Bruchrechner (Brüche addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren)

Geben Sie die beiden Brüche so ein, wie sie geschrieben aussehen (oberes Feld = Zähler, unteres Feld = Nenner), und wählen Sie im Menü in der Mitte die Rechenart (+ − × ÷). Die Antwort wird als vollständig gekürzter Bruch und als Dezimalzahl angezeigt, samt Rechenweg.

Geben Sie Zahlen für Zähler und Nenner ein (negative Zahlen und Dezimalzahlen sind möglich; ein Nenner darf nicht 0 sein).

Ergebnis

Geben Sie links zwei Brüche ein, wählen Sie in der Mitte die Rechenart (+ − × ÷) und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis erscheint hier.

Inhaltsverzeichnis

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Was Sie auf dieser Seite tun können
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
Anleitung
Formel
Symbole und Begriffe
- Symbole
- Begriffe
Was Sie vorab wissen sollten
Mit Excel berechnen
Mit Google Tabellen berechnen
Mit Python berechnen
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
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Was Sie auf dieser Seite tun können

Addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren Sie zwei Brüche (zum Beispiel \(\dfrac{2}{7} + \dfrac{3}{8}\)) sofort, indem Sie nur Zähler und Nenner eingeben
Die Antwort wird als vollständig gekürzter Bruch angezeigt. Ist sie ein unechter Bruch größer als 1, erscheint sie zusätzlich als gemischte Zahl, und immer auch als Dezimalzahl
Auch der Rechenweg zur Antwort wird gezeigt: gleichnamig machen, mit dem Kehrwert multiplizieren und kürzen
Eine leicht verständliche Erklärung der Formeln sowie Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python finden Sie ebenfalls auf dieser Seite

Ein Nenner darf nicht 0 sein (durch 0 kann man nicht teilen). Negative Brüche und Dezimalzahlen im Zähler oder Nenner sind möglich.

Wofür ist diese Berechnung nützlich?

Ein Rezept auf die Zahl der Personen umrechnen

Rezepte nennen oft Mengen wie „\(\dfrac{1}{4}\) l Milch“ oder „\(\dfrac{3}{4}\) l Sahne“, und die Mengen anzupassen ist eine Multiplikation von Brüchen. Zum Beispiel sind „\(\dfrac{2}{3}\) von \(\dfrac{3}{4}\) l“ genau \(\dfrac{3}{4} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{2}\) (ein halber Liter).
Um ein Rezept zu verdoppeln oder zu halbieren, multiplizieren Sie einfach jeden Bruch im Rezept, und Sie erhalten genaue Mengen.

Eigentumsanteile prüfen (Geld und wichtige Entscheidungen)

Angenommen, ein Gesellschafter besitzt \(\dfrac{1}{2}\) einer kleinen Firma, und zwei weitere Gesellschafter teilen den Rest gleichmäßig auf. Jeder der beiden besitzt \(\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}\).
Prüfen Sie, dass alle Anteile zusammen \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} = 1\) ergeben, dann wissen Sie, dass nichts vergessen wurde. Auch Anteile an gemeinsam besessenem Eigentum berechnet man mit derselben Addition und Multiplikation von Brüchen.

Zoll-Maße beim Heimwerken abgleichen

In Deutschland werden Wasserrohre, Gewinde und Schrauben teilweise noch in Zoll angegeben, mit Brüchen wie „\(\dfrac{3}{8}\) Zoll“ oder „\(\dfrac{1}{2}\) Zoll“.
Setzt man zwei Teile von je \(\dfrac{3}{8}\) Zoll Länge aneinander, ergibt das \(\dfrac{3}{8} + \dfrac{3}{8} = \dfrac{3}{4}\) Zoll. Der Unterschied zwischen einem Teil von \(\dfrac{1}{2}\) Zoll und einem von \(\dfrac{3}{8}\) Zoll ist \(\dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{8} = \dfrac{1}{8}\) Zoll. Werkzeuge auszuwählen und Maße abzugleichen ist Addieren und Subtrahieren von Brüchen.

Notenlängen und Rhythmus in der Musik

Eine Viertelnote ist \(\dfrac{1}{4}\) einer ganzen Note und eine Achtelnote \(\dfrac{1}{8}\): Notenlängen sind von vornherein Brüche. Eine punktierte Viertelnote dauert \(\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{3}{8}\).
Im 4/4-Takt sind die Noten in jedem Takt so angeordnet, dass ihre Längen zusammen \(\dfrac{4}{4} = 1\) ergeben. Rhythmen in Noten zu lesen oder zu schreiben ist eine Folge von Bruchadditionen.

Zeit und Terminplanung abschätzen

„Eine 45-Minuten-Besprechung“ ist \(\dfrac{3}{4}\) Stunde, und „eine 30-minütige Fahrt“ ist \(\dfrac{1}{2}\) Stunde. Eine Stunde hat 60 Minuten, deshalb passt die Zeit schon immer gut zu Brüchen.
Zwei 45-Minuten-Besprechungen plus eine 30-minütige Fahrt ergeben zusammen \(\dfrac{3}{4} + \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{2} = 2\) Stunden. Mit dem Addieren und Subtrahieren von Brüchen können Sie die Gesamtdauer von Terminen und die verbleibende Zeit abschätzen.

Formel

Brüche addieren (gleichnamig machen, dann die Zähler addieren)

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(\dfrac{a}{b}\) \(+\) \(\dfrac{c}{d}\) \(=\) \(\dfrac{a \times d + c \times b}{b \times d}\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

① \(\dfrac{a}{b}\): erster Bruch \(+\) ② \(\dfrac{c}{d}\): zweiter Bruch \(=\) ③ \(\dfrac{\text{Summe der neuen Zähler}}{\text{gemeinsamer Nenner (Produkt der Nenner)}}\)

Die Formel in Worten

① Bringen Sie den \(\dfrac{a}{b}\): erster Bruch

② und den \(\dfrac{c}{d}\): zweiter Bruch auf denselben Nenner (gleichnamig machen) und addieren Sie dann die Zähler, so erhalten Sie

③ \(\dfrac{\text{Summe der neuen Zähler}}{\text{gemeinsamer Nenner (Produkt der Nenner)}}\)

Einfaches Beispiel

\(\dfrac{2}{7} + \dfrac{3}{8}\) hat verschiedene Nenner, also macht man zuerst beide Nenner zu \(7 \times 8 = 56\)

erster Bruch \(\dfrac{2}{7}\) \(+\) zweiter Bruch \(\dfrac{3}{8}\) \(=\) Summe der beiden Brüche \(\dfrac{37}{56}\)

\(\dfrac{2}{7} + \dfrac{3}{8} = \dfrac{2 \times 8}{7 \times 8} + \dfrac{3 \times 7}{8 \times 7} = \dfrac{16}{56} + \dfrac{21}{56}\)

\(\dfrac{16 + 21}{56} = \dfrac{37}{56}\ \ (\approx 0{,}661)\)

Der Kerngedanke

Brüche mit verschiedenen Nennern kann man nicht einfach so addieren. Der Nenner gibt an, in wie viele gleiche Teile 1 geteilt wird (die Größe jedes Stücks), und das Zusammenzählen von Stücken verschiedener Größe ergibt keine sinnvolle Anzahl. Deshalb macht man sie zuerst gleichnamig (auf einen gemeinsamen Nenner erweitern) und addiert dann die Zähler. Statt des „Produkts der Nenner“ (\(7 \times 8 = 56\)), das in dieser Formel verwendet wird, kann man auch das kgV der Nenner nehmen (den Hauptnenner). Die Antwort ist in beiden Fällen dieselbe, aber mit dem Hauptnenner bleiben die Zahlen kleiner, sodass das Kürzen am Ende leichter ist.

Brüche subtrahieren (gleichnamig machen, dann die Zähler subtrahieren)

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(\dfrac{a}{b}\) \(-\) \(\dfrac{c}{d}\) \(=\) \(\dfrac{a \times d - c \times b}{b \times d}\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

① \(\dfrac{a}{b}\): erster Bruch \(-\) ② \(\dfrac{c}{d}\): zweiter Bruch \(=\) ③ \(\dfrac{\text{Differenz der neuen Zähler}}{\text{gemeinsamer Nenner (Produkt der Nenner)}}\)

Die Formel in Worten

① Zieht man vom \(\dfrac{a}{b}\): erster Bruch , nachdem beide Brüche denselben Nenner haben (gleichnamig gemacht),

② den Zähler des \(\dfrac{c}{d}\): zweiter Bruch , ab, so erhält man

③ \(\dfrac{\text{Differenz der neuen Zähler}}{\text{gemeinsamer Nenner (Produkt der Nenner)}}\)

Einfaches Beispiel

Bei \(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}\) macht man zuerst beide Nenner zu \(2 \times 3 = 6\)

erster Bruch \(\dfrac{1}{2}\) \(-\) zweiter Bruch \(\dfrac{1}{3}\) \(=\) erster Bruch minus zweiter Bruch \(\dfrac{1}{6}\)

\(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{1 \times 3}{2 \times 3} - \dfrac{1 \times 2}{3 \times 2} = \dfrac{3}{6} - \dfrac{2}{6}\)

\(\dfrac{3 - 2}{6} = \dfrac{1}{6}\ \ (\approx 0{,}167)\)

Der Kerngedanke

Das Gleichnamigmachen (Erweitern auf den Hauptnenner) funktioniert genau wie beim Addieren. Danach subtrahiert man nur noch die Zähler. Zieht man einen größeren Bruch von einem kleineren ab, ist die Antwort ein negativer Bruch (zum Beispiel \(\dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{4} = -\dfrac{1}{4}\)). Das Minuszeichen schreibt man meist einmal vor den ganzen Bruch.

Brüche multiplizieren (Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multiplizieren)

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(\dfrac{a}{b}\) \(\times\) \(\dfrac{c}{d}\) \(=\) \(\dfrac{a \times c}{b \times d}\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

① \(\dfrac{a}{b}\): erster Bruch \(\times\) ② \(\dfrac{c}{d}\): zweiter Bruch \(=\) ③ \(\dfrac{\text{Produkt der Zähler}}{\text{Produkt der Nenner}}\)

Die Formel in Worten

① Multipliziert man die Zähler von \(\dfrac{a}{b}\): erster Bruch

② und \(\dfrac{c}{d}\): zweiter Bruch miteinander und ebenso ihre Nenner, erhält man

③ \(\dfrac{\text{Produkt der Zähler}}{\text{Produkt der Nenner}}\)

Einfaches Beispiel

Bei \(\dfrac{2}{3} \times \dfrac{9}{4}\) multipliziert man Zähler und Nenner miteinander und kürzt dann

erster Bruch \(\dfrac{2}{3}\) \(\times\) zweiter Bruch \(\dfrac{9}{4}\) \(=\) Produkt der beiden Brüche \(\dfrac{3}{2}\)

\(\dfrac{2}{3} \times \dfrac{9}{4} = \dfrac{2 \times 9}{3 \times 4} = \dfrac{18}{12}\)

\(\dfrac{18}{12} = \dfrac{18 \div 6}{12 \div 6} = \dfrac{3}{2}\ \ (= 1{,}5)\)

Der Kerngedanke

Beim Multiplizieren muss man nicht gleichnamig machen. Man multipliziert einfach die Zähler miteinander und die Nenner miteinander und kürzt am Ende, wenn es geht (\(\dfrac{18}{12} \rightarrow \dfrac{3}{2}\)). Man kann auch vor dem Multiplizieren kürzen (in \(\dfrac{2}{3} \times \dfrac{9}{4}\) teilt man zuerst die 9 und die 3 durch 3 und erhält \(\dfrac{2}{1} \times \dfrac{3}{4}\)). Das nennt man „über Kreuz kürzen“. Es hält die Zahlen klein und macht die Rechnung viel leichter. Ein Bruch, dessen Zähler größer als sein Nenner ist, wie die Antwort \(\dfrac{3}{2}\) (ein unechter Bruch), lässt sich auch als gemischte Zahl \(1\dfrac{1}{2}\) (eineinhalb) schreiben.

Brüche dividieren (mit dem Kehrwert des Divisors multiplizieren)

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(\dfrac{a}{b}\) \(\div\) \(\dfrac{c}{d}\) \(=\) \(\dfrac{a}{b}\) \(\times\) \(\dfrac{d}{c}\) \(=\) \(\dfrac{a \times d}{b \times c}\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(\dfrac{a}{b}\): erster Bruch \(\div\) ① \(\dfrac{c}{d}\): Divisor \(=\) \(\dfrac{a}{b}\): erster Bruch \(\times\) ② \(\dfrac{d}{c}\): Kehrwert des Divisors \(=\) ④ \(\dfrac{\text{Produkt der Zähler (erster Bruch × Kehrwert)}}{\text{Produkt der Nenner (erster Bruch × Kehrwert)}}\)

Die Formel in Worten

① Vertauscht man Zähler und Nenner von \(\dfrac{c}{d}\): Divisor (der zweite Bruch)

② erhält man den \(\dfrac{d}{c}\): Kehrwert des Divisors

③ und multipliziert man den \(\dfrac{a}{b}\): erster Bruch damit, erhält man

④ \(\dfrac{\text{Produkt der Zähler (erster Bruch × Kehrwert)}}{\text{Produkt der Nenner (erster Bruch × Kehrwert)}}\)

Einfaches Beispiel

Bei \(\dfrac{3}{5} \div \dfrac{6}{7}\) vertauscht man beim Divisor \(\dfrac{6}{7}\) Zähler und Nenner und erhält den Kehrwert \(\dfrac{7}{6}\), mit dem man multipliziert

erster Bruch \(\dfrac{3}{5}\) \(\div\) Divisor \(\dfrac{6}{7}\) \(=\) erster Bruch \(\dfrac{3}{5}\) \(\times\) Kehrwert \(\dfrac{7}{6}\) \(=\) erster Bruch geteilt durch den Divisor \(\dfrac{7}{10}\)

\(\dfrac{3}{5} \div \dfrac{6}{7} = \dfrac{3}{5} \times \dfrac{7}{6} = \dfrac{3 \times 7}{5 \times 6} = \dfrac{21}{30}\)

\(\dfrac{21}{30} = \dfrac{21 \div 3}{30 \div 3} = \dfrac{7}{10}\ \ (= 0{,}7)\)

Der Kerngedanke

„\(\div \dfrac{c}{d}\)“ lässt sich als „\(\times \dfrac{d}{c}\)“ schreiben. Das ist der wichtigste Punkt beim Dividieren von Brüchen („durch einen Bruch teilen heißt mit seinem Kehrwert malnehmen“). Wer durch einen Bruch teilt, zählt, wie oft dieser Bruch hineinpasst. Zum Beispiel fragt \(2 \div \dfrac{1}{2}\): „Wie viele Halbe passen in 2?“, und die Antwort ist 4. Mit dem Kehrwert ergibt \(2 \times \dfrac{2}{1} = 4\) dasselbe. Den Bruch, den man erhält, wenn man Zähler und Nenner vertauscht, nennt man den Kehrwert. Aus demselben Grund, aus dem man nicht durch 0 teilen kann, kann man auch nicht durch einen Bruch mit dem Wert 0 (dessen Zähler 0 ist) teilen.

Kürzen (einen Bruch auf die einfachste Form bringen)

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(\dfrac{a}{b}\) \(=\) \(\dfrac{a \div g}{b \div g}\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

① \(\dfrac{a}{b}\): Bruch vor dem Kürzen \(=\) ② \(\dfrac{\text{Zähler geteilt durch den ggT}}{\text{Nenner geteilt durch den ggT}}\)

Die Formel in Worten

① Teilt man Zähler und Nenner von \(\dfrac{a}{b}\): Bruch vor dem Kürzen jeweils durch die größte Zahl, die beide teilt (ihren ggT \(g\)), erhält man

② \(\dfrac{\text{Zähler geteilt durch den ggT}}{\text{Nenner geteilt durch den ggT}}\) (den vollständig gekürzten Bruch)

Einfaches Beispiel

Um \(\dfrac{18}{12}\) aus dem Beispiel zur Multiplikation zu kürzen, teilt man Zähler und Nenner durch 6, den ggT von 18 und 12

Bruch vor dem Kürzen \(\dfrac{18}{12}\) \(=\) gekürzter Bruch \(\dfrac{3}{2}\)

\(\dfrac{18}{12} = \dfrac{18 \div 6}{12 \div 6} = \dfrac{3}{2}\)

Der Kerngedanke

Multipliziert oder dividiert man Zähler und Nenner mit derselben Zahl, ändert sich der Wert eines Bruchs nicht (\(\dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{3}{6}\); man nennt das gleichwertige Brüche, und es ist dieselbe Eigenschaft, die man beim Gleichnamigmachen nutzt). Das Kürzen nutzt diese Eigenschaft: Man teilt Zähler und Nenner durch ihren ggT und kommt so zu der Form, die sich nicht weiter kürzen lässt (vollständig gekürzter Bruch). Antworten in Klassenarbeiten und bei Rechnungen schreibt man meist als vollständig gekürzten Bruch. Jede Antwort dieses Rechners ist bereits gekürzt.

Die Bruchrechnung hat drei Muster. Beim Addieren und Subtrahieren macht man die Brüche gleichnamig (auf einen gemeinsamen Nenner erweitern) und addiert oder subtrahiert dann die Zähler. Beim Multiplizieren multipliziert man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner. Beim Dividieren multipliziert man stattdessen mit dem Kehrwert. Vergessen Sie bei jeder Rechnung nicht, am Ende zum vollständig gekürzten Bruch zu kürzen.

Symbole und Begriffe

Symbole

\(\dfrac{a}{b}\)	a durch b	Der erste Bruch. Die obere Zahl \(a\) ist der Zähler, die untere Zahl \(b\) der Nenner. (Beispiel: \(\dfrac{2}{7}\) hat den Zähler 2 und den Nenner 7)
\(\dfrac{c}{d}\)	c durch d	Der zweite Bruch. Beim Dividieren ist er der Divisor (die Zahl, durch die man teilt).
\(\dfrac{d}{c}\)	d durch c	Der Bruch, den man erhält, wenn man Zähler und Nenner von \(\dfrac{c}{d}\) vertauscht (sein Kehrwert). Man braucht ihn, um eine Division in eine Multiplikation umzuwandeln.
\(g\)	g	Der ggT von Zähler und Nenner. Zum Kürzen teilt man Zähler und Nenner durch diese Zahl.

Begriffe

Zähler	Die obere Zahl eines Bruchs. Sie sagt, wie viele Teile gemeint sind.
Nenner	Die untere Zahl eines Bruchs. Sie sagt, in wie viele gleiche Teile 1 geteilt wird (die Größe jedes Stücks). Sie darf nicht 0 sein.
Hauptnenner	Der kleinste gemeinsame Nenner zweier Brüche, also das kgV der Nenner. Brüche mit verschiedenen Nennern schreibt man vor dem Addieren oder Subtrahieren mit demselben Nenner, ohne ihren Wert zu ändern (gleichnamig machen, auf den Hauptnenner erweitern).
kürzen	Den Zähler und den Nenner durch eine gemeinsame Zahl (ihren ggT) teilen, um einen Bruch in seiner einfachsten Form zu schreiben.
vollständig gekürzter Bruch	Ein Bruch, der sich nicht weiter kürzen lässt. Jede Antwort dieses Rechners wird als vollständig gekürzter Bruch angezeigt.
ggT (größter gemeinsamer Teiler)	Die größte der Zahlen, die zwei Zahlen beide ohne Rest teilen (ihrer gemeinsamen Teiler). Man braucht ihn zum Kürzen. (Beispiel: Für 18 und 12 ist er 6)
kgV (kleinstes gemeinsames Vielfaches)	Das kleinste der Vielfachen, die zwei Zahlen gemeinsam haben. Nimmt man es als gemeinsamen Nenner, bleiben die Zahlen klein. (Beispiel: Für 4 und 6 ist es 12)
Kehrwert	Der Bruch, den man erhält, wenn man Zähler und Nenner vertauscht. Multipliziert mit der ursprünglichen Zahl ergibt er 1 (\(\dfrac{6}{7} \times \dfrac{7}{6} = 1\)). Man braucht ihn zum Dividieren von Brüchen.
echter Bruch	Ein Bruch, dessen Zähler kleiner als sein Nenner ist, sein Wert ist also kleiner als 1. (Beispiel: \(\dfrac{1}{2}\))
unechter Bruch	Ein Bruch, dessen Zähler gleich dem Nenner oder größer als der Nenner ist, sein Wert ist also 1 oder mehr. (Beispiel: \(\dfrac{3}{2}\))
gemischte Zahl	Ein unechter Bruch, geschrieben als eine ganze Zahl plus ein echter Bruch. (Beispiel: \(\dfrac{3}{2} = 1\dfrac{1}{2}\), gelesen „eins und ein Halb“) So lässt sich die Größe leicht vorstellen.

Was Sie vorab wissen sollten

Hier steht, was Ihnen hilft, die Berechnung auf dieser Seite mit echtem Verständnis zu nutzen und nicht nur auf die Schaltfläche zu klicken.

Was ein Bruch ist (Klasse 3 bis 5, 8–11 Jahre)	Wissen, dass ein Bruch „einige der gleichen Teile, in die 1 geteilt wird“ angibt (\(\dfrac{1}{4}\) ist eines der 4 gleichen Teile von 1) Wissen, dass die untere Zahl (der Nenner) die Größe jedes Stücks angibt und die obere Zahl (der Zähler) die Zahl der Stücke
Einmaleins und Division (Klasse 2 bis 4, 7–10 Jahre)	Nenner und Zähler schnell miteinander multiplizieren können Dividieren können, wie in 18 : 6 (das braucht man beim Kürzen)
Gemeinsame Teiler und gemeinsame Vielfache (Klasse 5 bis 6, 10–12 Jahre)	Den ggT (zum Kürzen) und das kgV (zum Finden des Hauptnenners) bestimmen können
Erweitern, Kürzen sowie Addieren und Subtrahieren von Brüchen (Klasse 6, 11–12 Jahre)	Wissen, dass sich der Wert eines Bruchs nicht ändert, wenn man Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert oder durch sie dividiert Wissen, dass man Brüche mit verschiedenen Nennern addiert oder subtrahiert, nachdem man sie gleichnamig gemacht hat
Multiplizieren und Dividieren von Brüchen (Klasse 6 bis 7, 11–13 Jahre)	Wissen, dass man beim Multiplizieren Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert Wissen, dass sich eine Division in „Multiplizieren mit dem Kehrwert“ umwandeln lässt

Mit Excel berechnen

Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein. Sie funktioniert unverändert.

Tabelle zum Addieren von Brüchen

Zähler a von Bruch 1	2
Nenner b von Bruch 1	7
Zähler c von Bruch 2	3
Nenner d von Bruch 2	8
Zähler vor dem Kürzen (a×d + c×b)	=B1B4+B3B2
Nenner vor dem Kürzen (b×d)	=B2*B4
ggT	=GGT(ABS(B5);ABS(B6))
Zähler der Antwort (gekürzt)	=B5/B7
Nenner der Antwort (gekürzt)	=B6/B7
Als Dezimalzahl	=B5/B6

Tabelle zum Subtrahieren von Brüchen

Zähler a von Bruch 1	1
Nenner b von Bruch 1	2
Zähler c von Bruch 2	1
Nenner d von Bruch 2	3
Zähler vor dem Kürzen (a×d − c×b)	=B1B4-B3B2
Nenner vor dem Kürzen (b×d)	=B2*B4
ggT	=GGT(ABS(B5);ABS(B6))
Zähler der Antwort (gekürzt)	=B5/B7
Nenner der Antwort (gekürzt)	=B6/B7
Als Dezimalzahl	=B5/B6

Tabelle zum Multiplizieren von Brüchen

Zähler a von Bruch 1	2
Nenner b von Bruch 1	3
Zähler c von Bruch 2	9
Nenner d von Bruch 2	4
Zähler vor dem Kürzen (a×c)	=B1*B3
Nenner vor dem Kürzen (b×d)	=B2*B4
ggT	=GGT(ABS(B5);ABS(B6))
Zähler der Antwort (gekürzt)	=B5/B7
Nenner der Antwort (gekürzt)	=B6/B7
Als Dezimalzahl	=B5/B6

Tabelle zum Dividieren von Brüchen

Zähler a von Bruch 1	3
Nenner b von Bruch 1	5
Zähler c von Bruch 2	6
Nenner d von Bruch 2	7
Zähler vor dem Kürzen (a×d)	=B1*B4
Nenner vor dem Kürzen (b×c)	=B2*B3
ggT	=GGT(ABS(B5);ABS(B6))
Zähler der Antwort (gekürzt)	=B5/B7
Nenner der Antwort (gekürzt)	=B6/B7
Als Dezimalzahl	=B5/B6

Tabelle zum Kürzen eines Bruchs

Zähler vor dem Kürzen	18
Nenner vor dem Kürzen	12
ggT	=GGT(ABS(B1);ABS(B2))
Gekürzter Zähler	=B1/B3
Gekürzter Nenner	=B2/B3

In jeder Tabelle geben Sie oben in den Eingabezellen Zahlen ein (Zähler und Nenner), und die Formelzellen darunter werden automatisch berechnet.
„*“ ist die Multiplikation, „/“ die Division, und GGT ist die Excel-Funktion für den größten gemeinsamen Teiler (ABS entfernt nur ein etwaiges Minuszeichen).
In der ersten Tabelle (Addition) sind zum Beispiel B8 und B9 der Zähler und der Nenner der gekürzten Antwort: Für \(\dfrac{2}{7} + \dfrac{3}{8}\) erhalten Sie \(\dfrac{37}{56}\) (als Dezimalzahl etwa 0,6607).
Um mit einem negativen Bruch zu rechnen, setzen Sie das Minuszeichen an den Zähler.

Mit Google Tabellen berechnen

Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein. Sie funktioniert unverändert.

Tabelle zum Addieren von Brüchen

Zähler a von Bruch 1	2
Nenner b von Bruch 1	7
Zähler c von Bruch 2	3
Nenner d von Bruch 2	8
Zähler vor dem Kürzen (a×d + c×b)	=B1B4+B3B2
Nenner vor dem Kürzen (b×d)	=B2*B4
ggT	=GGT(ABS(B5);ABS(B6))
Zähler der Antwort (gekürzt)	=B5/B7
Nenner der Antwort (gekürzt)	=B6/B7
Als Dezimalzahl	=B5/B6

Tabelle zum Subtrahieren von Brüchen

Zähler a von Bruch 1	1
Nenner b von Bruch 1	2
Zähler c von Bruch 2	1
Nenner d von Bruch 2	3
Zähler vor dem Kürzen (a×d − c×b)	=B1B4-B3B2
Nenner vor dem Kürzen (b×d)	=B2*B4
ggT	=GGT(ABS(B5);ABS(B6))
Zähler der Antwort (gekürzt)	=B5/B7
Nenner der Antwort (gekürzt)	=B6/B7
Als Dezimalzahl	=B5/B6

Tabelle zum Multiplizieren von Brüchen

Zähler a von Bruch 1	2
Nenner b von Bruch 1	3
Zähler c von Bruch 2	9
Nenner d von Bruch 2	4
Zähler vor dem Kürzen (a×c)	=B1*B3
Nenner vor dem Kürzen (b×d)	=B2*B4
ggT	=GGT(ABS(B5);ABS(B6))
Zähler der Antwort (gekürzt)	=B5/B7
Nenner der Antwort (gekürzt)	=B6/B7
Als Dezimalzahl	=B5/B6

Tabelle zum Dividieren von Brüchen

Zähler a von Bruch 1	3
Nenner b von Bruch 1	5
Zähler c von Bruch 2	6
Nenner d von Bruch 2	7
Zähler vor dem Kürzen (a×d)	=B1*B4
Nenner vor dem Kürzen (b×c)	=B2*B3
ggT	=GGT(ABS(B5);ABS(B6))
Zähler der Antwort (gekürzt)	=B5/B7
Nenner der Antwort (gekürzt)	=B6/B7
Als Dezimalzahl	=B5/B6

Tabelle zum Kürzen eines Bruchs

Zähler vor dem Kürzen	18
Nenner vor dem Kürzen	12
ggT	=GGT(ABS(B1);ABS(B2))
Gekürzter Zähler	=B1/B3
Gekürzter Nenner	=B2/B3

Dieselben Formeln und Funktionen wie in Excel (GGT, ABS) funktionieren unverändert in Google Tabellen, wenn diese auf Deutsch eingestellt sind.
Kopieren Sie die gesamte Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Zahlen in den Eingabezellen oben (Zähler und Nenner) durch Ihre eigenen.

Mit Python berechnen

from fractions import Fraction

fraction_1 = Fraction(2, 7)   # erster Bruch (Zähler, Nenner)
fraction_2 = Fraction(3, 8)   # zweiter Bruch (Zähler, Nenner)

print(fraction_1 + fraction_2)         # Addition -> 37/56
print(fraction_1 - fraction_2)         # Subtraktion -> -5/56
print(fraction_1 * fraction_2)         # Multiplikation -> 3/28
print(fraction_1 / fraction_2)         # Division -> 16/21
print(float(fraction_1 + fraction_2))  # die Summe als Dezimalzahl -> 0.6607142857142857

Mit dem Modul fractions (Fraction) aus der Standardbibliothek werden das Gleichnamigmachen und das Kürzen für Sie erledigt. Ändern Sie die Zahlen in Fraction(Zähler, Nenner) und führen Sie den Code aus.

Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)

Brüche addieren (gleichnamig machen, dann die Zähler addieren)

a/b + c/d = (a×d + c×b)/(b×d)

\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} = \dfrac{ad + cb}{bd}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mfrac><mi>a</mi><mi>b</mi></mfrac>
    <mo>+</mo>
    <mfrac><mi>c</mi><mi>d</mi></mfrac>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>a</mi><mo>&#xD7;</mo><mi>d</mi><mo>+</mo><mi>c</mi><mo>&#xD7;</mo><mi>b</mi></mrow>
      <mrow><mi>b</mi><mo>&#xD7;</mo><mi>d</mi></mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

a/b + c/d = (a*d + c*b)/(b*d)

Together[a/b + c/d]

r := normal(a/b + c/d);

r = simplifyFraction(a/b + c/d);

a/b + c/d = (a×d + c×b)/(b×d)

Brüche subtrahieren (gleichnamig machen, dann die Zähler subtrahieren)

a/b − c/d = (a×d − c×b)/(b×d)

\dfrac{a}{b} - \dfrac{c}{d} = \dfrac{ad - cb}{bd}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mfrac><mi>a</mi><mi>b</mi></mfrac>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mfrac><mi>c</mi><mi>d</mi></mfrac>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>a</mi><mo>&#xD7;</mo><mi>d</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>c</mi><mo>&#xD7;</mo><mi>b</mi></mrow>
      <mrow><mi>b</mi><mo>&#xD7;</mo><mi>d</mi></mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

a/b - c/d = (a*d - c*b)/(b*d)

Together[a/b - c/d]

r := normal(a/b - c/d);

r = simplifyFraction(a/b - c/d);

a/b - c/d = (a×d - c×b)/(b×d)

Brüche multiplizieren (Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multiplizieren)

a/b × c/d = (a×c)/(b×d)

\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{ac}{bd}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mfrac><mi>a</mi><mi>b</mi></mfrac>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mfrac><mi>c</mi><mi>d</mi></mfrac>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>a</mi><mo>&#xD7;</mo><mi>c</mi></mrow>
      <mrow><mi>b</mi><mo>&#xD7;</mo><mi>d</mi></mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

a/b xx c/d = (a*c)/(b*d)

Together[(a/b)*(c/d)]

r := normal((a/b)*(c/d));

r = simplifyFraction((a/b)*(c/d));

a/b × c/d = (a×c)/(b×d)

Brüche dividieren (mit dem Kehrwert des Divisors multiplizieren)

a/b ÷ c/d = a/b × d/c = (a×d)/(b×c)

\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c} = \dfrac{ad}{bc}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mfrac><mi>a</mi><mi>b</mi></mfrac>
    <mo>&#xF7;</mo>
    <mfrac><mi>c</mi><mi>d</mi></mfrac>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><mi>a</mi><mi>b</mi></mfrac>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mfrac><mi>d</mi><mi>c</mi></mfrac>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>a</mi><mo>&#xD7;</mo><mi>d</mi></mrow>
      <mrow><mi>b</mi><mo>&#xD7;</mo><mi>c</mi></mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

a/b -: c/d = a/b xx d/c = (a*d)/(b*c)

Together[(a/b)/(c/d)]

r := normal((a/b)/(c/d));

r = simplifyFraction((a/b)/(c/d));

a/b ÷ c/d = (a×d)/(b×c)

Kürzen (einen Bruch auf die einfachste Form bringen)

a/b = (a÷g)/(b÷g)  (g = ggT(a, b))

\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \div g}{b \div g} \quad (g = \gcd(a, b))

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mfrac><mi>a</mi><mi>b</mi></mfrac>
    <mo>=</mo>
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      <mrow><mi>a</mi><mo>&#xF7;</mo><mi>g</mi></mrow>
      <mrow><mi>b</mi><mo>&#xF7;</mo><mi>g</mi></mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

a/b = (a-:g)/(b-:g)

Simplify[a/b]

r := normal(a/b);

r = simplifyFraction(a/b);

a/b = (a÷g)/(b÷g)

Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen

Sie sind ein Assistent für die Bruchrechnung. Führen Sie die folgenden Berechnungen aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ergebnis der Ausführung (nicht im Kopf rechnen und nicht schätzen). Verwenden Sie in Python das Modul fractions (Fraction) aus der Standardbibliothek.

Berechnen Sie jede der folgenden Aufgaben und geben Sie jede Antwort sowohl als vollständig gekürzten Bruch als auch als Dezimalzahl an.
1. 2/7 + 3/8
2. 1/2 - 3/4
3. 2/3 × 9/4
4. 3/5 : 6/7

Zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ergebnis der Ausführung.

Anleitung

1

Zahlen eingeben

Geben Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
2

Berechnen

Klicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
3

Ergebnis ablesen

Das Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel