Entrez au moins 2 nombres séparés par des points-virgules (;). Vous pouvez calculer d’un coup le PPCM de 3 nombres ou plus ; les étapes avec la décomposition en facteurs premiers et le PGCD s’affichent aussi.
Entrez au moins 2 nombres entiers positifs séparés par des points-virgules (exemple : 4 ; 6). 0, les nombres décimaux et les nombres négatifs ne sont pas acceptés.
Résultat
Saisissez vos nombres séparés par des points-virgules dans le champ à gauche et appuyez sur « Calculer ». Le résultat s’affiche ici.
Table des matières
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Ce que vous pouvez faire sur cette page
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À quoi sert ce calcul ?
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Mode d'emploi
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Formule
-
Symboles et termes
-
Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
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Calculer avec Excel
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Calculer avec Google Sheets
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Calculer avec Python
-
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
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Faire faire le calcul par ChatGPT
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Les atouts de DataChef
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Fonctions connexes
-
Liste des calculatrices NumberChef
Ce que vous pouvez faire sur cette page
- Saisissez au moins 2 nombres séparés par des points-virgules (;) et obtenez aussitôt leur PPCM (plus petit commun multiple)
- Pas seulement « Quel est le PPCM de 4 et 6 ? » : vous pouvez aussi calculer celui de 3 nombres ou plus d’un coup, par exemple « Quel est le PPCM de 12, 18 et 30 ? »
- Les étapes montrent la décomposition en facteurs premiers de chaque nombre : vous voyez pourquoi le résultat est celui-là, pas seulement le résultat
- Le PGCD (plus grand commun diviseur) s’affiche en même temps, pour information
- Une explication simple des formules et des formules à copier-coller pour Excel, Google Sheets et Python sont réunies sur cette page
Seuls les nombres entiers positifs (1, 2, 3…) sont acceptés. Le plus petit commun multiple se calcule entre entiers positifs, donc 0, les nombres décimaux et les nombres négatifs ne peuvent pas être utilisés.
À quoi sert ce calcul ?
Réduire des fractions au même dénominateur pour les additionner (son usage principal)
Pour calculer \(\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6}\), il faut d’abord réduire au même dénominateur (4 et 6). Le plus petit dénominateur commun est le PPCM, \(\mathrm{lcm}(4,6) = 12\), donc la somme vaut \(\dfrac{3}{12} + \dfrac{2}{12} = \dfrac{5}{12}\).
Multiplier les dénominateurs pour obtenir 24 marche aussi, mais le PPCM garde des nombres plus petits et facilite la simplification à la fin. Des maths de l’école primaire au travail de tous les jours, c’est là que le PPCM sert le plus.
Savoir quand deux bus ou deux trains repartent en même temps
Deux lignes de bus partent ensemble du même arrêt, l’une toutes les 12 minutes, l’autre toutes les 18 minutes. Elles repartiront ensemble dans \(\mathrm{lcm}(12,18) = 36\) minutes.
Le moment où deux choses qui se répètent à des rythmes différents coïncident est donné par le PPCM. C’est un problème classique à l’école, et un outil pratique pour réfléchir aux horaires et aux plannings.
Acheter des saucisses et des pains à hot-dog sans qu’il en reste
Les saucisses sont vendues par paquets de 10 et les pains à hot-dog par sachets de 8. Pour avoir exactement autant des deux, il faut en acheter au minimum \(\mathrm{lcm}(10,8) = 40\) de chaque, soit 4 paquets de saucisses et 5 sachets de pains.
Faire correspondre des articles vendus par lots de tailles différentes, ça arrive partout : des courses pour un barbecue jusqu’aux commandes de pièces pour une usine.
Concevoir des engrenages (machines et horlogerie)
Une roue dentée de 12 dents entraîne une roue de 18 dents. Les deux dents qui se touchaient au départ se retrouvent après \(\mathrm{lcm}(12,18) = 36\) dents (3 tours de la petite roue et 2 tours de la grande).
En mécanique, on choisit souvent des nombres de dents premiers entre eux pour que le PPCM soit grand : ainsi, ce ne sont pas toujours les mêmes paires de dents qui se rencontrent, et l’usure reste régulière.
Quand les cigales de 13 ans et de 17 ans sortent ensemble (nature)
Dans l’est des États-Unis, certaines populations de cigales périodiques sortent de terre tous les 13 ans, d’autres tous les 17 ans. Une population de 13 ans et une de 17 ans sorties la même année ne se retrouveront qu’au bout de \(\mathrm{lcm}(13,17) = 221\) ans. C’est arrivé en 2024, pour la première fois depuis 1803.
Comme 13 et 17 sont tous deux premiers, leur PPCM est simplement \(13 \times 17\). Le temps qu’il faut à des cycles différents pour coïncider à nouveau, c’est exactement ce que donne le PPCM.
Formule
PPCM de deux nombres (à l’aide du PGCD)
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(\mathrm{lcm}(a,\,b)\)
\(=\)
\(a\)
\(\times\)
\(b\)
\(\div\)
\(\gcd(a,\,b)\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
④
\(\mathrm{lcm}(a,b)\) : plus petit commun multiple
\(=\)
①
\(a\) : premier nombre
\(\times\)
②
\(b\) : deuxième nombre
\(\div\)
③
\(\gcd(a,b)\) : plus grand commun diviseur
La formule en mots
①
On multiplie le
\(a\) : premier nombre
②
par le
\(b\) : deuxième nombre
③
on divise par le
\(\gcd(a,b)\) : plus grand commun diviseur
④
et on obtient le
\(\mathrm{lcm}(a,b)\) : plus petit commun multiple
Exemple simple
Le PPCM de 4 et 6 (leur PGCD vaut 2) est
PPCM de 4 et 6
\(=\)
premier nombre (4)
\(\times\)
deuxième nombre (6)
\(\div\)
PGCD (2)
\(4 \times 6 \div 2 = 24 \div 2 = 12\)
L’idée clé
Si l’on multiplie simplement les deux nombres, leur partie commune (le plus grand commun diviseur) est comptée deux fois. En divisant une fois par celui-ci, on retire ce doublon, et il reste le plus petit commun multiple.
Quand le PGCD vaut 1 (les nombres sont premiers entre eux), diviser par 1 ne change rien : le PPCM est simplement le produit \(\mathrm{lcm}(a,b) = a \times b\) (pour 8 et 9, \(8 \times 9 = 72\)).
Avec la décomposition en facteurs premiers (marche aussi pour 3 nombres ou plus)
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(L\)
\(=\)
\(p_1^{\,a_1} \times p_2^{\,a_2} \times \cdots \times p_k^{\,a_k}\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
②
\(L\) : plus petit commun multiple
\(=\)
①
produit de chaque facteur premier présent, avec son plus grand exposant
La formule en mots
①
On décompose chaque nombre en produit de facteurs premiers, puis on prend le
produit de chaque facteur premier présent, avec son plus grand exposant
②
pour obtenir le
\(L\) : plus petit commun multiple
Exemple simple
Pour le PPCM de 12, 18 et 30 : les décompositions en facteurs premiers sont \(12 = 2^2 \times 3\), \(18 = 2 \times 3^2\) et \(30 = 2 \times 3 \times 5\), et les plus grandes puissances des facteurs premiers 2, 3 et 5 sont \(2^2\), \(3^2\) et \(5\), donc
PPCM de 12, 18 et 30, \(L\)
\(=\)
produit des plus grandes puissances \(2^2 \times 3^2 \times 5\)
\(2^2 \times 3^2 \times 5 = 4 \times 9 \times 5 = 180\)
L’idée clé
Pourquoi le plus grand exposant ? Parce que le plus petit commun multiple doit être un multiple de chacun des nombres. Par exemple, pour être un multiple de \(12 = 2^2 \times 3\), il faut deux facteurs 2 : on prend donc 2 comme exposant de 2, le plus grand qui apparaisse. Pour chaque facteur premier, on s’aligne sur le nombre qui en a le plus besoin : c’est toute l’idée de la méthode.
Les étapes affichées par la calculatrice de cette page utilisent aussi cette méthode par décomposition en facteurs premiers.
PPCM de 3 nombres ou plus (deux par deux)
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(\mathrm{lcm}(a,\,b,\,c)\)
\(=\)
\(\mathrm{lcm}(m,\,c)\)
\(m\)
\(=\)
\(\mathrm{lcm}(a,\,b)\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
③
PPCM des trois nombres
\(=\)
②
PPCM de \(m\) et \(c\)
①
\(m\) : PPCM de \(a\) et \(b\)
\(=\)
\(\mathrm{lcm}(a,b)\) : PPCM de \(a\) et \(b\)
La formule en mots
①
On calcule d’abord le
\(m\) : PPCM de \(a\) et \(b\)
②
puis le
PPCM de \(m\) et \(c\)
③
et on obtient le
PPCM des trois nombres
(pour 4 nombres ou plus, on répète simplement la même étape)
Exemple simple
Pour le PPCM de 12, 18 et 30, on calcule d’abord le PPCM de 12 et 18 (36), puis le PPCM de ce 36 et de 30 :
PPCM de 12, 18 et 30
\(=\)
PPCM de « PPCM de 12 et 18 (36) » et de 30
\(\mathrm{lcm}(12,\,18) = 36\)
\(\mathrm{lcm}(36,\,30) = 180\)
L’idée clé
On peut commencer par n’importe quelle paire de nombres, le résultat est le même (l’ordre ne change pas le résultat). La calculatrice de cette page utilise aussi cette méthode deux par deux pour traiter autant de nombres que vous voulez.
Pour trouver le plus petit commun multiple, la méthode de base consiste à décomposer chaque nombre en produit de facteurs premiers, à prendre chaque facteur premier avec son plus grand exposant, puis à les multiplier. Pour deux nombres, le raccourci est « produit des deux nombres divisé par leur PGCD ». Pour 3 nombres ou plus, on calcule le PPCM deux par deux.
Symboles et termes
Symboles
| \(\mathrm{lcm}(a,b)\) | PPCM de a et b | Le plus petit commun multiple de \(a\) et \(b\). C’est la notation internationale, formée sur l’anglais « least common multiple ». En France, on écrit plutôt PPCM(a ; b). |
| \(\gcd(a,b)\) | PGCD de a et b | Le plus grand commun diviseur de \(a\) et \(b\). C’est la notation internationale, formée sur l’anglais « greatest common divisor ». En France, on écrit plutôt PGCD(a ; b). |
| \(2^2\) | deux au carré | Une puissance : le petit nombre en haut à droite (l’exposant) indique combien de fois on multiplie le même nombre. \(2^2 = 2 \times 2 = 4\) et \(3^2 = 3 \times 3 = 9\). |
| \(p_1, p_2, \ldots, p_k\) | p indice 1, p indice 2 | Les nombres premiers qui apparaissent dans les décompositions en facteurs premiers, rangés du plus petit au plus grand. Le petit nombre en bas à droite (l’indice) indique sa place dans la liste. |
| \(a_1, a_2, \ldots, a_k\) | a indice 1, a indice 2 | Pour chaque nombre premier, le plus grand exposant (nombre de fois où il est multiplié) qui apparaît dans l’une des décompositions en facteurs premiers. |
| \(m\) | m | Le PPCM des deux premiers nombres, calculé en cours de route. Il sert quand on calcule le PPCM de 3 nombres ou plus deux par deux. |
Termes
| multiple | Un nombre multiplié par 1, 2, 3, etc. Les multiples de 6 sont 6, 12, 18, 24… |
| multiple commun | Un multiple partagé par deux nombres ou plus. Les multiples communs de 4 et 6 sont 12, 24, 36… et il y en a une infinité. |
| PPCM (plus petit commun multiple) | Le plus petit des multiples communs. C’est la valeur que calcule cette page. |
| diviseur | Un nombre entier qui divise un nombre sans reste. Les diviseurs de 12 sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12. |
| PGCD (plus grand commun diviseur) | Le plus grand des diviseurs communs à deux nombres ou plus. Il va souvent de pair avec le PPCM, c’est pourquoi cette page l’affiche aussi, pour information. |
| nombre premier | Un nombre entier supérieur ou égal à 2 dont les seuls diviseurs sont 1 et lui-même (2, 3, 5, 7, 11…). 1 n’est pas un nombre premier. |
| décomposition en facteurs premiers | Écrire un nombre entier sous forme de produit de nombres premiers uniquement. Exemple : \(12 = 2 \times 2 \times 3 = 2^2 \times 3\). |
| premiers entre eux | Se dit de deux nombres dont le PGCD vaut 1 (ils n’ont aucun facteur premier en commun). Le PPCM de deux nombres premiers entre eux est tout simplement leur produit. |
| réduire au même dénominateur | Récrire des fractions de dénominateurs différents avec un même dénominateur. Le plus simple est de prendre le plus petit commun multiple des dénominateurs (le plus petit dénominateur commun) : c’est l’usage le plus courant du PPCM. |
Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
Voici ce qu’il est utile de savoir pour utiliser le calcul de cette page en le comprenant, et pas seulement en appuyant sur le bouton.
| Tables de multiplication et division (CE1-CE2, 7-9 ans) |
|
| Multiples et diviseurs (CM1-6e, 9-12 ans) |
|
| Réduire des fractions au même dénominateur (5e, 12-13 ans) |
|
| Nombres premiers et décomposition en facteurs premiers (5e-3e, 12-15 ans) |
|
| Puissances (4e, 13-14 ans) |
|
Calculer avec Excel
Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 d’Excel. Il fonctionne tel quel.
Tableau pour calculer le PPCM de deux nombres (à l’aide du PGCD)
| Premier nombre a | 4 |
| Deuxième nombre b | 6 |
| PPCM(a ; b) | =B1*B2/PGCD(B1;B2) |
Tableau pour calculer le PPCM de 3 nombres ou plus
| Premier nombre | 12 |
| Deuxième nombre | 18 |
| Troisième nombre | 30 |
| PPCM | =PPCM(B1;B2;B3) |
Tableau pour calculer le PPCM deux par deux
| Premier nombre | 12 |
| Deuxième nombre | 18 |
| Troisième nombre | 30 |
| D’abord le PPCM des deux premiers, m | =PPCM(B1;B2) |
| PPCM des trois | =PPCM(B4;B3) |
Une fois le tableau collé, les cellules du haut de la colonne B sont vos données et la dernière ligne se calcule automatiquement.
Dans Excel, « PGCD » donne le plus grand commun diviseur et « PPCM » le plus petit commun multiple. La fonction PPCM effectue pour vous la décomposition en facteurs premiers de la formule 2.
Le premier tableau affiche 12 en B3 et le deuxième affiche 180 en B4. Il suffit de remplacer les nombres par les vôtres (la fonction PPCM accepte davantage de nombres, par exemple « =PPCM(B1;B2;B3;B4) »).
Dans Excel, « PGCD » donne le plus grand commun diviseur et « PPCM » le plus petit commun multiple. La fonction PPCM effectue pour vous la décomposition en facteurs premiers de la formule 2.
Le premier tableau affiche 12 en B3 et le deuxième affiche 180 en B4. Il suffit de remplacer les nombres par les vôtres (la fonction PPCM accepte davantage de nombres, par exemple « =PPCM(B1;B2;B3;B4) »).
Calculer avec Google Sheets
Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 de Google Sheets. Il fonctionne tel quel.
Tableau pour calculer le PPCM de deux nombres (à l’aide du PGCD)
| Premier nombre a | 4 |
| Deuxième nombre b | 6 |
| PPCM(a ; b) | =B1*B2/PGCD(B1;B2) |
Tableau pour calculer le PPCM de 3 nombres ou plus
| Premier nombre | 12 |
| Deuxième nombre | 18 |
| Troisième nombre | 30 |
| PPCM | =PPCM(B1;B2;B3) |
Tableau pour calculer le PPCM deux par deux
| Premier nombre | 12 |
| Deuxième nombre | 18 |
| Troisième nombre | 30 |
| D’abord le PPCM des deux premiers, m | =PPCM(B1;B2) |
| PPCM des trois | =PPCM(B4;B3) |
Google Sheets en français propose aussi les fonctions PPCM et PGCD : les formules d’Excel fonctionnent telles quelles. Copiez tout le tableau, collez-le dans la cellule A1 et remplacez les nombres par les vôtres.
Calculer avec Python
import math
numbers = [330, 75, 450, 225] # nombres dont on cherche le PPCM (au moins 2)
least_common_multiple = math.lcm(*numbers)
greatest_common_divisor = math.gcd(*numbers)
print(f"PPCM (plus petit commun multiple) : {least_common_multiple}")
print(f"(Pour information) PGCD (plus grand commun diviseur) : {greatest_common_divisor}")
Fonctionne avec la seule bibliothèque standard (math.lcm n’existe pas dans les anciennes versions de Python). « *numbers » passe les éléments de la liste un par un à la fonction, ce qui marche quel que soit le nombre de valeurs. Modifiez les nombres de la liste en haut et lancez le programme.
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
PPCM de deux nombres (à l’aide du PGCD)
lcm(a, b) = a × b ÷ gcd(a, b)
\mathrm{lcm}(a, b) = \dfrac{a \times b}{\gcd(a, b)}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>lcm</mi><mo>⁡</mo>
<mrow><mo>(</mo><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>b</mi><mo>)</mo></mrow>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>a</mi><mo>×</mo><mi>b</mi></mrow>
<mrow><mi>gcd</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>b</mi><mo>)</mo></mrow></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
lcm(a, b) = (a xx b) / (gcd(a, b))
a*b/GCD[a, b]
L := a*b/igcd(a, b);
L = a*b/gcd(a, b);
lcm(a, b) = (a × b)/gcd(a, b)
Avec la décomposition en facteurs premiers (marche aussi pour 3 nombres ou plus)
L = p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times \cdots \times p_k^{a_k}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>L</mi>
<mo>=</mo>
<msubsup><mi>p</mi><mn>1</mn><msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub></msubsup>
<mo>×</mo>
<msubsup><mi>p</mi><mn>2</mn><msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub></msubsup>
<mo>×</mo>
<mo>⋯</mo>
<mo>×</mo>
<msubsup><mi>p</mi><mi>k</mi><msub><mi>a</mi><mi>k</mi></msub></msubsup>
</mrow>
</math>
L = p_1^(a_1) xx p_2^(a_2) xx cdots xx p_k^(a_k)
Product[p[i]^a[i], {i, 1, k}]
L := product(p[i]^a[i], i = 1 .. k);
L = prod(p.^a);
L = p_1^(a_1) × p_2^(a_2) × ⋯ × p_k^(a_k)
PPCM de 3 nombres ou plus (deux par deux)
lcm(a, b, c) = lcm(lcm(a, b), c)
\mathrm{lcm}(a, b, c) = \mathrm{lcm}(\mathrm{lcm}(a, b),\ c)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>lcm</mi><mo>⁡</mo>
<mrow><mo>(</mo><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>b</mi><mo>,</mo><mi>c</mi><mo>)</mo></mrow>
<mo>=</mo>
<mi>lcm</mi><mo>⁡</mo>
<mrow><mo>(</mo><mi>lcm</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>b</mi><mo>)</mo></mrow><mo>,</mo><mi>c</mi><mo>)</mo></mrow>
</mrow>
</math>
lcm(a, b, c) = lcm(lcm(a, b), c)
LCM[LCM[a, b], c]
L := ilcm(ilcm(a, b), c);
L = lcm(lcm(a, b), c);
lcm(a, b, c) = lcm(lcm(a, b), c)
Faire faire le calcul par ChatGPT
Tu es un assistant de calcul sur les nombres entiers. Effectue le calcul suivant en exécutant réellement du code Python, et fonde ta réponse uniquement sur les nombres obtenus à l’exécution (ne réponds pas de tête ni par estimation). Pour les quatre nombres 330, 75, 450 et 225, trouve : 1. Le PPCM (plus petit commun multiple) 2. Le PGCD (plus grand commun diviseur) 3. La décomposition en facteurs premiers de chaque nombre Indique les formules utilisées et les nombres obtenus à l’exécution.
Mode d'emploi
-
1Saisissez vos nombresTapez les nombres à calculer dans les champs de saisie
-
2CalculezAppuyez sur le bouton « Calculer »
-
3Lisez le résultatLe résultat s’affiche aussitôt. La même page explique aussi le raisonnement et la formule
Les atouts de DataChef
Simple et gratuit
Conversions gratuites et illimitées
Aucune compétence requise – simple et intuitif
Aucune compétence requise – simple et intuitif
Aucune inscription requise
Utilisable dès l'ouverture de la page
Aucune donnée personnelle nécessaire
Aucune donnée personnelle nécessaire
Sûr et fiable
Connexion fortement chiffrée (SSL)
Le fichier est supprimé automatiquement après le téléchargement
Le fichier est supprimé automatiquement après le téléchargement
Rapide
Affichage et conversion rapides, sans attente
Sans filigrane
Aucun filigrane
Aucune mention de crédit nécessaire
Aucune mention de crédit nécessaire
Usage commercial autorisé
Usage commercial gratuit
Aucune autorisation préalable nécessaire
Aucune autorisation préalable nécessaire
Fonctions connexes
Calcul de fractions (addition, soustraction, multiplication, division)
Additionne, soustrait, multiplie et divise des fractions avec les étapes (le PPCM donne le dénominateur commun)
