Choisissez « sin, cos et tan d’un angle » ou « Angle à partir d’une valeur » et saisissez vos nombres. Le résultat est accompagné du cercle trigonométrique.
Entrez l’angle en degrés (°). Les angles négatifs et de plus de 360° sont acceptés. Pour la valeur du rapport trigonométrique, vous pouvez utiliser des décimaux ou des fractions comme 1/2.
Résultat et figure
Saisissez un angle (ou la valeur d’un rapport trigonométrique) dans les champs à gauche et appuyez sur « Calculer ». Le résultat et le cercle trigonométrique s’affichent ici.
Table des matières
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Ce que vous pouvez faire sur cette page
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À quoi sert ce calcul ?
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Mode d'emploi
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Formules et figures
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Symboles et termes
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Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
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Calculer avec Excel
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Calculer avec Google Sheets
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Calculer avec Python
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Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
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Faire faire le calcul par ChatGPT
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Les atouts de DataChef
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Fonctions connexes
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Liste des calculatrices NumberChef
Ce que vous pouvez faire sur cette page
- Entrez un angle \(\theta\) en degrés et obtenez \(\sin\theta\), \(\cos\theta\) et \(\tan\theta\) d’un coup. Pour les angles remarquables comme \(30^\circ\), \(45^\circ\), \(60^\circ\) et \(120^\circ\), le résultat s’affiche en valeur exacte, comme \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), et en valeur décimale
- Dans l’autre sens, il retrouve l’angle à partir de la valeur d’un rapport trigonométrique, comme « quel angle donne \(\sin\theta = 0{,}5\) ? » (entre \(0^\circ\) et \(180^\circ\) ; si deux angles conviennent, les deux s’affichent)
- Les angles négatifs et les angles de plus de \(360^\circ\) sont acceptés. Les angles sont donnés en degrés, avec la mesure en radians à côté
- Le résultat est accompagné du cercle trigonométrique : on voit d’un coup d’œil à quelles longueurs du cercle correspondent \(\sin\theta\) et \(\cos\theta\)
- Une explication simple des formules et des formules à copier-coller pour Excel, Google Sheets et Python se trouvent aussi sur cette page
Quand une valeur n’est pas définie, comme \(\tan 90^\circ\), la page ne s’arrête pas sur une erreur : elle affiche le résultat en expliquant pourquoi la valeur n’est pas définie.
À quoi sert ce calcul ?
Exprimer la pente d’une route ou d’une rampe (routes et accessibilité)
Le « 10 % » d’un panneau de descente dangereuse signifie que la route descend de 10 m pour 100 m à l’horizontale : c’est exactement \(\tan\theta = 0{,}1\) (environ \(5{,}7^\circ\)). En France, les règles d’accessibilité des établissements recevant du public limitent la pente des rampes pour fauteuil roulant à 5 %, soit \(\tan\theta = 0{,}05\) (environ \(2{,}9^\circ\)).
Sur le terrain, la valeur de la tangente est plus pratique que l’angle, car elle se calcule directement à partir de la hauteur et de la distance. C’est pourquoi les pentes sont indiquées avec ce rapport trigonométrique tel quel.
Mesurer la hauteur d’un arbre ou d’un immeuble à distance (topographie)
Quand on ne peut pas atteindre le sommet avec un mètre ruban, on trouve la hauteur à partir de la distance et de l’angle sous lequel on voit le sommet (l’angle d’élévation) : hauteur = distance × \(\tan\theta\). Par exemple, à 20 m d’un arbre avec un angle d’élévation de \(30^\circ\), la partie au-dessus de vos yeux mesure \(20 \times \tan 30^\circ \approx 11{,}5\) m.
La triangulation, utilisée en topographie et en cartographie, calcule ainsi des distances et des positions à partir d’angles mesurés. Les instruments des géomètres, comme les stations totales, utilisent aussi les rapports trigonométriques pour transformer angles et distances en coordonnées.
Décomposer les forces sur un plan incliné (physique et mécanique)
Sur un plan incliné, le poids d’un objet agit verticalement vers le bas. En physique, on le décompose en deux parties : celle qui tend à faire glisser l’objet le long de la pente (poids × \(\sin\theta\)) et celle qui le plaque contre la pente (poids × \(\cos\theta\)).
Sur une pente de \(30^\circ\), la force qui tend à faire glisser l’objet vaut \(\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}\) de son poids, soit la moitié. Frein à main dans une côte, vitesse de glisse sur une piste de ski selon sa pente : la physique des pentes part toujours de cette décomposition.
Déplacer un personnage en biais dans un jeu (programmation)
Quand un jeu déplace un objet « à la vitesse \(v\) dans la direction d’angle \(\theta\) », l’ordinateur décale sa position de \(v \times \cos\theta\) à l’horizontale et de \(v \times \sin\theta\) à la verticale. Trajectoire des tirs dans un jeu, sommets d’un diagramme radar, aiguilles d’une horloge à l’écran : tout ce qui transforme un angle en position utilise sin et cos.
La définition par le cercle trigonométrique (\(x = \cos\theta,\ y = \sin\theta\)) est elle-même le programme des rotations et des mouvements circulaires à l’écran.
Concevoir la pente d’un toit (construction et charpente)
En France, la pente d’un toit se donne souvent en pourcentage : une « pente de 40 % » monte de 40 cm pour 1 m à l’horizontale, soit \(\tan\theta = 0{,}4\) (environ \(21{,}8^\circ\)). Une fois la pente fixée, la longueur d’un chevron vaut la portée ÷ \(\cos\theta\) : pour 5 m à l’horizontale, il faut environ \(5 \div \cos 21{,}8^\circ \approx 5{,}39\) m. Écoulement de l’eau, glissement de la neige, quantité de matériaux : tout s’estime à partir de cette valeur.
Le tracé des pentes à l’équerre par les charpentiers repose lui aussi sur les rapports des côtés d’un triangle rectangle, c’est-à-dire sur l’idée même des rapports trigonométriques.
Formules et figures
sin (sinus) = côté opposé ÷ hypoténuse
Figure (un triangle rectangle et ses rapports trigonométriques)
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(\sin\theta\)
\(=\)
\(a\)
\(\div\)
\(c\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
③
\(\sin\theta\) : sinus de l’angle \(\theta\)
\(=\)
①
\(a\) : côté opposé (en face de \(\theta\))
\(\div\)
②
\(c\) : hypoténuse
La formule en mots
①
Dans un triangle rectangle, on prend le
\(a\) : côté opposé (le côté en face de l’angle \(\theta\))
②
on le divise par l’
\(c\) : hypoténuse (le plus long côté, en face de l’angle droit)
③
et on obtient le
\(\sin\theta\) : sinus de l’angle \(\theta\)
Exemple simple
Dans un triangle rectangle de côtés proportionnels à \(3 : 4 : 5\) (côté opposé 3, côté adjacent 4, hypoténuse 5),
\(\sin\theta\)
\(=\)
côté opposé 3
\(\div\)
hypoténuse 5
\(\sin\theta = \dfrac{3}{5} = 0{,}6\)
L’idée clé
Le sinus est un rapport : si l’on prend l’hypoténuse comme 1, de combien monte-t-on ? Une fois l’angle \(\theta\) fixé, ce rapport a une seule valeur quelle que soit la taille du triangle (les triangles de même forme sont semblables). C’est pourquoi on peut le voir comme une fonction de l’angle seul.
Pour retenir les trois rapports, le moyen classique est « CAH SOH TOA » : Cosinus = Adjacent ÷ Hypoténuse, Sinus = Opposé ÷ Hypoténuse, Tangente = Opposé ÷ Adjacent.
cos (cosinus) = côté adjacent ÷ hypoténuse
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(\cos\theta\)
\(=\)
\(b\)
\(\div\)
\(c\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
③
\(\cos\theta\) : cosinus de l’angle \(\theta\)
\(=\)
①
\(b\) : côté adjacent (à côté de \(\theta\))
\(\div\)
②
\(c\) : hypoténuse
La formule en mots
①
Dans un triangle rectangle, on prend le
\(b\) : côté adjacent (le côté de l’angle droit qui touche l’angle \(\theta\))
②
on le divise par l’
\(c\) : hypoténuse
③
et on obtient le
\(\cos\theta\) : cosinus de l’angle \(\theta\)
Exemple simple
Dans un triangle rectangle de côtés proportionnels à \(3 : 4 : 5\) (côté opposé 3, côté adjacent 4, hypoténuse 5),
\(\cos\theta\)
\(=\)
côté adjacent 4
\(\div\)
hypoténuse 5
\(\cos\theta = \dfrac{4}{5} = 0{,}8\)
L’idée clé
Le cosinus est un rapport : si l’on prend l’hypoténuse comme 1, de combien avance-t-on à l’horizontale ? Dans « CAH SOH TOA », c’est la partie « CAH ».
Le « co » de cosinus vient de l’angle complémentaire (l’angle qui fait \(90^\circ\) avec \(\theta\)) : \(\cos\theta = \sin(90^\circ - \theta)\). Le cosinus d’un angle est égal au sinus de son complémentaire. Par exemple, \(\cos 60^\circ = \sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}\).
tan (tangente) = côté opposé ÷ côté adjacent
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(\tan\theta\)
\(=\)
\(a\)
\(\div\)
\(b\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
③
\(\tan\theta\) : tangente de l’angle \(\theta\)
\(=\)
①
\(a\) : côté opposé (en face de \(\theta\))
\(\div\)
②
\(b\) : côté adjacent (à côté de \(\theta\))
La formule en mots
①
Dans un triangle rectangle, on prend le
\(a\) : côté opposé (le côté en face de l’angle \(\theta\))
②
on le divise par le
\(b\) : côté adjacent (le côté qui touche l’angle \(\theta\))
③
et on obtient la
\(\tan\theta\) : tangente de l’angle \(\theta\)
Exemple simple
Dans un triangle rectangle de côtés proportionnels à \(3 : 4 : 5\) (côté opposé 3, côté adjacent 4, hypoténuse 5),
\(\tan\theta\)
\(=\)
côté opposé 3
\(\div\)
côté adjacent 4
\(\tan\theta = \dfrac{3}{4} = 0{,}75\)
L’idée clé
La tangente indique de combien on monte quand on avance de 1 à l’horizontale. Autrement dit, c’est la pente elle-même.
D’après les définitions, \(\tan\theta = \dfrac{a}{b} = \dfrac{a \div c}{b \div c} = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\). Le dénominateur est \(\cos\theta\), donc en \(\theta = 90^\circ\), où \(\cos\theta = 0\), \(\tan 90^\circ\) n’est pas définie (on ne peut pas diviser par 0).
Définition avec le cercle trigonométrique (pour les angles de 90° ou plus)
Figure (le cercle trigonométrique et les rapports trigonométriques)
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(\cos\theta\)
\(=\)
\(x\)
\(\sin\theta\)
\(=\)
\(y\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
②
\(\cos\theta\) : cosinus de l’angle \(\theta\)
\(=\)
①
\(x\) : abscisse du point \(P\)
④
\(\sin\theta\) : sinus de l’angle \(\theta\)
\(=\)
③
\(y\) : ordonnée du point \(P\)
La formule en mots
①
Sur le cercle de rayon \(1\) centré à l’origine \(O\) (le cercle trigonométrique), on tourne une demi-droite (la demi-droite associée à l’angle) de l’angle \(\theta\) à partir du demi-axe des abscisses positives, et on appelle \(P\) le point où elle coupe le cercle. Alors l’
abscisse du point \(P\)
②
est le
\(\cos\theta\) : cosinus de l’angle \(\theta\)
③
et l’
ordonnée du point \(P\)
④
est le
\(\sin\theta\) : sinus de l’angle \(\theta\)
Exemple simple
Pour \(\theta = 120^\circ\) (un angle obtus), le point du cercle trigonométrique est \(P\left(-\dfrac{1}{2}\,;\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\), donc
\(\cos 120^\circ\)
\(=\)
abscisse \(-\dfrac{1}{2}\)
\(\sin 120^\circ\)
\(=\)
ordonnée \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\cos 120^\circ = -\dfrac{1}{2}, \quad \sin 120^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \quad \tan 120^\circ = \dfrac{\sin 120^\circ}{\cos 120^\circ} = -\sqrt{3}\)
L’idée clé
La définition avec le triangle rectangle ne marche que pour les angles strictement compris entre \(0^\circ\) et \(90^\circ\). Avec le cercle trigonométrique, les rapports trigonométriques s’étendent à \(0^\circ\), \(90^\circ\), aux angles obtus, à \(180^\circ\) et à tous les angles jusqu’à \(360^\circ\) et au-delà. Ce calculateur utilise cette définition.
Au-delà de \(90^\circ\), le point \(P\) passe à gauche de l’axe des ordonnées et son abscisse devient négative : \(\cos\theta\) et \(\tan\theta\) sont négatifs (\(\sin\theta\) reste positif ou nul de \(0^\circ\) à \(180^\circ\)).
\(\tan\theta\) est le coefficient directeur de la droite \((OP)\). Pour retrouver l’angle à partir d’une valeur, \(\sin\theta = 0{,}5\) donne deux angles, \(30^\circ\) et \(150^\circ\), alors que \(\cos\theta\) et \(\tan\theta\) n’en donnent qu’un. La figure explique pourquoi : les points à la même hauteur vont par paires symétriques, mais un seul point a une abscisse donnée, et une seule demi-droite a un coefficient directeur donné. (Exception : quand la demi-droite est sur l’axe des abscisses, \(\sin\theta = 0\) et \(\tan\theta = 0\) donnent tous deux \(0^\circ\) et \(180^\circ\).)
Dans un triangle rectangle, les rapports trigonométriques sont \(\sin\theta = \dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}},\ \cos\theta = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}},\ \tan\theta = \dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}\). Sur le cercle trigonométrique, ce sont l’ordonnée du point \(P\), son abscisse et le coefficient directeur de la droite \((OP)\). Pour les angles remarquables comme \(30^\circ\), \(45^\circ\) et \(60^\circ\), les valeurs exactes viennent des rapports des côtés des équerres (\(1 : \sqrt{3} : 2\) et \(1 : 1 : \sqrt{2}\)).
Symboles et termes
Symboles
| \(\theta\) | thêta | Une lettre grecque souvent utilisée pour les angles (il n’y a pas d’explication établie à ce choix). En plus de \(\theta\), on utilise aussi \(\alpha\) (alpha) et \(\beta\) (bêta) pour les angles. |
| \(\sin\theta\) | sinus thêta | Le sinus de l’angle \(\theta\) : « côté opposé ÷ hypoténuse » dans un triangle rectangle, et l’ordonnée du point \(P\) sur le cercle trigonométrique. Le nom viendrait du latin sinus (une baie, un pli). |
| \(\cos\theta\) | cosinus thêta | Le cosinus de l’angle \(\theta\) : « côté adjacent ÷ hypoténuse » dans un triangle rectangle, et l’abscisse du point \(P\) sur le cercle trigonométrique. Le « co » veut dire « complémentaire » : c’est le sinus de l’angle complémentaire \(90^\circ - \theta\). |
| \(\tan\theta\) | tangente thêta | La tangente de l’angle \(\theta\) : « côté opposé ÷ côté adjacent » dans un triangle rectangle, c’est-à-dire le coefficient directeur d’une droite. Le nom vient du latin « toucher », car elle apparaît comme une longueur sur la droite tangente au cercle trigonométrique. |
| \(a,\ b,\ c\) | a, b, c | Sur cette page, les trois côtés du triangle rectangle : \(a\) est le côté opposé (en face de l’angle \(\theta\)), \(b\) le côté adjacent (à côté de l’angle \(\theta\)) et \(c\) l’hypoténuse. |
| \(P(x\,;\,y)\) | P de coordonnées x, y | Le point où la demi-droite associée à l’angle coupe le cercle trigonométrique. \(P\) est l’initiale de « point ». Son abscisse est \(\cos\theta\) et son ordonnée \(\sin\theta\). |
| \(O\) | O | L’origine (le point \((0\,;\,0)\)), initiale de « origine ». C’est le centre du cercle trigonométrique et le point autour duquel tourne la demi-droite. |
| \(\sqrt{2},\ \sqrt{3}\) | racine de 2, racine de 3 | Les nombres positifs dont les carrés valent 2 et 3 (\(\sqrt{2} \approx 1{,}414\), \(\sqrt{3} \approx 1{,}732\)). Ils apparaissent dans les rapports des côtés des équerres, donc souvent dans les valeurs exactes des rapports trigonométriques des angles remarquables. |
| \(^\circ\) (degrés) | degrés | L’unité de mesure des angles en degrés. Un tour complet vaut \(360^\circ\). C’est la façon la plus familière d’exprimer un angle, aussi utilisée dans la vie courante. |
| \(\pi\) | pi | Le rapport entre le périmètre d’un cercle et son diamètre (\(\approx 3{,}14159\)). On l’utilise quand les angles sont donnés en radians : \(180^\circ = \pi\) radians. La lettre viendrait de l’initiale du mot grec pour « périmètre ». |
Termes
| rapport trigonométrique | Le rapport de deux côtés d’un triangle rectangle. Les trois de base sont sin, cos et tan. Une fois l’angle fixé, chacun a une seule valeur quelle que soit la taille du triangle. En France, on étudie le cosinus en 4e (13-14 ans), puis le sinus et la tangente en 3e (14-15 ans). |
| sinus | Le nom complet de sin. Historiquement, il remonte à la moitié d’une corde (un segment qui relie deux points d’un cercle). |
| cosinus | Le nom complet de cos. C’est le « sinus du complémentaire » : le sinus de l’angle complémentaire (celui qui complète à 90°), \(\cos\theta = \sin(90^\circ - \theta)\). |
| tangente | Le nom complet de tan. Il vient de la tangente à un cercle : \(\tan\theta\) se lit comme une longueur sur la droite qui touche le cercle trigonométrique au point \((1\,;\,0)\). |
| hypoténuse | Le plus long côté d’un triangle rectangle, en face de l’angle droit. Dans les définitions de sin et cos, c’est le nombre par lequel on divise (le dénominateur). |
| côté opposé | Le côté en face de l’angle \(\theta\) que l’on regarde. Attention : le côté opposé change selon l’angle que l’on considère. |
| côté adjacent | Le côté qui touche l’angle \(\theta\) que l’on regarde (le côté de l’angle droit qui touche \(\theta\), pas l’hypoténuse). Attention : le côté adjacent change selon l’angle que l’on considère. |
| cercle trigonométrique | Le cercle de rayon 1 centré à l’origine. Avec un rayon de 1, les coordonnées d’un point donnent directement sin et cos, sans diviser par l’hypoténuse. C’est l’outil qui étend les rapports trigonométriques aux angles de 90° ou plus. |
| demi-droite associée à l’angle | La demi-droite issue de l’origine, obtenue en tournant de l’angle \(\theta\) à partir du demi-axe des abscisses positives. Elle montre la taille de l’angle sur la figure. |
| angle obtus | Un angle strictement compris entre 90° et 180°. Les rapports trigonométriques d’un angle obtus ne se définissent pas avec un triangle rectangle : on utilise le cercle trigonométrique. Pour un angle obtus, cos et tan sont négatifs. |
| triangle rectangle | Un triangle qui a un angle droit (90°). C’est là que les rapports trigonométriques ont d’abord été définis. Les deux autres angles font 90° au total. |
| équerre | Les deux équerres d’un kit de géométrie : celle à 45°-45°-90° (côtés dans le rapport \(1 : 1 : \sqrt{2}\)) et celle à 30°-60°-90° (côtés dans le rapport \(1 : \sqrt{3} : 2\)). Les valeurs exactes des angles remarquables viennent des rapports des côtés de ces deux triangles. |
| rendre le dénominateur rationnel | Réécrire une fraction pour qu’il n’y ait plus de racine carrée au dénominateur. En multipliant le numérateur et le dénominateur de \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\) par \(\sqrt{2}\), on obtient \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) : c’est la même valeur. Les manuels français donnent en général la forme \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\). |
| mesure en degrés | Mesurer les angles en fixant un tour complet à 360°. C’est l’unité principale des saisies et des résultats de cette page. Le nombre 360 a beaucoup de diviseurs (sa moitié, son tiers, son quart… sont entiers), et on l’utilise depuis l’Antiquité. |
| mesure en radians | Mesurer un angle par la longueur de l’arc sur un cercle de rayon 1. \(180^\circ = \pi\) radians, et les angles s’écrivent en fractions de \(\pi\), comme \(60^\circ = \dfrac{\pi}{3}\). Les radians sont utilisés à partir de la 1re (16-17 ans) et sont l’unité de référence en analyse : cette page les indique donc aussi. |
| fonction trigonométrique réciproque | Une fonction qui part de la valeur d’un rapport trigonométrique pour retrouver l’angle, comme « quel θ donne sin θ = 0,5 ? ». Exemples : arc sinus (\(\sin^{-1}\), Arcsin) et ses sœurs. Les calculatrices scientifiques et Excel les ont. Le mode « angle à partir d’une valeur » de cette page fait ce calcul. |
| angle remarquable | Un angle comme 30°, 45°, 60°, 90° ou 120° dont les rapports trigonométriques s’écrivent exactement (avec des fractions et des racines carrées). Ce sont les angles des équerres et les angles qu’on en tire, comme 180° − θ. |
Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
Voici ce qu’il est utile de savoir pour utiliser les calculs de cette page en comprenant ce qu’ils font, et pas seulement en appuyant sur le bouton.
En cas de difficulté, revoir ces notions est le chemin le plus court.
| Les rapports et les proportions (6e-5e, 11-13 ans) |
|
| Le repère du plan (5e, 12-13 ans) |
|
| Le cercle (6e, 11-12 ans) |
|
| Les triangles semblables (3e, 14-15 ans) |
|
| Le théorème de Pythagore (4e, 13-14 ans) |
|
| La racine carrée (4e-3e, 13-15 ans) |
|
Calculer avec Excel
Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 d’Excel. Il fonctionne tel quel.
Tableau pour trouver sin θ (côté opposé ÷ hypoténuse)
| Côté opposé a | 3 |
| Hypoténuse c | 5 |
| sin θ = a ÷ c | =B1/B2 |
Tableau pour trouver cos θ (côté adjacent ÷ hypoténuse)
| Côté adjacent b | 4 |
| Hypoténuse c | 5 |
| cos θ = b ÷ c | =B1/B2 |
Tableau pour trouver tan θ (côté opposé ÷ côté adjacent)
| Côté opposé a | 3 |
| Côté adjacent b | 4 |
| tan θ = a ÷ b | =B1/B2 |
Tableau pour trouver sin, cos et tan à partir d’un angle
| Angle θ (degrés) | 60 |
| sin θ | =SIN(RADIANS(B1)) |
| cos θ | =COS(RADIANS(B1)) |
| tan θ | =TAN(RADIANS(B1)) |
Tableau pour trouver l’angle à partir de sin θ (0° à 180°)
| Valeur de sin θ | 0,5 |
| Angle 1 (degrés) | =DEGRES(ASIN(B1)) |
| Angle 2 (degrés) | =180-B2 |
Les fonctions SIN, COS et TAN d’Excel attendent l’angle en radians : pour travailler en degrés, convertissez d’abord avec la fonction RADIANS. Dans l’autre sens, les résultats d’ASIN (arc sinus) et des fonctions semblables sont en radians : reconvertissez-les en degrés avec la fonction DEGRES.
Les trois premiers tableaux utilisent un triangle rectangle de côtés proportionnels à 3 : 4 : 5. Les résultats sont 0,6, 0,8 et 0,75.
Le quatrième tableau utilise un angle de 60° : sin θ = 0,8660…, cos θ = 0,5 et tan θ = 1,7320….
Le cinquième tableau trouve les angles tels que sin θ = 0,5 : l’angle 1 vaut 30 et l’angle 2 vaut 150 (entre 0° et 180°, deux angles symétriques ont le même sinus). Pour cos, une seule formule suffit, « =DEGRES(ACOS(B1)) ». Pour tan, utilisez « =DEGRES(ATAN(B1)) » et ajoutez 180 si le résultat est négatif.
Les trois premiers tableaux utilisent un triangle rectangle de côtés proportionnels à 3 : 4 : 5. Les résultats sont 0,6, 0,8 et 0,75.
Le quatrième tableau utilise un angle de 60° : sin θ = 0,8660…, cos θ = 0,5 et tan θ = 1,7320….
Le cinquième tableau trouve les angles tels que sin θ = 0,5 : l’angle 1 vaut 30 et l’angle 2 vaut 150 (entre 0° et 180°, deux angles symétriques ont le même sinus). Pour cos, une seule formule suffit, « =DEGRES(ACOS(B1)) ». Pour tan, utilisez « =DEGRES(ATAN(B1)) » et ajoutez 180 si le résultat est négatif.
Calculer avec Google Sheets
Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 de Google Sheets. Il fonctionne tel quel.
Tableau pour trouver sin θ (côté opposé ÷ hypoténuse)
| Côté opposé a | 3 |
| Hypoténuse c | 5 |
| sin θ = a ÷ c | =B1/B2 |
Tableau pour trouver cos θ (côté adjacent ÷ hypoténuse)
| Côté adjacent b | 4 |
| Hypoténuse c | 5 |
| cos θ = b ÷ c | =B1/B2 |
Tableau pour trouver tan θ (côté opposé ÷ côté adjacent)
| Côté opposé a | 3 |
| Côté adjacent b | 4 |
| tan θ = a ÷ b | =B1/B2 |
Tableau pour trouver sin, cos et tan à partir d’un angle
| Angle θ (degrés) | 60 |
| sin θ | =SIN(RADIANS(B1)) |
| cos θ | =COS(RADIANS(B1)) |
| tan θ | =TAN(RADIANS(B1)) |
Tableau pour trouver l’angle à partir de sin θ (0° à 180°)
| Valeur de sin θ | 0,5 |
| Angle 1 (degrés) | =DEGRES(ASIN(B1)) |
| Angle 2 (degrés) | =180-B2 |
Les mêmes formules qu’Excel fonctionnent telles quelles. Copiez tout le tableau, collez-le dans la cellule A1 et remplacez l’angle ou les longueurs par vos propres nombres.
Calculer avec Python
import math
# Trouver sin, cos et tan à partir d’un angle
angle_degree = 60
angle_radian = math.radians(angle_degree) # les fonctions trigonométriques du module math attendent des radians
print(f"sin {angle_degree}° = {math.sin(angle_radian)}")
print(f"cos {angle_degree}° = {math.cos(angle_radian)}")
print(f"tan {angle_degree}° = {math.tan(angle_radian)}")
# Trouver l’angle à partir de la valeur d’un rapport trigonométrique (0° à 180°)
sin_value = 0.5
angle_first = math.degrees(math.asin(sin_value)) # arc sinus ; le résultat est en radians, on le convertit en degrés
angle_second = 180 - angle_first # sin(180° − θ) = sin θ donne l’autre angle
print(f"Angles tels que sin θ = {sin_value} : {angle_first}° et {angle_second}°")
Fonctionne avec le seul module math de la bibliothèque standard. Les fonctions trigonométriques (sin, cos, tan) attendent l’angle en radians : l’essentiel est de convertir d’abord les degrés avec math.radians(). L’exemple affiche sin 60° ≈ 0,8660, cos 60° ≈ 0,5 et tan 60° ≈ 1,7321, puis les angles 30° et 150° tels que sin θ = 0,5 (Python écrit les décimaux avec un point). Pour trouver un angle à partir de cos, utilisez math.acos() (une seule réponse). Pour tan, utilisez math.atan() et ajoutez 180 si le résultat est négatif.
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
sin (sinus) = côté opposé ÷ hypoténuse
sin θ = a/c
\sin\theta = \dfrac{a}{c}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>sin</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac><mi>a</mi><mi>c</mi></mfrac>
</mrow>
</math>
sin theta = a/c
Sin[30 Degree]
sin(30*Pi/180);
sind(30)
sin θ = a/c
cos (cosinus) = côté adjacent ÷ hypoténuse
cos θ = b/c
\cos\theta = \dfrac{b}{c}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac><mi>b</mi><mi>c</mi></mfrac>
</mrow>
</math>
cos theta = b/c
Cos[30 Degree]
cos(30*Pi/180);
cosd(30)
cos θ = b/c
tan (tangente) = côté opposé ÷ côté adjacent
tan θ = a/b
\tan\theta = \dfrac{a}{b}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>tan</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac><mi>a</mi><mi>b</mi></mfrac>
</mrow>
</math>
tan theta = a/b
Tan[30 Degree]
tan(30*Pi/180);
tand(30)
tan θ = a/b
Définition avec le cercle trigonométrique (pour les angles de 90° ou plus)
cos θ = x, sin θ = y (point P(x ; y) du cercle trigonométrique)
\cos\theta = x,\quad \sin\theta = y
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi><mo>=</mo><mi>x</mi>
<mo>,</mo>
<mi>sin</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi><mo>=</mo><mi>y</mi>
</mrow>
</math>
cos theta = x, sin theta = y
{Cos[120 Degree], Sin[120 Degree]}
evalf([cos(120*Pi/180), sin(120*Pi/180)]);
[cosd(120), sind(120)]
cos θ = x, sin θ = y
Faire faire le calcul par ChatGPT
Tu es un assistant de calcul en trigonométrie. Fais le calcul suivant en exécutant réellement du code Python, et appuie ta réponse uniquement sur les nombres obtenus à l’exécution (ne réponds pas de tête ni par estimation). 1. Calcule sin 135°, cos 135° et tan 135°. Donne chaque résultat en valeur exacte (avec des fractions et des racines carrées) et en valeur décimale. 2. Pour 0° ⩽ θ ⩽ 180°, trouve tous les angles θ tels que sin θ = 0,5. En Python, utilise le module math et convertis les degrés en radians avant de calculer. Indique les formules utilisées et les nombres obtenus à l’exécution.
Mode d'emploi
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3Lisez le résultatLe résultat s’affiche aussitôt. La même page explique aussi le raisonnement et la formule
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Formule de Moivre (puissances et racines n-ièmes d’un nombre complexe, étapes et polygone régulier)
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