Füllen Sie von den 8 Feldern unten nur die zwei aus, die Sie kennen. Unter der Annahme, dass die beiden Ereignisse unabhängig sind, werden alle übrigen Wahrscheinlichkeiten rückwärts berechnet.
Füllen Sie nur zwei Felder aus und lassen Sie die anderen leer. Geben Sie jede Wahrscheinlichkeit als Zahl von 0 bis 1 ein (zum Beispiel 0,3 für 30 %).
Ergebnis und Figur
Füllen Sie nur die beiden Felder aus, die Sie kennen, und klicken Sie auf „Berechnen“. Die übrigen Wahrscheinlichkeiten erscheinen dann hier.
Inhaltsverzeichnis
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Das können Sie auf dieser Seite
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Wofür braucht man diese Berechnung?
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Anleitung
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Formeln und Abbildungen
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Symbole und Begriffe
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Das sollten Sie vorher wissen
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So berechnen Sie es in Excel
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So berechnen Sie es in Google Tabellen
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So berechnen Sie es in Python
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So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
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So lassen Sie ChatGPT rechnen
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Die Vorteile von DataChef
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Verwandte Funktionen
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Alle Rechner von NumberChef
Das können Sie auf dieser Seite
- Zu zwei Ereignissen gehören 8 Wahrscheinlichkeiten: dass A bzw. B eintritt oder nicht, dass beide eintreten, \(P(A \cap B)\), dass mindestens eines eintritt, \(P(A \cup B)\), und weitere. Sie geben die zwei ein, die Sie kennen – alle übrigen werden rückwärts berechnet
- Der Rechner ist für „Rückwärts-Aufgaben“ gemacht, die ein normaler Taschenrechner kaum lösen kann, etwa „Mindestens eines tritt mit 58 % ein, beide mit 12 %. Wie wahrscheinlich ist jedes einzeln?“
- Sie sehen nicht nur das Ergebnis, sondern den ganzen Rechenweg – ideal, um Hausaufgaben oder eigene Rechnungen zu kontrollieren
- Außerdem finden Sie hier eine leicht verständliche Erklärung der Formeln und Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python
Der Rechner gilt nur, wenn sich die beiden Ereignisse nicht gegenseitig beeinflussen (unabhängige Ereignisse). Würfel und Münze, bei denen das eine Ergebnis nichts mit dem anderen zu tun hat, sind in Ordnung. Ändert dagegen ein Ergebnis die Wahrscheinlichkeit des anderen – etwa beim zweimaligen Ziehen eines Loses ohne Zurücklegen –, passt der Rechner nicht.
Wofür braucht man diese Berechnung?
Einzelne Anteile aus Umfrageergebnissen zurückrechnen (Marketing)
Aus einem Umfrageergebnis wie „58 % kennen mindestens eines der Produkte A und B, 12 % kennen beide“ lässt sich die Bekanntheit jedes einzelnen Produkts zurückrechnen (30 % und 40 %). (Eine Modellrechnung, die die Bekanntheit der beiden Produkte als unabhängig betrachtet.)
Im Marketing liegen oft nur zusammengefasste Zahlen vor. Diese Rückwärtsrechnung hilft, daraus die einzelnen Werte herauszuholen.
Ursprüngliche Wahrscheinlichkeiten aus aufgezeichneten Ergebnissen schätzen
„An 14,5 % der Tage im Jahr ist mindestens eine von zwei Maschinen ausgefallen, an 0,5 % der Tage beide gleichzeitig.“ Aus diesen Aufzeichnungen lässt sich die Ausfallrate jeder Maschine bestimmen (5 % und 10 %).
Reale Daten erfassen oft nur das Gesamtergebnis. Daraus die einzelnen Wahrscheinlichkeiten zu schätzen, ist in der Instandhaltung und bei der Prozessverbesserung ein gängiger Ansatz.
Die Leistung eines Vier-Augen-Prinzips zurückrechnen (Qualitätskontrolle, Korrekturlesen)
Zwei Personen prüfen Dokumente. Aus der Erfahrung ist bekannt: „Mindestens eine der beiden findet einen Fehler mit 90 % Wahrscheinlichkeit, beide finden ihn mit 40 %.“ Daraus lässt sich die Trefferquote jeder Person zurückrechnen (80 % und 50 %). (Eine Modellrechnung, die die beiden Prüfungen als unabhängig betrachtet.)
Ohne jede Person einzeln zu testen, schätzen Sie aus bisherigen Ergebnissen, wie gut jede prüft – und können die Aufstellung (wer mit wem, ob eine Person reicht) anhand von Zahlen überdenken.
Einzelne Anteile aus Statistiken zur Geräteausstattung herauslesen
Aus einem Umfrageergebnis wie „85 % besitzen mindestens ein Smartphone oder ein Tablet, 35 % besitzen beides“ lässt sich der Anteil für jedes Gerät bestimmen (70 % und 50 %). (Eine grobe Schätzung, die den Besitz der beiden Geräte als unabhängig betrachtet.)
Veröffentlichte Statistiken nennen manchmal nur Zahlen der Form „mindestens eines“ und „beide“. Damit holen Sie die gewünschten Einzelwerte heraus.
Formeln und Abbildungen
Diese Beziehungen gelten für zwei unabhängige Ereignisse immer
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(P(A \cap B)\)
\(=\)
\(P(A)\)
\(\times\)
\(P(B)\)
\(P(A \cup B)\)
\(=\)
\(P(A)\)
\(+\)
\(P(B)\)
\(-\)
\(P(A)\,P(B)\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(P(A \cap B)\): Wahrscheinlichkeit, dass beide eintreten
\(=\)
①
\(P(A)\): Wahrscheinlichkeit, dass A eintritt
\(\times\)
②
\(P(B)\): Wahrscheinlichkeit, dass B eintritt
④
\(P(A \cup B)\): Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eines eintritt
\(=\)
\(P(A)\): Wahrscheinlichkeit, dass A eintritt
\(+\)
\(P(B)\): Wahrscheinlichkeit, dass B eintritt
\(-\)
Wahrscheinlichkeit, dass beide eintreten (das Produkt)
Die Formel in Worten
①
Multiplizieren Sie die
\(P(A)\): Wahrscheinlichkeit, dass A eintritt
②
mit der
\(P(B)\): Wahrscheinlichkeit, dass B eintritt
③
und Sie erhalten die
\(P(A \cap B)\): Wahrscheinlichkeit, dass beide eintreten
(erste Formel)
④
Addieren Sie die beiden Wahrscheinlichkeiten und ziehen Sie das Produkt (die Wahrscheinlichkeit, dass beide eintreten) ab – so erhalten Sie die
\(P(A \cup B)\): Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eines eintritt
(zweite Formel)
Diese beiden Beziehungen gelten für zwei unabhängige Ereignisse immer. Kennen Sie also zwei beliebige der 8 Wahrscheinlichkeiten, können Sie die Beziehungen rückwärts verfolgen und alle übrigen berechnen.
Einfaches Beispiel
Wissen Sie, dass beide mit der Wahrscheinlichkeit 0,12 und mindestens eines mit 0,58 eintritt, suchen Sie „zwei Zahlen mit der Summe 0,7 und dem Produkt 0,12“. Diese Zahlen sind P(A) und P(B)
beide treten ein (0,12)
\(=\)
\(P(A)\): A tritt ein (?)
\(\times\)
\(P(B)\): B tritt ein (?)
\(P(A) + P(B) = 0{,}58 + 0{,}12 = 0{,}7\)
\(P(A) \times P(B) = 0{,}12\)
\(\Rightarrow\ P(A) = 0{,}3\ \text{ und }\ P(B) = 0{,}4\)
Der Grundgedanke
Warum genügen zwei Werte, um alle übrigen zu finden? Jede der 8 Wahrscheinlichkeiten lässt sich mit \(P(A)\) und \(P(B)\) ausdrücken, es gibt also eigentlich nur zwei Unbekannte. Für zwei Unbekannte reichen zwei Hinweise (Gleichungen). Das ist derselbe Gedanke wie beim Gleichungssystem: „Zwei Gleichungen mit \(x\) und \(y\) lassen sich lösen.“
Allerdings ändern sich „beide treten ein“ und „mindestens eines tritt ein“ nicht, wenn man A und B vertauscht. Rechnet man von diesen beiden Werten zurück, lässt sich deshalb nicht sagen, welches A ist – es kann zwei Lösungen geben, bei denen A und B vertauscht sind. Bei widersprüchlichen Eingaben, etwa wenn „beide“ größer ist als „mindestens eines“, passen keine Wahrscheinlichkeiten, und das Ergebnis lautet „keine Lösung“.
Das Quadrat rechts in der Abbildung oben stellt das Ganze als Quadrat mit der Fläche 1 dar, mit der Breite \(P(A)\) und der Höhe \(P(B)\). Die Fläche des Rechtecks unten links, \(P(A) \times P(B)\), ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide eintreten – deshalb ist die erste Formel eine Multiplikation. Das Venn-Diagramm links zeigt nur, welcher Teil welcher ist: Alles innerhalb der beiden Kreise ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eines eintritt. (Die Flächen der Kreise entsprechen nicht der Größe der Wahrscheinlichkeiten.)
Alle 8 Wahrscheinlichkeiten hängen nur von den zwei Werten \(P(A)\) und \(P(B)\) ab. Umgekehrt lassen sich deshalb aus zwei beliebigen davon alle übrigen berechnen.
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(P(A)\) | P von A | Die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A eintritt. P ist der Anfangsbuchstabe von „probabilitas“ (lateinisch, englisch „probability“). |
| \(\overline{A}\) | A quer (Gegenereignis) | Der Strich über dem A steht für das Ereignis „A tritt nicht ein“, das Gegenereignis von A. Man berechnet es mit \(P(\overline{A}) = 1 - P(A)\). |
| \(\cap\) | geschnitten (Schnittmenge) | Das Zeichen für „und“. \(A \cap B\) ist das Ereignis „A und B treten beide ein“. Im Venn-Diagramm ist das der Bereich, in dem sich die beiden Kreise überschneiden. |
| \(\cup\) | vereinigt (Vereinigungsmenge) | Das Zeichen für „oder“. \(A \cup B\) ist das Ereignis „mindestens eines von A und B tritt ein“. Im Venn-Diagramm ist das alles, was innerhalb der beiden Kreise liegt. |
| \(\Delta\) | Delta (symmetrische Differenz) | Das Zeichen für „genau eines“. \(A \Delta B\) ist das Ereignis „genau eines von A und B tritt ein (nicht beide)“. |
Begriffe
| Ereignis | Etwas, das eintreten kann oder nicht, etwa „mit einem Würfel eine 6 werfen“ oder „morgen regnet es“. In der Mathematik heißt so etwas Ereignis und bekommt einen Namen wie A oder B. |
| unabhängige Ereignisse | Das Ergebnis des einen Ereignisses ändert nicht, wie wahrscheinlich das andere ist. Zieht man Lose ohne Zurücklegen, sind die Ziehungen nicht unabhängig, denn das erste Ergebnis verändert die Wahrscheinlichkeit beim zweiten Mal. Die Rückwärtsrechnung auf dieser Seite gilt nur für unabhängige Ereignisse. |
| Gegenereignis | Das entgegengesetzte Ereignis, also dass das Ereignis nicht eintritt. Ist die Wahrscheinlichkeit, dass es eintritt, 0,3, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass es nicht eintritt (die Gegenwahrscheinlichkeit), \(1 - 0{,}3 = 0{,}7\). |
| lineares Gleichungssystem | Verfahren, mit dem man zwei gesuchte Zahlen (Unbekannte) aus zwei Gleichungen gemeinsam bestimmt. Streng genommen ist das Gleichungssystem auf dieser Seite nicht linear (es enthält das Produkt \(P(A) \times P(B)\)), der Grundgedanke ist aber derselbe: Gelöst wird nach den beiden Unbekannten \(P(A)\) und \(P(B)\). |
| quadratische Gleichung | Sucht man „zwei Zahlen mit der Summe \(S\) und dem Produkt \(P\)“, führt das auf eine quadratische Gleichung. Die meisten Rückwärtsrechnungen auf dieser Seite enden in dieser Form. |
| Mitternachtsformel | Die Lösungsformel, mit der man jede quadratische Gleichung Schritt für Schritt löst: \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\) (auch abc-Formel; in der Form \(x^2 + px + q = 0\) die pq-Formel). Die quadratischen Gleichungen, auf die die Rechnungen dieser Seite hinauslaufen, werden damit gelöst. |
| Diskriminante | Der Ausdruck unter der Wurzel in der Mitternachtsformel, \(b^2 - 4ac\). Ist er positiv, gibt es zwei Lösungen, ist er 0, genau eine, ist er negativ, passt keine Zahl (keine reelle Lösung). Eine negative Diskriminante ist der häufigste Grund, warum diese Seite „keine Lösung“ anzeigt. |
Das sollten Sie vorher wissen
Damit Sie die Rechnung auf dieser Seite nicht nur per Knopfdruck, sondern mit Verständnis nutzen, hilft Ihnen dieses Vorwissen.
| Grundlagen der Wahrscheinlichkeit (Klasse 6–7, 11–13 Jahre) |
|
| Wahrscheinlichkeit zweier unabhängiger Ereignisse (Schwesterseite auf dieser Website) |
|
| Lineare Gleichungen (Klasse 7–8, 12–14 Jahre) |
|
| Quadratische Gleichungen und Mitternachtsformel (Klasse 9, 14–15 Jahre) |
|
So berechnen Sie es in Excel
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle, um P(A) und P(B) aus „beide treten ein“ und „mindestens eines tritt ein“ zu berechnen
| Beide treten ein, P(A∩B) | 0,12 |
| Mindestens eines tritt ein, P(A∪B) | 0,58 |
| P(A) (kleinere Lösung) | =(B1+B2-WURZEL((B1+B2)^2-4*B1))/2 |
| P(B) (größere Lösung) | =(B1+B2+WURZEL((B1+B2)^2-4*B1))/2 |
Nach dem Einfügen sind B1 und B2 Ihre Eingaben, B3 und B4 zeigen die rückwärts berechneten Werte P(A) und P(B).
Genutzt werden die Beziehungen P(A) + P(B) = P(A∪B) + P(A∩B) und P(A) × P(B) = P(A∩B); die entstehende quadratische Gleichung wird mit der Mitternachtsformel gelöst.
WURZEL ist die Funktion für die Quadratwurzel. Eingaben, bei denen die Zahl unter der Wurzel negativ wird, haben keine Lösung und ergeben einen Fehler (#ZAHL!).
Für andere Kombinationen (zum Beispiel wenn Sie P(A) und P(A∪B) kennen) orientieren Sie sich am „Rechenweg“, den der Rechner auf dieser Seite anzeigt.
Genutzt werden die Beziehungen P(A) + P(B) = P(A∪B) + P(A∩B) und P(A) × P(B) = P(A∩B); die entstehende quadratische Gleichung wird mit der Mitternachtsformel gelöst.
WURZEL ist die Funktion für die Quadratwurzel. Eingaben, bei denen die Zahl unter der Wurzel negativ wird, haben keine Lösung und ergeben einen Fehler (#ZAHL!).
Für andere Kombinationen (zum Beispiel wenn Sie P(A) und P(A∪B) kennen) orientieren Sie sich am „Rechenweg“, den der Rechner auf dieser Seite anzeigt.
So berechnen Sie es in Google Tabellen
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle, um P(A) und P(B) aus „beide treten ein“ und „mindestens eines tritt ein“ zu berechnen
| Beide treten ein, P(A∩B) | 0,12 |
| Mindestens eines tritt ein, P(A∪B) | 0,58 |
| P(A) (kleinere Lösung) | =(B1+B2-WURZEL((B1+B2)^2-4*B1))/2 |
| P(B) (größere Lösung) | =(B1+B2+WURZEL((B1+B2)^2-4*B1))/2 |
Es funktionieren dieselben Formeln wie in Excel. Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Zahlen in B1 und B2 durch Ihre eigenen Werte.
So berechnen Sie es in Python
import math
p_both = 0.12 # beide treten ein, P(A∩B)
p_at_least_one = 0.58 # mindestens eines tritt ein, P(A∪B)
sum_of_pa_pb = p_at_least_one + p_both # P(A) + P(B)
product_of_pa_pb = p_both # P(A) × P(B)
discriminant = sum_of_pa_pb ** 2 - 4 * product_of_pa_pb # Diskriminante der quadratischen Gleichung
if discriminant < 0:
print("Keine Lösung (zu dieser Kombination passen keine Wahrscheinlichkeiten)")
else:
sqrt_of_discriminant = math.sqrt(discriminant)
p_a = (sum_of_pa_pb - sqrt_of_discriminant) / 2
p_b = (sum_of_pa_pb + sqrt_of_discriminant) / 2
print(f"P(A) = {p_a}, P(B) = {p_b}")
Dieses Beispiel gilt, wenn Sie „beide treten ein“ und „mindestens eines tritt ein“ kennen. Ändern Sie die beiden Werte oben und führen Sie den Code aus. Gibt es zwei Antworten, ist die zweite Lösung dieselbe mit vertauschten P(A) und P(B).
So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
Diese Beziehungen gelten für zwei unabhängige Ereignisse immer
P(A∩B) = P(A) × P(B), P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A)×P(B)
P(A \cap B) = P(A)\,P(B), \quad P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A)\,P(B)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>∩</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
<mo>,</mo>
<mspace width="1em"></mspace>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>∪</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo>
<mo>+</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
<mo>−</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
</mrow>
</math>
P(A nn B) = P(A) P(B), P(A uu B) = P(A) + P(B) - P(A) P(B)
Solve[{pa*pb == 0.12, pa + pb - pa*pb == 0.58}, {pa, pb}]
solve({pa*pb = 0.12, pa + pb - pa*pb = 0.58}, {pa, pb});
syms pa pb; sol = solve(pa*pb == 0.12, pa + pb - pa*pb == 0.58, pa, pb);
P(A∩B) = P(A) × P(B), P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A)×P(B)
So lassen Sie ChatGPT rechnen
Sie sind ein Assistent für Wahrscheinlichkeitsrechnung. Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (nicht im Kopf rechnen und nicht schätzen). Für zwei unabhängige Ereignisse A und B ist bekannt: Die Wahrscheinlichkeit, dass beide eintreten, ist P(A∩B) = 0,12, und die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eines eintritt, ist P(A∪B) = 0,58. Berechnen Sie P(A) und P(B). Berechnen Sie außerdem die Wahrscheinlichkeit, dass jedes einzelne nicht eintritt, die Wahrscheinlichkeit, dass genau eines eintritt, P(AΔB), und die Wahrscheinlichkeit, dass keines eintritt. Gibt es zwei Lösungen, zeigen Sie beide. Zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Ausführungsergebnisse in einer Tabelle.
Anleitung
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1Werte eingebenTragen Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
-
2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
-
3Ergebnis ansehenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
Die Vorteile von DataChef
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Keine Quellenangabe nötig
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Kommerzielle Nutzung möglich
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Keine vorherige Genehmigung erforderlich
Keine vorherige Genehmigung erforderlich
Verwandte Funktionen
Wahrscheinlichkeit zweier unabhängiger Ereignisse berechnen
Berechnet aus zwei Wahrscheinlichkeiten, wie wahrscheinlich beide oder mindestens eines eintreten
Wahrscheinlichkeit „mindestens einmal“ und „n-mal hintereinander“ berechnen
Berechnet, wie wahrscheinlich etwas n-mal hintereinander oder mindestens einmal in n Versuchen eintritt
Normalverteilung berechnen – Wahrscheinlichkeit für einen Bereich
Berechnet aus Mittelwert und Standardabweichung die Wahrscheinlichkeit für einen Bereich
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