Saisissez la moyenne, l’écart-type, puis les bornes inférieure et supérieure de l’intervalle qui vous intéresse. Le calculateur donne la probabilité de tomber dans cet intervalle et un tableau d’intervalles de confiance.
S’il n’y a pas de borne inférieure, entrez « -inf ». S’il n’y a pas de borne supérieure, entrez « inf » (moins l’infini et plus l’infini).
Résultat et graphique
Saisissez la moyenne, l’écart-type et l’intervalle dans les champs à gauche et appuyez sur « Calculer ». Le résultat s’affiche ici.
Table des matières
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Ce que vous pouvez faire sur cette page
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À quoi sert ce calcul ?
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Mode d'emploi
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Formule et graphique
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Symboles et termes
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Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
-
Calculer avec Excel
-
Calculer avec Google Sheets
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Calculer avec Python
-
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
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Faire faire le calcul par ChatGPT
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Les atouts de DataChef
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Fonctions connexes
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Liste des calculatrices NumberChef
Ce que vous pouvez faire sur cette page
- Entrez la moyenne \(\mu\) et la dispersion (l’écart-type \(\sigma\)) et obtenez tout de suite la probabilité qu’une valeur tombe dans un intervalle donné
- La probabilité d’être au-dessus (ou en dessous) d’une valeur, comme « quel pourcentage des candidats a eu 80 ou plus ? », est aussi calculée
- Un tableau des intervalles courants en statistique (celui qui contient 95 % de l’ensemble, par exemple) s’affiche en même temps
- Une explication simple de la loi normale et des formules à copier-coller pour Excel, Google Sheets et Python sont réunies sur cette page
À utiliser quand la dispersion des données est proche d’une loi normale (une courbe en cloche symétrique autour de la moyenne). On sait que beaucoup de données réelles, comme des notes d’examen, des tailles ou des masses de produits, ont une forme proche de celle-ci.
À quoi sert ce calcul ?
Bien lire un QI ou un rang en percentile (tests et examens)
Le QI est construit pour que la moyenne soit 100 et qu’un écart-type vaille 15 points. Pour une loi normale, seulement environ 16 % des personnes sont à \(+1\sigma\) ou plus (un QI de 115 ou plus), et environ 2,3 % à \(+2\sigma\) ou plus (130 ou plus).
Une fois ce lien compris, les rangs en percentile des tests ne sont plus un mystère : vous lisez en chiffres, et non au jugé, ce que représentent « 10 points de plus » ou « le 90e percentile ».
Lire calmement les « valeurs de référence » d’une prise de sang (santé)
Les « valeurs de référence » d’une prise de sang ou d’autres analyses sont souvent fixées comme l’intervalle qui contient les 95 % du milieu des mesures de personnes en bonne santé (environ la moyenne \(\pm 2\sigma\)).
Pour chaque paramètre, environ 5 % des personnes en bonne santé (1 sur 20) sont donc en dehors des valeurs de référence. Sur un bilan avec beaucoup de paramètres, il est même courant qu’une personne en bonne santé soit signalée sur au moins l’un d’eux. En le sachant, vous comprenez que « légèrement en dehors » ne veut pas forcément dire « il y a un problème », et vous écoutez calmement les explications de votre médecin. Utile surtout si les résultats d’analyses ont tendance à vous inquiéter.
Qualité en usine : combien de produits hors tolérance ?
Les masses et les dimensions des produits varient de façon proche d’une loi normale. Par exemple, avec un contenu moyen de 102 g, un écart-type de 1 g et une limite basse de 100 g, les paquets en dessous de la limite sont ceux au-delà de \(-2\sigma\) : environ 2,3 %.
Les usines utilisent ce calcul pour prévoir le taux de défauts et décider où régler le remplissage moyen (combien en mettre en plus) pour équilibrer les réclamations et le coût.
Trancher un test A/B sur un site ou une appli (marketing)
Pour comparer les taux de clic du design A et du design B, on utilise la loi normale (un intervalle de confiance) pour savoir si la différence relève du hasard ou si elle est réelle.
La ligne « 0,95 » du tableau affiché dans le résultat correspond justement à l’« intervalle de confiance à 95 % », le plus utilisé en pratique. Ce calcul sert tous les jours derrière des décisions qui engagent de grosses sommes, comme les budgets publicitaires.
Les mathématiques qui font fonctionner l’assurance (actuariat)
Les actuaires estiment en probabilités le risque d’avoir à indemniser et fixent les primes d’assurance à partir de là.
On ne peut pas prévoir chaque sinistre, mais le total sur un grand nombre d’assurés se rapproche d’une loi normale (le théorème central limite) : le montant total des indemnités se prévoit donc avec une précision étonnante. C’est grâce à ces mathématiques qu’on peut être bien couvert pour une prime raisonnable.
Formule et graphique
Probabilité de tomber dans un intervalle (avec la fonction de répartition \(\Phi\))
Graphique
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(P(a \leqslant X \leqslant b)\)
\(=\)
\(\Phi\!\left(\dfrac{b-\mu}{\sigma}\right)\)
\(-\)
\(\Phi\!\left(\dfrac{a-\mu}{\sigma}\right)\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
③
probabilité de tomber entre \(a\) et \(b\)
\(=\)
①
part jusqu’à la borne supérieure \(b\)
\(-\)
②
part jusqu’à la borne inférieure \(a\)
La formule en mots
①
On calcule la
part jusqu’à la borne supérieure \(b\)
avec la fonction de répartition \(\Phi\) (phi). Entre les parenthèses de \(\Phi\), on trouve le score z : l’écart à la moyenne \(\mu\) divisé par l’écart-type \(\sigma\)
②
on calcule de la même façon la
part jusqu’à la borne inférieure \(a\)
et on la soustrait
③
pour obtenir la
probabilité de tomber entre \(a\) et \(b\)
Exemple simple
Pour un examen noté sur 100 de moyenne 62 points et d’écart-type 14 points, la part des notes entre 50 et 80 est
probabilité d’avoir entre 50 et 80 points
\(=\)
part jusqu’à 80 points \(\Phi((80-62)/14)\)
\(-\)
part jusqu’à 50 points \(\Phi((50-62)/14)\)
\(\Phi(1{,}29) - \Phi(-0{,}86) \approx 0{,}90 - 0{,}20 = 0{,}70\ \ (70\,\%)\)
L’idée clé
Diviser l’écart à la moyenne \(\mu\) par l’écart-type \(\sigma\), c’est centrer et réduire (transformer une valeur en score z). Quelles que soient la moyenne et l’écart-type d’une loi normale, une fois les valeurs réécrites \(z = (x - \mu) \div \sigma\), on calcule les probabilités avec une seule loi : la loi normale centrée réduite, de moyenne 0 et d’écart-type 1 (une règle graduée commune). Ce calculateur fait lui aussi cette conversion avant de calculer. Le QI repose sur la même idée : QI \(= 100 + 15 \times z\).
Équation de la courbe en cloche (densité de probabilité)
Graphique
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(f(x)\)
\(=\)
\(\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\)
\(\times\)
\(e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
③
hauteur de la courbe en \(x\), \(f(x)\)
\(=\)
②
coefficient d’échelle (rend l’aire totale égale à 1)
\(\times\)
①
partie qui diminue en s’éloignant de la moyenne
La formule en mots
①
La
partie qui diminue en s’éloignant de la moyenne
chute vite quand \(x\) s’éloigne de la moyenne \(\mu\), ce qui donne la forme en cloche ;
②
le
coefficient d’échelle (rend l’aire totale égale à 1)
fait que l’aire sous la courbe vaut exactement 1 ;
③
ensemble, ils donnent la
hauteur de la courbe en \(x\), \(f(x)\)
(c’est l’aire entre la courbe et l’axe horizontal qui représente la probabilité)
Exemple simple
On calcule rarement cette formule à la main. En général, on passe au score \(z\) comme dans la première formule, ou on utilise le calculateur de cette page ou Excel.
L’idée clé
Pour une loi normale, environ 68,3 % des données se trouvent dans l’intervalle moyenne \(\pm 1\sigma\) (un écart-type), environ 95,4 % dans \(\pm 2\sigma\) et environ 99,7 % dans \(\pm 3\sigma\) (la règle des 68-95-99,7). Par exemple, avec une moyenne de 62 points et un écart-type de 14 points, environ 68 % des candidats ont entre 48 et 76 points. Retenez ces repères : ils donnent une idée intuitive du lien entre la forme de la courbe et les probabilités.
L’astuce pour les probabilités d’une loi normale : quelles que soient la moyenne et l’écart-type, dès qu’on réécrit une valeur en « nombre d’écarts-types qui la séparent de la moyenne » (le score z), on trouve la probabilité avec une seule règle graduée commune.
Symboles et termes
Symboles
| \(\mu\) | mu | La moyenne. C’est la position du centre du pic de la courbe. Une lettre grecque qui correspond au m latin. |
| \(\sigma\) | sigma | L’écart-type. C’est la taille de la dispersion des données, qui fixe la largeur du pic. Plus il est grand, plus le pic est bas et large. Une lettre grecque qui correspond au s latin. |
| \(X\) | X (variable aléatoire) | Une lettre pour une grandeur dont la valeur peut changer à chaque mesure, comme une note d’examen ou une taille. |
| \(\Phi\) | phi majuscule | La fonction de répartition de la loi normale centrée réduite (moyenne 0, écart-type 1). Elle donne la probabilité d’obtenir cette valeur ou moins. |
| \(z\) | z (score z) | Un nombre qui indique à combien d’écarts-types une valeur se trouve de la moyenne. On l’obtient par \(z = (x - \mu) \div \sigma\). |
| \(e\) | e (nombre d’Euler) | Une constante, environ 2,71828…, base du logarithme népérien. C’est un nombre particulier au cœur de la fonction exponentielle. |
| \(\pi\) | pi | Une constante, environ 3,14159…, le rapport entre le périmètre d’un cercle et son diamètre. Dans la formule de la loi normale, elle apparaît pour que l’aire totale sous la courbe vaille exactement 1. |
Termes
| loi normale | Une loi de probabilité dont la courbe est en cloche, symétrique autour de la moyenne (on dit aussi loi de Gauss). Elle sert de modèle pour des données où les valeurs proches de la moyenne sont les plus fréquentes et deviennent plus rares à mesure qu’on s’en éloigne, comme les tailles, les notes d’examen ou les masses de produits. |
| écart-type | Un seul nombre qui mesure la dispersion des données. Deux séries peuvent avoir la même moyenne mais des dispersions différentes. Plus l’écart-type est grand, plus le pic de la courbe est bas et large. |
| centrer-réduire | Réécrire une valeur en « nombre d’écarts-types qui la séparent de la moyenne » (le score z), c’est-à-dire lui retirer la moyenne puis diviser par l’écart-type. Toute loi normale, une fois centrée et réduite, se ramène à la seule loi normale centrée réduite, de moyenne 0 et d’écart-type 1. Le QI utilise la même idée : QI \(= 100 + 15 \times z\). |
| fonction de répartition | La fonction qui donne la probabilité d’obtenir une valeur inférieure ou égale à celle-ci. Pour la loi normale centrée réduite, on la note \(\Phi\) (phi). La probabilité d’un intervalle, c’est « \(\Phi\) jusqu’à la borne supérieure » moins « \(\Phi\) jusqu’à la borne inférieure ». |
| densité de probabilité | La formule de la courbe elle-même (fonction de densité). La hauteur de la courbe n’est pas une probabilité mais une densité de probabilité : c’est l’aire entre la courbe et l’axe horizontal sur un intervalle qui donne la probabilité. Pour la loi normale, c’est une courbe en cloche. |
| intervalle de confiance | Le tableau affiché dans le résultat donne, pour chaque pourcentage, l’intervalle centré sur la moyenne qui contient cette part de l’ensemble (\(\mu \pm z \times \sigma\)) et son coefficient \(z\). À proprement parler, un « intervalle de confiance à 95 % » en statistique est un intervalle pour la vraie valeur (la moyenne de la population, par exemple) estimé à partir d’un échantillon. Mais quand on suppose une loi normale, il utilise le même \(z\) (1,96 pour 95 %) : les valeurs de \(z\) de ce tableau s’appliquent directement. On s’en sert souvent pour la « marge d’erreur » des sondages et des résultats de mesures. |
| règle des 68-95-99,7 | Un repère pratique à retenir : pour une loi normale, environ 68,3 % des données se trouvent dans l’intervalle moyenne \(\pm 1\sigma\), environ 95,4 % dans \(\pm 2\sigma\) et environ 99,7 % dans \(\pm 3\sigma\). |
| théorème central limite | Le résultat mathématique selon lequel une grandeur formée par l’accumulation de nombreux petits effets aléatoires (une somme ou une moyenne) se rapproche d’une loi normale, quelle que soit la loi de départ. C’est la raison pour laquelle tant de données réelles sont proches d’une loi normale. |
Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
Voici ce qui vous aide à utiliser le calcul de cette page en le comprenant vraiment, et pas seulement en appuyant sur le bouton.
| La moyenne (5e, 12-13 ans) |
|
| Statistiques et écart-type (2de, 15-16 ans) |
|
| Lire des proportions comme des aires (5e-4e, 12-14 ans) |
|
| Loi normale et score z (lycée ou études supérieures, 17 ans et plus) |
|
Calculer avec Excel
Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 d’Excel. Il fonctionne tel quel.
Tableau pour trouver la probabilité d’un intervalle
| Moyenne μ | 62 |
| Écart-type σ | 14 |
| Borne inférieure | 50 |
| Borne supérieure | 80 |
| Probabilité entre les bornes | =LOI.NORMALE.N(B4;B1;B2;VRAI)-LOI.NORMALE.N(B3;B1;B2;VRAI) |
Tableau pour trouver la probabilité d’une valeur ou plus (dans les combien de pourcents du haut)
| Moyenne μ | 62 |
| Écart-type σ | 14 |
| Valeur (part au-dessus de celle-ci) | 80 |
| Probabilité de cette valeur ou plus | =1-LOI.NORMALE.N(B3;B1;B2;VRAI) |
Tableau pour trouver la hauteur de la courbe en un point (densité de probabilité)
| Moyenne μ | 62 |
| Écart-type σ | 14 |
| Point x | 80 |
| Hauteur de la courbe en ce point | =LOI.NORMALE.N(B3;B1;B2;FAUX) |
LOI.NORMALE.N est la fonction de la loi normale. LOI.NORMALE.N(x;moyenne;écart_type;VRAI) donne la probabilité d’obtenir x ou moins.
La probabilité d’un intervalle, c’est « la probabilité de la borne supérieure ou moins » moins « la probabilité de la borne inférieure ou moins ».
Si vous mettez FAUX comme dernier argument, vous obtenez la hauteur de la courbe en ce point (la valeur de la densité de probabilité) au lieu d’une probabilité.
Après le collage, la colonne B reçoit vos valeurs et la formule de la dernière ligne se calcule automatiquement. Le premier tableau affiche environ 0,70 (environ 70 %), le deuxième environ 0,10 (environ 10 %, c’est-à-dire les 10 % du haut environ).
La probabilité d’un intervalle, c’est « la probabilité de la borne supérieure ou moins » moins « la probabilité de la borne inférieure ou moins ».
Si vous mettez FAUX comme dernier argument, vous obtenez la hauteur de la courbe en ce point (la valeur de la densité de probabilité) au lieu d’une probabilité.
Après le collage, la colonne B reçoit vos valeurs et la formule de la dernière ligne se calcule automatiquement. Le premier tableau affiche environ 0,70 (environ 70 %), le deuxième environ 0,10 (environ 10 %, c’est-à-dire les 10 % du haut environ).
Calculer avec Google Sheets
Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 de Google Sheets. Il fonctionne tel quel.
Tableau pour trouver la probabilité d’un intervalle
| Moyenne μ | 62 |
| Écart-type σ | 14 |
| Borne inférieure | 50 |
| Borne supérieure | 80 |
| Probabilité entre les bornes | =LOI.NORMALE(B4;B1;B2;VRAI)-LOI.NORMALE(B3;B1;B2;VRAI) |
Tableau pour trouver la probabilité d’une valeur ou plus (dans les combien de pourcents du haut)
| Moyenne μ | 62 |
| Écart-type σ | 14 |
| Valeur (part au-dessus de celle-ci) | 80 |
| Probabilité de cette valeur ou plus | =1-LOI.NORMALE(B3;B1;B2;VRAI) |
Tableau pour trouver la hauteur de la courbe en un point (densité de probabilité)
| Moyenne μ | 62 |
| Écart-type σ | 14 |
| Point x | 80 |
| Hauteur de la courbe en ce point | =LOI.NORMALE(B3;B1;B2;FAUX) |
Dans Google Sheets en français, utilisez la fonction LOI.NORMALE (elle fonctionne comme LOI.NORMALE.N d’Excel).
LOI.NORMALE(x;moyenne;écart_type;VRAI) donne la probabilité d’obtenir x ou moins : la valeur de la borne supérieure moins celle de la borne inférieure donne la probabilité de l’intervalle.
Avec FAUX comme dernier argument, vous obtenez la hauteur de la courbe en ce point (la densité de probabilité) au lieu d’une probabilité.
LOI.NORMALE(x;moyenne;écart_type;VRAI) donne la probabilité d’obtenir x ou moins : la valeur de la borne supérieure moins celle de la borne inférieure donne la probabilité de l’intervalle.
Avec FAUX comme dernier argument, vous obtenez la hauteur de la courbe en ce point (la densité de probabilité) au lieu d’une probabilité.
Calculer avec Python
from statistics import NormalDist
mean = 62 # moyenne
standard_deviation = 14 # écart-type
lower_bound = 50 # borne inférieure de l’intervalle
upper_bound = 80 # borne supérieure de l’intervalle
distribution = NormalDist(mean, standard_deviation)
p_between = distribution.cdf(upper_bound) - distribution.cdf(lower_bound)
print(f"Probabilité entre {lower_bound} et {upper_bound} : {p_between}")
Avec une version récente de Python, le module statistics de la bibliothèque standard suffit (rien à installer). cdf(x) donne la probabilité d’obtenir x ou moins : le code soustrait la valeur de la borne inférieure de celle de la borne supérieure.
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
Probabilité de tomber dans un intervalle (avec la fonction de répartition \(\Phi\))
P(a ⩽ X ⩽ b) = Φ((b − μ)/σ) − Φ((a − μ)/σ)
P(a \leqslant X \leqslant b) = \Phi\!\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right) - \Phi\!\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>a</mi><mo>⩽</mo><mi>X</mi><mo>⩽</mo><mi>b</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mi>Φ</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mfrac><mrow><mi>b</mi><mo>−</mo><mi>μ</mi></mrow><mi>σ</mi></mfrac>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>−</mo>
<mi>Φ</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mfrac><mrow><mi>a</mi><mo>−</mo><mi>μ</mi></mrow><mi>σ</mi></mfrac>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
</math>
P(a <= X <= b) = Phi((b - mu)/sigma) - Phi((a - mu)/sigma)
CDF[NormalDistribution[mu, sigma], b] - CDF[NormalDistribution[mu, sigma], a]
with(Statistics): CDF(RandomVariable(Normal(mu, sigma)), b) - CDF(RandomVariable(Normal(mu, sigma)), a);
p = normcdf(b, mu, sigma) - normcdf(a, mu, sigma);
P(a ⩽ X ⩽ b) = Φ((b-μ)/σ) - Φ((a-μ)/σ)
Équation de la courbe en cloche (densité de probabilité)
f(x) = 1/(σ√(2π)) · e^(−(x − μ)²/(2σ²))
f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\, e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mn>1</mn>
<mrow><mi>σ</mi><msqrt><mrow><mn>2</mn><mi>π</mi></mrow></msqrt></mrow>
</mfrac>
<msup>
<mi>e</mi>
<mrow>
<mo>−</mo>
<mfrac>
<msup><mrow><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>μ</mi><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup>
<mrow><mn>2</mn><msup><mi>σ</mi><mn>2</mn></msup></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</msup>
</mrow>
</math>
f(x) = 1/(sigma sqrt(2 pi)) e^(-(x - mu)^2 / (2 sigma^2))
PDF[NormalDistribution[mu, sigma], x]
with(Statistics): PDF(RandomVariable(Normal(mu, sigma)), x);
y = normpdf(x, mu, sigma);
f(x) = 1/(σ√(2π)) e^(-(x-μ)^2/(2σ^2))
Faire faire le calcul par ChatGPT
Tu es un assistant de calcul de probabilités. Fais le calcul suivant en exécutant réellement du code Python, et appuie ta réponse uniquement sur les nombres obtenus à l’exécution (ne réponds pas de tête ni par estimation). Les notes d’un examen noté sur 100 suivent une loi normale de moyenne 62 points et d’écart-type 14 points. Calcule chacune des probabilités suivantes : 1. La probabilité qu’une note soit comprise entre 50 et 80 points 2. La probabilité qu’une note soit de 80 points ou plus (dans les combien de pourcents du haut) 3. La probabilité qu’une note soit de 50 points ou moins Utilise statistics.NormalDist de Python, et montre le code utilisé et les nombres obtenus à l’exécution. Réponds en français, avec la virgule comme séparateur décimal.
Mode d'emploi
-
1Saisissez vos nombresTapez les nombres à calculer dans les champs de saisie
-
2CalculezAppuyez sur le bouton « Calculer »
-
3Lisez le résultatLe résultat s’affiche aussitôt. La même page explique aussi le raisonnement et la formule
Les atouts de DataChef
Simple et gratuit
Conversions gratuites et illimitées
Aucune compétence requise – simple et intuitif
Aucune compétence requise – simple et intuitif
Aucune inscription requise
Utilisable dès l'ouverture de la page
Aucune donnée personnelle nécessaire
Aucune donnée personnelle nécessaire
Sûr et fiable
Connexion fortement chiffrée (SSL)
Le fichier est supprimé automatiquement après le téléchargement
Le fichier est supprimé automatiquement après le téléchargement
Rapide
Affichage et conversion rapides, sans attente
Sans filigrane
Aucun filigrane
Aucune mention de crédit nécessaire
Aucune mention de crédit nécessaire
Usage commercial autorisé
Usage commercial gratuit
Aucune autorisation préalable nécessaire
Aucune autorisation préalable nécessaire
Fonctions connexes
Probabilité de deux événements indépendants (et, ou)
À partir de deux probabilités, calcule la probabilité que les deux se produisent, qu’au moins l’un se produise, et plus encore
Probabilité de deux événements (retrouver les valeurs manquantes)
À partir des deux probabilités connues, retrouve toutes les autres
Probabilité d’épreuves répétées (n fois de suite, au moins une fois)
Calcule la probabilité qu’un événement se produise n fois de suite, ou au moins une fois en n essais
