Calcul de ratio et produit en croix (A:B = C:D, agrandir ou réduire)

Trouvez le terme manquant de la proportion A:B = C:D, ou agrandissez / réduisez le ratio A:B. Remplissez les champs selon le calcul voulu.

Premier terme A

Deuxième terme B

Premier terme C

Deuxième terme D

Agrandir (× k)

Réduire à 1/k (÷ k)

[Résoudre une proportion] Remplissez trois termes parmi A à D et laissez vide seulement le terme cherché. [Agrandir ou réduire] Saisissez le ratio de départ dans A et B, puis un seul des deux coefficients (laissez C et D vides).

Résultat

Saisissez les termes du ratio dans les champs de gauche et appuyez sur « Calculer ». Le résultat s’affiche ici.

Table des matières

[ Fermer X ]

Ce que vous pouvez faire sur cette page
À quoi sert ce calcul ?
Mode d'emploi
Formule
Symboles et termes
- Symboles
- Termes
Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
Calculer avec Excel
Calculer avec Google Sheets
Calculer avec Python
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
Faire faire le calcul par ChatGPT
Les atouts de DataChef
Fonctions connexes
Liste des calculatrices NumberChef

Ce que vous pouvez faire sur cette page

Saisissez trois des quatre termes de la proportion \(A:B=C:D\) : le terme manquant (par exemple le \(x\) de 3:4 = 600:\(x\)) est calculé aussitôt, comme avec un produit en croix
Le résultat est aussi donné sous les formes « 1 : n » et « m : 1 », et en pourcentage que représente le premier terme dans le total
Agrandissez ou réduisez un ratio en saisissant simplement le coefficient (par exemple, 3:4 agrandi 5 fois donne 15:20, et 250:280 réduit à 1/2,5 donne 100:112)
Une explication simple des formules et des formules à copier-coller pour Excel, Google Sheets et Python sont réunies sur cette page

Une combinaison où le terme par lequel on divise vaut 0 ne peut pas être calculée (ce serait une division par 0). Les nombres négatifs sont acceptés, mais un ratio s’utilise normalement avec des nombres positifs.

À quoi sert ce calcul ?

Adapter une recette au nombre de personnes

Si une recette demande 300 g de riz pour 4 personnes, pour 6 personnes la proportion 4:300 = 6:\(x\) donne \(x = 300 \times 6 \div 4 = 450\) g.
En pratique, on multiplie chaque ingrédient par le même coefficient (\(6 \div 4 = 1{,}5\)) : c’est exactement agrandir un ratio. C’est le calcul de ratio le plus courant en cuisine.

Trouver une distance réelle à partir de l’échelle d’une carte (randonnée et sécurité)

Sur une carte IGN au 1:25 000, un sentier de 4 cm sur la carte mesure en réalité \(4 \times 25\,000 = 100\,000\) cm, soit 1 km.
L’échelle d’une carte est l’une des applications les plus courantes des ratios, pour préparer une randonnée comme pour estimer la distance jusqu’à un point de rassemblement.

Calculer le format d’un écran ou d’une vidéo (16:9)

La plupart des écrans de télévision et d’ordinateur ont un ratio largeur:hauteur de 16:9. Pour un écran de 1 920 pixels de large, 16:9 = 1920:\(x\) donne une hauteur de \(x = 9 \times 1\,920 \div 16 = 1\,080\) pixels (Full HD).
En montage vidéo ou pour des diaporamas, on s’en sert pour trouver la bonne hauteur une fois la largeur fixée.

Diluer un sirop, un produit ménager ou un traitement de jardin

Pour un sirop à diluer « 1 volume de sirop pour 7 volumes d’eau », 50 mL de sirop demandent 1:7 = 50:\(x\), soit \(x = 7 \times 50 \div 1 = 350\) mL d’eau.
Le même calcul sert pour les traitements de jardin et les désinfectants, où un mélange trop fort ou trop faible peut poser un problème de sécurité (suivez toujours la dilution indiquée sur l’étiquette).

Convertir des devises (voyage et achats)

Supposons que 1 euro = 1,10 dollar. Un achat de 44 dollars donne alors 1:1,10 = \(x\):44, soit \(x = 1 \times 44 \div 1{,}10 = 40\) euros.
Un taux de change est une proportion dont on connaît la quantité pour 1. Il aide à estimer les prix en voyage ou lors d’achats sur des sites étrangers (le paiement réel peut inclure des frais).

Calculer les dimensions d’une maquette à l’échelle

Une maquette au 1/100 d’un avion de 15 m de long mesure \(15 \div 100 = 0{,}15\) m, soit 15 cm.
Toutes les dimensions sont réduites par le même coefficient. Ce type de réduction est la base du modélisme et des plans d’architecture.

Formule

Propriété des proportions (produit des extrêmes = produit des moyens)

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(A\) \(\times\) \(D\) \(=\) \(B\) \(\times\) \(C\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

① \(A\) : extrême \(\times\) ② \(D\) : extrême \(=\) ③ \(B\) : moyen \(\times\) ④ \(C\) : moyen

La formule en mots

① Dans la proportion \(A:B=C:D\), le terme extérieur \(A\) : extrême ,

② multiplié par l’autre terme extérieur \(D\) : extrême (le produit des extrêmes),

③ est toujours égal au terme intérieur \(B\) : moyen

④ multiplié par l’autre terme intérieur \(C\) : moyen (le produit des moyens).

Exemple simple

Vérification avec la proportion 3:4 = 600:800 (les deux produits valent 2 400)

extrême (3) \(\times\) extrême (800) \(=\) moyen (4) \(\times\) moyen (600)

\(3 \times 800 = 2\,400\)

\(4 \times 600 = 2\,400\)

L’idée clé

Pourquoi est-ce vrai ? \(A:B=C:D\) dit que les deux ratios sont égaux. En fractions, cela s’écrit \(\dfrac{A}{B} = \dfrac{C}{D}\). En multipliant les deux membres par \(B \times D\), on obtient \(A \times D = B \times C\). C’est le produit en croix appris au collège. Cette seule égalité est le point de départ pour retrouver n’importe quel terme manquant d’une proportion.

Trouver le terme manquant (quand \(D\) manque)

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(D\) \(=\) \(B\) \(\times\) \(C\) \(\div\) \(A\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

④ \(D\) : extrême manquant \(=\) ① \(B\) : moyen \(\times\) ② \(C\) : moyen \(\div\) ③ \(A\) : extrême

La formule en mots

① On multiplie le terme intérieur \(B\) : moyen

② par l’autre terme intérieur \(C\) : moyen pour obtenir le produit des moyens,

③ on le divise par le terme extérieur connu \(A\) : extrême

④ et on obtient le terme \(D\) : extrême manquant

Exemple simple

Le \(x\) (c’est-à-dire \(D\)) de 3:4 = 600:\(x\) vaut

\(D\) : extrême manquant \(=\) moyen (4) \(\times\) moyen (600) \(\div\) extrême (3)

\(D = 4 \times 600 \div 3 = 2\,400 \div 3 = 800\)

L’idée clé

Le raisonnement est le même quel que soit le terme manquant. On écrit « produit des extrêmes = produit des moyens », puis on divise le produit de l’autre côté par le terme associé au terme cherché. Il y a quatre cas : \(A = B \times C \div D\), \(B = A \times D \div C\), \(C = A \times D \div B\) et \(D = B \times C \div A\). Si le terme par lequel on divise vaut 0, le calcul est impossible, car ce serait une division par 0.

Agrandir un ratio (multiplier par \(k\))

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(a'\) \(=\) \(a\) \(\times\) \(k\)

\(b'\) \(=\) \(b\) \(\times\) \(k\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

③ \(a'\) : nouveau premier terme \(=\) ① \(a\) : premier terme de départ \(\times\) ② \(k\) : coefficient

\(b'\) : nouveau deuxième terme \(=\) \(b\) : deuxième terme de départ \(\times\) \(k\) : coefficient

La formule en mots

① On prend le \(a\) : premier terme de départ

② on le multiplie par le \(k\) : coefficient (on multiplie aussi le deuxième terme \(b\) par ce coefficient),

③ et on obtient le \(a'\) : nouveau premier terme du ratio agrandi \(a' : b'\).

Exemple simple

Agrandir 3:4 cinq fois (le résultat est 15:20)

nouveau premier terme (15) \(=\) premier terme de départ (3) \(\times\) coefficient (5)

\(3 \times 5 = 15\)

\(4 \times 5 = 20\)

L’idée clé

En multipliant les deux termes d’un ratio par le même nombre (non nul), on obtient un ratio égal : la relation reste la même. Pour 3:4 comme pour 15:20, la valeur du ratio (premier ÷ deuxième) vaut 0,75. Adapter une recette pour plus de personnes ou passer des cotes d’une maquette aux dimensions réelles, c’est exactement ce genre d’agrandissement.

Réduire un ratio (à \(1/k\))

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(a'\) \(=\) \(a\) \(\div\) \(k\)

\(b'\) \(=\) \(b\) \(\div\) \(k\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

③ \(a'\) : nouveau premier terme \(=\) ① \(a\) : premier terme de départ \(\div\) ② \(k\) : coefficient

\(b'\) : nouveau deuxième terme \(=\) \(b\) : deuxième terme de départ \(\div\) \(k\) : coefficient

La formule en mots

① On prend le \(a\) : premier terme de départ

② on le divise par le \(k\) : coefficient (on divise aussi le deuxième terme \(b\) par ce coefficient),

③ et on obtient le \(a'\) : nouveau premier terme du ratio \(a' : b'\) réduit à \(1/k\).

Exemple simple

Réduire 250:280 à 1/2,5 (le résultat est 100:112)

nouveau premier terme (100) \(=\) premier terme de départ (250) \(\div\) coefficient (2,5)

\(250 \div 2{,}5 = 100\)

\(280 \div 2{,}5 = 112\)

L’idée clé

Diviser par \(k\) revient à multiplier par \(1/k\) : un ratio réduit est donc lui aussi égal au ratio de départ. Si la division ne tombe pas juste, on obtient un ratio de nombres décimaux (par exemple, 7:9 réduit à 1/3 donne 2,33…:3). Quand il faut des nombres entiers, on utilise un ratio arrondi, approché. Attention : un ratio arrondi n’est pas exactement égal au ratio de départ.

Tous les calculs de ratio reposent sur une seule propriété : en multipliant les deux termes par le même nombre, ou en les divisant par le même nombre non nul, on obtient un ratio égal. Pour résoudre une proportion, on part de « produit des extrêmes = produit des moyens » (le produit en croix). Pour agrandir ou réduire un ratio, on multiplie (ou on divise) les deux termes par le même coefficient.

Symboles et termes

Symboles

\(A:B\)	A sur B	Un ratio. Il compare deux quantités, écrites de part et d’autre d’un deux-points (:). (Exemple : 3:4 se lit « 3 pour 4 » ou « 3 sur 4 »)
\(A:B=C:D\)	A est à B ce que C est à D	Une proportion. Une égalité qui dit que les deux ratios de gauche et de droite sont égaux.
\(A \times D = B \times C\)	A fois D égale B fois C	Produit des extrêmes = produit des moyens. Toute proportion vérifie cette propriété, point de départ pour trouver un terme manquant.
\(k\)	k	Le coefficient. Le nombre qui indique combien de fois on agrandit un ratio (ou qu’on le réduit à \(1/k\)). (Exemple : pour 2,5 fois, \(k = 2{,}5\))
\(a'\)	a prime	Un terme du ratio après agrandissement ou réduction. Le petit trait en haut à droite (le « prime ») signale « la valeur après le changement ».

Termes

ratio	Une comparaison de deux quantités écrites côte à côte, comme « 3:4 ». Son intérêt : il ne garde que la relation entre les quantités, quel que soit le total.
proportion	Une égalité qui dit que deux ratios sont égaux. Elle s’écrit \(A:B=C:D\), et le produit des extrêmes est égal au produit des moyens.
moyens	Dans une proportion \(A:B=C:D\), les deux termes intérieurs (\(B\) et \(C\)). Le produit des moyens est égal au produit des extrêmes.
extrêmes	Dans une proportion \(A:B=C:D\), les deux termes extérieurs (\(A\) et \(D\)). Le produit des extrêmes est égal au produit des moyens.
produit en croix	La méthode apprise au collège pour trouver la quatrième valeur d’un tableau de proportionnalité : on multiplie en diagonale et on divise par le nombre restant. C’est exactement « produit des extrêmes = produit des moyens ». On parle aussi de règle de trois.
valeur du ratio	Pour un ratio \(A:B\), le nombre \(A \div B\). Deux ratios de même valeur sont des ratios égaux. Le \(m\) de la forme « m : 1 » de cette page est exactement la valeur du ratio.
ratio égal	Des ratios qui décrivent la même relation. En multipliant les deux termes par le même nombre, ou en les divisant par le même nombre non nul, on obtient un ratio égal. (Exemple : 3:4 et 15:20)
agrandissement	Rendre quelque chose plusieurs fois plus grand sans changer sa forme (ses proportions). Pour un ratio, c’est multiplier les deux termes par le même nombre.
réduction	Rendre quelque chose plus petit d’une fraction donnée sans changer sa forme (ses proportions). Pour un ratio, c’est diviser les deux termes par le même nombre.

Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer

Voici ce qui aide à utiliser le calcul de cette page en le comprenant vraiment, et pas seulement en appuyant sur le bouton.

Les ratios (5e-3e, 12-15 ans)	Savoir écrire un ratio comme « 3:4 » et le lire « 3 pour 4 » Savoir qu’en multipliant les deux termes par le même nombre, ou en les divisant par le même nombre non nul, on obtient un ratio égal Savoir calculer la valeur d’un ratio (premier terme ÷ deuxième terme)
Agrandissement et réduction (3e, 14-15 ans)	Savoir que pour changer la taille sans changer la forme, on multiplie toutes les longueurs par le même coefficient Savoir que « réduire à 1/2,5 » revient à « diviser par 2,5 »
Proportionnalité et produit en croix (4e, 13-14 ans)	Savoir que dans une proportion \(A:B=C:D\), le produit des extrêmes est égal au produit des moyens (\(A \times D = B \times C\)) Savoir appeler \(x\) le nombre cherché et écrire une égalité
Multiplier et diviser des nombres décimaux et des fractions (CM2-6e, 10-12 ans)	Savoir diviser par un nombre décimal, comme \(250 \div 2{,}5\) Savoir que la multiplication et la division sont des opérations inverses

Calculer avec Excel

Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 d’Excel. Il fonctionne tel quel.

Tableau pour vérifier « produit des extrêmes = produit des moyens »

Extrême A	3
Moyen B	4
Moyen C	600
Extrême D	800
Produit des extrêmes A×D	=B1*B4
Produit des moyens B×C	=B2*B3

Tableau pour trouver le terme manquant D d’une proportion

Extrême A	3
Moyen B	4
Moyen C	600
Extrême manquant D	=B2*B3/B1

Tableau pour agrandir un ratio

Premier terme de départ	3
Deuxième terme de départ	4
Coefficient k	5
Premier terme agrandi	=B1*B3
Deuxième terme agrandi	=B2*B3

Tableau pour réduire un ratio

Premier terme de départ	250
Deuxième terme de départ	280
Coefficient k	2,5
Premier terme réduit	=B1/B3
Deuxième terme réduit	=B2/B3

Après le collage, les cellules du haut de la colonne B sont vos valeurs, et les cellules de formule en dessous sont calculées automatiquement.
Dans le premier tableau, le produit des extrêmes (B5) et le produit des moyens (B6) valent tous deux 2 400 : la proportion est bien vérifiée.
Le deuxième tableau affiche le terme manquant D = 800 en B4. Le troisième affiche le ratio agrandi (15 et 20), le quatrième le ratio réduit (100 et 112).
Il suffit de remplacer les nombres de la colonne B par les vôtres.

Calculer avec Google Sheets

Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 de Google Sheets. Il fonctionne tel quel.

Tableau pour vérifier « produit des extrêmes = produit des moyens »

Extrême A	3
Moyen B	4
Moyen C	600
Extrême D	800
Produit des extrêmes A×D	=B1*B4
Produit des moyens B×C	=B2*B3

Tableau pour trouver le terme manquant D d’une proportion

Extrême A	3
Moyen B	4
Moyen C	600
Extrême manquant D	=B2*B3/B1

Tableau pour agrandir un ratio

Premier terme de départ	3
Deuxième terme de départ	4
Coefficient k	5
Premier terme agrandi	=B1*B3
Deuxième terme agrandi	=B2*B3

Tableau pour réduire un ratio

Premier terme de départ	250
Deuxième terme de départ	280
Coefficient k	2,5
Premier terme réduit	=B1/B3
Deuxième terme réduit	=B2/B3

Les mêmes formules qu’Excel fonctionnent telles quelles. Copiez tout le tableau, collez-le dans la cellule A1, puis remplacez les nombres de la colonne B par les vôtres.

Calculer avec Python

# Trouver D dans la proportion A:B = C:D (produit des moyens ÷ A)
ratio_a = 3
ratio_b = 4
ratio_c = 600

ratio_d = ratio_b * ratio_c / ratio_a
print(f"D = {ratio_d}")  # 800.0

# Agrandir ou réduire un ratio (exemple : réduire 250:280 à 1/2,5)
left_term = 250
right_term = 280
scale_factor = 2.5

print(f"Ratio réduit = {left_term / scale_factor} : {right_term / scale_factor}")  # 100.0 : 112.0

Fonctionne avec la seule bibliothèque standard. « * » est la multiplication et « / » la division. Pour agrandir, remplacez « / scale_factor » par « * scale_factor ». Remplacez les nombres du début par les vôtres et exécutez le code.

Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)

Propriété des proportions (produit des extrêmes = produit des moyens)

A × D = B × C

A \times D = B \times C

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>A</mi><mo>&#x00D7;</mo><mi>D</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>B</mi><mo>&#x00D7;</mo><mi>C</mi>
  </mrow>
</math>

A xx D = B xx C

a d == b c

a * d = b * c;  # D est réservé dans Maple (opérateur de dérivation), donc toutes les variables sont en minuscules

A * D == B * C;

A×D=B×C

Trouver le terme manquant (quand \(D\) manque)

D = B × C ÷ A

D = \dfrac{B \times C}{A}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>D</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>B</mi><mo>&#x00D7;</mo><mi>C</mi></mrow>
      <mi>A</mi>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

D = (B xx C)/A

b c / a

d := b * c / a;  # D est réservé dans Maple (opérateur de dérivation), donc toutes les variables sont en minuscules

D = B * C / A;

D=(B×C)/A

Agrandir un ratio (multiplier par \(k\))

a′ = a × k,  b′ = b × k

a' = a \times k,\quad b' = b \times k

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msup><mi>a</mi><mo>&#x2032;</mo></msup>
    <mo>=</mo>
    <mi>a</mi><mo>&#x00D7;</mo><mi>k</mi>
    <mo>,</mo>
    <msup><mi>b</mi><mo>&#x2032;</mo></msup>
    <mo>=</mo>
    <mi>b</mi><mo>&#x00D7;</mo><mi>k</mi>
  </mrow>
</math>

a' = a xx k, b' = b xx k

{a k, b k}

aNew := a * k; bNew := b * k;

aNew = a * k; bNew = b * k;

a′=a×k, b′=b×k

Réduire un ratio (à \(1/k\))

a′ = a ÷ k,  b′ = b ÷ k

a' = \dfrac{a}{k},\quad b' = \dfrac{b}{k}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msup><mi>a</mi><mo>&#x2032;</mo></msup>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><mi>a</mi><mi>k</mi></mfrac>
    <mo>,</mo>
    <msup><mi>b</mi><mo>&#x2032;</mo></msup>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><mi>b</mi><mi>k</mi></mfrac>
  </mrow>
</math>

a' = a/k, b' = b/k

{a/k, b/k}

aNew := a / k; bNew := b / k;

aNew = a / k; bNew = b / k;

a′=a/k, b′=b/k

Faire faire le calcul par ChatGPT

Tu es un assistant de calcul de ratios. Fais les calculs suivants en exécutant réellement du code Python, et appuie ta réponse uniquement sur les nombres obtenus à l’exécution (ne réponds pas de tête ni au jugé).

1. Trouve D dans la proportion 3:4 = 600:D, en utilisant « produit des extrêmes = produit des moyens » (A×D = B×C).
2. Réduis le ratio 250:280 à 1/2,5 et donne le ratio obtenu.

Indique les formules utilisées et les nombres obtenus à l’exécution.

Mode d'emploi

1

Saisissez vos nombres

Tapez les nombres à calculer dans les champs de saisie
2

Calculez

Appuyez sur le bouton « Calculer »
3

Lisez le résultat

Le résultat s’affiche aussitôt. La même page explique aussi le raisonnement et la formule