Wählen Sie die Art der Anordnung und geben Sie die Anzahl der Elemente n ein. Der Rechner zählt die Möglichkeiten, sie im Kreis anzuordnen, mit Rechenweg und Abbildung.
Geben Sie n als ganze Zahl von 1 bis 1000 ein. Das Feld r wird nur benutzt, wenn Sie „r von n Elementen im Kreis“ wählen. Die Antworten erscheinen in allen Stellen, ohne zu runden.
Ergebnis und Figur
Wählen Sie in den Feldern links die Art der Anordnung und die Anzahl aus und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis und eine Abbildung erscheinen hier.
Inhaltsverzeichnis
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Was Sie auf dieser Seite tun können
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Wofür ist diese Berechnung nützlich?
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Anleitung
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Formeln und Abbildungen
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Kreispermutationen \((n-1)!\) (alle \(n\) Elemente im Kreis)
-
Kreispermutationen \(\dfrac{{}_{n}\mathrm{P}_{r}}{r}\) (\(r\) von \(n\) Elementen im Kreis)
-
Perlenketten \(\dfrac{(n-1)!}{2}\) (Wenden gilt als gleich)
-
Kreispermutationen, bei denen 2 bestimmte Elemente nebeneinander stehen, \(2 \cdot (n-2)!\)
-
Kreispermutationen, bei denen 2 bestimmte Elemente nicht nebeneinander stehen, \((n-1)! - 2 \cdot (n-2)!\)
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Symbole und Begriffe
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Was Sie vorab wissen sollten
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Mit Excel berechnen
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Mit Google Tabellen berechnen
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Mit Python berechnen
-
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
-
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
-
Die Vorteile von DataChef
-
Verwandte Funktionen
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Alle NumberChef-Rechner
Was Sie auf dieser Seite tun können
- Geben Sie die Personenzahl ein, und Sie erhalten, auf wie viele Arten \(n\) Personen an einem runden Tisch sitzen können (Kreispermutationen), \((n-1)!\)
- Auch das Auswählen von nur \(r\) von \(n\) Elementen und das Anordnen im Kreis, \(\dfrac{{}_{n}\mathrm{P}_{r}}{r}\), wird unterstützt
- Der Rechner bestimmt auch Perlenketten \(\dfrac{(n-1)!}{2}\), bei denen Anordnungen, die beim Wenden übereinstimmen, wie bei einer Halskette als gleich zählen (er behandelt auch \(n = 1,\ 2\) richtig, wo bloßes Teilen ein falsches Ergebnis liefert)
- Sitzordnungen, bei denen 2 bestimmte Personen nebeneinander sitzen oder nicht, berechnet er mit einem Rechenweg, der die 2 als einen Block behandelt
- Die Antworten erscheinen in allen Stellen, ohne zu runden. Bei langen Antworten wird ein Näherungswert wie \(1{,}23\cdot10^{35}\) ergänzt, sodass Sie die Größe auf einen Blick erfassen
- Abbildungen sich drehender Kreise zeigen, warum \(n!\) durch \(n\) geteilt wird. Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python finden Sie ebenfalls auf dieser Seite
Diese Seite geht davon aus, dass alle Elemente voneinander verschieden sind (keine gleichen Elemente). Die Variationen \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\) und Kombinationen \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\) in einer Reihe finden Sie auf den verwandten Seiten am Ende.
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
Die Sitzordnung an runden Tischen planen (Essen, Besprechungen und Hochzeiten)
An einem runden Tisch ändert sich beim Drehen des ganzen Tisches nichts daran, wer neben wem sitzt. Die Anzahl der Sitzordnungen ist also nicht das \(n!\) einer Reihe, sondern die Kreispermutationen \((n-1)!\). Das sind 120 Möglichkeiten für 6 Personen und 5.040 für 8 Personen.
Wünsche wie „diese 2 sollen zusammen (oder getrennt) sitzen“ verändern die Anzahl stark. Bei 6 Personen gibt es 48 Möglichkeiten mit 2 bestimmten Personen nebeneinander und 72 mit ihnen getrennt. Statt zu raten, wissen Sie genau, aus wie vielen Sitzordnungen eine Veranstaltungsplanerin oder ein Veranstaltungsplaner wählen muss.
Die Anzahl von Lieferrouten abschätzen (Logistik und das Problem des Handlungsreisenden)
Denken Sie an eine Route, die \(n\) Orte je einmal besucht und zum Start zurückkehrt, wobei das Depot als einer der Halte zählt. Dieselbe Route ist derselbe Ring, egal wo Sie starten (Drehung), und wenn jede Straße in beide Richtungen gleich lang ist, ergibt das Fahren in die andere Richtung dieselbe Strecke (Wenden). Die Anzahl der verschiedenen Routen ist also dieselbe wie bei den Perlenketten, \(\dfrac{(n-1)!}{2}\).
Bei 10 Halten einschließlich des Depots gibt es 181.440 Routen, bei 15 Halten etwa \(4{,}36\cdot10^{10}\). Alle auszuprobieren, um die kürzeste zu finden, ist unrealistisch, deshalb nutzt Routenplanungssoftware clevere Abkürzungen (Optimierungsverfahren). Diese Anzahl ist der Grund, warum „einfach alle Routen prüfen“ nicht funktioniert.
Armbänder und Halsketten gestalten (Schmuck)
Die Anzahl der Entwürfe, \(n\) Perlen verschiedener Farben oder Formen zu einer Schlaufe aufzureihen, sind die Perlenketten \(\dfrac{(n-1)!}{2}\). Eine Schlaufe ist dasselbe Stück, ob Sie sie drehen oder wenden, also werden die Kreispermutationen noch einmal durch \(2\) geteilt. Das sind 12 Entwürfe für 5 Perlen und 60 Entwürfe für 6 Perlen.
Hat das Stück aber eine erkennbare Vorder- und Rückseite und lässt sich nicht gewendet tragen, etwa bei Perlen mit einem Muster nur auf einer Seite, dürfen gewendete Anordnungen nicht als gleich zählen. Dann teilt man nicht durch \(2\) und zählt die Kreispermutationen \((n-1)!\) (120 bei 6 Perlen). Allein die Frage, ob es gewendet werden kann, verdoppelt die Anzahl der Entwürfe.
Die Reihenfolge der Spielzüge bei Brett- und Kartenspielen
Bei vielen Spielen wandert der Spielzug in einer Richtung um den Tisch. Das Muster „wer nach wem spielt“ ändert sich nicht, wenn Sie alle Plätze drehen, also ist es eine Kreispermutation, \((n-1)!\). Das sind 6 Muster bei 4 Spielenden und 24 bei 5 Spielenden.
Bei Spielen, in denen der Beginn ein Vorteil ist, möchten Sie vielleicht auch unterscheiden, wer anfängt. Dann multiplizieren Sie die \((n-1)!\) Zugmuster mit den \(n\) Möglichkeiten für die Startperson und erhalten \(n!\) (24 bei 4 Spielenden). Die „reine Sitzreihenfolge“ und „mit Startperson“ getrennt zu halten, erleichtert das Nachdenken über faire Wege der Auslosung.
Rotationen für Dienste und Schichten aufstellen (Schule und Arbeit)
Eine Rotation, die die Liste der Reihe nach durchläuft und am Ende zum Anfang zurückkehrt, ist derselbe Zyklus, egal wer anfängt, also zählt sie als Kreispermutation. Eine Rotation mit 5 Personen hat \((5-1)! = 24\) Möglichkeiten.
Kommt die Bedingung „diese 2 dürfen nicht direkt hintereinander (nebeneinander) dran sein“ hinzu, ziehen Sie die Fälle nebeneinander von der Gesamtzahl ab: \((n-1)! - 2 \cdot (n-2)!\). Für 5 Personen schränkt das auf 24 − 12 = 12 ein. Die Formel zeigt deutlich, wie eine einzige zusätzliche Bedingung die Auswahl halbiert.
Formeln und Abbildungen
Kreispermutationen \((n-1)!\) (alle \(n\) Elemente im Kreis)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(N\)
\(=\)
\(\dfrac{n!}{n}\)
\(=\)
\((n-1)!\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(N\): Anzahl der Kreispermutationen
\(=\)
①
\(\dfrac{\text{Anordnungen von }n\text{ Elementen in einer Reihe, }n!}{\text{durch Drehung übereinstimmende Anordnungen, }n}\)
\(=\)
②
\((n-1)!\): Fakultät von \(n-1\), eins weniger
Die Formel in Worten
①
Die
Anordnungen von \(n\) Elementen in einer Reihe, \(n!\), geteilt durch die \(n\) Anordnungen, die durch Drehung übereinstimmen
ist gleich der
②
\((n-1)!\): Fakultät von \(n-1\), eins weniger
,
③
und das ergibt die
\(N\): Anzahl der Kreispermutationen
Einfaches Beispiel
Die Anzahl der Möglichkeiten, wie \(4\) Personen an einem runden Tisch sitzen können, ist
Kreispermutationen von 4 Personen
\(=\)
\(\dfrac{\text{4 Personen in einer Reihe, }24}{\text{durch Drehung gleich, }4}\)
\(=\)
Fakultät von \(3\), \(3!\)
\(4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24\)
\(\dfrac{24}{4} = 6\)
\((4-1)! = 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6\)
Der Kerngedanke
Beim Anordnen im Kreis gilt die Regel, dass Anordnungen, die nach einer Drehung übereinstimmen, als dieselbe 1 Möglichkeit zählen. Drehen Sie einen runden Tisch mit allen Sitzenden, ändert sich überhaupt nichts daran, wer neben wem sitzt.
Am schnellsten sehen Sie, warum durch \(n\) geteilt wird, mit \(4\) Personen A, B, C und D. Die Reihen ABCD, BCDA, CDAB und DABC sind als Buchstabenfolgen alle verschieden. Setzt man aber jede in einen Kreis und liest von oben im Uhrzeigersinn, ergeben sie genau denselben Ring: „B sitzt rechts von A, C rechts von B, D rechts von C und A rechts von D“. Jede verschiebt nur den ersten Buchstaben ans Ende.
Jeder Ring entspricht also genau \(n\) Reihen (bei einer vollen Umdrehung kann man \(n\)-mal verschieben, nicht mehr und nicht weniger). Die \(n!\) Reihen zählen jeden Ring \(n\)-mal, also entfernt das Teilen durch \(n\) die Doppelungen und lässt die Anzahl der verschiedenen Ringe übrig.
Eine andere Sichtweise ist, ein Element festzulegen. Ist der Platz einer Person zuerst bestimmt, lässt sich die Anordnung nicht mehr in eine andere drehen. Die übrigen \(n-1\) Personen werden einfach angeordnet, was \((n-1)!\) Möglichkeiten ergibt. Sie kommen ohne Teilen zum selben Ergebnis.
Kreispermutationen \(\dfrac{{}_{n}\mathrm{P}_{r}}{r}\) (\(r\) von \(n\) Elementen im Kreis)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(N\)
\(=\)
\(\dfrac{{}_{n}\mathrm{P}_{r}}{r}\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
②
\(N\): Anzahl der Möglichkeiten, im Kreis anzuordnen
\(=\)
①
\(\dfrac{r\text{ von }n\text{ Elementen in einer Reihe, }{}_{n}\mathrm{P}_{r}}{\text{durch Drehung übereinstimmende Anordnungen, }r}\)
Die Formel in Worten
①
Die
Anordnungen von \(r\) von \(n\) Elementen in einer Reihe, \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\), geteilt durch die \(r\) Anordnungen, die durch Drehung übereinstimmen
ist die
②
\(N\): Anzahl der Möglichkeiten, im Kreis anzuordnen
Einfaches Beispiel
Die Anzahl der Möglichkeiten, \(3\) von \(8\) Personen auszuwählen und an einem runden Tisch für 3 sitzen zu lassen, ist
Kreispermutationen von 3 von 8 Personen
\(=\)
\(\dfrac{\text{3 von 8 Personen in einer Reihe, }336}{\text{durch Drehung gleich, }3}\)
\({}_{8}\mathrm{P}_{3} = 8 \cdot 7 \cdot 6 = 336\)
\(\dfrac{336}{3} = 112\)
Der Kerngedanke
Stellen Sie sich einen runden Tisch mit nur \(r\) Plätzen vor, der mit Personen aus \(n\) Kandidaten besetzt wird. Nur \(r\) Dinge stehen im Kreis, also treten die Anordnungen, die durch Drehung übereinstimmen, in Gruppen zu je \(r\) auf. Achten Sie darauf, nicht versehentlich durch \(n\) zu teilen.
Für \(r = n\) ist \({}_{n}\mathrm{P}_{n} = n!\), also \(\dfrac{n!}{n} = (n-1)!\), was genau zur vorigen Formel passt. Mit anderen Worten: Das ist die allgemeine Form, und \((n-1)!\) ist ein Sonderfall davon.
Perlenketten \(\dfrac{(n-1)!}{2}\) (Wenden gilt als gleich)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(M\)
\(=\)
\(\dfrac{(n-1)!}{2}\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
②
\(M\): Anzahl der Perlenketten
\(=\)
①
\(\dfrac{\text{Kreispermutationen, }(n-1)!}{\text{beim Wenden übereinstimmende Anordnungen, }2}\)
Die Formel in Worten
①
Die
Anzahl der Kreispermutationen \((n-1)!\), geteilt durch die \(2\) Anordnungen, die beim Wenden übereinstimmen
ist die
②
\(M\): Anzahl der Perlenketten
(wenn \(n\) mindestens \(3\) ist)
Einfaches Beispiel
Die Anzahl der Möglichkeiten, \(5\) verschiedenfarbige Perlen zu einem Armband aufzureihen, ist
Perlenketten aus 5 Perlen
\(=\)
\(\dfrac{\text{Kreis, 5 Perlen, }24}{\text{beim Wenden gleich, }2}\)
\((5-1)! = 4! = 24\)
\(\dfrac{24}{2} = 12\)
Der Kerngedanke
Drehen Sie eine Halskette oder ein Armband auf dem Tisch um, vertauschen sich links und rechts. Ob Sie den Ring drehen oder wenden, es bleibt dasselbe Schmuckstück, also teilen wir die Kreispermutationen noch einmal durch \(2\). Man kann auch denken: „\(n\) stimmen durch Drehung überein und \(2\) durch Wenden, die Anordnungen treten also in Gruppen zu je \(2n\) auf“, und \(\dfrac{n!}{2n}\) schreiben. Das ist dasselbe.
Der Unterschied zwischen Kreispermutationen und Perlenketten ist, ob man den Ring aufheben und umdrehen kann. Einen runden Tisch, an dem Leute sitzen, kann man nicht umdrehen, also ist eine Sitzordnung eine Kreispermutation. Ein Armband kann man aufheben und wenden, also ist es eine Perlenkette. Wenn eine Aufgabe von Ring, Halskette, Armband, Schlüsselring oder Girlande spricht, prüfen Sie, ob das Wenden zählt. Diese Gewohnheit verhindert Verwechslungen.
Vorsicht bei \(n = 1\) und \(n = 2\). Ein Ring aus 1 oder 2 Perlen sieht beim Wenden genau gleich aus. Die Anordnungen bilden keine Paare, also ergibt die Formel unverändert \(\dfrac{1}{2}\) Möglichkeit. Die richtige Antwort ist in beiden Fällen \(1\) Möglichkeit (dieser Rechner behandelt diese Fälle automatisch).
Ab \(n = 3\) bildet jede Anordnung immer ein Paar mit ihrer gewendeten Version, also zählt das Teilen durch \(2\) richtig.
Kreispermutationen, bei denen 2 bestimmte Elemente nebeneinander stehen, \(2 \cdot (n-2)!\)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(A\)
\(=\)
\((n-2)!\)
\(\cdot\)
\(2\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(A\): Anordnungen mit den 2 nebeneinander
\(=\)
①
\((n-2)!\): Kreispermutationen von \(n-1\) Dingen, mit dem Block als eines
\(\cdot\)
②
\(2\): Reihenfolgen der 2 im Block
Die Formel in Worten
①
Nehmen Sie die
\((n-2)!\): Kreispermutationen von \(n-1\) Dingen, wobei die 2, die nebeneinander stehen sollen, als ein Block gelten
②
multiplizieren Sie sie mit den
\(2\): Reihenfolgen der 2 im Block
③
und Sie erhalten die
\(A\): Anordnungen mit den 2 nebeneinander
Einfaches Beispiel
Sitzen \(6\) Personen an einem runden Tisch, ist die Anzahl der Möglichkeiten, dass Anna und Ben nebeneinander sitzen,
Möglichkeiten mit den 2 nebeneinander
\(=\)
Kreis, 5 Dinge mit den 2 als Block, \(4!\)
\(\cdot\)
Reihenfolgen der 2 im Block, \(2\)
\((6-2)! = 4! = 24\)
\(24 \cdot 2 = 48\)
Der Kerngedanke
Bei der Bedingung „müssen nebeneinander stehen“ ist das Standardverfahren, die 2 zu einem Block zusammenzubinden. Werden 2 von 6 Personen zu einem Block, sind 5 Dinge im Kreis anzuordnen, „der Block plus die anderen 4 Personen“. Das ist eine Kreispermutation von 5 Dingen, also \((5-1)! = 4!\) Möglichkeiten.
Zum Schluss multiplizieren Sie mit den \(2\) Reihenfolgen im Block, „Anna dann Ben“ oder „Ben dann Anna“. Die größte Falle ist, nach dem Bilden des Blocks die Reihenfolge im Block zu vergessen (Produktregel).
\(n = 2\) ist die einzige Ausnahme. Bei nur 2 Personen sitzen sie immer nebeneinander, also ist die Antwort \(1\) Möglichkeit. Die Blockformel ergibt aber unverändert \(2 \cdot 0! = 2\) Möglichkeiten (dieser Rechner behandelt diesen Fall automatisch).
Kreispermutationen, bei denen 2 bestimmte Elemente nicht nebeneinander stehen, \((n-1)! - 2 \cdot (n-2)!\)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(B\)
\(=\)
\((n-1)!\)
\(-\)
\((n-2)!\)
\(\cdot\)
\(2\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
④
\(B\): Anordnungen mit den 2 nicht nebeneinander
\(=\)
①
\((n-1)!\): Kreispermutationen ohne Bedingung
\(-\)
②
\((n-2)!\): Kreispermutationen von \(n-1\) Dingen, mit dem Block als eines
\(\cdot\)
③
\(2\): Reihenfolgen der 2 im Block
Die Formel in Worten
①
Ziehen Sie von den
\((n-1)!\): Kreispermutationen ohne Bedingung
die
②
\((n-2)!\): Kreispermutationen von \(n-1\) Dingen, wobei die 2 als ein Block gelten
mal die
③
\(2\): Reihenfolgen der 2 im Block
ab (dieses Produkt ist die Anzahl der Anordnungen mit den 2 nebeneinander)
④
und Sie erhalten die
\(B\): Anordnungen mit den 2 nicht nebeneinander
Einfaches Beispiel
Sitzen \(6\) Personen an einem runden Tisch, ist die Anzahl der Möglichkeiten, dass Anna und Ben nicht nebeneinander sitzen,
Möglichkeiten mit den 2 nicht nebeneinander
\(=\)
Kreis, 6 Personen, \(5!\)
\(-\)
Kreis, 5 Dinge mit den 2 als Block, \(4!\)
\(\cdot\)
Reihenfolgen der 2 im Block, \(2\)
\((6-1)! = 5! = 120\)
\(2 \cdot (6-2)! = 2 \cdot 24 = 48\)
\(120 - 48 = 72\)
Der Kerngedanke
„Nicht nebeneinander“ direkt zu zählen bedeutet viele Fälle dafür, wo jede Person sitzen kann. Ziehen Sie stattdessen „die Anordnungen, bei denen sie nebeneinander sitzen“ von „allen Anordnungen“ ab. Das Gegenteil dessen zu zählen, was Sie wollen (das Gegenereignis), und von der Gesamtzahl abzuziehen, ist ein Standardverfahren.
Vereinfacht können Sie auch schreiben \((n-1)! - 2(n-2)! = (n-1)(n-2)! - 2(n-2)! = (n-3) \cdot (n-2)!\). Für \(n = 3\) ergibt das \(0 \cdot 1! = 0\) Möglichkeiten. An einem runden Tisch für 3 sitzt jedes Paar immer nebeneinander, also sind \(0\) Möglichkeiten tatsächlich richtig.
Im Kreis zählen Anordnungen, die nach einer Drehung übereinstimmen, als dieselbe 1 Möglichkeit, also werden die \(n!\) Möglichkeiten in einer Reihe durch \(n\) geteilt, was \((n-1)!\) Möglichkeiten ergibt. Zählt auch das Wenden als gleich, wie bei einer Halskette (Perlenketten), teilt man noch einmal durch \(2\) und erhält \(\dfrac{(n-1)!}{2}\) Möglichkeiten (die einzige Ausnahme ist \(n \le 2\) mit \(1\) Möglichkeit).
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(n\) | n | Die Gesamtzahl der anzuordnenden Elemente. Der Buchstabe wird häufig für eine Anzahl verwendet. Auf dieser Seite ist es die Zahl der Personen an einem runden Tisch oder die Zahl der Perlen an einem Ring. |
| \(r\) | r | Die Anzahl der Elemente, die aus den \(n\) ausgewählt und tatsächlich angeordnet werden (in deutschen Schulbüchern oft \(k\)). Sie wird zusammen mit \(n\) verwendet, wie in \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\), gelesen „\(r\) von \(n\)“. |
| \(n!\) | n Fakultät | Die Fakultät, \(n! = n \cdot (n-1) \cdot \cdots \cdot 2 \cdot 1\), die Anzahl der Möglichkeiten, alle \(n\) Elemente in einer Reihe anzuordnen. Die Schreibweise mit dem Ausrufezeichen soll 1808 vom französischen Mathematiker Christian Kramp eingeführt worden sein. Per Definition gilt \(0! = 1\). |
| \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\) | n P r | Die Variationen. Die Anzahl der Möglichkeiten, \(r\) von \(n\) Elementen auszuwählen und in einer Reihe anzuordnen, berechnet als \({}_{n}\mathrm{P}_{r} = n \cdot (n-1) \cdot \cdots \cdot (n-r+1)\). \(\mathrm{P}\) steht für „Permutation“. Es wird auch \(P(n, r)\) geschrieben. |
| \(N\) | großes N | Der Buchstabe, der auf dieser Seite für die Anzahl der Kreispermutationen steht. Er wird oft für eine Anzahl verwendet, die man finden möchte. |
| \(M\) | M | Der Buchstabe, der auf dieser Seite für die Anzahl der Perlenketten steht. Es ist der Buchstabe neben \(N\), verwendet, wenn Sie eine weitere, von \(N\) getrennte Anzahl brauchen. |
| \(A,\ B\) | A, B | Auf dieser Seite ist \(A\) die Anzahl der Anordnungen mit 2 bestimmten Elementen nebeneinander und \(B\) die Anzahl mit den 2 nicht nebeneinander. Buchstaben vom Anfang des Alphabets stehen üblicherweise für feste Größen, die man finden möchte. |
| \((n-1)!\) | n minus 1 Fakultät | Der Ausdruck für die Anzahl der Kreispermutationen. Er ist das, was übrig bleibt, wenn man beim Anordnen von \(n\) Elementen im Kreis die \(n\)-fachen Doppelungen durch Drehung entfernt. Denkt man „ein Element festlegen und die übrigen \(n-1\) anordnen“, erhält man denselben Ausdruck. |
Begriffe
| Anzahl der Möglichkeiten | Wie viele verschiedene Möglichkeiten es insgesamt gibt, etwas zu tun, das eine Bedingung erfüllt. Jede Frage, die „Auf wie viele Arten?“ stellt, fragt nach dieser Anzahl (Kombinatorik). |
| Variation | Eine Anordnung von Elementen, bei der die Reihenfolge zählt, oder die Anzahl solcher Anordnungen (\(r\) von \(n\) Elementen der Reihe nach, \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\)). Das Anordnen in einer Reihe nennt man zur Abgrenzung von der Kreispermutation die Anordnung „in einer Reihe“ (in der Schule: Permutation bei allen \(n\) Elementen). |
| Permutation | Eine gewöhnliche Anordnung aller Elemente in einer geraden Reihe, so genannt zur Abgrenzung von der Kreispermutation. Eine Reihe hat Enden, also ergibt Verschieben eine andere Anordnung. Es gibt \(n!\) Permutationen. |
| Kreispermutation | Eine Anordnung von Elementen im Kreis (in einem Ring). Die Regel ist, dass Anordnungen, die nach einer Drehung übereinstimmen, als dieselbe 1 Möglichkeit zählen, also ergeben \(n\) Elemente \((n-1)!\) Möglichkeiten. Man spricht auch von zyklischer Permutation oder von der Sitzordnung am runden Tisch. |
| Perlenkette | Eine Kreispermutation, bei der auch Anordnungen, die nach dem Wenden übereinstimmen, als dieselbe 1 Möglichkeit zählen. Sie dient dazu, Ringe zu zählen, die man umdrehen kann, wie Halsketten und Armbänder, und ergibt \(\dfrac{(n-1)!}{2}\) Möglichkeiten, wenn \(n\) mindestens \(3\) ist. (Auch Halskette oder Armband genannt.) |
| Fakultät | Das Produkt aller ganzen Zahlen von \(1\) bis \(n\) (geschrieben \(n!\)). Es ist gleich der Anzahl der Möglichkeiten, \(n\) Elemente in einer Reihe anzuordnen, und wächst mit steigendem \(n\) explosionsartig (\(10! = 3.628.800\)). |
| durch Drehung identisch | Wenn das Drehen eines Rings so, wie er ist, ihn genau wie eine andere Anordnung aussehen lässt. Bei Kreispermutationen werden solche Anordnungen nicht unterschieden und zählen als dieselbe 1 Möglichkeit. Bei einer vollen Umdrehung entstehen \(n\) übereinstimmende Anordnungen. |
| durch Wenden identisch | Wenn das Umdrehen eines Rings (Vertauschen von links und rechts wie im Spiegel) ihn wie eine andere Anordnung aussehen lässt. Bei Perlenketten zählen auch diese als dieselbe 1 Möglichkeit. |
| als Block zusammenfassen | Elemente, die nebeneinander stehen müssen, zusammenzubinden und wie ein einziges Element zu behandeln. Die Gesamtzahl sinkt um 1, und am Ende multipliziert man mit der Anzahl der Reihenfolgen im Block. |
| Gegenereignis | Alle Fälle, in denen eine Bedingung nicht eintritt, geschrieben \(\overline{A}\). Eine Bedingung, die sich schwer direkt zählen lässt, etwa „nicht nebeneinander“, findet man, indem man die Fälle „nebeneinander“ von der Gesamtzahl abzieht. |
| Doppelzählung | Dasselbe zwei- oder mehrmals zu zählen. Bei Kreispermutationen wird jeder Ring \(n\)-mal gezählt, also teilt man am Ende durch \(n\), um die Doppelungen zu entfernen. |
| ein Element festlegen | Eine Standardsichtweise bei Kreispermutationen. Ist der Platz einer Person zuerst bestimmt, lässt sich die Anordnung nicht mehr in eine andere drehen, also entspricht es dem Anordnen der übrigen \(n-1\) Elemente in einer Reihe. |
| Produktregel | Die Zählregel, dass es bei \(a\) Möglichkeiten für A und für jede davon \(b\) Möglichkeiten für B insgesamt \(a \cdot b\) Möglichkeiten gibt. Sie heißt auch Zählprinzip. Das Multiplizieren der Kreispermutationen des Blocks mit den \(2\) Reihenfolgen nutzt diese Regel. |
Was Sie vorab wissen sollten
Damit Sie die Berechnung auf dieser Seite mit echtem Verständnis nutzen können und nicht nur auf die Schaltfläche klicken, hilft Ihnen das folgende Grundwissen.
Wenn Sie nicht weiterkommen, ist es der schnellste Weg, die Themen dieser Tabelle noch einmal durchzugehen.
| Grundlagen des Abzählens (Klasse 7–9, 12–15 Jahre) |
|
| Variationen und Fakultäten (Sekundarstufe II, ab 15 Jahren) |
|
| Mit Division Doppelungen entfernen (Klasse 3–5, 8–11 Jahre) |
|
| Drehungen und Symmetrie von Figuren (Klasse 5–8, 10–14 Jahre) |
|
| Das Gegenereignis (Klasse 7–10, 12–16 Jahre) |
|
Mit Excel berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle zur Berechnung der Kreispermutationen (n−1)!
| Anzahl der Elemente n | 8 |
| Kreispermutationen (n−1)! | =FAKULTÄT(B1-1) |
Tabelle zur Berechnung der Kreispermutationen von r von n Elementen
| Gesamtzahl n | 8 |
| Anzahl im Kreis r | 3 |
| Anordnungen in einer Reihe nPr | =VARIATIONEN(B1;B2) |
| Kreispermutationen nPr÷r | =B3/B2 |
Tabelle zur Berechnung der Perlenketten (n−1)!÷2
| Anzahl der Elemente n | 5 |
| Anzahl der Perlenketten | =WENN(B1<=2;1;FAKULTÄT(B1-1)/2) |
Tabelle zur Berechnung der Kreispermutationen, bei denen 2 bestimmte Elemente nebeneinander oder nicht nebeneinander stehen
| Anzahl der Elemente n | 6 |
| Ohne Bedingung (n−1)! | =FAKULTÄT(B1-1) |
| 2 nebeneinander 2·(n−2)! | =2*FAKULTÄT(B1-2) |
| 2 nicht nebeneinander | =B2-B3 |
Nach dem Einfügen sind die oberen Zeilen (die Anzahlen) Ihre Eingaben, und die unteren Zeilen werden automatisch berechnet.
FAKULTÄT berechnet die Fakultät (n!) und VARIATIONEN die Variationen (nPr).
Die erste Tabelle sind 8 Personen an einem runden Tisch, und die Antwort ist 5040.
Die zweite Tabelle setzt 3 von 8 Personen an einen runden Tisch: nPr ist 336, und geteilt durch r ergibt das 112.
Das WENN in der dritten Tabelle behandelt den Fall, dass n höchstens 2 ist, in dem nicht durch 2 geteilt werden darf. Geben Sie für n die 5 ein, erhalten Sie 12.
Die vierte Tabelle ist das Beispiel mit 6 Personen an einem runden Tisch: 120 ohne Bedingung, 48 nebeneinander und 72 nicht nebeneinander.
FAKULTÄT berechnet die Fakultät (n!) und VARIATIONEN die Variationen (nPr).
Die erste Tabelle sind 8 Personen an einem runden Tisch, und die Antwort ist 5040.
Die zweite Tabelle setzt 3 von 8 Personen an einen runden Tisch: nPr ist 336, und geteilt durch r ergibt das 112.
Das WENN in der dritten Tabelle behandelt den Fall, dass n höchstens 2 ist, in dem nicht durch 2 geteilt werden darf. Geben Sie für n die 5 ein, erhalten Sie 12.
Die vierte Tabelle ist das Beispiel mit 6 Personen an einem runden Tisch: 120 ohne Bedingung, 48 nebeneinander und 72 nicht nebeneinander.
Mit Google Tabellen berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle zur Berechnung der Kreispermutationen (n−1)!
| Anzahl der Elemente n | 8 |
| Kreispermutationen (n−1)! | =FAKULTÄT(B1-1) |
Tabelle zur Berechnung der Kreispermutationen von r von n Elementen
| Gesamtzahl n | 8 |
| Anzahl im Kreis r | 3 |
| Anordnungen in einer Reihe nPr | =VARIATIONEN(B1;B2) |
| Kreispermutationen nPr÷r | =B3/B2 |
Tabelle zur Berechnung der Perlenketten (n−1)!÷2
| Anzahl der Elemente n | 5 |
| Anzahl der Perlenketten | =WENN(B1<=2;1;FAKULTÄT(B1-1)/2) |
Tabelle zur Berechnung der Kreispermutationen, bei denen 2 bestimmte Elemente nebeneinander oder nicht nebeneinander stehen
| Anzahl der Elemente n | 6 |
| Ohne Bedingung (n−1)! | =FAKULTÄT(B1-1) |
| 2 nebeneinander 2·(n−2)! | =2*FAKULTÄT(B1-2) |
| 2 nicht nebeneinander | =B2-B3 |
Dieselben Formeln wie in Excel (FAKULTÄT, VARIATIONEN und WENN) funktionieren unverändert. Kopieren Sie die gesamte Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Anzahlen durch Ihre eigenen Zahlen.
Mit Python berechnen
from math import factorial, perm
n = 8 # Anzahl der Elemente
r = 3 # Anzahl im Kreis (bei Auswahl aus n)
# Kreispermutationen: alle n Elemente im Kreis
circular = factorial(n - 1)
# Kreispermutationen: r von n Elementen im Kreis
circular_select = perm(n, r) // r
# Perlenketten: Wenden gilt als gleich
# bei n = 1 oder 2 ändert das Wenden die Anordnung nicht, also 1 Möglichkeit ohne Teilen durch 2
necklace = 1 if n <= 2 else factorial(n - 1) // 2
# Kreispermutationen mit 2 bestimmten Elementen nebeneinander / nicht nebeneinander (für n ab 3)
adjacent = 2 * factorial(n - 2)
not_adjacent = factorial(n - 1) - adjacent
print(f"Kreispermutationen: {circular}")
print(f"Kreispermutationen von {r} von {n}: {circular_select}")
print(f"Perlenketten: {necklace}")
print(f"Nebeneinander: {adjacent} Nicht nebeneinander: {not_adjacent}")
Der Code läuft nur mit dem Standardmodul math (perm braucht Python 3.8 oder neuer). Beim Teilen ganzer Zahlen nutzen Sie „//“, das das Ergebnis nicht in eine Dezimalzahl verwandelt. Beim Ausführen dieses Beispiels zeigt er Kreispermutationen 5040, Kreispermutationen von 3 von 8 = 112, Perlenketten 2520, nebeneinander 1440 und nicht nebeneinander 3600. Ändern Sie n und r und führen Sie den Code aus.
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
Kreispermutationen \((n-1)!\) (alle \(n\) Elemente im Kreis)
N = n! ÷ n = (n−1)!
N = \frac{n!}{n} = (n-1)!
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>N</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>n</mi><mo>!</mo></mrow>
<mi>n</mi>
</mfrac>
<mo>=</mo>
<mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>!</mo>
</mrow>
</math>
N = (n!)/n = (n-1)!
N = (n - 1)!
N := (n-1)!;
N = factorial(n-1);
N = n!/n = (n-1)!
Kreispermutationen \(\dfrac{{}_{n}\mathrm{P}_{r}}{r}\) (\(r\) von \(n\) Elementen im Kreis)
N = ₙPᵣ ÷ r
N = \frac{{}_{n}P_{r}}{r}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>N</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mmultiscripts><mi>P</mi><mi>r</mi><none/><mprescripts/><mi>n</mi><none/></mmultiscripts></mrow>
<mi>r</mi>
</mfrac>
</mrow>
</math>
N = (nPr)/r
N = (n!/(n - r)!)/r
N := numbperm(n, r)/r;
N = nchoosek(n,r)*factorial(r)/r;
N = nPr/r
Perlenketten \(\dfrac{(n-1)!}{2}\) (Wenden gilt als gleich)
M = (n−1)! ÷ 2
M = \frac{(n-1)!}{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>M</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>!</mo></mrow>
<mn>2</mn>
</mfrac>
</mrow>
</math>
M = ((n-1)!)/2
M = (n - 1)!/2
M := (n-1)!/2;
M = factorial(n-1)/2;
M = (n-1)!/2
Kreispermutationen, bei denen 2 bestimmte Elemente nebeneinander stehen, \(2 \cdot (n-2)!\)
A = 2 · (n−2)!
A = 2 \cdot (n-2)!
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>A</mi>
<mo>=</mo>
<mn>2</mn>
<mo>⋅</mo>
<mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>2</mn><mo>)</mo><mo>!</mo>
</mrow>
</math>
A = 2 * (n-2)!
A = 2 (n - 2)!
A := 2*(n-2)!;
A = 2*factorial(n-2);
A = 2(n-2)!
Kreispermutationen, bei denen 2 bestimmte Elemente nicht nebeneinander stehen, \((n-1)! - 2 \cdot (n-2)!\)
B = (n−1)! − 2 · (n−2)!
B = (n-1)! - 2 \cdot (n-2)!
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>B</mi>
<mo>=</mo>
<mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>!</mo>
<mo>−</mo>
<mn>2</mn>
<mo>⋅</mo>
<mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>2</mn><mo>)</mo><mo>!</mo>
</mrow>
</math>
B = (n-1)! - 2 * (n-2)!
B = (n - 1)! - 2 (n - 2)!
B := (n-1)! - 2*(n-2)!;
B = factorial(n-1) - 2*factorial(n-2);
B = (n-1)! - 2(n-2)!
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
Sie sind ein Assistent für Mathematik (Kombinatorik). Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (rechnen Sie nicht im Kopf und raten Sie nicht). 8 Personen sitzen an einem runden Tisch. Berechnen Sie die folgenden 4 Dinge: 1. Die Kreispermutationen aller 8 Personen (Sitzordnungen, die nach einer Drehung übereinstimmen, zählen als dieselbe 1 Möglichkeit) 2. Die Anzahl der Möglichkeiten, 3 der 8 Personen auszuwählen und an einem runden Tisch für 3 sitzen zu lassen 3. Die Perlenketten aus 8 zu einem Ring aufgereihten Perlen (Anordnungen, die nach einer Drehung oder einem Wenden übereinstimmen, zählen als 1 Möglichkeit) 4. Am runden Tisch mit 8 Personen die Anzahl der Sitzordnungen, in denen 2 bestimmte Personen nebeneinander sitzen, und in denen sie nicht nebeneinander sitzen Rechnen Sie in Python exakt mit dem Standardmodul math (factorial und perm) und zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis. Erklären Sie auch, warum jede Formel diese Form hat.
Anleitung
-
1Zahlen eingebenGeben Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
-
2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
-
3Ergebnis ablesenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
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