Saisissez les trois valeurs que vous connaissez parmi la valeur initiale, la valeur finale, la durée et le TCAM (%), laissez vide celle que vous cherchez et appuyez sur « Calculer ». La valeur manquante est calculée, et un tableau année par année ainsi qu’une courbe de croissance s’affichent.
Saisissez exactement trois valeurs (le calcul est impossible si les quatre sont remplies). Saisissez le TCAM en pourcentage (pour 10 %, saisissez « 10 » ; pour une baisse, un nombre négatif). Saisissez la durée en années (les décimales comme 2,5 conviennent) ou en mois ; les mois sont convertis par années = mois ÷ 12. Les valeurs peuvent être dans n’importe quelle unité (euros, personnes, articles, etc.).
Résultat et graphique
Remplissez trois des champs de gauche et appuyez sur « Calculer ». Le résultat, un tableau année par année et un graphique s’affichent ici.
Table des matières
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Ce que vous pouvez faire sur cette page
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À quoi sert ce calcul ?
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Mode d'emploi
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Formules et graphiques
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Formule du taux de croissance annuel moyen (TCAM)
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Formule de la valeur finale (la valeur au bout de n années)
-
Formule de la valeur initiale (ce qu’il faut aujourd’hui pour atteindre un objectif)
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Formule de la durée pour atteindre un objectif
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Pour comparaison : le taux de croissance moyen simple (et sa différence avec le TCAM)
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Symboles et termes
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Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
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Calculer avec Excel
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Calculer avec Google Sheets
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Calculer avec Python
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Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
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Faire faire le calcul par ChatGPT
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Les atouts de DataChef
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Fonctions connexes
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Liste des calculatrices NumberChef
Ce que vous pouvez faire sur cette page
- À partir d’une valeur initiale, d’une valeur finale et d’un nombre d’années, trouvez le taux de croissance annuel moyen (TCAM, en anglais CAGR). Par exemple, « le chiffre d’affaires est passé de 1 million à 1,61 million d’euros en 5 ans » correspond à environ 10 % de croissance par an. Le TCAM transforme une croissance irrégulière en « le même pourcentage chaque année » qui donnerait le même résultat
- Saisissez trois des quatre champs (valeur initiale, valeur finale, durée, TCAM) et le quatrième est calculé. « En combien d’années doubler le chiffre d’affaires à 10 % de croissance par an ? » (durée), « Combien dans 5 ans à 15 % par an ? » (valeur finale) et « Quelle taille faut-il avoir aujourd’hui pour atteindre l’objectif ? » (valeur initiale) : tout fonctionne
- Saisissez la durée en années, décimales comprises comme 2,5, ou en mois, comme 18. La durée pour atteindre un objectif s’affiche à la fois en nombre décimal et arrondie à l’entier supérieur (l’année au cours de laquelle l’objectif est atteint)
- Un tableau année par année et un graphique qui superpose la courbe de croissance (valeur initiale × (1 + TCAM) puissance le nombre d’années) à la droite « même montant chaque année » montrent d’un coup d’œil l’écart avec le taux de croissance moyen simple
Le TCAM ne dépend que de deux valeurs, la valeur initiale et la valeur finale. Les hauts et les bas des années intermédiaires n’entrent pas dans le calcul (il ne les voit pas). Pour lisser des rendements de placement quand on connaît le rendement de chaque année, le calcul du rendement moyen, dans les pages liées, convient mieux. Pour une évolution sur un an (« de combien de % par rapport à l’an dernier ? »), le calcul d’augmentation en pourcentage est plus rapide.
À quoi sert ce calcul ?
Le « TCAM de X % » des business plans et des présentations aux investisseurs
Les business plans de start-up et les présentations de résultats des sociétés cotées décrivent la croissance du chiffre d’affaires ou des utilisateurs par exemple comme « un TCAM de 25 % sur 3 ans ». Si le chiffre d’affaires est passé de 2 millions à 3,9 millions d’euros en 3 ans, le TCAM vaut \((3{,}9 \div 2)^{1/3} - 1 \approx 0{,}249\), soit environ 25 %.
Même quand la croissance est irrégulière d’une année sur l’autre, un seul nombre montre à quelle vitesse une grandeur a progressé : on peut ainsi comparer des entreprises de tailles différentes sur des périodes différentes. Mais le TCAM ne regarde que deux points : il cache ce qui s’est passé entre les deux, comme un bond la dernière année seulement. En lisant un rapport, vérifiez aussi les chiffres année par année.
Remonter à « en combien d’années doubler le chiffre d’affaires ? » (objectifs d’entreprise)
À la question « si nous continuons à croître de 10 % par an, quand le chiffre d’affaires aura-t-il doublé ? », la formule de la durée répond \(\log 2 \div \log 1{,}1 \approx 7{,}27\) ans : le chiffre d’affaires dépasse le double à la fin de la 8e année. Dans l’autre sens, si l’objectif est de doubler en 5 ans, le TCAM nécessaire est \(2^{1/5} - 1 \approx 0{,}149\), soit une croissance d’environ 14,9 % par an.
Une fois « combien de % par an pour atteindre l’objectif » chiffré, vous pouvez le décliner en objectif de chiffre d’affaires pour chaque année (le tableau année par année).
Comparer la croissance des utilisateurs d’une application ou des membres (service en ligne)
Si les utilisateurs mensuels d’une application sont passés de 50 000 à 200 000 (4 fois plus) en 2 ans, le TCAM vaut \(4^{1/2} - 1 = 1\) : 100 % par an (un doublement chaque année). Si une autre application a été multipliée par 4 en 4 ans, c’est \(4^{1/4} - 1 \approx 0{,}414\), environ 41 % par an. Le même « 4 fois plus » cache des vitesses très différentes, et le TCAM le rend visible.
La même formule fonctionne telle quelle pour des grandeurs qui ne se mesurent pas en euros, comme un nombre d’utilisateurs.
Prévoir la taille d’un marché (ce qu’il y a derrière « le marché atteindra X milliards d’euros en 2030 »)
Si un marché doit croître de 8 % par an en moyenne, un marché qui pèse 1 milliard d’euros aujourd’hui peut être estimé à \(1 \times 1{,}08^5 \approx 1{,}469\), soit environ 1,47 milliard d’euros, dans 5 ans (la formule de la valeur finale). Beaucoup de chiffres « taille du marché dans X ans » des études sectorielles sont construits avec ce type de calcul.
Gardez en tête que ce chiffre suppose que le taux de croissance reste le même à l’avenir. Vérifiez les hypothèses de la prévision (quel pourcentage, sur combien d’années) avant de l’utiliser.
Voir l’évolution d’une population en taux annuel (statistiques locales)
Si la population d’une commune est passée de 50 000 à 40 000 habitants en 10 ans, le TCAM vaut \((4 \div 5)^{1/10} - 1 \approx -0{,}0221\), soit une baisse d’environ 2,2 % par an. Diviser simplement « −20 % en 10 ans » en « −2 % par an » est un peu faux, car la baisse aussi se compose (la baisse de chaque année se mesure sur la population après la baisse précédente).
Une baisse utilise exactement la même formule ; le TCAM est simplement négatif. Avec la formule de la durée, vous pouvez aussi remonter au nombre d’années avant que la population passe sous 30 000 habitants si le même rythme se poursuit.
De combien de % par an votre salaire ou les prix ont augmenté (culture financière)
Par exemple, si quelqu’un gagnait 40 000 € brut par an il y a 20 ans et gagne 60 000 € aujourd’hui, le TCAM vaut \((60 \div 40)^{1/20} - 1 \approx 0{,}0205\), soit une hausse d’environ 2 % par an. La hausse des prix (l’inflation) peut aussi se transformer en pourcentage annuel moyen avec la même formule : vous pouvez comparer l’évolution de votre salaire et celle des prix avec le même étalon.
Transformer une évolution de long terme en taux annuel, c’est ce que le TCAM fait de mieux. « +50 % en 20 ans » paraît beaucoup, mais en taux annuel, c’est environ 2 %, un chiffre plus parlant.
Formules et graphiques
Formule du taux de croissance annuel moyen (TCAM)
Graphique
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(G\)
\(=\)
\(V_n\)
\(\div\)
\(V_0\)
\(r\)
\(=\)
\(G\)
\(1/n\)
\(-\)
\(1\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
③
\(G\) : coefficient multiplicateur global
\(=\)
①
\(V_n\) : valeur finale
\(\div\)
②
\(V_0\) : valeur initiale
⑤
\(r\) : TCAM
\(=\)
\(G\) : coefficient multiplicateur global
④
puissance \(1/n\) (\(n\) = années)
\(-\)
\(1\)
La formule en mots
①
On divise la
\(V_n\) : valeur finale
②
par la
\(V_0\) : valeur initiale
③
pour obtenir le
\(G\) : coefficient multiplicateur global (combien de fois la valeur a été multipliée)
④
on l’élève à la
puissance \(1/n\) (\(n\) = années)
pour obtenir le coefficient par an,
⑤
puis on retranche 1 (la valeur de départ) et on obtient le
\(r\) : TCAM
(multipliez par 100 pour un pourcentage)
Exemple simple
Si le chiffre d’affaires est passé de 1 000 000 € à 1 210 000 € en 2 ans, le TCAM vaut (en milliers d’euros)
\(G\) : coefficient multiplicateur global
\(=\)
valeur finale (1 210)
\(\div\)
valeur initiale (1 000)
\(r\) : TCAM
\(=\)
coefficient global (1,21)
puissance \(1/2\) (2 ans)
\(-\)
\(1\)
\(1\,210 \div 1\,000 = 1{,}21\)
\(1{,}21^{1/2} = \sqrt{1{,}21} = 1{,}1\)
\(1{,}1 - 1 = 0{,}1\ \ (10\,\%)\)
L’idée clé
Le TCAM est le pourcentage par an qui, s’il restait le même chaque année, mènerait de la valeur initiale à la valeur finale. Dans l’exemple ci-dessus, 1 000 000 € qui augmentent de 10 % chaque année (×1,1, puis ×1,1) deviennent exactement 1 210 000 € au bout de 2 ans. Même si le chiffre d’affaires réel a bondi la première année et stagné la deuxième, le TCAM reste de 10 %. Le TCAM ne regarde que les deux extrémités : les hauts et les bas intermédiaires n’entrent pas dans le calcul.
« Puissance \(1/n\) » désigne le nombre qui, élevé à la puissance \(n\), redonne le nombre de départ (la racine n-ième). Sur 2 ans, c’est la racine carrée (\(\sqrt{\ }\)), sur 3 ans la racine cubique. À la calculatrice ou dans Excel, tapez « ^(1/n) ».
Formule de la valeur finale (la valeur au bout de n années)
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(V_n\)
\(=\)
\(V_0\)
\(\times\)
\((1 + r)\)
\(n\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
④
\(V_n\) : valeur finale
\(=\)
①
\(V_0\) : valeur initiale
\(\times\)
②
\((1 + r)\) : coefficient multiplicateur annuel
③
\(n\) : années
La formule en mots
①
On prend la
\(V_0\) : valeur initiale
②
on la multiplie par le
\((1 + r)\) : coefficient multiplicateur annuel
③
encore et encore, une fois pour chacune des
\(n\) : années
④
et on obtient la
\(V_n\) : valeur finale
Exemple simple
Si un chiffre d’affaires de 1 000 000 € progresse à un TCAM de 10 %, le chiffre d’affaires au bout de 3 ans vaut (en milliers d’euros)
\(V_3\) : valeur finale
\(=\)
valeur initiale (1 000)
\(\times\)
\((1 + 0{,}1)\)
3 ans
\(1{,}1^{3} = 1{,}1 \times 1{,}1 \times 1{,}1 = 1{,}331\)
\(1\,000 \times 1{,}331 = 1\,331\)
L’idée clé
Cette formule a exactement la même forme que les intérêts composés. « 10 % de croissance chaque année », c’est « ×1,1 chaque année » : au bout de 3 ans, la valeur est \(1{,}1 \times 1{,}1 \times 1{,}1 = 1{,}331\) fois plus grande. C’est une hausse de 33,1 %, et non « 10 % × 3 ans = 30 % », car à partir de la deuxième année, les 10 % s’ajoutent à une valeur qui a déjà augmenté (comme les intérêts qui produisent eux-mêmes des intérêts).
La durée \(n\) peut être un nombre décimal comme 2,5. Un calcul comme \(1{,}1^{2{,}5}\) se fait alors avec « ^ » à la calculatrice ou dans Excel.
Formule de la valeur initiale (ce qu’il faut aujourd’hui pour atteindre un objectif)
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(V_0\)
\(=\)
\(V_n\)
\(\div\)
\((1 + r)\)
\(n\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
④
\(V_0\) : valeur initiale
\(=\)
①
\(V_n\) : valeur finale
\(\div\)
②
\((1 + r)\) : coefficient multiplicateur annuel
③
\(n\) : années
La formule en mots
①
On divise la
\(V_n\) : valeur finale
②
par le
\((1 + r)\) : coefficient multiplicateur annuel
③
élevé à la puissance du nombre d’
\(n\) : années
④
et on obtient la
\(V_0\) : valeur initiale
Exemple simple
Pour atteindre un chiffre d’affaires de 1 331 000 € dans 3 ans à un TCAM de 10 %, le chiffre d’affaires nécessaire aujourd’hui vaut (en milliers d’euros)
\(V_0\) : valeur initiale
\(=\)
valeur finale (1 331)
\(\div\)
\((1 + 0{,}1)\)
3 ans
\(1{,}1^{3} = 1{,}331\)
\(1\,331 \div 1{,}331 = 1\,000\)
L’idée clé
C’est simplement la formule de la valeur finale réarrangée en « valeur initiale = … ». Ce qui a grandi par multiplication revient à son point de départ quand on divise par le même coefficient. Elle sert à remonter à la taille qu’il faut avoir aujourd’hui pour atteindre un objectif dans \(n\) ans.
Formule de la durée pour atteindre un objectif
Graphique
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(G\)
\(=\)
\(V_n\)
\(\div\)
\(V_0\)
\(n\)
\(=\)
\(\log G\)
\(\div\)
\(\log(1 + r)\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
③
\(G\) : coefficient multiplicateur global
\(=\)
①
\(V_n\) : valeur finale
\(\div\)
②
\(V_0\) : valeur initiale
⑤
\(n\) : années
\(=\)
\(\log G\) : logarithme du coefficient global
\(\div\)
④
\(\log(1 + r)\) : logarithme du coefficient annuel
La formule en mots
①
On divise la
\(V_n\) : valeur finale
②
par la
\(V_0\) : valeur initiale
③
pour obtenir le
\(G\) : coefficient multiplicateur global
, on prend son logarithme \(\log G\),
④
on le divise par le
\(\log(1 + r)\) : logarithme du coefficient annuel
⑤
et on obtient les
\(n\) : années
(la base du logarithme peut être 10 ou \(e\) ; tant que le haut et le bas utilisent la même base, le résultat est le même)
Exemple simple
Le nombre d’années pour qu’un chiffre d’affaires de 1 000 000 € atteigne 2 000 000 € (le double) à un TCAM de 10 % vaut (en milliers d’euros)
\(n\) : années
\(=\)
\(\log 2\) (coefficient global \(2\,000 \div 1\,000 = 2\))
\(\div\)
\(\log(1 + 0{,}1)\)
\(\log 2 \approx 0{,}30103,\ \ \log 1{,}1 \approx 0{,}041393\)
\(0{,}30103 \div 0{,}041393 \approx 7{,}27\)
L’idée clé
Le logarithme (\(\log\)) répond à « à quelle puissance faut-il élever 1,1 pour obtenir 2 ? ». La réponse est environ 7,27 ans : à 10 % de croissance par an, le chiffre d’affaires dépasse le double à la fin de la 8e année (à la fin de la 7e, il n’est que \(1{,}1^7 \approx 1{,}949\) fois plus grand, pas encore le double). Le calculateur affiche ce nombre d’années décimal et le nombre arrondi à l’entier supérieur.
Au passage, la règle de 72, « années pour doubler ≈ 72 ÷ taux de croissance (%) », donne de tête \(72 \div 10 = 7{,}2\) ans, très proche du calcul ci-dessus.
Pour comparaison : le taux de croissance moyen simple (et sa différence avec le TCAM)
Graphique
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(g\)
\(=\)
\(\left(\dfrac{V_n}{V_0} - 1\right)\)
\(\div\)
\(n\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
③
\(g\) : taux de croissance moyen simple
\(=\)
①
évolution globale \(\left(\dfrac{\text{valeur finale } V_n}{\text{valeur initiale } V_0} - 1\right)\)
\(\div\)
②
\(n\) : années
La formule en mots
①
On divise l’
évolution globale (de combien de % la valeur a augmenté sur toute la période)
②
par le nombre d’
\(n\) : années
③
et on obtient le
\(g\) : taux de croissance moyen simple
(multipliez par 100 pour un pourcentage)
Exemple simple
Si le chiffre d’affaires est passé de 1 000 000 € à 1 210 000 € en 2 ans (21 % de croissance au total), le taux de croissance moyen simple vaut
\(g\) : taux de croissance moyen simple
\(=\)
évolution globale (0,21)
\(\div\)
2 ans
\(1\,210 \div 1\,000 - 1 = 0{,}21\)
\(0{,}21 \div 2 = 0{,}105\ \ (10{,}5\,\%)\)
L’idée clé
Pour le même « 1 000 000 € → 1 210 000 € en 2 ans », le taux de croissance moyen simple vaut 10,5 % mais le TCAM 10 %. La moyenne simple est la vision en ligne droite, « la valeur a augmenté du même montant (105 000 €) chaque année ». Le TCAM est la vision en courbe, « la valeur a augmenté du même pourcentage (×1,1) chaque année ».
Si vous annoncez « 10,5 % de croissance par an » d’après la moyenne simple, une vraie croissance de 10,5 % chaque année donnerait \(1{,}105^2 = 1{,}221\) fois, plus que les 1,21 fois réels. Plus la période est longue et la croissance forte, plus l’écart se creuse. Pour parler de croissance en taux annuel, le TCAM est la norme.
Le TCAM (taux de croissance annuel moyen) est « valeur finale ÷ valeur initiale » élevé à la puissance \(1/n\), moins 1 : le pourcentage par an si la croissance restait la même chaque année. Pour trouver plutôt la valeur finale, la valeur initiale ou la durée, il suffit de réarranger la formule : si vous connaissez trois des quatre valeurs, la quatrième se calcule toujours.
Symboles et termes
Symboles
| TCAM | t-c-a-m | Taux de croissance annuel moyen (en anglais CAGR, compound annual growth rate) : le pourcentage par an si la croissance restait la même chaque année. Sur cette page, il est noté \(r\). |
| \(V_0\) | v indice zéro | La valeur initiale (la valeur au début de la période). \(V\) vient de « valeur », et le petit 0 en bas à droite désigne l’année 0. (Exemple : un chiffre d’affaires de 1 000 000 € il y a cinq ans) |
| \(V_n\) | v indice n | La valeur finale (la valeur au bout de \(n\) années). Le petit \(n\) en bas à droite désigne l’année \(n\). (Exemple : un chiffre d’affaires de 1 610 510 € cette année) |
| \(G\) | g | Le coefficient multiplicateur global : valeur finale ÷ valeur initiale (\(V_n \div V_0\)), combien de fois la valeur a été multipliée sur toute la période. La lettre vient de l’anglais growth (croissance). (Exemple : 1 000 000 € → 1 210 000 € donne \(G = 1{,}21\)) |
| \(n\) | n | Le nombre d’années entre la valeur initiale et la valeur finale. La lettre vient de « nombre ». Il peut être décimal comme 2,5 (18 mois font \(18 \div 12 = 1{,}5\) an). |
| \(r\) | r | Le TCAM écrit en nombre décimal. La lettre vient de l’anglais rate (taux). Pour 10 %, \(r = 0{,}1\) ; multipliez par 100 pour l’afficher en pourcentage. |
| \(1 + r\) | un plus r | Le coefficient multiplicateur annuel. Pour 10 % de croissance, il vaut \(1 + 0{,}1 = 1{,}1\). C’est le 1 de départ plus la croissance \(r\), et sur \(n\) années il se multiplie en \((1 + r)^n\). |
| \(x^{1/n}\) | x puissance un sur n | \(x\) à la puissance \(1/n\) : le nombre qui, élevé à la puissance \(n\), donne \(x\) (la racine n-ième \(\sqrt[n]{x}\)). Sur 2 ans, c’est la racine carrée, sur 3 ans la racine cubique. (Exemple : \(1{,}21^{1/2} = \sqrt{1{,}21} = 1{,}1\)) |
| \(\log\) | log | Logarithme : le symbole de « à quelle puissance faut-il élever un nombre pour obtenir cette valeur ? ». Cette page l’utilise pour remonter à la durée, comme dans « à quelle puissance faut-il élever 1,1 pour obtenir 2 ? ». La base peut être 10 (logarithme décimal) ou \(e\) (logarithme népérien, \(\ln\)) ; tant que le haut et le bas utilisent la même base, la réponse est la même. |
| \(g\) | g minuscule | Le taux de croissance moyen simple : l’évolution globale divisée par le nombre d’années, pour comparaison. Il a sa propre lettre pour le distinguer du TCAM \(r\) (et c’est une autre grandeur que le \(G\) majuscule, le coefficient multiplicateur global). |
Termes
| TCAM (taux de croissance annuel moyen) | La croissance sur plusieurs années transformée en pourcentage par an qui, gardé identique chaque année, donne le même résultat. En anglais CAGR ; à l’école, on parle de taux d’évolution moyen. Il ne dépend que de la valeur initiale, de la valeur finale et du nombre d’années ; les hauts et les bas intermédiaires n’entrent pas dans le calcul. C’est la mesure de référence pour comparer en taux annuel la croissance d’un chiffre d’affaires, d’un nombre d’utilisateurs, d’un marché, d’une population, etc. |
| intérêts composés | Une croissance où le même pourcentage s’applique aussi à ce qui a déjà été ajouté. Deux années à 10 % donnent \(1{,}1 \times 1{,}1 = 1{,}21\) fois (21 % de plus), et non « 10 % + 10 % = 20 % de plus ». Le TCAM lisse la croissance avec ce raisonnement composé. |
| moyenne géométrique | La moyenne obtenue en multipliant \(n\) nombres entre eux et en prenant la puissance \(1/n\). Le TCAM est la moyenne géométrique des coefficients annuels moins 1, ce qui diffère de la moyenne habituelle (additionner puis diviser, la moyenne arithmétique). Pour des grandeurs liées par multiplication, comme des coefficients, on utilise la moyenne géométrique. |
| taux de croissance moyen simple (moyenne arithmétique) | Simplement l’évolution globale sur la période divisée par le nombre d’années. C’est la vision en ligne droite, « le même montant chaque année », qui ignore les intérêts composés : pour une croissance sur plus d’un an, elle donne un résultat plus grand que le TCAM (pour une baisse, la baisse annuelle ressort plus faible que le TCAM). Pour parler de taux annuel, le TCAM est la norme. |
| coefficient multiplicateur global | Valeur finale ÷ valeur initiale, combien de fois la valeur a été multipliée sur toute la période. 1 000 000 € qui deviennent 1 610 510 €, c’est environ 1,61 fois. Retranchez 1 et multipliez par 100 pour obtenir l’évolution globale (environ 61 % de plus). |
| racine n-ième | Le nombre qui, élevé à la puissance \(n\), donne un nombre donné, noté \(\sqrt[n]{x}\) ou \(x^{1/n}\). Si une valeur a été multipliée par 1,21 en 2 ans, le coefficient par an est \(\sqrt{1{,}21} = 1{,}1\) : c’est le cœur du calcul du TCAM. |
| logarithme (log) | Le nombre qui donne la puissance dans « à quelle puissance faut-il élever \(a\) pour obtenir \(b\) ? », noté \(\log_{a} b\). Il trouve un exposant (un nombre de multiplications) : on l’utilise donc pour remonter à une durée, comme dans « combien d’années pour doubler à 10 % de croissance par an ? ». |
| règle de 72 | Un repère de calcul mental : « années pour doubler ≈ 72 ÷ taux annuel (%) ». À 10 % par an, il faut environ 7,2 ans pour doubler, et à 5 % environ 14,4 ans. C’est très proche de la valeur exacte donnée par les logarithmes. |
| évolution sur un an (glissement annuel) | La variation de l’an dernier à cette année, comme dans « +10 % sur un an ». Le TCAM est la valeur qu’aurait cette variation annuelle si elle était la même chaque année. |
Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
Ce qu’il est utile de savoir pour utiliser le calcul de cette page en comprenant ce qu’il fait, et pas seulement en appuyant sur le bouton.
Si vous bloquez, revenir sur ces notions est le chemin le plus court.
| Proportions et pourcentages (CM2-6e, 10-12 ans) |
|
| Puissances (4e-3e, 13-15 ans) |
|
| Évolutions successives et intérêts composés (2de, 15-16 ans) |
|
| Racine n-ième et taux d’évolution moyen (1re-terminale, 16-18 ans) |
|
| Logarithmes (terminale, 17-18 ans) |
|
| Calcul littéral et transformation de formules (5e-4e, 12-14 ans) |
|
Calculer avec Excel
Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 d’Excel. Il fonctionne tel quel.
Tableau pour trouver le TCAM
| Valeur initiale V0 | 1000 |
| Valeur finale Vn | 1610,51 |
| Durée n (années) | 5 |
| TCAM r (%) | =((B2/B1)^(1/B3)-1)*100 |
Tableau pour trouver la valeur finale
| Valeur initiale V0 | 1000 |
| TCAM r (%) | 10 |
| Durée n (années) | 3 |
| Valeur finale Vn | =B1*(1+B2/100)^B3 |
Tableau pour trouver la valeur initiale
| Valeur finale Vn | 1331 |
| TCAM r (%) | 10 |
| Durée n (années) | 3 |
| Valeur initiale V0 | =B1/(1+B2/100)^B3 |
Tableau pour trouver la durée pour atteindre un objectif
| Valeur initiale V0 | 1000 |
| Valeur finale Vn (objectif) | 2000 |
| TCAM r (%) | 10 |
| Durée n (années) | =LN(B2/B1)/LN(1+B3/100) |
| Durée arrondie à l’entier supérieur | =ARRONDI.SUP(B4;0) |
Tableau pour trouver le taux de croissance moyen simple (pour comparaison)
| Valeur initiale V0 | 1000 |
| Valeur finale Vn | 1210 |
| Durée n (années) | 2 |
| Taux de croissance moyen simple g (%) | =(B2/B1-1)/B3*100 |
Après le collage, B1 à B3 sont vos données et B4 est calculée automatiquement.
Par exemple, le premier tableau affiche 10 en B4 (un TCAM de 10 %), le deuxième 1331 en B4 (la valeur au bout de 3 ans), le troisième 1000 en B4 (la valeur initiale nécessaire), le quatrième environ 7,27 en B4 (années) et 8 en B5 (années arrondies à l’entier supérieur), et le cinquième 10,5 en B4 (le taux de croissance moyen simple).
« ^(1/B3) » signifie « puissance 1/n », et « LN » est le logarithme népérien (base \(e\)). La formule des années donne le même résultat avec « LOG10 » ou « LOG », du moment que le haut et le bas utilisent la même fonction.
Il suffit de remplacer les données par vos propres nombres.
Par exemple, le premier tableau affiche 10 en B4 (un TCAM de 10 %), le deuxième 1331 en B4 (la valeur au bout de 3 ans), le troisième 1000 en B4 (la valeur initiale nécessaire), le quatrième environ 7,27 en B4 (années) et 8 en B5 (années arrondies à l’entier supérieur), et le cinquième 10,5 en B4 (le taux de croissance moyen simple).
« ^(1/B3) » signifie « puissance 1/n », et « LN » est le logarithme népérien (base \(e\)). La formule des années donne le même résultat avec « LOG10 » ou « LOG », du moment que le haut et le bas utilisent la même fonction.
Il suffit de remplacer les données par vos propres nombres.
Calculer avec Google Sheets
Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 de Google Sheets. Il fonctionne tel quel.
Tableau pour trouver le TCAM
| Valeur initiale V0 | 1000 |
| Valeur finale Vn | 1610,51 |
| Durée n (années) | 5 |
| TCAM r (%) | =((B2/B1)^(1/B3)-1)*100 |
Tableau pour trouver la valeur finale
| Valeur initiale V0 | 1000 |
| TCAM r (%) | 10 |
| Durée n (années) | 3 |
| Valeur finale Vn | =B1*(1+B2/100)^B3 |
Tableau pour trouver la valeur initiale
| Valeur finale Vn | 1331 |
| TCAM r (%) | 10 |
| Durée n (années) | 3 |
| Valeur initiale V0 | =B1/(1+B2/100)^B3 |
Tableau pour trouver la durée pour atteindre un objectif
| Valeur initiale V0 | 1000 |
| Valeur finale Vn (objectif) | 2000 |
| TCAM r (%) | 10 |
| Durée n (années) | =LN(B2/B1)/LN(1+B3/100) |
| Durée arrondie à l’entier supérieur | =ARRONDI.SUP(B4;0) |
Tableau pour trouver le taux de croissance moyen simple (pour comparaison)
| Valeur initiale V0 | 1000 |
| Valeur finale Vn | 1210 |
| Durée n (années) | 2 |
| Taux de croissance moyen simple g (%) | =(B2/B1-1)/B3*100 |
Les mêmes formules que dans Excel (y compris ARRONDI.SUP) fonctionnent telles quelles dans Google Sheets réglé en français. Copiez tout le tableau, collez-le dans la cellule A1 et remplacez B1 à B3 par vos propres nombres.
Calculer avec Python
import math
start_value = 1000 # valeur initiale (ex. : chiffre d'affaires il y a 5 ans, en milliers d'euros)
end_value = 1610.51 # valeur finale (ex. : chiffre d'affaires de cette année)
years = 5 # années
# TCAM = (valeur finale / valeur initiale)^(1/années) - 1
cagr = (end_value / start_value) ** (1 / years) - 1
print(f"TCAM : {cagr * 100:.2f} %")
# Pour comparaison : taux de croissance moyen simple = évolution globale / années
simple_avg = (end_value / start_value - 1) / years
print(f"Taux de croissance moyen simple : {simple_avg * 100:.2f} %")
# Calcul inverse 1 : la valeur au bout de n années à partir de la valeur initiale et du TCAM
rate = 0.10 # TCAM (10 %)
future_value = start_value * (1 + rate) ** 3
print(f"Valeur au bout de 3 ans : {future_value:.2f}")
# Calcul inverse 2 : les années pour atteindre un objectif à partir de la valeur initiale, de l'objectif et du TCAM
target_value = 2000
years_needed = math.log(target_value / start_value) / math.log(1 + rate)
print(f"Années pour doubler : {years_needed:.2f} (arrondi supérieur : {math.ceil(years_needed)})")
Fonctionne avec la bibliothèque standard uniquement. Dans cet exemple, le TCAM vaut 10 %, le taux de croissance moyen simple 12,21 %, la valeur au bout de 3 ans 1 331, et les années pour doubler environ 7,27 (8 en arrondissant) ; Python écrit les nombres décimaux avec un point. « ** (1 / years) » signifie « puissance 1/n », et math.log est le logarithme népérien. Modifiez la valeur initiale, la valeur finale et les années en haut du code, puis exécutez-le.
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
Formule du taux de croissance annuel moyen (TCAM)
r = (Vₙ ÷ V₀)^(1/n) − 1
r = \left(\dfrac{V_n}{V_0}\right)^{1/n} - 1
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>r</mi>
<mo>=</mo>
<msup>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mfrac><msub><mi>V</mi><mi>n</mi></msub><msub><mi>V</mi><mn>0</mn></msub></mfrac>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mrow><mn>1</mn><mo>/</mo><mi>n</mi></mrow>
</msup>
<mo>−</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
</math>
r = (V_n/V_0)^(1/n) - 1
(vn/v0)^(1/n) - 1
r := (V_n/V_0)^(1/n) - 1;
r = (V_n/V_0)^(1/n) - 1;
r = (V_n/V_0)^(1/n) - 1
Formule de la valeur finale (la valeur au bout de n années)
Vₙ = V₀ × (1 + r)ⁿ
V_n = V_0 (1 + r)^{n}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>V</mi><mi>n</mi></msub>
<mo>=</mo>
<msub><mi>V</mi><mn>0</mn></msub>
<msup>
<mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow>
<mi>n</mi>
</msup>
</mrow>
</math>
V_n = V_0 (1 + r)^n
v0 (1 + r)^n
V_n := V_0*(1 + r)^n;
V_n = V_0*(1 + r)^n;
V_n = V_0 (1 + r)^n
Formule de la valeur initiale (ce qu’il faut aujourd’hui pour atteindre un objectif)
V₀ = Vₙ ÷ (1 + r)ⁿ
V_0 = \dfrac{V_n}{(1 + r)^{n}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>V</mi><mn>0</mn></msub>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<msub><mi>V</mi><mi>n</mi></msub>
<msup>
<mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow>
<mi>n</mi>
</msup>
</mfrac>
</mrow>
</math>
V_0 = V_n/(1 + r)^n
vn/(1 + r)^n
V_0 := V_n/(1 + r)^n;
V_0 = V_n/(1 + r)^n;
V_0 = V_n/(1 + r)^n
Formule de la durée pour atteindre un objectif
n = log(Vₙ ÷ V₀) ÷ log(1 + r)
n = \dfrac{\log\left(V_n / V_0\right)}{\log(1 + r)}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>n</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>log</mi><mo>(</mo><msub><mi>V</mi><mi>n</mi></msub><mo>/</mo><msub><mi>V</mi><mn>0</mn></msub><mo>)</mo></mrow>
<mrow><mi>log</mi><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
n = log(V_n/V_0)/log(1 + r)
Log[vn/v0]/Log[1 + r]
n := log(V_n/V_0)/log(1 + r);
n = log(V_n/V_0)/log(1 + r);
n = log(V_n/V_0)/log(1 + r)
Pour comparaison : le taux de croissance moyen simple (et sa différence avec le TCAM)
g = (Vₙ ÷ V₀ − 1) ÷ n
g = \dfrac{V_n / V_0 - 1}{n}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>g</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><msub><mi>V</mi><mi>n</mi></msub><mo>/</mo><msub><mi>V</mi><mn>0</mn></msub><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow>
<mi>n</mi>
</mfrac>
</mrow>
</math>
g = (V_n/V_0 - 1)/n
(vn/v0 - 1)/n
g := (V_n/V_0 - 1)/n;
g = (V_n/V_0 - 1)/n;
g = (V_n/V_0 - 1)/n
Faire faire le calcul par ChatGPT
Tu es un assistant pour les business plans. Fais le calcul suivant en exécutant réellement du code Python, et appuie ta réponse uniquement sur les nombres obtenus à l’exécution (ne réponds pas de tête ni au jugé). Le chiffre d’affaires annuel d’une entreprise était de 1 000 000 € il y a cinq ans et de 1 610 510 € cette année. Calcule chacun des points suivants : 1. Le taux de croissance annuel moyen, TCAM ((valeur finale ÷ valeur initiale)^(1/années) − 1, en pourcentage avec 2 décimales) 2. Pour comparaison, le taux de croissance moyen simple ((valeur finale ÷ valeur initiale − 1) ÷ années, en pourcentage), et en 1 ou 2 phrases pourquoi il diffère du TCAM 3. Le chiffre d’affaires 3 ans après le départ si ce TCAM se maintient (valeur initiale × (1 + TCAM)^3) 4. À partir du chiffre d’affaires de cette année, le nombre d’années pour qu’il double au même TCAM (log(2) ÷ log(1 + TCAM), en nombre décimal et arrondi à l’entier supérieur) Montre les formules utilisées et les nombres obtenus à l’exécution.
Mode d'emploi
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1Saisissez vos nombresTapez les nombres à calculer dans les champs de saisie
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2CalculezAppuyez sur le bouton « Calculer »
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3Lisez le résultatLe résultat s’affiche aussitôt. La même page explique aussi le raisonnement et la formule
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