Geben Sie die drei Größen ein, die Sie kennen, aus Anfangsmenge N₀, Restmenge N(t), verstrichener Zeit t und Halbwertszeit t½. Die eine leere Größe wird berechnet, zusammen mit der Zerfallskonstante λ und der mittleren Lebensdauer τ. Die Gleichung unten ist mit den Feldern verknüpft, Sie können die Zahlen also auch direkt darin eintippen.
Lassen Sie nur das Feld leer, das Sie bestimmen möchten (füllen Sie genau drei aus). Alle Werte sind Zahlen größer als 0. Die Einheiten sind frei wählbar, aber verwenden Sie für beide Zeitfelder und für beide Mengenfelder dieselbe Einheit (zum Beispiel Jahre für beide Zeiten). Die Restmenge muss kleiner als die Anfangsmenge sein.
Ergebnis und Diagramm
Füllen Sie links drei der Felder aus und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis und ein Diagramm erscheinen hier.
Inhaltsverzeichnis
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Was Sie auf dieser Seite tun können
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Wofür ist diese Berechnung nützlich?
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Anleitung
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Formeln und Diagramme
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Symbole und Begriffe
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Was Sie vorab wissen sollten
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Mit Excel berechnen
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Mit Google Tabellen berechnen
-
Mit Python berechnen
-
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
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Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
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Die Vorteile von DataChef
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Verwandte Funktionen
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Alle NumberChef-Rechner
Was Sie auf dieser Seite tun können
- Geben Sie drei der Größen Anfangsmenge \(N_0\), Restmenge \(N(t)\), verstrichene Zeit \(t\) und Halbwertszeit \(t_{1/2}\) ein, und die eine leere Größe wird berechnet
- Die Zerfallskonstante \(\lambda\) und die mittlere Lebensdauer \(\tau\) werden gleichzeitig angezeigt
- Ein Diagramm mit einer Markierung bei jeder Halbwertszeit zeigt, wie sich die Menge immer wieder halbiert (exponentieller Zerfall)
- Eine leicht verständliche Erklärung der Formeln sowie Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python finden Sie ebenfalls auf dieser Seite
Das funktioniert für Größen, die in jedem gleich langen Zeitabschnitt um denselben Anteil abnehmen (exponentieller Zerfall). Der radioaktive Zerfall ist das klassische Beispiel, und dieselbe Formel wird auch verwendet, um Wirkstoffspiegel im Blut zu modellieren. Die Einheiten sind frei wählbar, aber verwenden Sie für die beiden Zeitfelder (verstrichene Zeit und Halbwertszeit) dieselbe Einheit und ebenso für die beiden Mengenfelder (Anfangs- und Restmenge).
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
Altersbestimmung mit Kohlenstoff-14 (Archäologie)
Lebewesen nehmen radioaktiven Kohlenstoff-14 auf. Nach dem Tod endet die Aufnahme, und der Kohlenstoff-14 nimmt mit einer Halbwertszeit von etwa 5730 Jahren ab. Hat ein Stück Holz aus einer antiken Fundstätte noch 25 % des Kohlenstoff-14, das es zu Lebzeiten hatte, wird sein Alter auf \(5730 \times \ln 4 \div \ln 2 = 11.460\) Jahre geschätzt (2 Halbwertszeiten).
Viele der „vor Tausenden von Jahren“ genannten Datierungen antiker Fundstätten und Fundstücke in Schulbüchern beruhen auf dieser Rechnung (der C-14-Methode, auch Radiokarbonmethode genannt).
Abschätzen, wie radioaktive Arzneimittel abnehmen (ein Beispiel aus der Medizin)
Technetium-99m, das in der Nuklearmedizin für Untersuchungen wie die Szintigrafie verwendet wird, hat eine Halbwertszeit von etwa 6 Stunden. Als Beispiel: 24 Stunden nach der Untersuchung ist es auf \((1/2)^{24/6} = (1/2)^4 = 1/16\) gesunken, das sind 6,25 %.
In der Medizin werden Isotope mit kurzer Halbwertszeit gewählt, weil sie im Körper auf diese Weise schnell abnehmen (in Wirklichkeit scheidet der Körper sie auch aus, die Sicherheit wird daher nach den Vorgaben von Fachbehörden beurteilt).
Wie lange Medikamente und Koffein im Körper bleiben
Wie schnell ein Medikament das Blut verlässt, wird ebenfalls durch seine Halbwertszeit beschrieben. Hat Koffein zum Beispiel eine Halbwertszeit von 4 Stunden, sinkt das Koffein in etwa zwei Tassen Kaffee (200 mg) nach 12 Stunden auf \(200 \times (1/2)^{3} = 25\) mg.
Halbwertszeiten unterscheiden sich von Mensch zu Mensch stark, und Entscheidungen über Medikamente sollten Sie nach den Anweisungen Ihrer Ärztin oder Ihres Arztes oder Ihrer Apotheke treffen. Die Zahlen zeigen aber, warum Kaffee am späten Tag den Schlaf beeinträchtigen kann.
Meldungen über radioaktive Stoffe lesen (Katastrophenschutz)
Jod-131, das in Meldungen über Reaktorunfälle oft vorkommt, hat eine Halbwertszeit von etwa 8 Tagen. Nach 80 Tagen (10 Halbwertszeiten) ist es auf \((1/2)^{10} = 1/1024\) gesunken, etwa 0,1 %. Cäsium-137 mit einer Halbwertszeit von etwa 30 Jahren hat nach 90 Jahren noch \(1/8\) (12,5 %) übrig.
Wer versteht, dass „kurze Halbwertszeit = klingt schnell ab, lange Halbwertszeit = bleibt lange“, kann die Zahlen in den Nachrichten selbst nachprüfen.
Abschätzen, wie lange radioaktive Abfälle verwaltet werden müssen
Bei radioaktiven Abfällen aus Kernkraftwerken und anderen Quellen wird anhand der Halbwertszeiten der enthaltenen Isotope geplant, wie lange sie isoliert und überwacht werden müssen. Diese Formel zeigt zum Beispiel, dass Cäsium-137 mit einer Halbwertszeit von 30 Jahren etwa 10 Halbwertszeiten (etwa 300 Jahre) braucht, um auf knapp 1/1000 zu sinken.
Dieselbe Rechnung wie auf dieser Seite ist die Grundlage von Verwaltungsplänen, die viele Generationen umspannen.
Formeln und Diagramme
Formel für die Restmenge (die Grundformel der Halbwertszeit)
Diagramm
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(N(t)\)
\(=\)
\(N_0\)
\(\times\)
\(\left(\dfrac{1}{2}\right)\)
\(t / t_{1/2}\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
④
\(N(t)\): Menge, die nach der Zeit \(t\) übrig ist
\(=\)
①
\(N_0\): Anfangsmenge
\(\times\)
②
\(\dfrac{1}{2}\): die Hälfte
③
\(t / t_{1/2}\): verstrichene Zeit ÷ Halbwertszeit
Die Formel in Worten
①
Multipliziert man die
\(N_0\): Anfangsmenge
②
mit
\(\dfrac{1}{2}\): die Hälfte
③
und zwar so oft, wie
\(t / t_{1/2}\): verstrichene Zeit ÷ Halbwertszeit
(die Anzahl der Halbwertszeiten in der verstrichenen Zeit) angibt
④
so erhält man die
\(N(t)\): Restmenge
Einfaches Beispiel
Sind 8 mg eines Wirkstoffs mit einer Halbwertszeit von 2 Tagen im Körper, beträgt die Menge nach 6 Tagen (6 Tage ÷ 2 Tage = 3-mal halbiert)
Menge nach 6 Tagen \(N(t)\)
\(=\)
Anfangsmenge (8 mg)
\(\times\)
die Hälfte \(\dfrac{1}{2}\)
6 Tage ÷ 2 Tage (3-mal)
\(8 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{3} = 8 \times \dfrac{1}{8} = 1\)
Der Kerngedanke
Der Exponent oben rechts, \(t / t_{1/2}\), ist „wie viele Halbwertszeiten in die verstrichene Zeit passen“, also die Anzahl der Halbierungen. Bei 6 Tagen ÷ 2 Tagen = 3 halbiert sich die Menge 3-mal: 8 mg → 4 mg → 2 mg → 1 mg. Auch wenn die Anzahl keine ganze Zahl ist (zum Beispiel 2,5 Halbwertszeiten), lässt sich die Formel dank der erweiterten Idee der Exponenten unverändert verwenden.
Formel für die Halbwertszeit
Diagramm
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(t_{1/2}\)
\(=\)
\(t\)
\(\times\)
\(\ln 2\)
\(\div\)
\(\ln\left(\dfrac{N_0}{N(t)}\right)\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
④
\(t_{1/2}\): Halbwertszeit
\(=\)
①
\(t\): verstrichene Zeit
\(\times\)
②
\(\ln 2\): natürlicher Logarithmus von 2 (etwa 0,693)
\(\div\)
③
\(\ln(N_0 / N(t))\): natürlicher Logarithmus von „Anfangsmenge ÷ Restmenge“
Die Formel in Worten
①
Multipliziert man die
\(t\): verstrichene Zeit
②
mit dem
\(\ln 2\): natürlicher Logarithmus von 2 (etwa 0,693)
, und teilt dann durch den
③
\(\ln(N_0 / N(t))\): natürlicher Logarithmus von „Anfangsmenge ÷ Restmenge“
④
so erhält man die
\(t_{1/2}\): Halbwertszeit
Einfaches Beispiel
Sinken 100 g eines Stoffes in 10 Jahren auf 25 g, beträgt seine Halbwertszeit
Halbwertszeit \(t_{1/2}\)
\(=\)
verstrichene Zeit (10 Jahre)
\(\times\)
\(\ln 2\) (etwa 0,693)
\(\div\)
\(\ln(100 \div 25)\) (etwa 1,386)
\(\ln(100 \div 25) = \ln 4 \approx 1{,}386\)
\(t_{1/2} = 10 \times 0{,}693 \div 1{,}386 = 5\)
Der Kerngedanke
Der Teil \(\ln 2 \div \ln(N_0 / N(t))\) ist eigentlich 1 geteilt durch „die Anzahl der Halbierungen“. 100 g → 25 g ist eine Abnahme um den Faktor \(100 \div 25 = 4\), das sind 2 Halbierungen, also beträgt die Halbwertszeit 10 Jahre ÷ 2 = 5 Jahre. Die Formel zählt mit Logarithmen, wie oft sich die Menge halbiert hat.
Formel für die Zerfallskonstante
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(\lambda\)
\(=\)
\(\ln 2\)
\(\div\)
\(t_{1/2}\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(\lambda\): Zerfallskonstante
\(=\)
①
\(\ln 2\): natürlicher Logarithmus von 2 (etwa 0,693)
\(\div\)
②
\(t_{1/2}\): Halbwertszeit
Die Formel in Worten
①
Nimmt man den
\(\ln 2\): natürlicher Logarithmus von 2 (etwa 0,693)
②
und teilt ihn durch die
\(t_{1/2}\): Halbwertszeit
③
so erhält man die
\(\lambda\): Zerfallskonstante
Einfaches Beispiel
Die Zerfallskonstante eines Stoffes mit einer Halbwertszeit von 5 Jahren beträgt
Zerfallskonstante \(\lambda\)
\(=\)
\(\ln 2\) (etwa 0,693)
\(\div\)
Halbwertszeit (5 Jahre)
\(\lambda = 0{,}693 \div 5 \approx 0{,}139\)
Der Kerngedanke
Die Zerfallskonstante \(\lambda\) gibt an, welcher Anteil der noch vorhandenen Menge pro sehr kurzer Zeiteinheit zerfällt. Je kürzer die Halbwertszeit, desto größer \(\lambda\) (schnellerer Zerfall), je länger die Halbwertszeit, desto kleiner \(\lambda\) (langsamerer Zerfall).
Formel für die mittlere Lebensdauer
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(\tau\)
\(=\)
\(t_{1/2}\)
\(\div\)
\(\ln 2\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(\tau\): mittlere Lebensdauer
\(=\)
①
\(t_{1/2}\): Halbwertszeit
\(\div\)
②
\(\ln 2\): natürlicher Logarithmus von 2 (etwa 0,693)
Die Formel in Worten
①
Nimmt man die
\(t_{1/2}\): Halbwertszeit
②
und teilt sie durch den
\(\ln 2\): natürlicher Logarithmus von 2 (etwa 0,693)
③
so erhält man die
\(\tau\): mittlere Lebensdauer
Einfaches Beispiel
Die mittlere Lebensdauer eines Stoffes mit einer Halbwertszeit von 5 Jahren beträgt
mittlere Lebensdauer \(\tau\)
\(=\)
Halbwertszeit (5 Jahre)
\(\div\)
\(\ln 2\) (etwa 0,693)
\(\tau = 5 \div \ln 2 \approx 7{,}213\)
Der Kerngedanke
Die mittlere Lebensdauer \(\tau\) ist die Zeit bis zum Zerfall eines Atoms, gemittelt über alle Atome. Sie ist auch der Kehrwert der Zerfallskonstante (\(\tau = 1 / \lambda\)). Sie ist etwas länger als die Halbwertszeit, etwa das 1,44-Fache, weil „langlebige“ Atome, die lange bis zum Zerfall brauchen, den Mittelwert nach oben ziehen.
Halbwertszeit-Rechnungen gehen von einem Gedanken aus: „verstrichene Zeit ÷ Halbwertszeit = Anzahl der Halbierungen“. Die Restmenge ist die Anfangsmenge, so oft mit \(\dfrac{1}{2}\) multipliziert. Um die Halbwertszeit zu bestimmen, zählt man mit einem Logarithmus, wie oft sich die Menge halbiert hat.
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(N_0\) | N null | Die Anfangsmenge, die Menge zu dem Zeitpunkt, an dem Sie die Zeit zu zählen beginnen (\(t = 0\)). (Beispiel: Sind es zuerst 100 g, ist \(N_0 = 100\)) |
| \(N(t)\) | N von t | Die Restmenge, die Menge, die nach Ablauf der Zeit \(t\) übrig ist. Sie wird so geschrieben, weil sie eine Funktion von \(t\) ist (ihr Wert hängt von \(t\) ab). |
| \(t\) | t | Die verstrichene Zeit, die Zeit, die vergangen ist, bis die Anfangsmenge auf die Restmenge gesunken ist. Verwenden Sie dieselbe Einheit wie bei der Halbwertszeit. |
| \(t_{1/2}\) | t eins halbe (Halbwertszeit) | Die Halbwertszeit, die Zeit, in der die Menge auf genau die Hälfte fällt. Jeder Stoff hat seinen eigenen Wert, und er ist unabhängig davon, wann Sie mit dem Messen beginnen. |
| \(\lambda\) | Lambda | Die Zerfallskonstante, der Anteil, der pro sehr kurzer Zeiteinheit zerfällt. Sie ergibt sich aus \(\lambda = \ln 2 \div t_{1/2}\). |
| \(\tau\) | Tau | Die mittlere Lebensdauer, die durchschnittliche Zeit, bis ein Atom zerfällt. Sie ergibt sich aus \(\tau = 1 \div \lambda = t_{1/2} \div \ln 2\). |
| \(\ln x\) | natürlicher Logarithmus von x | Der natürliche Logarithmus, der Logarithmus zur Basis \(e\) (etwa 2,718). Er sagt, „\(e\) hoch wie viel ergibt \(x\)“. Auf einem wissenschaftlichen Taschenrechner nutzen Sie die Taste ln, in Excel die Funktion LN. |
Begriffe
| Halbwertszeit | Die Zeit, in der eine Größe auf genau die Hälfte fällt. Bei einem radioaktiven Stoff ist es die Zeit, in der sich die Anzahl der Atome (die Stärke der Radioaktivität) halbiert, bei einem Medikament die Zeit, in der sich sein Blutspiegel halbiert. Die Menge halbiert sich in jedem gleich langen Zeitabschnitt (auf die Hälfte, ein Viertel, ein Achtel und so weiter). |
| exponentieller Zerfall | Eine Abnahme mit einer Geschwindigkeit, die proportional zur noch vorhandenen Menge ist. Sie ist zuerst schnell und wird langsamer, je weniger übrig ist. Nur Größen, die so abnehmen, haben eine gleichbleibende Halbwertszeit. |
| radioaktiver Zerfall | Der Vorgang, bei dem ein instabiler Atomkern Strahlung abgibt und sich in einen anderen Kern umwandelt. Wann ein einzelnes Atom zerfällt, ist zufällig, aber eine große Anzahl von Atomen nimmt gleichmäßig nach der Halbwertszeit ab. |
| Zerfallskonstante | Eine Konstante, die angibt, welcher Anteil der verbleibenden Atome pro sehr kurzer Zeiteinheit zerfällt. Sie hängt eng mit der Halbwertszeit zusammen: Kennt man die eine, kann man die andere berechnen. |
| mittlere Lebensdauer | Die Zeit, bis ein Atom zerfällt, gemittelt über viele Atome. Sie beträgt etwa das 1,44-Fache der Halbwertszeit. |
| natürlicher Logarithmus | Der Logarithmus zur Basis \(e\) (etwa 2,718, die eulersche Zahl). Er eignet sich für Rechnungen zur Geschwindigkeit von Wachstum und Abnahme und kommt in den Formeln für die Halbwertszeit und die Zerfallskonstante vor. |
| Exponent | Eine Zahl, die angibt, wie oft dieselbe Zahl multipliziert wird, wie die 3 oben rechts bei \(2^3\). In der Formel der Halbwertszeit ist die Anzahl der Halbierungen \(t / t_{1/2}\) der Exponent. |
Was Sie vorab wissen sollten
Hier steht, was Ihnen hilft, die Rechnung dieser Seite wirklich zu verstehen und nicht nur den Knopf zu drücken.
| Brüche und wiederholtes Halbieren (Klasse 5–6, 10–12 Jahre) |
|
| Potenzen und Exponenten (Klasse 5–6, 10–12 Jahre) |
|
| Erweiterung der Exponenten (Klasse 9–10, 14–16 Jahre) |
|
| Logarithmen (Klasse 10–11, 15–17 Jahre) |
|
Mit Excel berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle zur Bestimmung der Restmenge
| Anfangsmenge N0 | 100 |
| Verstrichene Zeit t | 10 |
| Halbwertszeit t1/2 | 5 |
| Restmenge N(t) | =B1*POTENZ(1/2;B2/B3) |
Tabelle zur Bestimmung der Halbwertszeit
| Anfangsmenge N0 | 100 |
| Restmenge N(t) | 25 |
| Verstrichene Zeit t | 10 |
| Halbwertszeit t1/2 | =B3*LN(2)/LN(B1/B2) |
Tabelle zur Bestimmung der verstrichenen Zeit
| Anfangsmenge N0 | 100 |
| Restmenge N(t) | 25 |
| Halbwertszeit t1/2 | 5 |
| Verstrichene Zeit t | =B3*LN(B1/B2)/LN(2) |
Tabelle zur Bestimmung von Zerfallskonstante und mittlerer Lebensdauer
| Halbwertszeit t1/2 | 5 |
| Zerfallskonstante λ | =LN(2)/B1 |
| Mittlere Lebensdauer τ | =B1/LN(2) |
Nach dem Einfügen sind die oberen Zeilen in Spalte B Ihre Eingaben, und die letzte Zeile zeigt das automatisch berechnete Ergebnis.
„POTENZ(1/2;B2/B3)“ ist die Potenzfunktion, die (verstrichene Zeit ÷ Halbwertszeit)-mal mit 1/2 multipliziert, und „LN“ liefert den natürlichen Logarithmus (ln).
In der ersten Tabelle zeigt B4 zum Beispiel 25 (100 g werden in 10 Jahren zu 25 g), in der zweiten Tabelle 5 (eine Halbwertszeit von 5 Jahren). Ersetzen Sie einfach die Zahlen in Spalte B durch Ihre eigenen.
„POTENZ(1/2;B2/B3)“ ist die Potenzfunktion, die (verstrichene Zeit ÷ Halbwertszeit)-mal mit 1/2 multipliziert, und „LN“ liefert den natürlichen Logarithmus (ln).
In der ersten Tabelle zeigt B4 zum Beispiel 25 (100 g werden in 10 Jahren zu 25 g), in der zweiten Tabelle 5 (eine Halbwertszeit von 5 Jahren). Ersetzen Sie einfach die Zahlen in Spalte B durch Ihre eigenen.
Mit Google Tabellen berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle zur Bestimmung der Restmenge
| Anfangsmenge N0 | 100 |
| Verstrichene Zeit t | 10 |
| Halbwertszeit t1/2 | 5 |
| Restmenge N(t) | =B1*POTENZ(1/2;B2/B3) |
Tabelle zur Bestimmung der Halbwertszeit
| Anfangsmenge N0 | 100 |
| Restmenge N(t) | 25 |
| Verstrichene Zeit t | 10 |
| Halbwertszeit t1/2 | =B3*LN(2)/LN(B1/B2) |
Tabelle zur Bestimmung der verstrichenen Zeit
| Anfangsmenge N0 | 100 |
| Restmenge N(t) | 25 |
| Halbwertszeit t1/2 | 5 |
| Verstrichene Zeit t | =B3*LN(B1/B2)/LN(2) |
Tabelle zur Bestimmung von Zerfallskonstante und mittlerer Lebensdauer
| Halbwertszeit t1/2 | 5 |
| Zerfallskonstante λ | =LN(2)/B1 |
| Mittlere Lebensdauer τ | =B1/LN(2) |
Dieselben Formeln wie in Excel (POTENZ und LN) funktionieren unverändert in Google Tabellen. Kopieren Sie die gesamte Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Zahlen in Spalte B durch Ihre eigenen.
Mit Python berechnen
import math
initial_quantity = 100.0 # Anfangsmenge N0
remaining_quantity = 25.0 # Restmenge N(t)
elapsed_time = 10.0 # verstrichene Zeit t
# Halbwertszeit t1/2 = t × ln2 ÷ ln(N0 ÷ N(t))
half_life = elapsed_time * math.log(2) / math.log(initial_quantity / remaining_quantity)
decay_constant = math.log(2) / half_life # Zerfallskonstante λ
mean_lifetime = half_life / math.log(2) # mittlere Lebensdauer τ
print(f"Halbwertszeit: {half_life}")
print(f"Zerfallskonstante: {decay_constant}")
print(f"Mittlere Lebensdauer: {mean_lifetime}")
# Kontrolle: Restmenge N(t) = N0 × (1/2)^(t/t1/2)
remaining = initial_quantity * 0.5 ** (elapsed_time / half_life)
print(f"Kontrolle (Restmenge): {remaining}")
Läuft nur mit dem Modul math aus der Standardbibliothek. math.log() ist der natürliche Logarithmus (ln), und „**“ ist der Potenzoperator. In diesem Beispiel ist die Halbwertszeit 5,0, die Zerfallskonstante etwa 0,1386, die mittlere Lebensdauer etwa 7,213, und die Kontrolle ergibt eine Restmenge von 25,0. Ändern Sie die drei Werte ganz oben und führen Sie den Code aus.
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
Formel für die Restmenge (die Grundformel der Halbwertszeit)
N(t) = N₀ × (1/2)^(t/t½)
N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/t_{1/2}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>N</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<msub><mi>N</mi><mn>0</mn></msub>
<msup>
<mrow><mo>(</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>)</mo></mrow>
<mrow><mi>t</mi><mo>/</mo><msub><mi>t</mi><mrow><mn>1</mn><mo>/</mo><mn>2</mn></mrow></msub></mrow>
</msup>
</mrow>
</math>
N(t) = N_0 (1/2)^(t/t_(1/2))
n0*(1/2)^(t/thalf)
Nt := n0*(1/2)^(t/thalf);
Nt = n0*(1/2)^(t/thalf);
N(t) = N_0 (1/2)^(t/t_(1/2))
Formel für die Halbwertszeit
t½ = t × ln 2 ÷ ln(N₀/N(t))
t_{1/2} = \dfrac{t \ln 2}{\ln(N_0 / N(t))}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>t</mi><mrow><mn>1</mn><mo>/</mo><mn>2</mn></mrow></msub>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>t</mi><mo>⁢</mo><mi>ln</mi><mo>⁡</mo><mn>2</mn></mrow>
<mrow><mi>ln</mi><mo>⁡</mo><mo>(</mo><msub><mi>N</mi><mn>0</mn></msub><mo>/</mo><mi>N</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>)</mo></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
t_(1/2) = (t ln 2)/(ln(N_0//N(t)))
t*Log[2]/Log[n0/nt]
thalf := t*ln(2)/ln(n0/nt);
thalf = t*log(2)/log(n0/nt);
t_(1/2) = t ln(2)/ln(N_0/N(t))
Formel für die Zerfallskonstante
λ = ln 2 ÷ t½
\lambda = \dfrac{\ln 2}{t_{1/2}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>λ</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>ln</mi><mo>⁡</mo><mn>2</mn></mrow>
<msub><mi>t</mi><mrow><mn>1</mn><mo>/</mo><mn>2</mn></mrow></msub>
</mfrac>
</mrow>
</math>
lambda = (ln 2)/t_(1/2)
Log[2]/thalf
lambda := ln(2)/thalf;
lambda = log(2)/thalf;
λ = ln(2)/t_(1/2)
Formel für die mittlere Lebensdauer
τ = t½ ÷ ln 2
\tau = \dfrac{1}{\lambda} = \dfrac{t_{1/2}}{\ln 2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>τ</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<msub><mi>t</mi><mrow><mn>1</mn><mo>/</mo><mn>2</mn></mrow></msub>
<mrow><mi>ln</mi><mo>⁡</mo><mn>2</mn></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
tau = t_(1/2)/(ln 2)
thalf/Log[2]
tau := thalf/ln(2);
tau = thalf/log(2);
τ = t_(1/2)/ln(2)
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
Sie sind ein Rechenassistent für Aufgaben zur Halbwertszeit. Führen Sie die folgenden Berechnungen aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort ausschließlich auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (nicht im Kopf rechnen und nicht schätzen). Ein radioaktiver Stoff beginnt mit 100 g und ist nach 10 Jahren auf 25 g gesunken. Nehmen Sie an, dass er dem exponentiellen Zerfall N(t) = N0 × (1/2)^(t / Halbwertszeit) folgt. Bestimmen Sie jeweils: 1. Die Halbwertszeit dieses Stoffes 2. Die Zerfallskonstante λ (= ln2 ÷ Halbwertszeit) 3. Die mittlere Lebensdauer τ (= Halbwertszeit ÷ ln2) 4. Die Menge, die 20 Jahre nach dem Beginn übrig ist Nennen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis.
Anleitung
-
1Zahlen eingebenGeben Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
-
2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
-
3Ergebnis ablesenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
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