisch sinnvoll: Die Ecken des regelmäßigen Vielecks liegen gleichmäßig um den Ursprung verteilt, ihr Schwerpunkt liegt also genau im Ursprung.
Der Satz von de Moivre, \(\left(\cos\theta + i\sin\theta\right)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta\), ist das Ergebnis davon, \(n\)-mal „das Multiplizieren komplexer Zahlen addiert ihre Argumente“ zu wiederholen. Mit ihm ergibt sich die \(n\)-te Potenz einer komplexen Zahl in einem Schritt: den Betrag hoch \(n\) nehmen und das Argument mit \(n\) multiplizieren. Umgekehrt angewendet liefert er alle \(n\) der \(n\)-ten Wurzeln: die \(n\)-te Wurzel aus dem Betrag ziehen und das Argument durch \(n\) teilen (nachdem \(k\) volle Umdrehungen addiert wurden). Der Höhepunkt ist das Bild: Die \(n\)-ten Wurzeln bilden ein regelmäßiges Vieleck auf einem Kreis.
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(i\) | i | Die imaginäre Einheit, die Zahl, deren Quadrat \(-1\) ist (\(i^2 = -1\)). Der Buchstabe stammt von „imaginär“. |
| \(z\) | z | Der Buchstabe, der üblicherweise für eine komplexe Zahl steht. Üblicherweise verwendet man \(z\) und \(w\) für komplexe Zahlen, um sie von den reellen Variablen \(x,\ y\) zu unterscheiden. |
| \(w\) | w | Auf dieser Seite der Buchstabe für eine \(n\)-te Wurzel von \(z\) (eine komplexe Zahl mit \(w^n = z\)). Er folgt der Gewohnheit, \(w\), den Buchstaben direkt vor \(z\) im Alphabet, für eine zweite komplexe Zahl zu verwenden. |
| \(a,\ b\) | a, b | Der Realteil (\(a\)) und der Imaginärteil (\(b\)) von \(z = a + bi\). Beide sind reelle Zahlen. In der komplexen Ebene ist \(a\) die Position nach rechts (entlang der reellen Achse) und \(b\) die Position nach oben (entlang der imaginären Achse). |
| \(r\) | r | Der Buchstabe für den Betrag (den Abstand vom Ursprung zum Punkt \(z\)). Er stammt von „Radius“. In der Polarform ist er eine reelle Zahl größer oder gleich 0. |
| \(\theta\) | Theta | Der griechische Buchstabe für das Argument. In der Mathematik ist er ein üblicher Buchstabe für einen Winkel (häufig wird auch φ verwendet). |
| \(n\) | n | Auf dieser Seite die ganze Zahl, die der Exponent einer Potenz (welche Potenz) oder der Wurzelexponent (welche Wurzel) ist. Der Buchstabe n steht in der Mathematik häufig für eine Anzahl. |
| \(k\) | k | Der Buchstabe, der die \(n\)-ten Wurzeln nummeriert (von \(0\) bis \(n-1\)). Zählbuchstaben sind meist \(i,\ j,\ k\), aber bei komplexen Zahlen verwechselt man \(i\) leicht mit der imaginären Einheit, deshalb wählt man üblicherweise \(k\). |
| \(\sqrt[n]{\ }\) | n-te Wurzel | Das Zeichen für die \(n\)-te Wurzel. \(\sqrt[3]{8} = 2\) sagt: „Die positive Zahl, deren dritte Potenz 8 ist, ist 2“. Die kleine Zahl oben links ist der Wurzelexponent, ohne Zahl ist es eine Quadratwurzel. |
| \(\cos\theta,\ \sin\theta\) | Kosinus Theta, Sinus Theta | Winkelfunktionen. Auf dem Kreis mit Radius 1 (dem Einheitskreis) hat der Punkt in Richtung des Winkels \(\theta\) die waagerechte Position \(\cos\theta\) und die senkrechte Position \(\sin\theta\). In der Polarform bilden sie den Teil, der die Richtung angibt. |
| \(\pi\) | Pi | Das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser (etwa 3,14159). Im Bogenmaß ist eine halbe Umdrehung, \(180^{\circ}\), genau \(\pi\) und eine volle Umdrehung \(2\pi\). Der griechische Buchstabe \(\pi\) soll vom ersten Buchstaben des griechischen Wortes für „Umfang“ stammen. |
| \(\omega\) | Omega | Der übliche Buchstabe für die nicht reelle dritte Wurzel aus 1 (\(\omega = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i\)). Sie erfüllt \(\omega^3 = 1\) und \(\omega^2 + \omega + 1 = 0\). Es ist der letzte Buchstabe des griechischen Alphabets, und er wird häufig für Einheitswurzeln verwendet. |
Begriffe
| komplexe Zahl | Eine Zahl der Form \(a + bi\), wobei \(a\) und \(b\) reelle Zahlen sind. Sie bilden einen Zahlbereich, der die reellen und die imaginären Zahlen zusammenfasst und in der Oberstufe und im Studium behandelt wird. |
| imaginäre Einheit | Die Zahl \(i\), deren Quadrat \(-1\) ist. Keine reelle Zahl hat ein negatives Quadrat, deshalb wurde sie als neue Zahl eingeführt. |
| komplexe Ebene (Gaußsche Zahlenebene) | Die Ebene, in der \(a + bi\) als Punkt \((a|b)\) dargestellt wird. Die waagerechte Achse ist die reelle Achse, die senkrechte Achse die imaginäre Achse. Sie wird in der Oberstufe und im Studium behandelt. |
| Polarform | Eine komplexe Zahl mit ihrem Abstand \(r\) vom Ursprung und ihrem Drehwinkel \(\theta\) von der reellen Achse aus schreiben, als \(r(\cos\theta + i\sin\theta)\). Auch trigonometrische Form genannt. Der Satz von de Moivre handelt von komplexen Zahlen in dieser Form. |
| Betrag (Modul) | Der Abstand vom Ursprung zum Punkt \(z\), berechnet als \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\). Beim Potenzieren wird der Betrag hoch \(n\) genommen (\(r^n\)). |
| Argument | Der Winkel der Richtung vom Ursprung zum Punkt \(z\), gemessen gegen den Uhrzeigersinn von der positiven reellen Achse aus. Addiert man eine volle Umdrehung (\(2\pi\)), erhält man dieselbe Richtung, deshalb gibt man die Antwort üblicherweise im Bereich \(0 \le \theta < 2\pi\) an. Beim Potenzieren wird das Argument mit \(n\) multipliziert (\(n\theta\)). |
| Potenzieren (Potenz) | Dieselbe Zahl immer wieder mit sich selbst multiplizieren. \(z^4\) ist \(z\), 4-mal mit sich selbst multipliziert. Die kleine hochgestellte Zahl ist der Exponent. |
| n-te Wurzel | Eine Zahl, deren \(n\)-te Potenz die gegebene Zahl ist. Bei den komplexen Zahlen hat jede komplexe Zahl ungleich 0 genau \(n\) \(n\)-te Wurzeln (bei den reellen Zahlen hat 8 nur eine dritte Wurzel, 2, bei den komplexen Zahlen aber drei). |
| Einheitswurzel | Die komplexen Zahlen mit \(z^n = 1\). Sie sind die \(n\) Punkte, die den Einheitskreis in \(n\) gleiche Teile teilen, und bilden ein regelmäßiges Vieleck mit \(n\) Ecken, das \(1\) als eine Ecke hat. |
| Satz von de Moivre | Der Satz \(\left(\cos\theta + i\sin\theta\right)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta\), benannt nach dem in Frankreich geborenen Mathematiker Abraham de Moivre. Er ist das Ergebnis davon, \(n\)-mal „Multiplizieren addiert die Argumente“ zu wiederholen. |
| Einheitskreis | Der Kreis mit dem Radius 1 um den Ursprung. Jede komplexe Zahl mit dem Betrag 1 (eine Zahl der Form \(\cos\theta + i\sin\theta\)) liegt auf diesem Kreis. |
| regelmäßiges Vieleck | Ein Vieleck, dessen Seiten alle gleich lang und dessen Winkel alle gleich groß sind (ein gleichseitiges Dreieck, ein Quadrat, ein regelmäßiges Fünfeck und so weiter). Die \(n\) Punkte der \(n\)-ten Wurzeln liegen gleichmäßig verteilt auf einem Kreis, sie sind also die Ecken eines regelmäßigen Vielecks mit \(n\) Ecken. |
| besonderer Winkel (Sonderwinkel) | \(30^{\circ}\), \(45^{\circ}\), \(60^{\circ}\) und verwandte Winkel (diese plus Vielfache von \(90^{\circ}\)). Ihre Werte der Winkelfunktionen lassen sich exakt schreiben, als \(\dfrac{1}{2}\), \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) und \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), und die meisten Aufgaben in Schulbüchern und Prüfungen verwenden diese Winkel. |
| Bogenmaß (Radiant) | Einen Winkel durch die Länge des Kreisbogens messen, den er auf einem Kreis mit Radius 1 abschneidet. \(180^{\circ} = \pi\) Radiant, und eine volle Umdrehung ist \(2\pi\) Radiant. Ab den Winkelfunktionen der Oberstufe ist das Bogenmaß statt des Gradmaßes die übliche Einheit. |
Was Sie vorab wissen sollten
Hier steht, was Ihnen hilft, die Rechnung dieser Seite wirklich zu verstehen und nicht nur den Knopf zu drücken.
Wenn Sie nicht weiterkommen, ist es der schnellste Weg, zu diesen Themen zurückzugehen.
| Quadratwurzeln und Wurzelterme (Klasse 9, 14–15 Jahre) |
|
| Potenzgesetze (Klasse 9–10, 14–16 Jahre) |
|
| Komplexe Zahlen (Oberstufe und Studium) |
|
| Trigonometrie und Einheitskreis (Klasse 9–11, 14–17 Jahre) |
|
| Bogenmaß (Klasse 10–11, 15–17 Jahre) |
|
| Die komplexe Ebene und die Polarform (Oberstufe und Studium) |
|
Mit Excel berechnen
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Tabelle für die n-te Potenz einer komplexen Zahl
| Realteil a | 1 |
| Imaginärteil b | 1 |
| Exponent n | 4 |
| z hoch n | =IMAPOTENZ(KOMPLEXE(B1;B2);B3) |
| Betrag hoch n, r^n | =IMABS(KOMPLEXE(B1;B2))^B3 |
| Argument mal n, nθ (Bogenmaß) | =B3*IMARGUMENT(KOMPLEXE(B1;B2)) |
Tabelle für die k-te der n-ten Wurzeln einer komplexen Zahl
| Realteil a | 8 |
| Imaginärteil b | 0 |
| Wurzelexponent n | 3 |
| Nummer der Wurzel k (0 bis n−1) | 1 |
| Radius des Wurzelkreises | =IMABS(KOMPLEXE(B1;B2))^(1/B3) |
| Argument der k-ten Wurzel (Bogenmaß) | =(REST(IMARGUMENT(KOMPLEXE(B1;B2));2*PI())+2*PI()*B4)/B3 |
| Realteil der k-ten Wurzel | =B5*COS(B6) |
| Imaginärteil der k-ten Wurzel | =B5*SIN(B6) |
Nach dem Einfügen sind die oberen Zeilen Ihre Eingaben, und die unteren Zeilen werden automatisch berechnet.
In der ersten Tabelle bildet KOMPLEXE(Realteil; Imaginärteil) eine komplexe Zahl, und IMAPOTENZ liefert ihre Potenz als Text wie „-4“. Für das Beispiel z = 1 + i und n = 4 ist z hoch n fast genau -4 (wegen Gleitkommafehlern kann ein winziger Imaginärteil erscheinen), r^n = 4 und nθ = π ≈ 3,14159.
Die zweite Tabelle bestimmt eine Wurzel, die k-te. IMARGUMENT liefert das Argument (größer als −π und bis π), REST macht daraus zuerst einen Wert von 0 bis (ausschließlich) 2π, dann werden k volle Umdrehungen addiert und das Ergebnis durch n geteilt. Für das Beispiel z = 8, n = 3 und k = 1 ist der Radius 2 und das Argument 2π/3 ≈ 2,0944, also ist der Realteil = −1 und der Imaginärteil ≈ 1,7320508 (= √3). Ändern Sie k auf 0, 1 und 2, um alle drei Wurzeln zu erhalten.
Excel liefert Dezimalzahlen, wenn Sie exakte Werte mit Wurzeln oder Brüchen möchten, nutzen Sie den Rechner auf dieser Seite.
In der ersten Tabelle bildet KOMPLEXE(Realteil; Imaginärteil) eine komplexe Zahl, und IMAPOTENZ liefert ihre Potenz als Text wie „-4“. Für das Beispiel z = 1 + i und n = 4 ist z hoch n fast genau -4 (wegen Gleitkommafehlern kann ein winziger Imaginärteil erscheinen), r^n = 4 und nθ = π ≈ 3,14159.
Die zweite Tabelle bestimmt eine Wurzel, die k-te. IMARGUMENT liefert das Argument (größer als −π und bis π), REST macht daraus zuerst einen Wert von 0 bis (ausschließlich) 2π, dann werden k volle Umdrehungen addiert und das Ergebnis durch n geteilt. Für das Beispiel z = 8, n = 3 und k = 1 ist der Radius 2 und das Argument 2π/3 ≈ 2,0944, also ist der Realteil = −1 und der Imaginärteil ≈ 1,7320508 (= √3). Ändern Sie k auf 0, 1 und 2, um alle drei Wurzeln zu erhalten.
Excel liefert Dezimalzahlen, wenn Sie exakte Werte mit Wurzeln oder Brüchen möchten, nutzen Sie den Rechner auf dieser Seite.
Mit Google Tabellen berechnen
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Tabelle für die n-te Potenz einer komplexen Zahl
| Realteil a | 1 |
| Imaginärteil b | 1 |
| Exponent n | 4 |
| z hoch n | =IMAPOTENZ(KOMPLEXE(B1;B2);B3) |
| Betrag hoch n, r^n | =IMABS(KOMPLEXE(B1;B2))^B3 |
| Argument mal n, nθ (Bogenmaß) | =B3*IMARGUMENT(KOMPLEXE(B1;B2)) |
Tabelle für die k-te der n-ten Wurzeln einer komplexen Zahl
| Realteil a | 8 |
| Imaginärteil b | 0 |
| Wurzelexponent n | 3 |
| Nummer der Wurzel k (0 bis n−1) | 1 |
| Radius des Wurzelkreises | =IMABS(KOMPLEXE(B1;B2))^(1/B3) |
| Argument der k-ten Wurzel (Bogenmaß) | =(REST(IMARGUMENT(KOMPLEXE(B1;B2));2*PI())+2*PI()*B4)/B3 |
| Realteil der k-ten Wurzel | =B5*COS(B6) |
| Imaginärteil der k-ten Wurzel | =B5*SIN(B6) |
Dieselben Funktionen für komplexe Zahlen wie in Excel (KOMPLEXE, IMAPOTENZ, IMABS und IMARGUMENT) funktionieren unverändert. Kopieren Sie die gesamte Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Zahlen durch Ihre eigenen.
Mit Python berechnen
import cmath
import math
# n-te Potenz einer komplexen Zahl (liefert dasselbe Ergebnis wie der Satz von de Moivre)
z = complex(1, 1) # z = 1 + i
n = 4
z_power = z ** n
print(f"z hoch {n} = {z_power}")
# Bestandteile der Polarform (Betrag und Argument)
absolute_value, argument = cmath.polar(z) # r und θ (−π < θ ≤ π)
if argument < 0:
argument += 2 * math.pi # in den Bereich 0 ≤ θ < 2π bringen
print(f"Betrag r = {absolute_value}")
print(f"Argument θ = {argument} rad")
# n-te Wurzeln einer komplexen Zahl (alle n auflisten, k = 0 bis n−1)
z = complex(8, 0) # z = 8
n = 3
radius = abs(z) ** (1 / n)
theta = cmath.phase(z) % (2 * math.pi)
for k in range(n):
angle = (theta + 2 * math.pi * k) / n
w = cmath.rect(radius, angle)
print(f"w_{k} = {w}")
Sie können eine komplexe Zahl mit complex(Realteil, Imaginärteil) bilden und mit ** direkt potenzieren. Die erste Hälfte berechnet die 4. Potenz von z = 1 + i und gibt (-4+0j), den Betrag r = 1,4142135623730951 (ein Näherungswert von √2) und das Argument θ = 0,7853981633974483 rad (ein Näherungswert von π/4) aus. Die zweite Hälfte bestimmt die dritten Wurzeln von z = 8 und gibt drei Wurzeln aus: w_0 = (2+0j), w_1 ≈ (-1+1,7320508…j) und w_2 ≈ (-1-1,7320508…j) (1,7320508… ist ein Näherungswert von √3). cmath.polar liefert den Betrag und den Winkel (größer als −π und bis π), ein negativer Winkel bekommt also 2π addiert, um ihn in den Bereich von 0 bis 2π zu bringen. cmath.rect(radius, angle) bildet eine komplexe Zahl aus der Polarform. Manche Werte kommen leicht abweichend heraus, etwa -0,9999999999999996 statt -1 oder eine winzige Zahl wie 2,4e-16 statt 0, das sind Rundungsfehler bei Dezimalzahlen (Gleitkommazahlen). Für exakte Werte mit Wurzeln oder Brüchen nutzen Sie den Rechner auf dieser Seite.
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
Satz von de Moivre
(cosθ + i sinθ)ⁿ = cos nθ + i sin nθ
(\cos\theta + i\sin\theta)^{n} = \cos n\theta + i\sin n\theta
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>cos</mi><mi>θ</mi>
<mo>+</mo>
<mi>i</mi><mi>sin</mi><mi>θ</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mi>n</mi>
</msup>
<mo>=</mo>
<mi>cos</mi><mi>n</mi><mi>θ</mi>
<mo>+</mo>
<mi>i</mi><mi>sin</mi><mi>n</mi><mi>θ</mi>
</mrow>
</math>
(cos theta + i sin theta)^n = cos(n theta) + i sin(n theta)
(Cos[theta] + I Sin[theta])^n == Cos[n theta] + I Sin[n theta]
(cos(theta) + I*sin(theta))^n = cos(n*theta) + I*sin(n*theta);
zn = (cos(t) + 1i*sin(t))^n;
(cos θ + i sin θ)^n = cos nθ + i sin nθ
Die \(n\)-te Potenz einer komplexen Zahl
zⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ)
z^{n} = r^{n}(\cos n\theta + i\sin n\theta)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup><mi>z</mi><mi>n</mi></msup>
<mo>=</mo>
<msup><mi>r</mi><mi>n</mi></msup>
<mo>(</mo>
<mi>cos</mi><mi>n</mi><mi>θ</mi>
<mo>+</mo>
<mi>i</mi><mi>sin</mi><mi>n</mi><mi>θ</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
</math>
z^n = r^n (cos(n theta) + i sin(n theta))
r^n (Cos[n theta] + I Sin[n theta])
zn := r^n*(cos(n*theta) + I*sin(n*theta));
zn = r^n*(cos(n*t) + 1i*sin(n*t));
z^n = r^n (cos nθ + i sin nθ)
Die \(n\)-ten Wurzeln einer komplexen Zahl
w_k = ⁿ√r (cos((θ + 2kπ)/n) + i sin((θ + 2kπ)/n)) (k = 0, 1, …, n−1)
w_{k} = \sqrt[n]{r}\left(\cos\dfrac{\theta + 2k\pi}{n} + i\sin\dfrac{\theta + 2k\pi}{n}\right) \quad (k = 0, 1, \ldots, n-1)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>w</mi><mi>k</mi></msub>
<mo>=</mo>
<mroot><mi>r</mi><mi>n</mi></mroot>
<mo>(</mo>
<mi>cos</mi>
<mfrac>
<mrow><mi>θ</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>k</mi><mi>π</mi></mrow>
<mi>n</mi>
</mfrac>
<mo>+</mo>
<mi>i</mi><mi>sin</mi>
<mfrac>
<mrow><mi>θ</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>k</mi><mi>π</mi></mrow>
<mi>n</mi>
</mfrac>
<mo>)</mo>
</mrow>
</math>
w_k = root(n)(r) (cos((theta + 2k pi)/n) + i sin((theta + 2k pi)/n))
Table[r^(1/n) (Cos[(theta + 2 k Pi)/n] + I Sin[(theta + 2 k Pi)/n]), {k, 0, n - 1}]
wk := r^(1/n)*(cos((theta + 2*k*Pi)/n) + I*sin((theta + 2*k*Pi)/n));
wk = r^(1/n)*(cos((t + 2*k*pi)/n) + 1i*sin((t + 2*k*pi)/n));
w_k = r^(1/n) (cos((θ + 2kπ)/n) + i sin((θ + 2kπ)/n))
Die \(n\)-ten Einheitswurzeln
z_k = cos(2kπ/n) + i sin(2kπ/n) (k = 0, 1, …, n−1)
z_{k} = \cos\dfrac{2k\pi}{n} + i\sin\dfrac{2k\pi}{n} \quad (k = 0, 1, \ldots, n-1)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>z</mi><mi>k</mi></msub>
<mo>=</mo>
<mi>cos</mi>
<mfrac>
<mrow><mn>2</mn><mi>k</mi><mi>π</mi></mrow>
<mi>n</mi>
</mfrac>
<mo>+</mo>
<mi>i</mi><mi>sin</mi>
<mfrac>
<mrow><mn>2</mn><mi>k</mi><mi>π</mi></mrow>
<mi>n</mi>
</mfrac>
</mrow>
</math>
z_k = cos((2k pi)/n) + i sin((2k pi)/n)
Table[Cos[2 k Pi/n] + I Sin[2 k Pi/n], {k, 0, n - 1}]
zk := cos(2*k*Pi/n) + I*sin(2*k*Pi/n);
zk = cos(2*k*pi/n) + 1i*sin(2*k*pi/n);
z_k = cos(2kπ/n) + i sin(2kπ/n)
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
Sie sind ein Rechenassistent für die komplexe Ebene und den Satz von de Moivre. Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort ausschließlich auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (nicht im Kopf rechnen und nicht schätzen). 1. Bestimmen Sie die 4. Potenz z^4 der komplexen Zahl z = 1 + i. Zeigen Sie auch den Betrag r und das Argument θ, den Betrag hoch 4, r^4, und das Argument mal 4, 4θ. 2. Bestimmen Sie alle drei dritten Wurzeln der komplexen Zahl z = 8 (die komplexen Zahlen, deren dritte Potenz 8 ist), für k = 0, 1, 2. Zeigen Sie sie wenn möglich auch als exakte Werte mit Wurzeln. Verwenden Sie in Python den Typ complex sowie cmath.polar und cmath.rect und nennen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis.
Anleitung
-
1Zahlen eingebenGeben Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
-
2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
-
3Ergebnis ablesenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
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