Entrez le coefficient a et choisissez ce que vous voulez calculer (le mode). Pour l’intervalle des valeurs de y ou le taux de variation, entrez les bornes p et q de l’intervalle de x. Pour la valeur de y, entrez une valeur de x.
Les nombres décimaux (0,5), négatifs et les fractions comme 1/2 sont acceptés. Les champs changent automatiquement selon le mode.
Résultat et graphique
Saisissez le coefficient a et l’intervalle de x (ou une valeur de x) dans les champs à gauche et appuyez sur « Calculer ». Le résultat et le graphique s’affichent ici.
Table des matières
-
Ce que vous pouvez faire sur cette page
-
À quoi sert ce calcul ?
-
Mode d'emploi
-
Formules et graphiques
-
Symboles et termes
-
Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
-
Calculer avec Excel
-
Calculer avec Google Sheets
-
Calculer avec Python
-
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
-
Faire faire le calcul par ChatGPT
-
Les atouts de DataChef
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Fonctions connexes
-
Liste des calculatrices NumberChef
Ce que vous pouvez faire sur cette page
- Pour la fonction \(y = ax^{2}\), trouvez l’intervalle des valeurs prises par y quand x varie dans \(p \leqslant x \leqslant q\). Les étapes expliquent aussi les deux cas, selon que l’intervalle contient 0 ou non (s’il le contient, le minimum ou le maximum vaut 0, au sommet)
- Calculez le taux de variation quand x passe de \(p\) à \(q\), à la fois par la définition \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\) (variation de y ÷ variation de x), avec les étapes, et par la formule rapide \(a(p+q)\)
- Calculez la valeur de y pour une valeur de x (un point de la courbe)
- Le coefficient a peut être un entier, un nombre décimal ou une fraction comme 1/2
- La parabole est tracée. En mode « intervalle », la partie correspondante et l’intervalle des valeurs de y sont mis en évidence ; en mode « taux de variation », la droite qui relie les deux points est tracée. Une explication simple des formules et des formules à copier-coller pour Excel, Google Sheets et Python se trouvent aussi sur cette page
Cette page traite \(y = ax^{2}\), dont le sommet est l’origine. Pour le sommet et le maximum ou le minimum de la forme générale \(y = ax^{2} + bx + c\), utilisez la page associée sur la forme canonique.
À quoi sert ce calcul ?
La trajectoire d’un ballon lancé
Si l’on néglige la résistance de l’air, un ballon lancé en biais suit une parabole (la courbe de \(y = ax^{2}\), déplacée ailleurs).
Un tir au basket, une chandelle au rugby ou le jet d’eau d’une fontaine suivent cette forme, et cette fonction sert à simuler le sport et à faire bouger les balles dans les jeux vidéo.
La distance de chute est proportionnelle au carré du temps (chute libre)
Si l’on néglige la résistance de l’air, la distance parcourue par un objet qu’on lâche est proportionnelle au carré du temps écoulé depuis le lâcher. Avec la distance en mètres et le temps en secondes, le coefficient vaut environ 4,9, ce qui donne la fonction du second degré \(y = 4{,}9x^{2}\).
Environ 4,9 m en 1 seconde, environ 19,6 m en 2 secondes : deux fois plus de temps, quatre fois plus de distance. Cette loi, découverte par Galilée, est le point de départ des calculs de mouvement en physique.
La distance de freinage augmente avec le carré de la vitesse (sécurité routière)
La distance parcourue par une voiture entre le début du freinage et l’arrêt (la distance de freinage) est à peu près proportionnelle au carré de sa vitesse. Deux fois plus vite, et la distance de freinage est environ quatre fois plus longue.
C’est la raison mathématique pour laquelle la vitesse excessive est dangereuse. Cette notion figure dans l’apprentissage du code de la route, et c’est un usage de cette fonction directement lié à la sécurité.
Antennes paraboliques et réflecteurs (concentrer les ondes ou la lumière en un point)
La forme obtenue en faisant tourner une parabole autour de son axe (un paraboloïde) a une propriété remarquable : les ondes radio ou la lumière qui arrivent parallèlement à l’axe se concentrent toutes en un point, le foyer.
Les antennes paraboliques de télévision par satellite et les radiotélescopes s’en servent pour capter des ondes faibles. Les lampes de poche et les phares de voiture l’utilisent dans l’autre sens, pour envoyer la lumière en un faisceau droit.
La force du vent augmente avec le carré de sa vitesse (tempêtes et bâtiments)
La force avec laquelle le vent pousse un objet (la pression du vent) est à peu près proportionnelle au carré de la vitesse du vent. Deux fois plus de vent, et la force est environ quatre fois plus grande. C’est pourquoi les dégâts augmentent si vite quand les rafales d’une tempête se renforcent un peu.
Pour concevoir bâtiments et ponts, les ingénieurs utilisent cette relation au carré pour estimer la pression du vent à partir de la vitesse attendue, et décider de la solidité nécessaire.
Formules et graphiques
La fonction \(y = ax^{2}\)
Graphique
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
\(y\)
\(=\)
\(a\)
\(\times\)
\(x^{2}\)
③
valeur de \(y\)
\(=\)
②
\(a\) : coefficient
\(\times\)
①
\(x^{2}\) : le carré de \(x\)
La formule en mots
①
On prend
\(x^{2}\) : le carré de \(x\)
②
on le multiplie par le
\(a\) : coefficient
③
et on obtient la
valeur de \(y\)
Exemple simple
Pour \(y = 2x^{2}\), la valeur de \(y\) quand \(x = 3\) est
valeur de \(y\)
\(=\)
coefficient (2)
\(\times\)
carré de 3 (9)
\(y = 2 \times 3^{2} = 2 \times 9 = 18\)
L’idée clé
\(y = ax^{2}\) est une fonction où « y est proportionnel au carré de x ». C’est la fonction linéaire \(y = ax\) dans laquelle \(x\) est remplacé par \(x^{2}\) : \(a\) joue le rôle d’un coefficient de proportionnalité.
La courbe est une courbe régulière (une parabole) dont le sommet est l’origine (0 ; 0). Si \(a > 0\), elle est tournée vers le haut ; si \(a < 0\), elle est tournée vers le bas. Plus la valeur absolue de \(a\) est grande, plus la parabole est resserrée.
Pour calculer, attention à l’ordre : d’abord le carré, ensuite la multiplication. Pour élever un nombre négatif au carré, mettez-le entre parenthèses : \(\left(-3\right)^{2} = 9\).
Valeurs prises par y (quand l’intervalle contient \(0\), \(a > 0\))
Graphique
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(0\)
\(\leqslant\)
\(y\)
\(\leqslant\)
\(am^{2}\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
②
\(0\) : ordonnée du sommet (minimum)
\(\leqslant\)
③
\(y\) : valeurs de \(y\) sur l’intervalle
\(\leqslant\)
①
\(am^{2}\) : valeur à la borne \(m\) la plus éloignée de \(0\) (maximum)
La formule en mots
①
Appelons \(m\) la borne de l’intervalle, \(p\) ou \(q\), la plus éloignée de \(0\) (celle dont la valeur absolue est la plus grande). Le maximum est la
\(am^{2}\) : valeur à la borne \(m\) la plus éloignée de \(0\)
②
le minimum n’est pas une valeur aux bornes, mais l’
\(0\) : ordonnée du sommet
③
donc les
\(y\) : valeurs de \(y\) sur l’intervalle
sont comprises entre \(0\) et \(am^{2}\), bornes incluses
Exemple simple
Pour \(y = x^{2}\) quand \(-1 \leqslant x \leqslant 2\) (la borne la plus éloignée de \(0\) est \(m = 2\))
ordonnée du sommet (0)
\(\leqslant\)
valeur de \(y\)
\(\leqslant\)
valeur en \(x = 2\) (4)
\(x = -1 \Rightarrow y = 1, \quad x = 0 \Rightarrow y = 0, \quad x = 2 \Rightarrow y = 4\)
\(0 \leqslant y \leqslant 4\)
L’idée clé
Ne cherchez pas les valeurs de y seulement en remplaçant x par les bornes. La bonne méthode : imaginer la partie de la parabole qui correspond à l’intervalle (là où \(p \leqslant x \leqslant q\)) et y lire la plus petite et la plus grande valeur de y.
Quand l’intervalle contient \(x = 0\) (le sommet), la courbe descend jusqu’au sommet (0 ; 0) puis remonte : le minimum vaut \(0\), et non une valeur aux bornes. Avec l’exemple \(-1 \leqslant x \leqslant 2\), l’erreur classique est de ne regarder que les valeurs aux bornes, \(1\) et \(4\), et de répondre « \(1 \leqslant y \leqslant 4\) ».
Quand l’intervalle ne contient pas \(0\), la fonction est seulement croissante ou seulement décroissante sur cet intervalle : les valeurs aux bornes sont le minimum et le maximum.
Quand les deux bornes ont la même valeur absolue (par exemple \(-2 \leqslant x \leqslant 2\)), \(am^{2}\) est le même aux deux bornes : le maximum est atteint aux deux bornes, \(x = \pm 2\).
Quand \(a < 0\) (la parabole est tournée vers le bas), tout s’inverse : le maximum vaut \(0\), au sommet, et le minimum vaut \(am^{2}\).
Taux de variation (quand \(x\) passe de \(p\) à \(q\))
Graphique
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\)
\(=\)
\(aq^{2} - ap^{2}\)
\(\div\)
\(q - p\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
③
taux de variation
\(=\)
①
\(\Delta y\) : variation de \(y\) (\(y\) d’arrivée − \(y\) de départ)
\(\div\)
②
\(\Delta x\) : variation de \(x\) (\(x\) d’arrivée − \(x\) de départ)
La formule en mots
①
On prend la
\(\Delta y\) : variation de \(y\) (le \(y\) d’arrivée moins le \(y\) de départ)
②
on la divise par la
\(\Delta x\) : variation de \(x\) (le \(x\) d’arrivée moins le \(x\) de départ)
③
et on obtient le
taux de variation
Exemple simple
Pour \(y = 2x^{2}\) quand x passe de \(1\) à \(3\) (\(y\) passe de \(2\) à \(18\))
taux de variation
\(=\)
variation de y (18 − 2 = 16)
\(\div\)
variation de x (3 − 1 = 2)
\(\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{18 - 2}{3 - 1} = \dfrac{16}{2} = 8\)
L’idée clé
Le taux de variation se calcule comme pour une fonction affine : variation de y ÷ variation de x. Mais il y a une grande différence. Le taux de variation d’une fonction affine \(y = ax + b\) est toujours le coefficient directeur \(a\), où qu’on le mesure, alors que celui de \(y = ax^{2}\) n’est pas constant : il dépend des valeurs de départ et d’arrivée de x.
Sur le graphique, le taux de variation est le coefficient directeur de la droite qui relie les deux points (une sécante). Une parabole est une courbe dont la pente change d’un endroit à l’autre : si les deux points changent, le coefficient directeur de la droite change aussi.
Formule rapide du taux de variation de \(y = ax^{2}\) : \(a(p+q)\)
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
\(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\)
\(=\)
\(a\)
\(\times\)
\((p + q)\)
③
taux de variation
\(=\)
②
\(a\) : coefficient
\(\times\)
①
\(p + q\) : \(x\) de départ + \(x\) d’arrivée
La formule en mots
①
On prend
\(p + q\) : le \(x\) de départ plus le \(x\) d’arrivée
②
on le multiplie par le
\(a\) : coefficient
③
et on obtient le
taux de variation
Exemple simple
Pour \(y = 2x^{2}\) quand x passe de \(1\) à \(3\)
taux de variation
\(=\)
coefficient (2)
\(\times\)
somme de 1 et 3 (4)
\(2 \times (1 + 3) = 2 \times 4 = 8\)
L’idée clé
Cette formule est un raccourci valable seulement pour \(y = ax^{2}\) (sommet à l’origine). La variation de y, \(aq^{2} - ap^{2}\), se factorise en \(a(q + p)(q - p)\) : en divisant par la variation de x, \(q - p\), il ne reste que \(a(p + q)\).
Le calcul par la définition (\(\Delta y \div \Delta x\)) donne toujours la même valeur. Mieux vaut d’abord comprendre le sens avec la définition, puis utiliser la formule rapide pour vérifier ou gagner du temps. Pour la forme générale \(y = ax^{2} + bx + c\), la formule devient \(a(p+q)+b\).
La courbe de la fonction \(y = ax^{2}\) est une parabole de sommet l’origine (0 ; 0). Ne cherchez pas les valeurs de y à partir des seules bornes : regardez la partie de la courbe qui correspond à l’intervalle. Quand l’intervalle contient \(x = 0\), le minimum (le maximum si \(a < 0\)) vaut \(0\), au sommet. Contrairement à une fonction affine, le taux de variation n’est pas constant : quand \(x\) passe de \(p\) à \(q\), il vaut \(a(p+q)\).
Symboles et termes
Symboles
| \(a\) | a | Le coefficient : le nombre qui multiplie \(x^{2}\). Il décide du sens de la parabole (vers le haut si \(a > 0\), vers le bas si \(a < 0\)) et de son ouverture. Par convention, les premières lettres de l’alphabet, \(a\), \(b\), \(c\), désignent des nombres fixés. |
| \(x,\ y\) | x, y | Des variables : des lettres pour des nombres qui peuvent prendre plusieurs valeurs. Par convention, les dernières lettres de l’alphabet, \(x\), \(y\), \(z\), désignent des nombres inconnus ou variables. Sur cette page, choisir \(x\) fixe \(y\). |
| \(p,\ q\) | p, q | Les deux bornes de l’intervalle de x : la borne de gauche et la borne de droite en mode « intervalle », les valeurs de départ et d’arrivée de x en mode « taux de variation ». Sur cette page, on a toujours \(p < q\) (p est le plus petit). |
| \(m\) | m | Une lettre utilisée sur cette page pour expliquer les valeurs de y : la borne de l’intervalle, \(p\) ou \(q\), la plus éloignée de \(0\) (celle de plus grande valeur absolue). Le maximum (le minimum si \(a < 0\)) est atteint à cette borne. Si les deux bornes ont la même valeur absolue, elles donnent la même valeur. |
| \(\Delta x,\ \Delta y\) | delta x, delta y | La variation de x et la variation de y. \(\Delta\) (delta) est le D grec, comme dans « différence », et désigne « valeur d’arrivée − valeur de départ ». |
| \(\leqslant\) | inférieur ou égal à | Un signe d’inégalité qui inclut la valeur limite. \(-1 \leqslant x \leqslant 3\) se lit « x est compris entre −1 et 3, bornes incluses » : on peut aussi écrire \(x \in [-1\,;\,3]\). Le signe \(\le\) a le même sens. |
| \(x^{2}\) | x au carré | \(x\) multiplié par lui-même (\(x^{2} = x \times x\)). Le petit 2 en haut à droite (l’exposant) indique combien de fois on utilise \(x\) comme facteur. Pour élever un nombre négatif au carré, on met des parenthèses : \(\left(-3\right)^{2} = 9\). |
Termes
| fonction | Quand chaque valeur de x donne une seule valeur de y, on dit que « y est une fonction de x ». \(y = ax^{2}\) en est une : on choisit x, et une seule valeur de y est obtenue. |
| fonction du second degré | Une fonction où y s’écrit avec x au carré. La forme la plus simple est \(y = ax^{2}\), de sommet l’origine ; la forme générale \(y = ax^{2} + bx + c\), vue en 1re (16-17 ans), permet au sommet de se déplacer. |
| coefficient | Le nombre qui multiplie une variable, comme le \(a\) de \(y = ax^{2}\). Comme \(y = ax^{2}\) signifie « y est proportionnel au carré de x », ce \(a\) est aussi un coefficient de proportionnalité, comme dans la fonction linéaire \(y = ax\). |
| parabole | La courbe régulière et symétrique qui représente \(y = ax^{2}\). Elle a la même forme que la trajectoire d’un objet lancé en biais. |
| sommet | Le point où la parabole change de sens. Le sommet de \(y = ax^{2}\) est l’origine (0 ; 0) : c’est le point le plus bas de la courbe si \(a > 0\), le plus haut si \(a < 0\). |
| origine | Le point de coordonnées (0 ; 0), où se coupent l’axe des abscisses et l’axe des ordonnées. On le note \(O\), comme « origine ». |
| intervalle | L’ensemble des valeurs que peut prendre une variable, écrit avec des inégalités comme \(-1 \leqslant x \leqslant 3\) ou sous la forme \([-1\,;\,3]\). Quand x varie dans un intervalle, les valeurs prises par y forment aussi un intervalle. |
| taux de variation | La variation de y divisée par la variation de x (\(\Delta y \div \Delta x\)). Il indique de combien y augmente en moyenne chaque fois que x augmente de 1. Il est constant pour une fonction affine (le coefficient directeur a), mais pour y = ax² il dépend de l’intervalle. |
| variation | De combien une valeur a changé, calculé par « valeur d’arrivée − valeur de départ ». Si la valeur diminue, la variation est négative (par exemple, passer de 18 à 2 donne une variation de −16). |
| parabole tournée vers le haut | Quand \(a > 0\), la parabole a la forme d’une vallée. Au lycée, on dit aussi que la fonction est convexe. |
| parabole tournée vers le bas | Quand \(a < 0\), la parabole a la forme d’une colline. Au lycée, on dit aussi que la fonction est concave. |
| fonction affine | Une fonction de la forme \(y = ax + b\) (sa courbe est une droite). La plus grande différence avec \(y = ax^{2}\) : son taux de variation est le même partout. Vue en 3e (14-15 ans). |
Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
Voici ce qu’il est utile de savoir pour utiliser les calculs de cette page en comprenant ce qu’ils font.
En cas de difficulté, revoir ces notions est le chemin le plus court.
| Les nombres relatifs (5e-4e, 12-14 ans) |
|
| La proportionnalité et la fonction linéaire (4e-3e, 13-15 ans) |
|
| Repère et représentation graphique (5e-3e, 12-15 ans) |
|
| Inégalités et intervalles (4e-2de, 13-16 ans) |
|
| Les fonctions affines et le taux de variation (3e, 14-15 ans) |
|
Calculer avec Excel
Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 d’Excel. Il fonctionne tel quel.
Tableau pour trouver les valeurs de y quand x varie dans un intervalle
| Coefficient a | 2 |
| Borne de gauche p | -1 |
| Borne de droite q | 3 |
| y à la borne de gauche | =B1*B2^2 |
| y à la borne de droite | =B1*B3^2 |
| Minimum de y | =SI(ET(B2<=0;B3>=0);MIN(0;B4;B5);MIN(B4;B5)) |
| Maximum de y | =SI(ET(B2<=0;B3>=0);MAX(0;B4;B5);MAX(B4;B5)) |
Tableau pour trouver le taux de variation
| Coefficient a | 2 |
| x de départ (p) | 1 |
| x d’arrivée (q) | 3 |
| y de départ | =B1*B2^2 |
| y d’arrivée | =B1*B3^2 |
| Taux de variation (Δy÷Δx) | =(B5-B4)/(B3-B2) |
| Vérification avec a(p+q) | =B1*(B2+B3) |
Tableau pour trouver y à partir d’une valeur de x
| Coefficient a | 2 |
| Valeur de x | 3 |
| Valeur de y | =B1*B2^2 |
Une fois le tableau collé, les lignes du haut (le coefficient et l’intervalle de x) sont vos données, et les lignes du bas se calculent automatiquement. « ^ » élève à une puissance (^2 au carré) et « * » est la multiplication.
Le premier tableau traite y = 2x² avec −1 ⩽ x ⩽ 3. Les valeurs de y aux bornes de gauche et de droite sont 2 et 18, et on obtient le minimum 0 et le maximum 18 (les valeurs de y vérifient 0 ⩽ y ⩽ 18). La partie SI(ET(B2<=0;B3>=0); …) teste si l’intervalle contient 0 ; si oui, le 0 du sommet est aussi candidat pour le minimum ou le maximum. Cela fonctionne tel quel quand a est négatif.
Le deuxième tableau traite y = 2x² quand x passe de 1 à 3. La cellule de la définition (Δy÷Δx) et celle de la formule rapide a(p+q) donnent toutes deux 8.
Le troisième tableau remplace x par 3 dans y = 2x², ce qui donne 18.
Le premier tableau traite y = 2x² avec −1 ⩽ x ⩽ 3. Les valeurs de y aux bornes de gauche et de droite sont 2 et 18, et on obtient le minimum 0 et le maximum 18 (les valeurs de y vérifient 0 ⩽ y ⩽ 18). La partie SI(ET(B2<=0;B3>=0); …) teste si l’intervalle contient 0 ; si oui, le 0 du sommet est aussi candidat pour le minimum ou le maximum. Cela fonctionne tel quel quand a est négatif.
Le deuxième tableau traite y = 2x² quand x passe de 1 à 3. La cellule de la définition (Δy÷Δx) et celle de la formule rapide a(p+q) donnent toutes deux 8.
Le troisième tableau remplace x par 3 dans y = 2x², ce qui donne 18.
Calculer avec Google Sheets
Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 de Google Sheets. Il fonctionne tel quel.
Tableau pour trouver les valeurs de y quand x varie dans un intervalle
| Coefficient a | 2 |
| Borne de gauche p | -1 |
| Borne de droite q | 3 |
| y à la borne de gauche | =B1*B2^2 |
| y à la borne de droite | =B1*B3^2 |
| Minimum de y | =SI(ET(B2<=0;B3>=0);MIN(0;B4;B5);MIN(B4;B5)) |
| Maximum de y | =SI(ET(B2<=0;B3>=0);MAX(0;B4;B5);MAX(B4;B5)) |
Tableau pour trouver le taux de variation
| Coefficient a | 2 |
| x de départ (p) | 1 |
| x d’arrivée (q) | 3 |
| y de départ | =B1*B2^2 |
| y d’arrivée | =B1*B3^2 |
| Taux de variation (Δy÷Δx) | =(B5-B4)/(B3-B2) |
| Vérification avec a(p+q) | =B1*(B2+B3) |
Tableau pour trouver y à partir d’une valeur de x
| Coefficient a | 2 |
| Valeur de x | 3 |
| Valeur de y | =B1*B2^2 |
Les mêmes formules qu’Excel fonctionnent telles quelles. Copiez tout le tableau, collez-le dans la cellule A1, puis remplacez le coefficient et l’intervalle de x par vos propres nombres.
Calculer avec Python
from fractions import Fraction
coefficient_a = Fraction(2) # coefficient a (une fraction comme 1/2 s’écrit Fraction(1, 2))
left_end = Fraction(-1) # borne de gauche p (pour le taux de variation, le x de départ)
right_end = Fraction(3) # borne de droite q (pour le taux de variation, le x d’arrivée)
y_left = coefficient_a * left_end ** 2
y_right = coefficient_a * right_end ** 2
# Valeurs de y : deux cas selon que l’intervalle contient 0 (le sommet) ou non
if left_end <= 0 <= right_end:
candidates = [Fraction(0), y_left, y_right]
else:
candidates = [y_left, y_right]
y_min = min(candidates)
y_max = max(candidates)
print(f"Valeurs de y : {y_min} <= y <= {y_max}")
# Taux de variation (quand x passe de p à q)
rate = (y_right - y_left) / (right_end - left_end)
print(f"Taux de variation (définition Δy÷Δx) : {rate}")
print(f"Taux de variation (formule rapide a(p+q)) : {coefficient_a * (left_end + right_end)}")
Le module fractions de la bibliothèque standard permet de calculer avec des fractions exactes, sans erreur d’arrondi. Cet exemple traite y = 2x² avec −1 ⩽ x ⩽ 3. Le programme affiche les valeurs de y, « 0 <= y <= 18 », et le taux de variation quand x passe de −1 à 3, « 4 » (même valeur par la définition et par la formule rapide). Modifiez le coefficient et l’intervalle, puis relancez-le.
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
La fonction \(y = ax^{2}\)
y = ax²
y = ax^{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>y</mi>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi>
<msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</math>
y = a x^2
a x^2
y := a*x^2;
y = a*x^2;
y = ax^2
Valeurs prises par y (quand l’intervalle contient \(0\), \(a > 0\))
0 ⩽ y ⩽ am²
0 \leqslant y \leqslant am^{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mn>0</mn>
<mo>⩽</mo>
<mi>y</mi>
<mo>⩽</mo>
<mi>a</mi>
<msup><mi>m</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</math>
0 <= y <= a m^2
{MinValue[{a x^2, p <= x <= q}, x], MaxValue[{a x^2, p <= x <= q}, x]}
minimize(a*x^2, x = p .. q); maximize(a*x^2, x = p .. q);
m = max(abs(p), abs(q)); ymin = 0; ymax = a*m^2;
0 ⩽ y ⩽ am^2
Taux de variation (quand \(x\) passe de \(p\) à \(q\))
Δy/Δx = (aq² − ap²)/(q − p)
\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{aq^{2} - ap^{2}}{q - p}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mfrac>
<mrow><mi>Δ</mi><mi>y</mi></mrow>
<mrow><mi>Δ</mi><mi>x</mi></mrow>
</mfrac>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mi>a</mi><msup><mi>q</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>−</mo>
<mi>a</mi><msup><mi>p</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
<mrow><mi>q</mi><mo>−</mo><mi>p</mi></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
(Delta y)/(Delta x) = (a q^2 - a p^2)/(q - p)
(a q^2 - a p^2)/(q - p)
rate := (a*q^2 - a*p^2)/(q - p);
rate = (a*q^2 - a*p^2)/(q - p);
Δy/Δx = (aq^2 − ap^2)/(q − p)
Formule rapide du taux de variation de \(y = ax^{2}\) : \(a(p+q)\)
Δy/Δx = a(p + q)
\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = a(p + q)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mfrac>
<mrow><mi>Δ</mi><mi>y</mi></mrow>
<mrow><mi>Δ</mi><mi>x</mi></mrow>
</mfrac>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi>
<mo>(</mo>
<mi>p</mi>
<mo>+</mo>
<mi>q</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
</math>
(Delta y)/(Delta x) = a(p + q)
a (p + q)
rate := a*(p + q);
rate = a*(p + q);
Δy/Δx = a(p + q)
Faire faire le calcul par ChatGPT
Tu es un assistant de calcul mathématique spécialisé dans les fonctions. Fais le calcul suivant en exécutant réellement du code Python, et appuie ta réponse uniquement sur les nombres obtenus à l’exécution (ne réponds pas de tête ni au jugé). Pour la fonction y = 2x², trouve les deux choses suivantes. 1. L’intervalle des valeurs prises par y quand −1 ⩽ x ⩽ 3 (explique aussi pourquoi il est important de savoir si l’intervalle contient 0) 2. Le taux de variation quand x passe de 1 à 3 (montre les étapes de variation de y ÷ variation de x, et utilise aussi la formule rapide a(p+q)) En Python, utilise le module fractions de la bibliothèque standard pour calculer de façon exacte. Montre les formules utilisées et les nombres obtenus à l’exécution.
Mode d'emploi
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1Saisissez vos nombresTapez les nombres à calculer dans les champs de saisie
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2CalculezAppuyez sur le bouton « Calculer »
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3Lisez le résultatLe résultat s’affiche aussitôt. La même page explique aussi le raisonnement et la formule
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