Choisissez la base de votre nombre et saisissez-le écrit dans cette base. La page le convertit d’un coup en binaire, octal, décimal et hexadécimal, et affiche les étapes.
Les entiers de 0 jusqu’à 64 chiffres binaires (18 446 744 073 709 551 615 en décimal) sont pris en charge. Les chiffres hexadécimaux A à F peuvent être saisis en majuscules ou en minuscules.
Résultat
Choisissez la base de votre nombre à gauche, saisissez-le et appuyez sur « Calculer ». Le nombre s’affiche ici dans les quatre bases.
Table des matières
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Ce que vous pouvez faire sur cette page
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À quoi sert ce calcul ?
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Mode d'emploi
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Formule
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Symboles et termes
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Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
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Calculer avec Excel
-
Calculer avec Google Sheets
-
Calculer avec Python
-
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
-
Faire faire le calcul par ChatGPT
-
Les atouts de DataChef
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Fonctions connexes
-
Liste des calculatrices NumberChef
Ce que vous pouvez faire sur cette page
- Choisissez la base de votre nombre (binaire, octal, décimal ou hexadécimal), saisissez-le, et vous voyez le même nombre dans les quatre bases d’un coup
- Répond en une étape à des questions comme « Combien vaut 2AA en hexadécimal, en décimal ? » ou « Comment s’écrit 170 en binaire ? »
- Le calculateur montre le développement en puissances de la base (chaque chiffre × son poids, le tout additionné) et les divisions successives par la base avec leurs restes : vous apprenez la méthode elle-même
- Utile pour réviser les changements de base et vérifier ses réponses en SNT, en NSI, en BTS ou pour les certifications informatiques
- Une explication simple des formules et des formules à copier-coller pour Excel, Google Sheets et Python se trouvent aussi sur cette page
Vous pouvez convertir les nombres entiers de 0 jusqu’à 64 chiffres binaires (environ 1,8 × 10¹⁹ en décimal). Les nombres à virgule et les nombres négatifs ne sont pas pris en charge.
À quoi sert ce calcul ?
Un classique des cours d’informatique au lycée et des examens
Le changement de base est un thème classique en France : il figure au programme de SNT en Seconde et de NSI en Première et en Terminale, et on le retrouve en BTS SIO, en BUT informatique et dans les certifications informatiques.
Des questions comme « Combien vaut 1010 (binaire) en décimal ? » ou « Écrire 45 en binaire » utilisent exactement les deux méthodes de cette page : le développement en puissances de la base et les divisions successives avec leurs restes. S’entraîner en voyant les étapes aide à ne pas bloquer le jour de l’examen.
Les codes couleur en web design et en programmation (hexadécimal)
Les couleurs des pages web se définissent par des codes couleur hexadécimaux comme « #FF5733 ». Le code donne l’intensité du rouge, du vert et du bleu avec deux chiffres hexadécimaux chacun (00 à FF = 0 à 255 en décimal) : #FF5733, c’est rouge FF (255), vert 57 (87) et bleu 33 (51).
Une fois qu’on sait passer de l’hexadécimal au décimal, on peut imaginer directement, à partir du code, des changements comme « un peu moins de rouge ».
Les droits des fichiers sous Linux sont en octal
Le 755 de « chmod 755 », une commande très utilisée sur les serveurs, est un nombre octal. Chaque chiffre octal correspond à 3 chiffres binaires, et 755 s’écrit 111 101 101 en binaire : des interrupteurs « lecture, écriture, exécution », 3 bits pour le propriétaire, 3 pour le groupe et 3 pour tous les autres.
Quand on comprend les bases de numération, ce nombre n’est plus un code secret, mais un tableau d’interrupteurs.
Comprendre les adresses IP et les masques de sous-réseau (binaire)
Une adresse IP comme 192.168.1.1 est en réalité un nombre binaire découpé en quatre parties de 8 bits : 192 s’écrit 11000000 et 255 s’écrit 11111111.
Les bases des réseaux, comme « le masque 255.255.255.0 indique que les 24 premiers bits forment la partie réseau », ne prennent sens que si l’on sait passer du décimal au binaire. Ces connaissances sont le socle du métier d’administrateur réseau et de certifications comme le CCNA de Cisco.
Comprendre le fonctionnement d’un ordinateur (bits, octets et mémoire)
« Un octet = 8 bits, qui peuvent représenter 0 à 255 (00 à FF en hexadécimal) », « les adresses mémoire et les codes d’erreur s’affichent en hexadécimal, comme 0x7FFF » : le binaire et l’hexadécimal sont la langue commune pour comprendre ce qui se passe dans un ordinateur.
Les sujets qui font souvent trébucher en programmation, comme les opérations bit à bit, le codage des caractères ou les valeurs de couleur, deviennent bien plus clairs quand on passe librement d’une base à l’autre.
Formule
Base \(n\) → décimal (numération de position)
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(N\)
\(=\)
\(\displaystyle\sum_{i=0}^{k}\)
\(d_i\)
\(\times\)
\(b^{i}\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
④
valeur décimale \(N\)
\(=\)
③
on additionne tout \(\displaystyle\sum\)
①
chaque chiffre \(d_i\)
\(\times\)
②
poids du chiffre \(b^i\)
La formule en mots
①
On multiplie
chaque chiffre \(d_i\)
par
②
son poids \(b^i\) (la base \(b\) multipliée par elle-même \(i\) fois, où \(i\) est le rang du chiffre)
,
③
on additionne le tout \(\displaystyle\sum\)
,
④
et on obtient la
valeur décimale \(N\)
Exemple simple
Conversion de 2AA (hexadécimal) en décimal (A vaut 10 en décimal, et la base est \(b=16\))
valeur décimale \(N\)
\(=\)
\(2\)
\(\times\)
\(16^2\)
\(+\)
\(10\)
\(\times\)
\(16^1\)
\(+\)
\(10\)
\(\times\)
\(16^0\)
\(2 \times 256 + 10 \times 16 + 10 \times 1 = 512 + 160 + 10 = 682\)
L’idée clé
La numération de position est une façon d’écrire les nombres où chaque rang de chiffre a son propre poids. Elle fonctionne exactement comme le système décimal de tous les jours, \(682 = 6 \times 100 + 8 \times 10 + 2 \times 1\) ; la seule différence, c’est que les poids sont des puissances de 10 ou des puissances de 2, 8 ou 16. Le chiffre le plus à droite est au rang \(i=0\) (poids \(b^0=1\)), et chaque rang vers la gauche multiplie le poids par la base \(b\). En hexadécimal, les lettres A à F valent 10 à 15.
Décimal → base \(n\) (divisions successives par la base, restes lus à l’envers)
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(N\)
\(=\)
\(b\)
\(\times\)
\(q\)
\(+\)
\(r\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
①
valeur décimale \(N\)
\(=\)
②
base \(b\)
\(\times\)
③
quotient \(q\)
\(+\)
④
reste \(r\)
La formule en mots
①
On divise
la valeur décimale \(N\)
par
②
la base \(b\)
pour obtenir
③
un quotient \(q\)
et
④
un reste \(r\)
. On recommence avec chaque nouveau quotient jusqu’à obtenir un quotient nul. Les restes, lus du dernier au premier (le dernier reste devient le chiffre le plus à gauche), sont les chiffres du nombre en base \(n\)
Exemple simple
Conversion de 682 (décimal) en hexadécimal (première division ; le reste 10 est le chiffre hexadécimal A)
valeur décimale (682)
\(=\)
base (16)
\(\times\)
quotient (42)
\(+\)
reste (10 = A)
\(682 = 16 \times 42 + 10\)
\(42 = 16 \times 2 + 10\)
\(2 = 16 \times 0 + 2\)
L’idée clé
Les restes sortent en commençant par le chiffre le plus à droite (le chiffre des unités). Pour 682, ils apparaissent dans l’ordre 10 (A) → 10 (A) → 2 : en les lisant à l’envers, on obtient \(2\mathrm{AA}_{16}\). Retenez : « le dernier reste est le chiffre le plus à gauche ». Pour passer en binaire, faites de même avec \(b=2\) ; pour l’octal, avec \(b=8\).
Binaire ⇔ hexadécimal (par paquets de 4 bits)
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(h\)
\(=\)
\(b_3 \times 2^3 + b_2 \times 2^2 + b_1 \times 2^1 + b_0 \times 2^0\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
②
un chiffre hexadécimal \(h\)
\(=\)
①
valeur de 4 bits
La formule en mots
①
On découpe le nombre binaire en paquets de 4 chiffres à partir de la droite, et on calcule
la valeur de chaque paquet de 4 (\(b_3 \times 8 + b_2 \times 4 + b_1 \times 2 + b_0 \times 1\))
. Cette valeur est
②
un chiffre hexadécimal \(h\)
(pour l’octal, on procède de même avec des paquets de 3 chiffres)
Exemple simple
Conversion de 001010101010 (binaire) en hexadécimal, en le découpant en paquets de 4 à partir de la droite
0010 / 1010 / 1010
\(\rightarrow\)
2 / A / A
\(0010_{2} = 2 \quad 1010_{2} = 10 = \mathrm{A}\)
\(001010101010_{2} = 2\mathrm{AA}_{16}\)
L’idée clé
Un chiffre hexadécimal correspond exactement à 4 chiffres binaires (un quartet). Sans passer par le décimal, une table des paquets de 4 (0000=0, 0001=1, …, 1111=F) permet de convertir mécaniquement en hexadécimal même un long nombre binaire. C’est pour cela que les programmeurs utilisent tant l’hexadécimal : c’est une façon compacte d’écrire du binaire. L’octal correspond à 3 chiffres binaires : la même méthode fonctionne par paquets de 3.
Un changement de base se ramène à deux sens. De la base \(n\) vers le décimal, on multiplie chaque chiffre par son poids et on additionne le tout. Du décimal vers la base \(n\), on divise plusieurs fois par la base et on lit les restes de bas en haut. Entre le binaire et l’hexadécimal, les paquets de 4 bits (3 bits pour l’octal) permettent de convertir directement, sans passer par le décimal.
Symboles et termes
Symboles
| \(b\) | b | La base, le nombre qui indique le système de numération utilisé. Sur cette page, elle vaut 2, 8, 10 ou 16. (Initiale de « base ».) |
| \(d_i\) | d indice i | Le chiffre de rang \(i\), en comptant à partir de la droite (le chiffre le plus à droite est au rang 0). En hexadécimal, il peut aussi valoir A à F (10 à 15 en décimal). (Initiale de l’anglais « digit », chiffre.) |
| \(i\) | i | Le rang du chiffre. Le chiffre le plus à droite est au rang \(i=0\), et le rang augmente de 1 à chaque chiffre vers la gauche. |
| \(N\) | N | La valeur en décimal. Les étapes de conversion de cette page passent toujours par cette valeur décimale. |
| \(\sum\) | sigma (somme) | Le symbole qui veut dire « additionner le tout ». \(\sum_{i=0}^{k}\) signifie « faire varier \(i\) de 0 à \(k\) et additionner tous les termes ». |
| \(q\) | q | Le quotient d’une division. Pour passer du décimal à la base \(n\), on divise jusqu’à obtenir un quotient nul. (Initiale de « quotient ».) |
| \(r\) | r | Le reste d’une division. Les restes deviennent les chiffres du nombre en base \(n\), en commençant par le chiffre le plus à droite. (Initiale de « reste ».) |
| \(2\mathrm{AA}_{16}\) | deux A A, en base seize | Le petit 16 écrit en bas à droite d’un nombre indique « ce nombre est écrit en base 16 (hexadécimal) ». De même, \(1010_{2}\) est un nombre binaire. On utilise cette écriture quand la base pourrait prêter à confusion. Les programmeurs écrivent aussi l’hexadécimal avec le préfixe 0x, comme 0x2AA. |
Termes
| base | La règle qui dit combien d’unités forment un groupe (une retenue vers le rang suivant) quand on compte. Les nombres de tous les jours se groupent par 10 (le décimal), et les ordinateurs travaillent en interne par groupes de 2 (le binaire). Cette taille de groupe (2, 8, 10, 16, etc.) s’appelle la base du système de numération. |
| numération de position | Une façon d’écrire les nombres où chaque rang de chiffre a son propre poids. Elle fonctionne comme 682 en décimal, qui vaut \(6 \times 100 + 8 \times 10 + 2 \times 1\) ; en binaire, en octal et en hexadécimal, les poids sont des puissances de 2, de 8 et de 16. |
| binaire | Une façon d’écrire les nombres avec seulement deux chiffres, 0 et 1 (base 2). Les ordinateurs traitent l’information sous forme d’états électriques allumé/éteint : tous leurs calculs internes se font en binaire. |
| octal | Une façon d’écrire les nombres avec les huit chiffres de 0 à 7 (base 8). Un chiffre octal correspond à 3 chiffres binaires. On l’utilise pour les droits des fichiers sous Linux et Unix, comme « 755 ». |
| hexadécimal | Une façon d’écrire les nombres avec seize symboles, 0 à 9 et A à F (A vaut 10, B vaut 11, …, F vaut 15), en base 16. Un chiffre hexadécimal correspond à 4 chiffres binaires : les programmeurs l’utilisent beaucoup pour écrire de longs nombres binaires sous une forme courte. |
| bit | Un chiffre binaire. C’est la plus petite unité d’information traitée par un ordinateur ; il vaut 0 ou 1. |
| quartet | Un groupe de 4 bits (un chiffre hexadécimal), appelé aussi « nibble ». Deux quartets forment un octet. |
| octet | Un groupe de 8 bits (deux chiffres hexadécimaux). Un octet peut prendre 256 valeurs, de 00 à FF en hexadécimal : c’est pourquoi octets et hexadécimal vont si bien ensemble. (À ne pas confondre avec l’octal !) |
Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
Voici ce qu’il est utile de savoir pour utiliser les calculs de cette page en comprenant ce qu’ils font.
| La numération décimale (école élémentaire, CP à CM2, 6-11 ans) |
|
| La division avec reste (CE2 à CM1, 8-10 ans) |
|
| Les puissances (4e, 13-14 ans) |
|
| Les bases de numération (SNT en Seconde, NSI en Première, 15-17 ans) |
|
Calculer avec Excel
Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 d’Excel. Il fonctionne tel quel.
Tableau pour convertir un nombre décimal en binaire, octal et hexadécimal
| Valeur décimale | 170 |
| Binaire | =DECBIN(B1) |
| Octal | =DECOCT(B1) |
| Hexadécimal | =DECHEX(B1) |
Tableau pour convertir du binaire en décimal
| Binaire | 10101010 |
| Décimal | =BINDEC(B1) |
Tableau pour convertir de l’hexadécimal en décimal
| Hexadécimal | 2AA |
| Décimal | =HEXDEC(B1) |
Tableau pour convertir de grands nombres (fonctions BASE et DECIMAL)
| Valeur décimale | 1500 |
| Hexadécimal (BASE) | =BASE(B1;16) |
| Retour de l’hexadécimal au décimal (DECIMAL) | =DECIMAL(B2;16) |
Dans le premier tableau, saisissez un nombre décimal en B1 : B2 à B4 l’affichent en binaire, en octal et en hexadécimal (170 donne 10101010, 252 et AA).
Attention, ces fonctions ont des limites de taille. DECBIN ne fonctionne que de −512 à 511 (résultats de 10 chiffres binaires au plus), DECOCT de −536 870 912 à 536 870 911, et DECHEX de −549 755 813 888 à 549 755 813 887. Les fonctions inverses comme BINDEC et HEXDEC acceptent elles aussi 10 chiffres au plus : au-delà, on obtient une erreur, et avec exactement 10 chiffres commençant par un bit 1 (par 8 à F en hexadécimal), la valeur est lue comme un nombre négatif (complément à deux).
Pour les nombres plus grands, utilisez la fonction BASE (décimal → base n) et la fonction DECIMAL (base n → décimal) du quatrième tableau (Excel 2013 ou plus récent ; elles traitent les nombres jusqu’à environ 9 × 10¹⁵, soit 2⁵³ − 1).
Attention, ces fonctions ont des limites de taille. DECBIN ne fonctionne que de −512 à 511 (résultats de 10 chiffres binaires au plus), DECOCT de −536 870 912 à 536 870 911, et DECHEX de −549 755 813 888 à 549 755 813 887. Les fonctions inverses comme BINDEC et HEXDEC acceptent elles aussi 10 chiffres au plus : au-delà, on obtient une erreur, et avec exactement 10 chiffres commençant par un bit 1 (par 8 à F en hexadécimal), la valeur est lue comme un nombre négatif (complément à deux).
Pour les nombres plus grands, utilisez la fonction BASE (décimal → base n) et la fonction DECIMAL (base n → décimal) du quatrième tableau (Excel 2013 ou plus récent ; elles traitent les nombres jusqu’à environ 9 × 10¹⁵, soit 2⁵³ − 1).
Calculer avec Google Sheets
Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 de Google Sheets. Il fonctionne tel quel.
Tableau pour convertir un nombre décimal en binaire, octal et hexadécimal
| Valeur décimale | 170 |
| Binaire | =DECBIN(B1) |
| Octal | =DECOCT(B1) |
| Hexadécimal | =DECHEX(B1) |
Tableau pour convertir du binaire en décimal
| Binaire | 10101010 |
| Décimal | =BINDEC(B1) |
Tableau pour convertir de l’hexadécimal en décimal
| Hexadécimal | 2AA |
| Décimal | =HEXDEC(B1) |
Tableau pour convertir de grands nombres (fonctions BASE et DECIMAL)
| Valeur décimale | 1500 |
| Hexadécimal (BASE) | =BASE(B1;16) |
| Retour de l’hexadécimal au décimal (DECIMAL) | =DECIMAL(B2;16) |
Les mêmes fonctions qu’Excel fonctionnent telles quelles dans Google Sheets en français. Copiez tout le tableau, collez-le en cellule A1 et remplacez B1 par votre propre nombre.
Les limites de taille, comme DECBIN qui ne fonctionne que de −512 à 511, sont les mêmes que dans Excel. Pour les nombres plus grands, utilisez les fonctions BASE et DECIMAL.
Les limites de taille, comme DECBIN qui ne fonctionne que de −512 à 511, sont les mêmes que dans Excel. Pour les nombres plus grands, utilisez les fonctions BASE et DECIMAL.
Calculer avec Python
number = "2AA" # le nombre à convertir (écrit dans sa propre base)
from_base = 16 # la base de ce nombre (2, 8, 10 ou 16)
value = int(number, from_base) # on le transforme d’abord en entier décimal
binary = format(value, "b") # binaire
octal = format(value, "o") # octal
hexadecimal = format(value, "X") # hexadécimal (en majuscules)
print(f"Décimal : {value}")
print(f"Binaire : {binary}")
print(f"Octal : {octal}")
print(f"Hexadécimal : {hexadecimal}")
Fonctionne avec la bibliothèque standard seule. int(texte, base) convertit de la base n vers le décimal, et format(valeur, "b"/"o"/"X") du décimal vers le binaire, l’octal ou l’hexadécimal. Les entiers de Python n’ont pas de limite de taille : n’importe quel nombre, aussi grand soit-il, peut être converti. Modifiez les deux premières lignes et lancez le programme.
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
Base \(n\) → décimal (numération de position)
N = Σ dᵢ × bⁱ
N = \sum_{i=0}^{k} d_i \times b^{i}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>N</mi>
<mo>=</mo>
<munderover>
<mo>∑</mo>
<mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow>
<mi>k</mi>
</munderover>
<msub><mi>d</mi><mi>i</mi></msub>
<mo>×</mo>
<msup><mi>b</mi><mi>i</mi></msup>
</mrow>
</math>
N = sum_(i=0)^k d_i * b^i
FromDigits[{2, 10, 10}, 16]
N := add(d[i]*b^i, i = 0 .. k);
N = polyval(d, b);
N = ∑_(i=0)^k d_i × b^i
Décimal → base \(n\) (divisions successives par la base, restes lus à l’envers)
N = b × q + r (0 ≤ r < b)
N = b \times q + r \quad (0 \le r < b)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>N</mi>
<mo>=</mo>
<mi>b</mi>
<mo>×</mo>
<mi>q</mi>
<mo>+</mo>
<mi>r</mi>
</mrow>
</math>
N = b q + r, \ 0 <= r < b
QuotientRemainder[682, 16]
q := iquo(n, b); r := irem(n, b);
q = floor(n/b); r = mod(n, b);
N = b × q + r (0 ≤ r < b)
Binaire ⇔ hexadécimal (par paquets de 4 bits)
h = b₃×2³ + b₂×2² + b₁×2¹ + b₀×2⁰
h = b_3 \times 2^3 + b_2 \times 2^2 + b_1 \times 2^1 + b_0 \times 2^0
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>h</mi>
<mo>=</mo>
<msub><mi>b</mi><mn>3</mn></msub><mo>×</mo><msup><mn>2</mn><mn>3</mn></msup>
<mo>+</mo>
<msub><mi>b</mi><mn>2</mn></msub><mo>×</mo><msup><mn>2</mn><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo>
<msub><mi>b</mi><mn>1</mn></msub><mo>×</mo><msup><mn>2</mn><mn>1</mn></msup>
<mo>+</mo>
<msub><mi>b</mi><mn>0</mn></msub><mo>×</mo><msup><mn>2</mn><mn>0</mn></msup>
</mrow>
</math>
h = b_3*2^3 + b_2*2^2 + b_1*2 + b_0
FromDigits[{b3, b2, b1, b0}, 2]
h := 8*b3 + 4*b2 + 2*b1 + b0;
h = 8*b3 + 4*b2 + 2*b1 + b0;
h = b_3 × 2^3 + b_2 × 2^2 + b_1 × 2^1 + b_0 × 2^0
Faire faire le calcul par ChatGPT
Tu es un assistant de conversion entre bases de numération. Fais le calcul suivant en exécutant réellement du code Python, et appuie ta réponse uniquement sur les nombres obtenus à l’exécution (ne réponds pas de tête ni au jugé). Convertis le nombre hexadécimal 2AA dans chacune de ces bases : 1. Décimal 2. Binaire 3. Octal Pour la conversion de l’hexadécimal vers le décimal, montre aussi le développement de chaque chiffre × son poids (une puissance de 16). Montre le code utilisé et les nombres obtenus à l’exécution.
Mode d'emploi
-
1Saisissez vos nombresTapez les nombres à calculer dans les champs de saisie
-
2CalculezAppuyez sur le bouton « Calculer »
-
3Lisez le résultatLe résultat s’affiche aussitôt. La même page explique aussi le raisonnement et la formule
Les atouts de DataChef
Simple et gratuit
Conversions gratuites et illimitées
Aucune compétence requise – simple et intuitif
Aucune compétence requise – simple et intuitif
Aucune inscription requise
Utilisable dès l'ouverture de la page
Aucune donnée personnelle nécessaire
Aucune donnée personnelle nécessaire
Sûr et fiable
Connexion fortement chiffrée (SSL)
Le fichier est supprimé automatiquement après le téléchargement
Le fichier est supprimé automatiquement après le téléchargement
Rapide
Affichage et conversion rapides, sans attente
Sans filigrane
Aucun filigrane
Aucune mention de crédit nécessaire
Aucune mention de crédit nécessaire
Usage commercial autorisé
Usage commercial gratuit
Aucune autorisation préalable nécessaire
Aucune autorisation préalable nécessaire
Fonctions connexes
Décomposition en facteurs premiers
Décompose un nombre entier en produit de nombres premiers, avec les étapes
Calcul de puissance (a puissance n, exposant)
Calcule une puissance à partir de la base et de l’exposant. Pratique pour vérifier le poids d’un chiffre, comme 2 puissance 10
Division posée en ligne (quotient et reste, étape par étape)
Pose la division de deux entiers étape par étape. Un bon entraînement aux quotients et aux restes utilisés dans les changements de base
