Amortisationszeit berechnen – statische und dynamische Amortisationsrechnung

Wählen Sie, wie Sie die Cashflows eingeben (gleichmäßig oder ungleichmäßig), und tragen Sie Anfangsinvestition und Cashflows ein. Sie erhalten, nach wie vielen Jahren sich die Investition amortisiert (Amortisationszeit), dazu die dynamische Amortisationszeit und die Cashflow-Rendite, die den Zeitwert des Geldes berücksichtigen.

Eingabe der Cashflows

Anfangsinvestition (€)

Kalkulationszins (%)

Cashflow im 1. Jahr (€)

Jährliche Veränderung

Veränderungsrate (% pro Jahr)

Anzahl Jahre

Geben Sie die Beträge als Zahlen in Euro ein. Die Anfangsinvestition tragen Sie als positiven Betrag ein (intern wird sie als Auszahlung, also negativ, behandelt). Im Modus „ungleichmäßig“ lassen Sie Jahre ohne Zahlungen leer oder setzen 0; für ein Jahr mit einer zusätzlichen Ausgabe geben Sie einen negativen Betrag ein (zum Beispiel -5000).

Ergebnis und Graph

Geben Sie links die Anfangsinvestition und die Cashflows ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis, ein Graph und eine Tabelle Jahr für Jahr erscheinen dann hier.

Inhaltsverzeichnis

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Das können Sie auf dieser Seite
Wofür braucht man diese Berechnung?
Anleitung
Formeln und Graphen
Symbole und Begriffe
- Symbole
- Begriffe
Das sollten Sie vorher wissen
So berechnen Sie es in Excel
So berechnen Sie es in Google Tabellen
So berechnen Sie es in Python
So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
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Das können Sie auf dieser Seite

Aus Anfangsinvestition und Cashflow im 1. Jahr (dem Geld, das in dem Jahr zurückfließt) berechnen Sie die Amortisationszeit – also nach wie vielen Jahren die Anfangsinvestition wieder hereingeholt ist
Funktioniert, wenn der Cashflow jedes Jahr gleich ist oder jedes Jahr um einen festen Prozentsatz steigt oder sinkt (Modus „gleichmäßig“)
Sind die Beträge von Jahr zu Jahr verschieden, geben Sie sie Jahr für Jahr ein (Modus „ungleichmäßig“, bis zu 20 Jahre)
Mit einem Kalkulationszins erhalten Sie zusätzlich die dynamische Amortisationszeit, die den Zeitwert des Geldes berücksichtigt. Die Cashflow-Rendite (Rendite pro Jahr, entspricht dem internen Zinsfuß) wird unabhängig vom Kalkulationszins berechnet
Dazu eine Tabelle Jahr für Jahr (kumulierter Cashflow, mit und ohne Abzinsung) und ein Graph, der zeigt, wann der kumulierte Cashflow die 0-€-Linie überschreitet

Die Amortisationszeit ist hier eine rein mathematische Rechnung ohne Gebühren und Steuern und keine Empfehlung für eine bestimmte Investition. Im Modus „gleichmäßig“ wird der Zeitpunkt innerhalb eines Jahres so berechnet, als ändere sich der Betrag stetig (wie bei gängigen Online-Amortisationsrechnern).

Wofür braucht man diese Berechnung?

Nach wie vielen Jahren sich eine neue Maschine bezahlt macht (interne Vorgaben)

„Eine Maschine für 400.000 € senkt die Kosten um 150.000 € im Jahr.“ Die Amortisationszeit beträgt \(400.000 : 150.000 \approx 2{,}7\) Jahre. Viele Unternehmen haben eine interne Regel wie „Freigabe, wenn sich die Investition in 3 Jahren amortisiert“ – die Amortisationszeit ist die erste Hürde, die ein Vorschlag nehmen muss. Sie ist ein Standardargument nicht nur im Controlling, sondern auch, wenn die Belegschaft in der Produktion neue Anlagen vorschlägt.
Künftige Cashflows sind nur Schätzungen – rechnen Sie am besten auch mit vorsichtigen Zahlen.

Ob sich eine Photovoltaikanlage oder eine Sanierung innerhalb ihrer Lebensdauer rechnet

Kostet eine Photovoltaikanlage auf dem Einfamilienhaus 20.000 € und spart sie zusammen mit der Einspeisevergütung nach dem EEG 2.000 € im Jahr, beträgt die Amortisationszeit \(20.000 : 2.000 = 10\) Jahre. Solarmodule halten erfahrungsgemäß 25 bis 30 Jahre; entscheidend ist also, ob die Amortisationszeit deutlich innerhalb dieser Lebensdauer liegt. Dämmung, Wärmepumpe oder ein effizienter Warmwasserbereiter lassen sich genauso vergleichen.
Strompreise und Vergütungssätze ändern sich mit der Zeit – geben Sie eine Veränderungsrate ein und sehen Sie, wie stark sich eine geänderte Annahme auswirkt.

Die Startkosten eines Ladens oder Franchise-Betriebs wieder hereinholen

Bei der Eröffnung eines Restaurants oder eines Franchise-Betriebs ist „Nach wie vielen Jahren sind die Startkosten wieder drin?“ eine zentrale Zahl im Businessplan. Bei 500.000 € Startkosten und erwarteten 125.000 € Cashflow im Jahr (was vom Umsatz nach den Kosten übrig bleibt) beträgt die Amortisationszeit 4 Jahre.
Direkt nach der Eröffnung ist schwer abzuschätzen, wie viele Gäste kommen – hier hilft der Modus „ungleichmäßig“: Für Jahr 1 geben Sie einen kleineren Betrag ein, ab Jahr 2 größere.

Lohnt sich eine Software oder ein Automatisierungs-Tool?

Bei Unternehmenssoftware oder Automatisierungs-Tools macht eine Amortisationszeit die Entscheidung leichter: „60.000 € für die Einführung, spart 30.000 € Personalkosten im Jahr – die Amortisationszeit beträgt 2 Jahre.“ Technik ändert sich schnell, und ein Tool bleibt vielleicht nicht lange im Einsatz – eine schnelle Amortisation bedeutet hier direkt weniger Risiko.
Diese Denkweise ist auch im Investitionsantrag üblich, mit dem Sie ein Budget beantragen.

Als Maß für das Risiko (wo die Amortisationszeit hilft und wo nicht)

Die Stärke der Amortisationszeit ist, dass sie „wie kurz die unsichere Zeit ist“ in einer einzigen Zahl zusammenfasst. In Branchen, in denen sich Technik und Trends schnell ändern, sind Schätzungen für die ferne Zukunft unzuverlässig – eine schnelle Amortisation wird dort geschätzt.
Andererseits hat die Amortisationszeit bekannte Schwächen: Sie übersieht das Geld, das nach der Amortisation noch verdient wird, und den Zeitwert des Geldes. Eine Investition, die sich in 5 Jahren amortisiert und danach noch 10 Jahre Gewinn bringt, verliert gegen eine, die sich in 3 Jahren amortisiert und dann endet. In der Praxis kombiniert man sie deshalb mit der dynamischen Amortisationszeit, dem Kapitalwert (NPV) und dem internen Zinsfuß (IRR).

Formeln und Graphen

Amortisationszeit (jedes Jahr gleicher Betrag)

Graph

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(PP\) \(=\) \(I\) \(\div\) \(CF\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(PP\): Amortisationszeit (Jahre) \(=\) ① \(I\): Anfangsinvestition \(\div\) ② \(CF\): Cashflow pro Jahr

Die Formel in Worten

① Teilen Sie die \(I\): Anfangsinvestition

② durch den \(CF\): Cashflow pro Jahr

③ – so erhalten Sie die \(PP\): Amortisationszeit

Einfaches Beispiel

Spart eine Anlage für 100.000 € jedes Jahr 20.000 € ein, beträgt die Amortisationszeit (in Tsd. €)

\(PP\): Amortisationszeit \(=\) Anfangsinvestition (100.000 €) \(\div\) Cashflow pro Jahr (20.000 €)

\(100 \div 20 = 5\)

Der Grundgedanke

Die Amortisationszeit sagt, nach wie vielen Jahren das am Anfang ausgegebene Geld zurückgeflossen ist – also wie lange es bis zum Break-even-Punkt dauert. Je kürzer sie ist, desto schneller haben Sie Ihr Geld wieder und desto kürzer ist die unsichere Wartezeit. Deshalb dient sie als schnelles Maß für das Risiko einer Investition. Sie übersieht aber, was nach der Amortisation noch verdient wird, und den Zeitwert des Geldes – üblich ist es daher, sie zusammen mit Kapitalwert (NPV) und internem Zinsfuß (IRR) zu nutzen.

Cashflow jedes Jahres, wenn er steigt oder sinkt

Graph

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(CF_n\) \(=\) \(CF_1\) \(\times\) \((1 \pm g)\) \(n-1\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

④ \(CF_n\): Cashflow im Jahr \(n\) \(=\) ① \(CF_1\): Cashflow im Jahr 1 \(\times\) ② \((1 \pm g)\): Veränderungsfaktor für 1 Jahr ③ \((n-1)\): vergangene Jahre

Die Formel in Worten

① Den \(CF_1\): Cashflow im Jahr 1

② multiplizieren Sie mit dem \((1 \pm g)\): Veränderungsfaktor für 1 Jahr (\(g\) ist die Veränderungsrate – \(1+g\) bei Wachstum, \(1-g\) bei Rückgang), und zwar so oft, wie es

③ \((n-1)\): vergangene Jahre gibt

④ – so erhalten Sie den \(CF_n\): Cashflow im Jahr \(n\)

Einfaches Beispiel

Bringt Jahr 1 30.000 € und wächst der Betrag jedes Jahr um 5 %, beträgt der Cashflow im Jahr 3 (in Tsd. €)

\(CF_3\): Cashflow im Jahr 3 \(=\) Cashflow im Jahr 1 (30.000 €) \(\times\) Wachstumsfaktor (1,05) vergangene Jahre (2)

\(30 \times 1{,}05 \times 1{,}05 = 33{,}075\)

Der Grundgedanke

„Steigt jedes Jahr um 5 %“ bedeutet, den Betrag des Vorjahres immer wieder mit 1,05 zu multiplizieren. Jahr 1 bleibt, wie es ist, Jahr 2 wird einmal multipliziert, Jahr 3 zweimal und so weiter. Beachten Sie: Die Zahl der Multiplikationen ist die Zahl der vergangenen Jahre, \(n-1\). Der Modus „gleichmäßig“ dieses Rechners berechnet mit dieser Formel den Betrag jedes Jahres und erstellt daraus die Tabelle Jahr für Jahr.

Abgezinster Cashflow (künftiges Geld in heutigem Wert)

Graph

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(DCF_n\) \(=\) \(CF_n\) \(\div\) \((1+r)\) \(n\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

④ \(DCF_n\): abgezinster Cashflow im Jahr \(n\) \(=\) ① \(CF_n\): Cashflow im Jahr \(n\) \(\div\) ② \((1+r)\): Abzinsungsfaktor für 1 Jahr ③ \(n\): vergangene Jahre

Die Formel in Worten

① Den \(CF_n\): Cashflow im Jahr \(n\)

② teilen Sie durch den \((1+r)\): Abzinsungsfaktor für 1 Jahr (\(r\) ist der Kalkulationszins), genommen hoch die Zahl der

③ \(n\): vergangenen Jahre

④ – so erhalten Sie den \(DCF_n\): abgezinsten Cashflow im Jahr \(n\)

Einfaches Beispiel

Bei einem Kalkulationszins von 10 % beträgt der abgezinste Cashflow von 12.100 €, die Sie in 2 Jahren erhalten (in Tsd. €),

\(DCF_2\): abgezinster Cashflow \(=\) Geld in 2 Jahren (12.100 €) \(\div\) Abzinsungsfaktor (1,1) vergangene Jahre (2)

\(1{,}1 \times 1{,}1 = 1{,}21\)

\(12{,}1 \div 1{,}21 = 10\)

Der Grundgedanke

Geld hat einen Zeitwert. Lässt es sich zu 10 % pro Jahr anlegen, sind „10.000 € heute“ und „12.100 € in 2 Jahren“ gleich viel wert. Künftiges Geld so auf seinen heutigen Wert umzurechnen heißt Abzinsen, und die mit abgezinstem Geld gezählte Amortisationszeit ist die dynamische Amortisationszeit. Weil durch das Abzinsen jeder künftige Betrag weniger zählt, ist die dynamische Amortisationszeit immer länger als die gewöhnliche (statische) Amortisationszeit.

Amortisationszeit aus einer Tabelle (ungleichmäßige Cashflows)

Graph

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(PP\) \(=\) \(k\) \(+\) \(R\) \(\div\) \(CF_{k+1}\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

④ \(PP\): Amortisationszeit (Jahre) \(=\) ① \(k\): volle Jahre vor der Amortisation \(+\) ② \(R\): am Ende von Jahr \(k\) noch offener Betrag \(\div\) ③ \(CF_{k+1}\): Cashflow im Folgejahr

Die Formel in Worten

① Zu den \(k\): vollen Jahren vor der Amortisation (das letzte Jahr, in dem der kumulierte Netto-Cashflow noch negativ ist)

② addieren Sie den \(R\): noch offenen Betrag

③ geteilt durch den \(CF_{k+1}\): Cashflow im Folgejahr (den Anteil dieses Jahres, der bis zur vollständigen Amortisation nötig ist)

④ – so erhalten Sie die \(PP\): Amortisationszeit

Einfaches Beispiel

Sind am Ende von Jahr 3 noch 3.500 € offen und fließen im Jahr 4 4.000 € zurück, beträgt die Amortisationszeit (in Tsd. €)

\(PP\): Amortisationszeit \(=\) volle Jahre davor (3) \(+\) noch offen (3.500 €) \(\div\) Cashflow im Folgejahr (4.000 €)

\(3 + 3{,}5 \div 4 = 3 + 0{,}875 = 3{,}875\)

Der Grundgedanke

Sind die Beträge von Jahr zu Jahr verschieden, addieren Sie Jahr für Jahr das zurückgeflossene Geld abzüglich der Anfangsinvestition (den kumulierten Netto-Cashflow) und suchen das Jahr, in dem er von negativ zu positiv wechselt. Innerhalb dieses Jahres nimmt man an, dass das Geld des Folgejahres gleichmäßig über das Jahr hereinkommt, und teilt anteilig auf (lineare Interpolation). Der Modus „ungleichmäßig“ dieses Rechners ist genau diese Formel. Die dynamische Amortisationszeit macht dasselbe mit dem kumulierten abgezinsten Cashflow. Der Modus „gleichmäßig“ (mit Veränderungsrate) rechnet mit einer Näherung, die die Veränderung innerhalb jedes Jahres als stetig ansieht; sein Ergebnis kann daher in den letzten Nachkommastellen leicht von einer Handrechnung mit dieser Formel abweichen.

Dynamische Amortisationszeit (geschlossene Formel bei jedes Jahr gleichem Betrag)

Graph

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(DPP\) \(=\) \(-\ln\!\left(1 - \dfrac{I \times r}{CF}\right)\) \(\div\) \(\ln(1+r)\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(DPP\): dynamische Amortisationszeit (Jahre) \(=\) ① minus der natürliche Logarithmus \(\ln\) von 1 − (Anfangsinvestition \(I\) × Kalkulationszins \(r\) : jährlicher Cashflow \(CF\)) \(\div\) ② natürlicher Logarithmus \(\ln\) von (1 + Kalkulationszins \(r\))

Die Formel in Worten

① Nehmen Sie den natürlichen Logarithmus \(\ln\) mit Minuszeichen von 1 − (Anfangsinvestition × Kalkulationszins : jährlicher Cashflow)

② und teilen Sie ihn durch den natürlichen Logarithmus \(\ln\) von (1 + Kalkulationszins)

③ – so erhalten Sie die \(DPP\): dynamische Amortisationszeit

Einfaches Beispiel

Bei einer Investition von 100.000 €, die jedes Jahr 30.000 € bringt, und 10 % Kalkulationszins beträgt die dynamische Amortisationszeit (in Tsd. €)

\(DPP\): dynamische Amortisationszeit \(=\) −ln(1 − 100 × 0,1 : 30) \(\div\) ln(1,1)

\(1 - \dfrac{100 \times 0{,}1}{30} = 1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}\)

\(-\ln\!\left(\dfrac{2}{3}\right) \approx 0{,}40547\)

\(\ln(1{,}1) \approx 0{,}09531\)

\(0{,}40547 \div 0{,}09531 \approx 4{,}254\)

Der Grundgedanke

\(\ln\) ist der natürliche Logarithmus (ein Logarithmus, der angibt, mit welchem Exponenten man eine Zahl erhält); Sie berechnen ihn mit der ln-Taste des Taschenrechners oder der Excel-Funktion LN. Die gewöhnliche Amortisationszeit beträgt im selben Beispiel \(100 : 30 \approx 3{,}333\) Jahre; mit 10 % Kalkulationszins verschiebt sich die Amortisation also um etwa 0,9 Jahre. Diese Formel gilt für jedes Jahr gleiche Beträge. Steigt oder sinkt der Betrag, betrachtet der Rechner die Veränderung als stetig und nutzt eine allgemeinere Form dieser Formel (bei 0 % Veränderungsrate ergibt sie dasselbe wie diese Formel).

Die Amortisationszeit – nach wie vielen Jahren die Anfangsinvestition zurückgeflossen ist – ist der einfachste Maßstab für eine Investition. Bei jedes Jahr gleichem Betrag ist sie „Anfangsinvestition : jährlicher Cashflow“. Bei unterschiedlichen Beträgen suchen Sie den Zeitpunkt, an dem der kumulierte Netto-Cashflow 0 € erreicht. Für den Zeitwert des Geldes nutzen Sie die dynamische Amortisationszeit; was nach der Amortisation noch verdient wird, zeigen Kapitalwert (NPV) und interner Zinsfuß (IRR).

Symbole und Begriffe

Symbole

\(PP\)	P P	Payback Period, die Amortisationszeit. Die Zahl der Jahre, bis die Anfangsinvestition zurückgeflossen ist, also bis der kumulierte Netto-Cashflow 0 € erreicht. (Beispiel – eine Investition von 100.000 €, die jedes Jahr 20.000 € zurückbringt, amortisiert sich in 5 Jahren.)
\(DPP\)	D P P	Discounted Payback Period, die dynamische Amortisationszeit. Die Amortisationszeit, gezählt nachdem künftiges Geld mit dem Kalkulationszins auf heute abgezinst wurde. Sie ist immer länger als die gewöhnliche Amortisationszeit.
\(I\)	I	Die Anfangsinvestition, das am Anfang ausgegebene Geld. In diesem Rechner geben Sie sie positiv ein; intern wird sie als negative Auszahlung im Jahr 0 behandelt.
\(CF\), \(CF_n\)	C F, C F n	Der Cashflow, das in einem Jahr zurückfließende Geld. \(CF_n\) ist der Cashflow im Jahr \(n\); ein negativer Wert ist eine zusätzliche Ausgabe in diesem Jahr.
\(DCF_n\)	D C F n	Der abgezinste Cashflow im Jahr \(n\) (engl. Discounted Cash Flow). Das Geld des Jahres \(n\), umgerechnet auf seinen heutigen Wert.
\(g\)	g	Die jährliche Veränderungsrate des Cashflows. Steigt er jedes Jahr um 5 %, ist \(g=0{,}05\), und jeder Jahresbetrag ist das \((1+g)\)-Fache des Vorjahres.
\(r\)	r	Der Kalkulationszins, der Jahreszins zum Abzinsen künftigen Geldes auf heute. Üblich sind der Kreditzins oder eine Zielrendite.
\(n\)	n	Die Zahl der vergangenen Jahre (welches Jahr es ist). Der Zeitpunkt der Investition zählt als Jahr 0.
\(k\)	k	Die vollen Jahre vor der Amortisation – das letzte Jahr, in dem der kumulierte Netto-Cashflow noch negativ ist.
\(R\)	großes R	Der am Ende von Jahr \(k\) noch offene Betrag – der Teil der Anfangsinvestition, der noch nicht zurückgeflossen ist.
\(\ln\)	L N, natürlicher Logarithmus	Der natürliche Logarithmus. Er gibt an, mit welchem Exponenten man \(e\) (etwa 2,718) potenzieren muss, um die Zahl zu erhalten. Sie berechnen ihn mit der ln-Taste des Taschenrechners oder der Excel-Funktion LN. Er kommt in der geschlossenen Formel der dynamischen Amortisationszeit vor.

Begriffe

Amortisationszeit	Die Zeit, bis die Anfangsinvestition zurückgeflossen ist (auch Amortisationsdauer, engl. Payback Period). Je kürzer sie ist, desto schneller haben Sie Ihr Geld wieder und desto kürzer ist die unsichere Zeit – das Risiko gilt als geringer. Investitionen danach zu beurteilen, wie schnell sie sich amortisieren, heißt Amortisationsrechnung.
Break-even-Punkt	Der Punkt, an dem sich Gewinn und Verlust genau ausgleichen (Gewinnschwelle). Die Amortisationszeit ist die Zeit, bis der kumulierte Cashflow den Break-even-Punkt (0 €) erreicht.
Cashflow	Geld, das hereinkommt oder hinausgeht. Einzahlungen sind positive, Auszahlungen negative Zahlen. Für die Amortisationszeit zählt, wann und wie viel hereinkommt.
kumulierter Netto-Cashflow	Die Summe des bisher zurückgeflossenen Geldes minus Anfangsinvestition. Der Moment, in dem er von negativ zu positiv wechselt, ist der Moment der Amortisation.
Kalkulationszins	Der Jahreszins, mit dem künftiges Geld auf seinen heutigen Wert umgerechnet (abgezinst) wird. Zum Beispiel sind 11.000 € in einem Jahr, mit 10 % pro Jahr abgezinst, heute 10.000 € wert.
abgezinster Cashflow (DCF)	Ein künftiger Cashflow, mit dem Kalkulationszins auf seinen heutigen Wert umgerechnet (engl. Discounted Cash Flow). Er ist auch die Grundlage des DCF-Verfahrens, einer Standardmethode zur Bewertung von Unternehmen und Immobilien.
dynamische Amortisationszeit	Die Amortisationszeit, gezählt mit dem kumulierten abgezinsten Cashflow (dynamische Amortisationsrechnung). Weil sie den Zeitwert des Geldes berücksichtigt, ist sie immer länger als die gewöhnliche (statische) Amortisationszeit; bei hohem Kalkulationszins amortisiert sich eine Investition womöglich nie.
lineare Interpolation	Ein Verfahren, das den Verlauf zwischen zwei Punkten als Gerade ansieht und so Zwischenwerte bestimmt. Bei der Amortisationszeit nimmt man an, dass das Geld des Folgejahres gleichmäßig über das Jahr hereinkommt, und bestimmt den Amortisationszeitpunkt innerhalb des Jahres anteilig.
Cashflow-Rendite	Die Rendite pro Jahr, der alle Cashflows der Investition zusammen entsprechen. Sie wird genauso berechnet wie der interne Zinsfuß (IRR) und zeigt in einer einzigen Zahl nicht nur, wie schnell, sondern auch wie viel zurückkommt.
natürlicher Logarithmus	Der Logarithmus zur Basis \(e\) (eulersche Zahl, etwa 2,718). \(\ln x\) gibt an, mit welchem Exponenten man \(e\) potenzieren muss, um \(x\) zu erhalten. Man lernt ihn in der Oberstufe (Klasse 11–12, 16–18 Jahre); die Rechnung selbst können Sie Taschenrechner oder Excel überlassen.

Das sollten Sie vorher wissen

Damit Sie die Rechnung auf dieser Seite nicht nur per Knopfdruck, sondern mit echtem Verständnis nutzen, hilft Ihnen Folgendes.

Prozentrechnung (Klasse 6–7, 11–13 Jahre)	Wissen, dass man den Prozentsatz als „Prozentwert : Grundwert“ erhält Zwischen Dezimalzahl und Prozent wechseln können, etwa 0,05 und 5 %
Negative Zahlen (Klasse 6–7, 11–13 Jahre)	Eine Auszahlung (Geld, das hinausgeht) als negative Zahl schreiben können Positive und negative Zahlen zusammen addieren und sich den Moment vorstellen können, in dem eine laufende Summe von negativ zu positiv wechselt
Potenzen (Klasse 7–9, 12–15 Jahre)	Wissen, dass eine Potenz das wiederholte Multiplizieren derselben Zahl ist, wie in \(1{,}05^2 = 1{,}05 \cdot 1{,}05\) Ein Gefühl dafür haben, dass wiederholtes Multiplizieren mit einer Zahl größer als 1 etwas wachsen und mit einer Zahl kleiner als 1 schrumpfen lässt
Exponentialfunktionen und Logarithmen (Klasse 10–11, 15–17 Jahre)	Wissen, dass ein Logarithmus angibt, mit welchem Exponenten man eine Zahl erhält (gebraucht in der \(\ln\)-Formel der dynamischen Amortisationszeit; das kann auch der Taschenrechner übernehmen)
Zinseszins und Zeitwert des Geldes (Oberstufe, 15–18 Jahre, Mathematik und Wirtschaft)	Wissen, dass Geld, das mit \(r\) pro Jahr verzinst wird, jedes Jahr mit \((1+r)\) multipliziert wird Wissen, dass man umgekehrt künftiges Geld durch \((1+r)\) teilt, um seinen heutigen Wert zu erhalten (Abzinsen und Barwert)

So berechnen Sie es in Excel

Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein – dann funktioniert sie direkt.

Tabelle für die Amortisationszeit (jedes Jahr gleicher Betrag)

Anfangsinvestition (€)	100000
Cashflow pro Jahr (€)	30000
Amortisationszeit (Jahre)	=B1/B2

Tabelle für den Cashflow im Jahr n (steigend oder sinkend)

Cashflow im Jahr 1 (€)	30000
Veränderungsrate (%; Rückgang negativ eingeben)	5
Jahr n	3
Cashflow im Jahr n (€)	=B1*(1+B2/100)^(B3-1)

Tabelle für den abgezinsten Cashflow

Geld im Jahr n (€)	12100
Kalkulationszins (%)	10
Vergangene Jahre n	2
Abgezinster Cashflow (€)	=B1/(1+B2/100)^B3

Tabelle für die Amortisationszeit aus einer Tabelle (lineare Interpolation)

Volle Jahre vor der Amortisation k	3
Noch offen R (€)	3500
Cashflow im Folgejahr (€)	4000
Amortisationszeit (Jahre)	=B1+B2/B3

Tabelle für die dynamische Amortisationszeit (jedes Jahr gleicher Betrag, geschlossene Formel)

Anfangsinvestition (€)	100000
Cashflow pro Jahr (€)	30000
Kalkulationszins (%)	10
Dynamische Amortisationszeit (Jahre)	=-LN(1-B1*B3/100/B2)/LN(1+B3/100)

Die erste Tabelle ergibt 100000 : 30000, also etwa 3,33 Jahre. Die zweite ergibt 30000 × 1,05 × 1,05 = 33.075 €, die dritte genau 10.000 €.
Die vierte Tabelle ist der Fall, dass nach Jahr 3 noch 3.500 € offen sind und im Jahr 4 4.000 € zurückfließen: 3 + 3500 : 4000 = 3,875 Jahre.
Die fünfte Tabelle ist die geschlossene Formel mit der Funktion LN (natürlicher Logarithmus) und ergibt etwa 4,254 Jahre. Ersetzen Sie einfach die Zahlen in Spalte B durch Ihre eigenen.

So berechnen Sie es in Google Tabellen

Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein – dann funktioniert sie direkt.

Tabelle für die Amortisationszeit (jedes Jahr gleicher Betrag)

Anfangsinvestition (€)	100000
Cashflow pro Jahr (€)	30000
Amortisationszeit (Jahre)	=B1/B2

Tabelle für den Cashflow im Jahr n (steigend oder sinkend)

Cashflow im Jahr 1 (€)	30000
Veränderungsrate (%; Rückgang negativ eingeben)	5
Jahr n	3
Cashflow im Jahr n (€)	=B1*(1+B2/100)^(B3-1)

Tabelle für den abgezinsten Cashflow

Geld im Jahr n (€)	12100
Kalkulationszins (%)	10
Vergangene Jahre n	2
Abgezinster Cashflow (€)	=B1/(1+B2/100)^B3

Tabelle für die Amortisationszeit aus einer Tabelle (lineare Interpolation)

Volle Jahre vor der Amortisation k	3
Noch offen R (€)	3500
Cashflow im Folgejahr (€)	4000
Amortisationszeit (Jahre)	=B1+B2/B3

Tabelle für die dynamische Amortisationszeit (jedes Jahr gleicher Betrag, geschlossene Formel)

Anfangsinvestition (€)	100000
Cashflow pro Jahr (€)	30000
Kalkulationszins (%)	10
Dynamische Amortisationszeit (Jahre)	=-LN(1-B1*B3/100/B2)/LN(1+B3/100)

Dieselben Formeln und dieselbe Funktion LN wie in Excel funktionieren direkt. Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Zahlen in Spalte B durch Ihre eigenen.

So berechnen Sie es in Python

initial_investment = 100000                    # Anfangsinvestition (€)
discount_rate = 0.10                           # Kalkulationszins (pro Jahr; 10 % = 0.10)
cash_flows = [5000, 25000, 35000, 40000, 30000, 10000]   # Cashflow je Jahr ab Jahr 1 (€)

# Amortisationszeit: den Zeitpunkt im Jahr, an dem der kumulierte Netto-Cashflow 0 € überschreitet, per linearer Interpolation bestimmen
def payback_period(investment, cfs):
    cumulative = -investment
    for year, cf in enumerate(cfs, start=1):
        previous = cumulative
        cumulative += cf
        if previous < 0 and cumulative >= 0:
            return (year - 1) + (-previous) / cf
    return None   # innerhalb der eingegebenen Jahre keine Amortisation

# Dynamische Amortisationszeit: erst jeden Jahresbetrag auf heute abzinsen, dann genauso vorgehen
def discounted_payback_period(investment, cfs, rate):
    cumulative = -investment
    for year, cf in enumerate(cfs, start=1):
        previous = cumulative
        discounted_cf = cf / (1 + rate) ** year
        cumulative += discounted_cf
        if previous < 0 and cumulative >= 0:
            return (year - 1) + (-previous) / discounted_cf
    return None

pp = payback_period(initial_investment, cash_flows)
dpp = discounted_payback_period(initial_investment, cash_flows, discount_rate)
print(f"Amortisationszeit: {pp:.3f} Jahre")
print(f"Dynamische Amortisationszeit: {dpp:.3f} Jahre")

Läuft nur mit der Standardbibliothek. Ändern Sie oben Anfangsinvestition, Kalkulationszins und die Liste der Cashflows und führen Sie den Code aus (im Beispiel ergeben sich eine Amortisationszeit von 3,875 Jahren und eine dynamische Amortisationszeit von 5,452 Jahren; Python gibt Dezimalzahlen mit Punkt aus). Es ist das Lehrbuchverfahren, das den Zeitpunkt im Jahr, an dem die Summe 0 € überschreitet, anteilig bestimmt (lineare Interpolation).

So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)

Amortisationszeit (jedes Jahr gleicher Betrag)

PP = I ÷ CF

PP = \dfrac{I}{CF}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>PP</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mi>I</mi>
      <mi>CF</mi>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

PP = I / (CF)

invest/cf

PP := invest/cf;

PP = invest/cf;

PP = I/CF

Cashflow jedes Jahres, wenn er steigt oder sinkt

CFₙ = CF₁ × (1 ± g)ⁿ⁻¹

CF_n = CF_1 \times (1 \pm g)^{n-1}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>CF</mi><mi>n</mi></msub>
    <mo>=</mo>
    <msub><mi>CF</mi><mn>1</mn></msub>
    <mo>&#x00D7;</mo>
    <msup>
      <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>&#x00B1;</mo><mi>g</mi><mo>)</mo></mrow>
      <mrow><mi>n</mi><mo>&#x2212;</mo><mn>1</mn></mrow>
    </msup>
  </mrow>
</math>

CF_n = CF_1 (1 +- g)^(n-1)

cf1*(1 + g)^(n - 1)

cfn := cf1*(1 + g)^(n - 1);

cfn = cf1*(1 + g)^(n - 1);

CF_n = CF_1 (1 ± g)^(n−1)

Abgezinster Cashflow (künftiges Geld in heutigem Wert)

DCFₙ = CFₙ ÷ (1 + r)ⁿ

DCF_n = \dfrac{CF_n}{(1+r)^{n}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
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    <msub><mi>DCF</mi><mi>n</mi></msub>
    <mo>=</mo>
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      <msub><mi>CF</mi><mi>n</mi></msub>
      <msup>
        <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow>
        <mi>n</mi>
      </msup>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

DCF_n = (CF_n) / ((1 + r)^n)

cfn/(1 + r)^n

DCFn := cfn/(1 + r)^n;

dcfn = cfn/(1 + r)^n;

DCF_n = CF_n/(1 + r)^n

Amortisationszeit aus einer Tabelle (ungleichmäßige Cashflows)

PP = k + R ÷ CFₖ₊₁

PP = k + \dfrac{R}{CF_{k+1}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>PP</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>k</mi>
    <mo>+</mo>
    <mfrac>
      <mi>R</mi>
      <msub><mi>CF</mi><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

PP = k + R / (CF_(k+1))

k + rem/cfnext

PP := k + rem/cfnext;

PP = k + rem/cfnext;

PP = k + R/CF_(k+1)

Dynamische Amortisationszeit (geschlossene Formel bei jedes Jahr gleichem Betrag)

DPP = −ln(1 − I × r ÷ CF) ÷ ln(1 + r)

DPP = \dfrac{-\ln\left(1 - \dfrac{I \times r}{CF}\right)}{\ln(1+r)}

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    <mi>DPP</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow>
        <mo>&#x2212;</mo>
        <mi>ln</mi>
        <mrow>
          <mo>(</mo>
          <mn>1</mn>
          <mo>&#x2212;</mo>
          <mfrac>
            <mrow><mi>I</mi><mo>&#x00D7;</mo><mi>r</mi></mrow>
            <mi>CF</mi>
          </mfrac>
          <mo>)</mo>
        </mrow>
      </mrow>
      <mrow>
        <mi>ln</mi>
        <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow>
      </mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

DPP = (-ln(1 - (I r) / (CF))) / (ln(1 + r))

-Log[1 - invest*r/cf]/Log[1 + r]

DPP := -ln(1 - invest*r/cf)/ln(1 + r);

DPP = -log(1 - invest*r/cf)/log(1 + r);

DPP = −ln(1 − I r/CF)/ln(1 + r)

So lassen Sie ChatGPT rechnen

Sie sind ein Assistent für Investitionsrechnungen. Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (nicht im Kopf rechnen oder schätzen).

Ich investiere 100.000 € und erhalte ab Jahr 1 diese Cashflows: 5.000 €, 25.000 €, 35.000 €, 40.000 €, 30.000 € und 10.000 €. Der Kalkulationszins beträgt 10 % pro Jahr.
Berechnen Sie:
1. Die Amortisationszeit (Jahre, 3 Nachkommastellen) = der Zeitpunkt, an dem der kumulierte Netto-Cashflow 0 € erreicht (lineare Interpolation zwischen den beiden Punkten, an denen das Vorzeichen wechselt)
2. Die dynamische Amortisationszeit (Jahre, 3 Nachkommastellen) = der genauso bestimmte Zeitpunkt, nachdem jeder Jahres-Cashflow durch (1 + 0,1)^(Jahresnummer) geteilt wurde
3. Die Cashflow-Rendite (%, 2 Nachkommastellen) = der IRR (interner Zinsfuß) der Zahlungsreihe (Jahr 0 = -100000, Jahre 1–6 = die obigen Beträge)

Zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis.

Anleitung

1

Werte eingeben

Tragen Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
2

Berechnen

Klicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
3

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Das Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel