Rechnen mit Zehnerpotenzen – wissenschaftliche Schreibweise (addieren, multiplizieren, dividieren, potenzieren)
Geben Sie die beiden Zahlen X und Y jeweils aufgeteilt in Vorfaktor (die Ziffern) und Exponent (die Hochzahl der Zehnerpotenz) ein und wählen Sie die Rechenart. Die Formel darunter ist mit den Feldern verbunden – Sie können Vorfaktoren und Exponenten auch direkt darin ändern. Das Ergebnis erscheint in wissenschaftlicher Schreibweise, E-Schreibweise und Dezimalschreibweise, mit Rechenweg wie „Exponenten angleichen“ oder „Exponenten addieren“.
Der Vorfaktor ist eine Zahl wie 1,23 (er muss nicht zwischen 1 und 10 liegen), der Exponent eine ganze Zahl von −99 bis 99. Bei „Quadratwurzel √X“ und „Quadrat X²“ werden die Felder für Y nicht verwendet (Eingaben dort werden ignoriert).
Ergebnis
Geben Sie links Vorfaktor und Exponent von X und Y ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Hier erscheinen dann das Ergebnis (wissenschaftliche Schreibweise, E-Schreibweise und Dezimalschreibweise) und der Rechenweg.
Inhaltsverzeichnis
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Das können Sie auf dieser Seite
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Wofür braucht man diese Berechnung?
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Anleitung
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Formel
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Symbole und Begriffe
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Das sollten Sie vorher wissen
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So berechnen Sie es in Excel
-
So berechnen Sie es in Google Tabellen
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So berechnen Sie es in Python
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So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
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So lassen Sie ChatGPT rechnen
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Das können Sie auf dieser Seite
- Zahlen in wissenschaftlicher Schreibweise (der Form \(a \times 10^{n}\)) wie \((1{,}23 \times 10^{7}) + (3{,}45 \times 10^{2})\) addieren, subtrahieren, multiplizieren, dividieren, potenzieren, quadrieren und die Quadratwurzel ziehen
- Der Rechenweg zeigt die Regeln wie „erst die Exponenten angleichen, dann die Vorfaktoren addieren“ oder „Vorfaktoren multiplizieren, Exponenten addieren“ – so lernen Sie den Weg, nicht nur das Ergebnis
- Das Ergebnis erscheint in wissenschaftlicher Schreibweise, E-Schreibweise und Dezimalschreibweise. Die Anzahl der geltenden Ziffern (auf wie viele Ziffern der Vorfaktor gerundet wird) wählen Sie von 1 bis 30 (leer: 10)
- Rechnungen mit sehr großen oder sehr kleinen Zahlen wie „Lichtgeschwindigkeit mal Zeit“ in Physik oder Stoffmengen in Chemie fehlerfrei prüfen
- Außerdem auf dieser Seite: eine leicht verständliche Erklärung der Formeln und Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python
Möglich sind Exponenten (Hochzahlen der Zehnerpotenz) von −99 bis 99 und Vorfaktoren mit höchstens 30 geltenden Ziffern; auch der Exponent des Ergebnisses muss zwischen −99 und 99 liegen. Zum Umrechnen zwischen gewöhnlichen Zahlen und wissenschaftlicher Schreibweise nutzen Sie die Schwesterseite „Wissenschaftliche Schreibweise umrechnen“.
Wofür braucht man diese Berechnung?
Wie weit Licht in einem Jahr kommt (ein Lichtjahr)
Die Lichtgeschwindigkeit beträgt rund \(3{,}0 \times 10^{8}\) m/s, ein Jahr hat rund \(3{,}15 \times 10^{7}\) Sekunden. Die Strecke, die Licht in einem Jahr zurücklegt, ist eine Multiplikation: Die Vorfaktoren ergeben \(3{,}0 \times 3{,}15 = 9{,}45\), die Exponenten \(8 + 7 = 15\) – also rund \(9{,}5 \times 10^{15}\) m (ein Lichtjahr sind genau rund \(9{,}46 \times 10^{15}\) m).
Die Potenzgesetze machen aus einer Multiplikation mit 15 Nullen eine Rechnung mit zwei Ziffern – darin liegt ihre Stärke.
Stoffmengen in der Chemie (mal Avogadro-Konstante)
1 Mol eines Stoffes enthält rund \(6{,}02 \times 10^{23}\) Teilchen (Avogadro-Konstante). In 0,5 Mol Wasser stecken also \(0{,}5 \times 6{,}02 \times 10^{23} = 3{,}01 \times 10^{23}\) Wassermoleküle.
Stoffmengen-Rechnungen in der Chemie sind eine Kette aus Multiplikationen und Divisionen mit der Avogadro-Konstante. Die Regel dieser Seite, Vorfaktoren und Exponenten getrennt zu behandeln, bringt direkt bessere Noten.
Wie lange Sonnenlicht bis zur Erde braucht (Strecke : Geschwindigkeit)
Die Sonne ist rund \(1{,}5 \times 10^{11}\) m von der Erde entfernt. Teilt man durch die Lichtgeschwindigkeit \(3 \times 10^{8}\) m/s, ergeben die Vorfaktoren \(1{,}5 \div 3 = 0{,}5\) und die Exponenten \(11 - 8 = 3\), also \(0{,}5 \times 10^{3} = 5 \times 10^{2}\) Sekunden – rund 8 Minuten und 20 Sekunden.
In der Astronomie sind Strecken und Geschwindigkeiten riesig, deshalb kommt das Subtrahieren von Exponenten bei jeder Division vor.
Größen vergleichen (wie viel größer ist ein Mensch als ein Virus?)
Ein Virus hat einen Durchmesser von etwa \(1 \times 10^{-7}\) m, ein Mensch ist etwa \(1{,}7 \times 10^{0}\) m groß. Die Division ergibt \(1{,}7 \div 1 = 1{,}7\) und den Exponenten \(0 - (-7) = 7\) – ein Mensch ist also rund \(1{,}7 \times 10^{7}\)-mal (17 Millionen Mal) so groß wie ein Virus.
Auch Divisionen mit negativen Exponenten rechnet man mit der einen Regel „Exponenten subtrahieren“ ganz mechanisch.
Rechnen mit Messwerten und geltenden Ziffern
In Versuchen und Protokollen multipliziert man oft Messwerte mit geltenden Ziffern. Ein Grundstück von \(2{,}5 \times 10^{2}\) m Länge und \(4{,}0 \times 10^{1}\) m Breite hat zum Beispiel die Fläche \(2{,}5 \times 4{,}0 = 10\) mit dem Exponenten \(2 + 1 = 3\), also \(10 \times 10^{3} = 1{,}0 \times 10^{4}\) m².
Mit der wissenschaftlichen Schreibweise behält man beim Rechnen im Blick, wie viele Ziffern des Ergebnisses verlässlich sind (geltende Ziffern). Deshalb ist sie der Standard für Rechnungen mit Messwerten.
Formel
Addieren und Subtrahieren (erst Exponenten angleichen, dann Vorfaktoren verrechnen)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(X + Y\)
\(=\)
\((\)
\(a\)
\(+\)
\(b\)
\()\)
\(\times\)
\(10\)
\(n\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
⑤
\(X + Y\): Summe
\(=\)
\((\)
①
\(a\): Vorfaktor von \(X\) nach dem Angleichen
\(+\)
②
\(b\): Vorfaktor von \(Y\) nach dem Angleichen
\()\)
\(\times\)
③
\(10\): Basis
④
\(n\): angeglichener Exponent
Die Formel in Worten
①
Man gleicht die Exponenten von \(X\) und \(Y\) an, addiert dann den
\(a\): Vorfaktor von \(X\) nach dem Angleichen
②
und den
\(b\): Vorfaktor von \(Y\) nach dem Angleichen
und multipliziert die Summe mit der
③
\(10\): Basis
④
hoch dem
\(n\): angeglichenen Exponenten
(also mit \(10^n\)). So erhält man die
⑤
\(X + Y\): Summe
(beim Subtrahieren genauso, nur werden die Vorfaktoren subtrahiert).
Einfaches Beispiel
\(1{,}23 \times 10^{7}\) plus \(3{,}45 \times 10^{2}\) (angeglichen an den größeren Exponenten 7 ist \(3{,}45 \times 10^{2} = 0{,}0000345 \times 10^{7}\)):
Summe (1,2300345 × 10⁷)
\(=\)
\((\)
1,23
\(+\)
0,0000345
\()\)
\(\times\)
Basis 10
angeglichener Exponent (7)
\(1{,}23 \times 10^{7} + 3{,}45 \times 10^{2} = (1{,}23 + 0{,}0000345) \times 10^{7}\)
\(= 1{,}2300345 \times 10^{7} = 12300345\)
Der Grundgedanke
Bei unterschiedlichen Exponenten stehen die Stellen nicht untereinander, die Vorfaktoren lassen sich also nicht einfach addieren. Wie beim schriftlichen Addieren, wo man die Stellen untereinanderschreibt, gleicht man zuerst die Exponenten (die Stellenwerte) an – das ist der Kern dieser Rechnung. Man kann an jeden der beiden Exponenten angleichen, üblich ist der größere.
Liegt der Betrag des Vorfaktors nach der Rechnung nicht mehr zwischen 1 und 10, wird wieder normiert (z. B. \(9{,}2 \times 10^{3} + 8{,}3 \times 10^{3} = 17{,}5 \times 10^{3} = 1{,}75 \times 10^{4}\)).
Multiplizieren und Dividieren (Vorfaktoren multiplizieren bzw. dividieren, Exponenten addieren bzw. subtrahieren)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(X \times Y\)
\(=\)
\((\)
\(a\)
\(\times\)
\(b\)
\()\)
\(\times\)
\(10\)
\(m + n\)
\(X \div Y\)
\(=\)
\((\)
\(a\)
\(\div\)
\(b\)
\()\)
\(\times\)
\(10\)
\(m - n\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
④
\(X \times Y\): Produkt
\(=\)
\((\)
①
\(a\): Vorfaktor von \(X\)
\(\times\)
②
\(b\): Vorfaktor von \(Y\)
\()\)
\(\times\)
\(10\): Basis
③
\(m + n\): Summe der Exponenten
⑧
\(X \div Y\): Quotient
\(=\)
\((\)
⑤
\(a\): Vorfaktor von \(X\)
\(\div\)
⑥
\(b\): Vorfaktor von \(Y\)
\()\)
\(\times\)
\(10\): Basis
⑦
\(m - n\): Differenz der Exponenten
Die Formel in Worten
①
Beim Multiplizieren multipliziert man den
\(a\): Vorfaktor von \(X\)
②
mit dem
\(b\): Vorfaktor von \(Y\)
und dann mit 10 hoch der
③
\(m + n\): Summe der Exponenten
(\(10^{m+n}\), Exponenten addiert) und erhält das
④
\(X \times Y\): Produkt
.
⑤
Beim Dividieren dividiert man den
\(a\): Vorfaktor von \(X\)
⑥
durch den
\(b\): Vorfaktor von \(Y\)
und multipliziert mit 10 hoch der
⑦
\(m - n\): Differenz der Exponenten
(\(10^{m-n}\), Exponenten subtrahiert) und erhält den
⑧
\(X \div Y\): Quotient
.
Einfaches Beispiel
\(2 \times 10^{4}\) mal \(3 \times 10^{5}\):
Produkt (6 × 10⁹)
\(=\)
\((\)
2
\(\times\)
3
\()\)
\(\times\)
Basis 10
Summe der Exponenten (4 + 5 = 9)
\((2 \times 10^{4}) \times (3 \times 10^{5}) = (2 \times 3) \times 10^{4+5} = 6 \times 10^{9}\)
\((8 \times 10^{6}) \div (2 \times 10^{2}) = (8 \div 2) \times 10^{6-2} = 4 \times 10^{4}\)
Der Grundgedanke
Beim Multiplizieren werden die Exponenten addiert, weil das Potenzgesetz \(10^{m} \times 10^{n} = 10^{m+n}\) gilt: „\(m\)-mal die 10 als Faktor“ mal „\(n\)-mal die 10 als Faktor“ ergibt insgesamt \(m + n\)-mal die 10. Beim Dividieren ist es umgekehrt, \(10^{m} \div 10^{n} = 10^{m-n}\) – die Exponenten werden subtrahiert.
Ist das Produkt der Vorfaktoren 10 oder größer, wird normiert (z. B. \((4 \times 10^{3}) \times (5 \times 10^{4}) = 20 \times 10^{7} = 2 \times 10^{8}\)).
Potenzieren und Wurzelziehen (Exponent multiplizieren bzw. halbieren)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(X^{k}\)
\(=\)
\(a\)
\(k\)
\(\times\)
\(10\)
\(m k\)
\(\sqrt{X}\)
\(=\)
\(\sqrt{a}\)
\(\times\)
\(10\)
\(m/2\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
④
\(X^k\): X hoch k
\(=\)
①
\(a\): Vorfaktor von \(X\)
②
\(k\): Hochzahl
\(\times\)
\(10\): Basis
③
\(m \times k\): Produkt der Exponenten
⑦
\(\sqrt{X}\): Quadratwurzel aus X
\(=\)
⑤
\(\sqrt{a}\): Quadratwurzel aus dem Vorfaktor
\(\times\)
\(10\): Basis
⑥
\(m \div 2\): halber Exponent
Die Formel in Worten
①
Beim Potenzieren (hoch \(k\)) nimmt man den
\(a\): Vorfaktor von \(X\)
②
hoch die
\(k\): Hochzahl
und multipliziert mit 10 hoch dem
③
\(m \times k\): Produkt der Exponenten
(\(10^{mk}\), Exponent \(m\) mal \(k\)). So erhält man
④
\(X^k\): X hoch k
.
⑤
Beim Wurzelziehen multipliziert man die
\(\sqrt{a}\): Quadratwurzel aus dem Vorfaktor
⑥
mit 10 hoch dem
\(m \div 2\): halben Exponenten
und erhält die
⑦
\(\sqrt{X}\): Quadratwurzel aus X
(ist der Exponent \(m\) ungerade, nimmt man zuerst den Vorfaktor mal 10 und verkleinert den Exponenten um 1, damit er gerade wird, und halbiert dann).
Einfaches Beispiel
Das Quadrat von \(2 \times 10^{3}\) und die Quadratwurzel aus \(4 \times 10^{6}\):
X hoch 2 (4 × 10⁶)
\(=\)
Vorfaktor (2)
Hochzahl (2)
\(\times\)
Basis 10
Produkt der Exponenten (3 × 2 = 6)
\((2 \times 10^{3})^{2} = 2^{2} \times 10^{3 \times 2} = 4 \times 10^{6}\)
\(\sqrt{4 \times 10^{6}} = \sqrt{4} \times 10^{6 \div 2} = 2 \times 10^{3}\)
Der Grundgedanke
Beim Potenzieren werden die Exponenten multipliziert, weil das Potenzgesetz \((10^{m})^{k} = 10^{mk}\) gilt: \(k\)-mal \(10^{m}\) als Faktor ergibt insgesamt \(m \times k\)-mal die 10. Die Quadratwurzel ist „die Zahl, die quadriert wieder die Ausgangszahl ergibt“ – sie macht das Umgekehrte und halbiert den Exponenten.
Ist der Exponent ungerade, lässt er sich so nicht halbieren. Dann nimmt man zuerst den Vorfaktor mal 10, damit der Exponent gerade wird (z. B. \(\sqrt{4 \times 10^{7}} = \sqrt{40 \times 10^{6}} = \sqrt{40} \times 10^{3} \approx 6{,}32 \times 10^{3}\)).
Der Trick beim Rechnen mit Zehnerpotenzen – Vorfaktoren und Exponenten getrennt behandeln. Beim Addieren und Subtrahieren erst die Exponenten angleichen, dann die Vorfaktoren addieren bzw. subtrahieren. Beim Multiplizieren und Dividieren die Vorfaktoren multiplizieren bzw. dividieren und die Exponenten addieren bzw. subtrahieren. Beim Potenzieren den Exponenten mit \(k\) multiplizieren, beim Wurzelziehen halbieren. Zum Schluss so normieren, dass der Betrag des Vorfaktors mindestens 1 und kleiner als 10 ist.
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(X\), \(Y\) | X Y | Die beiden Zahlen der Rechnung. Auf dieser Seite gibt man jede als „Vorfaktor mal 10 hoch Exponent“ ein (z. B. \(X = 1{,}23 \times 10^{7}\)). |
| \(a\), \(b\) | a b | Die Vorfaktoren (die Ziffern) von \(X\) und \(Y\). In normierter Form liegt ihr Betrag zwischen 1 (einschließlich) und 10 (ausschließlich). |
| \(m\), \(n\) | m n | Die Exponenten von \(X\) und \(Y\) – wie oft mit 10 multipliziert wird. Sie tragen die Größenordnung der Zahl; ein negativer Exponent steht für eine kleine Zahl unter 1. |
| \(k\) | k | Die Hochzahl, mit der \(X\) potenziert wird. Auf dieser Seite ist das der Wert von \(Y\), wenn Sie „Potenz X^Y“ wählen. |
| \(10^{m+n}\) | 10 hoch m plus n | Die Zehnerpotenz aus dem Potenzgesetz, das Ergebnis von \(10^{m} \times 10^{n}\) (z. B. \(10^{4} \times 10^{5} = 10^{9}\)). |
| \(\sqrt{X}\) | Quadratwurzel aus X (Wurzel X) | Die Quadratwurzel aus \(X\): die Zahl ab 0, die quadriert wieder \(X\) ergibt (z. B. \(\sqrt{4 \times 10^{6}} = 2 \times 10^{3}\)). |
Begriffe
| Potenzgesetze (Potenzgesetz) | Regeln, mit denen man Rechnungen mit Potenzen in Addition, Subtraktion oder Multiplikation von Exponenten verwandelt – der Kern dieser Seite. Die wichtigsten sind \(10^{a} \times 10^{b} = 10^{a+b}\) (beim Multiplizieren Exponenten addieren, z. B. \(10^{4} \times 10^{5} = 10^{9}\)), \(10^{a} \div 10^{b} = 10^{a-b}\) (beim Dividieren subtrahieren) und \((10^{a})^{b} = 10^{ab}\) (beim Potenzieren multiplizieren). „4-mal die 10 als Faktor“ mal „5-mal die 10 als Faktor“ ergibt 9-mal die 10. Wer so mitzählt, kann die Regeln herleiten, ohne sie auswendig zu lernen. |
| Vorfaktor (Mantisse, Koeffizient) | Das \(a\) in \(a \times 10^{n}\) (die Ziffern). Ausführlich erklärt auf der Schwesterseite „Wissenschaftliche Schreibweise umrechnen“. |
| Exponent (Hochzahl) | Die kleine Zahl rechts oben. Auf dieser Seite gibt sie an, wie oft mit 10 multipliziert (bei negativem Exponenten: geteilt) wird, und trägt damit die Größenordnung der Zahl. |
| normieren (Normierung) | Eine Zahl so umschreiben, dass der Betrag des Vorfaktors mindestens 1 und kleiner als 10 ist. Kommt in der Rechnung etwa \(17{,}5 \times 10^{3}\) heraus, schreibt man \(1{,}75 \times 10^{4}\). |
| geltende Ziffern (signifikante Stellen) | Wie viele Ziffern einer Zahl, gezählt ab der ersten Ziffer ungleich 0, verlässlich sind und verwendet werden. Auf dieser Seite wird der Vorfaktor des Ergebnisses auf diese Anzahl gerundet. |
| E-Schreibweise (E-Notation) | Eine Schreibweise, die \(\times 10^{n}\) durch den Buchstaben e (oder E) ersetzt, z. B. 6e9 für \(6 \times 10^{9}\). Auch das Ergebnis dieser Seite hat eine Zeile in E-Schreibweise. Ausführlich erklärt auf der Schwesterseite „Wissenschaftliche Schreibweise umrechnen“. |
Das sollten Sie vorher wissen
Damit Sie die Berechnung auf dieser Seite nicht nur per Knopfdruck, sondern mit echtem Verständnis nutzen, ist hier zusammengestellt, was Sie vorher wissen sollten.
| Potenzen und Exponenten (Klasse 5–6, 10–12 Jahre) |
|
| Grundlagen der wissenschaftlichen Schreibweise (Klasse 8–9, 13–15 Jahre) |
|
| Potenzgesetze (Klasse 9–10, 14–16 Jahre) |
|
| Negative Exponenten (Klasse 8–9, 13–15 Jahre) |
|
| Quadratwurzeln (Klasse 8–9, 13–15 Jahre) |
|
So berechnen Sie es in Excel
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle zum Addieren und Subtrahieren (Exponenten angleichen, Vorfaktoren verrechnen)
| Vorfaktor von X | 1,23 |
| Exponent von X | 7 |
| Vorfaktor von Y | 3,45 |
| Exponent von Y | 2 |
| X + Y | =B1*10^B2+B3*10^B4 |
| X − Y | =B1*10^B2-B3*10^B4 |
Tabelle zum Multiplizieren und Dividieren (Vorfaktoren multiplizieren bzw. dividieren, Exponenten addieren bzw. subtrahieren)
| Vorfaktor von X | 8 |
| Exponent von X | 6 |
| Vorfaktor von Y | 2 |
| Exponent von Y | 2 |
| X × Y | =(B1*10^B2)*(B3*10^B4) |
| X ÷ Y | =(B1*10^B2)/(B3*10^B4) |
Tabelle zum Potenzieren und Wurzelziehen (Exponent multiplizieren bzw. halbieren)
| Vorfaktor von X | 4 |
| Exponent von X | 6 |
| Hochzahl k | 2 |
| X hoch k | =(B1*10^B2)^B3 |
| √X (Quadratwurzel) | =WURZEL(B1*10^B2) |
In der ersten Tabelle tragen Sie Vorfaktoren und Exponenten von X und Y in B1 bis B4 ein. B5 zeigt die Summe (mit den Beispielwerten 12300345), B6 die Differenz (12299655).
In der zweiten Tabelle ist B5 das Produkt (mit den Beispielwerten 1600000000 = 1,6 × 10⁹) und B6 der Quotient (40000 = 4 × 10⁴).
In der dritten Tabelle ist B4 die Potenz (mit den Beispielwerten 1,6 × 10¹³) und B5 die Quadratwurzel (2000 = 2 × 10³).
Um ein Ergebnis in wissenschaftlicher Schreibweise (E-Schreibweise) wie 1,23E+07 zu sehen, stellen Sie das Format der Ergebniszelle auf „Wissenschaftlich“ (Start → Zahlenformat → Wissenschaftlich).
In der zweiten Tabelle ist B5 das Produkt (mit den Beispielwerten 1600000000 = 1,6 × 10⁹) und B6 der Quotient (40000 = 4 × 10⁴).
In der dritten Tabelle ist B4 die Potenz (mit den Beispielwerten 1,6 × 10¹³) und B5 die Quadratwurzel (2000 = 2 × 10³).
Um ein Ergebnis in wissenschaftlicher Schreibweise (E-Schreibweise) wie 1,23E+07 zu sehen, stellen Sie das Format der Ergebniszelle auf „Wissenschaftlich“ (Start → Zahlenformat → Wissenschaftlich).
So berechnen Sie es in Google Tabellen
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle zum Addieren und Subtrahieren (Exponenten angleichen, Vorfaktoren verrechnen)
| Vorfaktor von X | 1,23 |
| Exponent von X | 7 |
| Vorfaktor von Y | 3,45 |
| Exponent von Y | 2 |
| X + Y | =B1*10^B2+B3*10^B4 |
| X − Y | =B1*10^B2-B3*10^B4 |
Tabelle zum Multiplizieren und Dividieren (Vorfaktoren multiplizieren bzw. dividieren, Exponenten addieren bzw. subtrahieren)
| Vorfaktor von X | 8 |
| Exponent von X | 6 |
| Vorfaktor von Y | 2 |
| Exponent von Y | 2 |
| X × Y | =(B1*10^B2)*(B3*10^B4) |
| X ÷ Y | =(B1*10^B2)/(B3*10^B4) |
Tabelle zum Potenzieren und Wurzelziehen (Exponent multiplizieren bzw. halbieren)
| Vorfaktor von X | 4 |
| Exponent von X | 6 |
| Hochzahl k | 2 |
| X hoch k | =(B1*10^B2)^B3 |
| √X (Quadratwurzel) | =WURZEL(B1*10^B2) |
Dieselben Formeln wie in Excel funktionieren unverändert. Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie B1 bis B4 (in der dritten Tabelle B1 bis B3) durch Ihre eigenen Zahlen.
Unter Format → Zahl → Wissenschaftlich stellen Sie ein Ergebnis auf wissenschaftliche Schreibweise (E-Schreibweise) um.
Unter Format → Zahl → Wissenschaftlich stellen Sie ein Ergebnis auf wissenschaftliche Schreibweise (E-Schreibweise) um.
So berechnen Sie es in Python
import math
x = 1.23e7 # X = 1,23×10^7 (als Literal in E-Schreibweise)
y = 3.45e2 # Y = 3,45×10^2
print(x + y) # Addition → 12300345.0
print(f"{x * y:.4e}") # Multiplikation in E-Schreibweise → 4.2435e+09
print(f"{x ** 2:.4e}") # Quadrat → 1.5129e+14
print(f"{math.sqrt(x):.4e}") # Quadratwurzel → 3.5071e+03
Läuft nur mit der Standardbibliothek. In Python schreibt man Zahlen direkt als Literal in E-Schreibweise (mit Dezimalpunkt) und zeigt Ergebnisse mit einem f-String-Format wie „.4e“ (E-Schreibweise mit 4 Nachkommastellen im Vorfaktor) in wissenschaftlicher Schreibweise an. Gleitkommazahlen sind auf etwa 15 bis 16 geltende Ziffern genau; brauchen Sie mehr, nehmen Sie das Modul decimal der Standardbibliothek. Ersetzen Sie die Zahlen oben und führen Sie den Code aus.
So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
Addieren und Subtrahieren (erst Exponenten angleichen, dann Vorfaktoren verrechnen)
a × 10ⁿ + b × 10ⁿ = (a + b) × 10ⁿ
a \times 10^{n} + b \times 10^{n} = (a + b) \times 10^{n}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>a</mi><mo>×</mo><msup><mn>10</mn><mi>n</mi></msup>
<mo>+</mo>
<mi>b</mi><mo>×</mo><msup><mn>10</mn><mi>n</mi></msup>
<mo>=</mo>
<mo>(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo>)</mo>
<mo>×</mo><msup><mn>10</mn><mi>n</mi></msup>
</mrow>
</math>
a * 10^n + b * 10^n = (a + b) * 10^n
1.23*10^7 + 3.45*10^2
evalf(1.23*10^7 + 3.45*10^2);
R = 1.23e7 + 3.45e2;
a × 10^n + b × 10^n = (a + b) × 10^n
Multiplizieren und Dividieren (Vorfaktoren multiplizieren bzw. dividieren, Exponenten addieren bzw. subtrahieren)
(a × 10ᵐ) × (b × 10ⁿ) = ab × 10ᵐ⁺ⁿ, (a × 10ᵐ) ÷ (b × 10ⁿ) = (a ÷ b) × 10ᵐ⁻ⁿ
(a \times 10^{m}) \times (b \times 10^{n}) = ab \times 10^{m+n}, \quad (a \times 10^{m}) \div (b \times 10^{n}) = \dfrac{a}{b} \times 10^{m-n}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mo>(</mo><mi>a</mi><mo>×</mo><msup><mn>10</mn><mi>m</mi></msup><mo>)</mo>
<mo>×</mo>
<mo>(</mo><mi>b</mi><mo>×</mo><msup><mn>10</mn><mi>n</mi></msup><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi><mi>b</mi><mo>×</mo>
<msup><mn>10</mn><mrow><mi>m</mi><mo>+</mo><mi>n</mi></mrow></msup>
</mrow>
</math>
(a * 10^m) * (b * 10^n) = a b * 10^(m+n), (a * 10^m) -: (b * 10^n) = (a -: b) * 10^(m-n)
(2*10^4) * (3*10^5)
evalf((2*10^4) * (3*10^5));
R1 = (2e4) * (3e5); R2 = (8e6) / (2e2);
(a × 10^m) × (b × 10^n) = ab × 10^(m+n), (a × 10^m) ÷ (b × 10^n) = (a ÷ b) × 10^(m−n)
Potenzieren und Wurzelziehen (Exponent multiplizieren bzw. halbieren)
(a × 10ᵐ)ᵏ = aᵏ × 10ᵐᵏ
(a \times 10^{m})^{k} = a^{k} \times 10^{mk}, \quad \sqrt{a \times 10^{m}} = \sqrt{a} \times 10^{m/2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup>
<mrow><mo>(</mo><mi>a</mi><mo>×</mo><msup><mn>10</mn><mi>m</mi></msup><mo>)</mo></mrow>
<mi>k</mi>
</msup>
<mo>=</mo>
<msup><mi>a</mi><mi>k</mi></msup>
<mo>×</mo>
<msup><mn>10</mn><mrow><mi>m</mi><mi>k</mi></mrow></msup>
</mrow>
</math>
(a * 10^m)^k = a^k * 10^(m k), sqrt(a * 10^m) = sqrt(a) * 10^(m/2)
{(2*10^3)^2, Sqrt[4*10^6]}
evalf((2*10^3)^2); evalf(sqrt(4*10^6));
R1 = (2e3)^2; R2 = sqrt(4e6);
(a × 10^m)^k = a^k × 10^(mk), √(a × 10^m) = √a × 10^(m/2)
So lassen Sie ChatGPT rechnen
Sie sind ein Rechenassistent für die wissenschaftliche Schreibweise. Führen Sie die folgenden Berechnungen aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort ausschließlich auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (nicht im Kopf rechnen und nicht schätzen). Berechnen Sie die folgenden vier Aufgaben und geben Sie jedes Ergebnis sowohl (a) in wissenschaftlicher Schreibweise (Vorfaktor mit Betrag mindestens 1 und kleiner als 10 mal Zehnerpotenz) als auch (b) als gewöhnliche Zahl (Dezimalschreibweise) an. 1. (1,23 × 10^7) + (3,45 × 10^2) 2. (2 × 10^4) × (3 × 10^5) 3. (2 × 10^3) zum Quadrat 4. √(4 × 10^6) Erklären Sie außerdem, wie bei der Multiplikation die Regel „Vorfaktoren multiplizieren, Exponenten addieren“ angewendet wurde. Zeigen Sie den verwendeten Code und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis.
Anleitung
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1Werte eingebenTragen Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
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2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
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3Ergebnis ansehenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
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