Wählen Sie die Art der Anordnung und geben Sie die Anzahl n der Elemente ein. Der Rechner zählt die Anordnungen im Kreis – mit Rechenweg und Abbildung.
n ist eine ganze Zahl von 1 bis 1.000. Das Feld r wird nur bei „r von n im Kreis“ verwendet. Das Ergebnis erscheint mit allen Stellen, ohne Rundung.
Ergebnis und Figur
Wählen Sie links die Art der Anordnung, geben Sie die Anzahl ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Ergebnis und Abbildung erscheinen hier.
Inhaltsverzeichnis
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Das können Sie auf dieser Seite
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Wofür braucht man diese Berechnung?
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Anleitung
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Formeln und Abbildungen
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Kreispermutationen \((n-1)!\) (alle \(n\) Elemente im Kreis)
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Kreispermutationen \(\dfrac{{}_{n}\mathrm{P}_{r}}{r}\) (\(r\) von \(n\) Elementen im Kreis)
-
Anordnungen als Perlenkette \(\dfrac{(n-1)!}{2}\) (Wenden zählt als gleich)
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Kreispermutationen mit 2 bestimmten Elementen nebeneinander, \(2 \times (n-2)!\)
-
Kreispermutationen mit 2 bestimmten Elementen getrennt, \((n-1)! - 2 \times (n-2)!\)
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Symbole und Begriffe
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Das sollten Sie vorher wissen
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So berechnen Sie es in Excel
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So berechnen Sie es in Google Tabellen
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So berechnen Sie es in Python
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So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
-
So lassen Sie ChatGPT rechnen
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Die Vorteile von DataChef
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Verwandte Funktionen
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Alle Rechner von NumberChef
Das können Sie auf dieser Seite
- Sie geben nur die Personenzahl ein und erhalten, auf wie viele Arten \(n\) Personen an einem runden Tisch sitzen können (Kreispermutationen): \((n-1)!\)
- Auch möglich: nur \(r\) von \(n\) Elementen auswählen und im Kreis anordnen, \(\dfrac{{}_{n}\mathrm{P}_{r}}{r}\)
- Der Rechner bestimmt auch Anordnungen als Perlenkette \(\dfrac{(n-1)!}{2}\), bei denen gewendete Anordnungen als gleich zählen (auch für \(n = 1\) und \(n = 2\), wo einfaches Teilen ein falsches Ergebnis liefert)
- Er zählt Sitzordnungen, bei denen zwei bestimmte Personen nebeneinander sitzen oder nicht – mit Rechenweg, der die beiden als einen Block behandelt
- Das Ergebnis wird mit allen Stellen ohne Rundung angezeigt. Bei langen Zahlen steht zusätzlich ein Näherungswert wie \(1{,}23 \cdot 10^{35}\), damit Sie die Größe auf einen Blick sehen
- Abbildungen mit gedrehten Kreisen zeigen, warum man \(n!\) durch \(n\) teilt. Außerdem gibt es Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python
Diese Seite geht davon aus, dass alle Elemente unterscheidbar sind (keine gleichen Elemente). Variationen \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\) und Kombinationen \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\) in einer Reihe berechnen Sie auf den verwandten Seiten unten.
Wofür braucht man diese Berechnung?
Sitzordnung an runden Tischen planen (Essen, Besprechung, Hochzeit)
An einem runden Tisch ändert sich nicht, wer neben wem sitzt, wenn man den ganzen Tisch dreht. Die Zahl der Sitzordnungen ist deshalb nicht \(n!\) wie in einer Reihe, sondern die Kreispermutation \((n-1)!\): 120 Möglichkeiten für 6 Personen, 5.040 für 8 Personen.
Wünsche wie „diese beiden zusammen (oder getrennt) setzen“ verändern die Anzahl stark. Bei 6 Personen gibt es 48 Sitzordnungen mit 2 bestimmten Personen nebeneinander und 72 mit den beiden getrennt. Statt zu raten, wissen Sie so genau, unter wie vielen Sitzplänen Sie bei der Planung einer Feier wählen.
Die Zahl möglicher Lieferrouten abschätzen (Logistik, Problem des Handlungsreisenden)
Betrachten Sie eine Rundtour, die \(n\) Orte je einmal anfährt und zum Start zurückkehrt; das Depot zählt als einer der Orte. Dieselbe Tour bleibt derselbe Ring, egal wo man beginnt (Drehung), und ist jede Strecke in beide Richtungen gleich lang, ergibt die umgekehrte Fahrt dieselbe Länge (Wenden). Die Zahl verschiedener Routen ist also die der Perlenkette: \(\dfrac{(n-1)!}{2}\).
Bei 10 Orten einschließlich Depot sind das 181.440 Routen, bei 15 Orten etwa \(4{,}36 \cdot 10^{10}\). Alle durchzuprobieren, um die kürzeste zu finden, ist nicht machbar, deshalb nutzt Tourenplanungssoftware geschickte Abkürzungen (Optimierungsverfahren). Diese Zahl erklärt, warum „einfach alle Routen prüfen“ nicht funktioniert.
Armbänder und Ketten gestalten (Schmuck)
Fädelt man \(n\) Perlen in verschiedenen Farben oder Formen zu einem Ring auf, gibt es \(\dfrac{(n-1)!}{2}\) Designs (Perlenkette). Ein Ring bleibt derselbe, ob man ihn dreht oder wendet, deshalb teilt man die Kreispermutationen noch einmal durch \(2\). Das sind 12 Designs für 5 Perlen und 60 für 6 Perlen.
Hat das Schmuckstück aber eine erkennbare Vorder- und Rückseite und kann nicht gewendet getragen werden, etwa Perlen mit Muster nur auf einer Seite, zählt Wenden nicht als gleich. Dann teilt man nicht durch \(2\) und zählt die Kreispermutationen \((n-1)!\) (120 für 6 Perlen). Allein die Frage, ob man wenden kann, verdoppelt die Zahl der Designs.
Die Zugreihenfolge bei Brett- und Kartenspielen
Bei vielen Spielen geht der Zug reihum in eine Richtung. Wer nach wem dran ist, ändert sich nicht, wenn man alle Plätze dreht – es ist eine Kreispermutation, \((n-1)!\). Das sind 6 Reihenfolgen bei 4 Spielern und 24 bei 5 Spielern.
Ist es ein Vorteil, anzufangen, will man vielleicht auch unterscheiden, wer beginnt. Dann multipliziert man die \((n-1)!\) Reihenfolgen mit den \(n\) Möglichkeiten für den Startspieler und erhält \(n!\) (24 bei 4 Spielern). Wer „nur die Sitzreihenfolge“ und „mit Startspieler“ auseinanderhält, findet leichter eine faire Auslosung.
Dienste und Schichten rotieren lassen (Schule und Arbeit)
Ein Dienstplan, der der Reihe nach durchläuft und am Ende wieder oben beginnt, ist derselbe Kreislauf, egal wer anfängt – er zählt als Kreispermutation. Ein Plan für 5 Personen hat \((5-1)! = 24\) Möglichkeiten.
Kommt die Bedingung „diese beiden nicht direkt hintereinander (nebeneinander)“ hinzu, zieht man die Fälle mit beiden nebeneinander vom Ganzen ab: \((n-1)! - 2 \times (n-2)!\). Bei 5 Personen bleiben 24 − 12 = 12. Die Formel zeigt deutlich, wie eine einzige Bedingung die Auswahl halbiert.
Formeln und Abbildungen
Kreispermutationen \((n-1)!\) (alle \(n\) Elemente im Kreis)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(N\)
\(=\)
\(\dfrac{n!}{n}\)
\(=\)
\((n-1)!\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(N\): Anzahl der Kreispermutationen
\(=\)
①
\(\dfrac{\text{Anordnungen von }n\text{ in einer Reihe, }n!}{\text{durch Drehung gleiche Anordnungen, }n}\)
\(=\)
②
\((n-1)!\): Fakultät von \(n-1\), eins weniger
Die Formel in Worten
①
Die
Anordnungen von \(n\) Elementen in einer Reihe, \(n!\), geteilt durch die \(n\) durch Drehung gleichen Anordnungen,
sind gleich der
②
\((n-1)!\): Fakultät von \(n-1\), eins weniger
③
– das ist die
\(N\): Anzahl der Kreispermutationen
Einfaches Beispiel
So viele Möglichkeiten gibt es, \(4\) Personen an einen runden Tisch zu setzen:
Kreispermutationen von 4 Personen
\(=\)
\(\dfrac{\text{4 Personen in einer Reihe: }24}{\text{durch Drehung gleich: }4}\)
\(=\)
Fakultät von \(3\), \(3!\)
\(4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\)
\(\dfrac{24}{4} = 6\)
\((4-1)! = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6\)
Der Grundgedanke
Ordnet man etwas im Kreis an, gilt die Regel: Anordnungen, die durch Drehen ineinander übergehen, zählen als eine einzige Möglichkeit. Dreht man einen runden Tisch, an dem alle sitzen, ändert sich nichts daran, wer neben wem sitzt.
Warum man durch \(n\) teilt, sieht man am schnellsten mit \(4\) Personen A, B, C und D. Die Reihen ABCD, BCDA, CDAB und DABC sind als Buchstabenfolgen verschieden. Setzt man aber jede in einen Kreis und liest von oben im Uhrzeigersinn, entsteht immer derselbe Ring: „Rechts von A sitzt B, rechts von B sitzt C, rechts von C sitzt D und rechts von D sitzt A.“ Jede Reihe schiebt nur den ersten Buchstaben ans Ende.
Zu jedem Ring gehören also genau \(n\) Reihen (in einer vollen Umdrehung kann man genau \(n\)-mal verschieben). Die \(n!\) Reihen zählen jeden Ring \(n\)-mal – teilt man durch \(n\), fallen die Mehrfachzählungen weg, und es bleibt die Anzahl der verschiedenen Ringe.
Man kann auch so denken: Halten Sie ein Element fest. Steht der Platz einer Person zuerst fest, lässt sich die Anordnung nicht mehr in eine andere drehen. Die übrigen \(n-1\) Personen werden ganz normal angeordnet, das ergibt \((n-1)!\) Möglichkeiten. Sie kommen zum selben Ergebnis, ohne zu teilen.
Kreispermutationen \(\dfrac{{}_{n}\mathrm{P}_{r}}{r}\) (\(r\) von \(n\) Elementen im Kreis)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(N\)
\(=\)
\(\dfrac{{}_{n}\mathrm{P}_{r}}{r}\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
②
\(N\): Anzahl der Möglichkeiten im Kreis
\(=\)
①
\(\dfrac{r\text{ von }n\text{ in einer Reihe, }{}_{n}\mathrm{P}_{r}}{\text{durch Drehung gleiche Anordnungen, }r}\)
Die Formel in Worten
①
Die
Anordnungen von \(r\) aus \(n\) Elementen in einer Reihe, \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\), geteilt durch die \(r\) durch Drehung gleichen Anordnungen,
ergeben die
②
\(N\): Anzahl der Möglichkeiten im Kreis
Einfaches Beispiel
So viele Möglichkeiten gibt es, \(3\) von \(8\) Personen auszuwählen und an einen runden Dreiertisch zu setzen:
Kreispermutationen von 3 aus 8 Personen
\(=\)
\(\dfrac{\text{3 von 8 in einer Reihe: }336}{\text{durch Drehung gleich: }3}\)
\({}_{8}\mathrm{P}_{3} = 8 \times 7 \times 6 = 336\)
\(\dfrac{336}{3} = 112\)
Der Grundgedanke
Stellen Sie sich einen runden Tisch mit nur \(r\) Plätzen vor, an den Sie Personen aus \(n\) Kandidaten setzen. Im Kreis sind nur \(r\) Elemente, deshalb fallen jeweils \(r\) Anordnungen durch Drehung zusammen. Teilen Sie also nicht versehentlich durch \(n\).
Für \(r = n\) ist \({}_{n}\mathrm{P}_{n} = n!\) und damit \(\dfrac{n!}{n} = (n-1)!\) – genau die Formel von oben. Diese Formel ist also die allgemeine Form, und \((n-1)!\) ist ein Sonderfall davon.
Anordnungen als Perlenkette \(\dfrac{(n-1)!}{2}\) (Wenden zählt als gleich)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(M\)
\(=\)
\(\dfrac{(n-1)!}{2}\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
②
\(M\): Anzahl der Anordnungen als Perlenkette
\(=\)
①
\(\dfrac{\text{Kreispermutationen, }(n-1)!}{\text{durch Wenden gleiche Anordnungen, }2}\)
Die Formel in Worten
①
Die
Anzahl der Kreispermutationen \((n-1)!\), geteilt durch die \(2\) durch Wenden gleichen Anordnungen,
ergibt die
②
\(M\): Anzahl der Anordnungen als Perlenkette
(für \(n\) ab \(3\))
Einfaches Beispiel
So viele Möglichkeiten gibt es, \(5\) verschiedenfarbige Perlen zu einem Armband aufzufädeln:
5 Perlen als Perlenkette
\(=\)
\(\dfrac{\text{5 Perlen im Kreis: }24}{\text{durch Wenden gleich: }2}\)
\((5-1)! = 4! = 24\)
\(\dfrac{24}{2} = 12\)
Der Grundgedanke
Wendet man eine Halskette oder ein Armband auf dem Tisch, tauschen links und rechts die Plätze. Ob man den Ring dreht oder wendet – es bleibt dasselbe Schmuckstück. Deshalb teilt man die Kreispermutationen noch einmal durch \(2\). Man kann auch sagen: „\(n\) gleiche durch Drehung und \(2\) durch Wenden, also jeweils \(2n\) gleiche Anordnungen“, und \(\dfrac{n!}{2n}\) schreiben. Das ist dasselbe.
Ob Kreispermutation oder Perlenkette, entscheidet die Frage: Kann man den Ring hochheben und umdrehen? Einen runden Tisch mit Gästen kann man nicht umdrehen – die Sitzordnung ist eine Kreispermutation. Ein Armband kann man hochheben und wenden – es ist eine Perlenkette. Wenn in einer Aufgabe ein Ring, eine Kette, ein Armband, ein Schlüsselring oder eine Girlande vorkommt, prüfen Sie, ob Wenden als gleich zählt. So verwechseln Sie die beiden nicht.
Vorsicht bei \(n = 1\) und \(n = 2\): Ein Ring aus 1 oder 2 Perlen sieht gewendet genau gleich aus. Die Anordnungen bilden keine Paare, und die Formel lieferte \(\dfrac{1}{2}\) Möglichkeit. Richtig ist in beiden Fällen \(1\) (dieser Rechner berücksichtigt das automatisch).
Ab \(n = 3\) bildet jede Anordnung mit ihrer gewendeten Form ein Paar, deshalb zählt das Teilen durch \(2\) richtig.
Kreispermutationen mit 2 bestimmten Elementen nebeneinander, \(2 \times (n-2)!\)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(A\)
\(=\)
\((n-2)!\)
\(\times\)
\(2\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(A\): Anordnungen mit den 2 nebeneinander
\(=\)
①
\((n-2)!\): Kreispermutationen von \(n-1\) Elementen, Block als eines
\(\times\)
②
\(2\): Reihenfolgen der 2 im Block
Die Formel in Worten
①
Multipliziert man die
\((n-2)!\): Kreispermutationen von \(n-1\) Elementen, wobei die 2, die nebeneinander sein sollen, als ein Block zählen,
②
mit den
\(2\): Reihenfolgen der 2 im Block
,
③
erhält man die
\(A\): Anordnungen mit den 2 nebeneinander
Einfaches Beispiel
Sitzen \(6\) Personen an einem runden Tisch, gibt es so viele Möglichkeiten, dass Lena und Paul nebeneinander sitzen:
die 2 nebeneinander
\(=\)
5 im Kreis, die 2 als Block, \(4!\)
\(\times\)
Reihenfolgen der 2 im Block, \(2\)
\((6-2)! = 4! = 24\)
\(24 \times 2 = 48\)
Der Grundgedanke
Bei der Bedingung „müssen nebeneinander sitzen“ ist der übliche Trick, die beiden gedanklich zusammenzubinden: als Block zusammenfassen. Werden 2 von 6 Personen zu einem Block, sind 5 Elemente im Kreis anzuordnen: „der Block und die 4 anderen“. Das ist eine Kreispermutation von 5 Elementen, also \((5-1)! = 4!\) Möglichkeiten.
Zum Schluss multipliziert man mit den \(2\) Reihenfolgen im Block: „Lena, dann Paul“ oder „Paul, dann Lena“. Der häufigste Fehler ist, diese Reihenfolge im Block zu vergessen.
Die einzige Ausnahme ist \(n = 2\). Bei nur 2 Personen sitzen sie immer nebeneinander, das Ergebnis ist also \(1\). Die Block-Formel ergäbe aber \(2 \times 0! = 2\) (dieser Rechner berücksichtigt das automatisch).
Kreispermutationen mit 2 bestimmten Elementen getrennt, \((n-1)! - 2 \times (n-2)!\)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(B\)
\(=\)
\((n-1)!\)
\(-\)
\((n-2)!\)
\(\times\)
\(2\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
④
\(B\): Anordnungen mit den 2 getrennt
\(=\)
①
\((n-1)!\): Kreispermutationen ohne Bedingung
\(-\)
②
\((n-2)!\): Kreispermutationen von \(n-1\) Elementen, Block als eines
\(\times\)
③
\(2\): Reihenfolgen der 2 im Block
Die Formel in Worten
①
Zieht man von den
\((n-1)!\): Kreispermutationen ohne Bedingung
②
die
\((n-2)!\): Kreispermutationen von \(n-1\) Elementen mit den 2 als Block
③
mal die
\(2\): Reihenfolgen der 2 im Block
ab (dieses Produkt ist die Anzahl mit den 2 nebeneinander),
④
erhält man die
\(B\): Anordnungen mit den 2 getrennt
Einfaches Beispiel
Sitzen \(6\) Personen an einem runden Tisch, gibt es so viele Möglichkeiten, dass Lena und Paul nicht nebeneinander sitzen:
die 2 getrennt
\(=\)
6 Personen im Kreis, \(5!\)
\(-\)
5 im Kreis, die 2 als Block, \(4!\)
\(\times\)
Reihenfolgen der 2 im Block, \(2\)
\((6-1)! = 5! = 120\)
\(2 \times (6-2)! = 2 \times 24 = 48\)
\(120 - 48 = 72\)
Der Grundgedanke
„Nicht nebeneinander“ direkt zu zählen hieße, viele Fälle für die Plätze jeder Person durchzugehen. Einfacher ist: „alle Anordnungen“ minus „Anordnungen mit beiden nebeneinander“. Das Gegenteil des Gesuchten (das Gegenereignis) zu zählen und vom Ganzen abzuziehen, ist ein Standardverfahren.
Vereinfacht kann man auch \((n-1)! - 2(n-2)! = (n-1)(n-2)! - 2(n-2)! = (n-3) \times (n-2)!\) schreiben. Für \(n = 3\) ergibt sich \(0 \times 1! = 0\). An einem runden Tisch für 3 sitzt tatsächlich jedes Paar nebeneinander, \(0\) ist also richtig.
Im Kreis zählen Anordnungen, die durch Drehung ineinander übergehen, als eine einzige. Deshalb teilt man die \(n!\) Anordnungen in einer Reihe durch \(n\) und erhält \((n-1)!\). Zählt auch Wenden als gleich, wie bei einer Perlenkette, teilt man noch einmal durch \(2\): \(\dfrac{(n-1)!}{2}\) (einzige Ausnahme ist \(n \le 2\) mit dem Ergebnis \(1\)).
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(n\) | n | Die Gesamtzahl der anzuordnenden Elemente. Der Buchstabe steht oft für eine Anzahl (von lateinisch numerus, „Zahl“). Hier ist es die Zahl der Personen am runden Tisch oder der Perlen auf einem Ring. |
| \(r\) | r | Die Anzahl der Elemente, die aus den \(n\) ausgewählt und tatsächlich angeordnet werden. Sie steht zusammen mit \(n\), wie in \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\), gelesen „\(r\) aus \(n\)“. |
| \(n!\) | n Fakultät | Die Fakultät, \(n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1\): die Anzahl der Möglichkeiten, alle \(n\) Elemente in einer Reihe anzuordnen. Das Ausrufezeichen soll 1808 der elsässische Mathematiker Christian Kramp eingeführt haben. Festgelegt ist \(0! = 1\). |
| \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\) | n P r | Variationen: die Anzahl der Möglichkeiten, \(r\) von \(n\) Elementen auszuwählen und in einer Reihe anzuordnen, \({}_{n}\mathrm{P}_{r} = n \times (n-1) \times \cdots \times (n-r+1)\). Das \(\mathrm{P}\) kommt vom englischen „permutation“, so heißt auch die Taste auf dem Taschenrechner. |
| \(N\) | großes N | Der Buchstabe für die Anzahl der Kreispermutationen auf dieser Seite. Großbuchstaben wie \(N\) stehen oft für eine gesuchte Anzahl. |
| \(M\) | M | Der Buchstabe für die Anzahl der Anordnungen als Perlenkette auf dieser Seite. Er steht im Alphabet neben \(N\) und wird für eine zweite Anzahl neben \(N\) verwendet. |
| \(A,\ B\) | A, B | Auf dieser Seite ist \(A\) die Anzahl der Anordnungen mit 2 bestimmten Elementen nebeneinander und \(B\) die Anzahl mit den beiden getrennt. Buchstaben vom Anfang des Alphabets stehen üblicherweise für feste gesuchte Größen. |
| \((n-1)!\) | n minus 1 Fakultät | Der Term für die Anzahl der Kreispermutationen: Was übrig bleibt, wenn man bei \(n\) Elementen im Kreis die \(n\)-fache Zählung durch Drehungen entfernt. Mit „ein Element festhalten und die übrigen \(n-1\) anordnen“ kommt man auf denselben Term. |
Begriffe
| Anzahl der Möglichkeiten | Wie viele verschiedene Wege es insgesamt gibt, etwas unter einer Bedingung zu tun. Jede Frage „Wie viele Möglichkeiten gibt es?“ fragt danach – das ist das Thema der Kombinatorik. |
| Variation | Eine Auswahl von Elementen, bei der die Reihenfolge zählt, oder die Anzahl solcher Auswahlen. Die Anordnung in einer Reihe zählt man mit \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\). Werden alle \(n\) Elemente angeordnet, spricht man von einer Permutation. |
| Anordnung in einer Reihe | Die gewöhnliche Anordnung in einer geraden Reihe, im Gegensatz zur Kreispermutation. Eine Reihe hat Enden, verschiebt man sie, entsteht eine andere Anordnung. |
| Kreispermutation | Eine Anordnung von Elementen im Kreis (Ring). Anordnungen, die durch Drehung ineinander übergehen, zählen als eine, deshalb gibt es bei \(n\) Elementen \((n-1)!\) Möglichkeiten. |
| Perlenkette | Eine Kreispermutation, bei der auch durch Wenden gleiche Anordnungen als eine zählen. So zählt man Ringe, die man umdrehen kann, etwa Halsketten und Armbänder: \(\dfrac{(n-1)!}{2}\) Möglichkeiten für \(n\) ab \(3\). (In der höheren Kombinatorik unterscheidet man „Halskette“ – nur Drehungen – und „Armband“ – Drehungen und Wenden.) |
| Fakultät | Das Produkt aller ganzen Zahlen von \(1\) bis \(n\) (Zeichen \(n!\)). Es ist die Anzahl der Möglichkeiten, \(n\) Elemente in einer Reihe anzuordnen, und wächst mit \(n\) explosionsartig (\(10! = 3.628.800\)). |
| durch Drehung gleich | Dreht man einen Ring, stimmt er genau mit einer anderen Anordnung überein. Bei Kreispermutationen unterscheidet man solche Anordnungen nicht, sie zählen als eine. In einer vollen Umdrehung entstehen \(n\) gleiche Anordnungen. |
| durch Wenden gleich | Wendet man einen Ring (links und rechts vertauscht wie im Spiegel), stimmt er mit einer anderen Anordnung überein. Bei der Perlenkette zählen auch diese als eine. |
| als Block zusammenfassen | Elemente, die nebeneinander sein müssen, gedanklich zusammenbinden und wie ein einziges Element behandeln. Die Gesamtzahl sinkt um 1, und zum Schluss multipliziert man mit der Zahl der Reihenfolgen im Block. |
| Gegenereignis | Alle Fälle, in denen eine Bedingung nicht eintritt, geschrieben \(\overline{A}\). Eine schwer direkt zählbare Bedingung wie „nicht nebeneinander“ bestimmt man, indem man die Fälle „nebeneinander“ vom Ganzen abzieht. |
| Mehrfachzählung | Dasselbe zwei- oder mehrmals zählen. Bei Kreispermutationen wird jeder Ring \(n\)-mal gezählt, deshalb teilt man zum Schluss durch \(n\). |
| ein Element festhalten | Der übliche Denkweg bei Kreispermutationen: Legt man den Platz einer Person zuerst fest, lässt sich die Anordnung nicht mehr in eine andere drehen. Es ist dann dasselbe, wie die übrigen \(n-1\) Elemente in einer Reihe anzuordnen. |
| Produktregel | Die Zählregel: Gibt es \(a\) Möglichkeiten für A und zu jeder davon \(b\) Möglichkeiten für B, gibt es insgesamt \(a \times b\) Möglichkeiten (auch Multiplikationsregel oder Zählprinzip). Auch das Multiplizieren der Kreispermutationen des Blocks mit den \(2\) Reihenfolgen nutzt diese Regel. |
Das sollten Sie vorher wissen
Damit Sie die Rechnung auf dieser Seite nicht nur per Knopfdruck, sondern mit Verständnis nutzen, hilft Ihnen Folgendes.
Wenn Sie nicht weiterkommen, wiederholen Sie am besten die Themen in dieser Liste.
| Grundlagen des Abzählens (Klasse 7–10, 12–16 Jahre) |
|
| Variationen und Fakultät (Klasse 10 oder Oberstufe, 15–17 Jahre) |
|
| Mehrfachzählungen durch Teilen entfernen (Klasse 3–5, 8–11 Jahre) |
|
| Drehung und Symmetrie von Figuren (Klasse 5–7, 10–13 Jahre) |
|
| Das Gegenereignis (Klasse 8–10, 13–16 Jahre) |
|
So berechnen Sie es in Excel
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle für die Kreispermutationen (n−1)!
| Anzahl n | 8 |
| Kreispermutationen (n−1)! | =FAKULTÄT(B1-1) |
Tabelle für die Kreispermutationen von r aus n
| Gesamtzahl n | 8 |
| Anzahl im Kreis r | 3 |
| In einer Reihe nPr | =VARIATIONEN(B1;B2) |
| Kreispermutationen nPr : r | =B3/B2 |
Tabelle für die Anordnungen als Perlenkette (n−1)! : 2
| Anzahl n | 5 |
| Als Perlenkette | =WENN(B1<=2;1;FAKULTÄT(B1-1)/2) |
Tabelle für Kreispermutationen mit 2 bestimmten Elementen nebeneinander oder getrennt
| Anzahl n | 6 |
| Ohne Bedingung (n−1)! | =FAKULTÄT(B1-1) |
| 2 nebeneinander 2×(n−2)! | =2*FAKULTÄT(B1-2) |
| 2 getrennt | =B2-B3 |
Nach dem Einfügen sind die oberen Zeilen (die Anzahlen) Ihre Eingaben, die unteren Zeilen werden automatisch berechnet.
FAKULTÄT berechnet die Fakultät (n!), VARIATIONEN die Variationen (nPr).
Die erste Tabelle zeigt 8 Personen an einem runden Tisch, das Ergebnis ist 5040.
Die zweite setzt 3 von 8 Personen an einen runden Tisch: nPr ist 336, geteilt durch r ergibt sich 112.
Das WENN in der dritten Tabelle fängt den Fall n ≤ 2 ab, in dem man nicht durch 2 teilen darf. Mit n = 5 erhalten Sie 12.
Die vierte Tabelle ist das Beispiel mit 6 Personen am runden Tisch: 120 ohne Bedingung, 48 nebeneinander und 72 getrennt.
FAKULTÄT berechnet die Fakultät (n!), VARIATIONEN die Variationen (nPr).
Die erste Tabelle zeigt 8 Personen an einem runden Tisch, das Ergebnis ist 5040.
Die zweite setzt 3 von 8 Personen an einen runden Tisch: nPr ist 336, geteilt durch r ergibt sich 112.
Das WENN in der dritten Tabelle fängt den Fall n ≤ 2 ab, in dem man nicht durch 2 teilen darf. Mit n = 5 erhalten Sie 12.
Die vierte Tabelle ist das Beispiel mit 6 Personen am runden Tisch: 120 ohne Bedingung, 48 nebeneinander und 72 getrennt.
So berechnen Sie es in Google Tabellen
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle für die Kreispermutationen (n−1)!
| Anzahl n | 8 |
| Kreispermutationen (n−1)! | =FAKULTÄT(B1-1) |
Tabelle für die Kreispermutationen von r aus n
| Gesamtzahl n | 8 |
| Anzahl im Kreis r | 3 |
| In einer Reihe nPr | =VARIATIONEN(B1;B2) |
| Kreispermutationen nPr : r | =B3/B2 |
Tabelle für die Anordnungen als Perlenkette (n−1)! : 2
| Anzahl n | 5 |
| Als Perlenkette | =WENN(B1<=2;1;FAKULTÄT(B1-1)/2) |
Tabelle für Kreispermutationen mit 2 bestimmten Elementen nebeneinander oder getrennt
| Anzahl n | 6 |
| Ohne Bedingung (n−1)! | =FAKULTÄT(B1-1) |
| 2 nebeneinander 2×(n−2)! | =2*FAKULTÄT(B1-2) |
| 2 getrennt | =B2-B3 |
In Google Tabellen mit deutscher Spracheinstellung funktionieren dieselben Formeln wie in Excel (FAKULTÄT, VARIATIONEN und WENN). Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Anzahlen durch Ihre eigenen Zahlen.
So berechnen Sie es in Python
from math import factorial, perm
n = 8 # Anzahl der Elemente
r = 3 # Anzahl im Kreis (bei Auswahl aus n)
# Kreispermutationen: alle n Elemente im Kreis
circular = factorial(n - 1)
# Kreispermutationen: r von n Elementen im Kreis
circular_select = perm(n, r) // r
# Perlenkette: Wenden zählt als gleich
# bei n = 1 oder 2 ändert Wenden die Anordnung nicht, also 1 ohne Teilen durch 2
necklace = 1 if n <= 2 else factorial(n - 1) // 2
# Kreispermutationen mit 2 bestimmten Elementen nebeneinander / getrennt (für n ab 3)
adjacent = 2 * factorial(n - 2)
not_adjacent = factorial(n - 1) - adjacent
print(f"Kreispermutationen: {circular}")
print(f"Kreispermutationen von {r} aus {n}: {circular_select}")
print(f"Als Perlenkette: {necklace}")
print(f"Nebeneinander: {adjacent} Getrennt: {not_adjacent}")
Es genügt das Modul math der Standardbibliothek (perm gibt es ab Python 3.8). Teilen Sie ganze Zahlen mit „//“, dann wird das Ergebnis keine Dezimalzahl. Dieses Beispiel liefert Kreispermutationen 5040, Kreispermutationen von 3 aus 8 = 112, als Perlenkette 2520, nebeneinander 1440 und getrennt 3600. Ändern Sie n und r und führen Sie den Code aus.
So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
Kreispermutationen \((n-1)!\) (alle \(n\) Elemente im Kreis)
N = n! ÷ n = (n−1)!
N = \frac{n!}{n} = (n-1)!
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>N</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>n</mi><mo>!</mo></mrow>
<mi>n</mi>
</mfrac>
<mo>=</mo>
<mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>!</mo>
</mrow>
</math>
N = (n!)/n = (n-1)!
N = (n - 1)!
N := (n-1)!;
N = factorial(n-1);
N = n!/n = (n-1)!
Kreispermutationen \(\dfrac{{}_{n}\mathrm{P}_{r}}{r}\) (\(r\) von \(n\) Elementen im Kreis)
N = ₙPᵣ ÷ r
N = \frac{{}_{n}P_{r}}{r}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>N</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mmultiscripts><mi>P</mi><mi>r</mi><none/><mprescripts/><mi>n</mi><none/></mmultiscripts></mrow>
<mi>r</mi>
</mfrac>
</mrow>
</math>
N = (nPr)/r
N = (n!/(n - r)!)/r
N := numbperm(n, r)/r;
N = nchoosek(n,r)*factorial(r)/r;
N = nPr/r
Anordnungen als Perlenkette \(\dfrac{(n-1)!}{2}\) (Wenden zählt als gleich)
M = (n−1)! ÷ 2
M = \frac{(n-1)!}{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>M</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>!</mo></mrow>
<mn>2</mn>
</mfrac>
</mrow>
</math>
M = ((n-1)!)/2
M = (n - 1)!/2
M := (n-1)!/2;
M = factorial(n-1)/2;
M = (n-1)!/2
Kreispermutationen mit 2 bestimmten Elementen nebeneinander, \(2 \times (n-2)!\)
A = 2 × (n−2)!
A = 2 \times (n-2)!
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>A</mi>
<mo>=</mo>
<mn>2</mn>
<mo>×</mo>
<mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>2</mn><mo>)</mo><mo>!</mo>
</mrow>
</math>
A = 2 * (n-2)!
A = 2 (n - 2)!
A := 2*(n-2)!;
A = 2*factorial(n-2);
A = 2(n-2)!
Kreispermutationen mit 2 bestimmten Elementen getrennt, \((n-1)! - 2 \times (n-2)!\)
B = (n−1)! − 2 × (n−2)!
B = (n-1)! - 2 \times (n-2)!
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>B</mi>
<mo>=</mo>
<mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>!</mo>
<mo>−</mo>
<mn>2</mn>
<mo>×</mo>
<mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>2</mn><mo>)</mo><mo>!</mo>
</mrow>
</math>
B = (n-1)! - 2 * (n-2)!
B = (n - 1)! - 2 (n - 2)!
B := (n-1)! - 2*(n-2)!;
B = factorial(n-1) - 2*factorial(n-2);
B = (n-1)! - 2(n-2)!
So lassen Sie ChatGPT rechnen
Sie sind ein Rechenassistent für Mathematik (Kombinatorik). Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (nicht im Kopf rechnen und nicht schätzen). 8 Personen sitzen an einem runden Tisch. Bestimmen Sie die folgenden 4 Werte: 1. Die Kreispermutationen aller 8 Personen (Sitzordnungen, die durch Drehung übereinstimmen, zählen als eine) 2. Die Anzahl der Möglichkeiten, 3 der 8 Personen auszuwählen und an einen runden Dreiertisch zu setzen 3. Die Anordnungen von 8 Perlen auf einer Kette (Anordnungen, die durch Drehen oder Wenden übereinstimmen, zählen als eine) 4. Am runden Tisch mit 8 Personen die Anzahl der Sitzordnungen, bei denen 2 bestimmte Personen nebeneinander sitzen, und die, bei denen sie nicht nebeneinander sitzen Rechnen Sie in Python exakt mit dem Standardmodul math (factorial und perm) und nennen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis. Erklären Sie auch, warum jede Formel diese Form hat.
Anleitung
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1Werte eingebenTragen Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
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2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
-
3Ergebnis ansehenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
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