Geben Sie die Grundseite und die Höhe des Parallelogramms ein. Der Flächeninhalt (Grundseite × Höhe) wird berechnet und mit einer Zeichnung und den Rechenschritten angezeigt.
Geben Sie die Grundseite und die Höhe in derselben Einheit ein, nur als Zahlen größer als 0 (nur die Zahl, ohne Einheit: bei 8 cm geben Sie „8“ ein). Die Höhe ist der Abstand zwischen der Grundseite und der gegenüberliegenden Seite, gemessen geradlinig (senkrecht zur Grundseite), und nicht die Länge der schrägen Seite.
Ergebnis und Figur
Geben Sie die Grundseite und die Höhe in die Felder links ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis und eine Zeichnung erscheinen hier.
Inhaltsverzeichnis
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Was Sie auf dieser Seite tun können
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Wofür ist diese Berechnung nützlich?
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Anleitung
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Formeln und Zeichnungen
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Symbole und Begriffe
-
Was Sie vorab wissen sollten
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Mit Excel berechnen
-
Mit Google Tabellen berechnen
-
Mit Python berechnen
-
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
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Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
-
Die Vorteile von DataChef
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Verwandte Funktionen
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Alle NumberChef-Rechner
Was Sie auf dieser Seite tun können
- Geben Sie die Grundseite und die Höhe ein, und Sie erhalten sofort den Flächeninhalt des Parallelogramms (Flächeninhalt = Grundseite × Höhe)
- Zum Ergebnis wird eine Zeichnung des Parallelogramms gezeichnet, an der Sie sehen, welche Seite die Grundseite ist und wo die Höhe gemessen wird
- Die Höhe ist nicht die Länge der schrägen Seite: Die Erklärung der Formel geht ausführlich auf diesen häufigen Fehler ein
- Eine leicht verständliche Erklärung der Formeln sowie Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python finden Sie ebenfalls auf dieser Seite
Geben Sie die Grundseite und die Höhe in derselben Einheit ein (beide in cm oder beide in m). Der Flächeninhalt anderer Figuren wie Rechteck, Dreieck oder Trapez hat jeweils eine eigene Seite.
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
Den Flächeninhalt eines schräg geschnittenen Grundstücks oder Feldes bestimmen (Immobilien und Landwirtschaft)
Ein Grundstück, das schräg an einer Straße oder einem Bach entlangläuft, hat manchmal eher die Form eines Parallelogramms als eines Rechtecks. Für ein parallelogrammförmiges Grundstück mit einer Grundseite von 24 m und einer Höhe von 15 m beträgt der Flächeninhalt \(24 \times 15 = 360\,\mathrm{m^2}\).
Kennen Sie den Flächeninhalt, können Sie ihn direkt für den Wert des Grundstücks, den Quadratmeterpreis oder die benötigte Menge an Saatgut und Dünger nutzen (meist in Gramm pro m² angegeben).
Material für Fischgrät- und Chevron-Muster abschätzen (Heimwerken und Einrichten)
Gestalten Sie eine Wand oder einen Boden mit schrägen Streifen oder einem Chevron-Muster (parallelogrammförmige Teile, die V-förmig verlegt werden), ist jedes Teil ein Parallelogramm. Ein Teil mit einer Grundseite von 10 cm und einer Höhe von 6 cm hat einen Flächeninhalt von \(10 \times 6 = 60\,\mathrm{cm^2}\).
Für eine Fläche von 0,9 m² (= 9.000 cm²) brauchen Sie etwa \(9.000 \div 60 = 150\) Teile (in der Praxis kommt etwas Verschnitt dazu). Das ist die praktischste Anwendung, damit Sie weder zu viel noch zu wenig kaufen.
Stoff schräg zuschneiden: Schrägband berechnen (Nähen und Basteln)
Schrägband, mit dem man Kanten von Kleidung einfasst, entsteht aus Stoffstreifen, die im 45-Grad-Winkel zugeschnitten und aneinandergesetzt werden. Jeder Streifen ist ein Parallelogramm. Ein Streifen von 5 cm Breite (der Höhe) und 100 cm Länge (der Grundseite) hat einen Flächeninhalt von \(100 \times 5 = 500\,\mathrm{cm^2}\).
Addieren Sie den Flächeninhalt aller benötigten Streifen, dann sehen Sie schon vor dem Zuschneiden, ob Ihr Stoff reicht.
Zwei Kräfte oder Geschwindigkeiten in einer Zeichnung zusammensetzen (Physik, Technik und Spieleentwicklung)
In der Physik setzt man zwei Kräfte oder Geschwindigkeiten zusammen, indem man ein Parallelogramm zeichnet (das Kräfteparallelogramm). Geht man weiter, ist der Flächeninhalt des von zwei Vektoren aufgespannten Parallelogramms der Betrag ihres Kreuzprodukts. Es wird bei der Statik von Maschinen und Gebäuden und bei der Lichtberechnung in der 3D-Grafik und in Spielen verwendet.
Das „Grundseite × Höhe“, das Sie in der Schule lernen, ist der Ausgangspunkt für Berechnungen, die Ingenieurinnen und Spieleentwickler jeden Tag verwenden.
Die Grundlage der Formeln für Dreieck, Trapez und Raute (Lernen und Prüfungen)
Die Flächenformel des Dreiecks „Grundseite × Höhe ÷ 2“ folgt daraus, dass sich zwei gleiche Dreiecke zu einem Parallelogramm zusammensetzen lassen. Auch die Formeln für Trapez und Raute gehen davon aus, die Figur in ein Parallelogramm umzuformen.
Mit anderen Worten: Der Flächeninhalt des Parallelogramms ist die „Mutter“ der Flächenformeln aus der Schule und die Grundlage für Flächenaufgaben in Klassenarbeiten und Prüfungen wie für spätere Aufgaben zum Umformen von Figuren.
Formeln und Zeichnungen
Flächeninhalt eines Parallelogramms
Zeichnung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(S\)
\(=\)
\(b\)
\(\times\)
\(h\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(S\): Flächeninhalt des Parallelogramms
\(=\)
①
\(b\): Grundseite
\(\times\)
②
\(h\): Höhe
Die Formel in Worten
①
Multiplizieren Sie die
\(b\): Grundseite
②
mit der
\(h\): Höhe
③
und Sie erhalten den
\(S\): Flächeninhalt des Parallelogramms
Einfaches Beispiel
Der Flächeninhalt eines Parallelogramms mit einer Grundseite von 8 cm und einer Höhe von 5 cm beträgt
\(S\): Flächeninhalt des Parallelogramms
\(=\)
Grundseite (8 cm)
\(\times\)
Höhe (5 cm)
\(8 \times 5 = 40\,\mathrm{cm^2}\)
Der Kerngedanke
Warum ergibt sich der Flächeninhalt durch eine Multiplikation, genau wie beim Rechteck? Schneiden Sie das überstehende Dreieck an einem Ende des Parallelogramms ab und legen Sie es am anderen Ende wieder an. Ohne dass sich der Flächeninhalt ändert, wird das Parallelogramm dadurch zu einem Rechteck, dessen Breite die Grundseite und dessen Höhe die Höhe ist (eine solche flächengleiche Umformung lässt den Flächeninhalt unverändert). Der Flächeninhalt ist also „Grundseite × Höhe“, genau wie beim Rechteck.
Der häufigste Fehler betrifft die Höhe. Sie ist der Abstand zwischen der Grundseite und der gegenüberliegenden Seite, geradlinig gemessen (senkrecht zur Grundseite), und nicht die Länge der schrägen Seite. Multipliziert man stattdessen mit der schrägen Seite, kommt ein größerer Wert heraus als der tatsächliche Flächeninhalt.
Höhe zurückrechnen (aus Flächeninhalt und Grundseite)
Zeichnung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(h\)
\(=\)
\(S\)
\(\div\)
\(b\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(h\): Höhe
\(=\)
①
\(S\): Flächeninhalt des Parallelogramms
\(\div\)
②
\(b\): Grundseite
Die Formel in Worten
①
Teilen Sie den
\(S\): Flächeninhalt des Parallelogramms
②
durch die
\(b\): Grundseite
③
und Sie erhalten die
\(h\): Höhe
Einfaches Beispiel
Die Höhe eines Parallelogramms mit einem Flächeninhalt von 40 cm² und einer Grundseite von 8 cm beträgt
\(h\): Höhe
\(=\)
Flächeninhalt (40 cm²)
\(\div\)
Grundseite (8 cm)
\(40 \div 8 = 5\,\mathrm{cm}\)
Der Kerngedanke
Diese Formel kehrt die Multiplikation „Flächeninhalt = Grundseite × Höhe“ mit einer Division um. Kennen Sie ebenso den Flächeninhalt und die Höhe und suchen die Grundseite, verwenden Sie \(b = S \div h\).
Achten Sie auf die Einheit des Ergebnisses: Sie teilen einen Flächeninhalt (cm²) durch eine Länge (cm), also ergibt sich wieder eine Länge (cm).
Der Flächeninhalt eines Parallelogramms berechnet sich als „Grundseite × Höhe“. Die Höhe ist nicht die Länge der schrägen Seite, sondern der Abstand zwischen der Grundseite und der gegenüberliegenden Seite, senkrecht zur Grundseite gemessen. Verwenden Sie für Grundseite und Höhe dieselbe Einheit, dann ergibt sich das Ergebnis in dieser Einheit zum Quadrat (cm² bei cm, m² bei m).
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(S\) | Es | Ein Buchstabe, der oft für den Flächeninhalt steht (von „Surface“). Auf dieser Seite ist es der Flächeninhalt des Parallelogramms. Deutsche Schulbücher schreiben meist \(A\) statt \(S\), etwa \(A = g \cdot h\); die Bedeutung ist dieselbe. |
| \(b\) | be | Die Länge der Grundseite, nach dem Anfangsbuchstaben von „Basis“. In deutschen Schulbüchern heißt sie meist \(g\) (für „Grundseite“). |
| \(h\) | ha | Die Höhe, nach dem Anfangsbuchstaben von „Höhe“. Sie ist der senkrecht gemessene Abstand zwischen der Grundseite und der gegenüberliegenden Seite. |
| \(\mathrm{cm^2}\) | Quadratzentimeter | Eine Einheit für den Flächeninhalt. Ein Quadrat mit 1 cm Seitenlänge hat einen Flächeninhalt von 1 cm². |
| \(\mathrm{m^2}\) | Quadratmeter | Eine Einheit für den Flächeninhalt. Ein Quadrat mit 1 m Seitenlänge hat einen Flächeninhalt von 1 m², und es gilt \(1\,\mathrm{m^2} = 10.000\,\mathrm{cm^2}\). |
Begriffe
| Parallelogramm | Ein Viereck, bei dem beide Paare gegenüberliegender Seiten parallel sind. Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang, gegenüberliegende Winkel gleich groß. Rechtecke, Quadrate und Rauten sind ebenfalls Parallelogramme. |
| Grundseite | Die Seite, von der aus Sie den Flächeninhalt messen. Meist ist es die untere Seite der Zeichnung, Sie können aber jede Seite wählen (dann müssen Sie die Höhe neu messen, und zwar senkrecht zu der gewählten Grundseite). |
| Höhe | Der Abstand zwischen der Grundseite und der gegenüberliegenden Seite, geradlinig gemessen (senkrecht zur Grundseite). Vorsicht, sie ist nicht dasselbe wie die Länge der schrägen Seite. |
| senkrecht | Zwei Geraden stehen senkrecht aufeinander, wenn sie sich im rechten Winkel (90 Grad) schneiden. Die Höhe wird senkrecht zur Grundseite gemessen. |
| Flächeninhalt | Die Größe einer Fläche, angegeben als Zahl. Man misst sie, indem man zählt, wie viele Quadrate mit 1 cm Seitenlänge (1 cm²) hineinpassen. |
| flächengleiche Umformung | Nur die Form einer Figur ändern und dabei ihren Flächeninhalt behalten. Schneiden Sie das Dreieck an einem Ende eines Parallelogramms ab und legen Sie es am anderen Ende wieder an, entsteht ein Rechteck mit demselben Flächeninhalt. Das ist der Grund für die Formel „Grundseite × Höhe“. |
Was Sie vorab wissen sollten
Hier steht, was hilfreich ist, damit Sie die Berechnung dieser Seite wirklich verstehen und nicht nur den Knopf drücken.
| Multiplikation (Klasse 2–3, 7–9 Jahre) |
|
| Parallele und senkrechte Geraden, Parallelogramme (Klasse 4–5, 9–11 Jahre) |
|
| Was Flächeninhalt bedeutet und seine Einheiten (Klasse 3–4, 8–10 Jahre) |
|
| Flächeninhalt des Parallelogramms (Klasse 6, 11–12 Jahre) |
|
| Multiplikation von Dezimalzahlen (Klasse 5–6, 10–12 Jahre) |
|
Mit Excel berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle zur Berechnung des Flächeninhalts eines Parallelogramms
| Grundseite (cm) | 8 |
| Höhe (cm) | 5 |
| Flächeninhalt des Parallelogramms (cm²) | =B1*B2 |
Tabelle zum Zurückrechnen der Höhe
| Flächeninhalt des Parallelogramms (cm²) | 40 |
| Grundseite (cm) | 8 |
| Höhe (cm) | =B1/B2 |
Nach dem Einfügen enthält Spalte A die Bezeichnungen und Spalte B die Zahlen. Die oberen Zeilen sind Ihre Eingaben, die Formel in der letzten Zeile wird daraus automatisch berechnet.
„B1“ und „B2“ in einer Formel bedeuten „die Zahl in dieser Zelle verwenden“. „*“ ist die Multiplikation und „/“ die Division.
In der ersten Tabelle zeigt B3 zum Beispiel 8 × 5 = 40 (in cm², weil Sie cm eingegeben haben). Die zweite Tabelle zeigt in B3 den Wert 40 ÷ 8 = 5. Ersetzen Sie einfach die eingegebenen Zahlen durch Ihre eigenen Längen.
„B1“ und „B2“ in einer Formel bedeuten „die Zahl in dieser Zelle verwenden“. „*“ ist die Multiplikation und „/“ die Division.
In der ersten Tabelle zeigt B3 zum Beispiel 8 × 5 = 40 (in cm², weil Sie cm eingegeben haben). Die zweite Tabelle zeigt in B3 den Wert 40 ÷ 8 = 5. Ersetzen Sie einfach die eingegebenen Zahlen durch Ihre eigenen Längen.
Mit Google Tabellen berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle zur Berechnung des Flächeninhalts eines Parallelogramms
| Grundseite (cm) | 8 |
| Höhe (cm) | 5 |
| Flächeninhalt des Parallelogramms (cm²) | =B1*B2 |
Tabelle zum Zurückrechnen der Höhe
| Flächeninhalt des Parallelogramms (cm²) | 40 |
| Grundseite (cm) | 8 |
| Höhe (cm) | =B1/B2 |
Es funktionieren dieselben Formeln wie in Excel. Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die eingegebenen Zahlen durch Ihre eigenen Längen.
Mit Python berechnen
base = 8 # Länge der Grundseite (in diesem Beispiel in cm)
height = 5 # Höhe (in derselben Einheit wie die Grundseite; nicht die schräge Seite)
area = base * height # Flächeninhalt des Parallelogramms (eingegebene Einheit zum Quadrat; hier cm2)
print(f"Flächeninhalt des Parallelogramms: {area} cm2")
Läuft nur mit der Standardbibliothek. „*“ ist das Malzeichen. Ändern Sie oben die Grundseite (base) und die Höhe (height) und starten Sie den Code. Um aus Flächeninhalt und Grundseite die Höhe zurückzurechnen, ändern Sie die Zeile in „height = area / base“ („/“ ist die Division).
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
Flächeninhalt eines Parallelogramms
S = b × h
S = b \times h
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>S</mi>
<mo>=</mo>
<mi>b</mi>
<mo>×</mo>
<mi>h</mi>
</mrow>
</math>
S = b xx h
b*h
S := b*h;
S = b*h;
S = b × h
Höhe zurückrechnen (aus Flächeninhalt und Grundseite)
h = S ÷ b
h = S \div b
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>h</mi>
<mo>=</mo>
<mi>S</mi>
<mo>÷</mo>
<mi>b</mi>
</mrow>
</math>
h = S -: b
S/b
h := S/b;
h = S/b;
h = S ÷ b
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
Sie sind ein Assistent für Rechenaufgaben in der Mathematik. Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort ausschließlich auf die Zahlen aus dem Ergebnis der Ausführung (rechnen Sie nicht im Kopf und schätzen Sie nicht). Ein Parallelogramm hat eine Grundseite von 8 cm und eine Höhe von 5 cm. Berechnen Sie: 1. Den Flächeninhalt dieses Parallelogramms in cm² 2. Wie groß die Höhe in cm wird, wenn der Flächeninhalt 40 cm² bleibt und die Grundseite auf 10 cm wächst Zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ergebnis der Ausführung.
Anleitung
-
1Zahlen eingebenGeben Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
-
2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
-
3Ergebnis ablesenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
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