Choisissez la taille de la matrice (de 2×2 à 4×4) et saisissez les coefficients dans la grille. L’inverse n’est défini que pour une matrice carrée (lignes = colonnes) et n’existe que si le déterminant n’est pas nul (s’il est nul, le calculateur l’indique).
Entrez les coefficients sous forme de nombres (décimaux et négatifs acceptés).
Résultat
Choisissez la taille de la matrice à gauche, saisissez les coefficients et appuyez sur « Calculer ». La matrice inverse et les étapes s’affichent ici.
Table des matières
-
Ce que vous pouvez faire sur cette page
-
À quoi sert ce calcul ?
-
Mode d'emploi
-
Formule
-
Symboles et termes
-
Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
-
Calculer avec Excel
-
Calculer avec Google Sheets
-
Calculer avec Python
-
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
-
Faire faire le calcul par ChatGPT
-
Les atouts de DataChef
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Fonctions connexes
-
Liste des calculatrices NumberChef
Ce que vous pouvez faire sur cette page
- Calculez tout de suite l’inverse \(A^{-1}\) d’une matrice carrée 2×2, 3×3 ou 4×4
- Le calculateur affiche aussi le déterminant \(\det(A)\) et indique si l’inverse existe (si la matrice est inversible)
- Les étapes utilisent la formule « \(A^{-1} = \dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\) » en 2×2, et la méthode de la comatrice en 3×3 et 4×4
- Une explication simple des formules et des formules à copier-coller pour Excel, Google Sheets (INVERSEMAT) et Python se trouvent aussi sur cette page
Seules les matrices carrées (lignes = colonnes) dont le déterminant n’est pas nul ont une inverse. La somme, le produit et la transposée des matrices se trouvent sur la page sœur « Calcul matriciel », et les étapes détaillées du déterminant sur « Calcul de déterminant ».
À quoi sert ce calcul ?
Résoudre un système d’équations linéaires en une étape
Un système d’équations linéaires avec autant d’équations que d’inconnues s’écrit \(A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}\) avec la matrice des coefficients \(A\). En multipliant les deux membres à gauche par \(A^{-1}\), on obtient \(\boldsymbol{x} = A^{-1}\boldsymbol{b}\). Une fois l’inverse connue, une seule multiplication donne donc la solution.
C’est particulièrement efficace quand on résout le système de nombreuses fois en ne changeant que le second membre \(\boldsymbol{b}\) (comme en calcul de structures ou en analyse de circuits). Si l’inverse n’existe pas (déterminant nul), c’est le signe que le système n’a pas une solution unique.
Annuler un changement de coordonnées en infographie et en robotique
En infographie 3D, dans les jeux et en robotique, les transformations comme tourner, agrandir ou déplacer se calculent par produit de matrices. Revenir des coordonnées après la transformation aux coordonnées d’avant se fait avec la matrice inverse.
Par exemple, passer des coordonnées vues par la caméra à celles de toute la scène (la matrice de vue), ou retrouver où se situe dans l’espace 3D un point cliqué à l’écran, utilise des matrices inverses presque à chaque image.
Déchiffrer un code dont la clé est une matrice (chiffre de Hill)
En transformant les lettres en nombres et en les multipliant par une matrice, un message devient un message chiffré (le chiffre de Hill, étudié en Terminale dans l’option « mathématiques expertes »). Le destinataire retrouve le message d’origine en multipliant par l’inverse de la matrice clé.
Le couple « ce qu’une matrice fait, son inverse le défait » correspond exactement au couple chiffrement–déchiffrement : c’est l’exemple le plus direct de l’idée d’inverse. (En pratique, les nombres sont traités modulo 26, et la clé doit être une matrice inversible dans ce système de nombres.)
Calculer les effets d’entraînement dans l’économie (analyse entrées-sorties)
Les effets d’entraînement entre branches, comme « si la production automobile augmente, combien d’acier et d’électricité faut-il produire en plus », se calculent en rangeant les échanges entre branches dans une matrice \(A\), puis en multipliant par \((I - A)^{-1}\) (la matrice inverse de Leontief).
C’est une méthode classique quand l’État ou les collectivités locales annoncent les retombées économiques de grands travaux ou d’événements comme des festivals : un bel exemple de matrices inverses au service des décisions publiques.
Trouver la droite qui s’ajuste le mieux aux données (régression, base de l’IA)
La régression (méthode des moindres carrés), qui trace « la droite qui colle le mieux » à des données comme les dépenses publicitaires et les ventes, écrit sa solution avec une matrice inverse : \(\hat{\boldsymbol{\beta}} = (X^{\mathsf{T}}X)^{-1}X^{\mathsf{T}}\boldsymbol{y}\) (la solution des équations normales).
Cette formule figure dans tous les manuels de statistique et d’apprentissage automatique, et la matrice inverse est au point de départ de la façon dont l’IA apprend des tendances à partir des données.
Formule
Définition de l’inverse (la matrice qui donne la matrice identité)
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(A\)
\(A^{-1}\)
\(=\)
\(I\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
①
\(A\) : matrice de départ
②
\(A^{-1}\) : matrice inverse
\(=\)
③
\(I\) : matrice identité
La formule en mots
①
En multipliant la
\(A\) : matrice de départ
par sa
②
\(A^{-1}\) : matrice inverse
, on obtient la
③
\(I\) : matrice identité (des 1 sur la diagonale d’en haut à gauche à en bas à droite, des 0 partout ailleurs)
Exemple simple
L’inverse de \(A = \begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}\) est \(A^{-1} = \begin{pmatrix} 0{,}6 & -0{,}7 \\ -0{,}2 & 0{,}4 \end{pmatrix}\) (la formule suivante montre comment la trouver). Vérifions en multipliant :
\(A\) : matrice de départ
\(A^{-1}\) : matrice inverse
\(=\)
\(I\) : matrice identité
\(\begin{pmatrix} 4 \times 0{,}6 + 7 \times (-0{,}2) & 4 \times (-0{,}7) + 7 \times 0{,}4 \\ 2 \times 0{,}6 + 6 \times (-0{,}2) & 2 \times (-0{,}7) + 6 \times 0{,}4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)
L’idée clé
La matrice inverse, c’est « la version matricielle de l’inverse d’un nombre ». De même que \(a \times \dfrac{1}{a} = 1\) pour les nombres (multipliez 3 par \(\dfrac{1}{3}\) et vous revenez à 1), on a pour les matrices \(A A^{-1} = I\). La matrice identité \(I\) est « la matrice qui ne change rien quand on multiplie par elle » : elle joue le rôle du nombre 1. On la note aussi \(I_n\) (par exemple \(I_2\)) pour préciser sa taille.
Ici, l’ordre de la multiplication n’a pas d’importance : \(A A^{-1} = A^{-1} A = I\). Et de même que le nombre 0 n’a pas d’inverse, certaines matrices n’en ont pas. On le sait selon que leur déterminant \(\det(A)\) est nul ou non. (Certains ouvrages, comme les manuels japonais, notent la matrice identité \(E\).)
Formule de l’inverse d’une matrice 2×2
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(A^{-1}\)
\(=\)
\(\dfrac{1}{ad - bc}\)
\(\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
③
\(A^{-1}\) : matrice inverse
\(=\)
②
\(\dfrac{1}{ad - bc}\) : inverse du déterminant
①
matrice aux coefficients réarrangés
La formule en mots
①
Avec \(A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\), on prend la
matrice aux coefficients réarrangés (on échange \(a\) et \(d\), et on change le signe de \(b\) et de \(c\))
, on multiplie chaque coefficient par l’
②
\(\dfrac{1}{ad - bc}\) : inverse du déterminant
, et on obtient la
③
\(A^{-1}\) : matrice inverse
Exemple simple
L’inverse de \(A = \begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}\) est
\(ad - bc = 4 \times 6 - 7 \times 2 = 24 - 14 = 10\)
\(A^{-1} = \dfrac{1}{10} \begin{pmatrix} 6 & -7 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}6 & -0{,}7 \\ -0{,}2 & 0{,}4 \end{pmatrix}\)
L’idée clé
Retenez-la en trois étapes : « échanger le coefficient en haut à gauche et celui en bas à droite (\(a\) et \(d\)), changer le signe des deux autres (\(b\) et \(c\)), et diviser par le déterminant \(ad - bc\) ».
Quand \(ad - bc = 0\), il faudrait diviser par 0 : la formule ne s’applique pas. Autrement dit, une matrice de déterminant nul n’a pas d’inverse (ce calculateur indique alors que l’inverse n’existe pas).
Avec la comatrice (la formule générale, aussi pour 3×3 et plus)
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(A^{-1}\)
\(=\)
\(\dfrac{1}{\det(A)}\)
\(\operatorname{adj}(A)\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
③
\(A^{-1}\) : matrice inverse
\(=\)
②
\(\dfrac{1}{\det(A)}\) : inverse du déterminant
①
\(\operatorname{adj}(A)\) : transposée de la comatrice, \({}^{t}\operatorname{com}(A)\)
La formule en mots
①
On prend la
\(\operatorname{adj}(A)\) : transposée de la comatrice (les cofacteurs de tous les coefficients, rangés puis avec lignes et colonnes échangées)
, on multiplie chaque coefficient par l’
②
\(\dfrac{1}{\det(A)}\) : inverse du déterminant
, et on obtient la
③
\(A^{-1}\) : matrice inverse
Exemple simple
Pour \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix}\), le développement par cofacteurs donne le déterminant, puis l’inverse :
\(\det(A) = 1 \times (1 \times 0 - 4 \times 6) - 2 \times (0 \times 0 - 4 \times 5) + 3 \times (0 \times 6 - 1 \times 5)\)
\(= -24 + 40 - 15 = 1\)
\(A^{-1} = \dfrac{1}{1} \operatorname{adj}(A) = \begin{pmatrix} -24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1 \end{pmatrix}\)
L’idée clé
Pour chaque place, on calcule « le mineur obtenu en retirant la ligne \(i\) et la colonne \(j\), muni du signe \((-1)^{i+j}\) » (le cofacteur) ; ranger tous ces cofacteurs donne la comatrice \(\operatorname{com}(A)\), et on la transpose à la fin. On obtient ainsi \(\operatorname{adj}(A) = {}^{t}\operatorname{com}(A)\) (la « matrice adjointe », en anglais « adjugate »), d’où la formule \(A^{-1} = \dfrac{1}{\det(A)}\,{}^{t}\operatorname{com}(A)\). La « matrice réarrangée » de la formule 2×2 est en fait exactement cette transposée de la comatrice.
À la main, une autre méthode classique est la méthode du pivot de Gauss : on place la matrice identité à côté de la matrice et on transforme les lignes. Les deux méthodes donnent le même résultat ; ce calculateur affiche les valeurs intermédiaires de la méthode de la comatrice.
L’inverse \(A^{-1}\) est « la matrice qui, multipliée par A, donne la matrice identité \(I\) » : la version matricielle de l’inverse d’un nombre. Elle n’existe que pour les matrices carrées telles que \(\det(A) \neq 0\). En 2×2, on utilise la formule « échanger, changer les signes, diviser par le déterminant » ; en 3×3 et plus, la transposée de la comatrice (ou la méthode du pivot de Gauss). Les inverses servent beaucoup à résoudre des systèmes d’équations linéaires.
Symboles et termes
Symboles
| \(A\) | A | Le nom donné à une matrice. Par convention, on note les matrices avec des lettres majuscules. |
| \(A^{-1}\) | A moins un (inverse de A) | L’inverse de la matrice \(A\). Le \(-1\) en haut à droite s’écrit comme « puissance −1 », avec la même idée que l’inverse d’un nombre, \(a^{-1} = \dfrac{1}{a}\) (mais on n’écrit jamais une matrice en fraction \(\dfrac{1}{A}\)). |
| \(I\) | I (matrice identité) | La matrice identité : une matrice carrée avec des 1 sur la diagonale d’en haut à gauche à en bas à droite et des 0 partout ailleurs. Multiplier une matrice par elle ne change rien : elle joue le rôle du nombre 1. On l’écrit souvent \(I_n\) pour indiquer sa taille (\(I_2\), \(I_3\)). |
| \(\det(A),\ |A|\) | déterminant de A | Le déterminant de la matrice \(A\). S’il n’est pas nul, l’inverse existe ; s’il est nul, elle n’existe pas. L’écriture avec des barres verticales \(|A|\) est aussi courante. |
| \(\operatorname{adj}(A)\) | adj de A (transposée de la comatrice) | La transposée de la comatrice de \(A\) : les cofacteurs de tous les coefficients, rangés puis transposés. En France, on l’écrit plutôt \({}^{t}\operatorname{com}(A)\) ; la notation adj vient de l’anglais « adjugate » (matrice adjointe). |
| \(a_{ij}\) | a indice i j | Le coefficient de la matrice \(A\) situé ligne \(i\), colonne \(j\) (le nombre de la \(i\)-ième ligne en partant du haut et de la \(j\)-ième colonne en partant de la gauche). Les petites lettres en bas à droite (les indices) donnent sa place. |
Termes
| matrice inverse | La matrice qui donne la matrice identité quand on la multiplie par A. C’est la version matricielle de l’inverse d’un nombre, notée \(A^{-1}\). Elle n’existe que pour les matrices carrées de déterminant non nul, et elle sert à résoudre des systèmes d’équations linéaires ou à annuler une transformation. |
| matrice identité | Une matrice carrée avec des 1 sur la diagonale (d’en haut à gauche à en bas à droite) et des 0 partout ailleurs. Multiplier une matrice par elle ne change rien : elle correspond au nombre 1. |
| matrice carrée | Une matrice qui a autant de lignes que de colonnes (en forme de carré). L’inverse et le déterminant n’existent que pour les matrices carrées. |
| déterminant | Un nombre unique associé à une matrice carrée. Il indique qu’une inverse existe quand \(\det(A) \neq 0\). Son calcul est expliqué en détail sur la page sœur « Calcul de déterminant ». |
| matrice inversible | Une matrice carrée dont le déterminant n’est pas nul. Elle a une inverse. Une matrice de déterminant nul est dite singulière (non inversible) et n’a pas d’inverse. |
| cofacteur | Le déterminant de la plus petite matrice obtenue en retirant la ligne \(i\) et la colonne \(j\) (le mineur), multiplié par le signe \((-1)^{i+j}\). Les cofacteurs sont les briques de la comatrice. |
| comatrice | La matrice des cofacteurs de toutes les places, notée \(\operatorname{com}(A)\). Sa transposée \({}^{t}\operatorname{com}(A)\) (notée \(\operatorname{adj}(A)\) dans les ouvrages anglophones), divisée par le déterminant, donne l’inverse. Attention : dans des ouvrages plus avancés, « matrice adjointe » désigne souvent une autre matrice (la transposée conjuguée). |
| méthode du pivot de Gauss | Une méthode où l’on place la matrice \(A\) et la matrice identité \(I\) côte à côte, puis où l’on répète des opérations sur les lignes jusqu’à ce que la moitié gauche devienne \(I\) : la moitié droite est alors \(A^{-1}\). On l’appelle aussi méthode de Gauss-Jordan ; c’est la méthode principale pour les grandes matrices. |
| algèbre linéaire | La branche des mathématiques qui étudie les matrices et les vecteurs. On l’étudie en première année après le bac (classes préparatoires, licence), et elle est à la base de l’infographie, des statistiques, de l’IA et de bien d’autres applications. |
Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
Voici ce qu’il est utile de savoir pour utiliser les calculs de cette page en comprenant ce qu’ils font.
| Opérations avec les nombres relatifs (5e-4e, 12-14 ans) |
|
| L’inverse d’un nombre (4e, 13-14 ans) |
|
| Les bases des matrices et le produit (Terminale option maths expertes, puis algèbre linéaire) |
|
| Le déterminant (Seconde pour le 2×2, puis algèbre linéaire) |
|
Calculer avec Excel
Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 d’Excel. Il fonctionne tel quel.
Tableau pour trouver l’inverse d’une matrice 2×2
| Ligne 1 de la matrice A | 4 | 7 |
| Ligne 2 de la matrice A | 2 | 6 |
| Inverse A⁻¹ | =INVERSEMAT(B1:C2) |
Tableau pour trouver l’inverse d’une matrice 3×3
| Ligne 1 de la matrice A | 1 | 2 | 3 |
| Ligne 2 de la matrice A | 0 | 1 | 4 |
| Ligne 3 de la matrice A | 5 | 6 | 0 |
| Inverse A⁻¹ | =INVERSEMAT(B1:D3) |
La fonction INVERSEMAT suffit pour trouver l’inverse. Donnez-lui la plage de la matrice carrée (B1:C2 dans le premier tableau) : le résultat s’affiche sous forme d’une matrice de même taille, qui s’étend automatiquement vers la droite et vers le bas à partir de la cellule de la formule (propagation ; dans les anciennes versions d’Excel, sélectionnez d’abord une plage de la taille du résultat et validez la formule avec Ctrl+Maj+Entrée).
Dans le premier tableau, la ligne 1 vaut 0,6 et -0,7 et la ligne 2 vaut -0,2 et 0,4. Dans le deuxième tableau, la ligne 1 vaut -24, 18, 5, la ligne 2 vaut 20, -15, -4 et la ligne 3 vaut -5, 4, 1.
Si vous donnez à INVERSEMAT une matrice de déterminant nul (sans inverse), elle renvoie l’erreur #NOMBRE!. Vous pouvez vérifier le déterminant lui-même avec la fonction DETERMAT.
Dans le premier tableau, la ligne 1 vaut 0,6 et -0,7 et la ligne 2 vaut -0,2 et 0,4. Dans le deuxième tableau, la ligne 1 vaut -24, 18, 5, la ligne 2 vaut 20, -15, -4 et la ligne 3 vaut -5, 4, 1.
Si vous donnez à INVERSEMAT une matrice de déterminant nul (sans inverse), elle renvoie l’erreur #NOMBRE!. Vous pouvez vérifier le déterminant lui-même avec la fonction DETERMAT.
Calculer avec Google Sheets
Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 de Google Sheets. Il fonctionne tel quel.
Tableau pour trouver l’inverse d’une matrice 2×2
| Ligne 1 de la matrice A | 4 | 7 |
| Ligne 2 de la matrice A | 2 | 6 |
| Inverse A⁻¹ | =INVERSEMAT(B1:C2) |
Tableau pour trouver l’inverse d’une matrice 3×3
| Ligne 1 de la matrice A | 1 | 2 | 3 |
| Ligne 2 de la matrice A | 0 | 1 | 4 |
| Ligne 3 de la matrice A | 5 | 6 | 0 |
| Inverse A⁻¹ | =INVERSEMAT(B1:D3) |
La même fonction INVERSEMAT qu’Excel fonctionne telle quelle dans Google Sheets en français. Copiez tout le tableau et collez-le en cellule A1. Le résultat s’étend automatiquement vers la droite et vers le bas à partir de la cellule de la formule.
Dans le premier tableau, la ligne 1 vaut 0,6 et -0,7 et la ligne 2 vaut -0,2 et 0,4 ; dans le deuxième tableau, la ligne 1 vaut -24, 18, 5, la ligne 2 vaut 20, -15, -4 et la ligne 3 vaut -5, 4, 1.
Dans le premier tableau, la ligne 1 vaut 0,6 et -0,7 et la ligne 2 vaut -0,2 et 0,4 ; dans le deuxième tableau, la ligne 1 vaut -24, 18, 5, la ligne 2 vaut 20, -15, -4 et la ligne 3 vaut -5, 4, 1.
Calculer avec Python
from fractions import Fraction
A = [[4, 7], [2, 6]]
def determinant(matrix): # déterminant (développement selon la ligne 1, calculé récursivement)
n = len(matrix)
if n == 1:
return matrix[0][0]
total = 0
for j in range(n):
minor = [row[:j] + row[j + 1:] for row in matrix[1:]] # sous-matrice sans la ligne 1 ni la colonne j
total += (-1) ** j * matrix[0][j] * determinant(minor)
return total
def inverse(matrix): # inverse (transposée de la comatrice divisée par le déterminant)
n = len(matrix)
det = Fraction(determinant(matrix))
if det == 0:
return None # quand le déterminant est nul, il n’y a pas d’inverse
inverse_rows = []
for i in range(n):
row = []
for j in range(n):
# coefficient (i, j) = mineur sans la ligne j ni la colonne i x signe / déterminant (inclut la transposition)
minor = [r[:i] + r[i + 1:] for k, r in enumerate(matrix) if k != j]
row.append((-1) ** (i + j) * determinant(minor) / det)
inverse_rows.append(row)
return inverse_rows
inverse_matrix = inverse(A)
if inverse_matrix is None:
print("L’inverse n’existe pas (det(A) = 0)")
else:
for row in inverse_matrix:
print([float(x) for x in row])
Fonctionne avec la bibliothèque standard seule. Le module fractions garde les nombres sous forme de fractions exactes : même les divisions n’introduisent aucune erreur. Remplacez A au début par votre propre matrice (n’importe quelle matrice carrée, même 4×4 ou plus) et lancez le programme. Cet exemple affiche 0,6 et -0,7 pour la ligne 1, puis -0,2 et 0,4 pour la ligne 2 (Python les écrit avec un point décimal). Pour du calcul numérique sérieux, on utilise en général NumPy, une bibliothèque faite pour les matrices (numpy.linalg.inv(A)).
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
Définition de l’inverse (la matrice qui donne la matrice identité)
AA⁻¹ = A⁻¹A = I
A A^{-1} = A^{-1} A = I
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>A</mi>
<msup><mi>A</mi><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup>
<mo>=</mo>
<msup><mi>A</mi><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup>
<mi>A</mi>
<mo>=</mo>
<mi>I</mi>
</mrow>
</math>
A A^-1 = A^-1 A = I
A . Inverse[A]
A . LinearAlgebra:-MatrixInverse(A);
I = A * inv(A);
AA^(-1) = A^(-1)A = I
Formule de l’inverse d’une matrice 2×2
A⁻¹ = 1/(ad − bc) × [d, −b; −c, a]
A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup><mi>A</mi><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mn>1</mn>
<mrow><mi>a</mi><mi>d</mi><mo>-</mo><mi>b</mi><mi>c</mi></mrow>
</mfrac>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mtable>
<mtr><mtd><mi>d</mi></mtd><mtd><mrow><mo>-</mo><mi>b</mi></mrow></mtd></mtr>
<mtr><mtd><mrow><mo>-</mo><mi>c</mi></mrow></mtd><mtd><mi>a</mi></mtd></mtr>
</mtable>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
</math>
A^-1 = 1/(ad - bc) [[d, -b], [-c, a]]
Inverse[{{a, b}, {c, d}}]
LinearAlgebra:-MatrixInverse(Matrix([[a, b], [c, d]]));
B = inv(A);
A^(-1) = 1/(ad − bc) (■(d&−b@−c&a))
Avec la comatrice (la formule générale, aussi pour 3×3 et plus)
A⁻¹ = adj(A)/det(A)
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \operatorname{adj}(A)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup><mi>A</mi><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mn>1</mn>
<mrow><mi>det</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo></mrow></mrow>
</mfrac>
<mi>adj</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo></mrow>
</mrow>
</math>
A^-1 = 1/(det(A)) "adj"(A)
Inverse[A]
LinearAlgebra:-MatrixInverse(A);
B = inv(A);
A^(-1) = adj(A)/det(A)
Faire faire le calcul par ChatGPT
Tu es un assistant de calcul matriciel. Fais le calcul suivant en exécutant réellement du code Python, et appuie ta réponse uniquement sur les nombres obtenus à l’exécution (ne réponds pas de tête ni au jugé). Trouve l’inverse de chacune des deux matrices carrées suivantes (écrites ligne par ligne) : 1. A = [[4, 7], [2, 6]] 2. B = [[1, 2], [2, 4]] Pour chacune, donne d’abord la valeur du déterminant et indique si l’inverse existe ; si elle existe, donne ses coefficients. Enfin, vérifie aussi par le calcul que le produit de la matrice de départ par son inverse est la matrice identité.
Mode d'emploi
-
1Saisissez vos nombresTapez les nombres à calculer dans les champs de saisie
-
2CalculezAppuyez sur le bouton « Calculer »
-
3Lisez le résultatLe résultat s’affiche aussitôt. La même page explique aussi le raisonnement et la formule
Les atouts de DataChef
Simple et gratuit
Conversions gratuites et illimitées
Aucune compétence requise – simple et intuitif
Aucune compétence requise – simple et intuitif
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Utilisable dès l'ouverture de la page
Aucune donnée personnelle nécessaire
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Le fichier est supprimé automatiquement après le téléchargement
Le fichier est supprimé automatiquement après le téléchargement
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Affichage et conversion rapides, sans attente
Sans filigrane
Aucun filigrane
Aucune mention de crédit nécessaire
Aucune mention de crédit nécessaire
Usage commercial autorisé
Usage commercial gratuit
Aucune autorisation préalable nécessaire
Aucune autorisation préalable nécessaire
Fonctions connexes
Calcul matriciel (somme, différence, produit, transposée, puissance)
Pour calculer avec les matrices elles-mêmes. Les bases des matrices (lignes, colonnes, coefficients) y sont aussi expliquées
Calcul de déterminant (2×2, 3×3, 4×4)
Le déterminant det(A) décide si l’inverse existe. Les étapes détaillées de la règle de Sarrus et du développement par cofacteurs y sont
