Geben Sie die beiden Zahlen X und Y ein, jeweils aufgeteilt in einen Koeffizienten (die Ziffern) und einen Exponenten (die Zehnerpotenz), und wählen Sie die Rechenart. Die Gleichung unten ist mit den Feldern verknüpft, Sie können die Koeffizienten und Exponenten also auch direkt darin eintippen. Das Ergebnis wird in wissenschaftlicher Schreibweise, E-Notation und Dezimalschreibweise angezeigt, mit Schritten wie „Exponenten angleichen“ und „Exponenten addieren“.
Geben Sie jeden Koeffizienten als Zahl wie 1,23 ein (er muss nicht zwischen 1 und 10 liegen) und jeden Exponenten als ganze Zahl von −99 bis 99. Bei „Quadratwurzel √X“ und „Quadrieren X²“ werden die Felder für Y nicht verwendet (was darin steht, wird ignoriert).
Ergebnis
Geben Sie links Koeffizient und Exponent von X und Y ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis (in wissenschaftlicher Schreibweise, E-Notation und Dezimalschreibweise) und die Rechenschritte erscheinen hier.
Inhaltsverzeichnis
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Was Sie auf dieser Seite tun können
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Wofür ist diese Berechnung nützlich?
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Anleitung
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Formel
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Symbole und Begriffe
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Was Sie vorab wissen sollten
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Mit Excel berechnen
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Mit Google Tabellen berechnen
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Mit Python berechnen
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Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
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Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
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Die Vorteile von DataChef
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Verwandte Funktionen
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Alle NumberChef-Rechner
Was Sie auf dieser Seite tun können
- Addieren, subtrahieren, multiplizieren, dividieren, potenzieren, Wurzel ziehen und quadrieren mit Zahlen in wissenschaftlicher Schreibweise (der Form \(a \times 10^{n}\)), etwa \((1{,}23 \times 10^{7}) + (3{,}45 \times 10^{2})\)
- Die Rechenschritte zeigen Regeln wie „Exponenten angleichen, dann die Koeffizienten addieren“ und „Koeffizienten multiplizieren, Exponenten addieren“, sodass Sie nicht nur die Antwort, sondern das Verfahren lernen
- Das Ergebnis wird in wissenschaftlicher Schreibweise, E-Notation und Dezimalschreibweise angezeigt. Auch die gültigen Ziffern (auf wie viele Ziffern der Koeffizient gerundet wird) lassen sich von 1 bis 30 festlegen (bei leerem Feld sind es 10)
- Prüfen Sie Rechnungen mit sehr großen oder sehr kleinen Zahlen ohne Fehler, etwa „Lichtgeschwindigkeit × Zeit“ in der Physik oder Stoffmengenrechnungen in der Chemie
- Eine leicht verständliche Erklärung der Formeln sowie Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python finden Sie ebenfalls auf dieser Seite
Diese Seite verarbeitet Exponenten (Zehnerpotenzen) von −99 bis 99 und Koeffizienten mit bis zu 30 gültigen Ziffern. Auch der Exponent des Ergebnisses muss von −99 bis 99 reichen. Um zwischen gewöhnlichen Zahlen und wissenschaftlicher Schreibweise umzurechnen, nutzen Sie die Schwesterseite „Wissenschaftliche Schreibweise umrechnen“.
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
Wie weit das Licht in einem Jahr kommt (ein Lichtjahr)
Die Lichtgeschwindigkeit beträgt etwa \(3{,}0 \times 10^{8}\) m/s, und ein Jahr hat etwa \(3{,}15 \times 10^{7}\) Sekunden. Die Strecke, die das Licht in einem Jahr zurücklegt, ist eine Multiplikation: Die Koeffizienten ergeben \(3{,}0 \times 3{,}15 = 9{,}45\), die Exponenten ergeben \(8 + 7 = 15\), also sind es etwa \(9{,}5 \times 10^{15}\) m (ein Lichtjahr sind rund \(9{,}46 \times 10^{15}\) m).
Das Potenzgesetz macht aus einer Multiplikation mit 15 Nullen eine zweistellige Rechnung. Das ist seine Stärke.
Stoffmengenrechnung in der Chemie (Multiplizieren mit der Avogadro-Konstante)
1 Mol eines Stoffes enthält etwa \(6{,}02 \times 10^{23}\) Teilchen (die Avogadro-Konstante). Zum Beispiel enthalten 0,5 Mol Wasser \(0{,}5 \times 6{,}02 \times 10^{23} = 3{,}01 \times 10^{23}\) Wassermoleküle.
Stoffmengenrechnungen im Chemieunterricht bestehen aus einer Kette von Multiplikationen und Divisionen mit der Avogadro-Konstante, deshalb führt die Regel dieser Seite, Koeffizienten und Exponenten getrennt zu behandeln, direkt zu besseren Noten.
Wie lange das Sonnenlicht bis zur Erde braucht (Strecke ÷ Geschwindigkeit)
Die Entfernung von der Sonne zur Erde beträgt etwa \(1{,}5 \times 10^{11}\) m. Teilt man durch die Lichtgeschwindigkeit, \(3 \times 10^{8}\) m/s, ergeben die Koeffizienten \(1{,}5 \div 3 = 0{,}5\) und die Exponenten \(11 - 8 = 3\), also \(0{,}5 \times 10^{3} = 5 \times 10^{2}\) Sekunden, rund 8 Minuten 20 Sekunden.
In der Astronomie sind sowohl Entfernungen als auch Geschwindigkeiten riesig, deshalb kommt bei jeder Division das Subtrahieren von Exponenten vor.
Größen vergleichen (wie viel größer ist ein Mensch als ein Virus?)
Ein Virus hat einen Durchmesser von etwa \(1 \times 10^{-7}\) m, ein Mensch ist etwa \(1{,}7 \times 10^{0}\) m groß. Die Division ergibt \(1{,}7 \div 1 = 1{,}7\) und für den Exponenten \(0 - (-7) = 7\), also ist ein Mensch etwa \(1{,}7 \times 10^{7}\)-mal (17 Millionen Mal) so groß wie ein Virus.
Auch eine Division mit negativen Exponenten funktioniert mechanisch mit der einen Regel „Exponenten subtrahieren“.
Rechnen mit Messwerten und gültigen Ziffern (Naturwissenschaften)
In Praktika und Laborberichten multipliziert man oft Messwerte mit gültigen Ziffern. Ein Grundstück, das \(2{,}5 \times 10^{2}\) m lang und \(4{,}0 \times 10^{1}\) m breit ist, hat zum Beispiel eine Fläche von \(2{,}5 \times 4{,}0 = 10\) mit dem Exponenten \(2 + 1 = 3\), also \(10 \times 10^{3} = 1{,}0 \times 10^{4}\) m² (das sind 1 Hektar).
Die wissenschaftliche Schreibweise hält beim Rechnen fest, auf wie viele Ziffern des Ergebnisses man sich verlassen kann (gültige Ziffern), deshalb ist sie der Standard für Rechnungen mit Messwerten.
Formel
Addieren und Subtrahieren (Exponenten angleichen, dann die Koeffizienten addieren oder subtrahieren)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(X + Y\)
\(=\)
\((\)
\(a\)
\(+\)
\(b\)
\()\)
\(\times\)
\(10\)
\(n\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
⑤
\(X + Y\): Summe
\(=\)
\((\)
①
\(a\): Koeffizient von \(X\) nach dem Angleichen der Exponenten
\(+\)
②
\(b\): Koeffizient von \(Y\) nach dem Angleichen der Exponenten
\()\)
\(\times\)
③
\(10\): Basis
④
\(n\): angeglichener Exponent
Die Formel in Worten
①
Gleichen Sie die Exponenten von \(X\) und \(Y\) an. Addieren Sie dann den
\(a\): Koeffizient von \(X\) nach dem Angleichen der Exponenten
②
und den
\(b\): Koeffizient von \(Y\) nach dem Angleichen der Exponenten
, und multiplizieren Sie die Summe mit der
③
\(10\): Basis
④
hoch
\(n\): angeglichener Exponent
(also \(10^n\))
⑤
so erhalten Sie die
\(X + Y\): Summe
(Subtrahieren funktioniert genauso, man subtrahiert die Koeffizienten)
Einfaches Beispiel
Die Summe von \(1{,}23 \times 10^{7}\) und \(3{,}45 \times 10^{2}\) (beim Angleichen an den größeren Exponenten, 7, ist \(3{,}45 \times 10^{2} = 0{,}0000345 \times 10^{7}\)) lautet:
Summe (1,2300345 × 10⁷)
\(=\)
\((\)
1,23
\(+\)
0,0000345
\()\)
\(\times\)
Basis 10
angeglichener Exponent (7)
\(1{,}23 \times 10^{7} + 3{,}45 \times 10^{2} = (1{,}23 + 0{,}0000345) \times 10^{7}\)
\(= 1{,}2300345 \times 10^{7} = 12.300.345\)
Der Kerngedanke
Haben die Exponenten unterschiedliche Werte, stimmen die Stellenwerte nicht überein, und Sie können die Koeffizienten nicht einfach addieren. Wie beim schriftlichen Addieren, bei dem Sie die Stellenwerte untereinander schreiben, kommt es darauf an, zuerst die Exponenten (die Stellenwerte) anzugleichen. Sie können an jeden der beiden Exponenten angleichen, üblich ist aber der größere.
Liegt der Betrag des Koeffizienten nach der Rechnung nicht mehr bei mindestens 1 und unter 10, normieren Sie ihn (zum Beispiel \(9{,}2 \times 10^{3} + 8{,}3 \times 10^{3} = 17{,}5 \times 10^{3} = 1{,}75 \times 10^{4}\)).
Multiplizieren und Dividieren (Koeffizienten multiplizieren oder dividieren, Exponenten addieren oder subtrahieren)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(X \times Y\)
\(=\)
\((\)
\(a\)
\(\times\)
\(b\)
\()\)
\(\times\)
\(10\)
\(m + n\)
\(X \div Y\)
\(=\)
\((\)
\(a\)
\(\div\)
\(b\)
\()\)
\(\times\)
\(10\)
\(m - n\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
④
\(X \times Y\): Produkt
\(=\)
\((\)
①
\(a\): Koeffizient von \(X\)
\(\times\)
②
\(b\): Koeffizient von \(Y\)
\()\)
\(\times\)
\(10\): Basis
③
\(m + n\): Summe der Exponenten
⑧
\(X \div Y\): Quotient
\(=\)
\((\)
⑤
\(a\): Koeffizient von \(X\)
\(\div\)
⑥
\(b\): Koeffizient von \(Y\)
\()\)
\(\times\)
\(10\): Basis
⑦
\(m - n\): Differenz der Exponenten
Die Formel in Worten
①
Zum Multiplizieren multiplizieren Sie den
\(a\): Koeffizient von \(X\)
②
mit dem
\(b\): Koeffizient von \(Y\)
, und multiplizieren Sie dann mit 10 hoch der
③
\(m + n\): Summe der Exponenten
(\(10^{m+n}\), die Exponenten werden addiert)
④
so erhalten Sie das
\(X \times Y\): Produkt
⑤
Zum Dividieren dividieren Sie den
\(a\): Koeffizient von \(X\)
⑥
durch den
\(b\): Koeffizient von \(Y\)
, und multiplizieren Sie dann mit 10 hoch der
⑦
\(m - n\): Differenz der Exponenten
(\(10^{m-n}\), die Exponenten werden subtrahiert)
⑧
so erhalten Sie den
\(X \div Y\): Quotient
Einfaches Beispiel
Multipliziert man \(2 \times 10^{4}\) mit \(3 \times 10^{5}\), erhält man:
Produkt (6 × 10⁹)
\(=\)
\((\)
2
\(\times\)
3
\()\)
\(\times\)
Basis 10
Summe der Exponenten (4 + 5 = 9)
\((2 \times 10^{4}) \times (3 \times 10^{5}) = (2 \times 3) \times 10^{4+5} = 6 \times 10^{9}\)
\((8 \times 10^{6}) \div (2 \times 10^{2}) = (8 \div 2) \times 10^{6-2} = 4 \times 10^{4}\)
Der Kerngedanke
Beim Multiplizieren addiert man die Exponenten wegen des Potenzgesetzes \(10^{m} \times 10^{n} = 10^{m+n}\). Multipliziert man „10, \(m\)-mal multipliziert“ mit „10, \(n\)-mal multipliziert“, ist das insgesamt \(m + n\)-mal mit 10 multipliziert. Beim Dividieren ist es umgekehrt: \(10^{m} \div 10^{n} = 10^{m-n}\), man subtrahiert also die Exponenten.
Ist das Produkt der Koeffizienten 10 oder größer, normieren Sie es (zum Beispiel \((4 \times 10^{3}) \times (5 \times 10^{4}) = 20 \times 10^{7} = 2 \times 10^{8}\)).
Potenzieren und Wurzelziehen (den Exponenten multiplizieren oder halbieren)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(X^{k}\)
\(=\)
\(a\)
\(k\)
\(\times\)
\(10\)
\(m k\)
\(\sqrt{X}\)
\(=\)
\(\sqrt{a}\)
\(\times\)
\(10\)
\(m/2\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
④
\(X^k\): X hoch k
\(=\)
①
\(a\): Koeffizient von \(X\)
②
\(k\): Hochzahl
\(\times\)
\(10\): Basis
③
\(m \times k\): Produkt der Exponenten
⑦
\(\sqrt{X}\): Quadratwurzel von X
\(=\)
⑤
\(\sqrt{a}\): Quadratwurzel des Koeffizienten
\(\times\)
\(10\): Basis
⑥
\(m \div 2\): halber Exponent
Die Formel in Worten
①
Beim Potenzieren (hoch \(k\)) potenzieren Sie den
\(a\): Koeffizient von \(X\)
②
mit der
\(k\): Hochzahl
, und multiplizieren Sie dann mit 10 hoch dem
③
\(m \times k\): Produkt der Exponenten
(\(10^{mk}\), der Exponent \(m\) wird mit \(k\) multipliziert)
④
so erhalten Sie
\(X^k\): X hoch k
⑤
Bei der Quadratwurzel multiplizieren Sie die
\(\sqrt{a}\): Quadratwurzel des Koeffizienten
⑥
mit 10 hoch dem
\(m \div 2\): halber Exponent
⑦
und erhalten so die
\(\sqrt{X}\): Quadratwurzel von X
(ist der Exponent \(m\) ungerade, multiplizieren Sie zuerst den Koeffizienten mit 10 und verringern den Exponenten um 1, damit er gerade wird, und halbieren ihn dann)
Einfaches Beispiel
Das Quadrat von \(2 \times 10^{3}\) und die Quadratwurzel von \(4 \times 10^{6}\) lauten:
X zum Quadrat (4 × 10⁶)
\(=\)
Koeffizient (2)
Hochzahl (2)
\(\times\)
Basis 10
Produkt der Exponenten (3 × 2 = 6)
\((2 \times 10^{3})^{2} = 2^{2} \times 10^{3 \times 2} = 4 \times 10^{6}\)
\(\sqrt{4 \times 10^{6}} = \sqrt{4} \times 10^{6 \div 2} = 2 \times 10^{3}\)
Der Kerngedanke
Beim Potenzieren multipliziert man die Exponenten wegen des Potenzgesetzes \((10^{m})^{k} = 10^{mk}\). Multipliziert man \(10^{m}\) \(k\)-mal mit sich selbst, ist das insgesamt \(m \times k\)-mal mit 10 multipliziert. Eine Quadratwurzel ist „die Zahl, die quadriert wieder die ursprüngliche ergibt“, sie macht also das Umgekehrte und halbiert den Exponenten.
Ist der Exponent ungerade, lässt er sich so nicht halbieren. Multiplizieren Sie dann zuerst den Koeffizienten mit 10, damit der Exponent gerade wird (zum Beispiel \(\sqrt{4 \times 10^{7}} = \sqrt{40 \times 10^{6}} = \sqrt{40} \times 10^{3} \approx 6{,}32 \times 10^{3}\)).
Bei Zehnerpotenzen behandelt man Koeffizienten und Exponenten am besten getrennt. Zum Addieren oder Subtrahieren gleicht man die Exponenten an und addiert oder subtrahiert dann die Koeffizienten. Zum Multiplizieren oder Dividieren multipliziert oder dividiert man die Koeffizienten und addiert oder subtrahiert die Exponenten. Beim Potenzieren multipliziert man den Exponenten mit \(k\), beim Wurzelziehen halbiert man ihn. Am Ende normiert man so, dass der Betrag des Koeffizienten mindestens 1 und kleiner als 10 ist.
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(X\), \(Y\) | X Y | Die beiden Zahlen der Rechnung. Auf dieser Seite gibt man sie jeweils als „Koeffizient × 10 hoch Exponent“ ein (zum Beispiel \(X = 1{,}23 \times 10^{7}\)). |
| \(a\), \(b\) | a b | Die Koeffizienten (die Ziffern) von \(X\) und \(Y\). In normierter Form liegt der Betrag bei mindestens 1 und unter 10. |
| \(m\), \(n\) | m n | Die Exponenten von \(X\) und \(Y\). Die Anzahl der Multiplikationen mit 10, die die Größe der Zahl festlegt. Ein negativer Exponent steht für eine kleine Zahl kleiner als 1. |
| \(k\) | k | Die Hochzahl, die angibt, mit welcher Potenz \(X\) potenziert wird. Auf dieser Seite ist es der Wert von \(Y\), wenn Sie „Potenzieren X^Y“ wählen. |
| \(10^{m+n}\) | 10 hoch m plus n | Die Zehnerpotenz, die im Potenzgesetz auftaucht, das Ergebnis von \(10^{m} \times 10^{n}\) (zum Beispiel \(10^{4} \times 10^{5} = 10^{9}\)). |
| \(\sqrt{X}\) | Quadratwurzel von X | Die Quadratwurzel von \(X\): die Zahl größer oder gleich 0, die quadriert wieder \(X\) ergibt (zum Beispiel \(\sqrt{4 \times 10^{6}} = 2 \times 10^{3}\)). |
Begriffe
| Potenzgesetz | Regeln, die Rechnungen mit Potenzen auf das Addieren, Subtrahieren oder Multiplizieren von Exponenten zurückführen. Sie sind das Herzstück dieser Seite. Die wichtigsten sind \(10^{a} \times 10^{b} = 10^{a+b}\) (beim Multiplizieren addiert man die Exponenten, zum Beispiel \(10^{4} \times 10^{5} = 10^{9}\)), \(10^{a} \div 10^{b} = 10^{a-b}\) (beim Dividieren subtrahiert man sie) und \((10^{a})^{b} = 10^{ab}\) (beim Potenzieren multipliziert man sie). „4-mal mit 10 multipliziert“ mal „5-mal mit 10 multipliziert“ ist insgesamt 9-mal mit 10 multipliziert. Wenn Sie so zählen, können Sie die Regeln herleiten, ohne sie auswendig zu lernen. |
| Koeffizient (Signifikand) | Das \(a\) in \(a \times 10^{n}\) (die Ziffern). Die Schwesterseite „Wissenschaftliche Schreibweise umrechnen“ erklärt es ausführlich. |
| Exponent | Die kleine Zahl oben rechts an einer Zahl. Auf dieser Seite gibt sie an, wie oft mit 10 multipliziert wird (oder, wenn sie negativ ist, wie oft durch 10 geteilt wird), und legt die Größe der Zahl fest. |
| Normierung | Eine Zahl so anpassen, dass der Betrag des Koeffizienten mindestens 1 und kleiner als 10 ist. Ergibt eine Rechnung etwas wie \(17{,}5 \times 10^{3}\), schreibt man es als \(1{,}75 \times 10^{4}\). |
| gültige Ziffer (signifikante Stelle) | Wie viele Ziffern einer Zahl, von der ersten von 0 verschiedenen Ziffer an gezählt, man als verlässlich verwenden kann. Auf dieser Seite wird der Koeffizient des Ergebnisses auf diese Anzahl von Ziffern gerundet. |
| E-Notation | Eine Schreibweise, die den Teil \(\times 10^{n}\) mit dem Buchstaben e (oder E) schreibt, zum Beispiel 6e9 für \(6 \times 10^{9}\). Auch das Ergebnis auf dieser Seite hat eine Zeile in E-Notation. Die Schwesterseite „Wissenschaftliche Schreibweise umrechnen“ erklärt sie ausführlich. |
Was Sie vorab wissen sollten
Hier steht, was Ihnen hilft, die Rechnung dieser Seite wirklich zu verstehen und nicht nur den Knopf zu drücken.
| Potenzen und Exponenten (Klasse 5–6, 10–12 Jahre) |
|
| Grundlagen der wissenschaftlichen Schreibweise (Klasse 9–10, 14–16 Jahre) |
|
| Potenzgesetze (Klasse 9–10, 14–16 Jahre) |
|
| Negative Exponenten (Klasse 9–10, 14–16 Jahre) |
|
| Quadratwurzeln (Klasse 9, 14–15 Jahre) |
|
Mit Excel berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle zum Addieren und Subtrahieren (Exponenten angleichen, dann die Koeffizienten verrechnen)
| Koeffizient von X | 1,23 |
| Exponent von X | 7 |
| Koeffizient von Y | 3,45 |
| Exponent von Y | 2 |
| X + Y | =B1*10^B2+B3*10^B4 |
| X − Y | =B1*10^B2-B3*10^B4 |
Tabelle zum Multiplizieren und Dividieren (Koeffizienten multiplizieren oder dividieren, Exponenten addieren oder subtrahieren)
| Koeffizient von X | 8 |
| Exponent von X | 6 |
| Koeffizient von Y | 2 |
| Exponent von Y | 2 |
| X × Y | =(B1*10^B2)*(B3*10^B4) |
| X ÷ Y | =(B1*10^B2)/(B3*10^B4) |
Tabelle zum Potenzieren und Wurzelziehen (den Exponenten multiplizieren oder halbieren)
| Koeffizient von X | 4 |
| Exponent von X | 6 |
| Hochzahl k | 2 |
| X hoch k | =(B1*10^B2)^B3 |
| √X (Quadratwurzel) | =WURZEL(B1*10^B2) |
In der ersten Tabelle geben Sie in B1 bis B4 die Koeffizienten und Exponenten von X und Y ein. B5 zeigt die Summe (mit den Beispielwerten 12300345) und B6 die Differenz (12299655).
In der zweiten Tabelle ist B5 das Produkt (mit den Beispielwerten 1600000000 = 1,6×10⁹) und B6 der Quotient (40000 = 4×10⁴).
In der dritten Tabelle ist B4 die Potenz (mit den Beispielwerten 1,6×10¹³) und B5 die Quadratwurzel (2000 = 2×10³).
Um ein Ergebnis in wissenschaftlicher Schreibweise (E-Notation) wie 1,23E+07 zu sehen, stellen Sie das Format der Ergebniszelle auf Wissenschaft um (Start → Zahlenformat → Wissenschaft).
In der zweiten Tabelle ist B5 das Produkt (mit den Beispielwerten 1600000000 = 1,6×10⁹) und B6 der Quotient (40000 = 4×10⁴).
In der dritten Tabelle ist B4 die Potenz (mit den Beispielwerten 1,6×10¹³) und B5 die Quadratwurzel (2000 = 2×10³).
Um ein Ergebnis in wissenschaftlicher Schreibweise (E-Notation) wie 1,23E+07 zu sehen, stellen Sie das Format der Ergebniszelle auf Wissenschaft um (Start → Zahlenformat → Wissenschaft).
Mit Google Tabellen berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle zum Addieren und Subtrahieren (Exponenten angleichen, dann die Koeffizienten verrechnen)
| Koeffizient von X | 1,23 |
| Exponent von X | 7 |
| Koeffizient von Y | 3,45 |
| Exponent von Y | 2 |
| X + Y | =B1*10^B2+B3*10^B4 |
| X − Y | =B1*10^B2-B3*10^B4 |
Tabelle zum Multiplizieren und Dividieren (Koeffizienten multiplizieren oder dividieren, Exponenten addieren oder subtrahieren)
| Koeffizient von X | 8 |
| Exponent von X | 6 |
| Koeffizient von Y | 2 |
| Exponent von Y | 2 |
| X × Y | =(B1*10^B2)*(B3*10^B4) |
| X ÷ Y | =(B1*10^B2)/(B3*10^B4) |
Tabelle zum Potenzieren und Wurzelziehen (den Exponenten multiplizieren oder halbieren)
| Koeffizient von X | 4 |
| Exponent von X | 6 |
| Hochzahl k | 2 |
| X hoch k | =(B1*10^B2)^B3 |
| √X (Quadratwurzel) | =WURZEL(B1*10^B2) |
Dieselben Formeln wie in Excel funktionieren unverändert. Kopieren Sie die gesamte Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie B1 bis B4 (in der dritten Tabelle B1 bis B3) durch Ihre eigenen Zahlen.
Ein Ergebnis lässt sich mit Format → Zahl → Wissenschaftlich in wissenschaftliche Schreibweise (E-Notation) umstellen.
Ein Ergebnis lässt sich mit Format → Zahl → Wissenschaftlich in wissenschaftliche Schreibweise (E-Notation) umstellen.
Mit Python berechnen
import math
x = 1.23e7 # X = 1.23×10^7 (kann als Literal in E-Notation geschrieben werden)
y = 3.45e2 # Y = 3.45×10^2
print(x + y) # Addition → 12300345.0
print(f"{x * y:.4e}") # Multiplikation in E-Notation → 4.2435e+09
print(f"{x ** 2:.4e}") # Quadrat → 1.5129e+14
print(f"{math.sqrt(x):.4e}") # Quadratwurzel → 3.5071e+03
Läuft nur mit der Standardbibliothek. In Python können Sie Zahlen direkt als Literale in E-Notation wie 1e7 schreiben und Ergebnisse mit einem f-String-Format wie „.4e“ (E-Notation mit 4 Nachkommastellen im Koeffizienten) im Stil der wissenschaftlichen Schreibweise anzeigen. Gleitkommazahlen sind auf etwa 15 bis 16 gültige Ziffern genau, für mehr Ziffern nutzen Sie das Modul decimal der Standardbibliothek. Ändern Sie die Zahlen ganz oben und führen Sie den Code aus.
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
Addieren und Subtrahieren (Exponenten angleichen, dann die Koeffizienten addieren oder subtrahieren)
a × 10ⁿ + b × 10ⁿ = (a + b) × 10ⁿ
a \times 10^{n} + b \times 10^{n} = (a + b) \times 10^{n}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>a</mi><mo>×</mo><msup><mn>10</mn><mi>n</mi></msup>
<mo>+</mo>
<mi>b</mi><mo>×</mo><msup><mn>10</mn><mi>n</mi></msup>
<mo>=</mo>
<mo>(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo>)</mo>
<mo>×</mo><msup><mn>10</mn><mi>n</mi></msup>
</mrow>
</math>
a * 10^n + b * 10^n = (a + b) * 10^n
1.23*10^7 + 3.45*10^2
evalf(1.23*10^7 + 3.45*10^2);
R = 1.23e7 + 3.45e2;
a × 10^n + b × 10^n = (a + b) × 10^n
Multiplizieren und Dividieren (Koeffizienten multiplizieren oder dividieren, Exponenten addieren oder subtrahieren)
(a × 10ᵐ) × (b × 10ⁿ) = ab × 10ᵐ⁺ⁿ, (a × 10ᵐ) ÷ (b × 10ⁿ) = (a ÷ b) × 10ᵐ⁻ⁿ
(a \times 10^{m}) \times (b \times 10^{n}) = ab \times 10^{m+n}, \quad (a \times 10^{m}) \div (b \times 10^{n}) = \dfrac{a}{b} \times 10^{m-n}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mo>(</mo><mi>a</mi><mo>×</mo><msup><mn>10</mn><mi>m</mi></msup><mo>)</mo>
<mo>×</mo>
<mo>(</mo><mi>b</mi><mo>×</mo><msup><mn>10</mn><mi>n</mi></msup><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi><mi>b</mi><mo>×</mo>
<msup><mn>10</mn><mrow><mi>m</mi><mo>+</mo><mi>n</mi></mrow></msup>
</mrow>
</math>
(a * 10^m) * (b * 10^n) = a b * 10^(m+n), (a * 10^m) -: (b * 10^n) = (a -: b) * 10^(m-n)
(2*10^4) * (3*10^5)
evalf((2*10^4) * (3*10^5));
R1 = (2e4) * (3e5); R2 = (8e6) / (2e2);
(a × 10^m) × (b × 10^n) = ab × 10^(m+n), (a × 10^m) ÷ (b × 10^n) = (a ÷ b) × 10^(m−n)
Potenzieren und Wurzelziehen (den Exponenten multiplizieren oder halbieren)
(a × 10ᵐ)ᵏ = aᵏ × 10ᵐᵏ
(a \times 10^{m})^{k} = a^{k} \times 10^{mk}, \quad \sqrt{a \times 10^{m}} = \sqrt{a} \times 10^{m/2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup>
<mrow><mo>(</mo><mi>a</mi><mo>×</mo><msup><mn>10</mn><mi>m</mi></msup><mo>)</mo></mrow>
<mi>k</mi>
</msup>
<mo>=</mo>
<msup><mi>a</mi><mi>k</mi></msup>
<mo>×</mo>
<msup><mn>10</mn><mrow><mi>m</mi><mi>k</mi></mrow></msup>
</mrow>
</math>
(a * 10^m)^k = a^k * 10^(m k), sqrt(a * 10^m) = sqrt(a) * 10^(m/2)
{(2*10^3)^2, Sqrt[4*10^6]}
evalf((2*10^3)^2); evalf(sqrt(4*10^6));
R1 = (2e3)^2; R2 = sqrt(4e6);
(a × 10^m)^k = a^k × 10^(mk), √(a × 10^m) = √a × 10^(m/2)
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
Sie sind ein Rechenassistent für die wissenschaftliche Schreibweise. Führen Sie die folgenden Berechnungen aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort ausschließlich auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (nicht im Kopf rechnen und nicht schätzen). Berechnen Sie die folgenden vier Aufgaben und geben Sie jede Antwort sowohl (a) in wissenschaftlicher Schreibweise (ein Koeffizient mit einem Betrag von mindestens 1 und weniger als 10 × eine Zehnerpotenz) als auch (b) als gewöhnliche Zahl (Dezimalschreibweise) an. 1. (1,23 × 10^7) + (3,45 × 10^2) 2. (2 × 10^4) × (3 × 10^5) 3. (2 × 10^3) zum Quadrat 4. √(4 × 10^6) Erklären Sie außerdem, wie bei der Multiplikation das Vorgehen „Koeffizienten multiplizieren, Exponenten addieren“ angewendet wurde. Zeigen Sie den verwendeten Code und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis.
Anleitung
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1Zahlen eingebenGeben Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
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2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
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3Ergebnis ablesenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
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