Füllen Sie von den 8 Feldern unten nur die zwei aus, die Sie kennen. Der Rechner behandelt die beiden Ereignisse als unabhängig und berechnet alle übrigen Wahrscheinlichkeiten rückwärts.
Füllen Sie nur zwei Felder aus und lassen Sie die anderen leer. Geben Sie jede Wahrscheinlichkeit als Zahl von 0 bis 1 ein (zum Beispiel 30 % als 0,3).
Ergebnis und Figur
Füllen Sie nur die beiden Felder aus, die Sie kennen, und klicken Sie auf „Berechnen“. Die übrigen Wahrscheinlichkeiten erscheinen hier.
Inhaltsverzeichnis
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Was Sie auf dieser Seite tun können
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Wofür ist diese Berechnung nützlich?
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Anleitung
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Formeln und Abbildungen
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Symbole und Begriffe
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Was Sie vorab wissen sollten
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Mit Excel berechnen
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Mit Google Tabellen berechnen
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Mit Python berechnen
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Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
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Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
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Die Vorteile von DataChef
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Verwandte Funktionen
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Alle NumberChef-Rechner
Was Sie auf dieser Seite tun können
- Zu zwei Ereignissen gehören 8 Wahrscheinlichkeiten: dass jedes eintritt oder nicht eintritt, dass beide eintreten, \(P(A \cap B)\), dass mindestens eines eintritt, \(P(A \cup B)\), und mehr. Geben Sie die zwei ein, die Sie kennen, und alle übrigen werden rückwärts berechnet
- Der Rechner ist für „Rückwärts“-Aufgaben gemacht, die ein gewöhnlicher Taschenrechner kaum löst, etwa „Mindestens eines tritt mit 58 % Wahrscheinlichkeit ein, beide treten mit 12 % Wahrscheinlichkeit ein. Wie wahrscheinlich ist jedes einzelne?“
- Er zeigt nicht nur die Ergebnisse, sondern jeden Rechenschritt, sodass Sie ihn zum Kontrollieren von Hausaufgaben oder eigenen Rechnungen nutzen können
- Eine leicht verständliche Erklärung der Formeln sowie Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python finden Sie ebenfalls auf dieser Seite
Der Rechner gilt nur, wenn sich die beiden Ereignisse nicht gegenseitig beeinflussen (wenn sie unabhängig sind). Ein Würfel und eine Münze, bei denen das eine Ergebnis nichts mit dem anderen zu tun hat, sind in Ordnung. Er gilt nicht, wenn ein Ergebnis die Wahrscheinlichkeit des anderen verändert, etwa beim „Ziehen zweier Lose ohne Zurücklegen“.
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
Einzelne Anteile aus Umfrageergebnissen rückwärts berechnen (Marketing)
Aus einem Umfrageergebnis wie „58 % der Befragten kennen mindestens eines der Produkte A und B, 12 % kennen beide“ lässt sich der Bekanntheitsgrad jedes Produkts berechnen (30 % und 40 %). (Das ist eine Modellrechnung, die die Bekanntheit der beiden als unabhängig behandelt.)
Im Marketing liegen oft nur die zusammengefassten Zahlen vor. Diese Rückwärtsrechnung hilft, wenn Sie daraus die einzelnen Zahlen herausholen möchten.
Die ursprünglichen Wahrscheinlichkeiten aus aufgezeichneten Ergebnissen abschätzen
„An 14,5 % der Tage im Jahr fiel mindestens eine von zwei Maschinen aus. An 0,5 % der Tage fielen beide gleichzeitig aus.“ Aus diesen Aufzeichnungen lässt sich die Ausfallrate jeder Maschine berechnen (5 % und 10 %).
Reale Daten halten oft nur die zusammengefassten Ergebnisse fest. Die einzelnen Wahrscheinlichkeiten daraus abzuschätzen, ist in Instandhaltung und Prozessverbesserung ein gängiger Ansatz.
Die Leistungsfähigkeit eines Vier-Augen-Prinzips ermitteln (Qualitätskontrolle und Korrekturlesen)
Zwei Personen prüfen Dokumente. Frühere Ergebnisse zeigen: „Mindestens eine der beiden findet einen Fehler in 90 % der Fälle, beide finden ihn in 40 % der Fälle.“ Daraus lässt sich die Trefferquote jeder Person berechnen (80 % und 50 %). (Das ist eine Modellrechnung, die ihre Prüfungen als unabhängig behandelt.)
Sie können das Können jeder prüfenden Person aus früheren Ergebnissen abschätzen, ohne sie einzeln zu testen, und die Aufstellung (wer mit wem arbeiten soll oder ob eine Person genügt) anhand von Zahlen überdenken.
Einzelne Anteile aus Umfragedaten zur Geräteausstattung ablesen
Aus einem Umfrageergebnis wie „85 % der Menschen besitzen mindestens eines von Smartphone und Tablet, 35 % besitzen beide“ lässt sich die Besitzquote jedes Geräts berechnen (70 % und 50 %). (Das ist eine grobe Schätzung, die den Besitz der beiden als unabhängig behandelt.)
Veröffentlichte Statistiken nennen manchmal nur Zahlen der Form „mindestens eines“ und „beide“. Damit können Sie die einzelnen Anteile herausrechnen, die Sie interessieren.
Formeln und Abbildungen
Die Beziehungen, die bei zwei unabhängigen Ereignissen immer gelten
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(P(A \cap B)\)
\(=\)
\(P(A)\)
\(\cdot\)
\(P(B)\)
\(P(A \cup B)\)
\(=\)
\(P(A)\)
\(+\)
\(P(B)\)
\(-\)
\(P(A)\,P(B)\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(P(A \cap B)\): Wahrscheinlichkeit, dass beide eintreten
\(=\)
①
\(P(A)\): Wahrscheinlichkeit, dass A eintritt
\(\cdot\)
②
\(P(B)\): Wahrscheinlichkeit, dass B eintritt
④
\(P(A \cup B)\): Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eines eintritt
\(=\)
\(P(A)\): Wahrscheinlichkeit, dass A eintritt
\(+\)
\(P(B)\): Wahrscheinlichkeit, dass B eintritt
\(-\)
Wahrscheinlichkeit, dass beide eintreten (das Produkt)
Die Formel in Worten
①
Nehmen Sie die
\(P(A)\): Wahrscheinlichkeit, dass A eintritt
②
multiplizieren Sie sie mit der
\(P(B)\): Wahrscheinlichkeit, dass B eintritt
③
und Sie erhalten die
\(P(A \cap B)\): Wahrscheinlichkeit, dass beide eintreten
(die erste Formel)
④
Addieren Sie die beiden Wahrscheinlichkeiten und ziehen Sie das Produkt (die Wahrscheinlichkeit, dass beide eintreten) ab, und Sie erhalten die
\(P(A \cup B)\): Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eines eintritt
(die zweite Formel)
Diese beiden Beziehungen gelten bei zwei unabhängigen Ereignissen immer. Kennen Sie also zwei beliebige der 8 Wahrscheinlichkeiten, können Sie die Beziehungen rückwärts verfolgen und alle übrigen finden.
Einfaches Beispiel
Wissen Sie, dass beide mit der Wahrscheinlichkeit 0,12 eintreten und mindestens eines mit der Wahrscheinlichkeit 0,58, suchen Sie „zwei Zahlen, deren Summe 0,7 und deren Produkt 0,12 ist“. Diese Zahlen sind P(A) und P(B)
beide treten ein (0,12)
\(=\)
\(P(A)\): A tritt ein (?)
\(\cdot\)
\(P(B)\): B tritt ein (?)
\(P(A) + P(B) = 0{,}58 + 0{,}12 = 0{,}7\)
\(P(A) \cdot P(B) = 0{,}12\)
\(\Rightarrow\ P(A) = 0{,}3,\ \ P(B) = 0{,}4\)
Der Kerngedanke
Warum genügen zwei Werte, um alle übrigen zu finden? Jede der 8 Wahrscheinlichkeiten lässt sich mit \(P(A)\) und \(P(B)\) schreiben, es gibt also eigentlich nur zwei Unbekannte. Für zwei Unbekannte reichen zwei Hinweise (Gleichungen) aus, um sie zu bestimmen. Es ist dieselbe Idee wie bei einem Gleichungssystem: „Zwei Gleichungen mit \(x\) und \(y\) lassen sich lösen“.
Beachten Sie, dass sich „beide treten ein“ und „mindestens eines tritt ein“ nicht ändern, wenn Sie A und B vertauschen. Rechnen Sie also von diesen beiden aus rückwärts, lässt sich nicht sagen, welches A und welches B ist, und Sie erhalten unter Umständen zwei Lösungen mit vertauschten A und B. Bei widersprüchlichen Eingaben, etwa wenn „beide treten ein“ größer ist als „mindestens eines tritt ein“, passt keine Kombination von Wahrscheinlichkeiten, und das Ergebnis lautet „keine Lösung“.
Das Quadrat rechts in der Abbildung oben stellt das Ganze als Quadrat mit dem Flächeninhalt 1 dar, mit der Breite \(P(A)\) und der Höhe \(P(B)\). Der Flächeninhalt des Rechtecks unten links, \(P(A) \cdot P(B)\), ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide eintreten. Deshalb ist die erste Formel eine Multiplikation. Das Venn-Diagramm links zeigt nur, welcher Teil welcher ist: Alles innerhalb der beiden Kreise ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eines eintritt. (Die Flächen der Kreise stimmen nicht mit der Größe der Wahrscheinlichkeiten überein.)
Alle 8 Wahrscheinlichkeiten sind allein durch die zwei Werte \(P(A)\) und \(P(B)\) bestimmt. Kennen Sie umgekehrt zwei beliebige davon, finden Sie alle übrigen.
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(P(A)\) | P von A | Die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis A eintritt. P steht für „Probability“, das englische Wort für Wahrscheinlichkeit. |
| \(\overline{A}\) | A quer (Gegenereignis) | Der Querstrich über A steht für das Ereignis „A tritt nicht ein“, das Gegenereignis von A. Man berechnet es mit \(P(\overline{A}) = 1 - P(A)\). In den Rechenschritten dieses Rechners wird es auch \(A'\) geschrieben. |
| \(\cap\) | geschnitten mit (Schnittmenge) | Das Symbol für „und“. \(A \cap B\) ist das Ereignis „A und B treten beide ein“. Im Venn-Diagramm ist es der Teil, in dem sich die beiden Kreise überschneiden. |
| \(\cup\) | vereinigt mit (Vereinigung) | Das Symbol für „oder“. \(A \cup B\) ist das Ereignis „mindestens eines von A und B tritt ein“. Im Venn-Diagramm ist es alles, was innerhalb der beiden Kreise liegt. |
| \(\Delta\) | Delta (symmetrische Differenz) | Das Symbol für „genau eines“. \(A \Delta B\) ist das Ereignis „genau eines von A und B tritt ein (nicht beide)“. |
Begriffe
| Ereignis | Etwas, das entweder eintritt oder nicht, zum Beispiel „eine 6 würfeln“ oder „morgen regnet es“. In der Wahrscheinlichkeitsrechnung nennt man solche Ausgänge Ereignisse und gibt ihnen Namen wie A und B. |
| unabhängig | Wenn das Ergebnis des einen Ereignisses nichts daran ändert, wie wahrscheinlich das andere ist. Das Ziehen eines zweiten Loses ohne Zurücklegen des ersten ist nicht unabhängig, weil das erste Ergebnis die Wahrscheinlichkeit des zweiten verändert. Die Rückwärtsrechnung auf dieser Seite gilt nur für unabhängige Ereignisse. |
| Gegenereignis | Das entgegengesetzte Ereignis: Das Ereignis tritt nicht ein. Ist die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten 0,3, dann ist die Wahrscheinlichkeit für das Nichteintreten (die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses) \(1 - 0{,}3 = 0{,}7\). |
| Gleichungssystem | Eine Methode, zwei unbekannte Zahlen zu finden, indem man zwei Gleichungen kombiniert. Die Rückwärtsrechnung auf dieser Seite löst ein Gleichungssystem mit den zwei Unbekannten \(P(A)\) und \(P(B)\). |
| quadratische Gleichung | Die Aufgabe, „zwei Zahlen zu finden, deren Summe \(S\) und deren Produkt \(P\) ist“, führt auf eine quadratische Gleichung. Die meisten Rückwärtsrechnungen auf dieser Seite enden in dieser Form. |
| abc-Formel | Die Formel, mit der sich jede quadratische Gleichung Schritt für Schritt lösen lässt, \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\) (auch Mitternachtsformel genannt). Die quadratischen Gleichungen, in denen die Rechnungen auf dieser Seite enden, werden damit gelöst. |
| Diskriminante | Der Ausdruck unter der Wurzel in der abc-Formel, \(b^2 - 4ac\). Ist er positiv, gibt es zwei Lösungen, ist er 0, genau eine, und ist er negativ, passt keine Zahl (keine reelle Lösung). Eine negative Diskriminante ist der häufigste Grund, warum diese Seite „keine Lösung“ anzeigt. |
Was Sie vorab wissen sollten
Damit Sie die Berechnung auf dieser Seite mit echtem Verständnis nutzen können und nicht nur auf die Schaltfläche klicken, hilft Ihnen das folgende Grundwissen.
| Grundlagen der Wahrscheinlichkeit (Klasse 7, 12–13 Jahre) |
|
| Wahrscheinlichkeit von zwei unabhängigen Ereignissen (eine Schwesterseite auf dieser Website) |
|
| Lineare Gleichungen (Klasse 7–8, 12–14 Jahre) |
|
| Quadratische Gleichungen und die abc-Formel (Klasse 9–10, 14–16 Jahre) |
|
Mit Excel berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle zur Berechnung von P(A) und P(B) aus „beide treten ein“ und „mindestens eines tritt ein“
| Beide treten ein, P(A∩B) | 0,12 |
| Mindestens eines tritt ein, P(A∪B) | 0,58 |
| P(A) (die kleinere Lösung) | =(B1+B2-WURZEL((B1+B2)^2-4*B1))/2 |
| P(B) (die größere Lösung) | =(B1+B2+WURZEL((B1+B2)^2-4*B1))/2 |
Nach dem Einfügen sind B1 und B2 Ihre Eingaben, und B3 und B4 zeigen die rückwärts berechneten Werte P(A) und P(B).
Verwendet werden die Beziehungen P(A) + P(B) = P(A∪B) + P(A∩B) und P(A) · P(B) = P(A∩B). Die entstehende quadratische Gleichung wird mit der abc-Formel gelöst.
WURZEL ist die Funktion für die Quadratwurzel. Eingaben, bei denen die Zahl unter der Wurzel negativ wird, haben keine Lösung und zeigen einen Fehler (#ZAHL!).
Für andere Kombinationen (zum Beispiel, wenn Sie P(A) und P(A∪B) kennen) nutzen Sie als Anleitung den Abschnitt „Rechenschritte“, den der Rechner dieser Seite anzeigt.
Verwendet werden die Beziehungen P(A) + P(B) = P(A∪B) + P(A∩B) und P(A) · P(B) = P(A∩B). Die entstehende quadratische Gleichung wird mit der abc-Formel gelöst.
WURZEL ist die Funktion für die Quadratwurzel. Eingaben, bei denen die Zahl unter der Wurzel negativ wird, haben keine Lösung und zeigen einen Fehler (#ZAHL!).
Für andere Kombinationen (zum Beispiel, wenn Sie P(A) und P(A∪B) kennen) nutzen Sie als Anleitung den Abschnitt „Rechenschritte“, den der Rechner dieser Seite anzeigt.
Mit Google Tabellen berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle zur Berechnung von P(A) und P(B) aus „beide treten ein“ und „mindestens eines tritt ein“
| Beide treten ein, P(A∩B) | 0,12 |
| Mindestens eines tritt ein, P(A∪B) | 0,58 |
| P(A) (die kleinere Lösung) | =(B1+B2-WURZEL((B1+B2)^2-4*B1))/2 |
| P(B) (die größere Lösung) | =(B1+B2+WURZEL((B1+B2)^2-4*B1))/2 |
Dieselben Formeln wie in Excel funktionieren unverändert. Kopieren Sie die gesamte Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Zahlen in B1 und B2 durch Ihre eigenen Werte.
Mit Python berechnen
import math
p_both = 0.12 # beide treten ein, P(A∩B)
p_at_least_one = 0.58 # mindestens eines tritt ein, P(A∪B)
sum_of_pa_pb = p_at_least_one + p_both # P(A) + P(B)
product_of_pa_pb = p_both # P(A) × P(B)
discriminant = sum_of_pa_pb ** 2 - 4 * product_of_pa_pb # Diskriminante der quadratischen Gleichung
if discriminant < 0:
print("Keine Lösung (keine Wahrscheinlichkeiten passen zu dieser Kombination)")
else:
sqrt_of_discriminant = math.sqrt(discriminant)
p_a = (sum_of_pa_pb - sqrt_of_discriminant) / 2
p_b = (sum_of_pa_pb + sqrt_of_discriminant) / 2
print(f"P(A) = {p_a}, P(B) = {p_b}")
Dieses Beispiel gilt für den Fall, dass Sie „beide treten ein“ und „mindestens eines tritt ein“ kennen. Ändern Sie die beiden Werte oben und führen Sie den Code aus. Gibt es zwei Antworten, ist die andere Lösung dieselbe mit vertauschten P(A) und P(B).
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
Die Beziehungen, die bei zwei unabhängigen Ereignissen immer gelten
P(A∩B) = P(A) · P(B), P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A)·P(B)
P(A \cap B) = P(A)\,P(B), \quad P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A)\,P(B)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>∩</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
<mo>,</mo>
<mspace width="1em"></mspace>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>∪</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo>
<mo>+</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
<mo>−</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
</mrow>
</math>
P(A nn B) = P(A) P(B), P(A uu B) = P(A) + P(B) - P(A) P(B)
Solve[{pa*pb == 0.12, pa + pb - pa*pb == 0.58}, {pa, pb}]
solve({pa*pb = 0.12, pa + pb - pa*pb = 0.58}, {pa, pb});
syms pa pb; sol = solve(pa*pb == 0.12, pa + pb - pa*pb == 0.58, pa, pb);
P(A∩B) = P(A) · P(B), P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A)·P(B)
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
Sie sind ein Assistent für Wahrscheinlichkeitsrechnung. Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (rechnen Sie nicht im Kopf und raten Sie nicht). Für zwei unabhängige Ereignisse A und B wissen wir, dass die Wahrscheinlichkeit, dass beide eintreten, P(A∩B) = 0,12 beträgt und die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eines eintritt, P(A∪B) = 0,58. Berechnen Sie P(A) und P(B). Berechnen Sie dann auch die Wahrscheinlichkeit, dass jeweils das eine nicht eintritt, die Wahrscheinlichkeit, dass genau eines eintritt, P(AΔB), und die Wahrscheinlichkeit, dass keines eintritt. Gibt es zwei Lösungen, zeigen Sie beide. Zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Ausführungsergebnisse in einer Tabelle.
Anleitung
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1Zahlen eingebenGeben Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
-
2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
-
3Ergebnis ablesenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
Die Vorteile von DataChef
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Keine Quellenangabe nötig
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Keine vorherige Genehmigung erforderlich
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Verwandte Funktionen
Wahrscheinlichkeit von zwei Ereignissen (und, oder, keines)
Berechnet aus zwei Wahrscheinlichkeiten die Wahrscheinlichkeit, dass beide eintreten, dass mindestens eines eintritt, und mehr
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Berechnet die Wahrscheinlichkeit, dass etwas n-mal hintereinander eintritt oder bei n Versuchen mindestens einmal
Normalverteilung berechnen (Wahrscheinlichkeit für einen Bereich)
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