Mittelwert, Median, Modalwert und Spannweite berechnen

Geben Sie Ihre Datenwerte durch Semikolons (;) getrennt ein. Mittelwert (arithmetisches Mittel), Median, Modalwert und Spannweite werden zusammen mit den von klein nach groß geordneten Daten berechnet.

Daten (durch ; getrennt)

Geben Sie mindestens 2 Zahlen durch Semikolons (;) getrennt ein, zum Beispiel 10 ; 2 ; 38 ; 23 ; 38 ; 23 ; 21. Dezimalzahlen (3,5) und negative Zahlen sind erlaubt.

Ergebnis

Geben Sie im Feld links Ihre Zahlen durch Semikolons getrennt ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis erscheint hier.

Inhaltsverzeichnis

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Was Sie auf dieser Seite tun können
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
Anleitung
Formel
Symbole und Begriffe
- Symbole
- Begriffe
Was Sie vorab wissen sollten
Mit Excel berechnen
Mit Google Tabellen berechnen
Mit Python berechnen
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
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Was Sie auf dieser Seite tun können

Geben Sie Zahlen durch Semikolons (;) getrennt ein, und Sie erhalten vier Kennzahlen auf einmal: den Mittelwert (das arithmetische Mittel), den Median, den Modalwert und die Spannweite
Der Modalwert (der Wert, der am häufigsten vorkommt) wird automatisch ausgezählt. Auch Daten mit zwei oder mehr Modalwerten (bimodal oder multimodal) und Daten, in denen jeder Wert nur einmal vorkommt und es deshalb keinen Modalwert gibt, werden richtig erkannt
Die von klein nach groß geordneten Daten, das Maximum, das Minimum, die Summe und die Anzahl werden ebenfalls angezeigt, sodass Sie Median und Spannweite direkt selbst nachprüfen können
Eine verständliche Erklärung zur Frage „Wann verwende ich den Mittelwert, den Median oder den Modalwert?“ sowie Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python finden Sie ebenfalls auf dieser Seite

Der Modalwert ergibt sich daraus, dass man zählt, ob genau derselbe Wert zwei- oder mehrmals vorkommt. Bei fein gestreuten Daten wie Körpergröße oder Gewicht kommt derselbe Wert kaum zweimal vor. Dann erstellt man üblicherweise zuerst eine Häufigkeitstabelle (die Daten werden in Klassen eingeteilt) und betrachtet die Klasse mit der größten Häufigkeit.

Wofür ist diese Berechnung nützlich?

Die meistverkauften Größen einkaufen und lagern (im Handel zählt der Modalwert)

Angenommen, ein Geschäft hat an einem Tag 7 Paar Schuhe in den Größen 40, 41, 40, 42, 41, 40 und 44 verkauft. Der Mittelwert beträgt etwa 41,1, aber das Geschäft sollte von der Größe mehr einkaufen, die am häufigsten verkauft wird, also vom Modalwert: Größe 40 (3 Paar).
Wenn Sie bei Einkauf und Lagerhaltung danach entscheiden, „was sich am besten verkauft“, etwa bei Größen, Farben oder Modellen, ist nicht der Mittelwert, sondern der Modalwert die entscheidende Zahl.

Die Meldung „im Durchschnitt X Euro“ mit dem Alltag abgleichen (Mittelwert oder Median?)

Angenommen, fünf Haushalte haben Ersparnisse von 30.000 €, 30.000 €, 40.000 €, 50.000 € und 400.000 €. Der Mittelwert beträgt 110.000 €, der Median aber 40.000 € und der Modalwert 30.000 €.
Bei schief verteilten Daten wie Ersparnissen oder Einkommen ziehen einige große Werte den Mittelwert nach oben, deshalb liegen Median oder Modalwert näher an dem, was ein typischer Haushalt hat. Deshalb weist auch die Deutsche Bundesbank in ihrer Vermögensbefragung das Nettovermögen der Haushalte in Deutschland sowohl als Mittelwert (2023 etwa 324.800 €) als auch als Median (etwa 103.200 €) aus. Wenn Sie den Unterschied kennen, lassen Sie sich von einem „Durchschnitt“ in den Nachrichten nicht in die Irre führen.

Die beliebteste Antwort in einer Umfrage oder Abstimmung finden (kategoriale Daten)

Bei einer Abstimmung über das Lieblingsessen in der Schulmensa mit einer Klasse von 30 Schülerinnen und Schülern, bei der Nudeln mit Tomatensoße 12 Stimmen, Pizza 10 und Fischstäbchen 8 erhalten, ist das typische Gericht der Modalwert, „Nudeln mit Tomatensoße“. Einen Mittelwert oder Median von Gerichten kann man nicht berechnen.
Der Modalwert ist das einzige Lagemaß, das Sie für Daten verwenden können, die keine Zahlen sind (kategoriale Daten). Von der Auswertung von Produktumfragen bis zur Auszählung von Wahlstimmen ist er eine der am häufigsten genutzten Grundlagen der Datenauswertung.

Qualitätskontrolle in der Fertigung (die Streuung mit der Spannweite R überwachen)

In Fabriken entnimmt man regelmäßig einige Produkte aus der Linie, misst Größe oder Gewicht und trägt die Spannweite (Maximum − Minimum) jeder kleinen Stichprobe ein. Diese Methode heißt R-Karte und ist weit verbreitet (Qualitätsregelkarten gehören zu den sieben grundlegenden Qualitätswerkzeugen).
Wird die Spannweite plötzlich größer, ist das ein Zeichen für ein Problem, etwa ein lockeres Maschinenteil oder ungleichmäßiges Material. Weil eine einzige Subtraktion die Streuung zeigt, wird sie jeden Tag in der Produktion genutzt.

Die Verteilung von Testergebnissen richtig erfassen (für Lehrkräfte und Eltern)

Auch wenn der Klassendurchschnitt bei 60 Punkten liegt, kann die Klasse in eine Gruppe, die gut abgeschnitten hat (um 80), und eine, die Schwierigkeiten hatte (um 40), zerfallen, während kaum jemand bei 60 liegt (eine bimodale Verteilung).
Beurteilen Sie nicht allein nach dem Mittelwert, sondern betrachten Sie auch den Modalwert, den Median und die Streuung der Punktzahlen (die Spannweite). Dann können Sie Förderung planen, die zur tatsächlichen Lage der Klasse passt.

Formel

Modalwert (Modus)

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(M_o\) \(=\) \(x \ \ \bigl(\, f(x) = f_{\max} \,\bigr)\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

② \(M_o\): Modalwert \(=\) ① \(x\): der Wert, der am häufigsten vorkommt

Die Formel in Worten

① Zählen Sie, wie oft jeder Wert in den Daten vorkommt (seine Häufigkeit), und wählen Sie \(x\): den Wert, der am häufigsten vorkommt

② Dieser Wert ist der \(M_o\): Modalwert

Einfaches Beispiel

Bei den Punktzahlen von 5 Tests, 60 ; 70 ; 70 ; 80 ; 95, kommt nur die 70 zweimal vor, also am häufigsten. Deshalb ist der Modalwert

\(M_o\): Modalwert \(=\) der Wert, der am häufigsten vorkommt (70)

\(M_o = 70 \ \ \bigl(\, f(70) = 2 \,\bigr)\)

Der Kerngedanke

Der Modalwert ist ein Lagemaß, das man allein durch Zählen findet, ohne zu addieren oder zu dividieren wie beim Mittelwert. In der Formel ist \(f(x)\) „wie oft der Wert \(x\) in den Daten vorkommt (seine Häufigkeit)“ und \(f_{\max}\) „die größte dieser Häufigkeiten“. Haben zwei oder mehr Werte die höchste Anzahl, sind alle von ihnen Modalwerte (Daten mit zwei Gipfeln nennt man bimodal). Kommt jeder Wert nur einmal vor, gibt es keinen Modalwert. Die größte Stärke des Modalwerts ist, dass er das einzige Lagemaß ist, das auch für Daten funktioniert, die keine Zahlen sind (kategoriale Daten), etwa bei einer Abstimmung über das Lieblingsessen in der Schulmensa.

Mittelwert (arithmetisches Mittel)

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(\bar{x}\) \(=\) \((x_1 + x_2 + \cdots + x_n)\) \(\div\) \(n\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(\bar{x}\): Mittelwert \(=\) ① Summe der Daten \(\div\) ② \(n\): Anzahl der Werte

Die Formel in Worten

① Nehmen Sie die Summe der Daten

② teilen Sie sie durch die \(n\): Anzahl der Werte

③ und Sie erhalten den \(\bar{x}\): Mittelwert

Einfaches Beispiel

Der Mittelwert der Punktzahlen von 5 Tests, 60 ; 70 ; 70 ; 80 ; 95, ist

\(\bar{x}\): Mittelwert \(=\) Summe (60 + 70 + 70 + 80 + 95 = 375) \(\div\) Anzahl (5 Tests)

\((60 + 70 + 70 + 80 + 95) \div 5 = 375 \div 5 = 75\)

Der Kerngedanke

Der Mittelwert zeigt, wie viel jede Person bekäme, wenn man die Summe gleichmäßig verteilt. Er ist das einzige Lagemaß, das den Wert jedes einzelnen Datenpunkts in die Rechnung einbezieht. Deshalb hat er die Schwäche, dass extrem große (oder kleine) Werte, die Ausreißer, ihn stark beeinflussen. Im Beispiel oben zieht die beste Punktzahl 95 den Mittelwert 75 über drei der fünf Punktzahlen (60, 70, 70). In der Statistik schreibt man den Mittelwert einer Stichprobe meist \(\bar{x}\) („x quer“) und den Mittelwert einer ganzen Grundgesamtheit \(\mu\) („My“).

Median (Zentralwert)

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(\tilde{x}\) \(=\) \(x_{\left(\,(n+1)/2\,\right)}\)

\(\tilde{x}\) \(=\) \(\left( x_{(n/2)} + x_{(n/2+1)} \right)\) \(\div\) \(2\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

② \(\tilde{x}\): Median (bei ungerader Anzahl von Werten) \(=\) ① der mittlere Wert nach dem Ordnen von klein nach groß

⑤ \(\tilde{x}\): Median (bei gerader Anzahl von Werten) \(=\) ③ Summe der beiden mittleren Werte \(\div\) ④ \(2\): Anzahl der mittleren Werte

Die Formel in Worten

① Ordnen Sie die Daten von klein nach groß. Bei einer ungeraden Anzahl von Werten ist der Wert genau in der Mitte

② der \(\tilde{x}\): Median

③ Bei einer geraden Anzahl von Werten gibt es zwei mittlere Werte. Bilden Sie dann die Summe der beiden mittleren Werte

④ und teilen Sie sie durch die \(2\): Anzahl der mittleren Werte (das ist der Mittelwert der beiden mittleren Werte),

⑤ und Sie erhalten den \(\tilde{x}\): Median

Einfaches Beispiel

Von klein nach groß geordnet lauten die Punktzahlen von 5 Tests 60 ; 70 ; 70 ; 80 ; 95 (eine ungerade Anzahl von Werten, nämlich 5). Der Median ist der Wert genau in der Mitte (der 3.), also

\(\tilde{x}\): Median \(=\) der 3. Wert von klein nach groß (70)

\(\tilde{x} = x_{(3)} = 70\)

Der Kerngedanke

In der Formel bedeutet \(x_{(k)}\) „der \(k\)-te Wert, wenn die Daten von klein nach groß geordnet sind“ (zum Beispiel ist \(x_{(1)}\) das Minimum). Der Median ist die Mitte nach der Rangfolge. Seine Stärke ist deshalb, dass extrem große oder kleine Werte (Ausreißer) ihn kaum beeinflussen. Im Beispiel oben beträgt der Mittelwert 75, der Median aber 70, den die einzelne Punktzahl 95 nicht nach oben zieht. Liegen Mittelwert und Median weit auseinander, ist das ein Zeichen dafür, dass wenige große (oder kleine) Werte die Daten mitziehen.

Spannweite

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(R\) \(=\) \(x_{\max}\) \(-\) \(x_{\min}\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(R\): Spannweite \(=\) ① \(x_{\max}\): Maximum \(-\) ② \(x_{\min}\): Minimum

Die Formel in Worten

① Nehmen Sie das Maximum (der größte Wert)

② ziehen Sie das Minimum (der kleinste Wert) ab,

③ und Sie erhalten die \(R\): Spannweite

Einfaches Beispiel

Bei den Punktzahlen von 5 Tests, 60 ; 70 ; 70 ; 80 ; 95, ist die Spannweite das Maximum 95 minus das Minimum 60, also

\(R\): Spannweite \(=\) Maximum (95) \(-\) Minimum (60)

\(95 - 60 = 35\)

Der Kerngedanke

Die Spannweite ist der einfachste Anhaltspunkt dafür, wie breit die Daten streuen. Mittelwert, Median und Modalwert beschreiben die Mitte der Daten, die Spannweite dagegen ist hier das einzige Maß, das die Streuung beschreibt. Merken Sie sich diesen Unterschied. Die Spannweite berücksichtigt aber nur zwei Werte, das Maximum und das Minimum, und ein einziger Ausreißer kann sie stark verändern. Um die Streuung genauer zu messen, verwendet man die Standardabweichung und ähnliche Maße. Das Wort „Spannweite“ hat in manchen Fachgebieten auch andere Bedeutungen, dieser Rechner verwendet aber die grundlegendste Definition „Maximum − Minimum“.

Mittelwert, Median und Modalwert sind die drei wichtigsten Lagemaße, die Daten jeweils in einer einzigen Zahl zusammenfassen. Der Mittelwert berücksichtigt jeden kleinen Unterschied, der Median ist robust gegenüber Ausreißern, und der Modalwert ergibt sich allein durch Zählen und funktioniert auch bei kategorialen Daten. Jedes hat seine eigene Stärke, wählen Sie also das, was zur Form Ihrer Daten passt. Die Spannweite (Maximum − Minimum) ist der einfachste Anhaltspunkt für die Breite der Streuung.

Symbole und Begriffe

Symbole

\(x_1, x_2, \ldots, x_n\)	x Index 1, x Index 2, …, x Index n	Die einzelnen Datenwerte. (Beispiel: die Punktzahlen von 5 Tests)
\(n\)	n	Die Anzahl der Werte. (Beispiel: Bei 5 Tests ist \(n = 5\).)
\(\bar{x}\)	x quer	Der Mittelwert (das arithmetische Mittel). Der Querstrich über dem Buchstaben ist in der Statistik die übliche Schreibweise für einen Mittelwert. Den Mittelwert einer ganzen Grundgesamtheit schreibt man dagegen \(\mu\) („My“).
\(\tilde{x}\)	x Tilde	Der Median. Schulbücher schreiben oft statt eines Symbols einfach das Wort „Median“ oder „Zentralwert“.
\(M_o\)	M Index o (Modalwert)	Der Modalwert, eine Abkürzung des englischen Worts „mode“. Man schreibt ihn auch Mo. Schulbücher schreiben meist einfach das Wort statt eines Symbols.
\(f(x)\)	f von x	Wie oft der Wert \(x\) in den Daten vorkommt (seine Häufigkeit). (Beispiel: Kommt 70 zweimal vor, ist \(f(70) = 2\).)
\(f_{\max}\)	f Index max	Die größte Häufigkeit (die höchste Anzahl). Ein Modalwert ist ein Wert, dessen Häufigkeit dieser Zahl entspricht.
\(x_{(k)}\)	x Index k in Klammern	Der \(k\)-te Wert, wenn die Daten von klein nach groß geordnet sind. (Beispiel: \(x_{(1)}\) ist das Minimum.)
\(x_{\max},\ x_{\min}\)	x Index max, x Index min	Das Maximum und das Minimum der Daten. Sie sind die Bausteine der Formel für die Spannweite.
\(R\)	R	Die Spannweite, also das Maximum minus das Minimum. Der Buchstabe R kommt vom englischen „range“.

Begriffe

Lagemaß	Eine einzelne Zahl, die zusammenfasst, wo die Daten zentriert sind. Die drei wichtigsten sind der Mittelwert, der Median und der Modalwert. In der Schule lernt man sie in der Regel in den Klassen 5 bis 7.
arithmetisches Mittel	Alle Daten addiert und durch die Anzahl der Werte geteilt. Das meint man üblicherweise mit „Durchschnitt“. Weil es jeden Wert in die Rechnung einbezieht, wird es leicht von Ausreißern beeinflusst.
Median	Der Wert genau in der Mitte, wenn die Daten von klein nach groß geordnet sind (auch Zentralwert genannt). Bei einer geraden Anzahl von Werten nimmt man den Mittelwert der beiden mittleren Werte. Er ist ein Lagemaß, das von Ausreißern kaum beeinflusst wird.
Modalwert	Der Wert, der in den Daten am häufigsten vorkommt (auch Modus genannt). Haben mehrere Werte die höchste Häufigkeit, sind alle von ihnen Modalwerte; kommt jeder Wert nur einmal vor, gibt es keinen Modalwert. Er ist das einzige Lagemaß, das auch für kategoriale Daten funktioniert.
Spannweite	Das Maximum minus das Minimum. Sie ist der einfachste Anhaltspunkt dafür, wie stark die Daten streuen.
Häufigkeit	Wie oft ein Wert (oder eine Klasse) in den Daten vorkommt (genauer: die absolute Häufigkeit). Der Modalwert ist der Wert mit der höchsten Häufigkeit.
Häufigkeitstabelle	Eine Tabelle, die die Daten in Bereiche (Klassen) wie „von 60 bis unter 70“ einteilt und die Häufigkeit jeder Klasse zählt. Bei fein gestreuten Daten wie der Körpergröße betrachtet man als Modalwert die Klasse mit der größten Häufigkeit.
Klasse	In einer Häufigkeitstabelle einer der Bereiche wie „von 60 bis unter 70“, in die die Daten eingeteilt werden (auch Intervall genannt; nicht zu verwechseln mit einer Schulklasse). Der Wert in der Mitte einer Klasse ist die Klassenmitte, und bei fein gestreuten Daten nimmt man als Modalwert die Klassenmitte der Klasse mit der größten Häufigkeit.
bimodal (multimodal)	Wenn die Verteilung der Daten zwei (oder mehr) Gipfel hat. Mehr als ein Modalwert ist ein Zeichen dafür, und die Daten können eine Mischung aus zwei Gruppen mit verschiedenen Eigenschaften sein.
Ausreißer	Ein Wert, der extrem weit von den übrigen Werten entfernt ist. Der Mittelwert und die Spannweite werden von Ausreißern stark beeinflusst, der Median und der Modalwert dagegen kaum.

Was Sie vorab wissen sollten

Hier finden Sie zusammengestellt, was Ihnen hilft, die Berechnung auf dieser Seite mit echtem Verständnis zu nutzen und nicht nur den Knopf zu drücken.

Addition, Subtraktion und Division (Klasse 3–4, 8–10 Jahre)	Drei oder mehr Zahlen nacheinander addieren können Eine kleinere Zahl von einer größeren subtrahieren können
Der Mittelwert (Klasse 5–6, 10–12 Jahre)	Wissen, dass der Mittelwert den Wert zeigt, der entsteht, wenn man ungleiche Mengen ausgleicht Wissen, dass Mittelwert = Summe ÷ Anzahl ist
Statistik und Lagemaße (Klasse 5–7, 10–13 Jahre)	Daten von klein nach groß ordnen können Die Bedeutung und die Unterschiede der drei Lagemaße (Mittelwert, Median und Modalwert) kennen Den häufigsten Wert aus einem Punktdiagramm (Punkte, die über einem Zahlenstrahl gestapelt sind) oder einer Strichliste ablesen können
Häufigkeitstabellen und Histogramme (Klasse 6–7, 11–13 Jahre)	Wissen, dass die Häufigkeit angibt, wie oft ein Wert (oder eine Klasse) vorkommt Wissen, dass man fein gestreute Daten zuerst in Klassen einteilt, bevor man den Modalwert betrachtet, und dass Spannweite = Maximum − Minimum ist

Mit Excel berechnen

Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein. Sie funktioniert unverändert.

Tabelle zur Berechnung des Modalwerts

Wert 1	60
Wert 2	70
Wert 3	70
Wert 4	80
Wert 5	95
Modalwert	=MODUS.EINF(B1:B5)

Tabelle zur Berechnung des Mittelwerts (arithmetisches Mittel)

Wert 1	60
Wert 2	70
Wert 3	70
Wert 4	80
Wert 5	95
Summe	=SUMME(B1:B5)
Anzahl	=ANZAHL(B1:B5)
Mittelwert (arithmetisches Mittel)	=MITTELWERT(B1:B5)

Tabelle zur Berechnung des Medians

Wert 1	60
Wert 2	70
Wert 3	70
Wert 4	80
Wert 5	95
Median	=MEDIAN(B1:B5)

Tabelle zur Berechnung der Spannweite (Max − Min)

Wert 1	60
Wert 2	70
Wert 3	70
Wert 4	80
Wert 5	95
Maximum	=MAX(B1:B5)
Minimum	=MIN(B1:B5)
Spannweite (Max − Min)	=B6-B7

Nach dem Einfügen sind B1 bis B5 die Zellen für Ihre Zahlen, und die fett gedruckten grünen Zellen werden automatisch berechnet.
Die erste Tabelle zeigt in B6 den Modalwert 70. Die zweite zeigt in B6 die Summe 375, in B7 die Anzahl 5 und in B8 den Mittelwert 75. Die dritte zeigt in B6 den Median 70, und die vierte zeigt in B8 die Spannweite 35.
MODUS.EINF liefert nur den ersten Modalwert, wenn es mehrere gibt. Um alle zu erhalten, verwenden Sie „=MODUS.VIELF(B1:B5)“ (die Ergebnisse verteilen sich auf mehrere Zellen). Kommt jeder Wert nur einmal vor, erhalten Sie den Fehler „#NV“, und das bedeutet, dass es keinen Modalwert gibt.
Wenn Sie eine andere Anzahl von Werten verwenden möchten, fügen Sie Zeilen mit Zahlen hinzu (oder löschen Sie welche) und ändern Sie dann „B1:B5“ in den Formeln in Ihren tatsächlichen Datenbereich (bei 7 Werten B1:B7).

Mit Google Tabellen berechnen

Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein. Sie funktioniert unverändert.

Tabelle zur Berechnung des Modalwerts

Wert 1	60
Wert 2	70
Wert 3	70
Wert 4	80
Wert 5	95
Modalwert	=MODALWERT(B1:B5)

Tabelle zur Berechnung des Mittelwerts (arithmetisches Mittel)

Wert 1	60
Wert 2	70
Wert 3	70
Wert 4	80
Wert 5	95
Summe	=SUMME(B1:B5)
Anzahl	=ANZAHL(B1:B5)
Mittelwert (arithmetisches Mittel)	=MITTELWERT(B1:B5)

Tabelle zur Berechnung des Medians

Wert 1	60
Wert 2	70
Wert 3	70
Wert 4	80
Wert 5	95
Median	=MEDIAN(B1:B5)

Tabelle zur Berechnung der Spannweite (Max − Min)

Wert 1	60
Wert 2	70
Wert 3	70
Wert 4	80
Wert 5	95
Maximum	=MAX(B1:B5)
Minimum	=MIN(B1:B5)
Spannweite (Max − Min)	=B6-B7

Fast dieselben Funktionen wie in Excel (MITTELWERT, MEDIAN, MAX, MIN) funktionieren unverändert. Nur die Funktion für den Modalwert heißt „MODALWERT“ (sie arbeitet wie MODUS.EINF in Excel; um mehrere Modalwerte auf einmal zu erhalten, können Sie MODUS.VIELF verwenden).
Kopieren Sie die gesamte Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie B1 bis B5 durch Ihre eigenen Zahlen.

Mit Python berechnen

import statistics

numbers = [10, 2, 38, 23, 38, 23, 21]  # die Daten, die Sie untersuchen möchten

mean_value = statistics.mean(numbers)        # Mittelwert (arithmetisches Mittel)
median_value = statistics.median(numbers)    # Median
mode_values = statistics.multimode(numbers)  # Modalwert (eine Liste mit allen Modalwerten, falls es mehrere gibt)
value_range = max(numbers) - min(numbers)    # Spannweite (Max - Min)

print(f"Mittelwert: {mean_value}")
print(f"Median: {median_value}")
print(f"Modalwert: {mode_values}")
print(f"Spannweite: {value_range}")
print(f"Geordnet: {sorted(numbers)}")

Der Code läuft nur mit der Standardbibliothek (dem Modul statistics). Ersetzen Sie die Liste numbers am Anfang durch Ihre eigenen Zahlen und führen Sie den Code aus. Für den Modalwert liefert multimode (in aktuellen Python-Versionen verfügbar) eine Liste mit allen Modalwerten, falls es mehrere gibt. Im Beispiel oben ist das [38, 23] (38 und 23 kommen jeweils zweimal vor). Kommt jeder Wert nur einmal vor, werden alle Werte zurückgegeben; lesen Sie das als „kein Modalwert“.

Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)

Modalwert (Modus)

Mo = x (f(x) = f_max)

M_o = x \quad \bigl(\, f(x) = f_{\max} \,\bigr)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>M</mi><mi>o</mi></msub>
    <mo>=</mo>
    <mi>x</mi>
    <mspace width="1em"/>
    <mrow>
      <mo>(</mo>
      <mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo>
      <mo>=</mo>
      <msub><mi>f</mi><mi>max</mi></msub>
      <mo>)</mo>
    </mrow>
  </mrow>
</math>

M_o = x (f(x) = f_(max))

Commonest[{x1, x2, x3}]

Statistics:-Mode([x1, x2, x3]);

M = mode(x);

M_o = x (f(x) = f_max)

Mittelwert (arithmetisches Mittel)

x̄ = (x₁ + x₂ + ⋯ + xₙ) ÷ n

\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mover accent="true"><mi>x</mi><mo>&#x00AF;</mo></mover>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow>
        <msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub>
        <mo>+</mo>
        <msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub>
        <mo>+</mo>
        <mo>&#x22EF;</mo>
        <mo>+</mo>
        <msub><mi>x</mi><mi>n</mi></msub>
      </mrow>
      <mi>n</mi>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

bar x = (x_1 + x_2 + cdots + x_n) / n

Mean[{x1, x2, x3}]

xbar := add(x[i], i = 1 .. n)/n;

xbar = mean(x);

x̄ = (x_1 + x_2 + ⋯ + x_n)/n

Median (Zentralwert)

\tilde{x} = \begin{cases} x_{(\,(n+1)/2\,)} & (n:\ \mathrm{ungerade}) \\[6pt] \dfrac{x_{(n/2)} + x_{(n/2+1)}}{2} & (n:\ \mathrm{gerade}) \end{cases}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mover accent="true"><mi>x</mi><mo>&#x7E;</mo></mover>
    <mo>=</mo>
    <mrow>
      <mo>{</mo>
      <mtable columnalign="center left">
        <mtr>
          <mtd><msub><mi>x</mi><mrow><mo>(</mo><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>/</mo><mn>2</mn><mo>)</mo></mrow></msub></mtd>
          <mtd><mrow><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>:</mo><mtext>ungerade</mtext><mo>)</mo></mrow></mtd>
        </mtr>
        <mtr>
          <mtd><mfrac>
            <mrow>
              <msub><mi>x</mi><mrow><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>/</mo><mn>2</mn><mo>)</mo></mrow></msub>
              <mo>+</mo>
              <msub><mi>x</mi><mrow><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>/</mo><mn>2</mn><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow></msub>
            </mrow>
            <mn>2</mn>
          </mfrac></mtd>
          <mtd><mrow><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>:</mo><mtext>gerade</mtext><mo>)</mo></mrow></mtd>
        </mtr>
      </mtable>
    </mrow>
  </mrow>
</math>

tilde x = {(x_(((n+1)/2)), if n odd), ((x_((n/2)) + x_((n/2+1)))/2, if n even):}

Median[{x1, x2, x3}]

Statistics:-Median([x1, x2, x3]);

med = median(x);

x̃ = (x_((n/2)) + x_((n/2+1)))/2 (bei gerader Anzahl von Werten; bei ungerader Anzahl ist x̃ = x_(((n+1)/2)))

Spannweite

R = xₘₐₓ − xₘᵢₙ

R = x_{\max} - x_{\min}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>R</mi>
    <mo>=</mo>
    <msub><mi>x</mi><mi>max</mi></msub>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <msub><mi>x</mi><mi>min</mi></msub>
  </mrow>
</math>

R = x_(max) - x_(min)

Max[{x1, x2, x3}] - Min[{x1, x2, x3}]

R := max(L) - min(L);

R = max(x) - min(x);

R = x_max − x_min

Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen

Sie sind ein Assistent für statistische Berechnungen. Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort ausschließlich auf die Zahlen aus dem Ergebnis der Ausführung (antworten Sie nicht durch Kopfrechnen oder Raten).

Bestimmen Sie für die folgenden Daten jeden der Werte unten.
Daten: 10 ; 2 ; 38 ; 23 ; 38 ; 23 ; 21
1. Den Mittelwert (arithmetisches Mittel)
2. Den Median
3. Den Modalwert. Nennen Sie alle, falls es mehrere gibt. Wenn jeder Wert nur einmal vorkommt, antworten Sie „kein Modalwert“
4. Die Spannweite (Maximum − Minimum)
5. Die Daten von klein nach groß geordnet

Zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ergebnis der Ausführung.

Anleitung

1

Zahlen eingeben

Geben Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
2

Berechnen

Klicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
3

Ergebnis ablesen

Das Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel