Entrez les deux nombres X et Y, chacun en deux parties, la mantisse (les chiffres) et l’exposant (la puissance de 10), puis choisissez l’opération. La formule en dessous est reliée aux champs : vous pouvez aussi taper les mantisses ou les exposants directement dedans. Le résultat s’affiche en écriture scientifique, en notation E et en écriture décimale, avec des étapes comme « on aligne les exposants » ou « on additionne les exposants ».
Entrez chaque mantisse sous forme de nombre comme 1,23 (elle n’a pas besoin d’être comprise entre 1 et 10) et chaque exposant sous forme de nombre entier de −99 à 99. Pour « Racine carrée √X » et « Carré X² », les champs de Y ne servent pas (leur contenu est ignoré).
Résultat
Saisissez les mantisses et les exposants de X et de Y dans les champs à gauche et appuyez sur « Calculer ». Le résultat (en écriture scientifique, en notation E et en écriture décimale) et les étapes s’affichent ici.
Table des matières
-
Ce que vous pouvez faire sur cette page
-
À quoi sert ce calcul ?
-
Mode d'emploi
-
Formule
-
Symboles et termes
-
Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
-
Calculer avec Excel
-
Calculer avec Google Sheets
-
Calculer avec Python
-
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
-
Faire faire le calcul par ChatGPT
-
Les atouts de DataChef
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Fonctions connexes
-
Liste des calculatrices NumberChef
Ce que vous pouvez faire sur cette page
- Additionnez, soustrayez, multipliez, divisez, élevez à une puissance, prenez la racine carrée ou le carré de nombres en écriture scientifique (de la forme \(a \times 10^{n}\)), comme \((1{,}23 \times 10^{7}) + (3{,}45 \times 10^{2})\)
- Les étapes montrent les règles, comme « on aligne les exposants, puis on additionne les mantisses » ou « on multiplie les mantisses et on additionne les exposants » : vous apprenez la méthode, pas seulement le résultat
- Le résultat s’affiche en écriture scientifique, en notation E et en écriture décimale. Vous pouvez aussi choisir le nombre de chiffres significatifs (le nombre de chiffres auquel la mantisse du résultat est arrondie), de 1 à 30 (10 si le champ est vide)
- Vérifiez sans erreur les calculs avec des nombres très grands ou très petits, comme « vitesse de la lumière × durée » en physique ou les calculs de quantité de matière en chimie
- Une explication simple des formules et des formules à copier-coller pour Excel, Google Sheets et Python sont réunies sur cette page
Cette page traite les exposants (puissances de 10) de −99 à 99 et les mantisses de 30 chiffres significatifs au maximum. L’exposant du résultat doit aussi être compris entre −99 et 99. Pour convertir un nombre ordinaire en écriture scientifique, utilisez la page jumelle « Convertir en écriture scientifique ».
À quoi sert ce calcul ?
La distance parcourue par la lumière en un an (une année-lumière)
La lumière va à environ \(3{,}0 \times 10^{8}\) m/s, et une année dure environ \(3{,}15 \times 10^{7}\) secondes. La distance parcourue en un an est une multiplication : les mantisses donnent \(3{,}0 \times 3{,}15 = 9{,}45\) et les exposants \(8 + 7 = 15\), soit environ \(9{,}5 \times 10^{15}\) m (une année-lumière vaut environ \(9{,}46 \times 10^{15}\) m).
Les propriétés des puissances réduisent une multiplication à 15 zéros à un calcul à deux chiffres : c’est toute leur force.
Les calculs de quantité de matière en chimie (multiplier par le nombre d’Avogadro)
1 mole d’une substance contient environ \(6{,}02 \times 10^{23}\) entités (le nombre d’Avogadro). Par exemple, 0,5 mole d’eau contient \(0{,}5 \times 6{,}02 \times 10^{23} = 3{,}01 \times 10^{23}\) molécules d’eau.
Les calculs de quantité de matière au lycée enchaînent les multiplications et divisions par le nombre d’Avogadro : la règle de cette page, traiter séparément mantisses et exposants, fait directement progresser en chimie.
Le temps que met la lumière du Soleil pour atteindre la Terre (distance ÷ vitesse)
Le Soleil est à environ \(1{,}5 \times 10^{11}\) m de la Terre. En divisant par la vitesse de la lumière, \(3 \times 10^{8}\) m/s, les mantisses donnent \(1{,}5 \div 3 = 0{,}5\) et les exposants \(11 - 8 = 3\) : \(0{,}5 \times 10^{3} = 5 \times 10^{2}\) secondes, soit environ 8 minutes et 20 secondes.
En astronomie, distances et vitesses sont énormes : chaque division fait appel à la soustraction des exposants.
Comparer des tailles (combien de fois un humain est-il plus grand qu’un virus ?)
Un virus mesure environ \(1 \times 10^{-7}\) m, et un humain environ \(1{,}7 \times 10^{0}\) m. La division donne \(1{,}7 \div 1 = 1{,}7\) et l’exposant \(0 - (-7) = 7\) : un humain est environ \(1{,}7 \times 10^{7}\) fois (17 millions de fois) plus grand qu’un virus.
Même avec des exposants négatifs, une seule règle, « on soustrait les exposants », suffit pour calculer mécaniquement.
Calculer avec des mesures et des chiffres significatifs (sciences)
En TP comme dans les comptes rendus, on multiplie souvent des mesures avec leurs chiffres significatifs. Par exemple, un terrain de \(2{,}5 \times 10^{2}\) m de long sur \(4{,}0 \times 10^{1}\) m de large a une aire de \(2{,}5 \times 4{,}0 = 10\) avec l’exposant \(2 + 1 = 3\), soit \(10 \times 10^{3} = 1{,}0 \times 10^{4}\) m² (1 hectare).
L’écriture scientifique garde la trace du nombre de chiffres fiables du résultat (les chiffres significatifs) tout au long du calcul : c’est la norme pour les calculs à partir de mesures.
Formule
Addition et soustraction (on aligne les exposants, puis on additionne ou soustrait les mantisses)
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(X + Y\)
\(=\)
\((\)
\(a\)
\(+\)
\(b\)
\()\)
\(\times\)
\(10\)
\(n\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
⑤
\(X + Y\) : somme
\(=\)
\((\)
①
\(a\) : mantisse de \(X\) après alignement des exposants
\(+\)
②
\(b\) : mantisse de \(Y\) après alignement des exposants
\()\)
\(\times\)
③
\(10\) : base
④
\(n\) : exposant commun
La formule en mots
①
On donne le même exposant à \(X\) et à \(Y\). Puis on additionne la
\(a\) : mantisse de \(X\) après alignement des exposants
②
et la
\(b\) : mantisse de \(Y\) après alignement des exposants
, et on multiplie la somme par la
③
\(10\) : base
④
élevée à
\(n\) : exposant commun
(c’est-à-dire \(10^n\))
⑤
pour obtenir la
\(X + Y\) : somme
(la soustraction se fait de la même façon, en soustrayant les mantisses)
Exemple simple
Pour additionner \(1{,}23 \times 10^{7}\) et \(3{,}45 \times 10^{2}\) (en alignant sur le plus grand exposant, 7, on a \(3{,}45 \times 10^{2} = 0{,}0000345 \times 10^{7}\)) :
somme (1,2300345 × 10⁷)
\(=\)
\((\)
1,23
\(+\)
0,0000345
\()\)
\(\times\)
base 10
exposant commun (7)
\(1{,}23 \times 10^{7} + 3{,}45 \times 10^{2} = (1{,}23 + 0{,}0000345) \times 10^{7}\)
\(= 1{,}2300345 \times 10^{7} = 12\,300\,345\)
L’idée clé
Quand les exposants sont différents, les rangs des chiffres ne sont pas alignés : on ne peut pas additionner directement les mantisses. Comme dans une addition posée où l’on aligne les unités, les dizaines, etc., le cœur du calcul est d’aligner d’abord les exposants. On peut aligner sur l’un ou l’autre, mais on choisit en général le plus grand.
Après le calcul, si la valeur absolue de la mantisse n’est plus comprise entre 1 inclus et 10 exclu, on la normalise (par exemple, \(9{,}2 \times 10^{3} + 8{,}3 \times 10^{3} = 17{,}5 \times 10^{3} = 1{,}75 \times 10^{4}\)).
Multiplication et division (on multiplie ou divise les mantisses, on additionne ou soustrait les exposants)
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(X \times Y\)
\(=\)
\((\)
\(a\)
\(\times\)
\(b\)
\()\)
\(\times\)
\(10\)
\(m + n\)
\(X \div Y\)
\(=\)
\((\)
\(a\)
\(\div\)
\(b\)
\()\)
\(\times\)
\(10\)
\(m - n\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
④
\(X \times Y\) : produit
\(=\)
\((\)
①
\(a\) : mantisse de \(X\)
\(\times\)
②
\(b\) : mantisse de \(Y\)
\()\)
\(\times\)
\(10\) : base
③
\(m + n\) : somme des exposants
⑧
\(X \div Y\) : quotient
\(=\)
\((\)
⑤
\(a\) : mantisse de \(X\)
\(\div\)
⑥
\(b\) : mantisse de \(Y\)
\()\)
\(\times\)
\(10\) : base
⑦
\(m - n\) : différence des exposants
La formule en mots
①
Pour multiplier, on multiplie la
\(a\) : mantisse de \(X\)
②
par la
\(b\) : mantisse de \(Y\)
, puis par 10 élevé à la
③
\(m + n\) : somme des exposants
(\(10^{m+n}\), les exposants s’additionnent)
④
pour obtenir le
\(X \times Y\) : produit
⑤
Pour diviser, on divise la
\(a\) : mantisse de \(X\)
⑥
par la
\(b\) : mantisse de \(Y\)
, puis on multiplie par 10 élevé à la
⑦
\(m - n\) : différence des exposants
(\(10^{m-n}\), les exposants se soustraient)
⑧
pour obtenir le
\(X \div Y\) : quotient
Exemple simple
Pour multiplier \(2 \times 10^{4}\) par \(3 \times 10^{5}\) :
produit (6 × 10⁹)
\(=\)
\((\)
2
\(\times\)
3
\()\)
\(\times\)
base 10
somme des exposants (4 + 5 = 9)
\((2 \times 10^{4}) \times (3 \times 10^{5}) = (2 \times 3) \times 10^{4+5} = 6 \times 10^{9}\)
\((8 \times 10^{6}) \div (2 \times 10^{2}) = (8 \div 2) \times 10^{6-2} = 4 \times 10^{4}\)
L’idée clé
Si l’on additionne les exposants dans une multiplication, c’est grâce à la propriété des puissances \(10^{m} \times 10^{n} = 10^{m+n}\) : \(m\) facteurs 10 multipliés par \(n\) facteurs 10, cela fait \(m + n\) facteurs 10 en tout. La division fait l’inverse : \(10^{m} \div 10^{n} = 10^{m-n}\), on soustrait les exposants.
Si le produit des mantisses vaut 10 ou plus, on le normalise (par exemple, \((4 \times 10^{3}) \times (5 \times 10^{4}) = 20 \times 10^{7} = 2 \times 10^{8}\)).
Puissance et racine carrée (on multiplie l’exposant ou on le divise par 2)
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(X^{k}\)
\(=\)
\(a\)
\(k\)
\(\times\)
\(10\)
\(m k\)
\(\sqrt{X}\)
\(=\)
\(\sqrt{a}\)
\(\times\)
\(10\)
\(m/2\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
④
\(X^k\) : X puissance k
\(=\)
①
\(a\) : mantisse de \(X\)
②
\(k\) : puissance
\(\times\)
\(10\) : base
③
\(m \times k\) : produit des exposants
⑦
\(\sqrt{X}\) : racine carrée de X
\(=\)
⑤
\(\sqrt{a}\) : racine carrée de la mantisse
\(\times\)
\(10\) : base
⑥
\(m \div 2\) : moitié de l’exposant
La formule en mots
①
Pour une puissance (puissance \(k\)), on élève la
\(a\) : mantisse de \(X\)
②
à la
\(k\) : puissance
, puis on multiplie par 10 élevé au
③
\(m \times k\) : produit des exposants
(\(10^{mk}\), l’exposant \(m\) multiplié par \(k\))
④
pour obtenir
\(X^k\) : X puissance k
⑤
Pour une racine carrée, on multiplie la
\(\sqrt{a}\) : racine carrée de la mantisse
⑥
par 10 élevé à la
\(m \div 2\) : moitié de l’exposant
⑦
pour obtenir la
\(\sqrt{X}\) : racine carrée de X
(si l’exposant \(m\) est impair, on multiplie d’abord la mantisse par 10 et on diminue l’exposant de 1 pour le rendre pair, puis on le divise par 2)
Exemple simple
Le carré de \(2 \times 10^{3}\) et la racine carrée de \(4 \times 10^{6}\) :
X au carré (4 × 10⁶)
\(=\)
mantisse (2)
puissance (2)
\(\times\)
base 10
produit des exposants (3 × 2 = 6)
\((2 \times 10^{3})^{2} = 2^{2} \times 10^{3 \times 2} = 4 \times 10^{6}\)
\(\sqrt{4 \times 10^{6}} = \sqrt{4} \times 10^{6 \div 2} = 2 \times 10^{3}\)
L’idée clé
Si l’on multiplie les exposants pour une puissance, c’est grâce à la propriété des puissances \((10^{m})^{k} = 10^{mk}\) : \(10^{m}\) multiplié \(k\) fois par lui-même, cela fait \(m \times k\) facteurs 10 en tout. La racine carrée est « le nombre qui redonne le nombre de départ quand on l’élève au carré » : elle fait l’inverse et divise l’exposant par 2.
Quand l’exposant est impair, on ne peut pas le diviser par 2 tel quel : on multiplie d’abord la mantisse par 10 pour rendre l’exposant pair (par exemple, \(\sqrt{4 \times 10^{7}} = \sqrt{40 \times 10^{6}} = \sqrt{40} \times 10^{3} \approx 6{,}32 \times 10^{3}\)).
Pour calculer en écriture scientifique, l’astuce est de traiter séparément les mantisses et les exposants. Pour additionner ou soustraire, on aligne les exposants, puis on additionne ou soustrait les mantisses. Pour multiplier ou diviser, on multiplie ou divise les mantisses et on additionne ou soustrait les exposants. Pour une puissance, on multiplie l’exposant par \(k\) ; pour une racine carrée, on le divise par 2. Enfin, on normalise pour que la valeur absolue de la mantisse soit comprise entre 1 inclus et 10 exclu.
Symboles et termes
Symboles
| \(X\), \(Y\) | X Y | Les deux nombres du calcul. Sur cette page, chacun s’entre sous la forme « mantisse × 10 puissance exposant » (par exemple, \(X = 1{,}23 \times 10^{7}\)). |
| \(a\), \(b\) | a b | Les mantisses (les chiffres) de \(X\) et de \(Y\). Sous forme normalisée, leur valeur absolue est comprise entre 1 inclus et 10 exclu. |
| \(m\), \(n\) | m n | Les exposants de \(X\) et de \(Y\). Le nombre de facteurs 10, qui porte la taille du nombre. Un exposant négatif indique un petit nombre inférieur à 1. |
| \(k\) | k | La puissance à laquelle on élève \(X\). Sur cette page, c’est la valeur de \(Y\) quand vous choisissez « Puissance X^Y ». |
| \(10^{m+n}\) | 10 puissance m plus n | La puissance de 10 qui apparaît dans les propriétés des puissances : le résultat de \(10^{m} \times 10^{n}\) (par exemple, \(10^{4} \times 10^{5} = 10^{9}\)). |
| \(\sqrt{X}\) | racine carrée de X | La racine carrée de \(X\) : le nombre positif ou nul qui redonne \(X\) quand on l’élève au carré (par exemple, \(\sqrt{4 \times 10^{6}} = 2 \times 10^{3}\)). |
Termes
| propriétés des puissances (propriété des puissances, règles de calcul sur les puissances) | Les règles qui transforment les calculs sur les puissances en additions, soustractions ou multiplications d’exposants. Elles sont au cœur de cette page. Les principales sont \(10^{a} \times 10^{b} = 10^{a+b}\) (multiplier revient à additionner les exposants, par exemple \(10^{4} \times 10^{5} = 10^{9}\)), \(10^{a} \div 10^{b} = 10^{a-b}\) (diviser revient à les soustraire) et \((10^{a})^{b} = 10^{ab}\) (une puissance les multiplie). 4 facteurs 10 multipliés par 5 facteurs 10, cela fait 9 facteurs 10 en tout. En comptant ainsi, on retrouve les règles sans les apprendre par cœur. |
| mantisse (coefficient) | Le \(a\) de \(a \times 10^{n}\) (les chiffres). La page jumelle « Convertir en écriture scientifique » l’explique en détail. |
| exposant | Le petit nombre en haut à droite d’un nombre. Sur cette page, il indique combien de fois on multiplie par 10 (ou, s’il est négatif, combien de fois on divise par 10) ; il porte la taille du nombre. |
| normaliser (normalisation) | Ajuster un nombre pour que la valeur absolue de sa mantisse soit comprise entre 1 inclus et 10 exclu. Si un calcul donne par exemple \(17{,}5 \times 10^{3}\), on le réécrit \(1{,}75 \times 10^{4}\). |
| chiffres significatifs | Le nombre de chiffres d’un nombre, comptés à partir du premier chiffre non nul, auxquels on peut se fier. Sur cette page, la mantisse du résultat est arrondie à ce nombre de chiffres. |
| notation E | Une façon d’écrire la partie \(\times 10^{n}\) avec la lettre e (ou E), par exemple 6e9 pour \(6 \times 10^{9}\). Le résultat de cette page a aussi une ligne en notation E. La page jumelle « Convertir en écriture scientifique » l’explique en détail. |
| écriture scientifique (notation scientifique) | Une façon d’écrire un nombre sous la forme « mantisse de valeur absolue comprise entre 1 inclus et 10 exclu × puissance de 10 », comme \(1{,}23 \times 10^{7}\). Elle est étudiée en 4e. |
Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
Voici ce qui aide à utiliser le calcul de cette page en le comprenant vraiment, et pas seulement en appuyant sur le bouton.
| Puissances et exposants (4e, 13-14 ans) |
|
| Bases de l’écriture scientifique (4e, 13-14 ans) |
|
| Propriétés des puissances (4e, 13-14 ans) |
|
| Exposants négatifs (4e, 13-14 ans) |
|
| Racine carrée (4e, 13-14 ans) |
|
Calculer avec Excel
Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 d’Excel. Il fonctionne tel quel.
Tableau pour additionner et soustraire (on aligne les exposants, puis on combine les mantisses)
| Mantisse de X | 1,23 |
| Exposant de X | 7 |
| Mantisse de Y | 3,45 |
| Exposant de Y | 2 |
| X + Y | =B1*10^B2+B3*10^B4 |
| X − Y | =B1*10^B2-B3*10^B4 |
Tableau pour multiplier et diviser (les mantisses se multiplient ou se divisent, les exposants s’additionnent ou se soustraient)
| Mantisse de X | 8 |
| Exposant de X | 6 |
| Mantisse de Y | 2 |
| Exposant de Y | 2 |
| X × Y | =(B1*10^B2)*(B3*10^B4) |
| X ÷ Y | =(B1*10^B2)/(B3*10^B4) |
Tableau pour une puissance et une racine carrée (on multiplie l’exposant ou on le divise par 2)
| Mantisse de X | 4 |
| Exposant de X | 6 |
| Puissance k | 2 |
| X puissance k | =(B1*10^B2)^B3 |
| √X (racine carrée) | =RACINE(B1*10^B2) |
Dans le premier tableau, entrez les mantisses et les exposants de X et de Y en B1 à B4. B5 affiche la somme (12 300 345 avec les valeurs de l’exemple) et B6 la différence (12 299 655).
Dans le deuxième tableau, B5 donne le produit (1 600 000 000 = 1,6×10⁹ avec les valeurs de l’exemple) et B6 le quotient (40 000 = 4×10⁴).
Dans le troisième tableau, B4 donne la puissance (1,6×10¹³ avec les valeurs de l’exemple) et B5 la racine carrée (2000 = 2×10³).
Pour voir un résultat en écriture scientifique (notation E) comme 1,23E+07, passez le format de la cellule en Scientifique (Accueil → Format de nombre → Scientifique).
Dans le deuxième tableau, B5 donne le produit (1 600 000 000 = 1,6×10⁹ avec les valeurs de l’exemple) et B6 le quotient (40 000 = 4×10⁴).
Dans le troisième tableau, B4 donne la puissance (1,6×10¹³ avec les valeurs de l’exemple) et B5 la racine carrée (2000 = 2×10³).
Pour voir un résultat en écriture scientifique (notation E) comme 1,23E+07, passez le format de la cellule en Scientifique (Accueil → Format de nombre → Scientifique).
Calculer avec Google Sheets
Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 de Google Sheets. Il fonctionne tel quel.
Tableau pour additionner et soustraire (on aligne les exposants, puis on combine les mantisses)
| Mantisse de X | 1,23 |
| Exposant de X | 7 |
| Mantisse de Y | 3,45 |
| Exposant de Y | 2 |
| X + Y | =B1*10^B2+B3*10^B4 |
| X − Y | =B1*10^B2-B3*10^B4 |
Tableau pour multiplier et diviser (les mantisses se multiplient ou se divisent, les exposants s’additionnent ou se soustraient)
| Mantisse de X | 8 |
| Exposant de X | 6 |
| Mantisse de Y | 2 |
| Exposant de Y | 2 |
| X × Y | =(B1*10^B2)*(B3*10^B4) |
| X ÷ Y | =(B1*10^B2)/(B3*10^B4) |
Tableau pour une puissance et une racine carrée (on multiplie l’exposant ou on le divise par 2)
| Mantisse de X | 4 |
| Exposant de X | 6 |
| Puissance k | 2 |
| X puissance k | =(B1*10^B2)^B3 |
| √X (racine carrée) | =RACINE(B1*10^B2) |
Les mêmes formules que dans Excel fonctionnent telles quelles dans Google Sheets en français. Copiez tout le tableau, collez-le dans la cellule A1 et remplacez B1 à B4 (B1 à B3 dans le troisième tableau) par vos propres nombres.
Vous pouvez afficher un résultat en écriture scientifique (notation E) avec Format → Nombre → Scientifique.
Vous pouvez afficher un résultat en écriture scientifique (notation E) avec Format → Nombre → Scientifique.
Calculer avec Python
import math
x = 1.23e7 # X = 1,23×10^7 (peut s’écrire directement en notation E)
y = 3.45e2 # Y = 3,45×10^2
print(x + y) # addition → 12300345.0
print(f"{x * y:.4e}") # multiplication en notation E → 4.2435e+09
print(f"{x ** 2:.4e}") # carré → 1.5129e+14
print(f"{math.sqrt(x):.4e}") # racine carrée → 3.5071e+03
Fonctionne avec la seule bibliothèque standard. En Python, on écrit directement les nombres en notation E (avec un point décimal, comme x et y en haut du code), et on affiche les résultats à la manière de l’écriture scientifique avec un format de f-string comme « .4e » (notation E avec 4 décimales pour la mantisse). Les nombres à virgule flottante sont précis à environ 15 ou 16 chiffres significatifs ; pour plus de chiffres, utilisez le module decimal de la bibliothèque standard. Remplacez les nombres en haut, puis exécutez.
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
Addition et soustraction (on aligne les exposants, puis on additionne ou soustrait les mantisses)
a × 10ⁿ + b × 10ⁿ = (a + b) × 10ⁿ
a \times 10^{n} + b \times 10^{n} = (a + b) \times 10^{n}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>a</mi><mo>×</mo><msup><mn>10</mn><mi>n</mi></msup>
<mo>+</mo>
<mi>b</mi><mo>×</mo><msup><mn>10</mn><mi>n</mi></msup>
<mo>=</mo>
<mo>(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo>)</mo>
<mo>×</mo><msup><mn>10</mn><mi>n</mi></msup>
</mrow>
</math>
a * 10^n + b * 10^n = (a + b) * 10^n
1.23*10^7 + 3.45*10^2
evalf(1.23*10^7 + 3.45*10^2);
R = 1.23e7 + 3.45e2;
a × 10^n + b × 10^n = (a + b) × 10^n
Multiplication et division (on multiplie ou divise les mantisses, on additionne ou soustrait les exposants)
(a × 10ᵐ) × (b × 10ⁿ) = ab × 10ᵐ⁺ⁿ, (a × 10ᵐ) ÷ (b × 10ⁿ) = (a ÷ b) × 10ᵐ⁻ⁿ
(a \times 10^{m}) \times (b \times 10^{n}) = ab \times 10^{m+n}, \quad (a \times 10^{m}) \div (b \times 10^{n}) = \dfrac{a}{b} \times 10^{m-n}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mo>(</mo><mi>a</mi><mo>×</mo><msup><mn>10</mn><mi>m</mi></msup><mo>)</mo>
<mo>×</mo>
<mo>(</mo><mi>b</mi><mo>×</mo><msup><mn>10</mn><mi>n</mi></msup><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi><mi>b</mi><mo>×</mo>
<msup><mn>10</mn><mrow><mi>m</mi><mo>+</mo><mi>n</mi></mrow></msup>
</mrow>
</math>
(a * 10^m) * (b * 10^n) = a b * 10^(m+n), (a * 10^m) -: (b * 10^n) = (a -: b) * 10^(m-n)
(2*10^4) * (3*10^5)
evalf((2*10^4) * (3*10^5));
R1 = (2e4) * (3e5); R2 = (8e6) / (2e2);
(a × 10^m) × (b × 10^n) = ab × 10^(m+n), (a × 10^m) ÷ (b × 10^n) = (a ÷ b) × 10^(m−n)
Puissance et racine carrée (on multiplie l’exposant ou on le divise par 2)
(a × 10ᵐ)ᵏ = aᵏ × 10ᵐᵏ
(a \times 10^{m})^{k} = a^{k} \times 10^{mk}, \quad \sqrt{a \times 10^{m}} = \sqrt{a} \times 10^{m/2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup>
<mrow><mo>(</mo><mi>a</mi><mo>×</mo><msup><mn>10</mn><mi>m</mi></msup><mo>)</mo></mrow>
<mi>k</mi>
</msup>
<mo>=</mo>
<msup><mi>a</mi><mi>k</mi></msup>
<mo>×</mo>
<msup><mn>10</mn><mrow><mi>m</mi><mi>k</mi></mrow></msup>
</mrow>
</math>
(a * 10^m)^k = a^k * 10^(m k), sqrt(a * 10^m) = sqrt(a) * 10^(m/2)
{(2*10^3)^2, Sqrt[4*10^6]}
evalf((2*10^3)^2); evalf(sqrt(4*10^6));
R1 = (2e3)^2; R2 = sqrt(4e6);
(a × 10^m)^k = a^k × 10^(mk), √(a × 10^m) = √a × 10^(m/2)
Faire faire le calcul par ChatGPT
Tu es un assistant de calcul en écriture scientifique. Fais les calculs suivants en exécutant réellement du code Python, et appuie ta réponse uniquement sur les nombres obtenus à l’exécution (ne réponds pas de tête ni au jugé). Calcule les quatre expressions suivantes et donne chaque résultat (a) en écriture scientifique (mantisse de valeur absolue comprise entre 1 inclus et 10 exclu × puissance de 10) et (b) sous forme de nombre ordinaire (écriture décimale). 1. (1,23 × 10^7) + (3,45 × 10^2) 2. (2 × 10^4) × (3 × 10^5) 3. (2 × 10^3) au carré 4. √(4 × 10^6) Explique aussi comment la règle « on multiplie les mantisses et on additionne les exposants » a été utilisée pour la multiplication. Indique le code utilisé et les nombres obtenus à l’exécution.
Mode d'emploi
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1Saisissez vos nombresTapez les nombres à calculer dans les champs de saisie
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2CalculezAppuyez sur le bouton « Calculer »
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3Lisez le résultatLe résultat s’affiche aussitôt. La même page explique aussi le raisonnement et la formule
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