Bruchrechner – Brüche addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren

Geben Sie die beiden Brüche so ein, wie sie aussehen (oberes Feld = Zähler, unteres Feld = Nenner), und wählen Sie in der Mitte die Rechenart (+ − × ÷). Das Ergebnis erscheint vollständig gekürzt und als Dezimalzahl, mit Rechenweg.

Geben Sie Zähler und Nenner als Zahlen ein (negative Zahlen und Dezimalzahlen sind möglich, ein Nenner 0 nicht).

Ergebnis

Geben Sie links zwei Brüche ein, wählen Sie in der Mitte die Rechenart (+ − × ÷) und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis erscheint dann hier.

Inhaltsverzeichnis

[ Schließen X ]

Das können Sie auf dieser Seite
Wofür braucht man diese Berechnung?
Anleitung
Formel
Symbole und Begriffe
- Symbole
- Begriffe
Das sollten Sie vorher wissen
So berechnen Sie es in Excel
So berechnen Sie es in Google Tabellen
So berechnen Sie es in Python
So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
So lassen Sie ChatGPT rechnen
Die Vorteile von DataChef
Verwandte Funktionen
Alle Rechner von NumberChef

Das können Sie auf dieser Seite

Brüche addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren (zum Beispiel \(\dfrac{2}{7} + \dfrac{3}{8}\)) – Sie geben nur Zähler und Nenner ein
Das Ergebnis erscheint als vollständig gekürzter Bruch. Ist es ein unechter Bruch größer als 1, auch als gemischte Zahl – und immer zusätzlich als Dezimalzahl
Auch der Rechenweg wird angezeigt: gleichnamig machen, mit dem Kehrwert multiplizieren und kürzen
Dazu eine leicht verständliche Erklärung der Regeln der Bruchrechnung sowie Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python

Der Nenner darf nicht 0 sein (durch 0 kann man nicht teilen). Negative Brüche und Dezimalzahlen in Zähler oder Nenner sind möglich.

Wofür braucht man diese Berechnung?

Rezeptmengen an die Personenzahl anpassen

In Rezepten stehen oft Brüche wie „\(\dfrac{1}{2}\) Liter Milch“, „\(\dfrac{3}{4}\) Liter Brühe“ oder „\(\dfrac{1}{4}\) Teelöffel Salz“, und Mengen anpassen ist Multiplikation von Brüchen. Braucht man zum Beispiel nur \(\dfrac{2}{3}\) von \(\dfrac{3}{4}\) Liter, sind das \(\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{2}\) Liter.
Wollen Sie ein Rezept verdoppeln oder halbieren, multiplizieren Sie einfach jeden Bruch im Rezept und erhalten die genauen Mengen.

Erbteile nachrechnen (Geld und wichtige Lebensentscheidungen)

Auch die gesetzliche Erbfolge in Deutschland rechnet mit Brüchen. Lebten die Eheleute im gesetzlichen Güterstand der Zugewinngemeinschaft, erbt der Ehepartner neben den Kindern \(\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}\) (§ 1931 und § 1371 BGB); die andere Hälfte teilen sich die Kinder. Bei zwei Kindern erhält jedes \(\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}\).
Ergibt die Summe aller Anteile \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} = 1\), ist nichts vergessen worden. Auch Miteigentumsanteile an einer Immobilie werden mit denselben Additionen und Multiplikationen von Brüchen berechnet. (Für den Einzelfall, etwa mit Testament oder Ehevertrag, ist eine Beratung beim Notar oder Fachanwalt nötig.)

Zollmaße beim Heimwerken

Auch in Deutschland werden Anschlüsse von Wasserrohren, Wasserhähnen und Gartenschläuchen in Zoll angegeben, und zwar als Brüche: „\(\dfrac{1}{2}\) Zoll“, „\(\dfrac{3}{4}\) Zoll“ oder „\(\dfrac{3}{8}\) Zoll“.
Zwei Teile von je \(\dfrac{3}{8}\) Zoll ergeben zusammen \(\dfrac{3}{8} + \dfrac{3}{8} = \dfrac{3}{4}\) Zoll, und zwischen einem \(\dfrac{1}{2}\)-Zoll- und einem \(\dfrac{3}{8}\)-Zoll-Teil liegt ein Unterschied von \(\dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{8} = \dfrac{1}{8}\) Zoll. Passende Teile und Werkzeuge auszuwählen, ist Addieren und Subtrahieren von Brüchen.

Notenwerte und Rhythmus in der Musik

Eine Viertelnote dauert \(\dfrac{1}{4}\) einer ganzen Note, eine Achtelnote \(\dfrac{1}{8}\) – Notenwerte sind schon dem Namen nach Brüche. Eine punktierte Viertelnote dauert \(\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{3}{8}\).
Im 4/4-Takt werden die Noten jedes Takts so verteilt, dass ihre Längen zusammen \(\dfrac{4}{4} = 1\) ergeben. Rhythmen in Noten zu lesen oder zu schreiben, ist eine Kette von Bruchadditionen.

Zeit und Termine planen

„Eine Dreiviertelstunde Besprechung“ sind \(\dfrac{3}{4}\) Stunde, „eine halbe Stunde Fahrt“ ist \(\dfrac{1}{2}\) Stunde. Eine Stunde hat 60 Minuten, deshalb passen Zeitangaben und Brüche seit jeher gut zusammen – man denke an die Viertelstunde.
Zwei Besprechungen von je 45 Minuten und eine halbe Stunde Fahrt ergeben \(\dfrac{3}{4} + \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{2} = 2\) Stunden. So lassen sich Gesamtdauer und Restzeit mit Bruchrechnung abschätzen.

Formel

Brüche addieren (gleichnamig machen, dann die Zähler addieren)

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(\dfrac{a}{b}\) \(+\) \(\dfrac{c}{d}\) \(=\) \(\dfrac{a \times d + c \times b}{b \times d}\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

① \(\dfrac{a}{b}\): erster Bruch \(+\) ② \(\dfrac{c}{d}\): zweiter Bruch \(=\) ③ \(\dfrac{\text{Summe der neuen Zähler}}{\text{gemeinsamer Nenner (Produkt der Nenner)}}\)

Die Formel in Worten

① Man bringt den \(\dfrac{a}{b}\): ersten Bruch

② und den \(\dfrac{c}{d}\): zweiten Bruch auf denselben Nenner (gleichnamig machen) und addiert die Zähler. So erhält man

③ \(\dfrac{\text{Summe der neuen Zähler}}{\text{gemeinsamer Nenner (Produkt der Nenner)}}\)

Einfaches Beispiel

\(\dfrac{2}{7} + \dfrac{3}{8}\) hat verschiedene Nenner, also bringt man beide zuerst auf den Nenner \(7 \cdot 8 = 56\)

erster Bruch \(\dfrac{2}{7}\) \(+\) zweiter Bruch \(\dfrac{3}{8}\) \(=\) Summe der beiden Brüche \(\dfrac{37}{56}\)

\(\dfrac{2}{7} + \dfrac{3}{8} = \dfrac{2 \times 8}{7 \times 8} + \dfrac{3 \times 7}{8 \times 7} = \dfrac{16}{56} + \dfrac{21}{56}\)

\(\dfrac{16 + 21}{56} = \dfrac{37}{56}\ \ (\approx 0{,}661)\)

Der Grundgedanke

Brüche mit verschiedenen Nennern kann man nicht einfach so addieren. Der Nenner gibt an, in wie viele gleiche Teile das Ganze geteilt ist (also wie groß ein Stück ist), und Stücke verschiedener Größe zusammenzuzählen ergibt keine sinnvolle Anzahl. Deshalb macht man die Brüche zuerst gleichnamig (bringt sie auf denselben Nenner) und addiert dann die Zähler. Statt des „Produkts der Nenner“ (\(7 \cdot 8 = 56\)) wie in dieser Formel kann man auch das kgV der Nenner nehmen, den Hauptnenner. Das Ergebnis ist dasselbe, aber mit dem Hauptnenner bleiben die Zahlen kleiner, und das Kürzen am Ende ist einfacher.

Brüche subtrahieren (gleichnamig machen, dann die Zähler subtrahieren)

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(\dfrac{a}{b}\) \(-\) \(\dfrac{c}{d}\) \(=\) \(\dfrac{a \times d - c \times b}{b \times d}\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

① \(\dfrac{a}{b}\): erster Bruch \(-\) ② \(\dfrac{c}{d}\): zweiter Bruch \(=\) ③ \(\dfrac{\text{Differenz der neuen Zähler}}{\text{gemeinsamer Nenner (Produkt der Nenner)}}\)

Die Formel in Worten

① Vom \(\dfrac{a}{b}\): ersten Bruch , nachdem beide gleichnamig gemacht wurden,

② zieht man den Zähler vom \(\dfrac{c}{d}\): zweiten Bruch ab. So erhält man

③ \(\dfrac{\text{Differenz der neuen Zähler}}{\text{gemeinsamer Nenner (Produkt der Nenner)}}\)

Einfaches Beispiel

Bei \(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}\) bringt man beide zuerst auf den Nenner \(2 \cdot 3 = 6\)

erster Bruch \(\dfrac{1}{2}\) \(-\) zweiter Bruch \(\dfrac{1}{3}\) \(=\) erster Bruch minus zweiter Bruch \(\dfrac{1}{6}\)

\(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{1 \times 3}{2 \times 3} - \dfrac{1 \times 2}{3 \times 2} = \dfrac{3}{6} - \dfrac{2}{6}\)

\(\dfrac{3 - 2}{6} = \dfrac{1}{6}\ \ (\approx 0{,}167)\)

Der Grundgedanke

Das Gleichnamigmachen funktioniert genau wie beim Addieren. Danach werden einfach die Zähler subtrahiert. Zieht man einen größeren Bruch von einem kleineren ab, ist das Ergebnis ein negativer Bruch (zum Beispiel \(\dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{4} = -\dfrac{1}{4}\)). Das Minuszeichen schreibt man üblicherweise einmal vor den ganzen Bruch.

Brüche multiplizieren (Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner)

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(\dfrac{a}{b}\) \(\times\) \(\dfrac{c}{d}\) \(=\) \(\dfrac{a \times c}{b \times d}\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

① \(\dfrac{a}{b}\): erster Bruch \(\times\) ② \(\dfrac{c}{d}\): zweiter Bruch \(=\) ③ \(\dfrac{\text{Produkt der Zähler}}{\text{Produkt der Nenner}}\)

Die Formel in Worten

① Man multipliziert die Zähler miteinander und die Nenner miteinander – vom \(\dfrac{a}{b}\): ersten Bruch

② und vom \(\dfrac{c}{d}\): zweiten Bruch . So erhält man

③ \(\dfrac{\text{Produkt der Zähler}}{\text{Produkt der Nenner}}\)

Einfaches Beispiel

Bei \(\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{9}{4}\) multipliziert man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner und kürzt dann

erster Bruch \(\dfrac{2}{3}\) \(\times\) zweiter Bruch \(\dfrac{9}{4}\) \(=\) Produkt der beiden Brüche \(\dfrac{3}{2}\)

\(\dfrac{2}{3} \times \dfrac{9}{4} = \dfrac{2 \times 9}{3 \times 4} = \dfrac{18}{12}\)

\(\dfrac{18}{12} = \dfrac{18 \div 6}{12 \div 6} = \dfrac{3}{2}\ \ (= 1{,}5)\)

Der Grundgedanke

Beim Multiplizieren braucht man keinen gemeinsamen Nenner. Man multipliziert einfach Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner und kürzt am Ende, wenn möglich (\(\dfrac{18}{12} \rightarrow \dfrac{3}{2}\)). Man darf auch schon vor dem Multiplizieren kürzen (in \(\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{9}{4}\) teilt man die 9 und die 3 zuerst durch 3 und erhält \(\dfrac{2}{1} \cdot \dfrac{3}{4}\)). Das heißt „über Kreuz kürzen“. So bleiben die Zahlen klein, und die Rechnung wird viel einfacher. Ein Bruch, dessen Zähler größer als der Nenner ist, wie das Ergebnis \(\dfrac{3}{2}\) (ein unechter Bruch), lässt sich auch als gemischte Zahl \(1\dfrac{1}{2}\) (eineinhalb) schreiben.

Brüche dividieren (mit dem Kehrwert des Divisors multiplizieren)

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(\dfrac{a}{b}\) \(\div\) \(\dfrac{c}{d}\) \(=\) \(\dfrac{a}{b}\) \(\times\) \(\dfrac{d}{c}\) \(=\) \(\dfrac{a \times d}{b \times c}\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(\dfrac{a}{b}\): erster Bruch \(\div\) ① \(\dfrac{c}{d}\): Divisor \(=\) \(\dfrac{a}{b}\): erster Bruch \(\times\) ② \(\dfrac{d}{c}\): Kehrwert des Divisors \(=\) ④ \(\dfrac{\text{Produkt der Zähler (erster Bruch × Kehrwert)}}{\text{Produkt der Nenner (erster Bruch × Kehrwert)}}\)

Die Formel in Worten

① Man vertauscht Zähler und Nenner beim \(\dfrac{c}{d}\): Divisor (zweiter Bruch)

② und erhält den \(\dfrac{d}{c}\): Kehrwert des Divisors

③ mit dem man den \(\dfrac{a}{b}\): ersten Bruch multipliziert. So erhält man

④ \(\dfrac{\text{Produkt der Zähler (erster Bruch × Kehrwert)}}{\text{Produkt der Nenner (erster Bruch × Kehrwert)}}\)

Einfaches Beispiel

Bei \(\dfrac{3}{5} : \dfrac{6}{7}\) multipliziert man mit dem Kehrwert \(\dfrac{7}{6}\) des Divisors \(\dfrac{6}{7}\)

erster Bruch \(\dfrac{3}{5}\) \(\div\) Divisor \(\dfrac{6}{7}\) \(=\) erster Bruch \(\dfrac{3}{5}\) \(\times\) Kehrwert \(\dfrac{7}{6}\) \(=\) erster Bruch geteilt durch den Divisor \(\dfrac{7}{10}\)

\(\dfrac{3}{5} \div \dfrac{6}{7} = \dfrac{3}{5} \times \dfrac{7}{6} = \dfrac{3 \times 7}{5 \times 6} = \dfrac{21}{30}\)

\(\dfrac{21}{30} = \dfrac{21 \div 3}{30 \div 3} = \dfrac{7}{10}\ \ (= 0{,}7)\)

Der Grundgedanke

„\(: \dfrac{c}{d}\)“ lässt sich als „\(\cdot \dfrac{d}{c}\)“ schreiben – das ist der Kern der Division von Brüchen (die Merkregel lautet: „Man dividiert durch einen Bruch, indem man mit seinem Kehrwert multipliziert“). Durch einen Bruch teilen heißt zählen, wie oft er hineinpasst. \(2 : \dfrac{1}{2}\) fragt zum Beispiel: „Wie viele Halbe passen in 2?“ – Antwort 4. Mit dem Kehrwert ergibt \(2 \cdot \dfrac{2}{1} = 4\) dasselbe. Den Bruch, den man durch Vertauschen von Zähler und Nenner erhält, nennt man Kehrwert. Aus demselben Grund, aus dem man nicht durch 0 teilen kann, kann man auch nicht durch einen Bruch mit dem Wert 0 (Zähler 0) teilen.

Kürzen (einen Bruch so einfach wie möglich schreiben)

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(\dfrac{a}{b}\) \(=\) \(\dfrac{a \div g}{b \div g}\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

① \(\dfrac{a}{b}\): Bruch vor dem Kürzen \(=\) ② \(\dfrac{\text{Zähler geteilt durch den ggT}}{\text{Nenner geteilt durch den ggT}}\)

Die Formel in Worten

① Man teilt Zähler und Nenner beim \(\dfrac{a}{b}\): Bruch vor dem Kürzen jeweils durch die größte Zahl, die beide teilt (ihren ggT \(g\)). So erhält man

② \(\dfrac{\text{Zähler geteilt durch den ggT}}{\text{Nenner geteilt durch den ggT}}\) (den vollständig gekürzten Bruch)

Einfaches Beispiel

Um \(\dfrac{18}{12}\) aus dem Beispiel zur Multiplikation zu kürzen, teilt man Zähler und Nenner durch 6, den ggT von 18 und 12

Bruch vor dem Kürzen \(\dfrac{18}{12}\) \(=\) gekürzter Bruch \(\dfrac{3}{2}\)

\(\dfrac{18}{12} = \dfrac{18 \div 6}{12 \div 6} = \dfrac{3}{2}\)

Der Grundgedanke

Multipliziert oder dividiert man Zähler und Nenner mit derselben Zahl, ändert sich der Wert des Bruchs nicht (\(\dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{3}{6}\); das Multiplizieren heißt Erweitern und wird auch beim Gleichnamigmachen genutzt). Das Kürzen nutzt dieselbe Eigenschaft: Man teilt Zähler und Nenner durch ihren ggT und erhält die Form, die sich nicht weiter kürzen lässt (den vollständig gekürzten Bruch). In Klassenarbeiten und Rechnungen gibt man Ergebnisse üblicherweise vollständig gekürzt an. Alle Ergebnisse dieses Rechners sind bereits gekürzt.

Die Bruchrechnung folgt drei Mustern. Beim Addieren und Subtrahieren macht man die Brüche gleichnamig und rechnet dann mit den Zählern. Beim Multiplizieren rechnet man Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner. Beim Dividieren multipliziert man mit dem Kehrwert. Vergessen Sie am Ende nie, vollständig zu kürzen.

Symbole und Begriffe

Symbole

\(\dfrac{a}{b}\)	a durch b	Der erste Bruch. Die obere Zahl \(a\) ist der Zähler, die untere Zahl \(b\) der Nenner. (Beispiel: \(\dfrac{2}{7}\), „zwei Siebtel“, hat den Zähler 2 und den Nenner 7)
\(\dfrac{c}{d}\)	c durch d	Der zweite Bruch. Bei der Division ist er der Divisor (die Zahl, durch die geteilt wird).
\(\dfrac{d}{c}\)	d durch c	Der Bruch, den man durch Vertauschen von Zähler und Nenner von \(\dfrac{c}{d}\) erhält (sein Kehrwert). Mit ihm macht man aus einer Division eine Multiplikation.
\(g\)	g	Der ggT von Zähler und Nenner. Beim Kürzen teilt man Zähler und Nenner durch diese Zahl.

Begriffe

Zähler	Die obere Zahl eines Bruchs. Sie gibt an, wie viele Teile es sind (sie „zählt“ die Stücke).
Nenner	Die untere Zahl eines Bruchs. Sie gibt an, in wie viele gleiche Teile das Ganze geteilt ist (sie „benennt“ die Stückgröße, etwa Drittel oder Viertel). Sie darf nicht 0 sein.
gleichnamig machen	Brüche mit verschiedenen Nennern so erweitern, dass sie denselben Nenner haben, ohne ihren Wert zu ändern. Das ist vor dem Addieren und Subtrahieren nötig.
kürzen	Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl (am besten ihren ggT) teilen, um einen Bruch einfacher zu schreiben. Der Wert bleibt gleich.
vollständig gekürzter Bruch	Ein Bruch, der sich nicht weiter kürzen lässt, weil Zähler und Nenner außer 1 keinen gemeinsamen Teiler haben. Alle Ergebnisse dieses Rechners werden vollständig gekürzt angezeigt.
ggT (größter gemeinsamer Teiler)	Die größte Zahl, durch die zwei Zahlen ohne Rest teilbar sind. Man braucht ihn zum Kürzen. (Beispiel ggT(18; 12) = 6)
kgV (kleinstes gemeinsames Vielfaches)	Die kleinste Zahl, die ein Vielfaches beider Zahlen ist. Nimmt man es als gemeinsamen Nenner (Hauptnenner), bleiben die Zahlen klein. (Beispiel kgV(4; 6) = 12)
Hauptnenner	Der kleinste gemeinsame Nenner mehrerer Brüche, also das kgV der Nenner. Bei \(\dfrac{1}{4}\) und \(\dfrac{1}{6}\) ist es 12.
erweitern	Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizieren. Der Wert bleibt gleich: \(\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{6}\). Das Gegenstück zum Kürzen.
Kehrwert	Der Bruch, den man durch Vertauschen von Zähler und Nenner erhält. Mit der ursprünglichen Zahl multipliziert ergibt er 1 (\(\dfrac{6}{7} \cdot \dfrac{7}{6} = 1\)). Man braucht ihn zum Dividieren von Brüchen.
echter Bruch	Ein Bruch, dessen Zähler kleiner als der Nenner ist; er ist also kleiner als 1. (Beispiel \(\dfrac{1}{2}\))
unechter Bruch	Ein Bruch, dessen Zähler gleich groß wie oder größer als der Nenner ist; er ist also mindestens 1. (Beispiel \(\dfrac{3}{2}\))
gemischte Zahl	Ein unechter Bruch, geschrieben als ganze Zahl plus echter Bruch. (Beispiel \(\dfrac{3}{2} = 1\dfrac{1}{2}\), gelesen „eineinhalb“) So kann man sich die Größe leicht vorstellen.

Das sollten Sie vorher wissen

Damit Sie die Rechnung auf dieser Seite nicht nur per Knopfdruck, sondern mit echtem Verständnis nutzen, hilft Ihnen dieses Vorwissen.

Was ein Bruch bedeutet (Klasse 5–6, 10–12 Jahre)	Sie wissen, dass ein Bruch „so viele von den gleich großen Teilen eines Ganzen“ bedeutet (\(\dfrac{1}{4}\) ist eines von 4 gleichen Teilen) Sie wissen, dass die untere Zahl (der Nenner) die Größe der Stücke und die obere Zahl (der Zähler) ihre Anzahl angibt
Einmaleins und Division (Klasse 2–4, 7–10 Jahre)	Sie können Nenner und Zähler schnell miteinander multiplizieren Sie können Aufgaben wie 18 : 6 rechnen (das braucht man beim Kürzen)
ggT und kgV (Klasse 5–6, 10–12 Jahre)	Sie können den ggT (zum Kürzen) und das kgV (für den Hauptnenner) bestimmen
Erweitern, Kürzen sowie Addieren und Subtrahieren von Brüchen (Klasse 6, 11–12 Jahre)	Sie wissen, dass sich der Wert eines Bruchs nicht ändert, wenn man Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert (erweitert) oder durch dieselbe Zahl teilt (kürzt) Sie wissen, dass man Brüche mit verschiedenen Nennern erst gleichnamig macht und dann addiert oder subtrahiert
Multiplizieren und Dividieren von Brüchen (Klasse 6, 11–12 Jahre)	Sie wissen, dass man beim Multiplizieren Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner rechnet Sie wissen, dass man eine Division in „Multiplizieren mit dem Kehrwert“ umwandeln kann

So berechnen Sie es in Excel

Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein – dann funktioniert sie direkt.

Tabelle zum Addieren von Brüchen

Zähler a von Bruch 1	2
Nenner b von Bruch 1	7
Zähler c von Bruch 2	3
Nenner d von Bruch 2	8
Zähler vor dem Kürzen (a×d + c×b)	=B1B4+B3B2
Nenner vor dem Kürzen (b×d)	=B2*B4
ggT	=GGT(ABS(B5);ABS(B6))
Zähler des Ergebnisses (gekürzt)	=B5/B7
Nenner des Ergebnisses (gekürzt)	=B6/B7
Als Dezimalzahl	=B5/B6

Tabelle zum Subtrahieren von Brüchen

Zähler a von Bruch 1	1
Nenner b von Bruch 1	2
Zähler c von Bruch 2	1
Nenner d von Bruch 2	3
Zähler vor dem Kürzen (a×d − c×b)	=B1B4-B3B2
Nenner vor dem Kürzen (b×d)	=B2*B4
ggT	=GGT(ABS(B5);ABS(B6))
Zähler des Ergebnisses (gekürzt)	=B5/B7
Nenner des Ergebnisses (gekürzt)	=B6/B7
Als Dezimalzahl	=B5/B6

Tabelle zum Multiplizieren von Brüchen

Zähler a von Bruch 1	2
Nenner b von Bruch 1	3
Zähler c von Bruch 2	9
Nenner d von Bruch 2	4
Zähler vor dem Kürzen (a×c)	=B1*B3
Nenner vor dem Kürzen (b×d)	=B2*B4
ggT	=GGT(ABS(B5);ABS(B6))
Zähler des Ergebnisses (gekürzt)	=B5/B7
Nenner des Ergebnisses (gekürzt)	=B6/B7
Als Dezimalzahl	=B5/B6

Tabelle zum Dividieren von Brüchen

Zähler a von Bruch 1	3
Nenner b von Bruch 1	5
Zähler c von Bruch 2	6
Nenner d von Bruch 2	7
Zähler vor dem Kürzen (a×d)	=B1*B4
Nenner vor dem Kürzen (b×c)	=B2*B3
ggT	=GGT(ABS(B5);ABS(B6))
Zähler des Ergebnisses (gekürzt)	=B5/B7
Nenner des Ergebnisses (gekürzt)	=B6/B7
Als Dezimalzahl	=B5/B6

Tabelle zum Kürzen eines Bruchs

Zähler vor dem Kürzen	18
Nenner vor dem Kürzen	12
ggT	=GGT(ABS(B1);ABS(B2))
Gekürzter Zähler	=B1/B3
Gekürzter Nenner	=B2/B3

In jeder Tabelle tragen Sie oben in die Eingabezellen (Zähler und Nenner) Zahlen ein; die Formelzellen darunter werden automatisch berechnet.
„*“ ist das Malzeichen, „/“ das Geteiltzeichen, und GGT ist die Excel-Funktion für den ggT (ABS entfernt nur sicherheitshalber ein Minuszeichen).
In der ersten Tabelle (Addition) sind zum Beispiel B8 und B9 Zähler und Nenner des gekürzten Ergebnisses: Für \(\dfrac{2}{7} + \dfrac{3}{8}\) erhalten Sie \(\dfrac{37}{56}\) (als Dezimalzahl etwa 0,6607).
Für einen negativen Bruch setzen Sie das Minuszeichen vor den Zähler.

So berechnen Sie es in Google Tabellen

Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein – dann funktioniert sie direkt.

Tabelle zum Addieren von Brüchen

Zähler a von Bruch 1	2
Nenner b von Bruch 1	7
Zähler c von Bruch 2	3
Nenner d von Bruch 2	8
Zähler vor dem Kürzen (a×d + c×b)	=B1B4+B3B2
Nenner vor dem Kürzen (b×d)	=B2*B4
ggT	=GGT(ABS(B5);ABS(B6))
Zähler des Ergebnisses (gekürzt)	=B5/B7
Nenner des Ergebnisses (gekürzt)	=B6/B7
Als Dezimalzahl	=B5/B6

Tabelle zum Subtrahieren von Brüchen

Zähler a von Bruch 1	1
Nenner b von Bruch 1	2
Zähler c von Bruch 2	1
Nenner d von Bruch 2	3
Zähler vor dem Kürzen (a×d − c×b)	=B1B4-B3B2
Nenner vor dem Kürzen (b×d)	=B2*B4
ggT	=GGT(ABS(B5);ABS(B6))
Zähler des Ergebnisses (gekürzt)	=B5/B7
Nenner des Ergebnisses (gekürzt)	=B6/B7
Als Dezimalzahl	=B5/B6

Tabelle zum Multiplizieren von Brüchen

Zähler a von Bruch 1	2
Nenner b von Bruch 1	3
Zähler c von Bruch 2	9
Nenner d von Bruch 2	4
Zähler vor dem Kürzen (a×c)	=B1*B3
Nenner vor dem Kürzen (b×d)	=B2*B4
ggT	=GGT(ABS(B5);ABS(B6))
Zähler des Ergebnisses (gekürzt)	=B5/B7
Nenner des Ergebnisses (gekürzt)	=B6/B7
Als Dezimalzahl	=B5/B6

Tabelle zum Dividieren von Brüchen

Zähler a von Bruch 1	3
Nenner b von Bruch 1	5
Zähler c von Bruch 2	6
Nenner d von Bruch 2	7
Zähler vor dem Kürzen (a×d)	=B1*B4
Nenner vor dem Kürzen (b×c)	=B2*B3
ggT	=GGT(ABS(B5);ABS(B6))
Zähler des Ergebnisses (gekürzt)	=B5/B7
Nenner des Ergebnisses (gekürzt)	=B6/B7
Als Dezimalzahl	=B5/B6

Tabelle zum Kürzen eines Bruchs

Zähler vor dem Kürzen	18
Nenner vor dem Kürzen	12
ggT	=GGT(ABS(B1);ABS(B2))
Gekürzter Zähler	=B1/B3
Gekürzter Nenner	=B2/B3

Dieselben Formeln und Funktionen wie in Excel (GGT, ABS) funktionieren in Google Tabellen unverändert.
Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Zahlen in den Eingabezellen oben (Zähler und Nenner) durch Ihre eigenen.

So berechnen Sie es in Python

from fractions import Fraction

fraction_1 = Fraction(2, 7)   # erster Bruch (Zähler, Nenner)
fraction_2 = Fraction(3, 8)   # zweiter Bruch (Zähler, Nenner)

print(fraction_1 + fraction_2)         # Addition -> 37/56
print(fraction_1 - fraction_2)         # Subtraktion -> -5/56
print(fraction_1 * fraction_2)         # Multiplikation -> 3/28
print(fraction_1 / fraction_2)         # Division -> 16/21
print(float(fraction_1 + fraction_2))  # die Summe als Dezimalzahl -> 0.6607142857142857

Mit dem Modul fractions (Fraction) aus der Standardbibliothek erledigt Python das Gleichnamigmachen und Kürzen automatisch. Ändern Sie die Zahlen in Fraction(Zähler, Nenner) und führen Sie den Code aus. Dezimalzahlen gibt Python mit Punkt statt Komma aus.

So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)

Brüche addieren (gleichnamig machen, dann die Zähler addieren)

a/b + c/d = (a×d + c×b)/(b×d)

\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} = \dfrac{ad + cb}{bd}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mfrac><mi>a</mi><mi>b</mi></mfrac>
    <mo>+</mo>
    <mfrac><mi>c</mi><mi>d</mi></mfrac>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>a</mi><mo>&#xD7;</mo><mi>d</mi><mo>+</mo><mi>c</mi><mo>&#xD7;</mo><mi>b</mi></mrow>
      <mrow><mi>b</mi><mo>&#xD7;</mo><mi>d</mi></mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

a/b + c/d = (a*d + c*b)/(b*d)

Together[a/b + c/d]

r := normal(a/b + c/d);

r = simplifyFraction(a/b + c/d);

a/b + c/d = (a×d + c×b)/(b×d)

Brüche subtrahieren (gleichnamig machen, dann die Zähler subtrahieren)

a/b − c/d = (a×d − c×b)/(b×d)

\dfrac{a}{b} - \dfrac{c}{d} = \dfrac{ad - cb}{bd}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mfrac><mi>a</mi><mi>b</mi></mfrac>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mfrac><mi>c</mi><mi>d</mi></mfrac>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>a</mi><mo>&#xD7;</mo><mi>d</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>c</mi><mo>&#xD7;</mo><mi>b</mi></mrow>
      <mrow><mi>b</mi><mo>&#xD7;</mo><mi>d</mi></mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

a/b - c/d = (a*d - c*b)/(b*d)

Together[a/b - c/d]

r := normal(a/b - c/d);

r = simplifyFraction(a/b - c/d);

a/b - c/d = (a×d - c×b)/(b×d)

Brüche multiplizieren (Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner)

a/b × c/d = (a×c)/(b×d)

\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{ac}{bd}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mfrac><mi>a</mi><mi>b</mi></mfrac>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mfrac><mi>c</mi><mi>d</mi></mfrac>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>a</mi><mo>&#xD7;</mo><mi>c</mi></mrow>
      <mrow><mi>b</mi><mo>&#xD7;</mo><mi>d</mi></mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

a/b xx c/d = (a*c)/(b*d)

Together[(a/b)*(c/d)]

r := normal((a/b)*(c/d));

r = simplifyFraction((a/b)*(c/d));

a/b × c/d = (a×c)/(b×d)

Brüche dividieren (mit dem Kehrwert des Divisors multiplizieren)

a/b ÷ c/d = a/b × d/c = (a×d)/(b×c)

\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c} = \dfrac{ad}{bc}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mfrac><mi>a</mi><mi>b</mi></mfrac>
    <mo>&#xF7;</mo>
    <mfrac><mi>c</mi><mi>d</mi></mfrac>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><mi>a</mi><mi>b</mi></mfrac>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mfrac><mi>d</mi><mi>c</mi></mfrac>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>a</mi><mo>&#xD7;</mo><mi>d</mi></mrow>
      <mrow><mi>b</mi><mo>&#xD7;</mo><mi>c</mi></mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

a/b -: c/d = a/b xx d/c = (a*d)/(b*c)

Together[(a/b)/(c/d)]

r := normal((a/b)/(c/d));

r = simplifyFraction((a/b)/(c/d));

a/b ÷ c/d = (a×d)/(b×c)

Kürzen (einen Bruch so einfach wie möglich schreiben)

a/b = (a÷g)/(b÷g)  (g = ggT(a, b))

\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \div g}{b \div g} \quad (g = \operatorname{ggT}(a, b))

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mfrac><mi>a</mi><mi>b</mi></mfrac>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>a</mi><mo>&#xF7;</mo><mi>g</mi></mrow>
      <mrow><mi>b</mi><mo>&#xF7;</mo><mi>g</mi></mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

a/b = (a-:g)/(b-:g)

Simplify[a/b]

r := normal(a/b);

r = simplifyFraction(a/b);

a/b = (a÷g)/(b÷g)

So lassen Sie ChatGPT rechnen

Sie sind ein Rechenassistent für Bruchrechnung. Führen Sie die folgenden Berechnungen aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (nicht im Kopf rechnen und nicht schätzen). Verwenden Sie in Python das Modul fractions (Fraction) aus der Standardbibliothek.

Berechnen Sie Folgendes und geben Sie jedes Ergebnis als vollständig gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
1. 2/7 + 3/8
2. 1/2 - 3/4
3. 2/3 × 9/4
4. 3/5 : 6/7

Zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis.

Anleitung

1

Werte eingeben

Tragen Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
2

Berechnen

Klicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
3

Ergebnis ansehen

Das Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel