Geben Sie 2 oder mehr Zahlen ein, durch Semikolons (;) getrennt. Sie können das kgV von 3 oder mehr Zahlen auf einmal bestimmen; der Rechenweg mit der Primfaktorzerlegung und der ggT werden ebenfalls angezeigt.
Geben Sie 2 oder mehr positive ganze Zahlen ein, durch Semikolons (;) getrennt (Beispiel: 4 ; 6). 0, Dezimalzahlen und negative Zahlen sind nicht möglich.
Ergebnis
Geben Sie links Ihre Zahlen ein, getrennt durch Semikolons, und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis erscheint hier.
Inhaltsverzeichnis
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-
Was Sie auf dieser Seite tun können
-
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
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Anleitung
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Formel
-
Symbole und Begriffe
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Was Sie vorab wissen sollten
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Mit Excel berechnen
-
Mit Google Tabellen berechnen
-
Mit Python berechnen
-
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
-
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
-
Die Vorteile von DataChef
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Verwandte Funktionen
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Alle NumberChef-Rechner
Was Sie auf dieser Seite tun können
- Geben Sie 2 oder mehr Zahlen ein, getrennt durch Semikolons (;), und Sie sehen sofort das kgV (kleinstes gemeinsames Vielfaches)
- Nicht nur „Was ist das kgV von 4 und 6?“, sondern auch 3 oder mehr Zahlen auf einmal, zum Beispiel „Was ist das kgV von 12, 18 und 30?“
- Der Rechenweg zeigt die Primfaktorzerlegung jeder Zahl, sodass Sie nicht nur das Ergebnis sehen, sondern auch verstehen, warum es so ist
- Zur Orientierung wird gleichzeitig auch der ggT (größter gemeinsamer Teiler) angezeigt
- Eine leicht verständliche Erklärung der Formeln sowie Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python finden Sie ebenfalls auf dieser Seite
Eingeben können Sie nur positive ganze Zahlen (1, 2, 3, …). Das kleinste gemeinsame Vielfache wird für positive ganze Zahlen bestimmt, deshalb sind 0, Dezimalzahlen und negative Zahlen nicht möglich.
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
Hauptnenner beim Addieren und Subtrahieren von Brüchen (der häufigste Einsatz)
Um \(\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6}\) zu berechnen, müssen die Nenner 4 und 6 gleich gemacht werden. Der Hauptnenner ist das kgV, \(\mathrm{kgV}(4,6) = 12\), also ist die Summe \(\dfrac{3}{12} + \dfrac{2}{12} = \dfrac{5}{12}\).
Auch das Produkt der Nenner, 24, funktioniert, aber mit dem kgV bleiben die Zahlen klein, und das Kürzen am Ende fällt leichter. Von der Grundschule bis zum Berufsalltag: Hier wird das kgV am häufigsten gebraucht.
Berechnen, wann Busse oder Bahnen das nächste Mal gleichzeitig abfahren
Zwei Buslinien fahren gemeinsam an einer Haltestelle ab, die eine alle 12 Minuten, die andere alle 18 Minuten. Sie fahren das nächste Mal nach \(\mathrm{kgV}(12,18) = 36\) Minuten zusammen ab.
Den Zeitpunkt, an dem zwei Abläufe mit unterschiedlichem Takt wieder zusammentreffen, liefert das kgV. Es ist eine klassische Textaufgabe im Mathematikunterricht und ein praktisches Werkzeug, um über Fahrpläne und andere Zeitpläne nachzudenken.
Bratwürste und Brötchen so einkaufen, dass nichts übrig bleibt
Bratwürste gibt es im 10er-Pack, Brötchen im 8er-Pack. Damit Sie von beidem genau gleich viele haben, kaufen Sie mindestens \(\mathrm{kgV}(10,8) = 40\) Stück von jedem, das sind 4 Packungen Bratwürste und 5 Packungen Brötchen.
Dinge mit unterschiedlicher Packungsgröße aufeinander abzustimmen, kommt überall vor, vom Einkauf für die Grillparty bis zur Bestellung von Teilen für eine Fabrik.
Zahnräder auslegen (Maschinen und Uhren)
Ein Zahnrad mit 12 Zähnen greift in ein Zahnrad mit 18 Zähnen. Die beiden Zähne, die sich am Anfang berührt haben, treffen sich wieder, wenn \(\mathrm{kgV}(12,18) = 36\) Zähne vorbeigelaufen sind (3 Umdrehungen des kleinen und 2 Umdrehungen des großen Rades).
Im Maschinenbau wählt man die Zähnezahlen oft teilerfremd, damit das kgV groß wird und immer wieder dieselben Zahnpaare nicht aufeinandertreffen und sich ungleichmäßig abnutzen.
Wenn zwei Rhythmen wieder zusammentreffen (Abfuhrtermine)
Angenommen, der Restmüll wird alle 4 Wochen abgeholt und die Papiertonne alle 6 Wochen (die Rhythmen sind nur ein Beispiel; sie hängen von Ihrer Gemeinde ab). Beide werden dann das nächste Mal am selben Tag geleert nach \(\mathrm{kgV}(4,6) = 12\) Wochen.
Wären es 5 und 7 Wochen, also zwei Primzahlen, wäre das kgV einfach das Produkt \(5 \times 7 = 35\) Wochen. Wie lange es dauert, bis Dinge mit unterschiedlichem Rhythmus wieder zusammentreffen, sagt Ihnen genau das kgV.
Formel
kgV zweier Zahlen (mit dem ggT)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(\mathrm{kgV}(a,\,b)\)
\(=\)
\(a\)
\(\times\)
\(b\)
\(\div\)
\(\mathrm{ggT}(a,\,b)\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
④
\(\mathrm{kgV}(a,b)\): kleinstes gemeinsames Vielfaches
\(=\)
①
\(a\): erste Zahl
\(\times\)
②
\(b\): zweite Zahl
\(\div\)
③
\(\mathrm{ggT}(a,b)\): größter gemeinsamer Teiler
Die Formel in Worten
①
Multiplizieren Sie die
\(a\): erste Zahl
②
mit der
\(b\): zweite Zahl
③
teilen Sie durch den
\(\mathrm{ggT}(a,b)\): größter gemeinsamer Teiler
④
und Sie erhalten das
\(\mathrm{kgV}(a,b)\): kleinstes gemeinsames Vielfaches
Einfaches Beispiel
Das kgV von 4 und 6 ist (der ggT von 4 und 6 ist 2)
kgV von 4 und 6
\(=\)
erste Zahl (4)
\(\times\)
zweite Zahl (6)
\(\div\)
ggT (2)
\(4 \times 6 \div 2 = 24 \div 2 = 12\)
Der Kerngedanke
Wenn Sie die beiden Zahlen einfach multiplizieren, wird der gemeinsame Anteil (der größte gemeinsame Teiler) doppelt gezählt. Teilen Sie einmal durch ihn, ist die überzählige Kopie weg, und übrig bleibt das kleinste gemeinsame Vielfache.
Ist der ggT gleich 1 (die Zahlen sind teilerfremd), ändert das Teilen durch 1 nichts, und das kgV ist einfach das Produkt \(\mathrm{kgV}(a,b) = a \times b\) (bei 8 und 9: \(8 \times 9 = 72\)).
Mit der Primfaktorzerlegung (auch für 3 oder mehr Zahlen)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(L\)
\(=\)
\(p_1^{\,a_1} \times p_2^{\,a_2} \times \cdots \times p_k^{\,a_k}\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
②
\(L\): kleinstes gemeinsames Vielfaches
\(=\)
①
Produkt der höchsten Potenz jeder vorkommenden Primzahl
Die Formel in Worten
①
Zerlegen Sie jede Zahl in Primfaktoren und bilden Sie das
Produkt der höchsten Potenz jeder vorkommenden Primzahl
②
Das ergibt das
\(L\): kleinstes gemeinsames Vielfaches
Einfaches Beispiel
Für das kgV von 12, 18 und 30 zerlegt man \(12 = 2^2 \times 3\), \(18 = 2 \times 3^2\) und \(30 = 2 \times 3 \times 5\) in Primfaktoren (Primfaktorzerlegung). Die höchsten Potenzen der Primzahlen 2, 3 und 5 sind \(2^2\), \(3^2\) und \(5\), also
kgV von 12, 18 und 30, \(L\)
\(=\)
Produkt der höchsten Potenzen \(2^2 \times 3^2 \times 5\)
\(2^2 \times 3^2 \times 5 = 4 \times 9 \times 5 = 180\)
Der Kerngedanke
Warum die höchste Potenz? Weil das kleinste gemeinsame Vielfache ein Vielfaches jeder einzelnen Zahl sein muss. Um zum Beispiel ein Vielfaches von \(12 = 2^2 \times 3\) zu sein, braucht es zwei Faktoren 2, also wird der Exponent von 2 auf 2 gesetzt, den größten, der vorkommt. Für jede Primzahl richtet man sich nach der Zahl, die sie am häufigsten braucht: Das ist der ganze Gedanke dieser Methode.
Der Rechenweg, den der Rechner auf dieser Seite anzeigt, arbeitet ebenfalls mit dieser Primfaktorzerlegung.
kgV von 3 oder mehr Zahlen (immer zwei auf einmal)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(\mathrm{kgV}(a,\,b,\,c)\)
\(=\)
\(\mathrm{kgV}(m,\,c)\)
\(m\)
\(=\)
\(\mathrm{kgV}(a,\,b)\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
③
kgV aller drei Zahlen
\(=\)
②
kgV von \(m\) und \(c\)
①
\(m\): kgV von \(a\) und \(b\)
\(=\)
①
\(\mathrm{kgV}(a,b)\): kgV von \(a\) und \(b\)
Die Formel in Worten
①
Bestimmen Sie zuerst das
\(m\): kgV von \(a\) und \(b\)
②
dann das
kgV von \(m\) und \(c\)
③
und das ist das
kgV aller drei Zahlen
(bei 4 oder mehr Zahlen wiederholen Sie einfach denselben Schritt)
Einfaches Beispiel
Für das kgV von 12, 18 und 30 bestimmt man zuerst das kgV von 12 und 18 (36) und dann das kgV dieser 36 und 30:
kgV von 12, 18 und 30
\(=\)
kgV von „dem kgV von 12 und 18 (36)“ und 30
\(\mathrm{kgV}(12,\,18) = 36\)
\(\mathrm{kgV}(36,\,30) = 180\)
Der Kerngedanke
Sie können mit zwei beliebigen der Zahlen beginnen, das Ergebnis ist dasselbe (die Reihenfolge ändert nichts). Auch der Rechner auf dieser Seite geht so vor, immer zwei Zahlen auf einmal, und schafft dadurch beliebig viele Eingaben.
Der Grundgedanke beim kleinsten gemeinsamen Vielfachen. Man zerlegt jede Zahl in Primfaktoren, wählt für jede vorkommende Primzahl die höchste Potenz und multipliziert diese. Für zwei Zahlen gibt es die Abkürzung „Produkt der beiden Zahlen geteilt durch ihren ggT“. Bei 3 oder mehr Zahlen bestimmt man das kgV immer für zwei Zahlen auf einmal.
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(\mathrm{kgV}(a,b)\) | k g V von a und b | Das kleinste gemeinsame Vielfache von \(a\) und \(b\). In Deutschland schreibt man dafür kgV (Anfangsbuchstaben von „kleinstes gemeinsames Vielfaches“); international steht lcm (englisch „least common multiple“). |
| \(\mathrm{ggT}(a,b)\) | g g T von a und b | Der größte gemeinsame Teiler von \(a\) und \(b\). In Deutschland schreibt man dafür ggT; international steht gcd (englisch „greatest common divisor“). |
| \(2^2\) | zwei hoch zwei | Eine Potenz: Die kleine hochgestellte Zahl (der Exponent) gibt an, wie oft dieselbe Zahl mit sich selbst multipliziert wird. \(2^2 = 2 \times 2 = 4\) und \(3^2 = 3 \times 3 = 9\). |
| \(p_1, p_2, \ldots, p_k\) | p eins, p zwei | Die Primzahlen, die in den Primfaktorzerlegungen vorkommen, von der kleinsten zur größten. Die kleine tiefgestellte Zahl (der Index) gibt an, die wievielte Primzahl es in der Liste ist. |
| \(a_1, a_2, \ldots, a_k\) | a eins, a zwei | Für jede Primzahl der größte Exponent (die Anzahl der Faktoren), der in einer der Primfaktorzerlegungen vorkommt. |
| \(m\) | m | Das kgV der ersten beiden Zahlen, das man als Zwischenergebnis bestimmt. Man braucht es, wenn man das kgV von 3 oder mehr Zahlen immer zwei auf einmal bestimmt. |
Begriffe
| Vielfaches | Eine Zahl, mal 1, mal 2, mal 3 und so weiter genommen. Die Vielfachen von 6 sind 6, 12, 18, 24, … |
| gemeinsames Vielfaches | Ein Vielfaches, das zwei oder mehr Zahlen gemeinsam haben. Die gemeinsamen Vielfachen von 4 und 6 sind 12, 24, 36, … und es gibt unendlich viele. |
| kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) | Das kleinste der gemeinsamen Vielfachen. Das ist der Wert, den diese Seite bestimmt. |
| Teiler | Eine ganze Zahl, durch die sich eine Zahl ohne Rest teilen lässt. Die Teiler von 12 sind 1, 2, 3, 4, 6 und 12. |
| größter gemeinsamer Teiler (ggT) | Der größte Teiler, den zwei oder mehr Zahlen gemeinsam haben. Er wird oft zusammen mit dem kgV gebraucht, deshalb zeigt diese Seite ihn zur Information ebenfalls an. |
| Primzahl | Eine ganze Zahl ab 2, deren einzige Teiler 1 und sie selbst sind (2, 3, 5, 7, 11, …). Die 1 ist keine Primzahl. |
| Primfaktorzerlegung | Eine ganze Zahl als Produkt von lauter Primzahlen schreiben. Beispiel: \(12 = 2 \times 2 \times 3 = 2^2 \times 3\). |
| teilerfremd | Zwei Zahlen sind teilerfremd, wenn ihr ggT gleich 1 ist (sie haben keinen gemeinsamen Primfaktor). Das kgV zweier teilerfremder Zahlen ist einfach ihr Produkt. |
| Hauptnenner | Das kgV der Nenner, also der kleinste gemeinsame Nenner. Um Brüche mit verschiedenen Nennern zu addieren oder zu subtrahieren, macht man sie mit dem Hauptnenner gleichnamig. Das ist der häufigste Einsatz des kgV. |
Was Sie vorab wissen sollten
Hier ist zusammengefasst, was Ihnen hilft, die Berechnung auf dieser Seite mit echtem Verständnis zu nutzen und nicht nur den Knopf zu drücken.
| Das kleine Einmaleins und Division (Klasse 2–3, 7–9 Jahre) |
|
| Vielfache und Teiler (Klasse 5–6, 10–12 Jahre) |
|
| Gleichnamig machen von Brüchen (Klasse 6, 11–12 Jahre) |
|
| Primzahlen und Primfaktorzerlegung (Klasse 5–6, 10–12 Jahre) |
|
| Potenzen (Klasse 5–6, 10–12 Jahre) |
|
Mit Excel berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle für das kgV zweier Zahlen (mit dem ggT)
| Erste Zahl a | 4 |
| Zweite Zahl b | 6 |
| kgV(a, b) | =B1*B2/GGT(B1;B2) |
Tabelle für das kgV von 3 oder mehr Zahlen
| Erste Zahl | 12 |
| Zweite Zahl | 18 |
| Dritte Zahl | 30 |
| kgV | =KGV(B1;B2;B3) |
Tabelle für das kgV, immer zwei auf einmal
| Erste Zahl | 12 |
| Zweite Zahl | 18 |
| Dritte Zahl | 30 |
| Zuerst das kgV der ersten beiden, m | =KGV(B1;B2) |
| kgV aller drei | =KGV(B4;B3) |
Nach dem Einfügen sind die oberen Zellen der Spalte B Ihre Eingaben, und die letzte Zeile wird automatisch berechnet.
„GGT“ bestimmt in Excel den größten gemeinsamen Teiler und „KGV“ das kleinste gemeinsame Vielfache. Die Funktion KGV übernimmt für Sie die Primfaktorzerlegung aus Formel 2.
Die erste Tabelle zeigt in B3 die 12, die zweite in B4 die 180. Ersetzen Sie einfach die Zahlen durch Ihre eigenen (die Funktion KGV nimmt auch mehr Zahlen, etwa „=KGV(B1;B2;B3;B4)“).
„GGT“ bestimmt in Excel den größten gemeinsamen Teiler und „KGV“ das kleinste gemeinsame Vielfache. Die Funktion KGV übernimmt für Sie die Primfaktorzerlegung aus Formel 2.
Die erste Tabelle zeigt in B3 die 12, die zweite in B4 die 180. Ersetzen Sie einfach die Zahlen durch Ihre eigenen (die Funktion KGV nimmt auch mehr Zahlen, etwa „=KGV(B1;B2;B3;B4)“).
Mit Google Tabellen berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle für das kgV zweier Zahlen (mit dem ggT)
| Erste Zahl a | 4 |
| Zweite Zahl b | 6 |
| kgV(a, b) | =B1*B2/GGT(B1;B2) |
Tabelle für das kgV von 3 oder mehr Zahlen
| Erste Zahl | 12 |
| Zweite Zahl | 18 |
| Dritte Zahl | 30 |
| kgV | =KGV(B1;B2;B3) |
Tabelle für das kgV, immer zwei auf einmal
| Erste Zahl | 12 |
| Zweite Zahl | 18 |
| Dritte Zahl | 30 |
| Zuerst das kgV der ersten beiden, m | =KGV(B1;B2) |
| kgV aller drei | =KGV(B4;B3) |
Auch Google Tabellen hat die Funktionen KGV und GGT, deshalb funktionieren die Formeln aus Excel unverändert. Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Zahlen durch Ihre eigenen.
Mit Python berechnen
import math
numbers = [330, 75, 450, 225] # Zahlen, deren kgV bestimmt wird (2 oder mehr)
least_common_multiple = math.lcm(*numbers)
greatest_common_divisor = math.gcd(*numbers)
print(f"Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV): {least_common_multiple}")
print(f"(Zur Information) größter gemeinsamer Teiler (ggT): {greatest_common_divisor}")
Läuft nur mit der Standardbibliothek (math.lcm gibt es in älteren Python-Versionen nicht). „*numbers“ übergibt die Elemente der Liste einzeln an die Funktion, deshalb klappt es mit beliebig vielen Werten. Ändern Sie die Zahlen in der Liste ganz oben und führen Sie den Code aus.
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
kgV zweier Zahlen (mit dem ggT)
kgV(a, b) = a × b ÷ ggT(a, b)
\mathrm{kgV}(a, b) = \dfrac{a \times b}{\mathrm{ggT}(a, b)}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>kgV</mi><mo>⁡</mo>
<mrow><mo>(</mo><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>b</mi><mo>)</mo></mrow>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>a</mi><mo>×</mo><mi>b</mi></mrow>
<mrow><mi>ggT</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>b</mi><mo>)</mo></mrow></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
kgV(a, b) = (a xx b) / (ggT(a, b))
a*b/GCD[a, b]
L := a*b/igcd(a, b);
L = a*b/gcd(a, b);
kgV(a, b) = (a × b)/ggT(a, b)
Mit der Primfaktorzerlegung (auch für 3 oder mehr Zahlen)
L = p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times \cdots \times p_k^{a_k}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>L</mi>
<mo>=</mo>
<msubsup><mi>p</mi><mn>1</mn><msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub></msubsup>
<mo>×</mo>
<msubsup><mi>p</mi><mn>2</mn><msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub></msubsup>
<mo>×</mo>
<mo>⋯</mo>
<mo>×</mo>
<msubsup><mi>p</mi><mi>k</mi><msub><mi>a</mi><mi>k</mi></msub></msubsup>
</mrow>
</math>
L = p_1^(a_1) xx p_2^(a_2) xx cdots xx p_k^(a_k)
Product[p[i]^a[i], {i, 1, k}]
L := product(p[i]^a[i], i = 1 .. k);
L = prod(p.^a);
L = p_1^(a_1) × p_2^(a_2) × ⋯ × p_k^(a_k)
kgV von 3 oder mehr Zahlen (immer zwei auf einmal)
kgV(a, b, c) = kgV(kgV(a, b), c)
\mathrm{kgV}(a, b, c) = \mathrm{kgV}(\mathrm{kgV}(a, b),\ c)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>kgV</mi><mo>⁡</mo>
<mrow><mo>(</mo><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>b</mi><mo>,</mo><mi>c</mi><mo>)</mo></mrow>
<mo>=</mo>
<mi>kgV</mi><mo>⁡</mo>
<mrow><mo>(</mo><mi>kgV</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>b</mi><mo>)</mo></mrow><mo>,</mo><mi>c</mi><mo>)</mo></mrow>
</mrow>
</math>
kgV(a, b, c) = kgV(kgV(a, b), c)
LCM[LCM[a, b], c]
L := ilcm(ilcm(a, b), c);
L = lcm(lcm(a, b), c);
kgV(a, b, c) = kgV(kgV(a, b), c)
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
Sie sind ein Rechenassistent für ganze Zahlen. Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort ausschließlich auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (nicht im Kopf rechnen und nicht schätzen). Bestimmen Sie für die vier Zahlen 330, 75, 450 und 225 jeweils: 1. das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) 2. den größten gemeinsamen Teiler (ggT) 3. die Primfaktorzerlegung jeder Zahl Zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis.
Anleitung
-
1Zahlen eingebenGeben Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
-
2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
-
3Ergebnis ablesenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
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Keine vorherige Genehmigung erforderlich
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Verwandte Funktionen
Bruchrechner (Brüche addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren)
Addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert Brüche mit Rechenweg (für den Hauptnenner wird das kgV verwendet)
Brüche kürzen (Rechner für vollständig gekürzte Brüche)
Teilt Zähler und Nenner durch den ggT und bringt den Bruch so auf die einfachste Form
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