Entrez le rayon de la sphère. Le volume (4/3 × π × rayon au cube) s’affiche, ainsi que sa conversion en litres et en m³.
Entrez un nombre supérieur ou égal à 0 pour le rayon, sans l’unité (pour un rayon de 12 cm, entrez « 12 »). Si vous ne connaissez que le diamètre, entrez-le divisé par 2 (c’est le rayon).
Résultat et figure
Saisissez le rayon de la sphère dans le champ à gauche et appuyez sur « Calculer ». Le résultat s’affiche ici.
Table des matières
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Ce que vous pouvez faire sur cette page
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À quoi sert ce calcul ?
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Mode d'emploi
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Formules et figures
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Symboles et termes
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Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
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Calculer avec Excel
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Calculer avec Google Sheets
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Calculer avec Python
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Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
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Faire faire le calcul par ChatGPT
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Les atouts de DataChef
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Fonctions connexes
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Liste des calculatrices NumberChef
Ce que vous pouvez faire sur cette page
- Entrez le rayon de la sphère, et vous obtenez aussitôt son volume (volume = \(\dfrac{4}{3} \times \pi \times\) rayon au cube)
- La sphère calculée s’affiche aussi en 3D (faites-la tourner en la faisant glisser)
- La conversion du volume s’affiche en même temps (en litres et en m³ si vous saisissez des cm)
- Si vous ne connaissez que le diamètre, la page explique simplement quoi faire (rayon = diamètre ÷ 2, \(V = \pi d^3 \div 6\))
- Une explication simple des formules et des formules à copier-coller pour Excel, Google Sheets et Python se trouvent aussi sur cette page
Entrez le rayon dans une seule unité (par exemple en cm). Le volume est dans cette unité au cube (cm³ pour des cm, m³ pour des m). Les volumes des autres solides, comme le cylindre ou le cône, ont chacun leur propre page.
À quoi sert ce calcul ?
Comparer la taille de balles et de ballons par leur volume (sport)
Un ballon de football (taille 5) mesure environ 22 cm de diamètre : avec un rayon de 11 cm, son volume vaut \(\dfrac{4}{3}\pi \times 11^3 \approx 5\,575\,\mathrm{cm^3}\) (environ 5,6 L). Une boule de pétanque d’environ 7,4 cm de diamètre fait à peu près 212 cm³ : le ballon occupe donc la place d’environ 26 boules.
Si le diamètre est multiplié par 3, le volume est multiplié par \(3^3 = 27\). Ce « ça joue au cube » est la clé pour estimer des tailles, bien au-delà des ballons.
Estimer une portion de glace ou d’un aliment (cuisine)
Avec une cuillère à glace ronde de 5 cm de diamètre, une boule est une sphère de 2,5 cm de rayon, soit environ \(65\,\mathrm{cm^3}\) (environ 65 mL). Les glaciers et les restaurants gèrent ainsi les portions et les coûts.
Le même calcul sert pour tous les aliments façonnés en boule : boulettes de viande, billes de melon, truffes au chocolat…
Connaître la contenance d’une cuve de gaz sphérique (industrie)
Les grands réservoirs de gaz sphériques ont cette forme parce que la sphère est la forme qui enferme le plus de volume pour une même quantité de matériau. Pour un réservoir de 20 m de diamètre, le volume vaut \(\dfrac{4}{3}\pi \times 10^3 \approx 4\,189\,\mathrm{m^3}\) (environ 4,19 millions de litres).
La conception et la contenance affichée de ces réservoirs reposent justement sur la formule de cette page.
Estimer le volume approximatif d’une lésion sur une image médicale (santé)
Au scanner ou à l’échographie, on mesure parfois le diamètre d’un nodule ou d’un kyste presque sphérique, puis on estime son volume avec la formule de la sphère. Pour 2 cm de diamètre, on trouve environ \(4{,}2\,\mathrm{cm^3}\) ; pour 4 cm, environ \(33{,}5\,\mathrm{cm^3}\) : un diamètre 2 fois plus grand donne un volume 8 fois plus grand.
Une vraie lésion n’est jamais une sphère parfaite : ce n’est qu’une estimation, utile par exemple pour suivre son évolution (grossit-elle ou non ?).
Calculer le volume de la Terre ou de la Lune (astronomie)
La Terre est presque une sphère (en réalité un ellipsoïde très légèrement aplati) : avec un rayon d’environ 6 371 km, son volume vaut \(\dfrac{4}{3}\pi \times 6\,371^3 \approx 1{,}083 \times 10^{12}\,\mathrm{km^3}\), soit environ 1 083 milliards de km³.
La Lune a un rayon d’environ 1 737 km et un volume d’environ \(\dfrac{1}{50}\) de celui de la Terre. Les comparaisons de tailles des astres des manuels de sciences et des livres d’astronomie se calculent avec cette formule.
Formules et figures
Volume d’une sphère (à partir du rayon)
Figure
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(V\)
\(=\)
\(\dfrac{4}{3}\)
\(\times\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(r\)
\(3\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
⑤
\(V\) : volume de la sphère
\(=\)
④
\(\dfrac{4}{3}\) : constante
\(\times\)
③
\(\pi\) : nombre pi
\(\times\)
①
\(r\) : rayon
②
au cube (le nombre multiplié 3 fois)
La formule en mots
①
Élevez le
\(r\) : rayon
②
au cube (le nombre multiplié 3 fois)
③
multipliez par le
\(\pi\) : nombre pi
④
puis par la
\(\dfrac{4}{3}\) : constante
⑤
et vous obtenez
\(V\) : volume de la sphère
Exemple simple
Le volume d’une sphère de 3 cm de rayon vaut
\(V\) : volume de la sphère
\(=\)
\(\dfrac{4}{3}\) : constante
\(\times\)
\(\pi\) : nombre pi
\(\times\)
rayon (3 cm)
au cube
\(\dfrac{4}{3} \times \pi \times 3^{3} = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 27 = 36\pi\)
\(36\pi \approx 36 \times 3{,}14 = 113{,}04 \approx 113\,\mathrm{cm^3}\)
L’idée clé
Pourquoi multiplier par \(\dfrac{4}{3}\pi\) ? La réponse vient d’une relation découverte par le mathématicien grec Archimède. Le cylindre dans lequel la sphère tient tout juste (base de rayon \(r\), hauteur \(2r\)) a un volume de \(\pi r^2 \times 2r = 2\pi r^3\), et le volume de la sphère en vaut exactement les \(\dfrac{2}{3}\). D’où \(2\pi r^3 \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{3}\pi r^3\).
L’erreur la plus fréquente est de multiplier le rayon par 3 au lieu de l’élever au cube : attention, \(r^3 = r \times r \times r\).
Volume d’une sphère (à partir du diamètre)
Figure
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(V\)
\(=\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(d\)
\(3\)
\(\div\)
\(6\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
⑤
\(V\) : volume de la sphère
\(=\)
①
\(\pi\) : nombre pi
\(\times\)
②
\(d\) : diamètre
③
au cube (le nombre multiplié 3 fois)
\(\div\)
④
\(6\) : constante
La formule en mots
①
Multipliez le
\(\pi\) : nombre pi
②
par le
\(d\) : diamètre
③
élevé
au cube (le nombre multiplié 3 fois)
④
divisez par la
\(6\) : constante
⑤
et vous obtenez
\(V\) : volume de la sphère
Exemple simple
Le volume d’une balle de 6 cm de diamètre (3 cm de rayon) vaut
\(V\) : volume de la sphère
\(=\)
\(\pi\) : nombre pi
\(\times\)
diamètre (6 cm)
au cube
\(\div\)
\(6\) : constante
\(\pi \times 6^{3} \div 6 = \pi \times 216 \div 6 = 36\pi\)
\(36\pi \approx 113\,\mathrm{cm^3}\)
L’idée clé
Cette formule s’obtient en remplaçant, dans la formule 1, le rayon par la moitié du diamètre (\(r = d \div 2\)) : \(\dfrac{4}{3}\pi \times \dfrac{d^3}{8} = \dfrac{\pi d^3}{6}\). Elle est pratique pour un ballon, dont on mesure facilement le diamètre mais pas directement le rayon.
L’exemple avec 6 cm de diamètre donne le même résultat (\(36\pi\)) que celui de la formule 1 avec 3 cm de rayon : les deux formules décrivent bien la même sphère. À l’école, c’est la formule 1 (avec le rayon) qu’on apprend : retenez-la en premier.
Le volume d’une sphère s’obtient en « élevant le rayon au cube, puis en multipliant par π et par 4/3 ». Si vous ne connaissez que le diamètre, divisez-le d’abord par 2. Le résultat est dans l’unité saisie au cube (cm³ pour des cm), et les cm³ divisés par 1 000 donnent des litres.
Symboles et termes
Symboles
| \(V\) | V | Une lettre souvent utilisée pour le volume, dont c’est l’initiale. Sur cette page, c’est le volume de la sphère. |
| \(r\) | r | Le rayon de la sphère, dont c’est l’initiale. C’est la distance du centre à la surface. |
| \(d\) | d | Le diamètre de la sphère, dont c’est l’initiale. C’est la longueur à l’endroit le plus large, le double du rayon (\(d = 2r\)). |
| \(\pi\) | pi | Le nombre pi, la constante qui dit combien de fois le périmètre d’un cercle contient son diamètre. Ses décimales ne s’arrêtent jamais (3,14159…). À l’école, on calcule avec 3,14. |
| \(r^3\) | r au cube | Le nombre \(r\) multiplié 3 fois par lui-même (\(r \times r \times r\)). Le petit 3 en haut à droite est un exposant qui veut dire « multiplier 3 fois » (par exemple \(3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27\)). |
| \(\mathrm{cm^3}\) | centimètre cube | Une unité de volume. Le volume d’un cube de 1 cm de côté vaut 1 cm³. À ne pas confondre avec le cm² (centimètre carré), qui mesure une aire. |
| \(\mathrm{L}\) | litre | L’unité courante pour les liquides comme l’eau. \(1\,\mathrm{L} = 1\,000\,\mathrm{cm^3}\) (une brique de lait contient justement 1 L). |
| \(\mathrm{m^3}\) | mètre cube | Une unité de volume. Le volume d’un cube de 1 m de côté vaut 1 m³, et \(1\,\mathrm{m^3} = 1\,000\,000\,\mathrm{cm^3} = 1\,000\,\mathrm{L}\). |
Termes
| sphère | La forme parfaitement ronde formée de tous les points situés à la même distance d’un centre. Ballon, bille, bulle de savon : vue de n’importe où, elle a l’air d’un disque. En toute rigueur, les manuels français appellent « sphère » la surface et « boule » le solide plein ; on parle pourtant couramment du « volume d’une sphère ». |
| rayon | La distance du centre d’une sphère (ou d’un cercle) à sa surface. C’est la valeur à saisir dans ce calculateur, la moitié du diamètre. |
| diamètre | La longueur d’un segment qui passe par le centre d’une sphère (ou d’un cercle) et va d’un bord à l’autre. C’est le double du rayon. La taille d’un ballon est souvent donnée par son diamètre. |
| volume | La place qu’occupe un solide, donnée par un nombre. On la mesure en comptant combien de cubes de 1 cm de côté (1 cm³) tiennent dedans. |
| nombre π | Le nombre de fois que le périmètre d’un cercle contient son diamètre (environ 3,14), noté \(\pi\) (pi). On le retrouve non seulement pour le cercle, mais aussi dans les formules du volume et de l’aire de la sphère. |
| puissance | Le calcul qui multiplie un nombre plusieurs fois par lui-même. Dans \(3^3\), le petit nombre en haut à droite (l’exposant) indique combien de fois on multiplie. Le cube apparaît dans les formules de volume parce qu’un solide s’étend dans 3 directions : longueur, largeur et hauteur. |
Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
Voici ce qu’il est utile de comprendre pour utiliser le calcul de cette page en sachant ce qu’il fait, et pas seulement en appuyant sur le bouton.
| Le cercle et le nombre π (CM2-6e, 10-12 ans) |
|
| Le volume et ses unités (CM2-6e, 10-12 ans) |
|
| Multiplier une fraction par un nombre entier (6e-5e, 11-13 ans) |
|
| Les puissances (4e, 13-14 ans) |
|
| La sphère, la boule et la formule du volume (3e, 14-15 ans) |
|
Calculer avec Excel
Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 d’Excel. Il fonctionne tel quel.
Tableau pour calculer le volume d’une sphère à partir du rayon
| Rayon de la sphère r (cm) | 5 |
| Volume de la sphère (cm³) | =4/3*PI()*B1^3 |
Tableau pour calculer le volume d’une sphère à partir du diamètre
| Diamètre de la sphère d (cm) | 10 |
| Volume de la sphère (cm³) | =PI()*B1^3/6 |
Tableau pour convertir des cm³ en litres
| Volume en cm³ | 523,6 |
| Volume en litres | =B1/1000 |
Une fois le tableau collé, la colonne A contient les libellés et la colonne B les nombres. La ligne du haut est votre donnée, et la formule de la dernière ligne se calcule toute seule à partir d’elle.
« PI() » est la fonction d’Excel qui renvoie le nombre π (3,14159…), « * » est la multiplication, « / » la division et « ^ » la puissance (combien de fois on multiplie). « =4/3*PI()*B1^3 » veut dire « 4/3 × π × B1 au cube ».
Par exemple, dans le premier tableau, B2 affiche environ 523,6 (en cm³ pour un rayon de 5 cm). Le deuxième tableau porte sur la même sphère (10 cm de diamètre) et affiche donc aussi environ 523,6, et le troisième 0,5236 (environ 0,52 L) en B2. Il suffit de remplacer le nombre saisi par votre propre valeur.
« PI() » est la fonction d’Excel qui renvoie le nombre π (3,14159…), « * » est la multiplication, « / » la division et « ^ » la puissance (combien de fois on multiplie). « =4/3*PI()*B1^3 » veut dire « 4/3 × π × B1 au cube ».
Par exemple, dans le premier tableau, B2 affiche environ 523,6 (en cm³ pour un rayon de 5 cm). Le deuxième tableau porte sur la même sphère (10 cm de diamètre) et affiche donc aussi environ 523,6, et le troisième 0,5236 (environ 0,52 L) en B2. Il suffit de remplacer le nombre saisi par votre propre valeur.
Calculer avec Google Sheets
Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 de Google Sheets. Il fonctionne tel quel.
Tableau pour calculer le volume d’une sphère à partir du rayon
| Rayon de la sphère r (cm) | 5 |
| Volume de la sphère (cm³) | =4/3*PI()*B1^3 |
Tableau pour calculer le volume d’une sphère à partir du diamètre
| Diamètre de la sphère d (cm) | 10 |
| Volume de la sphère (cm³) | =PI()*B1^3/6 |
Tableau pour convertir des cm³ en litres
| Volume en cm³ | 523,6 |
| Volume en litres | =B1/1000 |
Les mêmes formules qu’Excel (y compris la fonction PI()) fonctionnent telles quelles. Copiez tout le tableau, collez-le dans la cellule A1 et remplacez le nombre saisi par votre propre valeur.
Calculer avec Python
import math
radius = 5 # rayon de la sphère (en cm dans cet exemple)
volume = 4 / 3 * math.pi * radius ** 3 # volume de la sphère (unité saisie au cube ; ici en cm3)
volume_liter = volume / 1000 # pour des cm saisis, le volume converti en litres
print(f"Volume de la sphère : {volume} cm3")
print(f"En litres : {volume_liter} L")
Fonctionne avec la bibliothèque standard seule. « math.pi » est le nombre π, « ** » la puissance (ici au cube), « * » la multiplication et « / » la division. Modifiez la valeur du rayon au début et lancez le code (l’exemple est en cm).
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
Volume d’une sphère (à partir du rayon)
V = (4/3)πr³
V = \dfrac{4}{3}\pi r^{3}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>V</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac><mn>4</mn><mn>3</mn></mfrac>
<mi>π</mi>
<msup><mi>r</mi><mn>3</mn></msup>
</mrow>
</math>
V = 4/3 pi r^3
(4/3)*Pi*r^3
V := (4/3)*Pi*r^3;
V = (4/3)*pi*r^3;
V = (4/3)πr^3
Volume d’une sphère (à partir du diamètre)
V = πd³/6
V = \dfrac{\pi d^{3}}{6}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>V</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>π</mi><msup><mi>d</mi><mn>3</mn></msup></mrow>
<mn>6</mn>
</mfrac>
</mrow>
</math>
V = (pi d^3)/6
Pi*d^3/6
V := Pi*d^3/6;
V = pi*d^3/6;
V = πd^3/6
Faire faire le calcul par ChatGPT
Vous êtes un assistant de calcul en mathématiques. Faites le calcul suivant en exécutant réellement du code Python, et appuyez votre réponse uniquement sur les nombres obtenus à l’exécution (ne répondez pas de tête ni au jugé). Une sphère a un rayon de 5 cm. Calculez : 1. Le volume de cette sphère en cm³ (V = 4/3 × π × r³) 2. Ce volume converti en litres (L) Montrez les formules utilisées et les nombres obtenus à l’exécution.
Mode d'emploi
-
1Saisissez vos nombresTapez les nombres à calculer dans les champs de saisie
-
2CalculezAppuyez sur le bouton « Calculer »
-
3Lisez le résultatLe résultat s’affiche aussitôt. La même page explique aussi le raisonnement et la formule
Les atouts de DataChef
Simple et gratuit
Conversions gratuites et illimitées
Aucune compétence requise – simple et intuitif
Aucune compétence requise – simple et intuitif
Aucune inscription requise
Utilisable dès l'ouverture de la page
Aucune donnée personnelle nécessaire
Aucune donnée personnelle nécessaire
Sûr et fiable
Connexion fortement chiffrée (SSL)
Le fichier est supprimé automatiquement après le téléchargement
Le fichier est supprimé automatiquement après le téléchargement
Rapide
Affichage et conversion rapides, sans attente
Sans filigrane
Aucun filigrane
Aucune mention de crédit nécessaire
Aucune mention de crédit nécessaire
Usage commercial autorisé
Usage commercial gratuit
Aucune autorisation préalable nécessaire
Aucune autorisation préalable nécessaire
Fonctions connexes
Calcul du cercle (rayon, diamètre, périmètre et aire du disque)
Calcule d’un coup le rayon, le diamètre, le périmètre et l’aire du cercle, la section d’une sphère
Calcul de puissance (a puissance n, exposant)
Calcule des puissances (a puissance n), comme le « rayon au cube » du volume de la sphère
