Geben Sie von den vier Werten Anfangsmenge N₀, Restmenge N(t), vergangene Zeit t und Halbwertszeit t½ die drei ein, die Sie kennen. Der leere Wert wird berechnet, dazu die Zerfallskonstante λ und die mittlere Lebensdauer τ. Die Formel darunter ist mit den Feldern verbunden – Sie können die Zahlen auch direkt darin ändern.
Lassen Sie nur das gesuchte Feld leer (genau drei Eingaben). Alle Werte sind Zahlen größer als 0. Die Einheiten sind frei wählbar, müssen aber bei beiden Zeitfeldern und bei beiden Mengenfeldern gleich sein (z. B. beide Zeiten in Jahren). Die Restmenge muss kleiner sein als die Anfangsmenge.
Ergebnis und Graph
Füllen Sie links drei der Felder aus und klicken Sie auf „Berechnen“. Hier erscheinen dann Ergebnis und Graph.
Inhaltsverzeichnis
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Das können Sie auf dieser Seite
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Wofür braucht man diese Berechnung?
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Anleitung
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Formeln und Graphen
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Symbole und Begriffe
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Das sollten Sie vorher wissen
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So berechnen Sie es in Excel
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So berechnen Sie es in Google Tabellen
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So berechnen Sie es in Python
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So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
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So lassen Sie ChatGPT rechnen
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Die Vorteile von DataChef
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Das können Sie auf dieser Seite
- Geben Sie drei der vier Werte Anfangsmenge \(N_0\), Restmenge \(N(t)\), vergangene Zeit \(t\) und Halbwertszeit \(t_{1/2}\) ein – der leere Wert wird berechnet
- Gleichzeitig erscheinen die Zerfallskonstante \(\lambda\) und die mittlere Lebensdauer \(\tau\)
- Ein Graph mit einer Markierung bei jeder Halbwertszeit zeigt, wie sich die Menge immer wieder halbiert (exponentielle Abnahme)
- Außerdem auf dieser Seite: eine leicht verständliche Erklärung der Formeln und Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python
Der Rechner gilt für Mengen, die in gleichen Zeitabständen um denselben Anteil abnehmen (exponentielle Abnahme). Das klassische Beispiel ist der radioaktive Zerfall; dieselbe Formel beschreibt auch, wie die Konzentration eines Medikaments im Blut sinkt. Die Einheiten sind frei wählbar, müssen aber bei beiden Zeitfeldern (vergangene Zeit und Halbwertszeit) und bei beiden Mengenfeldern (Anfangs- und Restmenge) gleich sein.
Wofür braucht man diese Berechnung?
Radiokarbonmethode (C-14-Datierung in der Archäologie)
Lebewesen nehmen radioaktiven Kohlenstoff-14 auf. Nach dem Tod endet die Aufnahme, und der Kohlenstoff-14 nimmt mit einer Halbwertszeit von etwa 5730 Jahren ab. Enthält ein Holzstück aus einer Ausgrabung noch 25 % des Kohlenstoff-14 von damals, schätzt man sein Alter auf \(5730 \times \ln 4 \div \ln 2 = 11460\) Jahre (2 Halbwertszeiten).
Viele Altersangaben wie „vor einigen Tausend Jahren“ für Fundstücke in Schulbüchern beruhen auf dieser Rechnung.
Abschätzen, wie Radiopharmaka abnehmen (ein Rechenbeispiel aus der Medizin)
Technetium-99m, das im Krankenhaus bei Untersuchungen wie der Szintigrafie eingesetzt wird, hat eine Halbwertszeit von etwa 6 Stunden. Als Rechenbeispiel ist es 24 Stunden nach der Untersuchung auf \((1/2)^{24/6} = (1/2)^4 = 1/16\) gesunken, also auf 6,25 %.
Nuklide mit kurzer Halbwertszeit werden in der Medizin gewählt, weil sie im Körper so schnell abnehmen (tatsächlich scheidet der Körper sie auch aus; die Sicherheit beurteilen Fachbehörden nach ihren Vorgaben).
Wie lange Medikamente und Koffein im Körper bleiben
Wie schnell ein Wirkstoff aus dem Blut verschwindet, beschreibt ebenfalls die Halbwertszeit. Nimmt man für Koffein eine Halbwertszeit von 4 Stunden an, sinkt das Koffein aus etwa zwei Tassen Kaffee (200 mg) nach 12 Stunden auf \(200 \times (1/2)^{3} = 25\) mg.
Die Halbwertszeit ist von Mensch zu Mensch sehr verschieden, und bei Medikamenten gilt der Rat von Arzt oder Apotheke. Die Zahlen zeigen aber, warum der Kaffee am Abend den Schlaf stören kann.
Meldungen über radioaktive Stoffe richtig lesen
Iod-131, bekannt aus den Berichten über Tschernobyl und Fukushima, hat eine Halbwertszeit von etwa 8 Tagen. Nach 80 Tagen (10 Halbwertszeiten) ist es auf \((1/2)^{10} = 1/1024\) gesunken, also auf etwa 0,1 %. Cäsium-137 hat dagegen eine Halbwertszeit von etwa 30 Jahren – nach 90 Jahren ist immer noch \(1/8\) (12,5 %) übrig.
Wer den Zusammenhang „kurze Halbwertszeit = klingt schnell ab, lange Halbwertszeit = bleibt lange“ kennt, kann die Zahlen in den Nachrichten selbst nachprüfen.
Abschätzen, wie lange radioaktive Abfälle sicher verwahrt werden müssen
Wie lange radioaktive Abfälle aus Kernkraftwerken und anderen Quellen abgeschirmt und überwacht werden müssen, plant man anhand der Halbwertszeiten der enthaltenen Nuklide. So zeigt diese Formel zum Beispiel, dass Cäsium-137 mit einer Halbwertszeit von 30 Jahren etwa 10 Halbwertszeiten (rund 300 Jahre) braucht, um auf fast ein Tausendstel zu sinken.
Dieselbe Rechnung wie auf dieser Seite ist die Grundlage für Planungen, die viele Generationen umfassen.
Formeln und Graphen
Formel für die Restmenge (Grundformel der Halbwertszeit)
Graph
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(N(t)\)
\(=\)
\(N_0\)
\(\times\)
\(\left(\dfrac{1}{2}\right)\)
\(t / t_{1/2}\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
④
\(N(t)\): Restmenge nach der Zeit \(t\)
\(=\)
①
\(N_0\): Anfangsmenge
\(\times\)
②
\(\dfrac{1}{2}\): die Hälfte
③
\(t / t_{1/2}\): vergangene Zeit : Halbwertszeit
Die Formel in Worten
①
Multipliziert man die
\(N_0\): Anfangsmenge
②
immer wieder mit
\(\dfrac{1}{2}\): der Hälfte
, und zwar so oft wie
③
\(t / t_{1/2}\): vergangene Zeit : Halbwertszeit
(so viele Halbwertszeiten passen in die vergangene Zeit), erhält man die
④
\(N(t)\): Restmenge
.
Einfaches Beispiel
Sind 8 mg eines Medikaments mit einer Halbwertszeit von 2 Tagen im Körper, ist nach 6 Tagen (6 Tage : 2 Tage = 3-mal halbiert) noch übrig
Restmenge nach 6 Tagen \(N(t)\)
\(=\)
Anfangsmenge (8 mg)
\(\times\)
Hälfte \(\dfrac{1}{2}\)
6 Tage : 2 Tage (3-mal)
\(8 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{3} = 8 \times \dfrac{1}{8} = 1\)
Der Grundgedanke
Der Exponent rechts oben, \(t / t_{1/2}\), gibt an, wie viele Halbwertszeiten in die vergangene Zeit passen – also wie oft sich die Menge halbiert. Bei 6 Tagen : 2 Tage = 3 halbiert sie sich dreimal: 8 mg → 4 mg → 2 mg → 1 mg. Auch wenn die Anzahl keine ganze Zahl ist (z. B. 2,5 Halbwertszeiten), gilt die Formel dank der erweiterten Exponenten unverändert.
Formel für die Halbwertszeit
Graph
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(t_{1/2}\)
\(=\)
\(t\)
\(\times\)
\(\ln 2\)
\(\div\)
\(\ln\left(\dfrac{N_0}{N(t)}\right)\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
④
\(t_{1/2}\): Halbwertszeit
\(=\)
①
\(t\): vergangene Zeit
\(\times\)
②
\(\ln 2\): natürlicher Logarithmus von 2 (etwa 0,693)
\(\div\)
③
\(\ln(N_0 / N(t))\): natürlicher Logarithmus von „Anfangsmenge : Restmenge“
Die Formel in Worten
①
Multipliziert man die
\(t\): vergangene Zeit
②
mit dem
\(\ln 2\): natürlichen Logarithmus von 2 (etwa 0,693)
und teilt durch den
③
\(\ln(N_0 / N(t))\): natürlichen Logarithmus von „Anfangsmenge : Restmenge“
, erhält man die
④
\(t_{1/2}\): Halbwertszeit
.
Einfaches Beispiel
Sind von 100 g eines Stoffes nach 10 Jahren noch 25 g übrig, ist die Halbwertszeit
Halbwertszeit \(t_{1/2}\)
\(=\)
vergangene Zeit (10 Jahre)
\(\times\)
\(\ln 2\) (etwa 0,693)
\(\div\)
\(\ln(100 \div 25)\) (etwa 1,386)
\(\ln(100 \div 25) = \ln 4 \approx 1{,}386\)
\(t_{1/2} = 10 \times 0{,}693 \div 1{,}386 = 5\)
Der Grundgedanke
Der Teil \(\ln 2 \div \ln(N_0 / N(t))\) ist eigentlich der Kehrwert von „wie oft hat sich die Menge halbiert“. Von 100 g auf 25 g ist eine Abnahme um den Faktor \(100 \div 25 = 4\), also zweimal halbiert – die Halbwertszeit ist 10 Jahre : 2 = 5 Jahre. Die Formel zählt mit dem Logarithmus, wie oft halbiert wurde.
Formel für die Zerfallskonstante
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(\lambda\)
\(=\)
\(\ln 2\)
\(\div\)
\(t_{1/2}\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(\lambda\): Zerfallskonstante
\(=\)
①
\(\ln 2\): natürlicher Logarithmus von 2 (etwa 0,693)
\(\div\)
②
\(t_{1/2}\): Halbwertszeit
Die Formel in Worten
①
Teilt man den
\(\ln 2\): natürlichen Logarithmus von 2 (etwa 0,693)
②
durch die
\(t_{1/2}\): Halbwertszeit
,
③
erhält man die
\(\lambda\): Zerfallskonstante
.
Einfaches Beispiel
Die Zerfallskonstante eines Stoffes mit einer Halbwertszeit von 5 Jahren ist
Zerfallskonstante \(\lambda\)
\(=\)
\(\ln 2\) (etwa 0,693)
\(\div\)
Halbwertszeit (5 Jahre)
\(\lambda = 0{,}693 \div 5 \approx 0{,}139\)
Der Grundgedanke
Die Zerfallskonstante \(\lambda\) gibt an, welcher Anteil der noch vorhandenen Menge pro sehr kurzer Zeiteinheit zerfällt. Je kürzer die Halbwertszeit, desto größer \(\lambda\) (schneller Zerfall); je länger die Halbwertszeit, desto kleiner \(\lambda\) (langsamer Zerfall).
Formel für die mittlere Lebensdauer
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(\tau\)
\(=\)
\(t_{1/2}\)
\(\div\)
\(\ln 2\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(\tau\): mittlere Lebensdauer
\(=\)
①
\(t_{1/2}\): Halbwertszeit
\(\div\)
②
\(\ln 2\): natürlicher Logarithmus von 2 (etwa 0,693)
Die Formel in Worten
①
Teilt man die
\(t_{1/2}\): Halbwertszeit
②
durch den
\(\ln 2\): natürlichen Logarithmus von 2 (etwa 0,693)
,
③
erhält man die
\(\tau\): mittlere Lebensdauer
.
Einfaches Beispiel
Die mittlere Lebensdauer eines Stoffes mit einer Halbwertszeit von 5 Jahren ist
mittlere Lebensdauer \(\tau\)
\(=\)
Halbwertszeit (5 Jahre)
\(\div\)
\(\ln 2\) (etwa 0,693)
\(\tau = 5 \div \ln 2 \approx 7{,}213\)
Der Grundgedanke
Die mittlere Lebensdauer \(\tau\) ist die Zeit bis zum Zerfall eines Atoms, gemittelt über alle Atome. Sie ist zugleich der Kehrwert der Zerfallskonstante (\(\tau = 1 / \lambda\)). Sie ist mit etwa dem 1,44-Fachen etwas länger als die Halbwertszeit, weil „langlebige“ Atome, die lange nicht zerfallen, den Durchschnitt nach oben ziehen.
Ausgangspunkt jeder Rechnung mit der Halbwertszeit ist „vergangene Zeit : Halbwertszeit = Anzahl der Halbierungen“. Die Restmenge ist die Anfangsmenge, so oft mit \(\dfrac{1}{2}\) multipliziert. Sucht man umgekehrt die Halbwertszeit, zählt man mit dem Logarithmus, wie oft halbiert wurde.
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(N_0\) | N null | Die Anfangsmenge – die Menge zu Beginn der Zeitmessung (\(t = 0\)). Beispiel – sind es anfangs 100 g, ist \(N_0 = 100\). |
| \(N(t)\) | N von t | Die Restmenge – die Menge, die nach der Zeit \(t\) noch übrig ist. Man schreibt sie so, weil sie eine Funktion von \(t\) ist (ihr Wert hängt von \(t\) ab). |
| \(t\) | t | Die vergangene Zeit, in der die Anfangsmenge auf die Restmenge gesunken ist. Gleiche Einheit wie bei der Halbwertszeit. |
| \(t_{1/2}\) | t einhalb (Halbwertszeit) | Die Halbwertszeit – die Zeit, bis die Menge genau auf die Hälfte gesunken ist. Jeder Stoff hat seinen eigenen Wert, und er ist gleich, egal wann man zu messen beginnt. |
| \(\lambda\) | Lambda | Die Zerfallskonstante – der Anteil, der pro sehr kurzer Zeiteinheit zerfällt. Man berechnet sie mit \(\lambda = \ln 2 \div t_{1/2}\). |
| \(\tau\) | Tau | Die mittlere Lebensdauer – die durchschnittliche Zeit bis zum Zerfall eines Atoms. Man berechnet sie mit \(\tau = 1 \div \lambda = t_{1/2} \div \ln 2\). |
| \(\ln x\) | natürlicher Logarithmus von x (ln x) | Der natürliche Logarithmus – der Logarithmus zur Basis \(e\) (etwa 2,718). Er gibt an, „\(e\) hoch wie viel ergibt \(x\)“. Auf dem Taschenrechner die Taste ln, in Excel die Funktion LN. |
Begriffe
| Halbwertszeit | Die Zeit, bis eine Menge genau auf die Hälfte gesunken ist. Bei einem radioaktiven Stoff die Zeit, bis sich die Zahl der Atome (die Stärke der Radioaktivität) halbiert hat, bei einem Medikament die Zeit, bis sich die Konzentration im Blut halbiert hat. Typisch ist, dass sich die Menge in gleichen Zeitabständen immer wieder halbiert (Hälfte, Viertel, Achtel …). |
| exponentielle Abnahme (exponentieller Zerfall) | Eine Abnahme, deren Geschwindigkeit proportional zur noch vorhandenen Menge ist. Am Anfang geht es schnell, je weniger übrig ist, desto langsamer. Nur Mengen, die so abnehmen, haben eine konstante Halbwertszeit. |
| radioaktiver Zerfall | Ein instabiler Atomkern sendet Strahlung aus und wandelt sich in einen anderen Kern um. Wann ein einzelnes Atom zerfällt, ist Zufall – bei sehr vielen Atomen nimmt die Menge aber ganz regelmäßig nach der Halbwertszeit ab. |
| Zerfallskonstante | Eine Konstante, die angibt, welcher Anteil der noch vorhandenen Atome pro sehr kurzer Zeiteinheit zerfällt. Sie gehört untrennbar zur Halbwertszeit – kennt man die eine, kann man die andere berechnen. |
| mittlere Lebensdauer | Die Zeit bis zum Zerfall eines Atoms, gemittelt über sehr viele Atome. Sie beträgt etwa das 1,44-Fache der Halbwertszeit. |
| natürlicher Logarithmus (ln) | Der Logarithmus zur Basis \(e\) (etwa 2,718, eulersche Zahl). Er passt gut zu Rechnungen mit Wachstums- und Abnahmegeschwindigkeiten und kommt in den Formeln für Halbwertszeit und Zerfallskonstante vor. |
| Exponent (Hochzahl) | Die Zahl, die angibt, wie oft dieselbe Zahl multipliziert wird, wie die 3 rechts oben in \(2^3\). In der Formel der Halbwertszeit ist die Anzahl der Halbierungen \(t / t_{1/2}\) der Exponent. |
Das sollten Sie vorher wissen
Damit Sie die Berechnung auf dieser Seite nicht nur per Knopfdruck, sondern mit echtem Verständnis nutzen, ist hier zusammengestellt, was Sie vorher wissen sollten.
| Brüche und wiederholtes Halbieren (Klasse 5–6, 10–12 Jahre) |
|
| Potenzen und Exponenten (Klasse 5–6, 10–12 Jahre) |
|
| Erweiterte Exponenten (Klasse 9–10, 14–16 Jahre) |
|
| Logarithmen (Klasse 10, 15–16 Jahre) |
|
So berechnen Sie es in Excel
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle für die Restmenge
| Anfangsmenge N0 | 100 |
| Vergangene Zeit t | 10 |
| Halbwertszeit t1/2 | 5 |
| Restmenge N(t) | =B1*POTENZ(1/2;B2/B3) |
Tabelle für die Halbwertszeit
| Anfangsmenge N0 | 100 |
| Restmenge N(t) | 25 |
| Vergangene Zeit t | 10 |
| Halbwertszeit t1/2 | =B3*LN(2)/LN(B1/B2) |
Tabelle für die vergangene Zeit
| Anfangsmenge N0 | 100 |
| Restmenge N(t) | 25 |
| Halbwertszeit t1/2 | 5 |
| Vergangene Zeit t | =B3*LN(B1/B2)/LN(2) |
Tabelle für Zerfallskonstante und mittlere Lebensdauer
| Halbwertszeit t1/2 | 5 |
| Zerfallskonstante λ | =LN(2)/B1 |
| Mittlere Lebensdauer τ | =B1/LN(2) |
Nach dem Einfügen sind die oberen Zeilen in Spalte B Ihre Eingaben, die letzte Zeile zeigt das automatisch berechnete Ergebnis.
„POTENZ(1/2;B2/B3)“ ist die Potenzfunktion und multipliziert (vergangene Zeit : Halbwertszeit)-mal mit 1/2, „LN“ liefert den natürlichen Logarithmus (ln).
In der ersten Tabelle steht in B4 zum Beispiel 25 (aus 100 g werden in 10 Jahren 25 g), in der zweiten 5 (Halbwertszeit 5 Jahre). Ersetzen Sie einfach die Zahlen in Spalte B durch Ihre eigenen.
„POTENZ(1/2;B2/B3)“ ist die Potenzfunktion und multipliziert (vergangene Zeit : Halbwertszeit)-mal mit 1/2, „LN“ liefert den natürlichen Logarithmus (ln).
In der ersten Tabelle steht in B4 zum Beispiel 25 (aus 100 g werden in 10 Jahren 25 g), in der zweiten 5 (Halbwertszeit 5 Jahre). Ersetzen Sie einfach die Zahlen in Spalte B durch Ihre eigenen.
So berechnen Sie es in Google Tabellen
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle für die Restmenge
| Anfangsmenge N0 | 100 |
| Vergangene Zeit t | 10 |
| Halbwertszeit t1/2 | 5 |
| Restmenge N(t) | =B1*POTENZ(1/2;B2/B3) |
Tabelle für die Halbwertszeit
| Anfangsmenge N0 | 100 |
| Restmenge N(t) | 25 |
| Vergangene Zeit t | 10 |
| Halbwertszeit t1/2 | =B3*LN(2)/LN(B1/B2) |
Tabelle für die vergangene Zeit
| Anfangsmenge N0 | 100 |
| Restmenge N(t) | 25 |
| Halbwertszeit t1/2 | 5 |
| Vergangene Zeit t | =B3*LN(B1/B2)/LN(2) |
Tabelle für Zerfallskonstante und mittlere Lebensdauer
| Halbwertszeit t1/2 | 5 |
| Zerfallskonstante λ | =LN(2)/B1 |
| Mittlere Lebensdauer τ | =B1/LN(2) |
Dieselben Formeln wie in Excel (POTENZ und LN) funktionieren auch in Google Tabellen unverändert. Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Zahlen in Spalte B durch Ihre eigenen.
So berechnen Sie es in Python
import math
initial_quantity = 100.0 # Anfangsmenge N0
remaining_quantity = 25.0 # Restmenge N(t)
elapsed_time = 10.0 # vergangene Zeit t
# Halbwertszeit t1/2 = t × ln2 ÷ ln(N0 ÷ N(t))
half_life = elapsed_time * math.log(2) / math.log(initial_quantity / remaining_quantity)
decay_constant = math.log(2) / half_life # Zerfallskonstante λ
mean_lifetime = half_life / math.log(2) # mittlere Lebensdauer τ
print(f"Halbwertszeit: {half_life}")
print(f"Zerfallskonstante: {decay_constant}")
print(f"Mittlere Lebensdauer: {mean_lifetime}")
# Probe: Restmenge N(t) = N0 × (1/2)^(t/t1/2)
remaining = initial_quantity * 0.5 ** (elapsed_time / half_life)
print(f"Probe (Restmenge): {remaining}")
Läuft nur mit dem Modul math der Standardbibliothek. math.log() ist der natürliche Logarithmus (ln), „**“ das Zeichen für das Potenzieren. Im Beispiel ergibt sich eine Halbwertszeit von 5,0, eine Zerfallskonstante von etwa 0,1386, eine mittlere Lebensdauer von etwa 7,213 und als Probe eine Restmenge von 25,0 (Python gibt die Zahlen mit Dezimalpunkt aus). Ersetzen Sie die drei Werte oben und führen Sie den Code aus.
So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
Formel für die Restmenge (Grundformel der Halbwertszeit)
N(t) = N₀ × (1/2)^(t/t½)
N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/t_{1/2}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>N</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<msub><mi>N</mi><mn>0</mn></msub>
<msup>
<mrow><mo>(</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>)</mo></mrow>
<mrow><mi>t</mi><mo>/</mo><msub><mi>t</mi><mrow><mn>1</mn><mo>/</mo><mn>2</mn></mrow></msub></mrow>
</msup>
</mrow>
</math>
N(t) = N_0 (1/2)^(t/t_(1/2))
n0*(1/2)^(t/thalf)
Nt := n0*(1/2)^(t/thalf);
Nt = n0*(1/2)^(t/thalf);
N(t) = N_0 (1/2)^(t/t_(1/2))
Formel für die Halbwertszeit
t½ = t × ln 2 ÷ ln(N₀/N(t))
t_{1/2} = \dfrac{t \ln 2}{\ln(N_0 / N(t))}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>t</mi><mrow><mn>1</mn><mo>/</mo><mn>2</mn></mrow></msub>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>t</mi><mo>⁢</mo><mi>ln</mi><mo>⁡</mo><mn>2</mn></mrow>
<mrow><mi>ln</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><msub><mi>N</mi><mn>0</mn></msub><mo>/</mo><mi>N</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>)</mo></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
t_(1/2) = (t ln 2)/(ln(N_0//N(t)))
t*Log[2]/Log[n0/nt]
thalf := t*ln(2)/ln(n0/nt);
thalf = t*log(2)/log(n0/nt);
t_(1/2) = t ln(2)/ln(N_0/N(t))
Formel für die Zerfallskonstante
λ = ln 2 ÷ t½
\lambda = \dfrac{\ln 2}{t_{1/2}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>λ</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>ln</mi><mo>⁡</mo><mn>2</mn></mrow>
<msub><mi>t</mi><mrow><mn>1</mn><mo>/</mo><mn>2</mn></mrow></msub>
</mfrac>
</mrow>
</math>
lambda = (ln 2)/t_(1/2)
Log[2]/thalf
lambda := ln(2)/thalf;
lambda = log(2)/thalf;
λ = ln(2)/t_(1/2)
Formel für die mittlere Lebensdauer
τ = t½ ÷ ln 2
\tau = \dfrac{1}{\lambda} = \dfrac{t_{1/2}}{\ln 2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>τ</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<msub><mi>t</mi><mrow><mn>1</mn><mo>/</mo><mn>2</mn></mrow></msub>
<mrow><mi>ln</mi><mo>⁡</mo><mn>2</mn></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
tau = t_(1/2)/(ln 2)
thalf/Log[2]
tau := thalf/ln(2);
tau = thalf/log(2);
τ = t_(1/2)/ln(2)
So lassen Sie ChatGPT rechnen
Sie sind ein Rechenassistent für die Halbwertszeit. Führen Sie die folgenden Berechnungen aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort ausschließlich auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (nicht im Kopf rechnen und nicht schätzen). Von einem radioaktiven Stoff sind anfangs 100 g vorhanden, nach 10 Jahren sind es noch 25 g. Nehmen Sie an, dass er exponentiell zerfällt: N(t) = N0 × (1/2)^(t / Halbwertszeit). Berechnen Sie jeweils: 1. Die Halbwertszeit dieses Stoffes 2. Die Zerfallskonstante λ (= ln2 ÷ Halbwertszeit) 3. Die mittlere Lebensdauer τ (= Halbwertszeit ÷ ln2) 4. Die Menge, die 20 Jahre nach dem Anfang noch übrig ist Geben Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis an.
Anleitung
-
1Werte eingebenTragen Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
-
2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
-
3Ergebnis ansehenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
Die Vorteile von DataChef
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Ad 
