Geben Sie 2 oder mehr Zahlen mit Semikolon (;) getrennt ein. Auch das kgV von 3 oder mehr Zahlen wird auf einmal berechnet, mit Primfaktorzerlegung im Rechenweg und dem ggT zum Vergleich.
Geben Sie 2 oder mehr positive ganze Zahlen mit Semikolon getrennt ein (z. B. 4 ; 6). 0, Dezimalzahlen und negative Zahlen sind nicht möglich.
Ergebnis
Geben Sie links die Zahlen mit Semikolon getrennt ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis erscheint dann hier.
Inhaltsverzeichnis
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Das können Sie auf dieser Seite
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Wofür braucht man diese Berechnung?
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Anleitung
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Formel
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Symbole und Begriffe
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Das sollten Sie vorher wissen
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So berechnen Sie es in Excel
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So berechnen Sie es in Google Tabellen
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So berechnen Sie es in Python
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So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
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So lassen Sie ChatGPT rechnen
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Die Vorteile von DataChef
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Verwandte Funktionen
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Alle Rechner von NumberChef
Das können Sie auf dieser Seite
- Geben Sie 2 oder mehr Zahlen mit Semikolon (;) getrennt ein – das kgV (kleinste gemeinsame Vielfache) steht sofort da
- Nicht nur „Was ist das kgV von 4 und 6?“, sondern auch 3 oder mehr Zahlen auf einmal, etwa „Was ist das kgV von 12, 18 und 30?“
- Der Rechenweg zeigt die Primfaktorzerlegung jeder Zahl – so sehen Sie nicht nur das Ergebnis, sondern auch, warum es stimmt
- Zum Vergleich wird auch der ggT (größte gemeinsame Teiler) angezeigt
- Außerdem auf dieser Seite: eine leicht verständliche Erklärung der Formeln und Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python
Sie können nur positive ganze Zahlen (1, 2, 3, …) eingeben. Das kleinste gemeinsame Vielfache ist für positive ganze Zahlen definiert, deshalb sind 0, Dezimalzahlen und negative Zahlen nicht möglich.
Wofür braucht man diese Berechnung?
Brüche gleichnamig machen, um sie zu addieren oder zu subtrahieren (der häufigste Einsatz)
Um \(\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6}\) zu rechnen, müssen die Nenner 4 und 6 gleich werden. Der Hauptnenner ist das kgV \(\mathrm{kgV}(4;\,6) = 12\), und so ergibt sich \(\dfrac{3}{12} + \dfrac{2}{12} = \dfrac{5}{12}\).
Mit dem Produkt der Nenner (24) ginge es auch, aber mit dem kgV bleiben die Zahlen klein und das Kürzen am Ende fällt leichter. Von der Bruchrechnung in der Schule bis zum Berufsalltag: Hier wird das kgV am häufigsten gebraucht.
Wann fahren Bus und Straßenbahn wieder gleichzeitig ab?
Eine Buslinie fährt alle 12 Minuten, eine Straßenbahn alle 18 Minuten. Fahren beide gerade gleichzeitig ab, tun sie das wieder nach \(\mathrm{kgV}(12;\,18) = 36\) Minuten.
Wann zwei Dinge mit unterschiedlichem Takt wieder zusammenfallen, sagt Ihnen das kgV. Das ist eine klassische Textaufgabe im Matheunterricht und zugleich ein praktisches Werkzeug für Fahrpläne und andere Zeitpläne.
Würstchen und Brötchen so kaufen, dass nichts übrig bleibt
Würstchen gibt es im 10er-Pack, Brötchen im 8er-Beutel. Damit Sie von beidem genau gleich viele haben, brauchen Sie mindestens \(\mathrm{kgV}(10;\,8) = 40\) Stück von jedem – also 4 Packungen Würstchen und 5 Beutel Brötchen.
Dinge in unterschiedlichen Packungsgrößen aufeinander abzustimmen, kommt überall vor – vom Einkauf fürs Grillfest bis zur Materialbestellung in der Fabrik.
Zahnräder auslegen (Maschinen und Uhren)
Ein Zahnrad mit 12 Zähnen greift in eines mit 18 Zähnen. Die beiden Zähne, die sich am Anfang berühren, treffen sich wieder, wenn \(\mathrm{kgV}(12;\,18) = 36\) Zähne vorbeigelaufen sind (3 Umdrehungen des kleinen und 2 des großen Rads).
Im Maschinenbau wählt man die Zähnezahlen oft teilerfremd, damit das kgV groß wird. So treffen nicht immer dieselben Zahnpaare aufeinander, und die Zähne nutzen sich gleichmäßig ab.
Wann werden alle Mülltonnen in derselben Woche geleert?
Angenommen, in Ihrer Gemeinde wird die Restmülltonne alle 2 Wochen, die Gelbe Tonne alle 3 Wochen und die Papiertonne alle 4 Wochen geleert. Wurden alle drei in derselben Woche abgeholt, ist das das nächste Mal nach \(\mathrm{kgV}(2;\,3;\,4) = 12\) Wochen wieder so.
Wie lange es dauert, bis Dinge mit verschiedenen Rhythmen wieder zusammenfallen, beantwortet genau das kgV – bei Abfuhrkalendern, Schichtplänen oder Wartungsintervallen.
Formel
kgV von zwei Zahlen (mit dem ggT)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(\mathrm{kgV}(a;\,b)\)
\(=\)
\(a\)
\(\times\)
\(b\)
\(\div\)
\(\mathrm{ggT}(a;\,b)\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
④
\(\mathrm{kgV}(a;\,b)\): kleinstes gemeinsames Vielfaches
\(=\)
①
\(a\): erste Zahl
\(\times\)
②
\(b\): zweite Zahl
\(\div\)
③
\(\mathrm{ggT}(a;\,b)\): größter gemeinsamer Teiler
Die Formel in Worten
①
Multiplizieren Sie die
\(a\): erste Zahl
②
mit der
\(b\): zweite Zahl
③
und teilen Sie durch den
\(\mathrm{ggT}(a;\,b)\): größter gemeinsamer Teiler
④
– so erhalten Sie das
\(\mathrm{kgV}(a;\,b)\): kleinstes gemeinsames Vielfaches
Einfaches Beispiel
Das kgV von 4 und 6 (ihr ggT ist 2) ist
kgV von 4 und 6
\(=\)
erste Zahl (4)
\(\times\)
zweite Zahl (6)
\(\div\)
ggT (2)
\(4 \times 6 \div 2 = 24 \div 2 = 12\)
Der Grundgedanke
Multipliziert man die beiden Zahlen einfach, wird ihr gemeinsamer Anteil (der größte gemeinsame Teiler) doppelt gezählt. Teilt man einmal durch ihn, fällt das Doppelte weg – übrig bleibt das kleinste gemeinsame Vielfache.
Ist der ggT 1 (die Zahlen sind teilerfremd), ändert das Teilen durch 1 nichts. Das kgV ist dann einfach das Produkt \(\mathrm{kgV}(a;\,b) = a \times b\) (bei 8 und 9 also \(8 \times 9 = 72\)).
Mit der Primfaktorzerlegung (auch für 3 oder mehr Zahlen)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(L\)
\(=\)
\(p_1^{\,a_1} \times p_2^{\,a_2} \times \cdots \times p_k^{\,a_k}\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
②
\(L\): kleinstes gemeinsames Vielfaches
\(=\)
①
Produkt der höchsten Potenzen aller vorkommenden Primfaktoren
Die Formel in Worten
①
Zerlegen Sie jede Zahl in Primfaktoren und bilden Sie das
Produkt der höchsten Potenzen aller vorkommenden Primfaktoren
②
– das ist das
\(L\): kleinstes gemeinsames Vielfaches
Einfaches Beispiel
Für das kgV von 12, 18 und 30: Die Primfaktorzerlegungen sind \(12 = 2^2 \times 3\), \(18 = 2 \times 3^2\) und \(30 = 2 \times 3 \times 5\). Die höchsten Potenzen der Primfaktoren 2, 3 und 5 sind \(2^2\), \(3^2\) und \(5\), also
kgV von 12, 18 und 30, \(L\)
\(=\)
Produkt der höchsten Potenzen \(2^2 \times 3^2 \times 5\)
\(2^2 \times 3^2 \times 5 = 4 \times 9 \times 5 = 180\)
Der Grundgedanke
Warum gerade die höchste Hochzahl? Das kleinste gemeinsame Vielfache muss ein Vielfaches jeder einzelnen Zahl sein. Um zum Beispiel ein Vielfaches von \(12 = 2^2 \times 3\) zu sein, braucht es zwei Zweien – also nimmt man für die 2 die größte vorkommende Hochzahl, nämlich 2. Für jeden Primfaktor richtet man sich nach der Zahl, die ihn am häufigsten braucht: Das ist schon die ganze Idee.
Auch der Rechenweg des Rechners auf dieser Seite arbeitet mit dieser Primfaktorzerlegung.
kgV von 3 oder mehr Zahlen (schrittweise zu zweit)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(\mathrm{kgV}(a;\,b;\,c)\)
\(=\)
\(\mathrm{kgV}(m;\,c)\)
\(m\)
\(=\)
\(\mathrm{kgV}(a;\,b)\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
③
kgV aller drei Zahlen
\(=\)
②
kgV von \(m\) und \(c\)
①
\(m\): kgV von \(a\) und \(b\)
\(=\)
\(\mathrm{kgV}(a;\,b)\): kgV von \(a\) und \(b\)
Die Formel in Worten
①
Bestimmen Sie zuerst
\(m\): kgV von \(a\) und \(b\)
②
und dann das
kgV von \(m\) und \(c\)
③
– das ist das
kgV aller drei Zahlen
(bei 4 oder mehr Zahlen wiederholen Sie diesen Schritt einfach)
Einfaches Beispiel
Für das kgV von 12, 18 und 30 bestimmen Sie zuerst das kgV von 12 und 18 (36) und dann das kgV von 36 und 30:
kgV von 12, 18 und 30
\(=\)
kgV von „kgV von 12 und 18 (36)“ und 30
\(\mathrm{kgV}(12;\,18) = 36\)
\(\mathrm{kgV}(36;\,30) = 180\)
Der Grundgedanke
Mit welchen zwei Zahlen Sie anfangen, ist egal – das Ergebnis bleibt gleich (die Reihenfolge ändert nichts). Auch der Rechner auf dieser Seite geht so schrittweise vor und schafft damit beliebig viele Zahlen.
Das kleinste gemeinsame Vielfache bestimmen Sie im Grundsatz so – jede Zahl in Primfaktoren zerlegen, für jeden vorkommenden Primfaktor die höchste Potenz wählen und alles multiplizieren. Bei zwei Zahlen geht es schneller mit „Produkt der beiden Zahlen geteilt durch ihren ggT“. Bei 3 oder mehr Zahlen bestimmen Sie das kgV schrittweise für je zwei Zahlen.
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(\mathrm{lcm}(a,b)\) | kgV von a und b | Das kleinste gemeinsame Vielfache von \(a\) und \(b\). In deutschen Schulbüchern schreibt man \(\mathrm{kgV}(a;\,b)\); international ist \(\mathrm{lcm}(a,b)\) üblich (englisch „least common multiple“), so heißt auch die Funktion in Python. |
| \(\gcd(a,b)\) | ggT von a und b | Der größte gemeinsame Teiler von \(a\) und \(b\). In deutschen Schulbüchern schreibt man \(\mathrm{ggT}(a;\,b)\); international ist \(\gcd(a,b)\) üblich (englisch „greatest common divisor“). |
| \(2^2\) | zwei hoch zwei | Eine Potenz: Die kleine hochgestellte Zahl (die Hochzahl oder der Exponent) gibt an, wie oft dieselbe Zahl mit sich selbst multipliziert wird. \(2^2 = 2 \times 2 = 4\) und \(3^2 = 3 \times 3 = 9\). |
| \(p_1, p_2, \ldots, p_k\) | p eins, p zwei | Die Primfaktoren, die in den Primfaktorzerlegungen vorkommen, der Größe nach geordnet. Die kleine tiefgestellte Zahl (der Index) gibt an, der wievielte Primfaktor gemeint ist. |
| \(a_1, a_2, \ldots, a_k\) | a eins, a zwei | Für jeden Primfaktor die größte Hochzahl (wie oft er multipliziert wird), die in einer der Primfaktorzerlegungen vorkommt. |
| \(m\) | m | Das kgV der ersten beiden Zahlen als Zwischenergebnis. Man braucht es, wenn man das kgV von 3 oder mehr Zahlen schrittweise für je zwei Zahlen bestimmt. |
Begriffe
| Vielfaches | Eine Zahl mal 1, mal 2, mal 3 usw. Die Vielfachen von 6 sind 6, 12, 18, 24, … |
| gemeinsames Vielfaches | Ein Vielfaches, das zwei oder mehr Zahlen gemeinsam haben. Die gemeinsamen Vielfachen von 4 und 6 sind 12, 24, 36, … – es gibt unendlich viele. |
| kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) | Das kleinste der gemeinsamen Vielfachen. Diesen Wert berechnet diese Seite. |
| Teiler | Eine ganze Zahl, durch die sich eine Zahl ohne Rest teilen lässt. Die Teiler von 12 sind 1, 2, 3, 4, 6 und 12. |
| größter gemeinsamer Teiler (ggT) | Der größte Teiler, den zwei oder mehr Zahlen gemeinsam haben. Er gehört oft mit dem kgV zusammen, deshalb zeigt diese Seite ihn zum Vergleich mit an. |
| Primzahl | Eine ganze Zahl ab 2, die nur durch 1 und sich selbst teilbar ist (2, 3, 5, 7, 11, …). 1 ist keine Primzahl. |
| Primfaktorzerlegung | Eine ganze Zahl als Produkt aus lauter Primzahlen schreiben. Beispiel – \(12 = 2 \times 2 \times 3 = 2^2 \times 3\). |
| teilerfremd | Zwei Zahlen sind teilerfremd, wenn ihr ggT 1 ist (sie haben keinen gemeinsamen Primfaktor). Das kgV zweier teilerfremder Zahlen ist einfach ihr Produkt. |
| Hauptnenner | Der kleinste gemeinsame Nenner, also das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner. Um Brüche mit verschiedenen Nennern zu addieren oder zu subtrahieren, macht man sie gleichnamig – mit dem Hauptnenner geht das am einfachsten. Das ist der häufigste Einsatz des kgV. |
Das sollten Sie vorher wissen
Damit Sie die Rechnung auf dieser Seite wirklich verstehen und nicht nur auf den Knopf drücken, hilft Ihnen Folgendes.
| Einmaleins und Teilen (Klasse 2–3, 7–9 Jahre) |
|
| Teiler und Vielfache (Klasse 5, 10–11 Jahre) |
|
| Brüche gleichnamig machen (Klasse 6, 11–12 Jahre) |
|
| Primzahlen und Primfaktorzerlegung (Klasse 5–6, 10–12 Jahre) |
|
| Potenzen (Klasse 5–6, 10–12 Jahre) |
|
So berechnen Sie es in Excel
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle für das kgV von zwei Zahlen (mit dem ggT)
| Erste Zahl a | 4 |
| Zweite Zahl b | 6 |
| kgV(a; b) | =B1*B2/GGT(B1;B2) |
Tabelle für das kgV von 3 oder mehr Zahlen
| Erste Zahl | 12 |
| Zweite Zahl | 18 |
| Dritte Zahl | 30 |
| kgV | =KGV(B1;B2;B3) |
Tabelle für das kgV schrittweise zu zweit
| Erste Zahl | 12 |
| Zweite Zahl | 18 |
| Dritte Zahl | 30 |
| Zuerst das kgV der ersten beiden, m | =KGV(B1;B2) |
| kgV aller drei | =KGV(B4;B3) |
Nach dem Einfügen sind die oberen Zellen in Spalte B Ihre Eingaben, die letzte Zeile wird automatisch berechnet.
In der deutschen Excel-Version berechnet „GGT“ den größten gemeinsamen Teiler und „KGV“ das kleinste gemeinsame Vielfache. Die Funktion KGV erledigt die Primfaktorzerlegung aus Formel 2 für Sie.
In der ersten Tabelle steht in B3 die 12, in der zweiten in B4 die 180. Ersetzen Sie die Zahlen einfach durch Ihre eigenen (KGV nimmt auch mehr Zahlen, etwa „=KGV(B1;B2;B3;B4)“).
In der deutschen Excel-Version berechnet „GGT“ den größten gemeinsamen Teiler und „KGV“ das kleinste gemeinsame Vielfache. Die Funktion KGV erledigt die Primfaktorzerlegung aus Formel 2 für Sie.
In der ersten Tabelle steht in B3 die 12, in der zweiten in B4 die 180. Ersetzen Sie die Zahlen einfach durch Ihre eigenen (KGV nimmt auch mehr Zahlen, etwa „=KGV(B1;B2;B3;B4)“).
So berechnen Sie es in Google Tabellen
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle für das kgV von zwei Zahlen (mit dem ggT)
| Erste Zahl a | 4 |
| Zweite Zahl b | 6 |
| kgV(a; b) | =B1*B2/GGT(B1;B2) |
Tabelle für das kgV von 3 oder mehr Zahlen
| Erste Zahl | 12 |
| Zweite Zahl | 18 |
| Dritte Zahl | 30 |
| kgV | =KGV(B1;B2;B3) |
Tabelle für das kgV schrittweise zu zweit
| Erste Zahl | 12 |
| Zweite Zahl | 18 |
| Dritte Zahl | 30 |
| Zuerst das kgV der ersten beiden, m | =KGV(B1;B2) |
| kgV aller drei | =KGV(B4;B3) |
Google Tabellen auf Deutsch kennt die Funktionen KGV und GGT ebenfalls, die Formeln aus Excel funktionieren also unverändert. Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Zahlen durch Ihre eigenen.
So berechnen Sie es in Python
import math
numbers = [330, 75, 450, 225] # Zahlen, deren kgV gesucht ist (2 oder mehr)
least_common_multiple = math.lcm(*numbers)
greatest_common_divisor = math.gcd(*numbers)
print(f"Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV): {least_common_multiple}")
print(f"(Zum Vergleich) größter gemeinsamer Teiler (ggT): {greatest_common_divisor}")
Läuft nur mit der Standardbibliothek (math.lcm gibt es ab Python 3.9). „*numbers“ übergibt die Einträge der Liste einzeln an die Funktion, deshalb klappt es mit beliebig vielen Zahlen. Ändern Sie die Zahlen in der Liste oben und führen Sie den Code aus.
So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
kgV von zwei Zahlen (mit dem ggT)
lcm(a, b) = a × b ÷ gcd(a, b)
\mathrm{lcm}(a, b) = \dfrac{a \times b}{\gcd(a, b)}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>lcm</mi><mo>⁡</mo>
<mrow><mo>(</mo><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>b</mi><mo>)</mo></mrow>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>a</mi><mo>×</mo><mi>b</mi></mrow>
<mrow><mi>gcd</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>b</mi><mo>)</mo></mrow></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
lcm(a, b) = (a xx b) / (gcd(a, b))
a*b/GCD[a, b]
L := a*b/igcd(a, b);
L = a*b/gcd(a, b);
lcm(a, b) = (a × b)/gcd(a, b)
Mit der Primfaktorzerlegung (auch für 3 oder mehr Zahlen)
L = p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times \cdots \times p_k^{a_k}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>L</mi>
<mo>=</mo>
<msubsup><mi>p</mi><mn>1</mn><msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub></msubsup>
<mo>×</mo>
<msubsup><mi>p</mi><mn>2</mn><msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub></msubsup>
<mo>×</mo>
<mo>⋯</mo>
<mo>×</mo>
<msubsup><mi>p</mi><mi>k</mi><msub><mi>a</mi><mi>k</mi></msub></msubsup>
</mrow>
</math>
L = p_1^(a_1) xx p_2^(a_2) xx cdots xx p_k^(a_k)
Product[p[i]^a[i], {i, 1, k}]
L := product(p[i]^a[i], i = 1 .. k);
L = prod(p.^a);
L = p_1^(a_1) × p_2^(a_2) × ⋯ × p_k^(a_k)
kgV von 3 oder mehr Zahlen (schrittweise zu zweit)
lcm(a, b, c) = lcm(lcm(a, b), c)
\mathrm{lcm}(a, b, c) = \mathrm{lcm}(\mathrm{lcm}(a, b),\ c)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>lcm</mi><mo>⁡</mo>
<mrow><mo>(</mo><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>b</mi><mo>,</mo><mi>c</mi><mo>)</mo></mrow>
<mo>=</mo>
<mi>lcm</mi><mo>⁡</mo>
<mrow><mo>(</mo><mi>lcm</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>b</mi><mo>)</mo></mrow><mo>,</mo><mi>c</mi><mo>)</mo></mrow>
</mrow>
</math>
lcm(a, b, c) = lcm(lcm(a, b), c)
LCM[LCM[a, b], c]
L := ilcm(ilcm(a, b), c);
L = lcm(lcm(a, b), c);
lcm(a, b, c) = lcm(lcm(a, b), c)
So lassen Sie ChatGPT rechnen
Sie sind ein Rechenassistent für ganze Zahlen. Führen Sie die folgende Berechnung unbedingt aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (nicht im Kopf rechnen und nicht schätzen). Bestimmen Sie für die vier Zahlen 330, 75, 450 und 225 jeweils: 1. das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) 2. den größten gemeinsamen Teiler (ggT) 3. die Primfaktorzerlegung jeder Zahl Geben Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis an.
Anleitung
-
1Werte eingebenTragen Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
-
2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
-
3Ergebnis ansehenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
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Verwandte Funktionen
Bruchrechner – Brüche addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren
Addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert Brüche mit Rechenweg (der Hauptnenner ist das kgV der Nenner)
Brüche kürzen – Rechner für vollständig gekürzte Brüche mit ggT
Teilt Zähler und Nenner durch den ggT und kürzt den Bruch so weit wie möglich
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