Entrez les trois demi-axes \(a\), \(b\) et \(c\) de l’ellipsoïde (les distances du centre à la surface). Le volume \(V = \dfrac{4}{3}\pi abc\) s’affiche, ainsi que sa conversion en litres si vous saisissez des cm.
Entrez les trois demi-axes dans la même unité, avec des nombres supérieurs ou égaux à 0 (le nombre seul, sans l’unité : pour 10 cm, entrez « 10 »).
Résultat et figure
Saisissez les longueurs des trois demi-axes dans les champs à gauche et appuyez sur « Calculer ». Le résultat et une figure 3D s’affichent ici.
Table des matières
-
Ce que vous pouvez faire sur cette page
-
À quoi sert ce calcul ?
-
Mode d'emploi
-
Formules et figures
-
Symboles et termes
-
Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
-
Calculer avec Excel
-
Calculer avec Google Sheets
-
Calculer avec Python
-
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
-
Faire faire le calcul par ChatGPT
-
Les atouts de DataChef
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Fonctions connexes
-
Liste des calculatrices NumberChef
Ce que vous pouvez faire sur cette page
- Entrez les trois demi-axes \(a\), \(b\) et \(c\) (les distances du centre à la surface), et vous obtenez aussitôt le volume de l’ellipsoïde (\(V = \dfrac{4}{3}\pi abc\))
- Le résultat s’affiche aussi dans une figure 3D à faire tourner avec la souris : vous voyez d’un coup d’œil quelle longueur va dans quelle direction
- Entrez la même longueur dans les trois champs, et le calcul marche aussi pour le volume d’une boule (\(V = \dfrac{4}{3}\pi r^3\))
- La conversion en litres (L) s’affiche en même temps si vous saisissez des cm
- Une explication simple des formules et des formules à copier-coller pour Excel, Google Sheets et Python se trouvent aussi sur cette page
Entrez les trois demi-axes dans la même unité (tous en cm, ou tous en m). On saisit la distance du centre à la surface (le demi-axe), c’est-à-dire la moitié de la longueur d’un bout à l’autre (l’axe).
À quoi sert ce calcul ?
Estimer le volume d’un ballon de rugby (sport)
Un ballon de rugby a presque la forme d’un ellipsoïde de révolution allongé. Pour un ballon d’environ 30 cm de long et 19 cm de large, les demi-axes valent \(15 \times 9{,}5 \times 9{,}5\,\mathrm{cm}\), et le volume vaut environ \(\dfrac{4}{3}\pi \times 15 \times 9{,}5 \times 9{,}5 \approx 5\,671\,\mathrm{cm^3}\) (environ 5,7 L).
Cette formule sert dès qu’on veut la taille d’un objet rond qui n’est pas une boule : quantité d’air d’un ballon, flottabilité, place de rangement… (un vrai ballon a des coutures et des bouts plus pointus : ce n’est qu’une approximation).
Estimer le volume d’un organe ou d’une masse à l’échographie (médecine)
À l’échographie, une méthode très courante pour estimer le volume d’un organe, d’un kyste ou d’une tumeur consiste à l’assimiler à un ellipsoïde. On mesure trois diamètres perpendiculaires (d’un bord à l’autre), puis on divise chacun par 2 pour obtenir les demi-axes de cette formule. C’est la même chose que la règle « 0,52 × longueur × largeur × hauteur » des comptes rendus d’échographie, car \(\dfrac{4}{3}\pi \times \dfrac{1}{8} = \dfrac{\pi}{6} \approx 0{,}52\).
Par exemple, pour des diamètres de \(4 \times 3 \times 3\,\mathrm{cm}\), les demi-axes valent \(2 \times 1{,}5 \times 1{,}5\,\mathrm{cm}\) et le volume \(\dfrac{4}{3}\pi \times 2 \times 1{,}5 \times 1{,}5 \approx 18{,}8\,\mathrm{mL}\) (1 cm³ = 1 mL). Ce calcul sert chaque jour, par exemple pour mesurer le volume de la prostate ou de la vessie (les organes ne sont pas des ellipsoïdes parfaits : le résultat est une estimation).
Estimer le poids d’une pastèque ou d’un melon à partir de son volume (agriculture et alimentation)
Les pastèques et les melons ont une forme proche d’un ellipsoïde : cette formule permet d’estimer leur volume et leur poids d’après leur taille. Pour une pastèque de demi-axes \(12 \times 10 \times 10\,\mathrm{cm}\), le volume vaut \(\dfrac{4}{3}\pi \times 12 \times 10 \times 10 \approx 5\,027\,\mathrm{cm^3}\) (environ 5 L).
La pastèque a une masse volumique proche de celle de l’eau (1 g par cm³) : elle pèse donc environ 5 kg. Le même raisonnement aide à choisir la taille des cartons et à fixer des calibres pour l’expédition.
Calculer le volume de la Terre (sciences de la Terre et espace)
La Terre est un ellipsoïde de révolution légèrement aplati par sa rotation. Avec un rayon équatorial d’environ 6 378 km et un rayon polaire d’environ 6 357 km, cette formule donne un volume de \(\dfrac{4}{3}\pi \times 6\,378 \times 6\,378 \times 6\,357 \approx 1{,}083 \times 10^{12}\,\mathrm{km^3}\) (environ 1 083 milliards de km³).
Cela correspond presque exactement au volume de la Terre donné dans les ouvrages de référence. Les astronomes utilisent vraiment cette formule pour les astres qui ne sont pas des boules parfaites, comme les planètes aplaties par leur rotation.
Estimer la taille d’aliments en forme d’œuf (cuisine et alimentation)
Un œuf de poule a presque la forme d’un ellipsoïde. Pour un œuf d’environ 6 cm de long et 4,5 cm de large, les demi-axes valent \(3 \times 2{,}25 \times 2{,}25\,\mathrm{cm}\), et le volume environ \(\dfrac{4}{3}\pi \times 3 \times 2{,}25 \times 2{,}25 \approx 64\,\mathrm{cm^3}\) (un vrai œuf est un peu dissymétrique : la valeur mesurée est un peu plus petite).
Vous pouvez ainsi estimer sans balance la taille d’un aliment « à peu près ellipsoïdal », comme un petit pain ou un fruit, la taille de récipient nécessaire, ou l’eau d’un bain-marie.
Formules et figures
Volume d’un ellipsoïde
Figure
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(V\)
\(=\)
\(\dfrac{4}{3}\)
\(\times\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(a\)
\(\times\)
\(b\)
\(\times\)
\(c\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
⑥
\(V\) : volume de l’ellipsoïde
\(=\)
⑤
la constante \(\dfrac{4}{3}\)
\(\times\)
④
\(\pi\) : le nombre pi
\(\times\)
①
\(a\) : demi-axe
\(\times\)
②
\(b\) : demi-axe
\(\times\)
③
\(c\) : demi-axe
La formule en mots
①
Multipliez entre eux
\(a\) : demi-axe
,
②
\(b\) : demi-axe
et
③
\(c\) : demi-axe
,
④
multipliez par
\(\pi\) : le nombre pi (environ 3,14)
,
⑤
puis par
la constante \(\dfrac{4}{3}\)
et vous obtenez le
⑥
\(V\) : volume de l’ellipsoïde
Exemple simple
Le volume d’un ellipsoïde de demi-axes 3 cm, 2 cm et 1 cm vaut
\(V\) : volume de l’ellipsoïde
\(=\)
\(\dfrac{4}{3}\)
\(\times\)
\(\pi\) : pi
\(\times\)
demi-axe (3 cm)
\(\times\)
demi-axe (2 cm)
\(\times\)
demi-axe (1 cm)
\(V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 3 \times 2 \times 1 = 8\pi\)
\(8\pi = 8 \times 3{,}14159\ldots \approx 25{,}13\,\mathrm{cm^3}\)
L’idée clé
Un ellipsoïde, c’est une boule étirée ou aplatie d’un facteur différent dans chacune des trois directions. Prenez une boule de rayon 1 (de volume \(\dfrac{4}{3}\pi\)) et étirez-la \(a\) fois en largeur, \(b\) fois en profondeur et \(c\) fois en hauteur : le volume est lui aussi multiplié par \(a \times b \times c\), d’où \(V = \dfrac{4}{3}\pi abc\). C’est un proche parent de la formule du volume de la boule, où « rayon × rayon × rayon » est remplacé par « le produit des trois demi-axes ».
Chaque valeur saisie est une distance du centre à la surface (un demi-axe). Si vous avez mesuré d’un bout à l’autre (l’axe), divisez par 2 avant de saisir.
Volume d’une boule (un cas particulier d’ellipsoïde)
Figure
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(V\)
\(=\)
\(\dfrac{4}{3}\)
\(\times\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(r\)
\(3\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
⑤
\(V\) : volume de la boule
\(=\)
④
la constante \(\dfrac{4}{3}\)
\(\times\)
③
\(\pi\) : le nombre pi
\(\times\)
①
\(r\) : rayon
②
au cube (la longueur multipliée 3 fois par elle-même)
La formule en mots
①
Élevez le
\(r\) : rayon
②
au cube (la longueur multipliée 3 fois par elle-même)
,
③
multipliez par
\(\pi\) : le nombre pi (environ 3,14)
,
④
puis par
la constante \(\dfrac{4}{3}\)
et vous obtenez le
⑤
\(V\) : volume de la boule
Exemple simple
Le volume d’une boule de 3 cm de rayon vaut
\(V\) : volume de la boule
\(=\)
\(\dfrac{4}{3}\)
\(\times\)
\(\pi\) : pi
\(\times\)
rayon (3 cm)
au cube
\(V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 3^3 = 36\pi\)
\(36\pi = 36 \times 3{,}14159\ldots \approx 113{,}10\,\mathrm{cm^3}\)
L’idée clé
Une boule est un ellipsoïde particulier dont les trois demi-axes sont égaux. En posant \(a = b = c = r\) dans la formule de l’ellipsoïde \(V = \dfrac{4}{3}\pi abc\), on retrouve la formule du volume de la boule vue au collège, \(V = \dfrac{4}{3}\pi r^3\). Avec ce calculateur aussi, entrez le même nombre dans les trois champs pour obtenir le volume d’une boule.
Conversion du volume (cm³ → L)
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(V_{\mathrm{L}}\)
\(=\)
\(V_{\mathrm{cm^3}}\)
\(\div\)
\(1000\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
③
\(V_{\mathrm{L}}\) : volume en litres
\(=\)
①
\(V_{\mathrm{cm^3}}\) : volume en cm³
\(\div\)
②
\(1\,000\) : nombre de cm³ dans 1 L
La formule en mots
①
Divisez le
\(V_{\mathrm{cm^3}}\) : volume en cm³
②
par le
\(1\,000\) : nombre de cm³ dans 1 L
et vous obtenez le
③
\(V_{\mathrm{L}}\) : volume en litres
Exemple simple
L’eau que contient un réservoir en forme d’ellipsoïde de 2 000 cm³, convertie en litres, donne
volume en litres
\(=\)
volume en cm³ (2 000)
\(\div\)
nombre de cm³ dans 1 L (1 000)
\(2\,000 \div 1\,000 = 2\,\mathrm{L}\)
L’idée clé
\(1\,\mathrm{L}\) est le volume d’un cube de 10 cm de côté : \(10 \times 10 \times 10 = 1\,000\,\mathrm{cm^3}\) (autrement dit 1 dm³). Une brique de lait de 1 L contient exactement 1 000 cm³.
Pour l’unité plus grande, le m³ : comme \(1\,\mathrm{m} = 100\,\mathrm{cm}\), on a \(1\,\mathrm{m^3} = 100 \times 100 \times 100 = 1\,000\,000\,\mathrm{cm^3}\) (= 1 000 L). L’erreur classique est d’oublier que le coefficient de conversion des volumes est celui des longueurs au cube.
Le volume d’un ellipsoïde se calcule par « 4/3 × π × le produit des trois demi-axes a, b et c ». Un ellipsoïde dont les trois demi-axes sont égaux est une boule (V = 4/3 πr³). Les demi-axes doivent être dans la même unité, et le résultat est dans cette unité au cube (cm³ pour des cm). Pour passer des cm³ aux litres, il suffit de diviser par 1 000.
Symboles et termes
Symboles
| \(V\) | V | Une lettre souvent utilisée pour le volume, dont c’est l’initiale. Sur cette page, c’est le volume de l’ellipsoïde (ou de la boule). |
| \(a,\ b,\ c\) | a, b, c | Les longueurs des trois demi-axes de l’ellipsoïde. Chacune est une distance du centre à la surface, comme le rayon d’une boule, et vaut la moitié de la longueur d’un bout à l’autre (l’axe). |
| \(\pi\) | pi | Le nombre pi : le périmètre d’un cercle divisé par son diamètre. Il vaut \(3{,}14159265\ldots\), avec des décimales qui ne s’arrêtent jamais et ne se répètent pas (c’est un nombre irrationnel). Le « 3,14 » de l’école primaire en est une valeur approchée. |
| \(r\) | r | Le rayon de la boule, initiale de « rayon ». Une boule est un ellipsoïde dont les trois demi-axes valent tous \(r\). |
| \(r^3\) | r au cube | Le nombre \(r\) multiplié 3 fois par lui-même (\(r \times r \times r\)). Le petit 3 en haut à droite est un exposant qui veut dire « multiplier 3 fois ». |
| \(\mathrm{cm^3}\) | centimètre cube | Une unité de volume. Le volume d’un cube de 1 cm de côté vaut 1 cm³. À ne pas confondre avec le cm² (centimètre carré), qui mesure une aire. |
| \(\mathrm{L}\) | litre | Une unité de volume (de contenance). \(1\,\mathrm{L} = 1\,000\,\mathrm{cm^3}\) : c’est ce que contient un cube de 10 cm de côté. |
Termes
| ellipsoïde | Un solide lisse en forme d’œuf, la version en 3D de l’ellipse. Quel que soit le plan qui le coupe, la section est une ellipse (ou un cercle). Un ballon de rugby ou une pastèque en ont à peu près la forme. |
| demi-axe | Une distance du centre de l’ellipsoïde à sa surface, mesurée dans l’une des trois directions de symétrie (perpendiculaires entre elles). Ces trois longueurs fixent la taille et la forme de l’ellipsoïde. Chacune vaut la moitié de la longueur d’un bout à l’autre (l’axe). |
| ellipse | Un cercle étiré (ou aplati) dans une direction. C’est une courbe arrondie et allongée, comme l’ombre d’un ballon éclairé en biais. |
| boule | Un ellipsoïde particulier dont les trois demi-axes sont égaux. Vue de n’importe quelle direction, elle ressemble à un disque de même taille, et son volume vaut \(V = \dfrac{4}{3}\pi r^3\). En France, on appelle « boule » le solide plein et « sphère » sa surface. |
| ellipsoïde de révolution | Le solide obtenu en faisant tourner une ellipse autour d’un de ses axes, c’est-à-dire un ellipsoïde dont deux des trois demi-axes sont égaux (on dit aussi sphéroïde). Un ballon de rugby (allongé) ou une mandarine (aplatie) en sont des exemples, et la Terre est un ellipsoïde de révolution légèrement aplati. |
| volume | La place qu’occupe un solide, donnée par un nombre. On la mesure en comptant combien de cubes de 1 cm de côté (1 cm³) tiennent dedans. |
Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
Voici ce qu’il est utile de comprendre pour utiliser le calcul de cette page en sachant ce qu’il fait, et pas seulement en appuyant sur le bouton.
| La multiplication des entiers et des décimaux (CE2-CM2, 8-11 ans) |
|
| Le volume et ses unités (CM2-6e, 10-12 ans) |
|
| Le nombre pi (6e, 11-12 ans) |
|
| La multiplication d’une fraction par un entier (6e-5e, 11-13 ans) |
|
| Le volume de la boule (3e, 14-15 ans) |
|
Calculer avec Excel
Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 d’Excel. Il fonctionne tel quel.
Tableau pour calculer le volume d’un ellipsoïde
| Demi-axe a (cm) | 10 |
| Demi-axe b (cm) | 5 |
| Demi-axe c (cm) | 8 |
| Volume de l’ellipsoïde (cm³) | =4/3*PI()*B1*B2*B3 |
Tableau pour calculer le volume d’une boule
| Rayon (cm) | 3 |
| Volume de la boule (cm³) | =4/3*PI()*B1^3 |
Tableau pour convertir des cm³ en litres
| Volume en cm³ | 2000 |
| Volume en litres | =B1/1000 |
Une fois le tableau collé, la colonne A contient les libellés et la colonne B les nombres. Les premières lignes sont vos données, et la formule de la dernière ligne se calcule toute seule à partir d’elles.
Dans une formule, « B1 » et « B2 » veulent dire « prendre le nombre de cette cellule ». « * » est la multiplication, « / » la division, « ^ » la puissance (combien de fois on multiplie) et « PI() » une fonction qui donne le nombre pi (π).
Par exemple, dans le premier tableau, B4 affiche 4/3 × π × 10 × 5 × 8 = environ 1 675,52 (en cm³, car vous avez saisi des cm). Le deuxième tableau affiche environ 113,10 en B2, et le troisième 2 en B2. Il suffit de remplacer les nombres saisis par vos propres longueurs.
Dans une formule, « B1 » et « B2 » veulent dire « prendre le nombre de cette cellule ». « * » est la multiplication, « / » la division, « ^ » la puissance (combien de fois on multiplie) et « PI() » une fonction qui donne le nombre pi (π).
Par exemple, dans le premier tableau, B4 affiche 4/3 × π × 10 × 5 × 8 = environ 1 675,52 (en cm³, car vous avez saisi des cm). Le deuxième tableau affiche environ 113,10 en B2, et le troisième 2 en B2. Il suffit de remplacer les nombres saisis par vos propres longueurs.
Calculer avec Google Sheets
Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 de Google Sheets. Il fonctionne tel quel.
Tableau pour calculer le volume d’un ellipsoïde
| Demi-axe a (cm) | 10 |
| Demi-axe b (cm) | 5 |
| Demi-axe c (cm) | 8 |
| Volume de l’ellipsoïde (cm³) | =4/3*PI()*B1*B2*B3 |
Tableau pour calculer le volume d’une boule
| Rayon (cm) | 3 |
| Volume de la boule (cm³) | =4/3*PI()*B1^3 |
Tableau pour convertir des cm³ en litres
| Volume en cm³ | 2000 |
| Volume en litres | =B1/1000 |
Les mêmes formules qu’Excel (y compris la fonction PI()) fonctionnent telles quelles. Copiez tout le tableau, collez-le dans la cellule A1 et remplacez les nombres saisis par vos propres longueurs.
Calculer avec Python
import math
a = 10 # demi-axe a (en cm dans cet exemple ; distance du centre à la surface)
b = 5 # demi-axe b (même unité que a)
c = 8 # demi-axe c (même unité que a et b)
volume = 4 / 3 * math.pi * a * b * c # volume de l’ellipsoïde (unité saisie au cube ; ici en cm3)
volume_l = volume / 1000 # pour des cm saisis, le volume converti en litres
print(f"Volume de l’ellipsoïde : {volume} cm3")
print(f"En litres : {volume_l} L")
Fonctionne avec la bibliothèque standard seule. « math.pi » est le nombre pi (π), « * » la multiplication et « / » la division. Modifiez les trois demi-axes au début et lancez le code. Avec trois valeurs égales, vous obtenez le volume d’une boule (la conversion en litres suppose des cm saisis).
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
Volume d’un ellipsoïde
V = (4/3)πabc
V = \dfrac{4}{3}\pi abc
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>V</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac><mn>4</mn><mn>3</mn></mfrac>
<mi>π</mi>
<mi>a</mi>
<mi>b</mi>
<mi>c</mi>
</mrow>
</math>
V = 4/3 pi a b c
(4/3) Pi a b c
V := (4/3)*Pi*a*b*c;
V = 4/3*pi*a*b*c;
V = (4/3)πabc
Volume d’une boule (un cas particulier d’ellipsoïde)
V = (4/3)πr³
V = \dfrac{4}{3}\pi r^{3}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>V</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac><mn>4</mn><mn>3</mn></mfrac>
<mi>π</mi>
<msup><mi>r</mi><mn>3</mn></msup>
</mrow>
</math>
V = 4/3 pi r^3
(4/3) Pi r^3
V := (4/3)*Pi*r^3;
V = 4/3*pi*r^3;
V = (4/3)πr^3
Conversion du volume (cm³ → L)
V[L] = V[cm³] ÷ 1000
V_{\mathrm{L}} = V_{\mathrm{cm^3}} \div 1000
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>V</mi><mi mathvariant="normal">L</mi></msub>
<mo>=</mo>
<msub><mi>V</mi><mrow><msup><mi mathvariant="normal">cm</mi><mn>3</mn></msup></mrow></msub>
<mo>÷</mo>
<mn>1000</mn>
</mrow>
</math>
V_L = V_(cm^3) -: 1000
vCm3/1000
vL := vCm3/1000;
v_l = v_cm3/1000;
V(L) = V(cm³)/1000
Faire faire le calcul par ChatGPT
Vous êtes un assistant de calcul en mathématiques. Faites le calcul suivant en exécutant réellement du code Python, et appuyez votre réponse uniquement sur les nombres obtenus à l’exécution (ne répondez pas de tête ni au jugé). Un ellipsoïde a pour demi-axes a = 10 cm, b = 5 cm et c = 8 cm (un demi-axe est la distance du centre à la surface). Calculez : 1. Le volume de cet ellipsoïde en cm³ (V = 4/3 × π × a × b × c) 2. Ce volume converti en litres (L) Montrez les formules utilisées et les nombres obtenus à l’exécution.
Mode d'emploi
-
1Saisissez vos nombresTapez les nombres à calculer dans les champs de saisie
-
2CalculezAppuyez sur le bouton « Calculer »
-
3Lisez le résultatLe résultat s’affiche aussitôt. La même page explique aussi le raisonnement et la formule
Les atouts de DataChef
Simple et gratuit
Conversions gratuites et illimitées
Aucune compétence requise – simple et intuitif
Aucune compétence requise – simple et intuitif
Aucune inscription requise
Utilisable dès l'ouverture de la page
Aucune donnée personnelle nécessaire
Aucune donnée personnelle nécessaire
Sûr et fiable
Connexion fortement chiffrée (SSL)
Le fichier est supprimé automatiquement après le téléchargement
Le fichier est supprimé automatiquement après le téléchargement
Rapide
Affichage et conversion rapides, sans attente
Sans filigrane
Aucun filigrane
Aucune mention de crédit nécessaire
Aucune mention de crédit nécessaire
Usage commercial autorisé
Usage commercial gratuit
Aucune autorisation préalable nécessaire
Aucune autorisation préalable nécessaire
Fonctions connexes
Calcul du cercle (rayon, diamètre, périmètre et aire du disque)
Calcule l’aire et le périmètre du cercle qui apparaît dans les sections d’un ellipsoïde, à partir d’une seule valeur comme le rayon
