Plattenzuschnitt berechnen (Zuschnittoptimierung: Wie viele Platten brauche ich?)

Geben Sie die Maße der Platte, die Schnittfuge, die Maserung sowie Breite, Höhe und Anzahl der zuzuschneidenden Teile ein (bis zu 8 Sorten; Zeilen, in denen Breite und Höhe beide leer sind, werden ignoriert). Dicke und Preis je Platte dürfen leer bleiben.

Einheiten

Maße der Platte (Breite × Höhe, mm)

× mm

Schnittfuge (Sägeblattbreite, mm)

Dicke (mm, optional)

Maserung (Drehen der Teile) Zuzuschneidende Teile (Breite, Höhe, Anzahl)

Zeile Name (optional) Breite (mm) Höhe (mm) Anzahl

Preis je Platte (€, optional)

Alle Längen werden in Millimetern (mm) eingegeben. Ein leeres Feld bei der Schnittfuge bedeutet 3 mm, eine leere Anzahl bedeutet 1. Teile ohne Namen heißen „Teil A“ bis „Teil H“.

Ergebnis und Figur

Geben Sie links die Maße der Platte sowie Breite, Höhe und Anzahl der zuzuschneidenden Teile ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Ergebnis und Zuschnittplan erscheinen hier.

Inhaltsverzeichnis

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Was Sie auf dieser Seite tun können
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
Anleitung
Formeln und Abbildungen
Symbole und Begriffe
- Symbole
- Begriffe
Was Sie vorab wissen sollten
Mit Excel berechnen
Mit Google Tabellen berechnen
Mit Python berechnen
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
Die Vorteile von DataChef
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Was Sie auf dieser Seite tun können

Geben Sie einfach die Maße der Platte (Multiplex, OSB, Spanplatte oder MDF mit 2500 × 1250 mm, 2440 × 1220 mm, 2800 × 2070 mm … aus der Liste oder von Hand) sowie Breite, Höhe und Anzahl der zuzuschneidenden Teile (bis zu 8 Sorten) ein, und Sie sehen sofort, wie viele Platten Sie kaufen müssen
Berücksichtigt werden die Schnittfuge (Breite des Sägeblatts, Standard 3 mm) und die Maserung (dürfen die Teile um 90 Grad gedreht werden?). Bei nur einer Sorte von Teilen wird ein Raster „in der Breite × in der Höhe“ berechnet (auch mit gedrehter Lage und mit gedrehten Teilen im Reststreifen als Vergleich); mehrere Sorten werden im Streifenverfahren zusammen zugeschnitten: Streifen von der höchsten zur niedrigsten Höhe
Für jede Platte gibt es einen farbigen Zuschnittplan, der zeigt, was wo liegt, und eine Tabelle wie „Platte 1: Deckel×2 + Seite×2, Verschnitt 0,695 m²“. Außerdem sehen Sie, wie viele Platten der gemeinsame Zuschnitt gegenüber dem getrennten Zuschnitt jeder Teilesorte spart
Angezeigt werden die Fläche des Verschnitts und die Ausbeute (Gesamtfläche der Teile ÷ Gesamtfläche der Platten) sowie die theoretisch kleinste Zahl der Platten aus der Fläche (Untergrenze) mit der Angabe, ob der Zuschnitt sie erreicht. Mit dem Preis je Platte (optional) erhalten Sie auch die geschätzten Kosten
Eine leicht verständliche Erklärung der Formeln, Formeln zum Kopieren für Excel, Google Sheets und Python sowie Übungsaufgaben finden Sie ebenfalls auf dieser Seite

Der Zuschnittplan folgt einem festen Verfahren (Heuristik): „gleiche Teile im Raster anordnen“ und „Teile nach Höhe sortiert in Streifen legen“ (Streifenverfahren). Er liefert nicht immer die kleinste Zahl von Platten (eine Optimallösung wird nicht garantiert). Alle Schnitte gehen von Plattenrand zu Plattenrand durch (Guillotineschnitt), so wie es im Zuschnittservice eines Baumarkts möglich ist (nur gerade Schnitte; die Zahl der Schnitte je Platte kann begrenzt sein). Professionelle Zuschnittsoftware sucht noch komplexere Kombinationen, aber für Einkauf und Schnittanweisung beim Heimwerken genügt die Genauigkeit. Für den eindimensionalen Zuschnitt nach Länge allein, wie bei Kanthölzern, Latten und Rohren, nutzen Sie „Holz-Zuschnitt berechnen“.

Wofür ist diese Berechnung nützlich?

Platten für Bücherregal, Kiste oder Schreibtisch einkaufen

Baut man zum Beispiel ein Bücherregal aus 2 Deckeln von 1200 × 600 mm, 4 Seiten von 900 × 550 mm und 3 Fachböden von 800 × 450 mm aus Multiplexplatten von 2500 × 1250 mm, braucht man bei getrenntem Kauf je Teilesorte 3 Platten, beim gemeinsamen Zuschnitt in Streifen aber nur 2 (Platte 1: Deckel×2 + Seite×2, Platte 2: Seite×2 + Fachboden×3).
Platten sind sperrig, lassen sich schlecht im Auto transportieren und stören als Reste im Lager; wer Stückzahl und Zuschnittplan vor dem Einkauf festlegt, vermeidet Verschwendung. Für Dekorplatten, bei denen die Maserung in einer Richtung laufen soll, rechnen Sie mit „beachten“ (nicht drehen); für Konstruktionsplatten wie OSB oder Platten, die gestrichen werden, verringern Sie mit „egal“ die Zahl der Platten.

Anweisung für den Zuschnittservice im Baumarkt

Der Zuschnittservice im Baumarkt (Plattensäge) kann nur „von Plattenrand zu Plattenrand“ gerade schneiden; berechnet wird meist je Schnitt, und manche Märkte begrenzen die Zahl der Schnitte je Platte. Der Zuschnittplan dieser Seite folgt genau dieser Schnittart (Guillotineschnitt); Sie können also anhand der Grafik anweisen: „Erst 600 mm von oben quer durchschneiden, dann die obere Platte bei 1200 mm von links längs schneiden …“ (die Schnittfuge ist das, was das Blatt abträgt, die Schnittposition entspricht also dem Maß des Teils selbst).
Wenn Sie die Zahl der Schnitte kennen, können Sie die Kosten abschätzen und prüfen, ob die erlaubte Zahl der Schnitte reicht. Stellen Sie die Schnittfuge auf die Sägeblattbreite der Plattensäge im Markt ein (oft etwa 3 mm, im Markt erfragen). Manche Märkte schneiden keine schmalen Streifen (wenige Zentimeter) oder Schrägschnitte und Schnitte, die nicht durchgehen; bei vielen schmalen Teilen fragen Sie also vorher nach.

Schon beim Entwurf auf die „passenden Maße“ achten

Teile von 625 × 625 mm (ein Achtel einer Platte von 2500 × 1250 mm) sehen ohne Schnittfuge nach 8 Stück pro Platte aus; mit 3 mm Schnittfuge sind es aber nur 3: in der Breite \(\lfloor 2503 \div 628 \rfloor = 3\), in der Höhe \(\lfloor 1253 \div 628 \rfloor = 1\). Mit 622 × 622 mm erhält man dagegen 4 × 2 = 8.
Schon kleine Änderungen der Teilemaße können die Zahl der Platten stark verändern. Probieren Sie vor dem Einkauf mit diesem Rechner Anpassungen aus, etwa die Tiefe eines Fachbodens um 5 mm zu verkürzen oder eine Deckplatte in zwei Teile zu teilen; so sparen Sie Materialkosten.

Materialplanung (Nesting) in Schreinerei, Möbelbau und Werbetechnik

In Möbelfabriken, Schreinereien, Werbetechnik-Betrieben (Alu-Verbundplatten, Acrylglas) und Blechverarbeitung (Stahlblech) machen die Materialkosten einen großen Teil der Kosten aus; deshalb werden die Aufteilung der Teile auf der Platte (Nesting) und die Ausbeute laufend überwacht. Die „Ausbeute“ auf dieser Seite ist die Gesamtfläche der Teile geteilt durch die Gesamtfläche der Platten, in der Praxis dieselbe Definition.
In Betrieben werden Hunderte von Teilesorten verplant, dafür gibt es spezielle Zuschnittsoftware (Nesting-Software). Das Streifenverfahren ist eine klassische Heuristik für das zweidimensionale Rechteckpacken und eine der Methoden, auf denen solche Software aufbaut.

Acrylglas, Glas, Gipskarton, Dekorplatten und andere Plattenware

Alles, wobei Rechtecke aus Platten fester Formate geschnitten werden, lässt sich mit derselben Formel berechnen: Acrylglas- und PVC-Platten, Gipskartonplatten (2000 × 1250 mm), Spanplatten und MDF (2800 × 2070 mm), OSB-Platten (2500 × 1250 mm), Dekorplatten und Multiplex. Bei Glas, das man mit dem Glasschneider ritzt und bricht, setzen Sie die Schnittfuge auf 0 (bei Fliesen ebenso, wenn Sie mit dem Handschneider brechen; mit der Nassschneidemaschine die Blattdicke), und bei Materialien ohne Maserung verringert „egal“ die Zahl der Platten.
Glas und dünnes Acryl brechen leicht, und bei Dekorplatten mit Muster ist die Richtung des Musters festgelegt; passen Sie deshalb Schnittfuge und Drehen-Einstellung an das Material an.

Formeln und Abbildungen

Zahl der Teile je Platte, wenn nur gleiche Teile nebeneinander liegen

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(c\) \(=\) \(\lfloor\) \((\) \(W\) \(+\) \(k\) \()\) \(\div\) \((\) \(w\) \(+\) \(k\) \()\) \(\rfloor\)

\(r\) \(=\) \(\lfloor\) \((\) \(H\) \(+\) \(k\) \()\) \(\div\) \((\) \(h\) \(+\) \(k\) \()\) \(\rfloor\)

\(m\) \(=\) \(c\) \(\times\) \(r\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

④ Zahl der Teile in der Breite \(c\) \(=\) \(\lfloor\) \((\) ① Plattenbreite \(W\) \(+\) ② Schnittfuge \(k\) \()\) \(\div\) \((\) ③ Teilebreite \(w\) \(+\) Schnittfuge \(k\) \()\) \(\rfloor\)

⑦ Zahl der Teile in der Höhe \(r\) \(=\) \(\lfloor\) \((\) ⑤ Plattenhöhe \(H\) \(+\) Schnittfuge \(k\) \()\) \(\div\) \((\) ⑥ Teilehöhe \(h\) \(+\) Schnittfuge \(k\) \()\) \(\rfloor\)

⑧ Teile je Platte \(m\) \(=\) Zahl der Teile in der Breite \(c\) \(\times\) Zahl der Teile in der Höhe \(r\)

Die Formel in Worten

① Addieren Sie zur Plattenbreite \(W\) einmal die

② Schnittfuge \(k\) und teilen Sie die Summe durch die

③ Teilebreite \(w\) plus einmal die Schnittfuge \(k\). Runden Sie ab (das Zeichen \(\lfloor\ \rfloor\) bedeutet „abrunden“): Das Ergebnis ist die

④ Zahl der Teile in der Breite \(c\) Ebenso addieren Sie zur

⑤ Plattenhöhe \(H\) einmal die Schnittfuge und teilen die Summe durch die

⑥ Teilehöhe \(h\) plus einmal die Schnittfuge. Nach dem Abrunden erhalten Sie die

⑦ Zahl der Teile in der Höhe \(r\) Multiplizieren Sie beide Zahlen, dann erhalten Sie die

⑧ Teile je Platte \(m\)

Einfaches Beispiel

Aus einer Multiplexplatte von 2500 × 1250 mm sollen Fachböden von 800 × 500 mm geschnitten werden. Mit 3 mm Schnittfuge ist die Zahl der Teile, die man aus einer Platte erhält,

Zahl der Teile in der Breite \(c\) \(=\) \(\lfloor\) \((\) Plattenbreite (2500 mm) \(+\) Schnittfuge (3 mm) \()\) \(\div\) \((\) Teilebreite (800 mm) \(+\) Schnittfuge (3 mm) \()\) \(\rfloor\)

Zahl der Teile in der Höhe \(r\) \(=\) \(\lfloor\) \((\) Plattenhöhe (1250 mm) \(+\) Schnittfuge (3 mm) \()\) \(\div\) \((\) Teilehöhe (500 mm) \(+\) Schnittfuge (3 mm) \()\) \(\rfloor\)

Teile je Platte \(m\) \(=\) Zahl der Teile in der Breite \(c\) \(\times\) Zahl der Teile in der Höhe \(r\)

\(c = \lfloor 2503 \div 803 \rfloor = \lfloor 3{,}11 \cdots \rfloor = 3\)

\(r = \lfloor 1253 \div 503 \rfloor = \lfloor 2{,}49 \cdots \rfloor = 2\)

\(m = 3 \times 2 = 6\)

Der Kerngedanke

Damit in der Breite \(n\) Teile nebeneinander liegen, müssen die Breiten von \(n\) Teilen und die \(n - 1\) Schnittfugen dazwischen in die Plattenbreite passen (das letzte Teil kann bis an den Plattenrand reichen, dort muss nicht geschnitten werden). Es muss also \(n \times w + (n - 1) \times k \leq W\) gelten, und addiert man auf beiden Seiten \(k\), wird daraus \(n \times (w + k) \leq W + k\). Deshalb ist „Plattenbreite plus Schnittfuge“ geteilt durch „Teilebreite plus Schnittfuge“, abgerundet, die Zahl der Teile in der Breite. Für die Höhe gilt dasselbe: Der zweidimensionale Zuschnitt ist ein Produkt „Zahl in der Breite × Zahl in der Höhe“. Die Formel setzt voraus, dass der Rand der Platte selbst als Rand der Teile dient; sind die Kanten beschädigt oder nicht rechtwinklig und schneiden Sie sie ab, geben Sie als Plattenmaß das Maß abzüglich des abgeschnittenen Streifens ein. Ohne Schnittfuge verrechnet man sich leicht. Teile von 625 × 625 mm (ein Achtel einer Platte von 2500 × 1250 mm) passen ohne Schnittfuge 4 × 2 = 8-mal auf die Platte; mit 3 mm Schnittfuge sind es aber nur \(\lfloor 2503 \div 628 \rfloor = 3\) in der Breite und \(\lfloor 1253 \div 628 \rfloor = 1\) in der Höhe, also 3 Teile (das vierte Teil in der Breite würde um 9 mm, das zweite in der Höhe um 3 mm nicht passen). Bei Teilen von 622 × 622 mm erhält man wieder 4 × 2 = 8. Steht die Maserung auf „egal“, rechnet dieser Rechner dasselbe auch mit vertauschter Breite und Höhe (um 90 Grad gedreht) und nimmt die größere Zahl. Zusätzlich probiert er, gedrehte Teile in den Reststreifen rechts oder unten am Raster unterzubringen (zum Beispiel 3 in der Breite × 3 in der Höhe = 9 und ein gedrehtes Teil in der rechts verbleibenden Breite, zusammen 10). Diese einfache Rechnung gilt für „nur gleiche Teile“; mehrere Sorten von Teilen werden im folgenden Streifenverfahren aufgeteilt.

Zahl der Platten, wenn jede Teilesorte getrennt gekauft wird

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(B_i\) \(=\) \(\lceil\) \(q_i\) \(\div\) \(m_i\) \(\rceil\)

\(B_{\text{getr}}\) \(=\) \(B_1 + B_2 + \cdots\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

③ Zahl der Platten \(B_i\) nur für Teil \(i\) \(=\) \(\lceil\) ① Benötigte Zahl von Teil \(i\) \(q_i\) \(\div\) ② Teile je Platte \(m_i\) \(\rceil\)

⑤ Gesamtzahl bei getrenntem Kauf \(B_{\text{getr}}\) \(=\) ④ Summe der Zahlen \(B_1,\ B_2,\ \ldots\) je Teil

Die Formel in Worten

① Teilen Sie die Benötigte Zahl von Teil \(i\) \(q_i\) durch die

② Teile je Platte \(m_i\) und runden Sie auf (das Zeichen \(\lceil\ \rceil\) bedeutet „aufrunden“). Das ergibt die

③ Zahl der Platten \(B_i\) nur für Teil \(i\) Addieren Sie diese Zahlen über alle Teilesorten:

④ Summe der Zahlen \(B_1,\ B_2,\ \ldots\) je Teil ergibt die

⑤ Gesamtzahl bei getrenntem Kauf \(B_{\text{getr}}\)

Einfaches Beispiel

Aus Multiplexplatten von 2500 × 1250 mm (Schnittfuge 3 mm, Drehen erlaubt) sollen 2 Deckel von 1200 × 600 mm, 4 Seiten von 900 × 550 mm und 3 Fachböden von 800 × 450 mm geschnitten werden, jede Sorte aus eigenen Platten. Die Zahl der Platten ist

\(\text{Deckel:} \lceil 2 \div 4 \rceil = 1,\quad \text{Seite:} \lceil 4 \div 5 \rceil = 1,\quad \text{Fachboden:} \lceil 3 \div 6 \rceil = 1\)

\(B_{\text{getr}} = 1 + 1 + 1 = 3\)

Der Kerngedanke

„Platten für die Deckel“, „Platten für die Seiten“ – der einfache Ansatz kauft für jede Sorte von Teilen eigene Platten. Aus einer Platte erhält man 4 Deckel (2 in der Breite × 2 in der Höhe), also genügt für 2 Deckel 1 Platte (Platz für 2 weitere bleibt). Aus einer Platte erhält man 5 Seiten (2 in der Breite × 2 in der Höhe und 1 gedrehte im rechts verbleibenden Streifen von 694 mm Breite), also genügt für 4 Seiten 1 Platte. Aus einer Platte erhält man 6 Fachböden (3 × 2), also genügt für 3 Fachböden 1 Platte (Platz für 3 weitere bleibt). Zusammen sind es 3 Platten. Dieses Vorgehen ist einfach zu durchdenken und zu schneiden, aber bei den Platten für Deckel und Fachböden bleiben große Reste. Das nächste Kapitel, das Streifenverfahren, füllt diese Reste mit anderen Teilen auf und braucht so weniger Platten.

Streifenverfahren: Bedingung für Teile in einem Streifen und für Streifen auf einer Platte

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(w_1 + w_2 + \cdots + w_n\) \(+\) \((n - 1)\) \(\times\) \(k\) \(\leq\) \(W\)

\(h_1 + h_2 + \cdots + h_s\) \(+\) \((s - 1)\) \(\times\) \(k\) \(\leq\) \(H\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

① Summe der Breiten \(w_1,\ w_2,\ \ldots,\ w_n\) der Teile in einem Streifen \(+\) ② Zahl der Teile \(n\) im Streifen minus 1 \(\times\) ③ Schnittfuge \(k\) \(\leq\) ④ Plattenbreite \(W\)

⑤ Summe der Streifenhöhen \(h_1,\ h_2,\ \ldots,\ h_s\) \(+\) ⑥ Zahl der Streifen \(s\) minus 1 \(\times\) Schnittfuge \(k\) \(\leq\) ⑦ Plattenhöhe \(H\)

Die Formel in Worten

① Nehmen Sie die Summe der Breiten \(w_1,\ w_2,\ \ldots,\ w_n\) der Teile in einem Streifen und addieren Sie das Produkt aus der

② Zahl der Teile \(n\) im Streifen minus 1 und der

③ Schnittfuge \(k\) (die Summe der Schnittfugen zwischen den Teilen). Ist das Ergebnis kleiner oder gleich der

④ Plattenbreite \(W\) , passt der Streifen. Ebenso gilt: Addieren Sie zur

⑤ Summe der Streifenhöhen \(h_1,\ h_2,\ \ldots,\ h_s\) (Höhe des höchsten Teils im Streifen) das Produkt aus der

⑥ Zahl der Streifen \(s\) minus 1 und der Schnittfuge \(k\). Ist das Ergebnis kleiner oder gleich der

⑦ Plattenhöhe \(H\) , lassen sich die Streifen auf der Platte stapeln

Einfaches Beispiel

Ordnet man das obige Beispiel (2 Deckel von 1200 × 600 mm, 4 Seiten von 900 × 550 mm, 3 Fachböden von 800 × 450 mm, Schnittfuge 3 mm) im Streifenverfahren auf Platten von 2500 × 1250 mm an, besteht Platte 1 aus zwei Streifen, „2 Deckel“ und „2 Seiten“

\(\text{Streifen 1 (Höhe 600):} 1200 + 1200 + 1 \times 3 = 2403 \leq 2500\)

\(\text{Streifen 2 (Höhe 550):} 900 + 900 + 1 \times 3 = 1803 \leq 2500\)

\(\text{Summe der Streifenhöhen:} 600 + 550 + 1 \times 3 = 1153 \leq 1250\)

Der Kerngedanke

Das Streifenverfahren (FFDH, First Fit Decreasing Height) legt den Plan nach folgenden Schritten fest. ① Alle Teile werden nach Höhe absteigend sortiert (bei gleicher Höhe nach Breite absteigend, dann in der Reihenfolge der eingegebenen Zeilen). ② Die Teile werden der Reihe nach in den ersten vorhandenen Streifen gelegt, in dem „die restliche Breite reicht und die Teilehöhe höchstens der Streifenhöhe entspricht“. Steht die Maserung auf „egal“, kommt auch ein Streifen infrage, in den das Teil gedreht passt. ③ Gibt es keinen solchen Streifen, wird auf der ersten vorhandenen Platte, auf der „die restliche Höhe für die Teilehöhe reicht“, ein neuer Streifen angelegt. Gibt es auch die nicht, kommt eine neue Platte dazu. Die Streifenhöhe ist die Höhe des ersten hineingelegten Teils (also des höchsten Teils im Streifen). Innerhalb eines Streifens geht es jeweils um „Breite + Schnittfuge“ nach rechts, von Streifen zu Streifen um „Höhe + Schnittfuge“ nach unten, daher die beiden Ungleichungen oben. In Streifen wird geteilt, damit jeder Schnitt gerade von Plattenrand zu Plattenrand verläuft (Guillotineschnitt); genau so arbeitet der Zuschnittservice im Baumarkt (Plattensäge). Dieser Rechner probiert alle Kombinationen aus der Lage der Teile (bei Maserung „egal“: „lange Seite in der Breite“, „lange Seite in der Höhe“, „wie eingegeben“) und der Richtung der Streifen (waagerechte Streifen, senkrechte Bänder) und nimmt die mit den wenigsten Platten. Zusätzlich vergleicht er mit den Verfahren „zuerst Platten mit nur einer Teilesorte füllen und den Rest im Streifenverfahren anordnen“ und „jede Teilesorte getrennt zuschneiden“ und zeigt das Minimum. Trotzdem gibt es beim zweidimensionalen Zuschnitt sehr viele Kombinationen, und es gibt keine Garantie, dass dies die kleinste Zahl ist. Professionelle Zuschnittsoftware (Nesting-Software) sucht noch komplexere Kombinationen und Schnitte, die nicht von Rand zu Rand gehen. Beim Heimwerken nehmen Sie das Ergebnis als Richtwert und verwenden den übrigen Verschnitt praktischerweise für Kleinteile.

Verschnitt und Ausbeute

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(A_{\text{V}}\) \(=\) \(B\) \(\times\) \(W\) \(\times\) \(H\) \(-\) \(\sum_i q_i\,w_i\,h_i\)

\(Y\) \(=\) \(\sum_i q_i\,w_i\,h_i\) \(\div\) \((\) \(B\) \(\times\) \(W\) \(\times\) \(H\) \()\) \(\times\) \(100\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

⑤ Fläche des Verschnitts \(A_{\text{V}}\) \(=\) ① Zahl der Platten \(B\) \(\times\) ② Plattenbreite \(W\) \(\times\) ③ Plattenhöhe \(H\) \(-\) ④ Summe der Flächen aller Teile \(\sum_i q_i\,w_i\,h_i\)

⑥ Ausbeute \(Y\) (%) \(=\) Summe der Flächen aller Teile \(\sum_i q_i\,w_i\,h_i\) \(\div\) \((\) Zahl der Platten \(B\) \(\times\) Plattenbreite \(W\) \(\times\) Plattenhöhe \(H\) \()\) \(\times\) \(100\)

Die Formel in Worten

① Multiplizieren Sie die Zahl der Platten \(B\) mit der

② Plattenbreite \(W\) und der

③ Plattenhöhe \(H\) (Gesamtfläche der gekauften Platten) und ziehen Sie die

④ Summe der Flächen aller Teile \(\sum_i q_i\,w_i\,h_i\) ab, und Sie erhalten die

⑤ Fläche des Verschnitts \(A_{\text{V}}\) , und teilen Sie die Summe der Flächen aller Teile durch die Gesamtfläche der Platten und multiplizieren Sie mit 100, so erhalten Sie die

⑥ Ausbeute \(Y\) (%)

Einfaches Beispiel

Für das obige Beispiel (2 Deckel, 4 Seiten und 3 Fachböden auf 2 Platten von 2500 × 1250 mm) sind die Fläche des Verschnitts und die Ausbeute

\(\sum q\,w\,h = 2 \times 1200 \times 600 + 4 \times 900 \times 550 + 3 \times 800 \times 450\)

\(= 1{.}440{.}000 + 1{.}980{.}000 + 1{.}080{.}000 = 4{.}500{.}000\ \text{mm}^2\)

\(A_{\text{V}} = 2 \times 2500 \times 1250 - 4{.}500{.}000 = 1{.}750{.}000\ \text{mm}^2 = 1{,}75\ \text{m}^2\)

\(Y = 4{.}500{.}000 \div 6{.}250{.}000 \times 100 = 72\ \%\)

Der Kerngedanke

Die Fläche des Verschnitts ist die Differenz aus „Fläche der gekauften Platten“ und „von den Teilen genutzter Fläche“ und enthält damit auch das, was als Sägemehl durch die Schnittfuge verloren geht (bei 3 mm Schnittfuge gehen beim Schnitt von 1 m Länge 3000 mm² = 0,003 m² verloren, was bei vielen Teilen ins Gewicht fällt). Da 1 m² = 1.000.000 mm² ist, ergibt ein Wert in mm² geteilt durch 1.000.000 den Wert in m². Die Ausbeute ist der Anteil des Materials, der als Teil genutzt werden konnte; je näher an 100 %, desto weniger Verschnitt. Sie hängt stark vom Zusammenspiel der Teilemaße und der Plattenmaße ab (hoch, wenn die Teile die Platte gleichmäßig aufteilen; niedrig bei krummen Maßen und vielen Sorten). Beim Heimwerken ist ein gewisser Verschnitt normal. Da sich Reststücke für Kleinteile oder Verstärkungen verwenden lassen, entscheidet die Ausbeute allein nicht über gut oder schlecht.

Theoretisch kleinste Zahl der Platten aus der Fläche (Untergrenze)

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(B_{\min}\) \(=\) \(\lceil\) \(\sum_i q_i\,(w_i + k)(h_i + k)\) \(\div\) \((W + k)(H + k)\) \(\rceil\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

③ Theoretisch kleinste Zahl \(B_{\min}\) \(=\) \(\lceil\) ① Summe aller (Breite + Schnittfuge) × (Höhe + Schnittfuge) \(\sum_i q_i\,(w_i + k)(h_i + k)\) \(\div\) ② (Plattenbreite + Schnittfuge) × (Plattenhöhe + Schnittfuge) \((W + k)(H + k)\) \(\rceil\)

Die Formel in Worten

① Teilen Sie die Summe aller (Breite + Schnittfuge) × (Höhe + Schnittfuge) \(\sum_i q_i\,(w_i + k)(h_i + k)\) durch das Produkt

② (Plattenbreite + Schnittfuge) × (Plattenhöhe + Schnittfuge) \((W + k)(H + k)\) und runden Sie auf. Das ergibt die

③ Theoretisch kleinste Zahl \(B_{\min}\)

Einfaches Beispiel

Für das obige Beispiel (2 Deckel von 1200 × 600 mm, 4 Seiten von 900 × 550 mm, 3 Fachböden von 800 × 450 mm, Platten von 2500 × 1250 mm, Schnittfuge 3 mm) beträgt die theoretisch kleinste Zahl

\(2 \times 1203 \times 603 + 4 \times 903 \times 553 + 3 \times 803 \times 453\)

\(= 1{.}450{.}818 + 1{.}997{.}436 + 1{.}091{.}277 = 4{.}539{.}531\)

\((2500 + 3) \times (1250 + 3) = 2503 \times 1253 = 3{.}136{.}259\)

\(4{.}539{.}531 \div 3{.}136{.}259 \approx 1{,}45,\quad \lceil 1{,}45 \rceil = 2\)

Der Kerngedanke

Wie geschickt man die Teile auch anordnet: In Platten mit kleinerer Fläche als die Summe der Teileflächen passen sie nicht. Rechnet man die Schnittfuge mit, indem man annimmt, „ein Teil hat die Fläche \((w + k) \times (h + k)\) und eine Platte die Fläche \((W + k) \times (H + k)\)“, ist der aufgerundete Quotient die allein aus der Fläche folgende Untergrenze (weniger Platten sind nicht möglich). Im Beispiel entsprechen die 2 Platten des Streifenverfahrens der Untergrenze von 2; die Zahl ist also optimal und lässt sich nicht weiter senken. Beim zweidimensionalen Zuschnitt passt aber oft etwas trotz genug Fläche nicht, weil die Form nicht stimmt. Schneidet man zum Beispiel eine Deckplatte von 2400 × 600 mm und 2 Seitenteile von 650 × 650 mm aus Platten von 2500 × 1250 mm, liegt die Untergrenze bei 1 Platte, doch die Höhe unter der Deckplatte beträgt nur \(1250 - 600 - 3 = 647\) mm, und die 650 mm hohen Seitenteile passen nicht: Es werden 2 Platten gebraucht. Untergrenze und tatsächliche Zahl gehen beim zweidimensionalen Zuschnitt leichter auseinander als beim eindimensionalen Zuschnitt von Holz; deshalb lässt sich bei der Anzeige „Näherung“ nicht sicher sagen, dass eine andere Kombination weniger Platten braucht.

Eingesparte Platten und geschätzte Kosten

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(\Delta\) \(=\) \(B_{\text{getr}}\) \(-\) \(B\)

\(T\) \(=\) \(u\) \(\times\) \(B\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

③ Eingesparte Platten \(\Delta\) \(=\) ① Zahl bei getrenntem Kauf \(B_{\text{getr}}\) \(-\) ② Zahl beim gemeinsamen Zuschnitt \(B\)

⑤ Geschätzte Kosten \(T\) \(=\) ④ Preis je Platte \(u\) \(\times\) Zahl beim gemeinsamen Zuschnitt \(B\)

Die Formel in Worten

① Ziehen Sie von der Zahl bei getrenntem Kauf \(B_{\text{getr}}\) die

② Zahl beim gemeinsamen Zuschnitt \(B\) ab, und Sie erhalten die

③ Eingesparte Platten \(\Delta\) Multiplizieren Sie den

④ Preis je Platte \(u\) mit der Zahl der Platten beim gemeinsamen Zuschnitt, und Sie erhalten die

⑤ Geschätzte Kosten \(T\)

Einfaches Beispiel

Kostet im obigen Beispiel eine Platte 135 € (Richtwert für Multiplex aus Birke, 18 mm, im Baumarkt in Deutschland), sind die eingesparten Platten und die Kosten

\(\Delta = 3 - 2 = 1\)

\(T = 135 \times 2 = 270\)

\(135 \times 3 - 270 = 135\)

Der Kerngedanke

Die Kosten beim getrennten Kauf betragen \(u \times B_{\text{getr}}\), die beim gemeinsamen Zuschnitt \(u \times B\); die Differenz ist also \(u \times \Delta\). Als Preis geben Sie den Preis einer Platte ein. Die Kosten umfassen nur die Platten selbst, nicht den Zuschnittservice (oft je Schnitt berechnet), Lieferung oder Farbe. Um die Kosten des Zuschnitts abzuschätzen, zählen Sie die Schnittlinien im Zuschnittplan.

Bei nur einer Sorte von Teilen erhalten Sie die Zahl der Teile je Platte als „(Plattenbreite + Schnittfuge) ÷ (Teilebreite + Schnittfuge), abgerundet“ × „dasselbe für die Höhe“. Mehrere Sorten von Teilen werden im Streifenverfahren zusammen zugeschnitten (Streifen von der höchsten zur niedrigsten Höhe; alle Schnitte gehen von Rand zu Rand: Guillotineschnitt); stimmt das Ergebnis mit der Untergrenze aus der Fläche überein, geht es nicht besser. Auch wenn nicht, lässt sich die Untergrenze beim zweidimensionalen Zuschnitt wegen der Formen oft nicht erreichen; der Zuschnittplan dieses Rechners ist ein Richtwert ohne Garantie einer Optimallösung.

Symbole und Begriffe

Symbole

\(W\)	Breite der Platte (mm): die Länge einer gekauften Platte in der Breite. W steht für Width (Breite) und ist groß geschrieben, um sich von der Breite \(w\) der Teile zu unterscheiden.
\(H\)	Höhe der Platte (mm): die Länge einer Platte in der Höhe. H steht für Height (Höhe) und ist groß geschrieben, um sich von der Höhe \(h\) der Teile zu unterscheiden. Steht die Maserung auf „egal“, ändert sich die Zahl der Platten nicht, wenn Sie Breite und Höhe vertauschen (bei „beachten“ muss die Richtung zu den Teilen passen).
\(w\), \(w_i\)	Breite eines Teils (der zuzuschneidenden Platte) in mm. Das \(i\) in \(w_i\) ist die Nummer „Teilesorte \(i\)“ (es gibt mehrere Sorten wie Deckel, Seite und Fachboden).
\(h\), \(h_i\)	Höhe eines Teils (mm). In den Formeln des Streifenverfahrens steht \(h_1,\ h_2,\ \ldots\) auch für die „Höhe der einzelnen Streifen“ (Streifenhöhe = Höhe des höchsten Teils im Streifen).
\(k\)	Schnittfuge (Breite des Sägeblatts, mm). Bei jedem Schnitt geht so viel Material verloren. k steht für „Kerf“ (englisch für den Schnitt der Säge).
\(c\)	Zahl der gleichen Teile, die in Richtung der Plattenbreite nebeneinander liegen. Sie ergibt sich aus \(\lfloor (W + k) \div (w + k) \rfloor\). c steht für Column (Spalte).
\(r\)	Zahl der gleichen Teile, die in Richtung der Plattenhöhe übereinander liegen. Sie ergibt sich aus \(\lfloor (H + k) \div (h + k) \rfloor\). r steht für Row (Zeile).
\(m\), \(m_i\)	Zahl der Teile, die man bei nur gleichen Teilen aus einer Platte erhält. Sie ergibt sich aus \(m = c \times r\), dem Produkt der Zahl in der Breite \(c\) und der Zahl in der Höhe \(r\).
\(q_i\)	Benötigte Zahl von Teil \(i\). q steht für Quantity (Menge).
\(B_i\)	Zahl der Platten, die nur für Teil \(i\) nötig sind. Sie ergibt sich aus \(\lceil q_i \div m_i \rceil\).
\(B_{\text{getr}}\)	Gesamtzahl der Platten, wenn jede Teilesorte aus eigenen Platten geschnitten wird (getrennt gekauft). Es ist die Summe aller \(B_i\). „getr“ steht für „getrennt“.
\(B\)	Zahl der Platten beim gemeinsamen Zuschnitt (Anordnung im Streifenverfahren o. Ä.). Das ist der wichtigste Wert dieser Seite.
\(n\)	Zahl der Teile, die in einem Streifen nebeneinander liegen. Zwischen den Teilen liegen \(n - 1\) Schnittfugen; das Zeichen wird in der Bedingung für Teile in einem Streifen verwendet. n steht für Number (Anzahl).
\(s\)	Zahl der Streifen, die auf einer Platte gestapelt werden. Zwischen den Streifen liegen \(s - 1\) Schnittfugen; das Zeichen wird in der Bedingung für stapelbare Streifen verwendet. s steht für Shelf (Regalboden, hier Streifen).
\(A_{\text{V}}\)	Fläche des Verschnitts (mm², m²): die Gesamtfläche der gekauften Platten minus die Gesamtfläche der Teile; sie enthält auch das Sägemehl der Schnittfugen. Das V steht für Verschnitt.
\(Y\)	Ausbeute (%): die Gesamtfläche der Teile geteilt durch die Gesamtfläche der Platten mal 100. Y steht für Yield (Ausbeute).
\(B_{\min}\)	Theoretisch kleinste Zahl der Platten aus der Fläche (Untergrenze). Sie ergibt sich aus \(\lceil \sum_i q_i (w_i + k)(h_i + k) \div ((W + k)(H + k)) \rceil\); stimmt die Zahl \(B\) beim gemeinsamen Zuschnitt damit überein, ist sie optimal. min steht für Minimum.
\(\Delta\)	Zahl der eingesparten Platten: \(B_{\text{getr}} - B\). Der griechische Buchstabe Delta steht häufig für eine Differenz.
\(u\)	Preis je Platte (€). u steht für Unit price (Einzelpreis).
\(T\)	Geschätzte Kosten (€). T steht für Total (Summe). Sie umfassen nur die Platten, nicht den Zuschnitt und die Lieferung.
\(\lfloor x \rfloor\)	Das Zeichen zum Abrunden auf eine ganze Zahl (Beispiel: \(\lfloor 3{,}02 \rfloor = 3\), \(\lfloor 2 \rfloor = 2\)). Die Zahl der Teile, die auf eine Platte passen, wird „abgerundet“, weil ein angebrochenes Teil nicht zählt.
\(\lceil x \rceil\)	Das Zeichen zum Aufrunden auf eine ganze Zahl (Beispiel: \(\lceil 1{,}56 \rceil = 2\), \(\lceil 2 \rceil = 2\)). Die Zahl der zu kaufenden Platten wird „aufgerundet“, weil man für den Rest eine ganze Platte braucht.
\(\sum\)	Das Zeichen für „alles addieren“. Bei \(\sum_i q_i w_i h_i\) berechnet man für jede Teilesorte \(i\) das Produkt \(q_i w_i h_i\) (Anzahl × Breite × Höhe) und addiert alle. Es ist der griechische Buchstabe Sigma, das S für Summe.

Begriffe

Platte	Die große Platte, aus der die Teile geschnitten werden (Ausgangsplatte). Gemeint ist Plattenware in festen Formaten, etwa Sperrholz, Multiplex, OSB, Spanplatte, MDF, Dekorplatten, Acrylglas oder Blech. Auf dieser Seite gilt sie als Rechteck mit Breite \(W\) × Höhe \(H\).
Zuschnittplanung	Die Aufgabe, festzulegen, wie die benötigten Teile aus der Platte geschnitten werden (auch Zuschnittoptimierung oder Verschnittoptimierung). Diese Seite behandelt den zweidimensionalen Zuschnitt, bei dem Breite und Höhe zählen; den eindimensionalen Zuschnitt nach Länge allein (Kanthölzer, Latten, Rohre) behandelt „Holz-Zuschnitt berechnen“.
Schnittfuge	Die Länge (Dicke des Sägeblatts), die bei jedem Schnitt als Sägemehl verloren geht. Die Blattbreite von Kreis- und Plattensägen liegt meist bei etwa 1,5 bis 3 mm; einschließlich abgesplitterter Kanten und Anriss rechnet man üblicherweise mit etwa 3 mm. Kennen Sie die Breite Ihres Sägeblatts (auf dem Blatt eingeprägt, oft als Schnittbreite angegeben), tragen Sie diesen Wert ein. Sie summiert sich mit jedem Schnitt und fällt bei vielen kleinen Teilen stärker ins Gewicht.
Maserung	Das Muster auf der Oberfläche, das durch die Richtung der Holzfasern entsteht. Bei Dekor-Sperrholz oder Massivholz wirken die Teile unnatürlich, wenn die Maserung nicht in dieselbe Richtung läuft; deshalb dürfen Teile beim Zuschnitt manchmal nicht um 90 Grad gedreht werden. Auf dieser Seite wählen Sie die Drehbarkeit über „Maserung“. Bei Konstruktionsplatten oder Platten, die gestrichen werden, kann „egal“ gewählt werden.
Guillotineschnitt	Ein Schnitt, der gerade von Plattenrand zu Plattenrand durchgeht; die Teile entstehen, indem die entstandenen Platten wieder von Rand zu Rand geschnitten werden. Die Plattensäge des Zuschnittservice im Baumarkt (Säge für gerade Schnitte in großen Platten) kann nur so schneiden, deshalb beschränkt sich der Zuschnittplan dieses Rechners auf Formen, die im Guillotineschnitt zu schneiden sind (Streifenverfahren). Lässt man Schnitte zu, die mittendrin enden (L-förmige Einschnitte), passt manchmal mehr auf eine Platte, aber das ist auch mit der Handkreissäge schwierig und wird deshalb nicht verwendet.
Streifenverfahren (FFDH)	Ein Verfahren der Aufteilung: Man sortiert die Teile nach Höhe absteigend und legt von oben nach unten „Streifen“ quer über die Platte an, in die man die Teile füllt. Der Name FFDH kommt von First Fit Decreasing Height (nach Höhe absteigend, in den ersten passenden Streifen) und ist eine typische Heuristik für das zweidimensionale Rechteckpacken. Weil die Schnitte von Rand zu Rand gehen, kann man den Plan im Zuschnittservice direkt bestellen. Für ein so einfaches Verfahren sind die Ergebnisse gut, aber nicht immer die kleinste Zahl von Platten.
Verschnitt	Das Material, das nach dem Zuschneiden der Teile übrig bleibt: schmale Streifen am Plattenrand oder Reststücke rechts der Streifen. Je weniger Verschnitt, desto weniger Verschwendung und desto höher die Ausbeute. Große Reststücke lassen sich für Kleinteile oder Verstärkungen verwenden.
Ausbeute	Der Anteil des Materials, der als Produkt (Teil) genutzt werden kann. Auf dieser Seite gilt „Gesamtfläche der Teile ÷ Gesamtfläche der gekauften Platten“; je weniger Verschnitt und Schnittfugen, desto näher an 100 %.
Untergrenze	Ein Wert, unter den man auch mit noch so viel Geschick nicht kommt. Die theoretisch kleinste Zahl der Platten auf dieser Seite ist die aus der Fläche berechnete Untergrenze; stimmt die Zahl des Zuschnittplans damit überein, ist er optimal. Stimmt sie nicht überein, lässt sich die Untergrenze beim zweidimensionalen Zuschnitt wegen der Formen oft nicht erreichen.
Optimallösung	Die beste Antwort unter allen denkbaren Verfahren; auf dieser Seite der Zuschnittplan mit den wenigsten Platten. Stimmt die Zahl beim gemeinsamen Zuschnitt mit der Untergrenze überein, ist er eine Optimallösung. Stimmt sie nicht überein, lässt sich nicht feststellen, ob es eine Optimallösung ist, weil dieser Rechner nicht alle Kombinationen durchsucht.
Heuristik	Ein Verfahren, das nicht sicher eine Optimallösung liefert, aber nach festen Schritten schnell eine gute Antwort findet. Bei Kombinationsproblemen wie dem Zuschnitt wächst die Zahl der möglichen Anordnungen mit der Zahl der Teile explosionsartig und lässt sich nicht vollständig prüfen; deshalb werden auch in der Praxis oft Heuristiken eingesetzt. Das Streifenverfahren und die Rasterberechnung dieser Seite gehören dazu.
Sperrholz	Eine Platte aus mehreren dünnen Holzschichten (Furnieren), die mit über Kreuz liegender Maserung verklebt sind. Sie verzieht sich kaum und lässt sich in großen Formaten herstellen, deshalb wird sie beim Heimwerken häufig für Regale, Kisten und Unterkonstruktionen verwendet. Es gibt zum Beispiel Pappel-Sperrholz, Birke-Sperrholz (oft als Multiplex bezeichnet) und Bau-Furniersperrholz; Dicken wie 9, 12, 15 und 18 mm sind üblich.
Multiplex	Sperrholz aus vielen dünnen Lagen (meist Birke), das besonders stabil ist und saubere Kanten hat. Im Baumarkt gibt es Multiplexplatten aus Birke häufig im Format 2500 × 1250 mm bei 18 mm Dicke (Stand 2026-09, zum Beispiel bei Hornbach und OBI). Für diese Platte stellen Sie \(W = 2500\) und \(H = 1250\) ein; Multiplex eignet sich für Regale, Möbel und Arbeitsplatten.
OSB-Platte	Platte aus verklebten, ausgerichteten Holzspänen (Oriented Strand Board). Im Baumarkt gibt es sie meist als OSB 3 im Format 2500 × 1250 mm; sie dient für Boden, Wand, Dach und einfache Regale. Stellen Sie die Plattengröße auf 2500 × 1250 ein.
Spanplatte	Platte aus gepressten Holzspänen; auch MDF (mitteldichte Faserplatte) wird oft in derselben Größe geliefert. Das große Standardformat ist 2800 × 2070 mm (Rohplatte); im Baumarkt bekommt man sie meist als kleinere Zuschnitte. Für ein Rohformat stellen Sie die Plattengröße auf 2800 × 2070 ein.
Gipskartonplatte	Platte aus Gips mit Kartonummantelung für Trockenbau (Wand und Decke). Das übliche Format ist 2000 × 1250 mm bei 12,5 mm Dicke. Mit der Plattengröße 2000 × 1250 berechnen Sie den Zuschnitt für Wandflächen; geschnitten wird meist durch Ritzen und Brechen, deshalb kann die Schnittfuge 0 betragen.

Was Sie vorab wissen sollten

Damit Sie die Berechnung dieser Seite „verstehen“ und sicher anwenden können, sind hier die Vorkenntnisse zusammengestellt.

Division mit Rest (Grundschule)	Verstehen, dass beim Teilen „2500 geteilt durch 800 ergibt 3 Rest 100“ der Quotient sagt, „wie viele Teile nebeneinander liegen“, und der Rest, „wie viel übrig bleibt“
Runden (Grundschule)	Den Unterschied zwischen Abrunden, Aufrunden und Runden kennen „Warum man die Zahl der Teile abrundet, die Zahl der zu kaufenden Platten aber aufrundet“ mit eigenen Worten erklären können
Flächeninhalt des Rechtecks (Grundschule)	Wissen, dass Flächeninhalt = Breite × Höhe ist, und die Einheiten mm² und m² umrechnen können (\(1\,\text{m}^2 = 1{.}000{.}000\,\text{mm}^2\))
Prozentrechnung (Klasse 6)	Verhältnisse in Prozent ausdrücken können, etwa bei der Ausbeute „Gesamtfläche der Teile ÷ Gesamtfläche der Platten × 100“
Terme und Ungleichungen (Klasse 7)	Bedingungen mit Buchstaben ausdrücken können, etwa „\(n\) Teile passen nebeneinander, wenn \(n \times w + (n-1) \times k \leq W\) gilt“ Wissen, dass sich das Größenverhältnis nicht ändert, wenn man auf beiden Seiten einer Ungleichung dieselbe Zahl addiert (Umformung zu \(n(w + k) \leq W + k\))

Mit Excel berechnen

Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein. Sie funktioniert unverändert.

Tabelle zur Berechnung der „Zahl der Teile je Platte, wenn nur gleiche Teile nebeneinander liegen“

Plattenbreite (mm)	2500
Plattenhöhe (mm)	1250
Teilebreite (mm)	800
Teilehöhe (mm)	500
Schnittfuge (mm)	3
Zahl der Teile in der Breite	=GANZZAHL((B1+B5)/(B3+B5))
Zahl der Teile in der Höhe	=GANZZAHL((B2+B5)/(B4+B5))
Teile je Platte	=B6*B7

Tabelle zur Berechnung der „Zahl der Platten bei getrenntem Kauf“

Benötigte Zahl der Teile	10
Teile je Platte	4
Benötigte Zahl der Platten	=AUFRUNDEN(B1/B2;0)

Tabelle zur Berechnung von „Verschnitt und Ausbeute“

Zahl der Platten	2
Plattenbreite (mm)	2500
Plattenhöhe (mm)	1250
Summe der Flächen aller Teile (mm²)	4500000
Fläche des Verschnitts (mm²)	=B1B2B3-B4
Fläche des Verschnitts (m²)	=B5/1000000
Ausbeute (%)	=B4/(B1B2B3)*100

Tabelle zur Berechnung der „theoretisch kleinsten Zahl der Platten aus der Fläche“

Summe aller (Breite + Schnittfuge) × (Höhe + Schnittfuge) (mm²)	4539531
(Plattenbreite + Schnittfuge) × (Plattenhöhe + Schnittfuge) (mm²)	3136259
Theoretisch kleinste Zahl der Platten	=AUFRUNDEN(B1/B2;0)

Tabelle zur Berechnung der „eingesparten Platten und der geschätzten Kosten“

Platten bei getrenntem Kauf	3
Platten beim gemeinsamen Zuschnitt	2
Preis je Platte (€)	135
Eingesparte Platten	=B1-B2
Geschätzte Kosten (€)	=B3*B2

Nach dem Einfügen sind die oberen Zeilen der Spalte B Eingabefelder, und die unteren Zeilen werden automatisch berechnet.
„GANZZAHL(Wert)“ schneidet die Nachkommastellen ab und ergibt eine ganze Zahl (entspricht ⌊ ⌋ in der Formel), „AUFRUNDEN(Wert; 0)“ rundet auf (entspricht ⌈ ⌉).
B8 der 1. Tabelle ergibt 6 Teile (3 in der Breite × 2 in der Höhe), B3 der 2. Tabelle 3 Platten, B6 der 3. Tabelle 1,75 m² und B7 72 % (Beispiel: 2 Deckel, 4 Seiten und 3 Fachböden auf 2 Platten), B3 der 4. Tabelle 2 Platten, die 5. Tabelle eine Ersparnis von 1 Platte und Kosten von 270 €.
Das Streifenverfahren selbst besteht darin, die Teile nach Höhe zu sortieren und von oben nach unten in Streifen zu legen, also von Hand; in der Tabellenkalkulation prüfen Sie deshalb die „Zahl je Platte“, den „Verschnitt“ und die „Untergrenze“, und den Zuschnittplan erstellen Sie sicher mit dieser Seite oder dem Python-Code unten.

Mit Google Tabellen berechnen

Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein. Sie funktioniert unverändert.

Tabelle zur Berechnung der „Zahl der Teile je Platte, wenn nur gleiche Teile nebeneinander liegen“

Plattenbreite (mm)	2500
Plattenhöhe (mm)	1250
Teilebreite (mm)	800
Teilehöhe (mm)	500
Schnittfuge (mm)	3
Zahl der Teile in der Breite	=GANZZAHL((B1+B5)/(B3+B5))
Zahl der Teile in der Höhe	=GANZZAHL((B2+B5)/(B4+B5))
Teile je Platte	=B6*B7

Tabelle zur Berechnung der „Zahl der Platten bei getrenntem Kauf“

Benötigte Zahl der Teile	10
Teile je Platte	4
Benötigte Zahl der Platten	=AUFRUNDEN(B1/B2;0)

Tabelle zur Berechnung von „Verschnitt und Ausbeute“

Zahl der Platten	2
Plattenbreite (mm)	2500
Plattenhöhe (mm)	1250
Summe der Flächen aller Teile (mm²)	4500000
Fläche des Verschnitts (mm²)	=B1B2B3-B4
Fläche des Verschnitts (m²)	=B5/1000000
Ausbeute (%)	=B4/(B1B2B3)*100

Tabelle zur Berechnung der „theoretisch kleinsten Zahl der Platten aus der Fläche“

Summe aller (Breite + Schnittfuge) × (Höhe + Schnittfuge) (mm²)	4539531
(Plattenbreite + Schnittfuge) × (Plattenhöhe + Schnittfuge) (mm²)	3136259
Theoretisch kleinste Zahl der Platten	=AUFRUNDEN(B1/B2;0)

Tabelle zur Berechnung der „eingesparten Platten und der geschätzten Kosten“

Platten bei getrenntem Kauf	3
Platten beim gemeinsamen Zuschnitt	2
Preis je Platte (€)	135
Eingesparte Platten	=B1-B2
Geschätzte Kosten (€)	=B3*B2

Es lassen sich dieselben Formeln wie in Excel verwenden (GANZZAHL und AUFRUNDEN heißen auch in Google Tabellen so). Kopieren Sie die Tabelle als Ganzes, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Spalte B durch Ihre eigenen Zahlen.

Mit Python berechnen

import math

sheet_w, sheet_h = 2500, 1250   # Breite und Höhe der Platte (mm)
kerf = 3                        # Schnittfuge (Sägeblattbreite, mm)
rotate = True                   # True, wenn die Maserung egal ist (Teile dürfen um 90 Grad gedreht werden)
unit_price = 135                # Preis je Platte (€)
# Zuzuschneidende Teile: (Name, Breite mm, Höhe mm, Anzahl)
parts = [("Deckel", 1200, 600, 2), ("Seite", 900, 550, 4), ("Fachboden", 800, 450, 3)]

# Platten bei getrenntem Kauf je Teilesorte (Raster in Breite × Höhe; bei erlaubtem Drehen wird auch die vertauschte Lage probiert)
def per_sheet(w, h):
    return ((sheet_w + kerf) // (w + kerf)) * ((sheet_h + kerf) // (h + kerf))   # Abrunden (⌊ ⌋ in der Formel)
sheets_separate = 0
for name, w, h, qty in parts:
    m = max(per_sheet(w, h), per_sheet(h, w) if rotate else 0)
    sheets_separate += math.ceil(qty / m)   # Aufrunden (⌈ ⌉ in der Formel)

# Gemeinsamer Zuschnitt: Streifenverfahren (nach Höhe absteigend, in den ersten passenden Streifen; bei erlaubtem Drehen mit der langen Seite in der Breite)
pieces = []
for name, w, h, qty in parts:
    pw, ph = (max(w, h), min(w, h)) if rotate else (w, h)
    pieces += [(name, pw, ph)] * qty
pieces.sort(key=lambda p: (-p[2], -p[1]))
sheets = []   # je Platte {"y": nächste Streifenposition, "shelves": [{"y", "h", "x", "parts"}]}
for name, pw, ph in pieces:
    for sheet in sheets:
        shelf = next((s for s in sheet["shelves"] if ph <= s["h"] and pw <= sheet_w - s["x"]), None)
        if shelf is None and ph <= sheet_h - sheet["y"]:
            shelf = {"y": sheet["y"], "h": ph, "x": 0, "parts": []}
            sheet["shelves"].append(shelf)
            sheet["y"] += ph + kerf
        if shelf is not None:
            shelf["parts"].append((name, shelf["x"], shelf["y"], pw, ph))
            shelf["x"] += pw + kerf
            break
    else:
        sheets.append({"y": ph + kerf, "shelves": [{"y": 0, "h": ph, "x": pw + kerf, "parts": [(name, 0, 0, pw, ph)]}]})

# Verschnitt, Ausbeute und Untergrenze aus der Fläche
parts_area = sum(qty * w * h for name, w, h, qty in parts)
total_area = len(sheets) * sheet_w * sheet_h
lower_bound = math.ceil(sum(qty * (w + kerf) * (h + kerf) for name, w, h, qty in parts) / ((sheet_w + kerf) * (sheet_h + kerf)))

print(f"Getrennter Kauf je Teilesorte: {sheets_separate} Platten")
print(f"Gemeinsamer Zuschnitt (Streifenverfahren): {len(sheets)} Platten (Untergrenze aus der Fläche: {lower_bound} Platten)")
for i, sheet in enumerate(sheets, 1):
    for shelf in sheet["shelves"]:
        print(f"  Platte {i} Streifen (y={shelf['y']}): " + ", ".join(f"{n}@x={x} {pw}x{ph}" for n, x, y, pw, ph in shelf["parts"]))
print(f"Verschnitt: {(total_area - parts_area) / 1e6:.3f} m²  Ausbeute: {parts_area / total_area * 100:.1f} %")
print(f"Geschätzte Kosten: {unit_price * len(sheets)} €")

Das Programm kommt mit der Standardbibliothek aus. „//“ ist die Division mit Abrunden (⌊ ⌋ in der Formel), math.ceil() das Aufrunden (⌈ ⌉ in der Formel). Der Code zeigt die Grundform des Streifenverfahrens (lange Seite in der Breite, nur waagerechte Streifen); findet der Rechner auf dieser Seite mit anderen Kombinationen aus Teilelage und Streifenrichtung oder mit gedrehten Teilen im Reststreifen weniger Platten, kann die Zahl abweichen (stimmt sie mit der Untergrenze überein, ist sie dieselbe). Das else der for-Schleife wird ausgeführt, wenn die Schleife nicht mit break endet (das Teil also auf keine vorhandene Platte gepasst hat), und fügt eine neue Platte hinzu. Ersetzen Sie zu Beginn die Maße der Platte, die Schnittfuge und die Liste der Teile durch Ihre Zahlen und führen Sie das Programm aus.

Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)

Zahl der Teile je Platte, wenn nur gleiche Teile nebeneinander liegen

c = ⌊(W + k) ÷ (w + k)⌋,  r = ⌊(H + k) ÷ (h + k)⌋,  m = c × r

c = \left\lfloor \frac{W + k}{w + k} \right\rfloor,\quad r = \left\lfloor \frac{H + k}{h + k} \right\rfloor,\quad m = c \times r

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>c</mi>
    <mo>=</mo>
    <mo>&#x230A;</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>W</mi><mo>+</mo><mi>k</mi></mrow>
      <mrow><mi>w</mi><mo>+</mo><mi>k</mi></mrow>
    </mfrac>
    <mo>&#x230B;</mo>
    <mo>,</mo>
    <mi>r</mi>
    <mo>=</mo>
    <mo>&#x230A;</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>H</mi><mo>+</mo><mi>k</mi></mrow>
      <mrow><mi>h</mi><mo>+</mo><mi>k</mi></mrow>
    </mfrac>
    <mo>&#x230B;</mo>
    <mo>,</mo>
    <mi>m</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>c</mi>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mi>r</mi>
  </mrow>
</math>

c = |__ (W + k) / (w + k) __|,  r = |__ (H + k) / (h + k) __|,  m = c * r

c = Floor[(W + k)/(w + k)]; r = Floor[(H + k)/(h + k)]; m = c*r

c := floor((W + k)/(w + k));  r := floor((H + k)/(h + k));  m := c*r;

c = floor((W + k)/(w + k)); r = floor((H + k)/(h + k)); m = c*r;

c = ⌊(W + k)/(w + k)⌋, r = ⌊(H + k)/(h + k)⌋, m = c × r

Zahl der Platten, wenn jede Teilesorte getrennt gekauft wird

Bᵢ = ⌈qᵢ ÷ mᵢ⌉,  Bgetr = B₁ + B₂ + …

B_i = \left\lceil \frac{q_i}{m_i} \right\rceil,\quad B_{\text{getr}} = \sum_i B_i

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>B</mi><mi>i</mi></msub>
    <mo>=</mo>
    <mo>&#x2308;</mo>
    <mfrac><msub><mi>q</mi><mi>i</mi></msub><msub><mi>m</mi><mi>i</mi></msub></mfrac>
    <mo>&#x2309;</mo>
    <mo>,</mo>
    <msub><mi>B</mi><mtext>getr</mtext></msub>
    <mo>=</mo>
    <munder><mo>&#x2211;</mo><mi>i</mi></munder>
    <msub><mi>B</mi><mi>i</mi></msub>
  </mrow>
</math>

B_i = |~ q_i / m_i ~|,  B_"getr" = sum_i B_i

Total[Ceiling[q/m]]

B := add(ceil(q[i]/m[i]), i = 1 .. n);

B = sum(ceil(q ./ m));

B_i = ⌈q_i/m_i⌉, B_getr = ∑_i B_i

Streifenverfahren: Bedingung für Teile in einem Streifen und für Streifen auf einer Platte

w₁ + w₂ + … + wₙ + (n − 1)k ≤ W,  h₁ + h₂ + … + hₛ + (s − 1)k ≤ H

\sum_{j=1}^{n} w_j + (n - 1)k \leq W,\quad \sum_{t=1}^{s} h_t + (s - 1)k \leq H

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <munderover><mo>&#x2211;</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mi>n</mi></munderover>
    <msub><mi>w</mi><mi>j</mi></msub>
    <mo>+</mo>
    <mo>(</mo><mi>n</mi><mo>&#x2212;</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mi>k</mi>
    <mo>&#x2264;</mo>
    <mi>W</mi>
    <mo>,</mo>
    <munderover><mo>&#x2211;</mo><mrow><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mi>s</mi></munderover>
    <msub><mi>h</mi><mi>t</mi></msub>
    <mo>+</mo>
    <mo>(</mo><mi>s</mi><mo>&#x2212;</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mi>k</mi>
    <mo>&#x2264;</mo>
    <mi>H</mi>
  </mrow>
</math>

sum_(j=1)^n w_j + (n - 1) k <= W,  sum_(t=1)^s h_t + (s - 1) k <= H

Total[w] + (Length[w] - 1)*k <= W && Total[h] + (Length[h] - 1)*k <= H

add(w[j], j = 1 .. n) + (n - 1)*k <= W;  add(h[t], t = 1 .. s) + (s - 1)*k <= H;

sum(w) + (numel(w) - 1)*k <= W && sum(h) + (numel(h) - 1)*k <= H

∑_(j=1)^n w_j + (n − 1)k ≤ W, ∑_(t=1)^s h_t + (s − 1)k ≤ H

Verschnitt und Ausbeute

AV = B × W × H − Σ qᵢ wᵢ hᵢ,  Y = Σ qᵢ wᵢ hᵢ ÷ (B × W × H) × 100

A_{\text{V}} = B\,W\,H - \sum_i q_i w_i h_i,\quad Y = \frac{\sum_i q_i w_i h_i}{B\,W\,H} \times 100

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>A</mi><mtext>V</mtext></msub>
    <mo>=</mo>
    <mi>B</mi><mo>&#x2062;</mo><mi>W</mi><mo>&#x2062;</mo><mi>H</mi>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <munder><mo>&#x2211;</mo><mi>i</mi></munder>
    <msub><mi>q</mi><mi>i</mi></msub><msub><mi>w</mi><mi>i</mi></msub><msub><mi>h</mi><mi>i</mi></msub>
    <mo>,</mo>
    <mi>Y</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><munder><mo>&#x2211;</mo><mi>i</mi></munder><msub><mi>q</mi><mi>i</mi></msub><msub><mi>w</mi><mi>i</mi></msub><msub><mi>h</mi><mi>i</mi></msub></mrow>
      <mrow><mi>B</mi><mo>&#x2062;</mo><mi>W</mi><mo>&#x2062;</mo><mi>H</mi></mrow>
    </mfrac>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mn>100</mn>
  </mrow>
</math>

A_"V" = B W H - sum_i q_i w_i h_i,  Y = (sum_i q_i w_i h_i) / (B W H) * 100

{B*W*H - Total[q*w*h], Total[q*w*h]/(B*W*H)*100}

Awaste := B*W*H - add(q[i]*w[i]*h[i], i = 1 .. n);  Y := add(q[i]*w[i]*h[i], i = 1 .. n)/(B*W*H)*100;

Awaste = B*W*H - sum(q .* w .* h); Y = sum(q .* w .* h)/(B*W*H)*100;

A_V = BWH − ∑_i q_i w_i h_i, Y = (∑_i q_i w_i h_i)/(BWH) × 100

Theoretisch kleinste Zahl der Platten aus der Fläche (Untergrenze)

Bmin = ⌈Σ qᵢ (wᵢ + k)(hᵢ + k) ÷ ((W + k)(H + k))⌉

B_{\min} = \left\lceil \frac{\sum_i q_i (w_i + k)(h_i + k)}{(W + k)(H + k)} \right\rceil

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  <mrow>
    <msub><mi>B</mi><mi>min</mi></msub>
    <mo>=</mo>
    <mo>&#x2308;</mo>
    <mfrac>
      <mrow><munder><mo>&#x2211;</mo><mi>i</mi></munder><msub><mi>q</mi><mi>i</mi></msub><mo>(</mo><msub><mi>w</mi><mi>i</mi></msub><mo>+</mo><mi>k</mi><mo>)</mo><mo>(</mo><msub><mi>h</mi><mi>i</mi></msub><mo>+</mo><mi>k</mi><mo>)</mo></mrow>
      <mrow><mo>(</mo><mi>W</mi><mo>+</mo><mi>k</mi><mo>)</mo><mo>(</mo><mi>H</mi><mo>+</mo><mi>k</mi><mo>)</mo></mrow>
    </mfrac>
    <mo>&#x2309;</mo>
  </mrow>
</math>

B_min = |~ (sum_i q_i (w_i + k)(h_i + k)) / ((W + k)(H + k)) ~|

Ceiling[Total[q*(w + k)*(h + k)]/((W + k)*(H + k))]

Bmin := ceil(add(q[i]*(w[i] + k)*(h[i] + k), i = 1 .. n)/((W + k)*(H + k)));

Bmin = ceil(sum(q .* (w + k) .* (h + k))/((W + k)*(H + k)));

B_min = ⌈(∑_i q_i (w_i + k)(h_i + k))/((W + k)(H + k))⌉

Eingesparte Platten und geschätzte Kosten

Δ = Bgetr − B,  T = u × B

\Delta = B_{\text{getr}} - B,\quad T = u \times B

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>&#x394;</mi>
    <mo>=</mo>
    <msub><mi>B</mi><mtext>getr</mtext></msub>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mi>B</mi>
    <mo>,</mo>
    <mi>T</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>u</mi>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mi>B</mi>
  </mrow>
</math>

Delta = B_"getr" - B,  T = u * B

{bSep - b, u*b}

Delta := Bsep - B;  T := u*B;

Delta = Bsep - B; T = u*B;

Δ = B_getr − B, T = u × B

Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen

Sie sind ein Assistent für den Zuschnitt von Platten (Zuschnittoptimierung). Führen Sie die folgende Berechnung unbedingt mit tatsächlich ausgeführtem Python-Code durch und antworten Sie ausschließlich auf Grundlage der Zahlen aus dem Ergebnis (nicht im Kopf rechnen und nicht schätzen).

Aus Platten von 2500 × 1250 mm werden bei 3 mm Schnittfuge und erlaubtem Drehen der Teile um 90 Grad 2 Deckel von 1200 × 600 mm, 4 Seiten von 900 × 550 mm und 3 Fachböden von 800 × 450 mm geschnitten.
Berechnen Sie die folgenden Werte.
1. Für jede Teilesorte die Zahl der Teile, die bei nur gleichen Teilen aus einer Platte zu schneiden sind (⌊(2500+3)÷(Breite+3)⌋ × ⌊(1250+3)÷(Höhe+3)⌋; auch mit vertauschter Breite und Höhe rechnen und den größeren Wert nehmen)
2. Die Gesamtzahl der Platten, wenn jede Teilesorte aus eigenen Platten geschnitten wird (Summe der aufgerundeten Werte „benötigte Zahl ÷ Zahl je Platte“)
3. Die Zahl der Platten und die Lage der Teile auf jeder Platte, wenn im Streifenverfahren (First Fit Decreasing Height) angeordnet wird: Teile nach Höhe absteigend sortieren, Streifen von oben nach unten quer über die Platte anlegen; innerhalb eines Streifens geht es je Teil um Breite + Schnittfuge nach rechts, von Streifen zu Streifen um Höhe + Schnittfuge nach unten
4. Die Fläche des Verschnitts (Gesamtfläche der Platten − Gesamtfläche der Teile) und die Ausbeute (%)
5. Die theoretisch kleinste Zahl der Platten aus der Fläche (Summe aller (Breite+3) × (Höhe+3), geteilt durch (2500+3) × (1250+3) und aufgerundet)

Zeigen Sie den verwendeten Code und die Zahlen aus dem Ergebnis.

Anleitung

1

Zahlen eingeben

Geben Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
2

Berechnen

Klicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
3

Ergebnis ablesen

Das Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel