Amortisationsdauer berechnen (statisch und dynamisch)

Wählen Sie, wie Sie die Cashflows eingeben (fest oder unregelmäßig), und geben Sie dann die Anfangsinvestition und die Cashflows ein. Sie erhalten, in wie vielen Jahren die Investition zurückkommt (Amortisationsdauer), dazu die dynamische Amortisationsdauer und die Cashflow-Rendite, die den Zeitwert des Geldes berücksichtigen.

Eingabe des Cashflows

Anfangsinvestition (€)

Kalkulationszinssatz (%)

Cashflow im Jahr 1 (€)

Änderung pro Jahr

Änderungsrate (% pro Jahr)

Anzahl der Jahre

Geben Sie die Beträge in Euro als einfache Zahlen ein. Die Anfangsinvestition geben Sie als positiven Betrag ein (sie wird intern als negative Auszahlung behandelt). Lassen Sie im unregelmäßigen Modus ein Jahr leer oder geben Sie 0 ein, wenn sich in diesem Jahr kein Geld bewegt, und geben Sie für ein Jahr mit einer zusätzlichen Ausgabe einen negativen Betrag ein (zum Beispiel -5000).

Ergebnis und Diagramm

Geben Sie links die Anfangsinvestition und die Cashflows ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis, ein Diagramm und eine Tabelle Jahr für Jahr erscheinen hier.

Inhaltsverzeichnis

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Was Sie auf dieser Seite tun können
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
Anleitung
Formeln und Diagramme
Symbole und Begriffe
- Symbole
- Begriffe
Was Sie vorab wissen sollten
Mit Excel berechnen
Mit Google Tabellen berechnen
Mit Python berechnen
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
Die Vorteile von DataChef
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Was Sie auf dieser Seite tun können

Aus der Anfangsinvestition und dem Cashflow des ersten Jahres (dem Geld, das Sie in diesem Jahr erhalten) berechnen Sie die Amortisationsdauer: in wie vielen Jahren die Anfangsinvestition zurückkommt
Es funktioniert, wenn der Cashflow jedes Jahr gleich ist oder jedes Jahr um einen festen Prozentsatz wächst oder schrumpft (Modus mit festem Cashflow)
Unterscheiden sich die Beträge von Jahr zu Jahr, geben Sie sie Jahr für Jahr ein (Modus mit unregelmäßigem Cashflow, bis zu 20 Jahre)
Geben Sie einen Kalkulationszinssatz ein, erhalten Sie zusätzlich die dynamische Amortisationsdauer, die den Zeitwert des Geldes berücksichtigt. Die Cashflow-Rendite (der Jahreszinssatz, gleich dem IRR) wird unabhängig vom Kalkulationszinssatz berechnet
Dazu eine Tabelle Jahr für Jahr (kumulierter Cashflow vor und nach der Abzinsung) und ein Diagramm des Zeitpunkts, zu dem der kumulierte Cashflow die 0-€-Linie überschreitet

Die Amortisationsdauer ist hier eine mathematische Berechnung ohne Gebühren und Steuern und keine Empfehlung für eine Geldanlage. Im Modus mit festem Cashflow wird der Zeitpunkt mitten im Jahr bestimmt, indem das Wachstum oder der Rückgang als gleichmäßige Veränderung behandelt wird (dasselbe Verfahren wie bei gängigen Online-Rechnern für die Amortisationsdauer).

Wofür ist diese Berechnung nützlich?

Nach wie vielen Jahren eine neue Anlage sich bezahlt macht (Vergleich mit der Vorgabe im Unternehmen)

„Eine Maschine für 400.000 € senkt die Kosten um 150.000 € pro Jahr.“ Die Amortisationsdauer beträgt \(400.000 \div 150.000 \approx 2{,}7\) Jahre. Viele Unternehmen setzen eine interne Regel wie „genehmigen, wenn sich die Anschaffung innerhalb von 3 Jahren amortisiert“, und die Amortisationsdauer ist der erste Test, den ein Vorschlag bestehen muss. Sie ist ein Standardargument nicht nur für Controlling und Finanzabteilung, sondern auch, wenn Mitarbeitende aus der Produktion neue Anlagen vorschlagen.
Künftige Cashflows sind nur Schätzungen, deshalb ist es gute Praxis, auch mit vorsichtigen Zahlen zu rechnen.

Ob sich eine Photovoltaikanlage oder energiesparende Modernisierung innerhalb ihrer Lebensdauer bezahlt macht

Kostet eine Photovoltaikanlage für das Eigenheim 20.000 € und spart sie im Jahr 2.000 € Stromkosten, beträgt die Amortisationsdauer \(20.000 \div 2.000 = 10\) Jahre. Solarmodule halten nach gängiger Aussage 25 bis 30 Jahre, deshalb ist die zentrale Frage, ob die Amortisationsdauer deutlich innerhalb dieser Lebensdauer liegt. Dämmung, eine Wärmepumpe oder ein hocheffizienter Warmwasserbereiter lassen sich genauso vergleichen. Auch die Einspeisevergütung nach dem EEG für eingespeisten Strom können Sie in den jährlichen Cashflow einrechnen.
Strompreise und Vergütungsregeln ändern sich mit der Zeit. Probieren Sie deshalb eine Änderungsrate aus, um zu sehen, wie stark sich eine Änderung dieser Annahmen auswirkt.

Die Startkosten eines Ladens oder Franchise-Betriebs wieder einspielen

Bei der Eröffnung eines Restaurants oder eines Franchise-Betriebs ist „nach wie vielen Jahren sind die Startkosten wieder eingespielt“ eine zentrale Zahl im Businessplan, auch für die Bank bei einem Gründerkredit. Bei Startkosten von 500.000 € und einem erwarteten Cashflow von 125.000 € pro Jahr (was vom Umsatz nach Ausgaben bleibt) beträgt die Amortisationsdauer 4 Jahre.
Kurz nach der Eröffnung lässt sich schwer vorhersagen, wie viele Kunden kommen. Der unregelmäßige Modus hilft dann: Sie können für das Jahr 1 einen kleineren Betrag und ab dem Jahr 2 größere Beträge eingeben.

Kosten und Nutzen von Software und Automatisierung

Bei Unternehmenssoftware oder Automatisierungswerkzeugen erleichtert es die Entscheidung, den Nutzen in eine Amortisationsdauer umzurechnen: „60.000 € für die Einrichtung, spart 30.000 € pro Jahr an Personalzeit, also beträgt die Amortisationsdauer 2 Jahre.“ Technik verändert sich schnell, und ein Werkzeug bleibt vielleicht nicht lange im Einsatz, deshalb bedeutet eine schnelle Amortisation unmittelbar ein geringeres Risiko.
Diese Denkweise ist auch im Business Case üblich, den Sie schreiben, wenn Sie eine Budgetfreigabe beantragen.

Als Maß für das Risiko (wo die Amortisationsdauer hilft und wo sie zu kurz greift)

Die Stärke der Amortisationsdauer ist, dass sie „wie kurz die unsichere Zeit ist“ in einer einzigen Zahl zusammenfasst. In Branchen, in denen sich Technik und Trends schnell ändern, sind Schätzungen für die ferne Zukunft unzuverlässig, deshalb wird eine schnelle Amortisation geschätzt.
Andererseits hat die Amortisationsdauer bekannte Schwächen: Sie ignoriert das Geld, das nach der Amortisation verdient wird, und sie ignoriert den Zeitwert des Geldes. Eine Investition, die sich in 5 Jahren amortisiert und danach noch 10 Jahre weiter verdient, verliert gegen eine, die sich in 3 Jahren amortisiert und dann endet. Deshalb ist es in der Praxis üblich, sie mit der dynamischen Amortisationsdauer, dem Kapitalwert (NPV) und dem IRR zu kombinieren.

Formeln und Diagramme

Amortisationsdauer (bei gleichem Betrag jedes Jahr)

Diagramm

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(PP\) \(=\) \(I\) \(\div\) \(CF\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(PP\): Amortisationsdauer (Jahre) \(=\) ① \(I\): Anfangsinvestition \(\div\) ② \(CF\): Cashflow pro Jahr

Die Formel in Worten

① Nehmen Sie die \(I\): Anfangsinvestition

② teilen Sie sie durch den \(CF\): Cashflow pro Jahr

③ und Sie erhalten die \(PP\): Amortisationsdauer

Einfaches Beispiel

Sparen Geräte für 100.000 € jedes Jahr 20.000 €, beträgt die Amortisationsdauer (in Tsd. €)

\(PP\): Amortisationsdauer \(=\) Anfangsinvestition (100.000 €) \(\div\) Cashflow pro Jahr (20.000 €)

\(100 \div 20 = 5\)

Der Kerngedanke

Die Amortisationsdauer ist die Zahl der Jahre, bis das Geld, das Sie am Anfang gezahlt haben, zurückkommt, also die Zeit bis zum Break-even-Punkt. Je kürzer sie ist, desto früher haben Sie Ihr Geld zurück und desto kürzer ist die unsichere Wartezeit. Deshalb dient sie als schnelles Maß für das Risiko einer Investition. Sie ignoriert aber, wie viel Sie nach der Amortisation noch verdienen, und den Zeitwert des Geldes. Üblich ist deshalb, sie zusammen mit dem Kapitalwert (NPV) und dem IRR zu verwenden.

Cashflow in jedem Jahr, wenn er wächst oder schrumpft

Diagramm

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(CF_n\) \(=\) \(CF_1\) \(\times\) \((1 \pm g)\) \(n-1\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

④ \(CF_n\): Cashflow im Jahr \(n\) \(=\) ① \(CF_1\): Cashflow im Jahr 1 \(\times\) ② \((1 \pm g)\): Änderungsfaktor für 1 Jahr ③ \((n-1)\): vergangene Jahre

Die Formel in Worten

① Nehmen Sie den \(CF_1\): Cashflow im Jahr 1

② multiplizieren Sie ihn mit dem \((1 \pm g)\): Änderungsfaktor für 1 Jahr (\(g\) ist die Änderungsrate, verwenden Sie \(1+g\) bei Wachstum und \(1-g\) bei Rückgang), und zwar einmal für jedes der

③ \((n-1)\): vergangene Jahre

④ und Sie erhalten den \(CF_n\): Cashflow im Jahr \(n\)

Einfaches Beispiel

Bringt das Jahr 1 30.000 € und wächst der Betrag jedes Jahr um 5 %, beträgt der Cashflow im Jahr 3 (in Tsd. €)

\(CF_3\): Cashflow im Jahr 3 \(=\) Cashflow im Jahr 1 (30.000 €) \(\times\) Wachstumsfaktor (1,05) vergangene Jahre (2)

\(30 \times 1{,}05 \times 1{,}05 = 33{,}075\)

Der Kerngedanke

„Wächst jedes Jahr um 5 %“ heißt, den Betrag des Vorjahres immer wieder mit 1,05 zu multiplizieren. Das Jahr 1 bleibt, wie es ist, das Jahr 2 wird einmal multipliziert, das Jahr 3 zweimal und so weiter. Beachten Sie, dass die Anzahl der Multiplikationen die Zahl der vergangenen Jahre ist, \(n-1\). Der Modus mit festem Cashflow dieses Rechners benutzt diese Formel, um den Betrag jedes Jahres zu bestimmen und die Tabelle Jahr für Jahr zu erstellen.

Abgezinster Cashflow (zukünftiges Geld in heutigem Wert)

Diagramm

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(DCF_n\) \(=\) \(CF_n\) \(\div\) \((1+r)\) \(n\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

④ \(DCF_n\): abgezinster Cashflow im Jahr \(n\) \(=\) ① \(CF_n\): Cashflow im Jahr \(n\) \(\div\) ② \((1+r)\): Abzinsungsfaktor für 1 Jahr ③ \(n\): vergangene Jahre

Die Formel in Worten

① Nehmen Sie den \(CF_n\): Cashflow im Jahr \(n\)

② und teilen Sie ihn durch den \((1+r)\): Abzinsungsfaktor für 1 Jahr (\(r\) ist der Kalkulationszinssatz), potenziert mit den

③ \(n\): vergangene Jahre

④ um den \(DCF_n\): abgezinster Cashflow im Jahr \(n\) zu erhalten

Einfaches Beispiel

Bei einem Kalkulationszinssatz von 10 % beträgt der abgezinste Cashflow von 12.100 €, die Sie in 2 Jahren erhalten, (in Tsd. €)

\(DCF_2\): abgezinster Cashflow \(=\) Geld in 2 Jahren (12.100 €) \(\div\) Abzinsungsfaktor (1,1) vergangene Jahre (2)

\(1{,}1 \times 1{,}1 = 1{,}21\)

\(12{,}1 \div 1{,}21 = 10\)

Der Kerngedanke

Geld hat einen Zeitwert. Können Sie 10 % pro Jahr verdienen, sind „10.000 € heute“ und „12.100 € in 2 Jahren“ gleich viel wert. Zukünftiges Geld auf diese Weise in seinen heutigen Wert umzurechnen, heißt Abzinsung, und die Amortisationsdauer, die mit abgezinstem Geld gezählt wird, ist die dynamische Amortisationsdauer. Weil die Abzinsung jeden zukünftigen Betrag weniger zählen lässt, ist die dynamische Amortisationsdauer immer länger als die gewöhnliche (statische) Amortisationsdauer.

Amortisationsdauer aus einer Tabelle (ungleiche Cashflows)

Diagramm

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(PP\) \(=\) \(k\) \(+\) \(R\) \(\div\) \(CF_{k+1}\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

④ \(PP\): Amortisationsdauer (Jahre) \(=\) ① \(k\): volle Jahre vor der Amortisation \(+\) ② \(R\): am Ende des Jahres \(k\) noch offener Betrag \(\div\) ③ \(CF_{k+1}\): Cashflow im Folgejahr

Die Formel in Worten

① Zu den \(k\): volle Jahre vor der Amortisation (dem letzten Jahr, in dem der kumulierte Netto-Cashflow noch negativ ist),

② addieren Sie den \(R\): noch offener Betrag

③ geteilt durch den \(CF_{k+1}\): Cashflow im Folgejahr (den Bruchteil dieses Jahres, der nötig ist, um die Amortisation abzuschließen),

④ und Sie erhalten die \(PP\): Amortisationsdauer

Einfaches Beispiel

Sind am Ende des Jahres 3 noch 3.500 € offen und kommen im Jahr 4 4.000 € herein, beträgt die Amortisationsdauer (in Tsd. €)

\(PP\): Amortisationsdauer \(=\) volle Jahre davor (3) \(+\) noch offen (3.500 €) \(\div\) Cashflow im Folgejahr (4.000 €)

\(3 + 3{,}5 \div 4 = 3 + 0{,}875 = 3{,}875\)

Der Kerngedanke

Unterscheiden sich die Beträge von Jahr zu Jahr, addieren Sie das erhaltene Geld Jahr für Jahr, abzüglich der Anfangsinvestition (der kumulierte Netto-Cashflow), und suchen das Jahr, in dem er von negativ zu positiv wechselt. Innerhalb dieses Jahres nehmen Sie an, dass das Geld des Folgejahres gleichmäßig über das Jahr hereinkommt, und teilen es anteilig auf (lineare Interpolation). Der Modus mit unregelmäßigem Cashflow dieses Rechners ist genau diese Formel. Die dynamische Amortisationsdauer macht dasselbe mit dem kumulierten abgezinsten Cashflow. Der Modus mit festem Cashflow (mit einer Änderungsrate) verwendet eine Näherung, die das Wachstum oder den Rückgang innerhalb jedes Jahres als gleichmäßig behandelt. Das Ergebnis kann sich deshalb in den letzten Nachkommastellen leicht von einer Handrechnung mit dieser Formel unterscheiden.

Dynamische Amortisationsdauer (geschlossene Formel bei gleichem Betrag jedes Jahr)

Diagramm

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(DPP\) \(=\) \(-\ln\!\left(1 - \dfrac{I \times r}{CF}\right)\) \(\div\) \(\ln(1+r)\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(DPP\): dynamische Amortisationsdauer (Jahre) \(=\) ① minus der natürliche Logarithmus \(\ln\) von 1 − (Anfangsinvestition \(I\) × Kalkulationszinssatz \(r\) ÷ jährlicher Cashflow \(CF\)) \(\div\) ② der natürliche Logarithmus \(\ln\) von (1 + Kalkulationszinssatz \(r\))

Die Formel in Worten

① Nehmen Sie den natürlichen Logarithmus \(\ln\) mit Minuszeichen von 1 − (Anfangsinvestition × Kalkulationszinssatz ÷ jährlicher Cashflow),

② teilen Sie ihn durch den natürlichen Logarithmus \(\ln\) von (1 + Kalkulationszinssatz)

③ und Sie erhalten die \(DPP\): dynamische Amortisationsdauer

Einfaches Beispiel

Bei einer Investition von 100.000 €, die jedes Jahr 30.000 € bringt, beträgt bei einem Kalkulationszinssatz von 10 % die dynamische Amortisationsdauer (in Tsd. €)

\(DPP\): dynamische Amortisationsdauer \(=\) −ln(1 − 100 × 0,1 ÷ 30) \(\div\) ln(1,1)

\(1 - \dfrac{100 \times 0{,}1}{30} = 1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}\)

\(-\ln\!\left(\dfrac{2}{3}\right) \approx 0{,}40547\)

\(\ln(1{,}1) \approx 0{,}09531\)

\(0{,}40547 \div 0{,}09531 \approx 4{,}254\)

Der Kerngedanke

\(\ln\) ist der natürliche Logarithmus (eine Art Logarithmus, die angibt, mit welcher Zahl man potenzieren muss, um eine Zahl zu erhalten). Sie finden ihn mit der ln-Taste eines wissenschaftlichen Taschenrechners oder mit der Funktion LN in Excel. Die gewöhnliche Amortisationsdauer für dasselbe Beispiel ist \(100 \div 30 \approx 3{,}333\) Jahre, die Berücksichtigung eines Kalkulationszinssatzes von 10 % verzögert die Amortisation also um etwa 0,9 Jahre. Diese Formel gilt für denselben Betrag in jedem Jahr. Wächst oder schrumpft der Betrag, behandelt dieser Rechner die Änderung als gleichmäßig und verwendet eine allgemeinere Version dieser Formel (bei einer Änderungsrate von 0 % ergibt sie dasselbe Ergebnis wie diese Formel).

Die Amortisationsdauer, in wie vielen Jahren die Anfangsinvestition zurückkommt, ist der einfachste Maßstab für eine Investition. Ist der Betrag jedes Jahr gleich, ist sie „Anfangsinvestition ÷ jährlicher Cashflow“. Unterscheiden sich die Beträge, suchen Sie den Zeitpunkt, an dem der kumulierte Netto-Cashflow 0 € erreicht. Um den Zeitwert des Geldes zu berücksichtigen, verwenden Sie die dynamische Amortisationsdauer, und um zu sehen, wie viel Sie nach der Amortisation verdienen, kombinieren Sie sie mit Kapitalwert (NPV) und IRR.

Symbole und Begriffe

Symbole

\(PP\)	P P	Die Amortisationsdauer (englisch „payback period“). Die Zahl der Jahre, bis die Anfangsinvestition zurückkommt, also bis der kumulierte Netto-Cashflow 0 € erreicht. (Beispiel - eine Investition von 100.000 €, die jedes Jahr 20.000 € zurückbringt, hat eine Amortisationsdauer von 5 Jahren)
\(DPP\)	D P P	Die dynamische Amortisationsdauer (englisch „discounted payback period“). Die Amortisationsdauer, die man zählt, nachdem zukünftiges Geld mit dem Kalkulationszinssatz in heutigen Wert umgerechnet wurde. Sie ist immer länger als die gewöhnliche Amortisationsdauer.
\(I\)	I	Die Anfangsinvestition, das Geld, das Sie am Anfang zahlen. In diesem Rechner geben Sie sie als positiven Betrag ein, und sie wird intern als negative Auszahlung im Jahr 0 behandelt.
\(CF\), \(CF_n\)	C F, C F n	Der Cashflow, das Geld, das Sie in einem Jahr erhalten. \(CF_n\) ist der Cashflow im Jahr \(n\). Ein negativer Wert ist eine zusätzliche Ausgabe in diesem Jahr.
\(DCF_n\)	D C F n	Der abgezinste Cashflow (englisch „discounted cash flow“) im Jahr \(n\). Das Geld im Jahr \(n\), umgerechnet in seinen heutigen Wert.
\(g\)	g	Die jährliche Änderungsrate des Cashflows. Wächst er jedes Jahr um 5 %, ist \(g=0{,}05\), und der Betrag jedes Jahres ist das \((1+g)\)-Fache des Vorjahres.
\(r\)	r	Der Kalkulationszinssatz, der Jahreszinssatz, mit dem zukünftiges Geld in heutigen Wert umgerechnet wird. Üblich ist der Kreditzins oder eine Zielrendite.
\(n\)	n	Die Zahl der vergangenen Jahre (das wievielte Jahr es ist). Der Zeitpunkt der Investition zählt als Jahr 0.
\(k\)	k	Die vollen Jahre vor der Amortisation, das letzte Jahr, in dem der kumulierte Netto-Cashflow noch negativ ist.
\(R\)	großes R	Der am Ende des Jahres \(k\) noch offene Betrag, der Teil der Anfangsinvestition, der noch nicht zurückgekommen ist.
\(\ln\)	L N, natürlicher Logarithmus	Der natürliche Logarithmus. Er gibt an, mit welcher Zahl man \(e\) (etwa 2,718) potenzieren muss, um die Zahl zu erhalten. Sie finden ihn mit der ln-Taste eines wissenschaftlichen Taschenrechners oder mit der Funktion LN in Excel. Er kommt in der geschlossenen Formel für die dynamische Amortisationsdauer vor.

Begriffe

Amortisationsdauer	Die Zeit, bis die Anfangsinvestition zurückkommt (auch Amortisationszeit oder Payback-Periode genannt). Je kürzer sie ist, desto früher haben Sie Ihr Geld zurück und desto kürzer ist die unsichere Zeit, das Risiko gilt also als geringer. Investitionen danach zu beurteilen, wie kurz ihre Amortisation ist, heißt Amortisationsrechnung (Payback-Methode). Die einfache Form ohne Abzinsung nennt man statische Amortisationsdauer.
Break-even-Punkt	Der Punkt, an dem Gewinn und Verlust sich genau ausgleichen (auch Gewinnschwelle genannt). Die Amortisationsdauer ist die Zeit, bis der kumulierte Cashflow den Break-even-Punkt (0 €) erreicht.
Cashflow (Zahlungsstrom)	Geld, das hereinkommt und hinausgeht. Erhaltenes Geld ist eine positive Zahl, gezahltes Geld eine negative Zahl. Für die Amortisationsdauer kommt es darauf an, wann und wie viel hereinkommt.
kumulierter Netto-Cashflow	Das bisher erhaltene Geld minus die Anfangsinvestition. Der Moment, in dem er von negativ zu positiv wechselt, ist der Moment der Amortisation.
Kalkulationszinssatz	Der Jahreszinssatz, mit dem zukünftiges Geld in heutigen Wert umgerechnet (abgezinst) wird. Zum Beispiel sind 11.000 € in einem Jahr, mit 10 % pro Jahr abgezinst, heute 10.000 € wert.
DCF (abgezinster Cashflow)	Ein zukünftiger Cashflow, mit dem Kalkulationszinssatz in heutigen Wert umgerechnet (englisch „discounted cash flow“). Er ist auch die Grundlage des DCF-Verfahrens, einer gängigen Methode zur Bewertung von Unternehmen und Immobilien.
dynamische Amortisationsdauer	Die Amortisationsdauer, gezählt mit dem kumulierten abgezinsten Cashflow. Weil sie den Zeitwert des Geldes berücksichtigt, ist sie immer länger als die gewöhnliche Amortisationsdauer, und bei einem hohen Kalkulationszinssatz zahlt sich die Investition unter Umständen nie aus.
lineare Interpolation	Ein Verfahren, um einen Wert zwischen zwei Punkten zu finden, indem man die Verbindung als gerade Linie behandelt. Bei der Amortisationsdauer nimmt man an, dass das Geld des Folgejahres gleichmäßig über das Jahr hereinkommt, und bestimmt den Amortisationszeitpunkt innerhalb des Jahres anteilig.
Cashflow-Rendite	Die Jahresrendite, der alle Cashflows der Investition zusammen entsprechen. Es ist dieselbe Berechnung wie beim IRR (interner Zinsfuß). Sie zeigt in einer Zahl nicht nur, wie schnell Sie Ihr Geld zurück haben, sondern auch, wie viel Sie verdienen.
natürlicher Logarithmus	Der Logarithmus zur Basis \(e\) (etwa 2,718). \(\ln x\) gibt an, mit welcher Zahl man \(e\) potenzieren muss, um \(x\) zu erhalten. Er wird in der Oberstufe behandelt, aber das Rechnen können Sie einem Taschenrechner oder Excel überlassen.

Was Sie vorab wissen sollten

Hier steht, was Ihnen hilft, die Berechnung dieser Seite wirklich zu verstehen und nicht nur den Knopf zu drücken.

Prozentrechnung (Klasse 6–7, 11–13 Jahre)	Wissen, dass sich ein Prozentsatz als „Prozentwert ÷ Grundwert“ berechnen lässt Zwischen Dezimalzahlen und Prozenten wechseln können, etwa 0,05 und 5 %
Positive und negative Zahlen (Klasse 6–7, 11–13 Jahre)	Eine Zahlung (Geld, das hinausgeht) als negative Zahl darstellen können Positive und negative Zahlen zusammen addieren und sich den Moment vorstellen können, in dem eine laufende Summe von negativ zu positiv wechselt
Potenzen (Klasse 7–8, 12–14 Jahre)	Wissen, dass eine Potenz eine wiederholte Multiplikation derselben Zahl ist, etwa \(1{,}05^2 = 1{,}05 \times 1{,}05\) Ein Gefühl dafür haben, dass das immer wiederholte Multiplizieren mit einer Zahl größer als 1 etwas wachsen und mit einer Zahl kleiner als 1 etwas schrumpfen lässt
Exponentialfunktionen und Logarithmen (Oberstufe)	Wissen, dass ein Logarithmus angibt, mit welcher Zahl man potenzieren muss, um eine Zahl zu erhalten (wird in der \(\ln\)-Formel für die dynamische Amortisationsdauer gebraucht; ein Taschenrechner kann das für Sie übernehmen)
Zinseszins und Zeitwert des Geldes (Oberstufe, Wirtschaft und Mathematik)	Wissen, dass Geld, das zu einem Jahreszinssatz \(r\) angelegt wird, jedes Jahr mit \((1+r)\) multipliziert wird Wissen, dass sich umgekehrt zukünftiges Geld durch Teilen durch \((1+r)\) in den heutigen Wert umrechnen lässt (der Gedanke der Abzinsung und des Barwerts)

Mit Excel berechnen

Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein. Sie funktioniert unverändert.

Tabelle für die Amortisationsdauer (gleicher Betrag jedes Jahr)

Anfangsinvestition (€)	100000
Cashflow pro Jahr (€)	30000
Amortisationsdauer (Jahre)	=B1/B2

Tabelle für den Cashflow im Jahr n (Wachstum oder Rückgang)

Cashflow im Jahr 1 (€)	30000
Änderungsrate (%; einen Rückgang negativ eingeben)	5
Jahr n	3
Cashflow im Jahr n (€)	=B1*(1+B2/100)^(B3-1)

Tabelle für den abgezinsten Cashflow

Geld, das Sie im Jahr n erhalten (€)	12100
Kalkulationszinssatz (%)	10
Vergangene Jahre n	2
Abgezinster Cashflow (€)	=B1/(1+B2/100)^B3

Tabelle für die Amortisationsdauer aus einer Tabelle (lineare Interpolation)

Volle Jahre vor der Amortisation k	3
Noch offener Betrag R (€)	3500
Cashflow im Folgejahr (€)	4000
Amortisationsdauer (Jahre)	=B1+B2/B3

Tabelle für die dynamische Amortisationsdauer (gleicher Betrag jedes Jahr, geschlossene Formel)

Anfangsinvestition (€)	100000
Cashflow pro Jahr (€)	30000
Kalkulationszinssatz (%)	10
Dynamische Amortisationsdauer (Jahre)	=-LN(1-B1*B3/100/B2)/LN(1+B3/100)

Die erste Tabelle ergibt 100000 ÷ 30000, etwa 3,33 Jahre. Die zweite Tabelle ergibt 30000 × 1,05 × 1,05 = 33.075 €, und die dritte genau 10.000 €.
Die vierte Tabelle ist der Fall, dass nach dem Jahr 3 noch 3.500 € offen sind und im Jahr 4 4.000 € hereinkommen: 3 + 3500 ÷ 4000 = 3,875 Jahre.
Die fünfte Tabelle ist die geschlossene Formel mit der Funktion LN (natürlicher Logarithmus), die etwa 4,254 Jahre ergibt. Ersetzen Sie einfach die Zahlen in Spalte B durch Ihre eigenen.

Mit Google Tabellen berechnen

Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein. Sie funktioniert unverändert.

Tabelle für die Amortisationsdauer (gleicher Betrag jedes Jahr)

Anfangsinvestition (€)	100000
Cashflow pro Jahr (€)	30000
Amortisationsdauer (Jahre)	=B1/B2

Tabelle für den Cashflow im Jahr n (Wachstum oder Rückgang)

Cashflow im Jahr 1 (€)	30000
Änderungsrate (%; einen Rückgang negativ eingeben)	5
Jahr n	3
Cashflow im Jahr n (€)	=B1*(1+B2/100)^(B3-1)

Tabelle für den abgezinsten Cashflow

Geld, das Sie im Jahr n erhalten (€)	12100
Kalkulationszinssatz (%)	10
Vergangene Jahre n	2
Abgezinster Cashflow (€)	=B1/(1+B2/100)^B3

Tabelle für die Amortisationsdauer aus einer Tabelle (lineare Interpolation)

Volle Jahre vor der Amortisation k	3
Noch offener Betrag R (€)	3500
Cashflow im Folgejahr (€)	4000
Amortisationsdauer (Jahre)	=B1+B2/B3

Tabelle für die dynamische Amortisationsdauer (gleicher Betrag jedes Jahr, geschlossene Formel)

Anfangsinvestition (€)	100000
Cashflow pro Jahr (€)	30000
Kalkulationszinssatz (%)	10
Dynamische Amortisationsdauer (Jahre)	=-LN(1-B1*B3/100/B2)/LN(1+B3/100)

Dieselben Formeln und dieselbe Funktion LN wie in Excel funktionieren unverändert. Kopieren Sie die gesamte Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Zahlen in Spalte B durch Ihre eigenen.

Mit Python berechnen

initial_investment = 100000                    # Anfangsinvestition (Euro)
discount_rate = 0.10                           # Kalkulationszinssatz (pro Jahr; 10 % sind 0.10)
cash_flows = [5000, 25000, 35000, 40000, 30000, 10000]   # Cashflow für jedes Jahr ab Jahr 1 (Euro)
# Amortisationsdauer: den Zeitpunkt innerhalb des Jahres, an dem der kumulierte Netto-Cashflow 0 überschreitet, per linearer Interpolation finden
def payback_period(investment, cfs):
    cumulative = -investment
    for year, cf in enumerate(cfs, start=1):
        previous = cumulative
        cumulative += cf
        if previous < 0 and cumulative >= 0:
            return (year - 1) + (-previous) / cf
    return None   # innerhalb der eingegebenen Jahre nicht amortisiert
# Dynamische Amortisationsdauer: zuerst das Geld jedes Jahres in heutigen Wert umrechnen, dann dasselbe tun
def discounted_payback_period(investment, cfs, rate):
    cumulative = -investment
    for year, cf in enumerate(cfs, start=1):
        previous = cumulative
        discounted_cf = cf / (1 + rate) ** year
        cumulative += discounted_cf
        if previous < 0 and cumulative >= 0:
            return (year - 1) + (-previous) / discounted_cf
    return None
pp = payback_period(initial_investment, cash_flows)
dpp = discounted_payback_period(initial_investment, cash_flows, discount_rate)
print(f"Amortisationsdauer: {pp:.3f} Jahre")
print(f"Dynamische Amortisationsdauer: {dpp:.3f} Jahre")

Läuft mit der Standardbibliothek allein. Ändern Sie oben die Anfangsinvestition, den Kalkulationszinssatz und die Liste der Cashflows und führen Sie den Code aus (im Beispiel ergibt sich eine Amortisationsdauer von 3,875 Jahren und eine dynamische Amortisationsdauer von 5,452 Jahren; Python gibt Dezimalstellen mit Punkt aus). Es ist das Lehrbuchverfahren, das den Zeitpunkt innerhalb des Jahres, in dem die kumulierte Summe 0 überschreitet, anteilig (lineare Interpolation) bestimmt.

Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)

Amortisationsdauer (bei gleichem Betrag jedes Jahr)

PP = I ÷ CF

PP = \dfrac{I}{CF}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>PP</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mi>I</mi>
      <mi>CF</mi>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

PP = I / (CF)

invest/cf

PP := invest/cf;

PP = invest/cf;

PP = I/CF

Cashflow in jedem Jahr, wenn er wächst oder schrumpft

CFₙ = CF₁ × (1 ± g)ⁿ⁻¹

CF_n = CF_1 \times (1 \pm g)^{n-1}

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CF_n = CF_1 (1 +- g)^(n-1)

cf1*(1 + g)^(n - 1)

cfn := cf1*(1 + g)^(n - 1);

cfn = cf1*(1 + g)^(n - 1);

CF_n = CF_1 (1 ± g)^(n−1)

Abgezinster Cashflow (zukünftiges Geld in heutigem Wert)

DCFₙ = CFₙ ÷ (1 + r)ⁿ

DCF_n = \dfrac{CF_n}{(1+r)^{n}}

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</math>

DCF_n = (CF_n) / ((1 + r)^n)

cfn/(1 + r)^n

DCFn := cfn/(1 + r)^n;

dcfn = cfn/(1 + r)^n;

DCF_n = CF_n/(1 + r)^n

Amortisationsdauer aus einer Tabelle (ungleiche Cashflows)

PP = k + R ÷ CFₖ₊₁

PP = k + \dfrac{R}{CF_{k+1}}

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    <mi>PP</mi>
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    <mi>k</mi>
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    </mfrac>
  </mrow>
</math>

PP = k + R / (CF_(k+1))

k + rem/cfnext

PP := k + rem/cfnext;

PP = k + rem/cfnext;

PP = k + R/CF_(k+1)

Dynamische Amortisationsdauer (geschlossene Formel bei gleichem Betrag jedes Jahr)

DPP = −ln(1 − I × r ÷ CF) ÷ ln(1 + r)

DPP = \dfrac{-\ln\left(1 - \dfrac{I \times r}{CF}\right)}{\ln(1+r)}

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    <mi>DPP</mi>
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        <mi>ln</mi>
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            <mi>CF</mi>
          </mfrac>
          <mo>)</mo>
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      </mrow>
      <mrow>
        <mi>ln</mi>
        <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow>
      </mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

DPP = (-ln(1 - (I r) / (CF))) / (ln(1 + r))

-Log[1 - invest*r/cf]/Log[1 + r]

DPP := -ln(1 - invest*r/cf)/ln(1 + r);

DPP = -log(1 - invest*r/cf)/log(1 + r);

DPP = −ln(1 − I r/CF)/ln(1 + r)

Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen

Sie sind ein Assistent für Investitionsrechnung. Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort ausschließlich auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (nicht im Kopf oder durch Raten rechnen).
Ich investiere 100.000 € und erhalte ab Jahr 1 diese Cashflows: 5.000 €, 25.000 €, 35.000 €, 40.000 €, 30.000 € und 10.000 €. Der Kalkulationszinssatz beträgt 10 % pro Jahr.
Berechnen Sie Folgendes:
1. Die Amortisationsdauer (Jahre, 3 Nachkommastellen) = der Zeitpunkt, zu dem der kumulierte Netto-Cashflow 0 € erreicht (lineare Interpolation zwischen den beiden Punkten, an denen sich das Vorzeichen ändert)
2. Die dynamische Amortisationsdauer (Jahre, 3 Nachkommastellen) = der auf dieselbe Weise gefundene Zeitpunkt, nachdem der Cashflow jedes Jahres durch (1 + 0,1)^(Jahresnummer) geteilt wurde
3. Die Cashflow-Rendite (%, 2 Nachkommastellen) = der IRR (interne Zinsfuß) der Reihe (Jahr 0 = -100000, Jahre 1–6 = die obigen Beträge)
Zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis.

Anleitung

1

Zahlen eingeben

Geben Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
2

Berechnen

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3

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Das Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel