Entrez les coefficients et les seconds membres des équations (1) et (2). Le système ci-dessous est lié aux champs de saisie : vous pouvez aussi modifier les nombres directement dedans.
Les nombres décimaux (2,5), négatifs et les fractions comme 3/4 sont acceptés. Un coefficient de x ou de y vide compte pour 1 (x veut dire 1x), et un second membre vide compte pour 0. Entrez 0 pour un terme que vous n’utilisez pas.
Résultat et graphique
Saisissez les coefficients des deux équations dans les champs à gauche et appuyez sur « Calculer ». Les étapes et le graphique s’affichent ici.
Table des matières
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Ce que vous pouvez faire sur cette page
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À quoi sert ce calcul ?
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Mode d'emploi
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Formules et graphiques
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Symboles et termes
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Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
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Calculer avec Excel
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Calculer avec Google Sheets
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Calculer avec Python
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Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
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Faire faire le calcul par ChatGPT
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Les atouts de DataChef
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Fonctions connexes
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Liste des calculatrices NumberChef
Ce que vous pouvez faire sur cette page
- Résolvez sur-le-champ un système de deux équations du premier degré à deux inconnues, \(ax + by = c\) et \(dx + ey = f\), en entrant simplement les coefficients et les seconds membres. Le calculateur affiche le système comme vous l’écririez à la main, et vous pouvez modifier les nombres directement dedans
- Choisissez la méthode par combinaison (on rend deux coefficients égaux, puis on additionne ou soustrait membre à membre) ou la méthode par substitution (on écrit une équation sous la forme \(y = \) et on substitue). Les étapes suivent le déroulé d’un cours de collège
- Les coefficients peuvent être décimaux, négatifs ou des fractions comme 3/4 (dans ce cas, les étapes commencent par multiplier les deux membres pour obtenir des coefficients entiers)
- En plus du cas d’un seul couple solution, le calculateur repère l’absence de solution (droites parallèles) et l’existence d’une infinité de solutions (droites confondues), en expliquant pourquoi. Les résultats sont donnés en fractions irréductibles (valeurs exactes), avec l’écriture décimale quand ce sont des fractions. Vous obtenez aussi le graphique des deux droites (le point d’intersection est la solution) et une vérification dans les deux équations
- Une explication simple des formules et des formules à copier-coller pour Excel, Google Sheets et Python sont réunies sur cette page
Cette page résout les systèmes de deux équations du premier degré à deux inconnues (x et y). Les systèmes à trois inconnues ou plus, ou avec des termes au carré, ne sont pas pris en charge.
À quoi sert ce calcul ?
Retrouver le prix de deux articles (courses et comptabilité)
Deux tickets de caisse n’indiquent que des totaux : « 1 café et 1 croissant pour 3,10 € » et « 2 cafés et 1 croissant pour 4,90 € ». En notant \(x\) le prix d’un café et \(y\) celui d’un croissant, on obtient le système \(x + y = 3{,}10\) ; \(2x + y = 4{,}90\), d’où un café à 1,80 € et un croissant à 1,30 €.
« Les prix à l’unité ne sont pas indiqués, mais on connaît le total de plusieurs combinaisons » : c’est l’usage le plus classique d’un système d’équations, qu’on retrouve aussi pour décomposer une facture ou un devis.
Trouver le point où deux tarifs se croisent (sport, téléphone, électricité)
Une salle de sport propose la formule A à 15 € par mois plus 5 € par cours, et la formule B à 30 € par mois plus 2 € par cours. Avec \(y\) le prix mensuel en euros et \(x\) le nombre de cours, on a \(y = 5x + 15\) et \(y = 2x + 30\). En résolvant le système, on trouve \(x = 5\) cours, pour lesquels les deux formules coûtent 40 €.
Donc « au-delà de 5 cours par mois, la formule B est moins chère ». Chercher le point d’intersection de deux droites, c’est-à-dire le point de bascule, sert de la même façon à comparer des forfaits téléphoniques ou des offres d’électricité (quand le prix augmente proportionnellement à la consommation).
Retrouver la distance parcourue à pied et en courant (trajet domicile-école)
Il y a 1 500 m de la maison à la gare. On marche à 60 m par minute, puis on court à 150 m par minute, et on arrive en 15 minutes. Avec \(x\) m parcourus en marchant et \(y\) m en courant, l’équation des distances est \(x + y = 1500\) et celle des temps \(\dfrac{x}{60} + \dfrac{y}{150} = 15\). On trouve 500 m à pied et 1 000 m en courant.
Dès qu’on a un total et une seconde quantité qui dépend de la répartition (temps, coût, etc.), on obtient un système d’équations. Ce schéma sert bien au-delà des problèmes de vitesse.
Mélanger deux solutions de concentrations différentes (cuisine, industrie, agriculture)
Pour obtenir 300 g d’eau salée à 8 % en mélangeant de l’eau salée à 5 % et de l’eau salée à 10 %, on note \(x\) g la quantité à 5 % et \(y\) g la quantité à 10 %. La masse totale donne \(x + y = 300\), et la masse de sel donne \(0{,}05x + 0{,}1y = 24\) (8 % de 300 g, soit 24 g). On trouve 120 g d’eau salée à 5 % et 180 g à 10 %.
Diluer un produit ménager concentré, préparer un engrais, fabriquer un alliage : ce calcul sert partout où l’on mélange deux ingrédients pour atteindre une concentration voulue.
Trouver le seuil de rentabilité (commerce et entreprise)
Un produit se vend 8 €, la matière coûte 5 € par unité, et les frais fixes comme le loyer s’élèvent à 900 € par mois. Avec \(x\) unités vendues par mois et \(y\) en euros, l’équation des recettes est \(y = 8x\) et celle des coûts \(y = 5x + 900\). Leur point d’intersection est \(x = 300\) unités et \(y = 2\,400\) € : 300 unités par mois, c’est la limite entre bénéfice et perte (le seuil de rentabilité).
C’est l’un des premiers chiffres à vérifier dans un projet d’entreprise ou pour fixer un prix, et c’est au fond un système d’équations (en supposant que le prix de vente et le coût unitaire ne changent pas avec la quantité).
Formules et graphiques
Un système de deux équations à deux inconnues et sa solution
Graphique
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(ax + by\)
\(=\)
\(c\)
\(dx + ey\)
\(=\)
\(f\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
①
\(ax + by\) : premier membre de (1) (terme en \(x\) plus terme en \(y\))
\(=\)
②
\(c\) : second membre de (1)
③
\(dx + ey\) : premier membre de (2) (terme en \(x\) plus terme en \(y\))
\(=\)
④
\(f\) : second membre de (2)
La formule en mots
①
L’équation où le
\(ax + by\) : premier membre de (1) (terme en \(x\) plus terme en \(y\))
②
est égal au
\(c\) : second membre de (1)
et l’équation où le
③
\(dx + ey\) : premier membre de (2) (terme en \(x\) plus terme en \(y\))
④
est égal au
\(f\) : second membre de (2)
doivent être vraies en même temps. Un couple \((x\,;\,y)\) qui les vérifie toutes les deux est appelé « solution » du système
Exemple simple
Pour (1) \(x + y = 5\) et (2) \(2x - y = 1\), le seul couple qui vérifie les deux équations est \(x = 2\), \(y = 3\)
premier membre de (1), \(x + y\)
\(=\)
second membre de (1), \(5\)
premier membre de (2), \(2x - y\)
\(=\)
second membre de (2), \(1\)
\(x = 2,\ y = 3\)
\(2 + 3 = 5\)
\(2 \times 2 - 3 = 1\)
L’idée clé
Avec la seule équation \(x + y = 5\), il existe une infinité de couples qui conviennent : \((1\,;\,4)\), \((2\,;\,3)\), \((0{,}5\,;\,4{,}5)\), etc. En ajoutant la condition qu’une deuxième équation soit vraie en même temps, on réduit la réponse à un seul couple.
Sur un graphique, les points qui vérifient une équation forment une droite, et la solution du système est le point où les deux droites se coupent (le point d’intersection). Si les deux droites sont parallèles, il n’y a donc aucune solution, et si elles sont confondues, il y a une infinité de solutions.
Méthode par combinaison (égaliser les coefficients et soustraire membre à membre)
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\((ax + by)\)
\(-\)
\((ax + ey)\)
\(=\)
\(c - f\)
\((b - e)y\)
\(=\)
\(c - f\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
①
\((ax + by)\) : premier membre de (1)
\(-\)
②
\((ax + ey)\) : premier membre de (2) (coefficient de \(x\) rendu égal à celui de (1))
\(=\)
③
\(c - f\) : différence des seconds membres
④
\((b - e)y\) : \(x\) a disparu, il ne reste que \(y\)
\(=\)
\(c - f\) : différence des seconds membres
La formule en mots
①
On commence par rendre égaux les coefficients de \(x\) dans les deux équations. Au
\((ax + by)\) : premier membre de (1)
②
on soustrait le
\((ax + ey)\) : premier membre de (2), avec le coefficient de \(x\) rendu égal à celui de (1)
(et on soustrait de même les seconds membres)
③
Le second membre devient
\(c - f\) : différence des seconds membres
④
et dans le premier membre, les termes \(ax\) s’annulent. Il reste
\((b - e)y\) : \(x\) a disparu, il ne reste que \(y\)
(on divise ensuite les deux membres par le coefficient de \(y\) pour trouver \(y\))
Exemple simple
On élimine \(y\) dans (1) \(x + y = 5\) et (2) \(2x - y = 1\). Les coefficients de \(y\) sont \(+1\) et \(-1\) (même valeur absolue, signes opposés) : on peut additionner membre à membre directement
premier membre de (1), \(x + y\)
\(+\)
premier membre de (2), \(2x - y\)
\(=\)
somme des seconds membres, \(5 + 1\)
\((x + y) + (2x - y) = 5 + 1\)
\(3x = 6\)
\(x = 2\)
\(y = 5 - 2 = 3\)
L’idée clé
On soustrait ou on additionne selon le signe des coefficients égalisés. S’ils ont le même signe (par exemple \(+2\) et \(+2\)), on soustrait membre à membre ; s’ils sont de signes opposés (par exemple \(+2\) et \(-2\)), on additionne. Dans les deux cas, l’inconnue est éliminée.
Si les coefficients ne sont pas encore égaux, on multiplie les deux membres des équations pour qu’ils le deviennent. Par exemple, si les coefficients de \(x\) sont 2 et 3, on les amène à leur plus petit multiple commun, 6, en faisant (1) × 3 et (2) × 2. « Multiplier les deux membres par un même nombre » et « additionner ou soustraire membre à membre » reposent sur les règles de calcul sur les égalités (faire la même opération des deux côtés conserve l’égalité) : la solution ne change pas.
On peut éliminer \(x\) ou \(y\), au choix. L’astuce est d’éliminer celle dont les coefficients sont les plus faciles à égaliser.
Méthode par substitution (écrire \(y = \) et substituer)
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(y\)
\(=\)
\(px + q\)
\(dx + e(px + q)\)
\(=\)
\(f\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
①
\(y\) : obtenu en transformant (1)
\(=\)
②
\(px + q\) : une expression en \(x\) seulement
③
\(dx + e(px + q)\) : premier membre de (2) où \(y\) est remplacé par \(px + q\), en \(x\) seulement
\(=\)
④
\(f\) : second membre de (2)
La formule en mots
①
On transforme (1) en faisant passer des termes et en divisant, pour écrire
\(y\) : obtenu en transformant (1)
sous la forme
②
\(px + q\) : une expression en \(x\) seulement
③
On la met à la place de \(y\) dans (2) (on substitue) : le premier membre de (2) devient
\(dx + e(px + q)\) : premier membre de (2) en \(x\) seulement
④
On l’égale au
\(f\) : second membre de (2)
et on résout cette équation à une inconnue pour trouver \(x\). On remplace ensuite \(x\) dans \(px + q\) pour trouver \(y\)
Exemple simple
Pour (1) \(x + y = 5\) et (2) \(2x - y = 1\), on exprime \(y\) à partir de (1) : \(y = 5 - x\). On substitue cette expression à \(y\) dans (2)
premier membre de (2) avec \(5 - x\) à la place de \(y\), \(2x - (5 - x)\)
\(=\)
second membre de (2), \(1\)
\(2x - (5 - x) = 1\)
\(3x - 5 = 1\)
\(3x = 6\)
\(x = 2\)
\(y = 5 - 2 = 3\)
L’idée clé
On choisit librement l’équation et l’inconnue à exprimer. Prendre une inconnue dont le coefficient vaut 1 ou \(-1\) évite les fractions et simplifie les calculs (ce calculateur choisit de la même façon).
Quand on substitue, on met toute l’expression entre parenthèses. L’erreur la plus fréquente avec la méthode par substitution est une erreur de signe en supprimant les parenthèses de \(2x - (5 - x)\).
Combinaison et substitution sont deux chemins pour la même idée, « éliminer une inconnue pour obtenir une équation à une seule inconnue » : elles donnent toujours la même solution. Quand une équation est déjà de la forme \(y = \), comme \(y = 2x + 1\), la substitution est la plus adaptée.
Formules de Cramer et les cas sans solution ou avec une infinité de solutions
Graphique
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(x\)
\(=\)
\(\dfrac{ce - bf}{ae - bd}\)
\(y\)
\(=\)
\(\dfrac{af - cd}{ae - bd}\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
②
\(x\) : solution en \(x\)
\(=\)
①
\(\dfrac{ce - bf}{ae - bd}\) : fraction formée avec les coefficients
④
\(y\) : solution en \(y\)
\(=\)
③
\(\dfrac{af - cd}{ae - bd}\) : fraction formée avec les coefficients
La formule en mots
①
Au dénominateur, on multiplie en croix \(a\) par \(e\) et \(b\) par \(d\), puis on soustrait. Au numérateur, on fait de même avec \(c\) et \(e\), \(b\) et \(f\). En calculant
\(\dfrac{ce - bf}{ae - bd}\) : fraction formée avec les coefficients
on obtient
②
\(x\) : solution en \(x\)
③
Avec le même dénominateur et le numérateur \(af - cd\), en calculant
\(\dfrac{af - cd}{ae - bd}\) : fraction formée avec les coefficients
on obtient
④
\(y\) : solution en \(y\)
Exemple simple
Pour (1) \(x + y = 5\) et (2) \(2x - y = 1\) (\(a = 1\), \(b = 1\), \(c = 5\), \(d = 2\), \(e = -1\), \(f = 1\)) :
\(x\) : solution en \(x\)
\(=\)
fraction formée avec les coefficients \(\dfrac{5 \times (-1) - 1 \times 1}{1 \times (-1) - 1 \times 2}\)
\(ae - bd = 1 \times (-1) - 1 \times 2 = -3\)
\(x = \dfrac{ce - bf}{ae - bd} = \dfrac{5 \times (-1) - 1 \times 1}{-3} = \dfrac{-6}{-3} = 2\)
\(y = \dfrac{af - cd}{ae - bd} = \dfrac{1 \times 1 - 5 \times 2}{-3} = \dfrac{-9}{-3} = 3\)
L’idée clé
Si le dénominateur \(ae - bd\) n’est pas nul, le système a exactement un couple solution. Ce sont les formules de Cramer : le résultat de la méthode par combinaison, écrit avec les lettres des coefficients au lieu des nombres. Le nombre \(ae - bd\) est le déterminant du système.
Si \(ae - bd = 0\), on ne peut pas diviser, et il n’y a pas un seul couple solution. Cela arrive quand les premiers membres des deux équations sont proportionnels (les deux droites ont le même coefficient directeur). Si les seconds membres sont dans le même rapport, les droites sont confondues (une infinité de solutions) ; sinon elles sont parallèles (aucune solution). Avec les formules : si les numérateurs \(ce - bf\) et \(af - cd\) sont aussi tous les deux nuls, il y a une infinité de solutions ; sinon il n’y en a aucune.
Ces formules sont pratiques pour vérifier un résultat ou résoudre beaucoup de systèmes d’un coup dans un tableur. Mais dans une copie de collège ou de lycée, on attend en général les étapes de la méthode par combinaison ou par substitution.
Pour résoudre un système d’équations, l’idée de base est d’« éliminer une inconnue pour obtenir une équation à une seule inconnue ». La méthode par combinaison égalise des coefficients puis additionne ou soustrait membre à membre ; la méthode par substitution écrit une équation sous la forme \(y = \) et la substitue dans l’autre. Les deux donnent la même solution. S’il n’y a pas un seul couple solution, les deux droites sont soit parallèles (aucune solution), soit confondues (une infinité de solutions).
Symboles et termes
Symboles
| \(x,\ y\) | x, y (i grec) | Les lettres qui désignent les deux nombres cherchés (les inconnues). Par convention, on utilise les dernières lettres de l’alphabet, \(x,\ y,\ z\), pour les nombres qu’on ne connaît pas encore. |
| \(a,\ b,\ c,\ d,\ e,\ f\) | a, b, c, d, e, f | Les lettres qui représentent les coefficients et les seconds membres (les nombres connus). Par convention, les premières lettres de l’alphabet désignent des nombres fixés. Sur cette page, (1) s’écrit \(ax + by = c\) et (2) s’écrit \(dx + ey = f\). |
| (1), (2) | équation un, équation deux | Les numéros donnés aux équations. Ils servent à noter brièvement quelle opération on fait sur quelle équation, par exemple « (1) × 2 » ou « (1) + (2) ». On les retrouve dans les manuels et les copies. |
| \(\{\) | accolade | La grande accolade à gauche d’un système d’équations. Elle signifie « ces deux équations doivent être vraies en même temps » et montre qu’elles vont ensemble. |
| \(ae - bd\) | a e moins b d | Le nombre au dénominateur des formules de Cramer, obtenu en multipliant les coefficients en croix puis en soustrayant. Selon qu’il est nul ou non, le système a ou n’a pas exactement un couple solution. C’est le déterminant du système. |
| \((x\,;\,y)\) | le couple x, y | Une façon d’écrire deux valeurs ensemble. La solution d’un système est un couple de valeurs de \(x\) et de \(y\), qu’on écrit par exemple \((2\,;\,3)\), comme les coordonnées d’un point dans un repère. |
Termes
| système d’équations | Plusieurs équations considérées ensemble ; on cherche les valeurs des inconnues qui les rendent toutes vraies en même temps. On l’étudie en 3e (14-15 ans) et en seconde. |
| équation du premier degré à deux inconnues | Une équation à deux inconnues dont chaque terme est du premier degré (pas de carré, pas de produit d’inconnues). \(x + y = 5\) en est un exemple. Sa représentation graphique est une droite. |
| solution | Les valeurs des inconnues qui rendent les équations vraies. Pour un système, la solution est un couple de valeurs de \(x\) et de \(y\) : sur un graphique, ce sont les coordonnées du point d’intersection des deux droites. |
| méthode par combinaison | Une méthode de résolution qui consiste à rendre égaux des coefficients dans les deux équations, puis à les additionner ou les soustraire membre à membre pour éliminer une inconnue. On dit aussi méthode par addition ou par combinaison linéaire. |
| membre à membre | Additionner (ou soustraire) membre à membre, c’est additionner les premiers membres entre eux et les seconds membres entre eux, puis relier les deux résultats par « = » pour obtenir une nouvelle équation. |
| méthode par substitution | Une méthode de résolution qui consiste à écrire une équation sous la forme « \(y = \) (une expression en \(x\)) », puis à remplacer \(y\) par cette expression dans l’autre équation pour éliminer une inconnue. |
| substituer | Mettre une valeur ou une expression à la place d’une lettre. En substituant \(y = 5 - x\) dans \(2x - y = 1\), on obtient \(2x - (5 - x) = 1\). |
| éliminer | Faire disparaître l’une des deux inconnues pour obtenir une équation à une seule inconnue. La méthode par combinaison et la méthode par substitution sont deux façons de le faire. |
| transposition | Faire passer un terme d’une égalité dans l’autre membre en changeant son signe. Avec \(x + 3 = 7\), on obtient \(x = 7 - 3\). C’est un raccourci pour « soustraire le même nombre aux deux membres ». |
| coefficient | Le nombre placé devant une lettre. Dans \(2x\), le coefficient est 2. Quand aucun nombre n’est écrit, comme dans \(x\), le coefficient vaut 1, et celui de \(-y\) vaut \(-1\). |
| règles de calcul sur les égalités | Une égalité reste vraie si l’on ajoute, soustrait ou multiplie ses deux membres par un même nombre, ou si on les divise par un même nombre non nul. C’est comme une balance qui reste en équilibre quand on pose la même masse sur les deux plateaux. Toutes les étapes des deux méthodes reposent sur ces règles. |
| plus petit multiple commun | Le plus petit nombre qui est à la fois multiple des deux nombres (le PPCM). Dans la méthode par combinaison, c’est la valeur visée pour égaliser les coefficients (pour 2 et 3, on vise 6). |
| parallèle | Deux droites parallèles ne se coupent jamais, aussi loin qu’on les prolonge. Dans un système d’équations, si les deux droites sont parallèles, il n’y a pas de point d’intersection : le système n’a « aucune solution ». |
| une infinité de solutions | Le cas où il n’y a pas un seul couple solution mais une infinité. Cela arrive quand les deux équations représentent la même droite : chaque point de la droite est une solution. |
| point d’intersection | Le point où deux courbes se coupent. La solution d’un système d’équations correspond aux coordonnées du point où se coupent les deux droites. |
| vérification | On remplace les inconnues par la solution trouvée dans les deux équations de départ, et on s’assure que les deux membres sont bien égaux. Un système se vérifie par simple remplacement : prendre l’habitude de vérifier permet de repérer ses propres erreurs. |
| formules de Cramer | Des formules qui donnent directement la solution à partir des coefficients : \(x = \dfrac{ce - bf}{ae - bd}\) et \(y = \dfrac{af - cd}{ae - bd}\). Elles portent le nom du mathématicien genevois Gabriel Cramer. On les voit d’habitude avec les matrices, en terminale (option maths expertes) ou dans le supérieur, mais pour deux inconnues on peut les vérifier avec le calcul littéral du collège. |
Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
Voici ce qui vous aide à utiliser le calcul de cette page en le comprenant vraiment, et pas seulement en appuyant sur le bouton.
Si vous bloquez, revenir sur ces notions est le plus court chemin.
| Le calcul littéral (5e-4e, 12-14 ans) |
|
| Le calcul avec les nombres relatifs (5e-4e, 12-14 ans) |
|
| Les règles de calcul sur les égalités et les équations du premier degré (4e, 13-14 ans) |
|
| Repérage et représentation graphique (4e-3e, 13-15 ans) |
|
| Le calcul avec les fractions (6e-4e, 11-14 ans) |
|
Calculer avec Excel
Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 d’Excel. Il fonctionne tel quel.
Tableau pour résoudre le système
| (1) coefficient de x, a | 1 |
| (1) coefficient de y, b | 1 |
| (1) second membre, c | 5 |
| (2) coefficient de x, d | 2 |
| (2) coefficient de y, e | -1 |
| (2) second membre, f | 1 |
| Dénominateur ae − bd | =B1*B5-B2*B4 |
| Solution x = (ce − bf) ÷ (ae − bd) | =(B3*B5-B2*B6)/B7 |
| Solution y = (af − cd) ÷ (ae − bd) | =(B1*B6-B3*B4)/B7 |
Tableau pour repérer l’absence de solution ou une infinité de solutions
| (1) coefficient de x, a | 1 |
| (1) coefficient de y, b | 1 |
| (1) second membre, c | 3 |
| (2) coefficient de x, d | 2 |
| (2) coefficient de y, e | 2 |
| (2) second membre, f | 6 |
| Dénominateur ae − bd | =B1*B5-B2*B4 |
| Numérateur ce − bf | =B3*B5-B2*B6 |
| Numérateur af − cd | =B1*B6-B3*B4 |
| Résultat | =SI(B7<>0;"Un seul couple solution";SI(ET(B8=0;B9=0);"Une infinité de solutions";"Aucune solution (droites parallèles)")) |
Tableau pour vérifier la solution (remplacement dans les deux équations)
| (1) coefficient de x, a | 1 |
| (1) coefficient de y, b | 1 |
| (1) second membre, c | 5 |
| (2) coefficient de x, d | 2 |
| (2) coefficient de y, e | -1 |
| (2) second membre, f | 1 |
| Solution x | 2 |
| Solution y | 3 |
| Premier membre de (1), ax + by (juste s’il vaut c) | =B1*B7+B2*B8 |
| Premier membre de (2), dx + ey (juste s’il vaut f) | =B4*B7+B5*B8 |
Une fois le tableau collé, les lignes du haut (les coefficients et les seconds membres) sont vos données et les lignes du bas se calculent automatiquement.
Le premier tableau résout x + y = 5 ; 2x − y = 1. Le dénominateur ae − bd vaut −3, et la solution est x = 2, y = 3. Si le dénominateur est nul, la division renvoie une erreur (#DIV/0!) : c’est le signe qu’il n’y a pas un seul couple solution.
Le deuxième tableau traite x + y = 3 ; 2x + 2y = 6, et le résultat est « Une infinité de solutions ». Remplacez le second membre f de (2) par 10 : le résultat devient « Aucune solution (droites parallèles) ».
Le troisième tableau vérifie la solution en la remplaçant dans les deux équations. Le premier membre de (1) vaut 5 et celui de (2) vaut 1 : ils sont égaux à leurs seconds membres.
Le premier tableau résout x + y = 5 ; 2x − y = 1. Le dénominateur ae − bd vaut −3, et la solution est x = 2, y = 3. Si le dénominateur est nul, la division renvoie une erreur (#DIV/0!) : c’est le signe qu’il n’y a pas un seul couple solution.
Le deuxième tableau traite x + y = 3 ; 2x + 2y = 6, et le résultat est « Une infinité de solutions ». Remplacez le second membre f de (2) par 10 : le résultat devient « Aucune solution (droites parallèles) ».
Le troisième tableau vérifie la solution en la remplaçant dans les deux équations. Le premier membre de (1) vaut 5 et celui de (2) vaut 1 : ils sont égaux à leurs seconds membres.
Calculer avec Google Sheets
Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 de Google Sheets. Il fonctionne tel quel.
Tableau pour résoudre le système
| (1) coefficient de x, a | 1 |
| (1) coefficient de y, b | 1 |
| (1) second membre, c | 5 |
| (2) coefficient de x, d | 2 |
| (2) coefficient de y, e | -1 |
| (2) second membre, f | 1 |
| Dénominateur ae − bd | =B1*B5-B2*B4 |
| Solution x = (ce − bf) ÷ (ae − bd) | =(B3*B5-B2*B6)/B7 |
| Solution y = (af − cd) ÷ (ae − bd) | =(B1*B6-B3*B4)/B7 |
Tableau pour repérer l’absence de solution ou une infinité de solutions
| (1) coefficient de x, a | 1 |
| (1) coefficient de y, b | 1 |
| (1) second membre, c | 3 |
| (2) coefficient de x, d | 2 |
| (2) coefficient de y, e | 2 |
| (2) second membre, f | 6 |
| Dénominateur ae − bd | =B1*B5-B2*B4 |
| Numérateur ce − bf | =B3*B5-B2*B6 |
| Numérateur af − cd | =B1*B6-B3*B4 |
| Résultat | =SI(B7<>0;"Un seul couple solution";SI(ET(B8=0;B9=0);"Une infinité de solutions";"Aucune solution (droites parallèles)")) |
Tableau pour vérifier la solution (remplacement dans les deux équations)
| (1) coefficient de x, a | 1 |
| (1) coefficient de y, b | 1 |
| (1) second membre, c | 5 |
| (2) coefficient de x, d | 2 |
| (2) coefficient de y, e | -1 |
| (2) second membre, f | 1 |
| Solution x | 2 |
| Solution y | 3 |
| Premier membre de (1), ax + by (juste s’il vaut c) | =B1*B7+B2*B8 |
| Premier membre de (2), dx + ey (juste s’il vaut f) | =B4*B7+B5*B8 |
Les mêmes formules qu’Excel fonctionnent telles quelles (Google Sheets réglé en français). Copiez tout le tableau, collez-le dans la cellule A1 et remplacez les coefficients et les seconds membres par vos propres nombres.
Calculer avec Python
from fractions import Fraction
# (1) : a1*x + b1*y = c1
# (2) : a2*x + b2*y = c2 (une fraction comme 3/4 s’écrit Fraction(3, 4))
a1, b1, c1 = Fraction(1), Fraction(1), Fraction(5)
a2, b2, c2 = Fraction(2), Fraction(-1), Fraction(1)
denominator = a1 * b2 - a2 * b1 # dénominateur des formules, ae − bd
if denominator != 0:
x = (c1 * b2 - c2 * b1) / denominator
y = (a1 * c2 - a2 * c1) / denominator
print(f"Solution : x = {x}, y = {y}")
print(f"En écriture décimale : x = {float(x)}, y = {float(y)}")
elif c1 * b2 - c2 * b1 == 0 and a1 * c2 - a2 * c1 == 0:
print("Une infinité de solutions (les deux équations représentent la même droite)")
else:
print("Aucune solution (les deux droites sont parallèles et ne se coupent pas)")
Avec le module fractions de la bibliothèque standard, on calcule avec des fractions exactes, sans erreur d’arrondi. Cet exemple résout x + y = 5 ; 2x − y = 1 ; à l’exécution, il affiche « Solution : x = 2, y = 3 ». Remplacez les coefficients et les seconds membres, puis relancez.
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
Un système de deux équations à deux inconnues et sa solution
ax + by = c ; dx + ey = f
\begin{cases} ax + by = c \\ dx + ey = f \end{cases}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mo>{</mo>
<mtable columnalign="left">
<mtr><mtd>
<mi>a</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mi>y</mi><mo>=</mo><mi>c</mi>
</mtd></mtr>
<mtr><mtd>
<mi>d</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>e</mi><mi>y</mi><mo>=</mo><mi>f</mi>
</mtd></mtr>
</mtable>
</mrow>
</math>
{(ax + by = c),(dx + ey = f):}
Solve[{a*x + b*y == c, d*x + e*y == f}, {x, y}]
solve({a*x + b*y = c, d*x + e*y = f}, {x, y});
S = solve(a*x + b*y == c, d*x + e*y == f, [x, y])
ax + by = c ; dx + ey = f
Méthode par combinaison (égaliser les coefficients et soustraire membre à membre)
(ax + by) − (ax + ey) = c − f
(ax + by) - (ax + ey) = c - f
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mo>(</mo><mi>a</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mi>y</mi><mo>)</mo>
<mo>−</mo>
<mo>(</mo><mi>a</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>e</mi><mi>y</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mi>c</mi><mo>−</mo><mi>f</mi>
</mrow>
</math>
(ax + by) - (ax + ey) = c - f
Simplify[(a*x + b*y) - (a*x + e*y) == c - f]
(a*x + b*y) - (a*x + e*y) = c - f;
simplify((a*x + b*y) - (a*x + e*y) == c - f)
(ax + by) − (ax + ey) = c − f
Méthode par substitution (écrire \(y = \) et substituer)
y = px + q ; dx + e(px + q) = f
y = px + q,\quad dx + e(px + q) = f
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>y</mi><mo>=</mo><mi>p</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>q</mi>
<mo>,</mo>
<mi>d</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>e</mi>
<mo>(</mo><mi>p</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>q</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo><mi>f</mi>
</mrow>
</math>
y = px + q, dx + e(px + q) = f
Solve[{y == p*x + q, d*x + e*y == f}, {x, y}]
subs(y = p*x + q, d*x + e*y = f);
subs(d*x + e*y == f, y, p*x + q)
y = px + q ; dx + e(px + q) = f
Formules de Cramer et les cas sans solution ou avec une infinité de solutions
x = (ce − bf)/(ae − bd) ; y = (af − cd)/(ae − bd)
x = \frac{ce - bf}{ae - bd},\quad y = \frac{af - cd}{ae - bd}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>x</mi><mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>c</mi><mi>e</mi><mo>−</mo><mi>b</mi><mi>f</mi></mrow>
<mrow><mi>a</mi><mi>e</mi><mo>−</mo><mi>b</mi><mi>d</mi></mrow>
</mfrac>
<mo>,</mo>
<mi>y</mi><mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>a</mi><mi>f</mi><mo>−</mo><mi>c</mi><mi>d</mi></mrow>
<mrow><mi>a</mi><mi>e</mi><mo>−</mo><mi>b</mi><mi>d</mi></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
x = (ce - bf)/(ae - bd), y = (af - cd)/(ae - bd)
{x, y} = {(c*e - b*f)/(a*e - b*d), (a*f - c*d)/(a*e - b*d)}
x := (c*e - b*f)/(a*e - b*d); y := (a*f - c*d)/(a*e - b*d);
x = (c*e - b*f)/(a*e - b*d); y = (a*f - c*d)/(a*e - b*d);
x = (ce − bf)/(ae − bd) ; y = (af − cd)/(ae − bd)
Faire faire le calcul par ChatGPT
Tu es un assistant de calcul en mathématiques (systèmes d’équations). Fais le calcul suivant en exécutant réellement du code Python, et appuie ta réponse uniquement sur les nombres obtenus à l’exécution (ne réponds pas de tête ni au jugé). Résous le système d’équations x + y = 5 ; 2x − y = 1. Donne chacun des éléments suivants : 1. La solution x, y (si ce sont des fractions, donne-les sous forme de fractions irréductibles et en écriture décimale) 2. Les étapes par la méthode par combinaison (égaliser les coefficients d’une inconnue, puis additionner ou soustraire membre à membre) 3. La vérification en remplaçant la solution dans les deux équations En Python, calcule de façon exacte avec le module fractions de la bibliothèque standard, et montre les formules utilisées et les nombres obtenus à l’exécution. S’il n’y a pas de solution ou s’il y en a une infinité, explique aussi pourquoi.
Mode d'emploi
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1Saisissez vos nombresTapez les nombres à calculer dans les champs de saisie
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2CalculezAppuyez sur le bouton « Calculer »
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3Lisez le résultatLe résultat s’affiche aussitôt. La même page explique aussi le raisonnement et la formule
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Fonctions connexes
Résoudre une équation diophantienne ax + by = c (avec l’algorithme d’Euclide)
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Résoudre une équation du second degré (discriminant et racines complexes)
Résout une équation du second degré avec le discriminant et les formules des racines, étapes comprises
